(最新整理)2021届高三数学滚动测试题与参考答案

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2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：利用导数研究函数的极值(一)(含答案)

《利用导数研究函数的极值》（一）考查内容：主要涉及求已知函数的极值一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数334y x x =-+有（） A ．极大值6，极小值2 B ．极大值2，极小值6 C ．极小值－1，极大值2D ．极小值2，极大值82．函数()x f x xe -=在[0,4]x ∈上的极大值为（）A ．1eB ．0C ．44e D ．22e 3．已知函数()2()ln xf x ef e x e'=-，则()f x 的极大值点为( ) A ．1eB ．1C ．eD ．2e4．函数sin cos y x x x =+的一个极小值点为（） A ．2x π=-B ．2x π=C ．x π=D ．32x π=5．函数331y x x =-+在[]3,3-的极大值是（） A ．19B ．3C ．-1D ．-176．若2x =-是函数()321213f x x ax x =--+的一个极值点，则函数()f x 的极小值为（） A ．113-B ．16-C ．16D ．1737．若函数3()3f x x x m =-+的极小值为-1，则函数()f x 的极大值为（）A ．3B ．-1C ．13 D ．2 8．正项等比数列{}n a 中的14031,a a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则2061a =（）A ．1B ．2CD ．1-9．若函数3()()3f x x a x b =--+的极大值为M ，极小值为N ，则M N -（） A ．与a 有关，且与少有关B ．与a 无关，且与b 有关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 有关，且与b 无关10．已知函数[]21()(1)(2)(1)3ln 2f x f x f f x x '''=-+--，则()f x （） A ．只有极大值B ．只有极小值C ．既有极大值也有极小值D ．既无极大值也无极小值11．已知()ln (0)af x x a x=+≠，则 A ．当0a <时，()f x 存在极小值()f a B ．当0a <时，()f x 存在极大值()f a C ．当0a >时，()f x 存在极小值()f aD ．当0a >时，()f x 存在极大值()f a12．已知函数()32247f x x x x =---，其导函数为()f x '，则以下4个命题： ①()f x 的单调减区间是2,23⎛⎫-⎪⎝⎭；②()f x 的极小值是-15；③()f x 有且只有一个零点；④当2a >时，对任意的2x >x a ≠，恒有()()()()f x f a f a x a '>+-. 其中真命题的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二．填空题 13．函数321()313f x x x x =+--的极小值是__________ 14．已知函数()()21ln f x f x x =-'，则()f x 的极大值为________． 15．若2x =-是函数()()211x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极大值为___16．已知函数()()()224f x x xax b =-++的图象关于1x =对称，记函数()f x 的所有极值点之和与积分别为m ，n ，则()f m n +=______. 三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知函数()ln f x ax bx x =+，()f x 在x e =处的切线方程是0x y e +-=，其中e 是自然对数的底数. （1）求实数a ，b 的值；（2）求函数()f x 的极值.18．已知函数322()3(1)1f x kx k x k =+--+在0,4x x ==处取得极值. （1）求常数k 的值；（2）求函数()f x 的单调区间与极值.19．已知函数21()22f x x mx lnx =--，m R ∈. （1）若1m =，求()f x 的单调递增区间和单调递减区间；（2）求()f x 的极值点.20．已知函数()()ln f x ax x a R =-∈. （1）讨论()f x 的极值；（2）若()f x 有两个零点1x ，2x ，证明：12112ln ln x x +>.21．已知函数()2ln f x x a x =--，R a ∈. （1）求函数()f x 的极值；（2）当2a =-时，若直线l ：2y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的取值范围.22．已知2a >，函数()1ln xf x e x ax e=+-. （1）判断()f x 极值点的个数；（2）若()1212x x x x <，是函数()f x 的两个极值点，证明：()()212ln f x f x a -<.《利用导数研究函数的极值》（一）解析1.【解析】令2330y x '=-=，解得1x =±，则,y y '随x 的变化如下表所以，当1x =-时，函数有极大值为6；当1x =时，函数有极小值为2.故选:A. 2.【解析】由()xf x xe-=可得1()x xf x e-'=，当(]0,1x ∈时()0f x '>，()f x 单调递增，当(]1,4x ∈时()0f x '<，()f x 单调递减，所以函数()xf x xe-=在[0,4]x ∈上的极大值为()11f e=，故选：A 3.【解析】因为()()2ln xf x ef e x e '=-，所以()()21ef e f x x e'-'=，所以()()()2112ef e f e f e ee e=-'=-''，因此()1f e e '=，所以()21f x x e='-，由()0f x '>得：02x e <<；由()0f x '<得：2x e >；所以函数()f x 在()0,2e 上单调递增，在()2,e +∞上单调递减，因此()f x 的极大值点2x e =.故选D4.【解析】因为sin cos y x x x =+，所以sin cos sin cos y x x x x x x '=+-=，A 选项，当2x π=-时，0y '=，在2x π=-的左侧附近，0y '>；在2x π=-的右侧附近，0y '<，所以2x π=-是极大值点，故A 错；B 选项，当2x π=时，0y '=，在2x π=的左侧附近，0y '>；在2x π=的右侧附近，0y '<，所以2x π=是极大值点，故B 错；C 选项，当x π=时，y π'=-，所以x π=不是极值点；D 选项，当32x π=时，0y '=，在32x π=的左侧附近，0y '<；在32x π=的右侧附近，0y '>，所以32x π=是极小值点，故D 正确.故选：D. 5.【解析】由于()()2333+11y x x x =-=-,由'0y =得出1x =±.当()1,1x ∈-时, '0y <,该函数在()11-，单调递减,当(),1x ∈-∞-时, '>0y ,该函数在(),1x ∈-∞-单调递增, 当()1,+x ∈∞时, '>0y ,该函数在()1,+x ∈∞单调递增. 则该函数在1x =-处取得极大值3,故选：B. 6.【解析】∵()321213f x x ax x =--+，∴()222x x ax f =--'，由题意得()2240f a '-=+=，解得12a =-，∴()32112132x x f x x =+-+，∴()()()2221f x x x x x '=+-=+-．当2x <-或1x >时，()0f x '>；当21x -<<时，()0f x '<．所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),2-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()2,1-，当1x =时，函数()y f x =取得极小值()111121326f =+-+=-，故选：B ．7.【解析】2'()333(1)(1)f x x x x =-=+-，显然当11x x <->或时，'()0f x >，当11x -<<时，'()0f x <，∴1-是极大值点，1是极小值点，于是有(1)131f m =-+=-，1m =，从而(1)1313f -=-++=，即极大值为3．故选A ．8.【解析】由()3214633f x x x x =-+-，则()22860f x x x =+'-=，因为14031,a a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，所以140316a a ⋅=，又0n a >，所以2016a ==2061=1，故选A ．9.【解析】32()()3()3()301f x x a x b f x x a x a '=--+∴=--=∴=±当1x a <-时()0f x '>；当11a x a -<<+时()0f x '<；当1x a >+时()0f x '>；因此当1x a =-时()f x 取极大值；当1x a =+时()f x 取极小值； (1)(1)4M N f a f a ∴-=--+=，故选：C10.【解析】3()(1)(2)(1)f x f x f f x''''=-+--，∴(1)(1)(2)(1)3f f f f ''''=-+--且3(2)2(1)(2)(1)2f f f f ''''=-+--，解得1(1)2'=-f ，3(2)2f '=，246()02x x f x x+-'==，2x =-±0x >，∴()f x 在2x =-B ． 11.【解析】f ′（x ）221a x a x x x-=-=， a ＞0时，令f ′（x ）＞0，解得：x ＞a ，令f ′（x ）＜0，解得：0＜x ＜a ，故f （x ）在（0，a ）递减，在（a ，+∞）递增，故f （x ）极小值＝f （a ），无极大值，a ≤0时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（0，+∞）递增，无极值，故选C ． 12.【解析】()32247f x x x x =---，其导函数为()2344f x x x '=--.令()0f x '=，解得23x =-，2x =.当()0f x '>时，即2x 23x -或时，函数单调递增，当()0f x '<时，即223x -<<时，函数单调递减，故当2x =时，函数有极小值，极小值为()215f -=-，当23x =-时，函数有极大值，极大值为203f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故函数只有一个零点，①②③正确；∵2a >，2x >且x a ≠， ∴令()()()()()g x f x f a f a x a =-'--，则()()22344344g x x x a a =-----'，记()()g x h x '=，因为当2x >时，()640h x x -'=>，则()h x 在（2，＋∞）单调递增，又因为()()0g a h a '==，∴当2x a <<时，()0g x '<，当x a >时，()0g x '>，∴以()g x ⋅在（2，a ）递减，在(),a +∞递增，又x a ≠，∴()()0g x g a >=成立，故④正确．故选D. 13.【解析】函数321()313f x x x x =+--，则()223f x x x '=+-，令()0f x '=，由2230x x +-=得3x =-或1x =，如下表所示：函数()32313f x x x x =+--在(),3-∞-上为增函数，在()3,1-上为减函数，在()1,+∞上为增函数，故()f x 在1x =处有极小值，极小值为()318f =-.14.【解析】2(1)2(1)()1(1)1,(1)11f f f x f f x '''=-'-='∴= ，因此()2ln f x x x =-，2()102f x x x-='=∴=时取极大值2ln22-15.【解析】()()211e x f x x ax -=+-，()()2121x f x x a x a e -'⎡⎤∴=+++-⎣⎦，由题意可得()()3210f a e-'-=-+=，解得1a =-.()()211e x f x x x -∴=--，()()212x f x x x e -'=+-，令()0f x '=，得2x =-或1x =. 列表如下：所以，函数()y f x =的单调递增区间为(),2-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()2,1-，所以，函数()y f x =的极大值为()352f e -=.故答案为：35e. 16.【解析】因为()f x 的图象关于1x =对称，所以()()()()0224f f f f ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，即()()()0401641640b a b ⎧-=⎪⎨-++=⎪⎩，解得40a b =-⎧⎨=⎩，所以()()()2244f x x x x =--，此时()222[(2)4)[])4(2)(2f x x x x -----=-22(4)(4)(),()x x x f x f x =--=∴关于直线1x =对称，()2232'2(4)(4)(24)412816f x x x x x x x x x =-+--=--+()()32224[()2(2)]4124x x x x x x x =--+-=---.令()'0f x =，得1x =或2240x x --=，从而123m =+=，()144n =⨯-=-，故()()13515f m n f +=-=-⨯=-.故答案为:15-.17.【解析】（1）由()ln f x ax bx x =+，得()()1ln f x a b x '=++，由()f x 在x e =处的切线方程是0x y e +-=，知切点为(),0e ，斜率为1-，所以()()()021f e a b e f e a b ⎧=+=⎪⎨=+=-'⎪⎩，解之得11a b =⎧⎨=-⎩．（2）()ln f x x x x =-，()ln f x x '=-，令()0f x '=，得1x =，由表可知，当1x =时，()f x 取得极大值1；()f x 无极小值.18.【解析】（1）由题意2()36(1)f x kx k x '=+-，又函数在0,4x x ==处取得极值，所以0,4x x ==是方程()0f x '=的两个解，∴346(1)0k k ⨯+-=中，解得13k =；（2）由（1）3218()239f x x x =-+，2()4f x x x '=-，0x <或4x >时，()0f x '>，()f x 的增区间为(,0)-∞和(4,)+∞，04x <<时，()0f x '<，()f x 的减区间是(0,4)，所以0x =时，()f x 极大值(0)f ==89，4x =时，()f x 极小值88(4)9f ==-．综上，增区间是(,0)-∞和(4,)+∞，减区间是(0,4)，极大值是89，极小值是889-．19.【解析】（1）1m =，21()22f x x x lnx ∴=--，(0,)x ∈+∞，222()1x x f x x x x--∴'=--=，令()0f x '>，解得：2x >或1x <-，令()0f x '<，解得：12x -<<，而(0,)x ∈+∞，故()f x 在(0,2)递减，在(2,)+∞递增；（2）21()22f x x mx lnx =--，(0,)x ∈+∞， 222()x mx f x x m x x--∴'=--=，令()0f x '=，解得：1x =2x =，10x =<，20x =>，x ∴∈时，()0f x '<，x ∈，)+∞时，()0f x '>，故()f x 在(0,2m 递减，在(2m +)+∞递增；故()f x 有极小值点，极小值点是2m x +=.20.【解析】（1）()()110ax f x a x x x-'=-=>， ①当0a ≤时，由于0x >，故10ax ，()0f x '<，所以()f x 在()0,∞+内单调递减，无极值； ②当0a >时，由()0f x '=，得1x a=，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，所以函数()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，函数()f x 有极小值11ln f a a ⎛⎫=+⎪⎝⎭，无极大值，综上：当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值1ln a +，无极大值.2021届高三一轮复习题型专题训练（2）函数()f x 有两个零点1x ，2x ，不妨设12x x <，由（1）得，0a >且111ln 0,0f a a a e ⎛⎫=+<∴<<⎪⎝⎭，则11ln 0x ax -=，22ln 0x ax -=，()2121ln ln x x a x x -=-，即2121ln ln x x a x x -=-，要证：121112,0ln ln a x x e +><<，需证：12112a x x +>，只需证：12122x x a x x +>，只需证：12211221ln ln 2x x x x x x x x +->-，只需证：22212121ln 2x x x x x x ->，只需证：2211121ln 2x x x x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，令211x t x =>，即证11ln 2t t t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，设11()ln 2t t t t ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则2221()02t t t tϕ--'=<，即函数()t ϕ在()1,+∞单调递减，则()()10t ϕϕ<=，即得12112ln ln x x +>. 21.【解析】（1）()2ln f x x a x =--定义域为()0,∞+，()1a x a f x x x'-=-=. ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 为()0,∞+上的增函数，所以函数()f x 无极值. ②当0a >时，令()0f x '=，解得x a =.当()0,x a ∈，()0f x '<，()f x 在()0,a 上单调递减；当(),x a ∈+∞，()0f x '>，()f x 在(),a +∞上单调递增.故()f x 在x a =处取得极小值，且极小值为()2ln f a a a a =--，无极大值. 综上，当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值为2ln a a a --，无极大值. （2）当2a =-时，()22ln f x x x =-+，直线l ：2y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，等价于关于x 的方程222ln kx x x -=-+2021届高三一轮复习题型专题训练在()0,∞+上没有实数解，即关于x 的方程()12ln k x x -=在()0,∞+上没有实数解，即2ln 1xk x-=在()0,∞+上没有实数解. 令()2ln xg x x =，则有()()221ln x g x x-'=.令()0g x '=，解得e x =，当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下表：且当0x →时，()g x →-∞；e x =时，()g x 的最大值为2e；当x →+∞时，()0g x →，从而()g x 的取值范围为2,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.所以当()21,e k ⎛⎫-∈+∞⎪⎝⎭时，方程()12ln k x x -=无实数解，解得k 的取值范围是21,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭. 22.【解析】（1）由题意得()11x f x e a e x'=+-，0x >，令()()11x g x f x e a e x'==+-，0x >，则()211x g x e e x'=-在()0,∞+上递增，且()10g '=，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 递减；当()1,x ∈+∞，()0g x '>，()g x 递增，∴()()min 120g x g a ==-<∵1110ag ea -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()120g a =-<，∴11,1x a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()10g x =. 当()10,x x ∈时，()()0g x f x '=>，()f x 递增；当()1,1x x ∈时，()()0g x f x ='<，()f x 递减，2021届高三一轮复习题型专题训练 ∴1x x =是()f x 的极大值点 ∵()11ln 01ln g a a+=>+，()120g a =-<，∴()21,1ln x a ∃∈+，()20g x =.当()21,x x ∈时，()()0g x f x ='<，()f x 递减；当()2,x x ∈+∞时，()()0g x f x '=>，()f x 递增，∴2x x =是()f x 的极小值点.∴()f x 在()0,∞+上有两个极值点（2）证明：()1212x x x x <，是函数()f x 的两个极值点. 由（1）得12111ln x x a a<<<<+，且()()120g x g x ==，即()()1212121111x x g x e a g x e a e x e x =+-==+-，所以()2121121x x x x e e e x x --=. ∴210x x ->，11a x <，()2111ln x a a x <<+，由121111ln ，x x a a <<<<+，则121x x a <，即121a x x <，所以1210a x x -< ∴()()()()()()2122212121112111ln ln ln 1ln x x x x f x f x e e a x x x x a a a e x x x x ⎛⎫-=-+--=--+<+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭设()()1ln 2a a a a ϕ=+->，则()110a aϕ'=-<， ∴()a ϕ在2a >时单调递减，则()()2ln 210a ϕϕ<=-<∴1ln a a +<，则()21ln a a a +<.∴()()221ln 2ln f x f x a a -<=。

2021届全国高考数学一轮复习知识巩固AB卷：专题13 统计、统计案例与概率(A卷)(含解析)

