对面积的曲面积分

对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.
• 积分的存在性. 在光滑曲面 上连续,
则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. 若 是分片光滑的, 例如分成两
片光滑曲面 1, 2 , 则有
f ( x, y, z ) d S
• 线性性质.
f ( x, y , z ) d S
o x
Dx y
y

f ( x, y, z ) dS 存在, 且有
( k ) x y ( k ,k , k )

Dx y
f ( x, y ,
来自百度文库
)
n
证明: 由定义知
0
lim

k 1
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而


(
k )xy
1 z x ( x, y ) z y ( x, y ) dxd y
0
1
1 x
1 (1 x y )
2
0
dy
d z
0
1
1 z
1 (1 x) 1 (1 y )
2 2
0 1 z
dx
d z
0
1
0
dy

3 3 2
( 3 1) ln 2
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2 2
f ( k ,k , z ( k ,k ))
2 2
(光滑)
1 z x ( k , k ) z y ( k , k ) ( k ) x y

Dx y
f ( x, y ,
) 1 z x ( x, y ) z y ( x, y )d xd y
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都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 的曲面积分 或第一类曲面积分. 其中 f (x, y, z) 叫做被积 函数, 叫做积分曲面. 据此定义, 曲面形构件的质量为 M ( x, y, z ) d S

曲面面积为
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面, 计算
z 1
o
1y
解: 在四面体的四个面上
平面方程
z 1 x y
dS
3 dx d y
投影域
1 x
Dx y : 0 x 1 , 0 y 1 x
同上
y0
dz dx
Dz x : 0 z 1 , 0 x 1 z
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I ( 3 1) d x
2
2
说明: 1) 如果曲面方程为
x x( y, z ), ( y, z ) D y z 或 y y ( x, z ), ( x, z ) Dx z
可有类似的公式. 2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的
二重积分.
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1. 定义:
lim f ( i , i , i ) S i
0
i 1 n
2. 计算: 设 : z z ( x, y ) , ( x, y ) D x y , 则

Dx y
f ( x, y, z ( x, y ) )
1
2 zx

2 zy
d xd y
(曲面的其他两种情况类似)
第四节 对面积的曲面积分
第十章
一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法
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一、对面积的曲面积分的概念与性质
引例: 设曲面形构件具有连续面密度 量 M. z 类似求平面薄板质量的思想, 采用 “分割, 取近似,求和, 取极限” 的方法, 可得
M
求质
( k ,k , k )

x
Dx y
y
解: 锥面 z x y 与上半球面 z a 2 x 2 y 2 的
2
2
交线为
设 1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的
投影域为 Dx y ( x, y ) x 2 y 2 1 a 2 , 则 2
I
1
(x y ) d S
计算结果如何 ?
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例4. 计算 之间的圆柱面
其中 是介于平面
分析: 若将曲面分为前后(或左右)
两片, 则计算较繁. 解: 取曲面面积元素
z
H
z
dz
则
I
H
2 R d z R z
2 2
0
o x
y
2 arctan
H R
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内容小结

n

k 1
o x
y
其中, 表示 n 小块曲面的直径的
最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
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定义: 设 为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在 上的一
个有界函数, 若对 做任意分割和局部区域任意取点,
“乘积和式极限”
记作
f ( x, y, z )d S
1
k1 f ( x, y, z ) k2 g ( x, y, z )d S k1 f ( x, y, z ) dS k 2 g ( x, y, z ) dS
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二、对面积的曲面积分的计算法
定理: 设有光滑曲面
z

f (x, y, z) 在 上连续, 则曲面积分
例2. 计算
其中 是由平面
z
1
与
坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 1 , 2 , 3 , 4 分别表示 在平面 上的部分, 则
o
1 x 1 y
原式 =

1
2

3

x y z dS 4

4
x yz d S
0 y 1 x : 0 x 1
2
2
2
1 z x ( k , k ) z y ( k , k ) ( k ) x y
2
f ( x, y, z ) dS
f ( k ,k , z ( k ,k ))
1 z x ( k , k ) z y ( k , k ) ( k ) x y
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例1. 计算曲面积分
被平面 解:
其中是球面 截出的顶部.
z

h
Dx y : x y a h
1
dS

2
2
2
2
o
Dx y
2 zx

2 zy
ay
x
a dxd y
2 2
z

Dx y
a x y
2
a
2 0
d
2
0
2
a h
2
2
rd r a r
2 2
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2
2
I
1
(x y ) d S
(x y )
1 2
2
2


2
2
a a x y
ar
2 2 2
Dx y
2
2
2
d xd y
2 0
d
4
2a
0
a r
r dr
z
o x
1
a (8 5 2 ) 6
1
Dx y
y
思考: 若例3 中被积函数改为
2 a
2 2 ln(a r ) 2
1
a h
0
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思考:
若 是球面 出的上下两部分, 则 被平行平面 z =±h 截
z
0
a h
)


dS z
(

h
o
dS z ( 4 a ln )


y
x
h

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4 : z 1 x y , ( x, y ) D x y
3 x d x
0 1 1 x 0
y (1 x y ) d y
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3 120
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例3. 设 : x 2 y 2 z 2 a 2
z
o
1
计算 I f ( x, y, z ) d S .
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1为 在第
一卦限中的部分, 则有( C
).
( B) (C )
ydS 4 zdS 4
xdS ; xdS ;
( 2000 考研 )
1
1
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2. 设 是四面体 x y z 1 , x 0 , y 0 , z 0 的表