2021年全国高考数学一轮复习知识巩固AB卷（理科）专题13 统计、统计案例与概率（A卷）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．2019年夏季来临，某品牌饮料举行夏季促销活动，瓶盖内部分别印有标识“谢谢惠顾”、A B C标识的饮料数量之比标识B“再来一瓶”以及标识C“品牌纪念币一枚”，每箱中印有,,为3：1：2，若顾客购买了一箱（12瓶）该品牌饮料，则兑换“品牌纪念币”的数量为（）A．2 B．4 C．6 D．82．一般来说，一个班级的学生学号是从1开始的连续正整数，在一次课上，老师随机叫起班上8名学生，记录下他们的学号是：3、21、17、19、36、8、32、24，则该班学生总数最可能为（）A．39人B．49人C．59人D．超过59人3．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：号分别为001,002,,599,60032 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A．522B．324C．535D．5784．新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）．其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A、B、C、D、E五个等级．某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到如下图表：针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（） A ．获得A 等级的人数减少了 B ．获得B 等级的人数增加了1．5倍 C ．获得D 等级的人数减少了一半D ．获得E 等级的人数相同5．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（） A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>6．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[)50,60的同学有30人，则n 的值为（）A ．100B ．1000C ．90D ．9007．某公司新发明了甲、乙两种不同型号的手机，公司统计了消费者对这两种型号手机的评分情况，作出如下的雷达图，则下列说法不正确的是（）A ．甲型号手机在外观方面比较好B ．甲、乙两型号的系统评分相同C ．甲型号手机在性能方面比较好D ．乙型号手机在拍照方面比较好8．某企业的一种商品的产量与单位成本数据如下表：产量x （万件） 14 16 182022单位成本y （元/件）12107a3若根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为ˆ 1.1528.1yx =-+，则a 的值等于（） A ．4.5 B ．5C ．5.5D ．69．相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程，相关系数为．则（）A ．B ．C ．D ．10．为了判断高中生选修理科是否与性别有关．现随机抽取50名学生，得到如下列联表：根据表中数据，得到的观测值()22501320107 4.84423272030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，若已知，，则认为选修理科与性别有关系出错的可能性约为（） A ．B ．C ．D ．11．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（） A ．12B ．13C ．14D ．1512．函数()()22846f x x x x =-++-≤≤，在其定义域内任取一点0x ，使()00f x ≥的概率是（） A ．310B ．23C ．35D ．45第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．某公司对2019年14月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：月份x 123 4利润y /万元5 6 6.58利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y 关于x 的线性回归方程为__________．14．在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：参照附表，在犯错误的概率最多不超过______(填百分比)的前提下，可认为“该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效果”．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++15．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为_____．16．如图，在边长为2的正方形中，以的中点为圆心，以为半径作圆弧，交边于点，从正方形中任取一点，则该点落在扇形中的概率为_____．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）本市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展．通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼．摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在[25,85]之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数x和中位数m（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中评出20个最佳作品，并邀请作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会．①在答题卡上的统计表中填出每组应抽取的人数；年龄[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85]人数②若从较年轻的前三组作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在[35,45)的概率．18．（12分）国家学生体质健康测试专家组到某学校进行测试抽查，在高三年级随机抽取100名男生参加实心球投掷测试，测得实心球投掷距离（均在5至15米之内）的频数分布表如下（单位：米）：规定：实心球投掷距离在[)9,13之内时，测试成绩为“良好”，以各组数据的中间值代表这组数据的平均值ξ，将频率视为概率．（1）求ξ，并估算该校高三年级男生实心球投掷测试成绩为“良好”的百分比；（2）现在从实心球投掷距离在[)5,7，[)13,15之内的男生中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练，求：在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7内的概率．19．（12分）已知某商品每件的生产成本x （元）与销售价格y （元）具有线性相关关系，对应数据如表所示：（1）求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（2）若该商品的月销售量z （千件）与生产成本x （元）的关系为221z x =-+，[2,10]x ∈，根据（1）中求出的线性回归方程，预测当x 为何值时，该商品的月销售额最大．附：121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-．20．（12分）随着教育信息化2．0时代的到来，依托网络进行线上培训越来越便捷，逐步成为实现全民终身学习的重要支撑．最近某高校继续教育学院采用线上和线下相结合的方式开展了一次300名学员参加的“国学经典诵读”专题培训．为了解参训学员对于线上培训、线下培训的满意程度，学院随机选取了50名学员，将他们分成两组，每组25人，分别对线上、线下两种培训进行满意度测评，根据学员的评分(满分100分)绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断学员对于线上、线下哪种培训的满意度更高?并说明理由；（2）求50名学员满意度评分的中位数m，并将评分不超过m、超过m分别视为“基本满意”、“非常满意”两个等级．①利用样本估计总体的思想，估算本次培训共有多少学员对线上培训非常满意?②根据茎叶图填写下面的列联表：并根据列联表判断能否有99．5％的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异?附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()20.0100.0050.0016.6357.87910.828P K kk≥．21．（12分）在边长为1的正六边形ABCDEF中，其中心为点O．（1）在正六边形ABCDEF的边上任取一点P，求满足OP在OE上的投影大于12的概率；（2）从A，B，C，D，E，F这六个点中随机选取两个点，记这两个点之间的距离为x，求x大于等于3的概率．22．（12分）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y（万人）与年份x的数据：第x年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 旅游人数y（万人）300 283 321 345 372 435 486 527 622 800该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程50.8169.7y x =+；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bxy ae =的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程bx y ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回归方程①50.8169.7y x =+②bx y ae =1021()iii y y =-∑ 30407 14607参考公式、参考数据及说明： ①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w ，其回归直线w v αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121()(),()niii nii w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑．②刻画回归效果的相关指数22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑．③参考数据： 5.46235e ≈， 1.43 4.2e ≈．x y u1021()ii xx =-∑()()101iii x x y y =--∑ ()()101iii x x uu =--∑表中1011ln ,10i i i i u y u u ===∑．专题13 统计、统计案例与概率答案+解析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】根据题意，“品牌纪念币一枚”的瓶数占全部瓶数的三分之一，即11243⨯=． 2．【答案】A【解析】因为随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，所以110，1120，2130，3140，…，每组抽取的人数，理论上应均等；又所抽取的学生的学号按从小到大顺序排列为3、8、17、19、21、24、32、36，恰好使110，1120，2130，3140四组中各有两个，因此该班学生总数应为40左右，故选A ． 3．【答案】D【解析】第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578合适，则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578，则第6个编号为578，故选D ． 4．【答案】B【解析】设2016年参加考试x 人，则2018年参加考试2x 人，根据图表得出两年各个等级的人数如下图所示：由图可知A ，C ，D 选项错误，B 选项正确，故本小题选B ． 5．【答案】A【解析】由题意，根据品滚石的计算公式，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，则()()()()()2222212481757070706070907050x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦()()()2221248170707050050x x x ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦， ()()()()()222222124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦ ()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦，故275s <．故选A ． 6．【答案】A【解析】由频率分布直方图可知，支出在[)50,60的同学的频率为0.03100.3⨯=，301000.3n ∴==，本题正确选项A ． 7．【答案】C【解析】从图中可得：甲型号手机在外观方面评分为90，乙型号手机在外观方面评分为85，故A 正确；甲型号手机在系统方面评分为95，乙型号手机在系统方面评分也为95，故B 正确；甲型号手机在性能方面评分为85，乙型号手机在外观方面评分为90，故C 错误；甲型号手机在拍照方面评分为85，乙型号手机在拍照方面评分为90，故D 正确；故选C ． 8．【答案】B 【解析】1416182022901855x，1210733255a ay ， x y ，在线性回归方程ˆ 1.1528.1yx =-+上， 1.151828.17.4y ，则32=7.45a，解得5a =，故选B ． 9．【答案】D【解析】由散点图得负相关，所以，因为剔除点后，剩下点数据更具有线性相关性，更接近，所以．故选D ．10．【答案】B【解析】由观测值，对照临界值得4．844>3．841，由于P （X 2≥3．841）≈0．05，∴认为选修理科与性别有关系出错的可能性为5%．故选B ． 11．【答案】C【解析】（甲送给丙、乙送给丁）、（甲送给丁，乙送给丙）、（甲、乙都送给丙）、（甲、乙都送给丁）共四种情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种，所以甲、乙将贺年卡送给同一人丁的情况一种，概率是14，故选C ． 12．【答案】C【解析】由题意，知()00f x ≥，即200280x x -++≥，解得{}0024x x -≤≤，所以由长度的几何概型可得概率为4(2)36(4)5P --==--，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】ˆ0.954yx =+ 【解析】设线性回归方程为ˆˆˆybx a =+，因为52x =，518y =，由题意可得551ˆ288ˆ11.6ˆˆb a b a⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得ˆ0.95b =，ˆ4a =，即ˆ0.954y x =+，故答案为ˆ0.954yx =+． 14．【答案】5%【解析】由题意，计算观测值()2210010302040 4.762 3.84150503070K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，参照附表，可得：在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”．故答案为5%．15．【答案】29【解析】试验发生包含的事件（k ，b ）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当00k b <>⎧⎨⎩时，直线不经过第三象限，符合条件的（k ，b ）有2种结果，∴直线不过第三象限的概率29P =，故答案为29．16．【答案】π8【解析】如图，正方形面积，因为，故，所以π4AOM ∠=，同理π4NOB ∠=，所以π2MON ∠=，又，∴()212222ππMONS =⨯⨯=扇形． ∴从正方形中任取一点，则该点落在扇形中的概率为8ππ24P ==．故答案为π8．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）平均数60，中位数4557；（2）①详见解析，②35．【解析】（1）在频率分布直方图中，这100位参赛者年龄的样本平均数300.05400.1500.15x =⨯+⨯+⨯600.35700.2800.1560+⨯+⨯+⨯=．设中位数为m ，由0.050.10.15(55)0.350.5m +++-⨯=，解得4557m =（或答55．57）．（2）①每组应各抽取人数如下表：②根据分层抽样的原理，年龄在前三组内分别有1人、2人、3人，设在第一组的是a ，在第二组的是1b ，2b ，在第三组的是1c ，2c ，3c ，列举选出2人的所有可能如下：1(,)a b ，2(,)a b ，1(,)a c ，2(,)a c ，3(,)a c ，12()b b ,，11(,)b c ，12(,)b c ，13(,)b c ，21(,)b c ，22(,)b c ，23(,)b c ，12(,)c c ，13(,)c c ，23(,)c c ，共15种情况．设“这2人至少有一人的年龄在区间[35,45]”为事件A ，则93()155P A ==． 18．【答案】（1）平均值9.77ξ=，百分比62%；（2）0.6．【解析】（1）根据平均值的定义得92340226681012149.77100100100100100ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，因为实心球投掷距离在[)9,13之内时，测试成绩为“良好”，所以40220.6262%100+==．（2）实心球投掷距离在[)5,7，[)13,15之内的男生分别有9，6人，用分层抽样的方法抽取5人，则分别抽取3，2人．从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练的总数为35C 10=，在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7的总数为2132C C 6=，所以在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在[)5,7内的概率为60.610p ==． 19．【答案】（1）ˆ46y x =-；（2）预计当6x =时，该商品的销售额最大为162元．【解析】（1）根据题意，5678 6.54x +++==，15172127204y +++==，41515617721827540i ix y=⨯+⨯+⨯+⨯=∑，42222215678174i x =+++=∑，所以414222145404 6.52041744 6.54i ii x y x yb x x--⨯⨯===-⨯-∑∑，所以204 6.56a y bx =-=-⨯=-，所以y 关于x 的线性回归方程ˆ46yx =-．（2）依题意，销售额2()(221)(46)896126([2,10])f x x x x x x =-+-=-+-∈．其对称轴为9662(8)x =-=⨯-，又因为()f x 为开口向下的抛物线，故当6x =时()f x 最大，最大值()836966126162f x =-⨯+⨯-=．答：预计当6x =时，该商品的销售额最大为162元．20．【答案】（1）对线下培训满意度更高；（2）①84人，②有把握．【解析】（1）对线下培训满意度更高．理由如下：①由茎叶图可知：在线上培训中，有72%的学员满意度评分至多79分，在线下培训中，有72%的学员评分至少80分．因此学员对线下培训满意度更高．②由茎叶图可知：线上培训满意度评分的中位数为76分，线下评分的中位数为85分．因此学员对线下培训满意度更高．③由茎叶图可知：线上培训的满意度评分平均分高于80分；线下培训的平均分低于80分，因此学员对线下培训满意度更高．④由茎叶图可知：线上培训的满意度评分在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布；线下培训的评分分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布，又两种培训方式打分的分布区间相同，故可以认为线下培训评分比线上培训打分更高，因此线下培训的满意度更高．以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．（2）由茎叶图知798079.52m +==． ①参加线上培训满意度调查的25名学员中共有7名对线上培训非常满意，频率为725，又本次培训共300名学员，所以对线上培训满意的学员约为73008425⨯=人． ②列联表如下：于是2250(181877)9.6825252525k ⨯-⨯==⨯⨯⨯，因为9.687.879>，所以有99.5%的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异． 21．【答案】（1）13；（2）35．【解析】（1）OD ，OF 在OE 上的投影为cos cos OD OD OE OF OF OE 〈〉=〈〉,,11cos602=⨯︒=， ∴当P 在线段FE （除点F ）和线段ED （除点D ）上运动时，OP 在OE 上的投影大于12，∴OP 在OE 上的投影大于12的概率2163p ==．（2，选出的两个点不相邻有9种，（A ，C ），(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，E )， (D ，F )，(C ，F )；六个点中随机选取两个点，总共有15种：（A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )；(93155P x ∴≥==． 22．【答案】（1）0.11235x y e =；（2）见解析．【解析】（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+，设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，()()()10110219.000.10883iii i i x x u u b x x==--==≈-∑∑， 6.050.108 5.5 5.456 5.46c u bx =-≈-⨯=≈，5.46235c a e e =≈≈，∴模型②的回归方程为0.11235x y e =．（2）由表格中的数据，有30407>14607，即101022113040714607()()i i i i y y y y ==>--∑∑，即10102211304071460711()()iii i y y y y ==-<---∑∑，2212R R <，模型①的相关指数21R 小于模型②的22R ，说明回归模型②的拟合效果更好．2021年时，13x =，预测旅游人数为0.1113 1.43235235235 4.2987y e e ⨯==≈⨯=（万人）．。

2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：导数的计算(含答案)

《导数的计算》考查内容：主要涉及导数的运算注意：复合函数求导一般为理科内容一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数()ln 2cos f x x =+的导数为（） A ．1sin 2x - B ．sin x - C ．sin xD ．1sin 2x + 2．函数()sin f x x 的导数为（）A ．()'sin cos f x x x =+B ．()'sin cos f x x x =C ．()'cos f x x =D ．()'cos f x x =3．函数ln x y e x =的导数是（） A ．1ln x x e x ⎛⎫+⎪⎝⎭B ．()ln xx x e +C ．1xe xD ．1ln x x+4．已知函数()sin f x a x b =+的导函数为()f x '，若13f π⎛⎫= ⎪⎭'⎝，则a =（） A ．4B ．2C ．1D ．125．下列求导运算正确的是（）A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ B ．21(log )ln 2x x '=C ．3(3)3log e xx'=D ．2(cos )2sin x x x x '=-6．下列对函数求导运算正确的是（）A ．2sin cos sin x x x x x x '+⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．11ln x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．cos sin 33ππ'⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()sin cos x x '=-7．已知()()231f x x xf '=+，则()1f '=（）A ．1B ．2C ．-1D ．-28．已知函数()2()ln f x xf e x '=+，则()f e =( ) A ．e -B ．eC ．1-D ．19．已知函数33()1xf x x e =++，其导函数为()f x '，则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+-- 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知()0112nn n x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，其中01243n a a a ++⋅⋅⋅+=，则123452345a a a a a ++++=（）A ．405B ．810C ．324D ．64811．函数()y f x =在R 上可导,且()()2'213f x x f x =-⋅-,则()()11f f '+=( ) A ．0B ．1C ．-1D ．不确定12．下列式子不．正确的是 ( ) A ．()23cos 6sin x x x x '+=- B ．()1ln 22ln 2xxx x'-=-C ．()2sin 22cos 2x x '= D ．2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭二．填空题 13．函数sin xy x=的导数为_____________________； 14．()(2019ln )f x x x =+，若0()2020f x '=，则0x =_____．15．已知函数()()()()123f x x x x x =---，则()0f '=________． 16．设函数()f x 满足()()2311f x x f x '=++，则()3f 的值为______.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．求下列函数的导数．（1）2sin y x x =；（2）n 1l y x x =+；（3）cos x xy e=；18．求下列函数的导数（1）3235y x x =+-；（2）sin y x x =+（3）sin x y x=；（4）21sin x y x -=19．求下列函数的导数：（1）sin xy e x = ；（2）y ＝2311x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭；（3）sin cos 22x y x x =-；20．求下列函数的导数（1）2sin 3y x x x =++；（2）2(ln sin )y x x x =+；（3） 221xy x =+ ；（4）41(13)y x =-.21．求下列函数的导数. （1）()ln x f x x =（2）()()239f x x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ （3）()()2ln 51xf x x =+-22．求出下列函数的导数．（1）tan xy e x ＝（2）()3ln 45y x +＝（3）2311y x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（4）y ＝sin nx x（5）()5221x y e x ++﹣＝《导数的计算》解析1.【解析】因为常数的导数为0，cos x 的导数为sin x -，所以()'sin f x x =-.故选：B.2.【解析】由()sin f x x =得，()'''1sin (sin )sin cos cos 2f x x x x x x =⋅+=+=，故选：C3.【解析】因为函数ln xy ex =，所以11ln ln x xx y e x ee x x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭.故选：A 4.【解析】由题意知：()cos f x a x '=.因为13f π⎛⎫= ⎪⎭'⎝，所以cos 13a π=，解得2a =.故选：B.5.【解析】因为2111x x x '⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故A 错；因为21(log )ln 2x x '=，故B 正确；因为(3)3ln3xx '=，故C 错；因为22(cos )2cos sin x x x x x x '=-，故D 错．6.【解析】对于A 选项，2sin cos sin x x x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 选项错误.对于B 选项，1ln ln x x =-，所以()11ln ln x x x '⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，故B 选项正确. 对于C 选项，cos 03π'⎛⎫= ⎪⎝⎭，故C 选项错误.对于D 选项，()sin cos x x '=，故D 选项错误.故选：B7.【解析】函数()()231f x x xf '=+，则()()231f x x f ''=+，令1x =代入上式可得()()1231f f ''=+，解得()11f '=-.故选：C8.【解析】由题得111()2(),()2(),()f x f e f e f e f e x e e '''''=+∴=+∴=-，所以1()2()ln 2()11f e ef e e e e=+=⨯+'-=-.故选：C.9.【解析】因为33()1x f x x e =++，()333()131x xx f x x e x ee --=+-=-++，所以()()3f x f x -+=.又因为223()3(1)xxe f x x e -'=++， ()222233()33(1)()(1)x x x x e e f x x f x x e e ----'-=+-=+'=++ 所以()f x '为偶函数. 所以(2020)(2020)(2019)(2019)3f f f f ''+-+--=. 故选：C10.【解析】令1x =可得()0112nn a a a +=++⋅⋅⋅+，由题意可得()12243n+=，解得5n =，所以()5501512x a a x a x +=++⋅⋅⋅+，两边同时求导得()44125101225x a a x a x ⋅+=++⋅⋅⋅+，令1x =可得()4125101225a a a ⋅+=++⋅⋅⋅+，所以412525103810a a a ++⋅⋅⋅+=⨯=.故选：B.11.【解析】()()2'213f x x f x =-⋅-，得()()'41f x x f '=-，()()()'21411=2,()223f f f f x x x ''∴=-=--，，(1)3,(1)(1)1f f f '=-∴+=-.故选:C12.【解析】对于选项C ，(2sin 2)2cos 2(2)4cos 2x x x x ''=⋅=，C 错误故选C13.【解析】22sin cos sin cos sin x x x x x x xy y x x x'⨯--=∴== 14.【解析】由题意，函数()(2019ln )f x x x =+，可得()2020ln f x x '=+，因为0()2020f x '=，可得02020ln 2020x +=，即0ln 0x =，解得01x =.15.【解析】令()()()()123x x g x x --=-，所以()()f x xg x =，所以()()()'g x g f x x x ='+，所以()()()()()()00102030006g g f '+⋅='---==-.故答案为：6-.16.【解析】由()()2311f x x f x '=++，得''()23(1)f x x f =+，令1x =，则''(1)23(1)f f =+，解得'(1)1f =-，所以()231=-+f x x x ，令3x =，则(3)9911f =-+=，解得(3)1f =，故答案为：117.【解析】（1）y′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x)′＝2xsin x ＋x 2cos x.（2）21111ln (ln )''''⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x x x x（3）2cos (cos )cos ()sin cos e ()x x x x x x x e x e x x y e e ''''-+⎛⎫=⋅==- ⎪⎝⎭18.【解析】（1）236y xx '=+；（2）sin cos y x x x '=+；（3）2cos sin x x xy x -'=；（4）()()222sin 1cos sin x x x x y x---'=.19.【解析】（1）y ′＝(e x )′sinx ＋e x (sinx )′＝e x sinx ＋e x cosx ..（2）因为y ＝x 3＋21x＋1，所以y ′＝3x 2－32x . （3）因为y ＝x －12sinx ，所以y ′＝1－12cosx .20.【解析】（1）因为2sin 3y x xx =++，所以cos 321cos 61y x x x x '=+⨯+=++；（2）因为2(ln sin )y x x x =+，所以()()()22ln sin ln sin y x x x x x x '''=+++，化简可得，()212ln sin cos y x x x x x x ⎛⎫'=+++ ⎪⎝⎭22ln 2sin cos x x x x x x x =+++；（3）因为221xy x =+，由基本初等函数的导数公式和运算法则可得， ()()()()222221211x x x x y x''+-+'=+()()22221221x x xx+-⋅=+()()222211x x-=+；（4）因为41(13)y x =-，所以()()()()4513134133y x x x --''⎡⎤'=--=--⨯-⎣⎦化简可得，()51213y x -'=-.21.【解析】（1）()'''22(ln )ln ()1ln x x x x xf x x x ⋅-⋅-==；（2）()()''239f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭()'239x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭2222233272()(9)(1)2639x x x x x x x x =-+++=-++++=222736x x++；（3）()()''12ln 25151xf x x x =+⨯-=-52ln 251x x +-. 22.【解析】（1）由tan xy ex =，则()''2'tan tan t cos ()an xx xxe y e x e x e x x+==+，即'2tan cos x x ey e x x=+（2）由3ln 45y x +=（），则'1245y x =+（3）由2323111y x x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭﹣，则'2332x y x =-，（4）由sin n x y x =，则'1cos sin n x x n x y x +-=，（5）由()5221x y e x +=+﹣，则()4'29221()x y x x e +=+﹣﹣．。

2021届高三高考数学模拟测试卷(五)【含答案】

2021届高三高考数学模拟测试卷（五）【含答案】第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{0,1}M =，{|01}N x x =<≤，则M N ⋃=（） A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1) D ．(,1]-∞【答案】A 【解析】【分析】利用并集的定义求解即可．【详解】∵集合{0,1}M =，集合{|01}N x x =<≤，∴{|01}M N x x ⋃=≤≤，即M N ⋃=[0,1]. 故选：A 【点睛】本题考查了并集的定义与计算问题，属于基础题． 2．命题:p x ∀∈R ，220x x ->的否定为（）． A ．x ∀∈R ，220x x -≤ B ．x ∀∈R ，220x x -< C ．x ∃∈R ，220x x -> D ．x ∃∈R ，220x x -≤【答案】D 【解析】命题p 的否定，将“x ∀∈R ”变成“x ∃∈R ”，将“220x x ->” 变成“220x x -≤”．故选D ．点睛：(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“,()x M p x ∀∈”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明()p x 成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个0x x =，使0()p x 成立即可，否则就是假命题. 3．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A ．34±B ．43C ．34-D ．43-【答案】C 【解析】【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果. 【详解】若复数34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数，则3sin 05θ-=且4cos 05θ-≠，所以3sin 5θ=，4cos 5θ=-，所以3tan 4θ=-，故tan()θ-π=3tan 4θ=-．故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.4．已知变量x ，y 满足{2x −y ≤0x −2y +3≥0x ≥0 ，则z =log 4(2x +y +4)的最大值为（）A ．2B ．32C ．23D ．1【答案】B 【解析】试题分析：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，可以求得2x +y +4在点(1,2)处取得最大值8，所以z 的最大值为log 48=32，故选B ．考点：线性规划．5．设0a >，0b >，2lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（） A ．22B ．3 C ．4D ．9【答案】D 【解析】∵2lg4a 与lg2b 的等差中项， ∴2lg 4lg 2a b =+，即2lg 2lg 42lg 2aba b+=⋅=，∴21a b +=．所以212122()(2)55249b a a b a b a b a b+=++=++≥+= 当且仅当22b a a b =即13a b ==时取等号， ∴21a b+的最小值为9． 6．《中国好歌曲》的五位评委给一位歌手给出的评分分别是：118x =，219x =，320x =，421x =，522x =，现将这五个数据依次输入如图程序框进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是( )A ．2S =，即5个数据的方差为2B ．2S =，即5个数据的标准差为2C ．10S =，即5个数据的方差为10D ．10S =，即5个数据的标准差为10【答案】A 【解析】【分析】算法的功能是求()()()22212202020i S x x x =-+-+⋯+-的值，根据条件确定跳出循环的i 值，计算输出S 的值．【详解】由程序框图知：算法的功能是求()()()22212202020i S x x x =-+-+⋯+-的值， ∵跳出循环的i 值为5， ∴输出S =()()()2221[1820192020205⨯-+-+- ()()2221202220]+-+-= ()14101425⨯++++=.故选A. 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于基础题． 7．十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B ，连接AB ，所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（） A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】C 【解析】【分析】由题意画出图形，求出满足条件的B 的位置，再由测度比是弧长比得答案．【详解】解：设“弦AB 的长超过圆内接正三角形边长”为事件M ，以点A 为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD ，则要满足题意点B 只能落在劣弧CD 上，又圆内接正三角形ACD 恰好将圆周3等分，故1()3P M =故选：C ．【点睛】本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB 的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．8．椭圆221169x y +=的两个焦点为1F ，2F ，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若6AB =，则11AF BF +的值为( )A ．10B ．8C ．16D ．12【答案】A 【解析】【分析】由椭圆的定义可得：12122AF AF BF BF a +=+=，即可得出．【详解】由椭圆的定义可得：121228AF AF BF BF a +=+==，()()1122221616610AF BF a AF a BF AB ∴+=-+-=-=-=，故选A ．【点睛】本题考查了椭圆的定义及其标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位：cm ），可知此几何体的体积是（）A ．324cmB ．364cm 3C ．3(62522)cm +D ．3(248582)cm +【答案】B 【解析】由三视图可知，该几何体是如下图所示的四棱锥，故体积为16444433⨯⨯⨯=3cm .故选B.10．已知函数()sin f x x =，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标扩大为原来的3倍，再把图象上所有的点向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的周期可以为（） A ．2πB ．πC ．32π D ．2π【答案】B 【解析】【分析】先利用三角函数图象变换规律得出函数()y g x =的解析式，然后由绝对值变换可得出函数()y g x =的最小正周期.【详解】()sin f x x =，将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐示缩短到原来的12，可得到函数sin 2y x =的图象，再将所得函数图象上所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数3sin 2y x=的图象，再把所得图象向上平移1个単位长度，得到()3sin 21g x x =+，由绝对值变换可知，函数()y g x =的最小正周期为22T ππ==，故选：B. 【点睛】本题考查三角函数变换，同时也考查三角函数周期的求解，解题的关键就是根据图象变换的每一步写出所得函数的解析式，考查推理能力，属于中等题.11．过曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点1F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为,M 延长1F M 交曲线23:2(0)C y px p =>于点,N 其中13,C C 有一个共同的焦点，若10,MF MN +=则曲线1C 的离心率为（）． A 51+ B 5C 21+ D 2【答案】A 【解析】【分析】设双曲线的右焦点的坐标为()2,0F c ，利用O 为12F F 的中点，M 为1F N 的中点，可得OM 为12NF F 的中位线，从而可求1NF ，再设()x,y N ，过点1F 作x 轴的垂线，由勾股定理得出关于,a c 的关系式，最后即可求得离心率．【详解】设双曲线的右焦点为2F ，则2F 的坐标为(),0c ．因为曲线1C 与3C 有一个共同的焦点，所以曲线3C 的方程为24y cx =．因为10MF MN +=，所以1MF MN NM =-=，所以M 为1F N 的中点，因为O 为12F F 的中点，所以OM 为12NF F 的中位线，所以OM ∥2NF ．因为|OM |=a ，所以22NF a =．又21NF NF ⊥，122F F c =，所以()()221222NF c a b =-=．设N (x ,y )，则由抛物线的定义可得2x c a +=，所以2x a c =-．过点F 1作x 轴的垂线，点N 到该垂线的距离为2a ，在1RtF PN 中，由勾股定理得22211||+||||F P PN F N =，即22244y a b +=，所以2224(2)44()c a c a c a -+=-，整理得210e e --=，解得512e =．故选A ．【点睛】解答本题时注意以下几点：（1）求双曲线的离心率时，可根据题中给出的条件得到关于,,a b c 的关系式，再结合222a b c +=得到,a c 间的关系或关于离心率e 的方程（或不等式），由此可得离心率的取值（或范围）．（2）本题中涉及的知识较多，解题时注意将题中给出的关系进行转化，同时要注意圆锥曲线定义在解题中的应用．12．函数()f x 满足()()1,,2x e f x f x x x ⎡⎫=+∈+∞⎢⎣'⎪⎭， ()1f e =-，若存在[]2,1a ∈-，使得31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭成立，则m 的取值（）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)1,+∞ D ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】由题意设()()x f x g x e =，则()()1()xf x f xg x e x-'='=，所以()ln g x x c =+（c 为常数）．∵()1f e =-，∴(1)(1)1f g c e==-=，∴()()(1ln )x x f x g x e e x =⋅=-+， ∴1()(ln 1)xf x e x x =+-'．令1()ln 1h x x x =+-，则22111()x h x x x x-=-=，故当112x <<时，()0,()h x h x '<单调递减；当1x >时，()0,()h x h x '>单调递增．∴()(1)0h x h ≥=，从而当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x '≥，∴()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增．设[]3()32,2,1a a a e a ϕ=---∈-，则2()333(1)(1)a a a a ϕ'=-=+-，故()a ϕ在(2,1)--上单调递增，在(1,1)-上单调递减，所以max ()(1)a e ϕϕ=-=-． ∴不等式31232f a a e m ⎛⎫-≤--- ⎪⎝⎭等价于12(1)f e f m ⎛⎫-≤-= ⎪⎝⎭，∴1211122m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得213m ≤≤，故m 的取值范围为2[,1]3．选A ．点睛：本题考查用函数的单调性解不等式，在解答过程中首先要根据含有导函数的条件构造函数()()x f x g x e =，并进一步求得函数()f x 的解析式，从而得到函数()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的单调性．然后再根据条件中的能成立将原不等式转化为12(1)f f m ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，最后根据函数的单调性将函数不等式化为一般不等式求解即可．第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2021《单元滚动检测卷》高考复习数学(理)(北师大全国)精练二函数概念与基本初等函数Ⅰ

高三单元滚动检测卷·数学考生留意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页。

2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上。

3．本次考试时间120分钟，满分150分。

单元检测二函数概念与基本初等函数Ⅰ第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2021·重庆)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A ．[－3,1]B ．(－3,1)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)2．(2021·北京)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x 3．(2021·慈溪联考)函数y ＝x 2lg x －2x ＋2的图像( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于y 轴对称4．(2021·江西省师大附中联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <1，f (x －1)，x ≥1，则f (log 25)等于( )A.516B.58C.54D.525．(2021·山东)若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)6．下列各式中错误的是( ) A ．0.83>0.73B ．log 0.50.4>log 0.50.6C ．0.75－0.1<0.750.1 D ．lg 1.6>lg 1.47．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，(12)x －1，x <2满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，138]C ．(－∞，2]D ．[138，2)8．(2021·山东19所名校联考)函数y ＝x ln|x ||x |的图像可能是( )9．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,4]时，f (x )＝x －2，则( ) A ．f (sin 1)<f (cos 1) B ．f (sin π3)>f (cos π3)C ．f (sin 12)<f (cos 12)D ．f (sin 32)>f (cos 32)10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ＋a ，x <0，f (x －1)，x ≥0，且函数y ＝f (x )－x 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[－1,0)C ．[－1，＋∞)D ．[－2，＋∞)11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是( )A ．(0,1] B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(0,2]D ．[0,1)12．(2021·蚌埠模拟)已知函数f (x ) (x ∈R )是以4为周期的奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln(x 2－x ＋b )．若函数f (x )在区间[－2,2]上有5个零点，则实数b 的取值范围是( ) A ．－1<b ≤1 B.14≤b ≤54C ．－1<b <1或b ＝54D.14<b ≤1或b ＝54 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 015)＋f (2 016)的值为________．14．(2021·湖南浏阳一中联考)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2，若对任意x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥f (3x ＋1)恒成立，则实数a 的取值范围是________．15．卡车以x 千米/小时的速度匀速行驶130千米路程，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时42元．(1)这次行车总费用y 关于x 的表达式为___________________________________； (2)当x ＝________时，这次行车总费用最低．16．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝(12)1－x ，则给出下列结论： ①2是f (x )的周期；②f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增； ③f (x )的最大值是1，最小值是0； ④当x ∈(3,4)时，f (x )＝(12)x －3.其中正确结论的序号是________．(写出全部正确结论的序号)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3·2－x . (1)当x <0时，求f (x )的解析式； (2)若f (x )＝12，求x 的值．18．(12分)已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．19．(12分)(2021·赣州市十二县(市)联考)已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f (x )＝g (x )x .(1)求a 、b 的值；(2)若不等式f (2x )－k ·2x ≥0在x ∈[－1,1]上有解，求实数k 的取值范围．20．(12分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )万元，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不少于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部销售完． (1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？21．(12分)(2021·余姚联考)已知函数f (x )＝x 2＋a |x －1|，a 为常数． (1)当a ＝2时，求函数f (x )在[0,2]上的最小值和最大值；(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．22．(12分)(2021·北京第六十六中学上学期期中)已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)<0，且f(1)＝－2.(1)推断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)在区间[－3,3]上的最大值；(3)解关于x的不等式f(ax2)－2f(x)<f(ax)＋4.答案解析1．D[需满足x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．]2．B[由f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，可知A为奇函数，B为偶函数，C定义域不关于原点对称，D 为非奇非偶函数．]3．B[∵y＝x2lgx－2x＋2，∴其定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，∴f(－x)＝x2lgx＋2x－2＝－x2lgx－2x＋2＝－f(x)，∴函数为奇函数，∴函数的图像关于原点对称，故选B.]4．C[∵2<log25<3，∴f(log25)＝2log25－2＝2log25·2－2＝54，故选C.]5．C[∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即2－x＋12－x－a＝－2x＋12x－a，整理得(1－a)(2x＋1)＝0，∴a＝1，∴f(x)＞3即为2x＋12x－1＞3，化简得(2x－2)(2x－1)＜0，∴1＜2x＜2，∴0＜x＜1.]6．C[对于A，构造幂函数y＝x3，为增函数，故A对；对于B、D，构造对数函数y＝log0.5x为减函数，y＝lg x为增函数，B、D都正确；对于C，构造指数函数y＝0.75x，为减函数，故C错．]7．B[由题意知函数f(x)是R上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a－2<0，(a－2)×2≤(12)2－1，由此解得a≤138，即实数a 的取值范围为(－∞，138]，故选B.]8．B [函数y ＝x ln|x ||x |的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域关于原点对称．当x >0时，y ＝x ln|x ||x |＝x ln xx ＝lnx ；当x <0时，y ＝x ln|x ||x |＝x ln (－x )－x＝－ln(－x )，此时函数图像与当x >0时函数y ＝ln x 的图像关于原点对称．故选B.]9．A [由f (x )＝f (x ＋2)得到周期为2，当x ∈[3,4]时，f (x )＝x －2为增函数，且是定义在R 上的偶函数，则f (x )在[0,1]上为减函数，由于sin 1>cos 1，所以 f (sin 1)<f (cos 1)．故选A.]10．C [当x ≥0时，f (x －1)＝f (x )，此时函数f (x )是周期为1的周期函数；当x <0时，f (x )＝－x 2－2x ＋a ＝－(x ＋1)2＋1＋a ，对称轴为x ＝－1，顶点为(－1,1＋a )，若a ≥0，则y ＝f (x )－x 在(－∞，0)上有1个零点，在[0，＋∞)上有2个零点，满足题意；若－1<a <0，则y ＝f (x )－x 在(－∞，－1]，(－1,0)，[0，＋∞)上各有1个零点，满足题意；若a ＝－1，则y ＝f (x )－x 在(－∞，－1]，(－1,0)上各有1个零点，x ＝0也是零点，在(0，＋∞)上无零点，满足题意；若a <－1，则至多有2个零点，不满足题意．所以实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．]11．D [g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．]12．D [本题可以接受排解法．若b ＝0，则f (x )＝ln(x 2－x )，x ∈(0,2)，当x ＝12∈(0,2)时，f (x )无意义，故b ≠0，所以排解A ，C ；若b ＝14，则f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫x 2－x ＋14，x ∈(0,2)，当x ＝12∈(0,2)时，f (x )无意义，故b ≠14，所以排解B ，所以选D.] 13．－1解析由于f (x )是奇函数，且周期为2，所以f (－2 015)＋f (2 016)＝－f (2 015)＋f (2 016)＝－f (1)＋f (0)，又当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，所以f (－2 015)＋f (2 016)＝－1＋0＝－1. 14．(－∞，－5]解析由于当x ≥0时，f (x )＝x 2，所以f (x )是[0，＋∞)上的增函数，又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )是R 上的增函数，所以若对任意x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥f (3x ＋1)恒成立，即对任意x ∈[a ，a ＋2]，x ＋a ≥3x ＋1⇒a ≥2x ＋1.由于函数2x ＋1是[a ，a ＋2]上的增函数，所以2x ＋1有最大值2a ＋5，所以a ≥2a ＋5⇒a ≤－5.15．(1)y ＝7 020x ＋136x ，x ∈[50,100] (2)1810解析 (1)由题意知行车所用时间t ＝130x 小时，则这次行车总费用y 关于x 的表达式为y ＝130x ×6×(2＋x 2360)＋42×130x ，x ∈[50,100]，即y ＝7 020x ＋136x ，x ∈[50,100]． (2)y ＝7 020x ＋136x ≥7810，当且仅当7 020x ＝136x ，即x ＝1810时等号成立，故当x ＝1810时，这次行车总费用最低． 16．①②④解析 ①∵对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)－1]＝f (x )，即2是f (x )的周期，①正确；②∵当x ∈[0,1]时，f (x )＝(12)1－x ＝2x －1为增函数，又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (x )在区间[－1,0]上单调递减，又其周期T ＝2，∴f (x )在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调递增，②正确；③由②可知，f (x )max ＝f (1)＝21－1＝20＝1，f (x )min ＝f (0)＝20－1＝12，③错误；④当x ∈(3,4)时，4－x ∈(0,1)，∴f (4－x )＝(12)1－(4－x )＝(12)x －3，又f (x )是周期为2的偶函数，∴f (4－x )＝f (x )＝(12)x －3，④正确．综上所述，正确结论的序号是①②④.17．解 (1)当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x －3·2x ，又f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝2－x －3·2x ，即当x <0时，f (x )＝－2－x ＋3·2x .(2)当x <0时，由－2－x ＋3·2x ＝12，得6·22x －2x －2＝0，解得2x ＝23或2x ＝－12(舍去)，∴x ＝1－log 23；当x >0时，由2x －3·2－x ＝12，得2·22x －2x －6＝0，解得2x ＝2或2x ＝－32(舍去)，∴x ＝1.综上，x ＝1－log 23或x ＝1.18．解 (1)由于f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，函数f (x )的定义域为(－1,3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1,1)上递增，在(1,3)上递减．又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，递减区间是(1,3)．(2)假设存在实数a ，使f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，即⎩⎨⎧a >0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值为0.19．解 (1)g (x )＝a (x －1)2＋1＋b －a ，由于a >0，所以g (x )在区间[2,3]上是增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)＝1，g (3)＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.(2)由已知可得f (x )＝x ＋1x－2，所以f (2x )－k ·2x ≥0可化为2x ＋12x －2≥k ·2x ，化为1＋(12x )2－2·12x ≥k ，令t ＝12x ，则k ≤t 2－2t ＋1，由于x ∈[－1,1]，故t ∈[12，2]，记h (t )＝t 2－2t ＋1，由于t ∈[12，2]，故h (t )max ＝1，所以k 的取值范围是(－∞，1]． 20．解 (1)当0<x <80，x ∈N ＋时， L (x )＝500×1 000x 10 000－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80，x ∈N ＋时，L (x )＝500×1 000x 10 000－51x －10 000x ＋1 450－250＝1 200－(x ＋10 000x)，∴L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250(0<x <80，x ∈N ＋)，1 200－(x ＋10 000x)(x ≥80，x ∈N ＋).(2)当0<x <80，x ∈N ＋时， L (x )＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950.当x ≥80，x ∈N ＋时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x )≤1 200－2x ·10 000x＝1 200－200＝1 000， ∴当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值L (100)＝1 000>950.综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．21．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －2，x ≥1，x 2－2x ＋2，x ≤1＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2－3，x ≥1，(x －1)2＋1，x <1，所以当x ∈[1,2]时，[f (x )]max ＝6，[f (x )]min ＝1，当x ∈[0,1]时，[f (x )]max ＝2，[f (x )]min ＝1，所以f (x )在[0,2]上的最大值为6，最小值为1.(2)由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －a ，x ≥1，x 2－ax ＋a ，x <1，＝⎩⎨⎧(x ＋a 2)2－a 24－a ，x ≥1，(x －a 2)2－a24＋a ，x <1，而f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以当x ≥1时，f (x )必单调递增，得－a2≤1即a ≥－2，当0≤x <1时，f (x )亦必单调递增，得a2≤0即a ≤0，且12＋a －a ≥12－a ＋a 恒成立．即a 的取值范围是{a |－2≤a ≤0}． 22．解 (1)取x ＝y ＝0，则f (0＋0)＝2f (0)， ∴f (0)＝0.取y ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，∴f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 恒成立， ∴函数f (x )为奇函数．(2)任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1<x 2，则x 2－x 1>0.∴f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0， ∴f (x 2)<－f (－x 1)．又∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)>f (x 2)． ∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．∴对任意x ∈[－3,3]，恒有f (x )≤f (－3)． ∵f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝3f (1) ＝－2×3＝－6， ∴f (－3)＝－f (3)＝6， ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为6. (3)∵f (x )为奇函数，∴整理原不等式得f (ax 2)＋f (－2x )<f (ax )＋f (－2)，进一步可得f (ax 2－2x )<f (ax －2)．∵f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，∴ax 2－2x >ax －2，即(ax －2)(x －1)>0.∴当a ＝0时，x ∈(－∞，1)；当a ＝2时，x ∈{x |x ≠1且x ∈R }；当a <0时，x ∈{x |2a <x <1}；当0<a <2时，x ∈{x |x >2a 或x <1}；当a >2时，x ∈{x |x <2a 或x >1}．综上所述，当a ＝0时，x ∈(－∞，1)；当a ＝2时，x ∈{x |x ≠1且x ∈R }；当a<0时，x∈{x|2a<x<1}；或x<1}；当0<a<2时，x∈{x|x>2a当a>2时，x∈{x|x<2或x>1}．a。

百师联盟2021届高三上学期一轮复习联考(三)-全国卷Ⅰ理科数学试卷及参考答案

百师联盟2021届高三一轮复习联考（三）全国卷I理科数学试卷（考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合P ＝{x|x 2－1>0}，Q ＝{x|x －2≥0}，则P ∪Q 为（）A.{x|x ≥2}B.{x|x<－1或x ≥2}C.{x|x<－1或x>1}D.R2.已知复数z ＝21i i，则z ·z 的值（） A.0 B.2i C.2 D.13.cos50°cos10°－sin50°sin170°＝（）A.cos40°B.sin40°C.12D.24.已知m 2≥3，则直线y ＝mx 与圆x 2＋y 2＝1的位置关系为（）A.相切B.相离C.相交或相切D.相交5.函数f(x)＝xe x的图象在点(1，f(1))处的切线方程为（） A.y ＝x ＋e －1 B.y ＝e C.y ＝x －e －1 D.x ＝e6.将函数f(x)＝sinx 的图象上各点横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向左平移3π个单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为（） A.g(x)＝sin(12x ＋3π) B.g(x)＝sin(12x ＋23π) C.g(x)＝sin(2x ＋3π) D.g(x)＝sin(2x ＋23π) 7.已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则(3＋1a )(1＋2b)的最小值为（） A.14＋46 B.25 C.24 D.1238.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a 3＝52，S 4＝14，则当S n 取得最大值时n 的值为（） A.4或5 B.3或4 C.4 D.39.已知α∈(2π，π)，且cos(α－4π)＝35，则tan α＝（） A.－7 B.－17 C.－7或－17 D.－7或17 10.如图所示，某旅游景区的B ，C 景点相距2km ，测得观光塔AD 的塔底D 在景点B 的北偏东45°，在景点C 的北偏西60°方向上，在景点B 处测得塔顶A 的仰角为45°，现有游客甲从景点B 沿直线去往景点C ，则沿途中观察塔顶A 的最大仰角的正切值为(塔底大小和游客身高忽略不计)（）2 B.22C.1D.32 11.设有穷数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝12n s s s n++⋅⋅⋅+，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“凯森和”，已知数列a 1，a 2，…，a 2020的“凯森和”为4042，那么数列－1，a 1，a 2，…，a 2020的“凯森和”为（）A.4036B.4037C.4038D.403912.已知a，b满足0<a<b<e，则a b＋ln aa与b a＋ln bb的大小关系为（）A.a b＋ln aa>b a＋ln bbB.a b＋ln aa＝b a＋ln bbC.a b＋ln aa<b a＋ln bbD.不能确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届高三数学一轮复习第十二单元训练卷概率与统计(理科) A卷(详解)

① ；
② ；
③事件与事件相互独立；
④ 是两两互斥的事件；
⑤ 的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）甲、乙两人进行围棋比赛，比赛要求双方下满五盘棋，开始时甲每盘棋赢的概率为，由于心态不稳，甲一旦输一盘棋，他随后每盘棋赢的概率就变为．假设比赛没有和棋，且已知前两盘棋都是甲赢．
A． B． C． D．
6．某外卖企业两位员工今年月某天日派送外卖量的数据（单位：件），如茎叶图所示针对这天的数据，下面说法错误的是（）
A．阿朱的日派送量的众数为 B．阿紫的日派送量的中位数为
C．阿朱的日派送量的中位数为 D．阿朱的日派送外卖量更稳定
7．已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则（）
根据以上数据，绘制如图所示的散点图．
观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合．
（1）根据散点图判断，与（，均为大于零的常数）哪一个适宜作为非原料总成本关于生产该产品的数量的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中的数据，建立关于的回归方程；
【解析】（1）法1：记抽取红球的事件为，抽取白球的事件为，
且每次取到红球的概率均为，每次取到白球的概率均为．
则至少抽到个红球的概率表示为：
．
（2）由题意，随机变量可能的取值为，
，，
，，
所以随机变量的分布表为：
从中任取把能将该锁打开包含的基本事件个数，
∴从中任取把能将该锁打开的概率，故选A．

2021届高三数学滚动测试题与参考答案20211005

221n2 2*2021 届高三数学滚动测试题(2021.10.05)C.D .若y =f （x），y =g（x ）均为奇函数，则y=f（g（x））为奇函数一、单项选择题（本大题共8 小题，共40.0 分）1. 已知复数z 满足：i ⋅z =a+i ，其中i 是虚数单位，则“ -1<a <0”是“在复平面内，复数z 对应的点位于第一象限”的（）8. 设F1，F2 分别是椭圆C：x+y2=的左，右焦点，过点F1 的直线交椭圆C 于M，N 两点，若a2 b4A.充要条件B. 充分不必要条件MF1= 3F1N ，且cos ∠MNF2 =5，则椭圆C 的离心率为（）C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件2.已知lg a＋lg b＝2，则a＋b 的最小值为（）A.22B. 33C. 2 -12D. 2 -13A.2B. 4C. 10D. 20 二、多项选择题（本大题共 4 小题，共20.0 分）9. 在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，以下结论中正确的有：（）3.已知函数f（x）=x2，g（x）=ln x，若有f（a）=g（b），则b 的取值范围是（）A. [0，+∞）B. （0，+∞）C. [1，+∞）D. （1，+∞）4.掷铁饼是一项体育竞技活动．如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼的瞬间，张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”．经测量此时两手掌心之间的弧长是5π米，“弓”所在圆的半径为 1.25 米，估算这位掷铁饼运动员两手掌心之间的距8离约为（参考数据：≈1.414，3≈1.732 ）( )A.若sin A＞sin B，则A＞B；B.若sin2A＝sin2B，则△ABC 一定为等腰三角形；C.若cos2 A +cos2 B -c os2 C =1，则△ABC 为直角三角形；D.若△ABC 为锐角三角形，则sin A<cos B．10. 数列的前项和为，若，a n+1 = 2S (n ∈N ) ，则有A. 1.012 米B. 1.768 米C. 2.043 米D. 2.945 米5.在边长为4 的等边△ABC 中，M，N 分别为BC，AC 的中点，则AM ⋅MN =（）A.SnC. a=3n-1=2⋅3n-1B. 为等比数列D.A. -6B. 6C. 0D. -32 6.若实数x，y 满足21- y -x +1 = 0 ，则y 关于x 的图象大致是（）n11.由函数f（x）＝sin x 的图象得到函数g(x) = cos(π31-2x) 的图象的过程中，下列表述正确的是（）πA.先将f (x) 的图象上各点横坐标缩短到原来的2（纵坐标不变），再向左平移12个单位长度B.先将f (x)1 π个单位长度A. B.C.先将f (x)的图象上各点横坐标缩短到原来的2（纵坐标不变），再向左平移6π 1的图象向左平移6个单位长度，再将图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）2D.先将f (x) 的图象向左平移π1C. D.12个单位长度，再将图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）12.已知A, B,C 三点均在球的表面上，AB=BC =C A =2 ，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的1，37.若函数y=f（x），y=g（x）的定义域均为R，且都不恒为零，则（）A.若y=f（g（x））为偶函数，则y=g（x）为偶函数B.若y=f（g（x））为周期函数，则y=g（x）为周期函数则下列结论正确的是（）A. 球O 的半径为32C. 球O 的内接正方体的棱长为B. 球O 的表面积为6πD. 球O 的外切正方体的棱长为266n n n n n a三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知向量a =(2,1),b = (-1, 2) ，则向量b 在向量c = a - b方向上的投影为．14. 已知等差数列{a n }的前n 项和为 S n ，且 S 13＝6，则 3a 9-2a 10＝．20. 已知向量a = (2 cos x ,1), b = (2sin(x + π), -1) ，设函数 f (x ) = a ⋅b .6（1）求函数 f (x ) 在 x ∈(-3,3) 上的单调递增区间;（2）若sin 2 x + af (x + π ) +1 > 6 cos 4 x 对任意 x ∈ (- π , π) 恒成立，求实数 a 的取值范围.15. 某食品的保鲜时间 y (单位:小时)与储藏温度x (单位:℃)满足函数关系 y = e kx +b 为自然对 64 4数的底数,k ,b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192 小时,在22℃的保鲜时间是48 小时,则该食品在33℃的保鲜时间是小时.16. 定义域为 R 的可导函数 y = f (x ) 的导函数是 f '(x ) ，且满足 f (x ) >1- f '(x )，f (0) = 0 ，则不等式e xf (x ) > e x -1 的解集为 _．四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）已知数列{a }满足：a =1， a = 6a n - 9 （nN *）21. 某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形 ABC 的三个顶点处，已知 AB =AC =6km ，现计划在17.1n 1 ⎧ 1 ⎫ n +1 ∈ nBC 边的高 AO 上一点 P 处建造一个变电站．记 P 到三个村庄的距离之和为 y ．（）求证：数列⎨ a - 3⎬ 是等差数列；(1) 设∠PBO =α，把 y 表示成 α 的函数关系式； ⎩ n⎭（2）求数列{lg a n }的前 999 项和．18. 已知数列{a }的前n 项和为S ，且S =2n 2+ n，，数列{b }满足a （1）求；（2）求数的前项．19.在△ABC 中，D 为 BC 上一点，AD =CD ，BA =7，BC =8.= 4 l ogb + 3，．22.已知函数 f （x ）=e x ，g （x ）=kx +1，且直线 y =g （x ）和函数 y =f （x ）的图象相切．（1）求实数 k 的值；(1)若 B =60°，求△ABC 外接圆的半径 R ； (2)设∠CAB - ∠ACB = θ ，若sin θ =3 3，求△ABC 面积.14（2）设 h (x ) = f (x ) - g (x ) ，若不等式 (m - x )h '(x ) < x +1 对任意 x ∈（0，+∞）恒成立,（m ∈Z ， h '(x ) 为 h (x ) 的导函数），求 m 的最大值.n 21.【答案】B2021 届高三数学滚动测试题答案和解析若在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限，则a＜0，则“-1＜a＜0”是“在复平面内，复数z 对应的点位于第一象限”的充分不必要条件，故选：B．2.【答案】D【解析】解：因为lg a＋lg b＝2，即，所以可得ab=100，且a>0,b>0,所以a＋b ，当且仅当a=b=10 时，等号成立，所以(a＋b)min=20.故答案为D.3.【答案】C【解析】解：∵f（a）=a2≥0，∴g（b）=lg b≥0，∴b≥1；故选：C．4.【答案】B【解析】解：根据题意作出下图，其中OC⊥AB 于D，则弧的长为米所以（米），故选B.5.【答案】A【解析】解：由图可知|=||=4，=8，（=，【解析】解：由21-y-|x+1|＝0，可得y＝1-log2|x+1|，通过对数函数的图象与性质可知，只有图象 A 大致符合．故选A.7.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，若y=f（g（x））为偶函数，则可能g（x）为奇函数，而f（x）为偶函数，如f（x）=cos x，g（x）=sin x，A 错误；对于D，若y=f（x），y=g（x）均为奇函数，对于y=f（g（x）），有f（g（-x））=f（-g（x））=-f （g（x）），为奇函数，D 正确；故选：D．8.【答案】A【解析】解：设|NF1|=m，因，所以|MF1|=3m，由椭圆的定义可得|MF2|=2a-3m，|NF2|=2a-m，在△MNF2 中，由余弦定理可得9.【答案】AC【解析】解：选项A：中，若sin A＞sin B，则a＞b，即,则A 正确,选项B:.若s in2A＝s in2B，则,故三角形不一定为等腰三角形,故B 错误.选项C:中，由可得：可得，由正弦定理可得,故为直角三角形，故C 正确.选项D:.为锐角三角形,，，即sin A>cos B,故D 错误.故选AC.10.【答案】ABD【解析】解，∴当n≥2时，，两式相减得，，即，当n=1 时，∴数从第二项起为公比为3 的等比数列，∴ ,故C 错误，D 正确，由当n≥2时，，所以，又满足上式，所为等比数列；故A，B 正确，故选ABD.11.【答案】AC【解析】解：g(x)= -2x)= )= )，方式一：先将x 的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变) ，再向左平移个单位长度；方式二：先将x 的图象向左平个单位长度，再将横坐标缩短到原来(纵坐标不变)，根据选项A，C 正确. 故选AC.12.【答案】BD【解析】解：设球的半径为，△的外接圆圆心为，半径为.可，因为球心到平面的距离等于球半径，所，，，故A 不正确；所以球的表面，故B 正确；球的内接正方体的棱长满，解得，故C 不正确；球的外切正方体的棱长满足，故D 正确.故选BD.13.14.【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d．由S13＝6，得13a7＝6，解，所．故答案.15.【答案】24【解析】解：由题意得=, ,当x=33 时= = 192= 192=24(小时).故答案为24.16.【答案】【解析】解：设,则,∵f'(x)>1-f(x),∴f(x)+f'(x)-1>0,∴g'(x)>0,∴y=g(x)在定义域上单调递增，∵,∴g(x)>-1,又=-1,∴g(x)>g(0),∴x>0,∴不等式的解集，故答案为.17.【答案】解：（1）数列{a n}满足，故=，所以（常数），故是为首项为公差的等差数列．………………5分（2）由（1）得，解之得：；所以=lg3+lg（n+1）-lg n．………………7分则：T n=（lg3+lg2-lg1）+（lg3+lg3-lg2）+…+（lg3+lg（n+1）-lg n），=n lg3+lg（n+1），T999=3+999lg3 ………………10 分18.【答案】解：（1）因，当n＝1 时，当时，所，，，得，；………………6分（2）由（1），，所，，两式相减得，所，．………………12分解得；，解得；∴△ABC 外接圆的半径R 为…………4分（2）由AD=CD，所以∠DCA=∠DAC，所以θ=∠CAB-∠ACB=∠BAD；由，；…………6分设BD=x，则DC=8-x，DA=8-x，在△ABD ，由余弦定理，解得x=3；所以BD=3，DA=5；…………8分由正弦定，，解；…………10分所，即△ABC 的面积为10 ．…………12分20.【答案】解：（1）由题意，可得，= 2x+2 x-1= 2x+ 2x=2 )由+2k 2x+ +2k ,k Z 得+k +k ,k Z又x (-3,3), f(x)在x (-3,3)上的单调增区间为],[- , ,3)………………6分(2)由题意(- , ),f(x+ (2x+ 2x >0原不等式等价于a 2 2x>6 x- x-1,即恒成立………………8分令== x+1( x ) ………………10分因为x (- , ),所以x=0, x=1 时,g(x)的最大值. 因此………………12分21.【答案】解：（1）在中，所以，,由题意知.………………2分所以点P 到A,B,C 的距离之和为故所求函数关系式..………………6分（2）由（1），..………………7分令,，，从...………………8分当时；时．所以时取得最小值，………………10 分此（km），即点P 在OA 上距O km 处．答：变电站建于距O km 处时，它到三个小区的距离之和最小．………………12分22.【答案】解：（1）设切点的坐标为（t，e t），由f（x）=e x 求导得f′（x）=e x，∴切线方程为y-e t=e t（x-t），即y=e t x+（1-t）e t，由已知y=e t x+（1-t）e t 和y=kx+1 为同一条直线，∴e t=k，（1-t）e t=1，令r（x）=（1-x）e x，则r′（x）=-xe x，当x∈（-∞，0）时，r′（x）＞0，r（x）单调递增，当x∈（0，+∞）时，r′（x）＜0，r（x）单调递减，∴r（x）≤r（0）=1，当且仅当x=0 时等号成立，∴t=0，k=1，..………………6 分（2）由于k=1，∴（m-x）h′（x）＜x+1⇔（m-x）（e x-1）＜x+1，∵x＞0，∴e x-1＞0，∴m＜+x，令+x，∴m＜φ（x）min，φ′（x）=，令t（x）=e x-x-2，∵x＞0，∴t′（x）=e x-1＞0，∴t（x）在（0，+∞）单调递增，且t（1）＜0，t（2）＞0，∴t（x）在（0，+∞）上存在唯一零点，设此零点为x0，且x0∈（1，2），当x∈（0，x0）时，φ′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，φ′（x）＞0，∴φ（x）min=φ（x0）=+x0，由=x0+2，∴φ（x0）=x0+1∈（2，3），又∵m＜φ（x0），m∈Z，∴m 的最大值为2．..………………12 分。

2021届高考数学(文科全国通用)一轮总复习阶段滚动月考卷(一)集合与常用逻辑用语、函数与导数

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阶段滚动月考卷(一)集合与常用规律用语、函数与导数(时间:120分钟分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合P={x|x2-x-2≥0},Q={y|y=12x2−1,x∈P},则P∩Q= ( )A.{m|-1≤m<2}B.{m|-1<m<2}C.{m|m≥2}D.{-1}2.(2022·德州模拟)已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A⊆B,则实数a-b的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.[-2,+∞)C.(-∞,2]D.[2,+∞)3.(2022·潍坊模拟)已知幂函数f(x)的图象过点(4,12),则f(8)的值为( )A.√24B.64 C.2√2 D.1644.“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2022·烟台模拟)已知函数f(x)=lnx,则函数g(x)=f(x)-f ′(x)的零点所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)6.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的微小值点,以下结论肯定正确的是( )A.∀x∈R,f(x)≥f(x0)B.-x0是f(-x)的极大值点C.-x0是-f(x)的微小值点D.-x0是-f(-x)的极大值点7.(2022·青岛模拟)设a=20.3,b=0.32,c=log x(x2+0.3)(x>1),则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a8.过函数f(x)=3x-x3图象上一点A(2,-2)的切线方程为( )A.y=-2B.y=2C.9x+y-16=0D.9x+y-16=0或y=-29.(2021·北京高考)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率状况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同的路程,三辆汽车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该城市用丙车比用乙车更省油10.(2022·大连模拟)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≤0时,f(x)=(x+1)3e x+1,那么函数f(x)的极值点的个数是( )A.5B.4C.3D.2二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2022·北京模拟)曲线y=x3+mx+c在点P(1,n)处的切线方程为y=2x+1,其中m,n,c∈R,则m+n+c= .12.(2022·烟台模拟)已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x+2)=-1f(x),当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(−112)= .13.f(x)=log2a[(a2-3a)x]在(-∞,0)上是减函数,则实数a的取值范围是.14.(2022·绍兴模拟)已知函数f(x)满足f(x+1)=-1f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=x2,若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-log a(x+2)有4个零点,则实数a的取值范围是.15.(2022·莱芜模拟)已知定义域为R的函数f(x),对于x∈R,满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,则实数x0的值为.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(12分)(2022·泰安模拟)已知集合A={x|x2-2x-3≤0,x∈R}, B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值.(2)若ARB,求实数m的取值范围.17.(12分)设a>0,且a≠1,已知函数f(x)=log a1−bxx−1是奇函数.(1)求实数b的值.(2)求函数f(x)的单调区间.(3)当x∈(1,a-2)时,函数f(x)的值域为(1,+∞),求实数a的值.18.(12分)某地拟建一座长为640米的大桥AB,假设桥墩等距离分布,经设计部门测算,两端桥墩A,B造价总共为100万元,当相邻两个桥墩的距离为x米时(其中64<x<100),中间每个桥墩的平均造价为803√x万元,桥面每1米长的平均造价为(2+x√x640)万元.(1)试将桥的总造价表示为x的函数f(x).(2)为使桥的总造价最低,试问这座大桥中间(两端桥墩A,B除外)应建多少个桥墩?19.(12分)(2022·济宁模拟)已知函数f(x)=ex2-1e x-ax(a∈R).(1)当a=32时,求函数f(x)的单调区间.(2)若函数f(x)在[-1,1]上为单调函数,求实数a的取值范围.20.(13分)已知函数f(x)=(a+1a)lnx+1x-x(a>0).(1)求f(x)的极值.(2)若曲线y=f(x)上总存在不同两点P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),使得曲线y=f(x)在P,Q两点处的切线相互平行,证明x1+x2>2.ax2+x,a∈R.21.(14分)(2022·威海模拟)已知函数f(x)=lnx-12(1)若关于x的不等式f(x)≤ax-1恒成立,求整数a的最小值.(2)若a=-2,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证明:x1+x2≥√5−1.2答案解析1.C P={x|x≥2或x≤-1},又x∈P时,y=12x2-1∈[−12,+∞),故Q={y|y≥−12},故P∩Q={m|m≥2}.2.【解题提示】先化简A,留意运用指数函数的单调性解不等式,再依据集合的包含关系,求出a,b的范围,运用不等式的性质,求出a-b的取值范围.A 集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],由于A B,B=[a,b],所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2,即a-b的取值范围是(-∞,-2].3.A 由于函数f(x)为幂函数,所以设f(x)=xα,由于其图象过点(4,12),所以12=4α,解得α=-12,所以f(x)=x−12,所以f(8)=8−12−12=√24.4.A 函数f(x)=|x-a|={x−a,x≥a,a−x,x<a,则f(x)的单调增区间是[a,+∞).而函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增⇔a≤-1,所以“a≤-2”是“函数f(x)=|x-a|在[-1,+∞)上单调递增”的充分不必要条件.5.B 由题意可知g(x)=lnx-1x,由于g(1)=-1<0,g(2)=ln2-12=ln2-ln√e>0.所以函数g(x)的零点所在区间是(1,2).6.D 由于x0是f(x)的微小值点,y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点对称,所以-x0是y=-f(-x)的极大值点.7.B 由于x>1,所以c=log x(x2+0.3)>log x x2=2,又由于1<a<2,0<b<1,所以b<a<c.8.D 设切点为P(x0,y0),f′(x)=3-3x2,所以切线斜率k=3-3x02,切线方程为y-(3x0-x03)=(3-3x02)(x-x0),又由于点A(2,-2)在切线上,所以-2-(3x0-x03)=(3-3x02)(2-x0),解之得x0=2或x0=-1,所以k=-9或k=0,所以切线方程为9x+y-16=0或y=-2.【加固训练】若曲线y=e-ax+1在点(0,2)处的切线与直线x+2y-1=0垂直,则a= ( )A.-2B.2C.-23D.23A 依题意知y′=-ae-ax,所以曲线在点(0,2)处的切线斜率k=-a,又其切线与直线x+2y-1=0垂直,所以(-a)×(−12)=-1,即a=-2.9.D 选项A,问的是纵坐标最大值.选项B,消耗1升油甲走最远,则反过来路程相同甲最省油.选项C,此时甲走过了80千米,消耗8升汽油.选项D,80千米/小时以下丙“燃油效率”更高,更省油.10.C 当x ≤0时,f ′(x)=3(x+1)2e x+1+(x+1)3e x+1=(x+1)2e x+1(x+4),解f ′(x)=0,得x=-4或x=-1.由于x ∈(-∞,-4)时,f ′(x)<0;x ∈(-4,-1)时,f ′(x)>0;x ∈(-1,0)时,f ′(x)>0,则f(x)在区间x ∈(-∞,-4)上单调递减,在区间x ∈(-4,0)上单调递增.又由于f(x)是定义域为R 的偶函数,由其对称性可得,f(x)在区间x ∈(0,4)上单调递减,在区间x ∈(4,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在x=±4或x=0处取得极值. 11.【解析】y ′=3x 2+m,由题意知{1+m +c =n,3+m =2,n =2×1+1.所以{m =−1,n =3,c =3.所以m+n+c=5. 答案:512.【解析】由f(x+2)=-1f(x)可得,f(x+4)=-1f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数, f (−112)=f (−112+8)=f (52)=52.答案:5213.【解析】由x ∈(-∞,0)可得a 2-3a<0,得0<a<3, 所以y=(a 2-3a)x 在(-∞,0)上是减函数, 又f(x)=log 2a [(a 2-3a)x]在(-∞,0)上是减函数, 所以2a>1,故12<a<3.答案:(12,3)14.【解析】由于f(x+1)=-1f(x),则有f(x+2)=f(x),即f(x)是周期为2的周期函数,又f(x)是偶函数,当x ∈[-1,0]时,f(x)=x 2,则有当x ∈[0,1]时,f(x)=x 2,故当x ∈[-1,1]时,f(x)=x 2,那么当x ∈[1,3]时,f(x)=(x-2)2,而函数g(x)=f(x)-log a (x+2)有4个零点,故函数y=f(x)的图象与y=log a (x+2)有4个交点,数形结合可得1≥log a (3+2), 解得a ≥5. 答案:[5,+∞)15.【解析】由于对任意x ∈R,有f(f(x)-x 2+x)=f(x)-x 2+x. 又由于有且只有一个实数x 0,使得f(x 0)=x 0 所以对任意x ∈R,有f(x)-x 2+x=x 0, 在上式中令x=x 0,有f(x 0)-x 20+x 0=x 0,又由于f(x 0)=x 0,所以x 0-x 20=0,故x 0=0或x 0=1,若x 0=0,则f(x)-x 2+x=0,即f(x)=x 2-x,但方程x 2-x=x 有两个不相同实根,与题设条件冲突.故x 0≠0,若x 0=1,则有f(x)-x 2+x=1,即f(x)=x 2-x+1,此时f(x)=x 有且仅有一个实数1, 综上,x 0=1. 答案:116.【解析】由已知得:A={x|-1≤x ≤3}, B={x|m-2≤x ≤m+2}.(1)由于A ∩B=[0,3],所以{m −2=0,m +2≥3,所以{m =2,m ≥1,所以m=2.(2)R B={x|x<m-2或x>m+2}. 由于AR B,所以m-2>3或m+2<-1,所以m>5或m<-3,所以m 的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞).17.【解题提示】(1)由函数f(x)是奇函数可得f(-x)=-f(x),代入函数f(x)的解析式可解得实数b 的值.(2)首先求出函数f(x)的定义域,再求出其导函数f ′(x),最终分别令f ′(x)>0和f ′(x)<0即可求出函数f(x)的单调增区间和单调减区间.(3)由a-2>1得a>3,结合(2)可得,f(x)在(1,a-2)上单调递减,于是可得f(a-2)=1,解之即可得到实数a 的值.【解析】(1)由于f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x). 从而f(-x)+f(x)=0, 即log a1+bx −x−1+log a1−bx x−1=0,于是,(b 2-1)x 2=0,由x 的任意性知b 2-1=0, 解得b=-1或b=1(舍),所以b=-1. (2)由(1)得f(x)=log a x +1x−1,(x<-1或x>1),f ′(x)=−2(x 2−1)lna.当0<a<1时,f ′(x)>0,即f(x)的增区间为(-∞,-1),(1,+∞); 当a>1时,f ′(x)<0,即f(x)的减区间为(-∞,-1),(1,+∞).(3)由a-2>1得a>3,所以f(x)在(1,a-2)上单调递减,从而f(a-2)=1,即log a a −1a−3=1,又a>3,得a=2+√3.18.【解析】(1)由桥的总长为640米,相邻两个桥墩的距离为x 米,知中间共有(640x−1)个桥墩,于是桥的总造价f(x)=640(2+x √x 640)+803√x (640x−1)+100,即f(x)=x 32+640×803x −12-803x 12+1380=x32+51 2003x−12-803x12+1380(64<x<100).(表达式写成f(x)=x √x +51 2003√x−803√x +1 380同样给分)(2)由(1)可求f ′(x)=32x 12-640×403x −32-403x −12,整理得f ′(x)=16x −32(9x2-80x-640×80),由f ′(x)=0,解得x 1=80,x 2=-6409(舍去),又当x ∈(64,80)时,f ′(x)<0;当x ∈(80,100)时,f ′(x)>0,所以当x=80时桥的总造价最低,此时桥墩数为64080-1=7.19.【解析】(1)当a=32时,f(x)=e x 2-1e x -32x, f ′(x)=12ex [(e x )2-3e x +2] =12ex (e x -1)(e x -2), 令f ′(x)=0,得e x =1或e x =2, 即x=0或x=ln2,令f ′(x)>0,则x<0或x>ln2, 令f ′(x)<0,则0<x<ln2,所以f(x)在(-∞,0],[ln2,+∞)上单调递增,在(0,ln2)上单调递减. (2)f ′(x)=e x2+1e x -a,令e x =t,由于x ∈[-1,1], 所以t ∈[1e ,e].令h(t)=t 2+1t (t ∈[1e,e]), h ′(t)=12-1t 2=t 2−22t 2, 所以当t ∈[1e,√2)时h ′(t)<0,函数h(t)为单调减函数; 当t ∈(√2,e]时h ′(t)>0,函数h(t)为单调增函数, 所以√2≤h(t)≤e+12e .由于函数f(x)在[-1,1]上为单调函数, 所以若函数f(x)在[-1,1]上单调递增, 则a ≤t 2+1t对t ∈[1e,e]恒成立,所以a ≤√2;若函数f(x)在[-1,1]上单调递减,则a ≥t 2+1t对t ∈[1e,e]恒成立,所以a ≥e+12e,综上可得a ≤√2或a ≥e+12e.20.【解析】(1)f ′(x)=(a +1a )1x -1x2-1=-x 2−(a+1a)x+1x 2=-(x−a)(x−1a)x 2(x>0).当a>1时,0<1a<a,f(x)的单调递减区间是(0,1a),(a,+∞),单调递增区间是(1a,a). f(x)微小值=f (1a ) =(a +1a)ln 1a+a-1a=-(a +1a)lna+a-1a,f(x)极大值=f(a)=(a +1a)lna-a+1a. 当a=1时,f ′(x)=-(x−1)2x 2≤0,f(x)无极值. 当0<a<1时,0<a<1a,f(x)的单调递减区间是(0,a),(1a,+∞),单调递增区间是(a ,1a).f(x)极大值=f (1a)=-(a +1a)lna+a-1a,f(x)微小值=f(a)=(a +1a)lna-a+1a.(2)依题意知,f ′(x 1)=(a +1a )1x 1-1x 12-1=f ′(x 2) =(a +1a )1x 2-1x 22-1, 故a+1a =1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2. 由x 1+x 2>2√x 1x 2得x 1x 2<(x 1+x 2)24,故x 1+x 2x 1x 2>4x 1+x 2,故存在x 1,x 2使a+1a =x 1+x 2x 1x 2>4x 1+x 2,即x 1+x 2>4a+1a. 当a>0时,a+1a≥2,当且仅当a=1时取等号.所以x 1+x 2>4(a+1a )min=2.即x 1+x 2>2.21.【解析】(1)令g(x)=f(x)-(ax-1)=lnx-12ax 2+(1-a)x+1,所以g ′(x)=1x-ax+(1-a)=−ax 2+(1−a)x+1x,当a ≤0时,由于x>0,所以g ′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上是递增函数,又由于g(1)=ln1-12a ×12+(1-a)+1=-32a+2>0,所以关于x 的不等式f(x)≤ax-1不能恒成立.当a>0时, g ′(x)=−ax 2+(1−a)x+1x=-a (x−1a)(x+1)x,令g ′(x)=0,得x=1a.所以当x ∈(0,1a )时,g ′(x)>0;当x ∈(1a,+∞)时,g ′(x)<0,因此函数g(x)在x ∈(0,1a)是增函数,在x ∈(1a,+∞)是减函数.故函数g(x)的最大值为g (1a)=ln 1a -12a ×(1a)2+(1-a)×1a+1=12a-lna.令h(a)=12a-lna,由于h(1)=12>0,h(2)=14-ln2<0,又由于h(a)在a ∈(0,+∞)是减函数,所以当a ≥2时,h(a)<0,所以整数a 的最小值为2.【一题多解】本题还可以接受以下方法由f(x)≤ax-1恒成立,得lnx-12ax 2+x ≤ax-1在(0,+∞)上恒成立,问题等价于a ≥ln x+x+112x 2+x 在(0,+∞)上恒成立.令g(x)=ln x+x+112x 2+x ,只要a ≥g(x)max , 由于g ′(x)=(x+1)(−12x−lnx)(12x 2+x)2. 令g ′(x)=0, 得-12x-lnx=0.设h(x)=-12x-lnx,由于h ′(x)=-12-1x<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减, 不妨设-12x-lnx=0的根为x 0.当x ∈(0,x 0)时,g ′(x)>0; 当x ∈(x 0,+∞)时,g ′(x)<0,所以g(x)在x ∈(0,x 0)上是增函数;在x ∈(x 0,+∞)上是减函数.所以g(x)max =g(x 0)=ln x 0+x 0+112x 02+x 0=1+12x 0x 0(1+12x 0)=1x 0,由于h (12)=ln2-14>0,h(1)=-12<0,所以12<x 0<1,此时1<1x 0<2,即g(x)max ∈(1,2).所以a ≥2,即整数a 的最小值为2. (2)当a=-2时,f(x)=lnx+x 2+x,x>0, 由f(x 1)+f(x 2)+x 1x 2=0,即lnx 1+x 12+x 1+lnx 2+x 22+x 2+x 1x 2=0,从而(x 1+x 2)2+(x 1+x 2) =x 1·x 2-ln(x 1·x 2)令t=x 1·x 2,则由φ(t)=t-lnt 得,φ′(t)=t −1t,可知,φ(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增. 所以φ(t)≥φ(1)=1, 所以(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)≥1,因此x1+x2≥√5−1成立.2关闭Word文档返回原板块。

2021版高考数学一轮复习滚动评估检测(四)(含解析)新人教B版-新人教B版高三全册数学试题

滚动评估检测(四)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.集合A={y=,0≤x≤4},B=,则A∩B=( )A.∪B.∪C.D.【解析】选D.因为A=[0,2],B=,所以A∩B=(1,2].2.已知i为虚数单位,复数z满足=2+i,则= ( )A.1B.C.D.5【解析】选A.由题可得1-i=(2+i)(1+z),整理得z=--i,==1.3.已知x∈R,则“x>2”是“x2-3x+2>0”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由x2-3x+2>0得x<1或x>2,所以“x>2”是“x2-3x+2>0”成立的充分不必要条件.4.已知是等差数列,其前n项和为S n,若a3=6,S3=12,则公差d等于( ) A.1B. C.2D.3【解析】选C.因为a3=a1+2d=6,S3=3a1+3d=12,所以a1=2,d=2.5.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)等于( )A.-B.-C.D.【解析】选A.如图,因为=2,所以=+,所以·(+)=-,因为AM=1且=2,所以||=,所以·(+)=-.6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图,则下列结论中不正确的是( ) 注:90后指1990-1999年之间出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生.A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中90后从事运营岗位的人数比从事产品岗位的人数多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【解析】选D.A.由互联网行业从业者年龄分布饼状图可知,90后占了56%,故A选项结论正确;B.互联网行业中,从事技术的90后占56%×39.6%>20%,仅90后就超过20%,故B选项结论正确;C.由90后从事互联网行业岗位分布条形图可知C选项结论正确;D.在互联网行业从业者中90后与80后的比例相差不大,故无法判断其技术岗位的人数是谁多,故D选项结论不一定正确.7.(2020·某某模拟)已知函数f(x)=,则y=f(x)的图象大致为( )【解析】选A.令g(x)=x-lnx-1,则x>0,因为g′(x)=1-=,由g′(x)>0,得x>1,即函数g(x)在(1,+∞)上单调递增,由g′(x)<0,得0<x<1,即函数g(x)在(0,1)上单调递减,所以当x=1时,函数g(x)有最小值,g(x)min=g(1)=0,于是对任意的x∈(0,1)∪(1,+∞),有g(x)>0,则f(x)>0,故排除B、D.8.(2019·全国卷Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值X围是世纪金榜导学号( )A. B.C. D.【解析】选B.如图,令f(x)=-,结合图象可得f(x-1)=-,则f(x-2)=-,当x∈(0,1]时,f(x)=x(x-1)=-,解得x=或,当f(x)=-时,x=或,即若f(x)≥-,对任意x∈(-∞,m]都成立,则m≤.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)9.已知sinx=,则sin2x= ( )A.-B.-C.D.【解析】选BD.因为sinx=,所以cosx=±=±=±,所以sin2x=2sinxcosx=2××=±.10.(2020·某某新高考模拟)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则( )A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数C.f(x+3)为奇函数D.f(x+4)为偶函数【解析】选ABC.由f(x+1)与f(x+2)都为奇函数知函数f(x)的图象关于点(-1,0),(-2,0)对称,所以f(x)+f(-2-x)=0,f(x)+f(-4-x)=0,所以f(-2-x)=f(-4-x),所以f(x)是以2为周期的函数.所以f(x),f(x+3)均为奇函数.11.(2020·某某新高考模拟)如图为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图.根据该折线图可知,关于该地区2006年～2018年的说法正确的是( )A.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C.财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D.城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大【解析】选AD.由图可以看出两条曲线均在上升,从而选项A正确;图中两曲线间隔越来越大,说明年增长速度不同,差额逐年增大,故选项B错误,选项D正确;又从图中可以看出财政预算内收入年平均增长量应该小于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量,所以选项C错误.12.(2020·某某新高考模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点.则( )A.直线D1D与直线AF垂直B.直线A1G与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为D.点C与点G到平面AEF的距离相等【解析】选BC.对选项A:方法一:以D点为坐标原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),E,F,G.从而=(0,0,1),=,从而·=≠0,所以D1D与直线AF不垂直,选项A错误;方法二:取DD1的中点N,连接AN,则AN为直线AF在平面ADD1A1内的射影,AN与DD1不垂直,从而AF与DD1也不垂直,选项A错误;取B1C1的中点为M,连接A1M、GM,则A1M∥AE,GM∥EF,A1M∩GM=M,AE∩EF=E,所以平面A1MG∥平面AEF,从而A1G∥平面AEF,选项B正确;对于选项C,连接AD1,D1F,易知四边形AEFD1为平面AEF截正方体所得的截面四边形(如图所示),且D1H=AH=,AD1=,所以=×=,而==,从而选项C正确;对于选项D:方法一:由于S△GEF=S梯形BEFG-S△EBG=×-××=,而S△ECF=××=,而V A-GEF=S△EFG·AB,V A-ECF=S△ECF·AB,所以V A-GEF=2V A-ECF,即V G-AEF=2V C-AEF,点G到平面AEF的距离为点C到平面AEF的距离的二倍.从而D错误. 方法二:假设点C与点G到平面AEF的距离相等,即平面AEF将CG平分,则平面AEF必过CG的中点,连接CG交EF于点O,易知O不是CG的中点,故假设不成立,从而选项D错误.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.的展开式中x2y3的系数为________.【解析】由二项式定理可知,展开式的通项为T r+1=(-2y)r,要求的展开式中含x2y3的项,则r=3,所求系数为(-2)3=-20.答案:-2014.(2018·全国卷Ⅰ)记S n为数列的前n项和.若S n=2a n+1,则S6=________. 世纪金榜导学号【解析】依题意,作差得a n+1=2a n,所以数列{a n}是公比为2的等比数列,又因为a1=S1=2a1+1,所以a1=-1,所以a n=-2n-1,所以S6==-63.答案:-6315.双曲线-=1的离心率为__________,渐近线方程为__________.【解析】双曲线-=1中,a=2,b=,c==,所以e==,渐近线方程为y=±x=±x.答案:y=±x16.圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示,正方形的顶点A与点P重合)沿圆周逆时针滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A走过的路径的长度为________. 世纪金榜导学号【解析】每次转动一个边长时,圆心角转过60°,正方形有4边,所以需要转动11次,回到起点.在这11次中,半径为1的6次,半径为的3次,半径为0的2次,点A走过的路径的长度=×2π×1×6+×2π××3=.答案:四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020·某某新高考模拟)在①b1+b3=a2,②a4=b4,③S5=-25这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的k存在,求k的值,若k不存在,请说明理由.设等差数列{a n}的前n项和为S n,{b n}是等比数列,____________,b1=a5,b2=3,b5=-81,是否存在k,使得S k>S k+1且S k+1<S k+2?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【解析】因为在等比数列{b n}中,b2=3,b5=-81,所以其公比q=-3, 从而b n=b2(-3)n-2=3×(-3)n-2,从而a5=b1=-1.若存在k,使得S k>S k+1,即S k>S k+a k+1,从而a k+1<0;同理,若使S k+1<S k+2,即S k+1<S k+1+a k+2,从而a k+2>0.方法一:若选①:由b1+b3=a2,得a2=-1-9=-10,所以a n=3n-16,当k=4时满足a5<0,且a6>0成立;若选②:由a4=b4=27,且a5=-1,所以数列{a n}为递减数列,故不存在a k+1<0,且a k+2>0;若选③:由S5=-25==5a3,解得a3=-5,从而a n=2n-11,所以当k=4时,能使a5<0,a6>0成立.方法二:若选①:由b1+b3=a2,得a2=-1-9=-10,所以公差d==3,a1=a2-d=-13,从而S n=-13n+×d=(3n2-29n);⇔解得<k<,又k∈N*,从而k=4满足题意.若选②与若选③(仿上可解决,略).18.(12分)(2020·黄冈模拟)在△ABC中,设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=.(1)求角B的大小.(2)求cos2-sin cos的取值X围.【解析】(1)由=得到=,即2sinAcosB=sin(B+C),即2sinAcosB=sinA.又因为A为三角形内角,所以sinA≠0,所以cosB=,从而B=.(2)cos2-sin cos=(cosC+1)-sinA=cosC-sin+=cosC-sinC+=cos(C+)+,因为0<C<,所以<C+<,所以-<cos(C+)<,所以<cos(C+)+<.所以cos2-sin cos的取值X围为.19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,平面ABCD⊥平面PAD,E是PB的中点,F 是DC上一点,G是PC上一点,且PD=AD,AB=2DF=6.(1)求证:平面EFG⊥平面PAB.(2)若PA=4,PD=3,求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.【解析】(1)如图,取PA的中点M,连接MD,ME,则ME∥AB,ME=AB,又DF∥AB,DF=AB,所以ME∥DF,ME=DF,所以四边形MDFE是平行四边形,所以EF∥MD,因为PD=AD,所以MD⊥PA,因为平面ABCD⊥平面PAD,平面ABCD∩平面PAD=AD,AB⊥AD,所以AB⊥平面PAD,因为MD⊂平面PAD,所以MD⊥AB,因为PA∩AB=A,所以MD⊥平面PAB,所以EF⊥平面PAB,又EF⊂平面EFG,所以平面EFG⊥平面PAB.(2)过点P作PH⊥AD于点H,则PH⊥平面ABCD,以H为坐标原点,HA所在直线为x轴,过点H 且平行于AB的直线为y轴,PH所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,在等腰三角形PAD中,PD=AD=3,PA=4,因为PH·AD=MD·PA,所以3PH=4×,解得PH=,则AH=,所以P,B,所以=,易知平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),所以cos<,n>==-,所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.20.(12分)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,圆O:x2+y2=c2(|F1F2|=2c)与椭圆有且仅有两个交点,点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程.(2)过y轴正半轴上一点P的直线l与圆O相切,与椭圆C交于点A,B,若=,求直线l的方程.【解析】(1)依题意,得c=b,所以a==b,所以椭圆C为+=1,将点代入,解得b=1,则a=,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)由题意知直线l的斜率存在,设l斜率为k,P(0,m)(m>1),则直线l的方程为y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与圆O相切,则=1,即m2=1+k2,联立直线与椭圆方程,消元得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,Δ>0⇒k≠0,x1+x2=-,x1x2==,因为=,所以x2=2x1,即x1=-,=,所以=1,解得k2=,即k=±,m=,故所求直线方程为y=±x+.21.(12分)(2018·某某高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;②设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.【解析】(1)由已知,得甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P所以随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.②设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥,由①知,P(B)=P(X=2)=,P(C)=P(X=1)=,故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=.所以,事件A发生的概率为.22.(12分)已知函数f=cos,g=e x·f′,其中e为自然对数的底数.世纪金榜导学号(1)求曲线y=g在点处的切线方程.(2)若对任意x∈不等式g≥x·f+m恒成立,某某数m的取值X围.(3)试探究当x∈时,方程g=x·f的解的个数,并说明理由.【解析】(1)依题意得f=si n x,g=e x·cosx.g=e0cos0=1,g′=e x cosx-e x si n x,g′(0)=1,所以曲线y=g在点(0,g(0))处的切线方程为y=x+1.(2)原题等价于对任意x∈,m≤[g-x·f]mi n.设h(x)=g-x·f,x∈.则h′=e x cosx-e x si n x-si n x-xcosx=cosx-si n x,因为x∈,所以cosx≥0,si n x≤0,所以h′≥0,故h(x)在上单调递增,因此当x=-时函数h(x)取得最小值, h=-;所以m≤-,即实数m的取值X围是. (3)设H(x)=g-x·f,x∈.当x∈时,H′(x)=e x(cosx-si n x)-si n x-xcosx<0,所以函数H(x)在上单调递减,故函数H(x)在上至多只有一个零点,又H=(-)>0,H=-<0,而且函数H(x)在上是连续不断的, 因此,函数H(x)在上有且只有一个零点.即方程g(x)=x·f(x)只有一个解.。

《创新设计》2021版高考数学(浙江版文理通用)一轮复习练习：阶段滚动检测(五) Word版含答案

(建议用时：90分钟) 一、选择题1.设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ∨b ＝⎩⎨⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则( ) A.a ∧b ≥2，c ∧d ≤2 B.a ∧b ≥2，c ∨d ≥2 C.a ∨b ≥2，c ∧d ≤2D.a ∨b ≥2，c ∨d ≥2解析设a ＝5，b ＝1，则a ∧b ＝1，a ∨b ＝5.排解A ，B.设c ＝1，d ＝1.5，则c ∨d ＝1.5，排解D ，选C. 答案 C2.(2022·庆阳一模)已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则n 2的值为( ) A.1B.2C.3D.4解析由a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，得2a －b ＝(3，n )，若2a －b 与b 垂直，则(2a －b )·b ＝0，则有－3＋n 2＝0，解得n 2＝3，故选C.答案 C3.(2021·南昌十所重点中学二模)在正项等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且－a 3，a 2，a 4成等差数列，则S 7的值为( ) A.125B.126C.127D.128解析设{a n }的公比为q ，则2a 2＝a 4－a 3，又a 1＝1， ∴2q ＝q 3－q 2，解得q ＝2或q ＝－1，∵a n ＞0，∴q ＞0，∴q ＝2，∴S 7＝1－271－2＝127，故选C.答案 C4.(2022·嘉兴一模)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( ) A.－43B.43C.－43或0D.43或0解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧2sin 2α＝1＋cos 2α，sin 22α＋cos 22α＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＝0，cos 2α＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＝45，cos 2α＝35，∴tan 2α＝0或tan 2α＝43.答案 D5.(2022·山西四校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若公比q ＞1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( ) A.31B.36C.42D.48解析由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且公比q ＞1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2（q ＝－2舍），所以S 5＝1×（1－25）1－2＝31，故选A.答案 A6.(2022·慈溪中学检测)在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A.5 B.13或37 C.37D.13解析由S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×3×4×sin A ＝33，得sin A ＝32，由于△ABC 为锐角三角形，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故A ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos A＝42＋32－2×4×3×cos π3＝13.所以BC ＝13，故选D.答案 D7.(2021·商丘二模)在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，且前n 项和S n ＝42，则n ＝( ) A.3B.4C.5D.6解析由于{a n }为等比数列，所以a 3·a n －2＝a 1·a n ＝64，又a 1＋a n ＝34，所以a 1，a n 是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，a n ＝2，又由于{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32.由S n ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q 1－q ＝42，解得q ＝4，由a n ＝a 1q n －1＝2×4n －1＝32，解得n ＝3，故选A. 答案 A8.若数列{a n }满足a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和的值最大时，n 的值是( ) A.6B.7C.8D.9解析 ∵a n ＋1－a n ＝－3，∴a n －a n －1＝－3， ∴{a n }是以19为首项，以－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前n 项和最大，故有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3n ≥0，22－3（n ＋1）≤0，∴193≤n ≤223，∵n ∈N *，∴n ＝7，故选B. 答案 B 二、填空题9.(2022·枣庄四校联考)函数y ＝lg （4－x ）3－x 的定义域为________.解析 ⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＞0，3－x ≠0，∴x ＜4且x ≠3.答案 {x |x ＜4且x ≠3}10.已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 10＝S 4，则S 8a 9＝________.解析由a 10＝S 4，得a 1＋9d ＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，即a 1＝d ≠0.所以S 8＝8a 1＋8×72d ＝8a 1＋28d ＝36d ，所以S 8a 9＝36d a 1＋8d ＝36d 9d ＝4.答案 411.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若2S 1，3S 2，4S 3成等差数列，则等比数列{a n }的公比q ＝________.解析由2S 1，3S 2，4S 3成等差数列，得6S 2＝2S 1＋4S 3，即3S 2＝S 1＋2S 3，2(S 2－S 3)＋S 2－S 1＝0，则－2a 3＋a 2＝0，所以公比q ＝a 3a 2＝12.答案 1212.(2022·陕西质检)已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n .若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________.解析 ∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，∵a n ＞0，∴a n ＋1＝3a n ，又a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，S n ＝2（1－3n ）1－3＝3n －1.答案 3n －113.(2022·嵊州一中检测)数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，2S n －na n ＝n ，若S 20＝－360，则a 2＝________.解析 ∵2S n －na n ＝n ①，∴当n ≥2时，2S n －1－(n －1)a n －1＝n －1②， ∴①－②得，(2－n )a n ＋(n －1)a n －1＝1③， ∴(1－n )a n ＋1＋na n ＝1④，∴③－④得，2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，∴数列{a n }为等差数列，∵当n ＝1时，2S 1－a 1＝1，∴a 1＝1，∵S 20＝20＋20×192d ＝－360，∴d ＝－2. ∴a 2＝1－2＝－1. 答案－114.(2022·安徽卷)如图，在等腰直角△ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推.设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________.解析由BC ＝22得AB ＝a 1＝2⇒AA 1＝a 2＝2⇒A 1A 2＝a 3＝2×22＝1，由此可归纳出{a n }是以a 1＝2为首项，22为公比的等比数列，因此a 7＝a 1×q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.答案 14 三、解答题15.(2022·青岛统一检测)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a (ω＞0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间.解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a ＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ，又f (x )图象上最高点的纵坐标为2， ∴3＋a ＝2，∴a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π， ∴f (x )的最小正周期T ＝π，∴2ω＝2πT ＝2，∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z .令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.16.(2022·东北三校二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2n (n ∈N *). (1)证明：{a n ＋2}是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)数列{b n }满足b n ＝log 2(a n ＋2)，T n 为数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和，若T n ＜a 对任意正整数n 都成立，求a 的取值范围.(1)证明由于S n ＝2a n －2n (n ∈N *)，所以S n －1＝2a n －1－2(n －1)(n ≥2)，所以S n －S n －1＝a n ＝2a n －2a n －1－2(n ≥2)，所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)(n ≥2). 又当n ＝1时，S 1＝2a 1－2＝a 1，解得a 1＝2，所以a 1＋2＝4，所以{a n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋2＝4×2n －1(n ∈N *)，所以a n ＝2n ＋1－2(n ∈N *).(2)解由于b n ＝log 2(a n ＋2)＝log 22n ＋1＝n ＋1，所以1b n b n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＜12，由于T n ＜a 对任意正整数n 都成立，所以a ≥12.17.(2022·齐鲁名校联合测试)已知函数f (x )＝－x 22＋(a －1)x ＋(2－a )ln x ＋32(a ∈R ).(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)争辩函数f(x)的单调区间.解(1)∵f(x)＝－x22＋(a－1)x＋(2－a)ln x＋32(a∈R)，∴f(1)＝a，f′(x)＝－x＋a－1＋2－ax，f′(1)＝0，∴y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝a.(2)∵f′(x)＝－x＋a－1＋2－ax＝－x2＋（a－1）x＋2－ax(x＞0)，∴f′(x)＞0⇔－x2＋(a－1)x＋2－a＞0，f′(x)＜0⇔－x2＋(a－1)x＋2－a＜0.令g(x)＝－x2＋(a－1)x＋2－a＝0，解得x1＝1，x2＝a－2.①当a＞3时，x2＞x1，g(x)＞0的解集是1＜x＜a－2，g(x)＜0的解集是0＜x＜1或x＞a－2，∴f(x)的单调增区间是(1，a－2)，单调减区间是(0，1)，(a－2，＋∞).②当a＝3时，x2＝x1，对任意的x＞0，都有g(x)≤0，∴f(x)的单调减区间是(0，＋∞).③当2＜a＜3时，0＜x2＜x1，g(x)＞0的解集是a－2＜x＜1，g(x)＜0的解集是0＜x＜a－2或x＞1，∴f(x)的单调增区间是(a－2，1)，单调减区间是(0，a－2)，(1，＋∞).④当a≤2时，x2≤0，g(x)＞0的解集是0＜x＜1，g(x)＜0的解集是x＞1，∴f(x)的单调增区间是(0，1)，单调减区间是(1，＋∞).综上所述，当a＞3时，f(x)的单调增区间是(1，a－2)，单调减区间是(0，1)，(a－2，＋∞)；当a＝3时，f(x)的单调减区间是(0，＋∞)，没有单调增区间；当2＜a＜3时，f(x)的单调增区间是(a－2，1)，单调减区间是(0，a－2)，(1，＋∞)；当a≤2时，f(x)的单调增区间是(0，1)，单调减区间是(1，＋∞).18.(2021·金华质量猜测)已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n－2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝log2a1＋log2a2＋…＋log2a n，求使(n－8)b n≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围.解(1)由S n＝2a n－2可得a1＝2，∵S n＝2a n－2，∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2a n－2a n－1，即a na n－1＝2.∴数列{a n}是以a1＝2为首项，公比为2的等比数列，∴a n＝2n(n∈N*).(2)b n＝log2a1＋log2a2＋…＋log2a n＝1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）2.由(n－8)b n≥nk对任意n∈N*恒成立，即实数（n－8）（n＋1）2≥k对n∈N*恒成立；设c n＝12(n－8)(n＋1)，则当n＝3或4时，取得最小值为－10，∴k≤－10.。

2021年高三数学(文科)高考总复习阶段测试卷(第28周) 含答案

2021年高三数学（文科）高考总复习阶段测试卷（第28周）含答案说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．总分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、考号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．3．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置．4．考试结束，将答题纸和答题卡一并交回，答案写在试卷上视为无效答案．参考公式：圆锥表面积公式：（是圆锥底面半径，是母线）圆锥体积公式：（是圆锥底面半径，是高）球体积公式：（R是球的半径）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．命题“存在R，0”的否定是（）A．不存在R，>0 B．存在R，0C．对任意的R，0 D．对任意的R，>03．已知：，则的大小关系为（）A．B．C．D．4．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm），则该几何体的体积为：（）C．cm3 D．cm3（）D．“”的（）B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件（）A．B．C．D．8．已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A．B．C．D．9．已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，则（）A．B．C．D．10．已知向量，，那么= （）A．B．C．D．111．定义两种运算：，，则函数（）A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数12．已知定义在上的函数满足，且，，有穷数列()的前项和等于, 则n等于（）A．4 B．5 C．6 D．7第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上．）13．函数的定义域为____________________．14．已知m>0,n>0,向量，且，则的最小值是 .15．对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值－1叫做的下确界，则函数的下确界为 .16．已知中，所对的边长分别为,则下列条件中能推出为锐角三角形的条件是_________. （把正确答案的序号都写在横线上）①. ②.③,. ④.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本题满分10分)设函数，（Ⅰ）不等式的解集为，求的值;（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试求不等式的解集.18．(本题满分12分)已知函数.（I）求函数的最小正周期；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．19．(本题满分12分)设数列的前项和为，对，都有成立，(Ⅰ) 求数列的通项公式；(Ⅱ)设数列，试求数列的前项和.20．(本题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，直线的倾斜角为，，设，.(Ⅰ)用表示；(Ⅱ)若，求的值．21．(本题满分12分)已知数列的各项都为正数，，前项和满足（）.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令（），数列的前项和为，若对任意正整数都成立，求实数的取值范围.22． (本题满分12分)已知函数（）.（Ⅰ）若，求在上的最大值；（Ⅱ）若，求的单调区间.参考答案：1.【答案】D【分析】根据集合的含义，把集合具体求出来，再根据集合的运算法则进行计算。

2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：导数的综合应用--方程的根问题(含答案)

《导数的综合应用—方程的根问题》考查内容：主要涉及到利用导数解决方程的根（或函数零点）问题注意：复杂的复合函数求导一般为理科内容一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数()x f x e x a =--，若函数()y f x =有零点，则实数a 的取值范围是（） A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞2．若关于x 的方程ln 0kx x -=有两个实数根，则实数k 的取值范围是（） A ．(,)e -∞B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(0,)e3．若函数3269y x x x =-+的图象与直线y a =有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是（） A ．(),0-∞B ．()0,4C ．()4,+∞D ．()1,34．若关于x 的方程0x e ax a +-=有实数根，则实数a 的取值范围是（） A ．(2,0e ⎤-⎦ B ．)20,e⎡⎣C ．(],0e -D ．2,](0,)e -∞-⋃+∞（5．若关于x 的方程有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．6．已知函数()x xf x e=，关于x 的方程1()()f x m f x -=有三个不等实根，则实数m 的取值范围是（） A ．1(,)e e-+∞B ．1(,)e e-+∞C ．1(,)e e-∞-D ．1(,)e e-∞-7．已知函数()21,1ln ,1x x f x x x x⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()()()21220+--=⎡⎤⎣⎦f x m f x m 有4个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（）A ．11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭e C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭8．若函数()32ln f x x x x x ax =-+-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（） A ．()0,∞+B ．(]0,1C ．[)1,0-D ．(),0-∞9．已知()2,0,0x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩，若()2f x a =⎡⎤⎣⎦恰有两个根12,x x ，则12x x +的取值范围是（） A ．(1,)-+∞ B ．(,22ln 2)-∞-C ．(1,2ln 22)--D ．(),2ln 22-∞-10．已知函数()3ln f x x x =-与()3g x x ax =-的图像上存在关于x 轴的对称点,则实数a 的取值范围为( ) A ．()e -∞，B ．1e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．(]e -∞， D ．1e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，11．方程2ln ln 10x x m x x ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭有三个不同的解，则m 的取值范围是（） A ．1,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,e e⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭D ．1,e e⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭12．已知函数21()(,f x x ax x e e e=-≤≤为自然对数的底数）与()x g x e =的图像上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 的取值范围是（） A ．1[1,]e e+ B ．1[1,]e e-C ．11[,]e e e e-+D ．1[,]e e e-二．填空题13．关于x 的方程3230x x a --=只有一个实数解，则实数a 的取值范围是___ 14．已知关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根，则k 的取值范围是___15．若函数2()2ln f x x a x =-++在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为_____.16．已知函数()ln ,012,0x x x f x x x x >⎧⎪=⎨++<⎪⎩，若方程()()22104f x af x e ++=⎡⎤⎣⎦有八个不等的实数根，则实数a 的取值范围是_____．三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．设函数329()62f x x x x a =-+-. （1）对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值；（2）若方程()0f x =有且仅有一个实根，求a 的取值范围.18．已知函数32()23 3.f x x x =-+（1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；（2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.19．已知函数(),()2ln .mf x mxg x x x=-= （1）当m =2时，求曲线()y f x =在点（1，f (1)）处的切线方程；（2）当m =1时，求证：方程()()f x g x =有且仅有一个实数根；（3）若(1,]x e ∈时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围.20．已知函数()ln 1xf x ae x =--，a R ∈（1）当1a =时，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求实数a 的取值范围21．已知函数()()22ln f x x a x a x =-++.（1）当2a <且0a ≠时，求函数()f x 的单调区间；（2）若4a =，关于x 的方程()0f x m -=有三个不同的实根，求m 的取值范围.22．已知函数2()ln 23f x x x =-+，()()4ln (0)g x f x x a x a '=++≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的方程()g x a =有实数根，求实数a 的取值范围.《导数的综合应用—方程的根问题》解析1.【解析】函数()y f x =有零点等价于方程x e x a -=有解，令()xg x e x =-，()1x g x e '=-，当0x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当0x <时，()0g x '<,函数()g x 单调递减，又(0)1g =，所以1a ≥.故选B2.【解析】由题意得ln x k x =，设ln ()xf x x=，21ln ()x f x x -'=. 当0x e <<时，()0f x '>，()f x 为增函数；当x e >时，()0f x '<，()f x 为减函数,且()0f x >. 所以()f x 有最大值1()f e e=，简图如下，由图可知，1k e<<0时符合题意.故选：C. 3.【解析】函数()3269f x x x x =-+的导数为：()23129f x x x '=-+，()0f x '>解得3x >或1x <，函数递增；()0f x '<解得13x <<，函数递减；即()1f 取得极大值4，()3f 取得极小值0；作出()f x 的图像，作出直线y a =，由图像可得当04a <<时，直线与()f x 的图像有3个不同的交点.故选：B 4.【解析】0(1)xxe ax a e a x +-=⇒=--，当1x =时，0x e =无实数解，不符合题意，故1x ≠.于是有1xe a x =--，令()1x ef x x =--，显然当1x >时，()0f x <；当1x <时，()0f x >.'2(2)()(1)x e x f x x -=--，当2x >时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当1,12x x <<<时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，因此当1x >时，2max ()(2)f x f e ==-，函数()f x 的图象一致如下图所示：因此要想0x e ax a +-=有实数根，只需方程组：1x e y x y a ⎧=-⎪-⎨⎪=⎩有交点，如上图，则有实数a 的取值范围是(2,(0,)e ⎤-∞-⋃+∞⎦.故选：D5.【解析】对函数求导，2()330f x x -'==，∴1x =±，当1x <-时，()f x 单调递增，当11x -<<时，函数()f x 单调递减，当1x >时，函数()f x 单调递增，要有三个不等实根，则(1)130f a -=-+->，且(1)130f a =--<，解得22a -<<． 6.【解析】()1'x xf x e-=，当1x <时，()'0f x >，()f x 在()0,e 上为增函数；当1x >时，()'0f x <，()f x 在(),e +∞上为减函数；所以()f x 的图像如图所示又0x >时，()0f x >，又()f x 的值域为1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，所以当0t ≤或1t e=时，方程()t f x =有一个解，当10t e <<时，方程()t f x =有两个不同的解，所以方程1t m t-=即210t mt --=有两个不同的解()12110,,,0t t e e ⎛⎫⎧⎫∈∈-∞⋃⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，令()21g t t mt =--，故()0010g g e ⎧<⎪⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，解得1m e e <-，故选：D 7.【解析】令()()()21220+--=⎡⎤⎣⎦f x m f x m ，即()()210f x m f x -⋅+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，得()2f x m =或()1f x =-，则直线2y m =和直线1y =-与函数()y f x =的图象共有4个交点. 当1x ≥时，()ln x f x x =，()21ln x f x x-'=，令()0f x '=，得x e =. 当1x e ≤<时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增；当x e >时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减. 函数()y f x =的极大值为()1f e e =，且当1x >时，()ln 0x f x x=>，如下图所示：由于关于x 的方程()()()21220+--=⎡⎤⎣⎦f x m f x m 有4个不同的实数解，由图象可知，直线1y =-与函数()y f x =的图象只有一个交点，所以，直线2y m =与函数()y f x =的图象有3个交点，所以102m e<<，解得102m e <<.因此，实数m 的取值范围是10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：D. 8.【解析】由题意，函数的定义域为{}0x x >，又由()32ln 0f x x x x x ax =-+-=，得2ln a x x x =-+，则等价为方程2ln a x x x =-+，在()0,∞+上有两个不同的根，设()2ln h x x x x =-+，()212121x x h x x x x-++'=-+=，由()0h x '>得2210x x -++>得2210x x --<，得112x -<<，此时01x <<，函数()h x 为增函数，()0h x '<得2210x x -++<得2210x x -->，得21x <-或1x >，此时1x >，函数()h x 为减函数，即当1x =时，函数()h x 取得极大值，极大值为()1ln1110h =-+=，要使2ln a x x x =-+，有两个根，则0a <即可，故实数a 的取值范围是(),0-∞，故选D ．9.【解析】当0x ≤时，20x ≥；当0x >时，e 1x >，()f x ∴值域为[)0,+∞，()2f x a ∴=⎡⎤⎣⎦等价于()f x =()y f x =与y =在平面直角坐标下中作出()f x 图象如下图所示：1>，即1a >，120x x <<，21x ∴=2x e =()1t t =>，1x ∴=2ln x t =，12ln x x t ∴+=令())ln 1g t t t =>，则()122g t t t'==， ∴当()1,4t ∈时，()0g t '>；当()4t ,∈+∞时，()0g t '<，()g t ∴在()1,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减，()()42ln 22g t g ∴≤=-，即()12,2ln 22x x +∈-∞-.故选：D .10.【解析】函数f （x ）＝lnx ﹣x 3与g （x ）＝x 3﹣ax 的图象上存在关于x 轴的对称点， ∴f （x ）＝﹣g （x ）有解，∴lnx ﹣x 3＝﹣x 3+ax ，∴lnx ＝ax ，即lnx a x =在（0，+∞）有解，令()lnx h x x =，则()1'lnxh x x-=. 当()()()0,,0x e h x h x '∈>，单调递增；()(),0,x e h x +∞'∈<， ()h x 单调递减.()()1max h x h e e ==，且()0,x h x →→-∞，所以1a e ≤.故选B.11.【解析】令ln x t x =，2ln 1ln ,x xy y x x -'==，当()0,0f x x e '><<，当()0,f x x e '<>， ()f x 递增区间是(0,)e ，递减区间是(,)e +∞，,()x e f x =取得极大值为1e，也为最大值，0,(),,()0x f x x f x →→-∞→+∞→，1,()0x f x >>，当0t ≤或1t e =时，方程ln x t x =有一个解，当10t e <<时，方程ln xt x =有两个解，当1t e >时，方程ln x t x=没有实数解，方程2ln ln 10x x m x x ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭有三个不同的解，则210t mt --=要有两个实数解，设为12,t t ，121t t =-，必有一个根小于0，只需另一根在1(0,)e，设2211()1,(0)1,()10m g t t mt g g e e e=--=-∴=-->，解得1m e e<-.故选:B.12.【解析】设()f x 的图像上与()g x 的图像上关于y x =对称的点为(),x m ，故2mm x ax x e⎧=-⎨=⎩，消去m 得到2x ax x e -=，两边取对数有：2ln x x ax =-，因为1x e e ≤≤，故2ln x x a x -=，令()2ln x x h x x-=，1x e e ≤≤，则()22ln 1x x h x x+-'=，1x e e ≤≤.令()2ln 1s x x x =+-. 因为()s x 为1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增函数，且当1x =时，()10s =,故当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0s x <，当(]1,x e ∈时，()0s x >；所以当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x '<，()h x 为减函数；当(]1,x e ∈时，()0h x '>，()h x 为增函数；因为()11h =，()111,h e e h e ee e ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭，所以()h x 的值域为11,e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，故11,a e e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦.故选:A.13.【解析】令()323f x x x a =--，则()236f x x x '=-由()0f x '>得2x >或0x <，由()0f x '<得02x <<所以()f x 在(),0-∞和()2,+∞上单调递增，在()0,2上单调递减所以()f x 的极大值为()0f a =-，极小值为()24f a =-- 由方程3230x x a --=只有一个实数解可得函数()f x 只有一个零点所以()00f <或()20f >，解得0a >或4a故答案为：()(),40,-∞-⋃+∞14.【解析】由题意，关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根，即函数y k =与函数2xy e x =-的图象有两个不同的交点，设()2x f x e x =-，则()2x f x e '=-，令()20xf x e '=-=，解得ln 2x =，所以函数的减区间为(,ln 2)-∞，增区间为(ln 2,)+∞，所以函数()f x 的最小值为(ln 2)22ln 2f =-，且当x →-∞时，()f x →+∞，当x →∞时，()f x →+∞，要使得2x e x k -=有2个不相等的实数根，所以22ln2k >-．即实数k 的取值范围是(22ln 2,)-+∞. 15.【解析】令()0f x =可得22ln a x x =-，令2()2ln g x x x =-，则2222()2x g x x x x-'=-=，因为当211x e 时，()0g x '，当1x e <时，()0g x '>，所以()g x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(1,]e 上单调递增，所以当1x =时()g x 取得最小值(1)1g =，又224114,()2g g e e e e ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭，所以21()g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为()ag x 在21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，所以4114a e <+.16.【解析】当0x >时()'1ln f x x ，=+令()'1ln =0f x x =+，得1=x e ，可知函数()f x 在10e ，⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()min 11=f x f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当0x <时，()12f x x x=++，可知函数()f x 在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，所以()()max =10f x f -=；由此作出函数()0120xlnx x f x x x x >⎧⎪=⎨++<⎪⎩，，的草图，如下图：有图像可知当()10f x e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，有四个不同的x 与f （x ）对应，令()t f x =，又方程()()22104f x af x e ⎡⎤++=⎣⎦有八个不等的实数根，所以22104t at e ++=在10e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内有两个不等的实数根12,t t ，令()2214g t t at e =++，可得()222221114102101004a g e e e e ae a e g e ⎧⎛⎫-=++> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪-<-<⎪⎪⎨⎪∆=->⎪⎪⎪=>⎪⎩，得154a e e <<. 故答案为15,4e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭17.【解析】（1）由题意2()3963(1)(2)f x x x x x '=-+=--，因为(,)x ∈-∞+∞，()f x m '≥，即239(6)0x x m -+-≥恒成立，所以8112(6)0m ∆=--≤，可得34m ≤-，所以m 的最大值为34-；（2）因为当1x <或2x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当12x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；所以当1x =时，()f x 取极大值5(1)2f a =-；当2x =时，()f x 取极小值(2)2f a =-；所以当(2)0f >或(1)0f <时，方程()0f x =仅有一个实根. 所以20a ->或502a -<即2a <或52a >，故a 的取值范围为()5,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭. 18.【解析】（1）当x ＝2时，f （2）＝7，故切点坐标为（2，7），又∵f ′（x ）＝6x 2﹣6x ．∴f ′（2）＝12，即切线的斜率k ＝12，故曲线y ＝f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y ﹣7＝12（x ﹣2），即12x ﹣y ﹣17＝0，（2）令f ′（x ）＝6x 2﹣6x ＝0，解得x ＝0或x ＝1 当x ＜0，或x ＞1时，f ′（x ）＞0，此时函数为增函数，当0＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，此时函数为减函数，故当x ＝0时，函数f （x ）取极大值3，当x ＝1时，函数f （x ）取极小值2，若关于x 的方程f （x ）+m ＝0有三个不同的实根，则2＜﹣m ＜3，即﹣3＜m ＜﹣2 故实数m 的取值范围为（﹣3，﹣2） 19.【解析】（1）m =2时，322()2,'()2,'(1)4,f x x f x f x x=-=+= 切点坐标为（1，0），∴切线方程为44440y x x y =-⇒--=；（2）m =1时，令1()()()2ln h x f x g x x x x=-=--, 则22212(1)'()10x h x x x x-=+-=≥，∴()h x 在（0，+∞）上是增函数又211().()(2)0,()h e h e h x e e=--+<∴在1(,)e e上有且只有一个零点 ∴方程()()f x g x =有且仅有一个实数根；（或说明(1)0h =也可以）（3）由题意知，2ln 2mmx x x--<恒成立，即2(1)22ln m x x x x -<+恒成立，`210x ->则当(1,]x e ∈时，222ln 1x x xm x +<-恒成立，令222ln ()1x x x G x x +=-，当(1,]x e ∈时，()()22221ln 4()01x x G x x'-+⋅-=<- 则()G x 在(1,]x e ∈时递减，∴()G x 在(1,]x e ∈时的最小值为24()1eG e e =-，则m 的取值范围是24,1e e ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭. 20.【解析】（1）当1a =时，()ln 1xf x e x =--，()1xf x e x'=-，()11f e =-，()11f e '=-．切线方程为()()()111y e e x --=--，化简得()e 1y x =-．曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()e 1y x =-．（2）()ln 1xf x ae x =--，定义域为()0,∞+，函数()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，即方程ln 10x ae x --=在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个正根，即y a =与()ln 1x x g x e +=的图象在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，()1ln 1xx x g x e --'=，令()1ln 1x x x ϕ=--，()2110x x xϕ'=--<，所以()x ϕ在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()10ϕ=．所以当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，中()0x ϕ>，即()0g x '>，()g x 单调递增；当(]1,x e ∈时，()0x ϕ<，即()0g x '<，()g x 单调递减．所以()()max 11g x g e ==．又知10g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2e g e e=．结合y a =与()ln 1x x g x e +=图象可知，若有两个交点只需21e a e e≤<．综上可知满足题意的a 范围为21,ee e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 21.【解析】（1）函数()()22ln f x x a x a x =-++的定义域是()0,∞+，()()()()22122222a x x x a x a a f x x a x x x⎛⎫-- ⎪-++⎝⎭'=-++==. ①当0a <时，()0f x '<在(0,1)上恒成立，()0f x '>在()1,+∞上恒成立，()f x 的增区间为[)1,+∞，()f x 的减区间为(]0,1.②当02a <<时，012a<<， ()0f x '>在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭和(1,)+∞上恒成立，()0f x '<在,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立.∴02a <<时，()f x 的增区间为0,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦和[)1,+∞，()f x 的减区间为,12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.综上所述，当0a <时()f x 的单调递增区间为[)1,+∞，单调递减区间为(]0,1；当02a <<时，()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦和[)1,+∞，单调递减区间为,12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）若4a =，()264ln f x x x x =-+，关于x 的方程()0f x m -=有三个不同的实根，等价于()y f x =的图象与直线y m =有三个交点.()()()2221426426x x x x f x x x x x---+'=-+==， ()0f x '>，由()0f x '>解得01x <<或2x <,由()0f x '<，解得12x <<.∴在(]0,1上()f x 单调递增，在[]1,2上()f x 单调递减，在[)2,+∞上()f x 单调递增，∴()24ln 28f =-，()15f =-，又∵当x 趋近于+∞时()f x 趋近于+∞，当x 在定义域()0,∞+内趋近于0时，lnx 趋近于-∞，∴()f x 趋近于-∞， ∴()y f x =的图象与直线y m =有三个交点时m 的取值范围是()4ln 28,5--.22.【解析】（1）依题意，得()()()21212114'4x x x f x x x x x +--=-==，()0,x ∈+∞.令()'0f x >，即120x ->，解得102x <<；令()'0f x <，即120x -<，解得12x >，故函数()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）由题得，()()'4g x f x x alnx =++ 1alnx x=+. 依题意，方程10alnx a x +-=有实数根，即函数()1h x alnx a x =+-存在零点，又()2211'a ax h x x x x -=-+=，令()'0h x =，得1x a=. 当0a <时，()'0h x <，即函数()h x 在区间()0,+∞上单调递减，而()110h a =->，1111111a a h e a a a e --⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111110ae e -=-<-<，所以函数()h x 存在零点；当0a >时，()'h x ，()h x 随x 的变化情况如表：所以11h a aln a alna a a ⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭为函数()h x 的极小值，也是最小值. 当10h a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即01a <<时，函数()h x 没有零点；当10h a ⎛⎫≤⎪⎝⎭，即1a ≥时，注意到()110h a =-≤，()110h e a a e e =+-=>，所以函数()h x 存在零点.综上所述，当()[),01,a ∈-∞⋃+∞时，方程()g x a =有实数根.。

2021届高考数学一轮复习(文理通用)-测试卷20 椭圆(B)-单元过关测试卷(原卷+解析)

2021届高考数学一轮复习（文理通用）单元过关测试卷椭圆（B ）（测试卷20）满分：150分测试时间：120分钟一、选择题（每小题5分，共60分，每小题有四个选项，只有一个正确）1.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A.(1，＋∞)B.(1，3)∪(3，＋∞)C.(3，＋∞)D.(0，3)∪(3，＋∞)2.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.不确定3.设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点向x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k 等于( ) A.±32B.±23C.±12D.±24.椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3，2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A.－23B.－32C.－49D.－945．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2B ．455C ．4105D ．81056.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)及点B (0，a )，过点B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ，F 为椭圆的右焦点，则∠ABF ＝( ) A.60°B.90°C.120°D.150°7.倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，与椭圆交于A ，B 两点，且AF ―→＝2FB ―→，则该椭圆的离心率为( )A ．32B ．23C ．22D ．338.已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→<0，则x 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，63 9.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A.2B.455C.4105D.810510．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]11.已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆C ：x 2m ＋y 23＝1(m >3)的一个焦点，圆M 与椭圆C 的公共点为A ，B ，点P 为圆M 上一动点，则P 到直线AB 的距离的最大值为( )A.210－5B.210－4C.410－11D.410－1012.在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －22＝0与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相切，且椭圆C 的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝cbx 的对称点E 在椭圆C 上，则△OEF 的面积为( )A.12B.32C.1D.2二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________________________.14.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，经过原点的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，若|PQ |＝a ，AP ⊥PQ ，则椭圆C 的离心率为________.15.已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1，1)为中点的弦所在直线方程是________.16.已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是________.三、解答题（六大题，共70分） 17.（10分）已知椭圆x 22＋y 2＝1，(1)过A (2，1)的直线l 与椭圆相交，求l 被截得的弦的中点轨迹方程；(2)求过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12且被P 点平分的弦所在直线的方程. 18.（12分）已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.19.（12分）已知A ，B 分别为椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)在x 轴正半轴、y 轴正半轴上的顶点，原点O 到直线AB 的距离为2217，且|AB |＝7.(1)求椭圆C 的离心率；(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝2相切，并与椭圆C 交于M ，N 两点，若|MN |＝1227，求k 的值.20.（12分）已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.21.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，且离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△PAB 的面积的最大值.22.（12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点F 1到椭圆C 上任意一点的最大距离为3，椭圆C 的离心率为12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l 与以线段F 1F 2为直径的圆相交于A ，B 两点，与椭圆相交于C ，D ，且|CD ||AB |＝837？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.2021届高考数学一轮复习（文理通用）单元过关测试卷椭圆（B ）（测试卷20）满分：150分测试时间：120分钟一、选择题（每小题5分，共60分，每小题有四个选项，只有一个正确）1.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A.(1，＋∞)B.(1，3)∪(3，＋∞)C.(3，＋∞)D.(0，3)∪(3，＋∞)【答案】 B【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.由Δ>0且m ≠3及m >0得m >1且m ≠3.2.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A.相交B.相切C.相离D.不确定【答案】 A【解析】直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交. 3.设直线y ＝kx 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点向x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k 等于( ) A.±32B.±23C.±12D.±2【答案】 A【解析】由题意可知，点A 与点B 的横坐标即为焦点的横坐标，又c ＝1，当k >0时，不妨设A ，B 两点的坐标分别为(－1，y 1)，(1，y 2)，代入椭圆方程得y 1＝－32，y 2＝32，解得k ＝32；同理可得当k <0时k ＝－32.4.椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3，2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( ) A.－23B.－32C.－49D.－94【答案】 A【解析】设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则4x 21＋9y 21＝144，4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2＝k ，代入解得k ＝－23.5．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2B ．455C ．4105D ．8105【答案】C【解析】设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4t 2－15.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×4t 2－15 ＝425·5－t 2，当t ＝0时，|AB |max ＝4105.6.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)及点B (0，a )，过点B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ，F 为椭圆的右焦点，则∠ABF ＝( ) A.60° B.90°C.120°D.150°【答案】 B【解析】由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y ＝kx ＋a (k >0)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y 2b2＝1，消去y 整理得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 3x ＋a 4－a 2b 2＝0，由Δ＝(2ka 3)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0，得k ＝c a ，从而y ＝c a x ＋a 交x 轴于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，0，又F (c ，0)，易知·＝0，故∠ABF ＝90°.7.倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，与椭圆交于A ，B 两点，且＝2，则该椭圆的离心率为( )A ．32B ．23C ．22D ．33【答案】B【解析】由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b2＝1，y ＝x －c ，得(b 2＋a 2)y 2＋2b 2cy －b 4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2b 2c a 2＋b2，y 1y 2＝－b4a 2＋b 2，又＝2，∴(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)， ∴－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b2，－2y 22＝－b4a 2＋b2.∴12＝4c 2a 2＋b2，∴e ＝23，故选B. 8.已知P (x 0，y 0)是椭圆C ：x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若·<0，则x 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－63，63 【答案】 A【解析】由题意可知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则·＝(x 0＋3)(x 0－3)＋y 20＝x 20＋y 20－3<0.因为点P 在椭圆上，所以y 2＝1－x 204.所以x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204－3<0，解得－263<x 0<263，即x 0的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，263.9.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A.2B.455C.4105D.8105【答案】 C【解析】设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 24＋y 2＝1，消去y 得54x 2＋2tx ＋t 2－1＝0，由题意知Δ＝(2t )2－5(t 2－1)>0即t 2<5，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8t 5，x 1x 2＝4（t 2－1）5，|AB |＝（1＋12）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝4255－t 2≤4105(当且仅当t ＝0时取等号). 10．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且·＝0，则||的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]【答案】B【解析】如图，延长F 1M 交PF 2的延长线于点G .∵·＝0，∴⊥.又MP 为∠F 1PF 2的平分线，∴|PF 1|＝|PG |，且M 为F 1G 的中点． ∵O 为F 1F 2中点，∴OM 綊12F 2G .∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 1|－|PF 2||， ∴||＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22<|PF 2|<4或4<|PF 2|<4＋22， ∴||∈(0,22)．11.已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆C ：x 2m ＋y 23＝1(m >3)的一个焦点，圆M 与椭圆C 的公共点为A ，B ，点P 为圆M 上一动点，则P 到直线AB 的距离的最大值为( )A.210－5B.210－4C.410－11D.410－10【答案】 A【解析】易知圆M 与x 轴的交点为(1，0)，(3，0)，∴m －3＝1或m －3＝9，则m ＝4或m ＝12.当m ＝12时，圆M 与椭圆C 无交点，舍去.所以m ＝4.联立⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2＋y 2＝1，x 24＋y 23＝1，得x 2－16x ＋24＝0.又x ≤2，所以x＝8－210.故点P 到直线AB 距离的最大值为3－(8－210)＝210－5.12.在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －22＝0与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相切，且椭圆C 的右焦点F (c ，0)关于直线l ：y ＝cbx 的对称点E 在椭圆C 上，则△OEF 的面积为( )A.12B.32C.1D.2【答案】 C【解析】联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －22＝0，x 2a 2＋y 2b2＝1，消去x ，化简得(a 2＋2b 2)y 2－8b 2y ＋b 2(8－a 2)＝0，由Δ＝0得2b 2＋a 2－8＝0.设F ′为椭圆C 的左焦点，连接F ′E ，易知F ′E ∥l ，所以F ′E ⊥EF ，又点F 到直线l 的距离d ＝c 2c 2＋b 2＝c 2a ，所以|EF |＝2c 2a ，|F ′E |＝2a －|EF |＝2b 2a ，在Rt △F ′EF 中，|F ′E |2＋|EF |2＝|F ′F |2，化简得2b 2＝a 2，代入2b 2＋a 2－8＝0得b 2＝2，a ＝2，所以|EF |＝|F ′E |＝2，所以S △OEF ＝12S △F ′EF ＝1.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________________________. 【答案】y 24＋x 2＝1【解析】因为椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1的右顶点为A (1，0)，所以b ＝1，焦点坐标为(0，c )，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以2b 2a ＝1，a ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 2＝1.14.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，经过原点的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，若|PQ |＝a ，AP⊥PQ ，则椭圆C 的离心率为________. 【答案】255【解析】不妨设点P 在第一象限，O 为坐标原点，由对称性可得|OP |＝|PQ |2＝a2，因为AP ⊥PQ ，所以在Rt△POA 中，cos ∠POA ＝|OP ||OA |＝12，故∠POA ＝60°，易得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，3a 4，代入椭圆方程得116＋3a 216b 2＝1，故a 2＝5b 2＝5(a 2－c 2)，所以椭圆C 的离心率e ＝255.15.已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1，1)为中点的弦所在直线方程是________. 【答案】 x ＋2y －3＝0【解析】由题意知，以M (1，1)为中点的弦所在直线的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋b ，则有k ＋b ＝1，即b ＝1－k ，即y ＝kx ＋(1－k )，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋（1－k ），则有(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋(2k 2－4k －2)＝0，所以x 1＋x 22＝12·4k 2－4k 1＋2k2＝1，解得k ＝－12(满足Δ>0)，故b ＝32，所以y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0.16.已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是________.【答案】 ⎝⎛⎦⎥⎤0，255【解析】依题意，知b ＝2，kc ＝2.设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455，解得d 2≤165.又因为d ＝21＋k 2，所以11＋k 2≤45，解得k 2≥14.于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k 2，所以0＜e 2≤45，又由0＜e ＜1，解得0＜e ≤255. 三、解答题（六大题，共70分） 17.（10分）已知椭圆x 22＋y 2＝1，(1)过A (2，1)的直线l 与椭圆相交，求l 被截得的弦的中点轨迹方程；(2)求过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12且被P 点平分的弦所在直线的方程. 【解析】 (1)设弦的端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，其中点是M (x ，y )，则x 2＋x 1＝2x ，y 2＋y 1＝2y ，由于点P ，Q 在椭圆上，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1，①x222＋y 22＝1，②①－②得y 2－y 1x 2－x 1＝－x 2＋x 12（y 2＋y 1）＝－x2y，所以－x 2y ＝y －1x －2，化简得x 2－2x ＋2y 2－2y ＝0(包含在椭圆x 22＋y 2＝1内部的部分).(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k ＝－x 2y ＝－12，因此所求直线方程是y －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化简得2x ＋4y－3＝0.18.（12分）已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.【解析】(1)解设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝ 3.所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明设M (m ，n )，则D (m ，0)，N (m ，－n ). 由题设知m ≠±2，且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n. 所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n(x －m ). 直线BN 的方程为y ＝n2－m(x －2).联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m ＋2n （x －m ），y ＝n 2－m （x －2），解得点E 的纵坐标y E ＝－n （4－m 2）4－m 2＋n2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |.所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.19.（12分）已知A ，B 分别为椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)在x 轴正半轴、y 轴正半轴上的顶点，原点O 到直线AB 的距离为2217，且|AB |＝7.(1)求椭圆C 的离心率；(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝2相切，并与椭圆C 交于M ，N 两点，若|MN |＝1227，求k 的值.【解析】 (1)由题设知，A (b ，0)，B (0，a )，直线AB 的方程为x b ＋y a＝1，又|AB |＝a 2＋b 2＝7，ab a 2＋b 2＝2217，a >b >0，计算得出a ＝2，b ＝3，则椭圆C 的离心率为e ＝1－b 2a 2＝12.(2)由(1)知椭圆方程为y 24＋x 23＝1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 24＋x23＝1，y ＝kx ＋m消去y 得，(3k 2＋4)x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0，直线l 与椭圆相交，则Δ>0，即48(3k 2－m 2＋4)>0，且x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋4，x 1x 2＝3m 2－123k 2＋4.又直线l 与圆x 2＋y 2＝2相切，则|m |k 2＋1＝2，即m 2＝2(k 2＋1). 而|MN |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·48（3k 2－m 2＋4）3k 2＋4＝1＋k 2·48（k 2＋2）3k 2＋4＝43·k 4＋3k 2＋23k 2＋4，又|MN |＝1227，所以43·k 4＋3k 2＋23k 2＋4＝1227，即5k 4－3k 2－2＝0，解得k ＝±1，且满足Δ>0，故k 的值为±1.20.（12分）已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且＝32.(1)求椭圆E 的方程；(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.【解析】 (1)由△ABP 是等腰直角三角形，得a ＝2，B (2，0).设Q (x 0，y 0)，则由＝32，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝65，y 0＝－45，代入椭圆方程得b 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)依题意得，直线l 的斜率存在，方程设为y ＝kx －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.(*)因直线l 与E 有两个交点，即方程(*)有不等的两实根，故Δ＝(－16k )2－48(1＋4k 2)>0，解得k 2>34.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝16k1＋4k2，x 1x 2＝121＋4k 2，因坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，所以·>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0，又由x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2) ＝(1＋k 2)x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4＝(1＋k 2)·121＋4k 2－2k ·16k 1＋4k 2＋4>0，解得k 2<4，综上可得34<k 2<4，则32<k <2或－2<k <－32. 则满足条件的斜率k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 21.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，且离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△PAB 的面积的最大值.【解析】 (1)因为e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点P (2，1)，所以4a 2＋1b2＝1.所以a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y22＝1消去y 整理，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.所以x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4.又直线l 与椭圆相交，所以Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2. 则|AB |＝1＋14×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5（4－m 2）. 点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. 所以S △PAB ＝12d |AB |＝12×2|m |5×5（4－m 2）＝m 2（4－m 2）≤m 2＋4－m 22＝2.当且仅当m 2＝2，即m ＝±2时，△PAB 的面积取得最大值为2.22.（12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点F 1到椭圆C 上任意一点的最大距离为3，椭圆C 的离心率为12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l 与以线段F 1F 2为直径的圆相交于A ，B 两点，与椭圆相交于C ，D ，且|CD ||AB |＝837？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 【解析】 (1)根据题意，设F 1，F 2的坐标分别为(－c ，0)，(c ，0)，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在斜率为－1的直线l ，设为y ＝－x ＋m ，由(1)知F 1，F 2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，所以以线段F 1F 2为直径的圆为x 2＋y 2＝1，由题意知圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|－m |2<1，得|m |< 2. |AB |＝21－d 2＝21－m 22＝2×2－m 2，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝－x ＋m ，消去y ，得7x 2－8mx ＋4m 2－12＝0，由题意得Δ＝(－8m )2－4×7(4m 2－12)＝336－48m 2＝48(7－m 2)>0，解得m 2<7，设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8m 7，x 1x 2＝4m 2－127，|CD |＝2|x 1－x 2|＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫8m 72－4×4m 2－127＝2×336－48m 249＝467×7－m 2＝837|AB |＝837×2×2－m 2，解得m 2＝13<7，得m ＝±33.即存在符合条件的直线l ，其方程为y ＝－x ±33.。

2021届高三数学(文理通用)一轮复习题型专题训练：幂函数(一)(含解析)

《幂函数》（一）考查内容：幂函数的定义、定义域、值域，函数图像等一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知幂函数()y f x =的图象经过点1,93⎛⎫ ⎪⎝⎭，则此幂函数的解析式为（） A ．()2f x x -=B ．()2f x x =C ．()2x f x =D ．()2xf x -=2．已知幂函数()y f x =的图像经过点(2,4)，则f 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．若12()(lg 1)m f x m x -=+为幂函数，则(3)f =（）A ．9B ．19CD 4．已知幂函数()()37m f x x m N -=∈的图象关于y 轴对称，且与x 轴、y 轴均无交点，则m 的值为（） A ．1- B ．0C ．1D ．25．设函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数，且当(0,)x ∈+∞，()f x 单调递增，则m 的值为（） A ．2-B ．2-或1C ．2D ．2或1-6．已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x bf x m m m -=->≠且的图象所经过的定点，则b 的值等于（）A ．12±B ．2±C ．2D ．2±7．5个幂函数：①2y x；②45y x =；③54y x =；④23y x =；⑤45y x-=.其中定义域为R 的是（） A ．只有①②B ．只有②③C ．只有②④D ．只有④⑤8．设11,0,,1,2,32n ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使得()n f x x =的定义域为R 且()f x 为奇函数的所有n 值的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．49．下列命题中正确的是（）A ．当0α=时，函数y x α=的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0),(1,1) 两点C ．幂函数的图象不可能出现在第三象限D ．图象不经过点(1,1)-的幂函数，一定不是偶函数 10．以下函数12y x =，2y x ，23y x =，1y x -=中，值域为[0,)+∞的函数共（）个 A ．1B ．2C ．3D ．411．已知幂函数n y x =在第一象限内的图象如图所示．若112,2,,22n ⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭则与曲线1C ，2C ，3C ，4C 对应的n 的值依次为（）A ．11,2,2,22-- B ．112,,2,22-- C ．112,,,222--D ．11,2,,222--12．若幂函数mn y x =（*,m n ∈N ，且m 、n 互素）的图像如图所示，则下列说法中正确的是（）A ．m 、n 是奇数且1mn< B ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n> C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n< D ．m 、n 是偶数，且1m n> 二．填空题13．若幂函数f (x )的图象经过点(4，14)，则()21log 32f -的值等于________.14．在函数①75y x =；②56y x =；③47y x =；④25y x -=；⑤13y x-=；⑥23y x =中定义域与值域相等的有_________个. 15．对幂函数32()f x x -=有以下结论（1）()f x 的定义域是{|0,}x x x R ≠∈；（2）()f x 的值域是(0,)+∞；（3）()f x 的图象只在第一象限；（4）()f x 在(0,)+∞上递减；（5）()f x 是奇函数．则所有正确结论的序号是______. 16．若1144(1)(32)a a --+<-,则a 的取值范围是 ______三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知幂函数()y f x =的图象过点(.（1）求函数()f x 的解析式，并求出它的定义域；（2）试求满足()()13f a f a +>-的实数a 的取值范围.18．已知幂函数()()22421m m f x m x -+=-在0,单增函数，函数()22g x kx =+.（1）求m 的值；（2）对任意[]11,2x ∈-总存在[]21,2x ∈使()()12g x f x =，求实数k 的取值范围.19．若()()11132a a --+<-，试求a 的取值范围.20．已知幂函数()223m m y f x x --+==（其中22m -<<，m ∈Z ）满足：①在区间(),0-∞上为减函数；②对任意的x ∈R ，都有()()0f x f x --=.求幂函数()f x 的解析式，并求当[]0,4x ∈时，()f x 的值域.21．如图所示的函数()F x 的图象，由指数函数()x f x a =与幂函数()b g x x =“拼接”而成．（1）求()F x 的解析式；（2）比较b a 与a b 的大小；（3）已知(4)(32)b bm m --+<-，求m 的取值范围．22．已知幂函数2242()(22)m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()(21)1()ag x a x f x =--+在[1,2]-上的值域为[4,11]-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.《幂函数》（一）解析1.【解析】依题意，设()af x x =，则1()93a=，解得2a =-，()2f x x-∴=，故选:A ．2.【解析】∵幂函数y ＝f （x ）＝x a 的图象经过点（2，4），∴2a ＝4，解得a ＝2，∴y ＝x 2，∴f2＝2．故选B ．3.【解析】12()(lg 1)m f x m x -=+为幂函数，则lg 111m m +=⇒=，则()12f x x =，则(3)f =C4.【解析】由题意可得：370m -<且37m -为偶数，m N ∈，解得73m <，且37m -为偶数，m N ∈， ∴1m =．故选：C ． 5.【解析】由题意()f x 是幂函数，则211m m --=，解得2m =或1m =-，因为()f x 在()0,x ∈+∞上是增函数，而当2m =时，2330m m +-=>符合题意；当1m =-时，2330m m +-=-<，所以()f x 在()0,x ∈+∞上是减函数，不符合题意，2m ∴=.故选：C6.【解析】由于1()(21)a g x a x +=-为幂函数，则211a -=，解得：1a =，函数1()2x bf x m-=-，(0,m >且1)m ≠，当x b =时，11()22b bf b m -=-= ，故()f x 的图像所经过的定点为1(,)2b ，所以1()2g b =，即212b =，解得：2b =±,故答案选B 7.【解析】①2yx的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，②45y x =的定义域为R ， ③54y x =的定义域为(0,)+∞， ④23y x =的定义域为R ， ⑤45y x-=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，故选：C .8.【解析】当1n =-时，1()f x x=定义域为{}0x x ≠，不满足题意当0n =时，0()f x x =定义域为{}0x x ≠，不满足题意当12n =时，()f x ={}0x x ≥，不满足题意当1n =时，()f x x =定义域为R ，且为奇函数，满足题意当2n =时，2()f x x =定义域为R ，是偶函数，不满足题意当3n =时，3()f x x =定义域为R ，且为奇函数，满足题意所以，使得()n f x x =的定义域为R 且()f x 为奇函数的所有n 值的个数为2故选：B9.【解析】A ，错误，因为函数y x α=的的定义域为()(),00,-∞⋃+∞ ，故图像为是一条直线除去点()0,1 B 错误，当幂函数,0y x αα=<时图象不经过()0,0, C ，错误，如幂函数1y x -=图象在第三象限和第一象限D ，正确，故选D 10.【解析】函数12y x ==[0,)+∞，值域为[0,)+∞；函数2yx 的定义域为R ，值域为[0,)+∞；函数23y x ==20x ≥，∴函数值域为[0,)+∞；函数331y xx-==，值域为(,0)(0,)-∞+∞． ∴值域为[0,)+∞的函数共3个．故选：C.11.【解析】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在1x =的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，曲线1C ，2C ，3C ，4C 对应的n 的值依次为：112,,,222--，故选：C.12.【解析】将分数指数式化为根式，mn y x ==由定义域为R ，值域为[)0,+∞知n 为奇数，m 为偶数，故排除A 、D ，又由幂函数y x α=，当1α>时，图像在第一象限的部分下凸，当01α<<时，图像在第一象限的部分上凸.故选：C13.【解析】因为f (x )为幂函数，所以设()f x x α=，因为f (x )的图象经过点(4，14)，所以14=14αα∴=-，因此()2221log 31log 3111log 32232(2)()()232f -----====，故答案为：3214.【解析】①75y x =的定义域为R ，值域为R .②56y x =的定义域为[)0+∞，，值域为[)0+∞，. ③47y x =的定义域为R ，值域为[)0+∞，. ④25y x -=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(0+)∞，.⑤13y x-=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，值域为(,0)(0,)-∞+∞.⑥23y x =的定义域为R ，值域为[)0+∞，. 故定义域与值域相等的有①, ②和⑤，故答案为：3 15.【解析】对幂函数()32f x x-=，以下结论（1）()f x 的定义域是{}0,x x x R ∈，因此不正确；（2）()f x 的值域是()0,+∞，正确；（3）()f x 的图象只在第一象限，正确；（4）()f x 在()0,+∞上递减，正确；（5）()f x 是非奇非偶函数，因此不正确．则所有正确结论的序号是（2）（3）（4）． 16.【解析】幂函数yx α=，当0α<时是减函数，函数 14y x -=的定义域为()0,∞+，所以有1320a a +>->，解得2332a <<，故答案为 23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭.17.【解析】（1）设()f x x α=，代入点(得2α=，解得12α=，即()12f x x ==.故函数()f x 的定义域为[)0,+∞.（2）由于()f x 的定义域为[)0,+∞，且在[)0,+∞上递增，由已知()()13f a f a +>-可得103013a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩，a 的范围是(]1,3.18.【解析】（1）由题：()2211420m m m ⎧-=⎪⎨-+>⎪⎩解得0m = ；（2）由（1）()2f x x =，记()[]{},1,2A y y f x x ==∈，()[]{},1,2B y g x x ==∈-，由题意B A ⊆，容易求得[]1,4A =.由B A ⊆得12241424k k ≤-+≤⎧⎨≤+≤⎩，解得1142k -≤≤，即k 的取值范围是11,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 19.【解析】∵()()11132a a --+<-，∴10,320,132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10,320,132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或320,10,a a ->⎧⎨+<⎩解得2332a <<或1a <-.故a 的取值范围是()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.20.【解析】22m -<<，m ∈Z ，1m ∴=-，0，1.对任意x ∈R ，都有()()0f x f x --=，即()()f x f x -=，f x 是偶函数.当1m =-时，()4f x x =，满足条件①②；当1m =时，()0f x x =，不满足条件①；当0m =时，()3f x x =，条件①②都不满足，故同时满足条件①②的幂函数()f x 的解析式为()4f x x =，且在区间[]0,4上是增函数，∴当[]0,4x ∈时，函数()f x 的值域为[]0,256.21.【解析】（1）由题意得14b 12,1142a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1,16{1,2a b ==∴x 1211,164()1,4x F x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪>⎪⎩（2）因为3211()22<，所以1116321611()()22⎡⎤<⎢⎥⎣⎦，即b aa b <．（3）由题意1122(4)(32)m m --+<-，所以40,{320,432,m m m m +>->+>-解得1332m -<<，所以m 的取值范围是12(,)33-． 22.【解析】（1）因为幂函数2242()(22)mm f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221,420,m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-（舍去），所以1()f x x -=.（2）由（1）得1()f x x -=，所以()(1)1g x a x =-+，假设存在0a >使得命题成立，则当10a ->时，即1a >，()g x 在[1,2]-单调递增，所以(1)4,114,6(2)11,22111,g a a g a -=--+=-⎧⎧⇒⇒=⎨⎨=-+=⎩⎩；当10a -=，即1a =，()1g x =显然不成立；当10a -<，即1a <，()g x 在[1,2]-单调递减，所以(1)11,1111,(2)4,2214,g a g a -=-+=⎧⎧⇒⎨⎨=--+=-⎩⎩a 无解；综上所述：存在6a =使命题成立.。

山东省2021届高三数学(理)4月联考试题(含答案)

高三4月份联考数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将答题卡交回.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上; 如需改动，先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A，B互斥，那么Ｐ（A+B）=P(A)+ P(B)；如果事件A，B独立，那么Ｐ（AB）=P(A)·P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.定义集合{}|A B x x A x B -=∈∉且，若集合{},2,3,4,5,M =1集合{}21,N x x k k Z ==-∈，则集合M N -的子集个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．无数个【答案】C【解析】1,3,5,N ∈M N -={},42,所以集合M N -的子集个数为224=个.【考点】新定义问题、集合的运算、子集.2.i 为虚数单位，复数2016i 的共轭复数为( )A ． 1B ．iC ． -1D ．-i【答案】A【解析】20164504504i (i )11===，所以复数2016i 的共轭复数1.【考点】复数四则运算及共轭复数的概念.3．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的中位数是83，乙班学生成绩的平均数是86，则x ＋y 的值为( )A ．168B ．169C ．8D ．9【答案】D【解析】由题意得，甲班学生成绩的中位数为83，则x ＝83－80＝3，乙班学生成绩的平均数是86，则86796919180818176=+++++++y ⇒6=y ，故x ＋y ＝9.【考点】茎叶图、中位数、平均数4.命题:,sin()cos p R απαα∃∈-=；命题:"04"q a <<是”关于x 的不等式210ax ax ++>的解集是实数集"R 的充分必要条件，则下面结论正确的是（）A.p 是假命题B.q 是真命题C.""p q ∧是假命题D.""p q ∨是假命题【答案】C【解析】对于命题p ，2,sin()cos 42παπαα∃=-==因此命题p 是真命题；对于命题q ，”关于x 的不等式210ax ax ++>的解集是实数集"R 的充分必要条件是0a =或2040a a a >⎧⎨∆=-<⎩，即04a ≤<，所以"04"a <<是”关于x 的不等式210ax ax ++>的解集是实数集"R 的充分不必要条件，因此命题q 是假命题；""p q ∧是假命题；""p q ∨是真命题.【考点】充要条件，简易逻辑．5. 已知变量,x y 满足约束条件230,330,10,x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩若目标函数z ax y =+ (其中0a >)仅在点(1，1)处取得最大值，则a 的取值范围为 ( )A ．(0,2)B ．1(0,)2C ．1(0,)3D ．11(,)32【答案】B【解析】由约束条件表示的可行域如图所示，作直线l ：ax ＋y ＝0，过点(1，1)作l 的平行线l ′，则直线l ′介于直线x ＋2y －3＝0与直线y ＝1之间，因此，－12＜－a ＜0，即0＜a ＜12.【考点】线性规划.6．设,a b 为正数，231122,()4()a b ab a b+≤-=，则a b += ( ) A ．2 B ．22C ．42D ．2 【答案】B【解析】由1122,a b+≤得22a b ab +≤. 又22332()()44()442()8(),a b a b ab ab ab ab ab ab +=-+=+≥⨯⋅= 即22a b ab +≥，所以22a b ab +=.由不等式22a b ab +≥成立的条件，得1ab =，所以222 2.a b ab +== 【考点】基本不等式.7.如图是函数()sin()(0,0,)f x A x A x R ωϕω=+>>∈在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到sin ()y x x R =∈的图象，只要将函数)(x f 的图象上所有的点( )A ．向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向右平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】D【解析】由图象可知A ＝1，T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴ω＝2πT＝2.∵图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π3，0，且⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0在函数的单调递减区间上，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴ππϕπk 232+=+ ∴φ＝π3＋2k π，k ∈Z .∴)(x f ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2k π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故将函数)(x f = sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y ＝sin x 的图象．法二：也可通过平移法求出φ的值.【考点】三角函数的图象性质及图象变换.8. 某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是（）A.18B.24C. 36D.72【答案】C【解析】由于均分8人，所以甲、乙两个部门各4人。

2021《单元滚动检测卷》高考复习数学(理)(北师大全国)精练十统计与统计案例

高三单元滚动检测卷·数学考生留意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页。

2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上。

3．本次考试时间120分钟，满分150分。

单元检测十统计与统计案例第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．为规范学校办学，省训练厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名同学，现将该班同学随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应为( ) A ．13 B ．19 C ．20 D ．512．从N 个编号中抽取n 个号码入样，若接受系统抽样方法进行抽取，则分段间隔应为( ) A.Nn B ．n C ．[N n]D ．[Nn]＋13．已知一组数据：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7构成公差为d 的等差数列，且这组数据的方差等于1，则公差d 等于( ) A ．±14B ．±12C ．±128D ．无法求解4．高二其次学期期中考试，依据甲、乙两个班级同学数学考试成果优秀和不优秀统计后，得到如下列联表：班级与成果列联表优秀不优秀总计甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 总计197190则随机变量χ2的值约为( )A ．0.600B ．0.828C ．2.712D ．6.0045．从某项综合力气测试中抽取100人的成果，统计如下表，则这100人成果的标准差为( )分数 5 4 3 2 1 人数2010303010A. 3 B ．3 C.2105 D.856.如图是一次选秀节目上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为85，则a 2＋b 2的最小值是( )A ．24B ．32C ．36D ．487．(2022·重庆)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．y ＝0.4x ＋2.3 B ．y ＝2x －2.4 C ．y ＝－2x ＋9.5D ．y ＝－0.3x ＋4.48．某校为了争辩同学的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝7.069，则所得到的统计学结论是：有多大的把握认为“同学性别与支持该活动有关系．”( ) 附：P (χ2≥k 0)0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 02.7063.8415.0246.63510.828A.0.1% B ．1% C ．99%D ．99.9%9．一个频率分布表(样本容量为30)不当心被损坏了一部分(如图)，只记得样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估量样本分别在[40,50)，[50,60)上的数据个数可能是( )A ．7和6B ．6和9C ．8和9D ．9和1010．对四组数据进行统计，获得图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A ．r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1B ．r 4＜r 2＜0＜r 1＜r 3C ．r 4＜r 2＜0＜r 3＜r 1D ．r 2＜r 4＜0＜r 1＜r 311．(2021·驻马店模拟)中心电视台为了调查近三年的春晚节目中各类节目的受欢迎程度，用分层抽样的方法，从2011年至2021年春晚的50个歌舞类节目，40个戏曲类节目，30个小品类节目中抽取样本进行调查，若样本中的歌舞类和戏曲类节目共有27个，则样本容量为( ) A ．36 B ．35 C ．32 D ．30 12．(2021·蚌埠模拟)给出以下命题： ①若p 或q 为假命题，则p 与q 均为假命题；②对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i ) (i ＝1,2，…，8)，其线性回归方程是y ＝13x ＋a ，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a ＝14；③对于分类变量X 与Y 的随机变量χ2来说，χ2越小，“X 与Y 有关联”的把握程度越大； ④已知x －12－x ≥0，则函数f (x )＝2x ＋1x 的最小值为16.其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．从某中学高一班级中随机抽取100名同学，将他们的成果(单位：分)数据绘制成频率分布直方图(如图)．则这100名同学成果的平均数，中位数分别为________．14．某企业三月中旬生产A 、B 、C 三种产品共3 000件，依据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别 A B C 产品数量(件) 1 300 样本容量(件)130由于不当心，表格中A 、C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，依据以上信息，可得C 产品的数量是________件．15．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：时间x 1 2 3 4 5 命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，猜想小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．16．关于统计数据的分析，有以下几个结论： ①一组数不行能有两个众数；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；③调查剧院中观众观看感受时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查，属于分层抽样； ④一组数据的方差确定是正数；⑤如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段大路时的时速频率分布直方图，依据这个直方图，可以得到时速在[50,60)的汽车大约是60辆，则这五种说法中错误的是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2021·济南模拟)从某高校高三班级800名男生中随机抽取50名同学测量其身高，据测量，被测同学的身高全部在155 cm 到195 cm 之间，将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155,160)，其次组[160,165)，…，第八组[190,195]，下图是按上述分组得到的频率分布直方图的一部分．已知第一组与第八组的人数相同，第七组与第六组的人数差恰好为第八组与第七组的人数差．求下列频率分布表中所标字母的值，并补充完成频率分布直方图．频率分布表：分组频数频率频率/组距…………[180,185)x y z[185,190)m n p…………18．(12分)(2021·江西八所重点中学联考)“双节”期间，高速大路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速大路的车速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]后得到如图所示的频率分布直方图．(1)求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估量值；(2)若从车速在[60,70)内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65,70)内的车辆恰有一辆的概率．19．(12分)(2022·课标全国Ⅱ)某地区2007年至2021年农村居民家庭人均纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2007200820092010201120222021年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9(1)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化状况，并猜想该地区2021年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估量公式分别为:b＝∑i＝1n(t i－t)(y i－y)∑i＝1n(t i－t)2，a＝y－b t.20．(12分)为使同学更好地了解中华民族宏大复兴的历史学问，某校组织了一次以“我的梦，中国梦”为主题的学问竞赛，每班选25名同学参与竞赛，成果分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某班级的一班和二班的成果整理并绘制成统计图：请依据以上供应的信息解答下列问题：(1)把一班竞赛成果统计图补充完整；(2)写出下表中a，b，c的值.平均数(分)中位数(分)众数(分)一班a b90二班87.680c(3)①从平均数和中位数方面来比较一班和二班的成果；②从平均数和众数方面来比较一班和二班的成果；③从B级以上(包括B级)的人数方面来比较一班和二班的成果．21．(12分)某个体服装店经营某种服装，一周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装的件数x之间的一组数据如下：已知：∑7i ＝1x 2i ＝280，∑7i ＝1y 2i ＝45 309，∑i ＝1x i y i ＝3 487. (1)求x ，y ；(2)推断纯利润y 与每天销售件数x 之间是否线性相关，假如线性相关，求出线性回归方程．22．(12分)(2021·沈阳质量监测二)在一次数学测验后，班级学委对选答题的选题状况进行统计，如下表：(1)以得到如下2×2列联表：(2)在原统计结果中，假如不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈，已知这名学委和两名数学课代表都在选做“不等式选讲”的同学中． (i)求在这名学委被选中的条件下，两名数学课代表也被选中的概率； (ii)记抽取到数学课代表的人数为X ，求X 的分布列及均值EX . 下面临界值表仅供参考：(参考公式：χ2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ))答案解析1．C [抽样间隔为46－33＝13，故另一位同学的编号为7＋13＝20，选C.] 2．C3．B [这组数据的平均数为a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 77＝7a 47＝a 4.又由于这组数据的方差等于1，所以17[(a 1－a 4)2＋(a 2－a 4)2＋(a 3－a 4)2＋(a 4－a 4)2＋(a 5－a 4)2＋(a 6－a 4)2＋(a 7－a 4)2]＝(－3d )2＋(－2d )2＋(－d )2＋0＋(d )2＋(2d )2＋(3d )27＝1.即4d 2＝1，解得d ＝±12.]4．A [由题意知a ＝11，b ＝34，c ＝8，d ＝37，n ＝90，则χ2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )的值约为0.600，故选A.]5．C [x ＝20×5＋10×4＋30×3＋30×2＋10×1100＝3，s ＝1100[20×(5－3)2＋10×(4－3)2＋30×(3－3)2＋30×(2－3)2＋10×(1－3)2] ＝1100(80＋10＋30＋40)＝ 160100＝41010＝2105.] 6．B [依据题意，得4＋a ＋6＋b ＋75＝5，得a ＋b ＝8.方法一由b ＝8－a ，得a 2＋b 2＝a 2＋(8－a )2＝2a 2－16a ＋64，其中a ，b 满足0≤a ≤9,0≤b ≤9，所以0≤a ≤9,0≤8－a ≤9，即0≤a ≤8且a 是整数，设函数f (a )＝2a 2－16a ＋64，分析知当a ＝4时， f (a )取得最小值32，所以a 2＋b 2的最小值是32.故选B.方法二由a ＋b ＝8，且a ，b ≥0，得8≥2ab ，故ab ≤16，则a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥64－32＝32，当且仅当a ＝b ＝4时等号成立，所以a 2＋b 2的最小值是32.]7．A [由于变量x 和y 正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排解选项C 和D.由于样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)分别代入选项A 和B 中的直线方程进行检验，可以排解B ，故选A.]8．C [由于7.069与附表中的6.635最接近，所以得到的统计学结论是：有1－0.010＝0.99＝99%的把握认为“同学性别与支持该活动有关系”，选C.] 9．B [因样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则样本中数据在[20,60)上的频数为30×0.8＝24. 又由于样本中数据在[20,40)上的频数为4＋5＝9，所以样本在[40,60)上的数据的个数为24－9＝15. 由选项知B 符合．]10．A [易知题中图(1)与图(3)是正相关，图(2)与图(4)是负相关，且图(1)与图(2)中的样本点集中分布在一条直线四周，则r 2＜r 4＜0＜r 3＜r 1.]11．A [设从30个小品类节目中抽取x 个，则有x 30＝2750＋40，解得x ＝9.则27＋9＝36，所以样本容量为36.]12．B [①正确．②中a ＝18，所以②不正确．③中χ2越小，“X 与Y 有关联”的把握程度越小，所以③不正确．由x －12－x ≥0可得1≤x <2，由于f (x )＝2x ＋1x ≥22＝4，当且仅当x ＝1时取等号，所以④不正确．]13．125,124解析由图可知(a ＋a －0.005)×10＝1－(0.010＋0.015＋0.030)×10，解得a ＝0.025，则x ＝105×0.1＋115×0.3＋125×0.25＋135×0.2＋145×0.15＝125. 中位数在120～130之间，设为x ，则0.01×10＋0.03×10＋0.025×(x －120)＝0.5，解得x ＝124. 14．800解析设C 产品的数量为x ，C 产品的样本容量为a ，则A 产品的数量为1 700－x ， A 产品的样本容量为10＋a ，由分层抽样的定义可知：1 700－x a ＋10＝x a ＝1 300130，∴x ＝800.15．0.5 0.53解析平均投篮命中率y ＝15(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5，而x ＝3.∑i ＝15(x i －x )(y i －y )＝(－2)×(－0.1)＋(－1)×0＋0×0.1＋1×0.1＋2×(－0.1)＝0.1，∑i ＝15(x i －x )2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10，于是b ＝0.01，a ＝y －b x ＝0.47，∴y ＝0.01x ＋0.47，令x ＝6，得y ＝0.53. 16．①③④解析一组数中可以有两个众数，故①错误；依据方差的计算法可知②正确；③属于简洁随机抽样，错误；④错误，由于方差可以是零；⑤正确．17．解由频率分布直方图可知前五组的频率和是 (0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，第八组的频率是0.008×5＝0.04，所以第六、七组的频率和是1－0.82－0.04＝0.14，所以第八组的人数为50×0.04＝2，第六、七组的总人数为50×0.14＝7. 由已知得x ＋m ＝7，m －x ＝2－m ，解得x ＝4，m ＝3.所以y ＝0.08，n ＝0.06，z ＝0.016，p ＝0.012.补充完成频率分布直方图如图所示．18．解 (1)众数的估量值为77.5，设中位数的估量值为x ，则0.01×5＋0.02×5＋0.04×5＋0.06×(x －75)＝0.5，解得x ＝77.5，即中位数的估量值为77.5.(2)从题图中可知，车速在[60,65)内的车辆数为0.01×5×40＝2，车速在[65,70)内的车辆数为0.02×5×40＝4，记车速在[60,65)内的两辆车为a ，b ，车速在[65,70)内的四辆车为c ，d ，e ，f ，则全部基本大事有 (a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )， (b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )， (c ，d )，(c ，e )，(c ，f )， (d ，e )，(d ，f )， (e ，f )，共15个，其中车速在[65,70)内的车辆恰有一辆的大事有：(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，共8个．所以若从车速在[60,70)内的车辆中任抽取2辆，则车速在[65,70)内的车辆恰有一辆的概率为P ＝815.19．解 (1)由所给数据计算得t ＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y ＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，∑i ＝17(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，∑i ＝17(t i －t )(y i －y )＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b ＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝1428＝0.5， a ＝y －bt ＝4.3－0.5×4＝2.3，所求线性回归方程为 y ＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，b ^＝0.5>0，故2007年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2021年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得y ＝0.5×9＋2.3＝6.8，故猜想该地区2021年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元． 20．解 (1)25－6－12－5＝2(人)．(2)a ＝87.6，b ＝90，c ＝100.(3)①一班和二班平均数相等，一班的中位数大于二班的中位数，故一班的成果好于二班． ②一班和二班平均数相等，一班的众数小于二班的众数，故二班的成果好于一班； ③B 级以上(包括B 级)一班18人，二班12人，故一班的成果好于二班．21．解 (1)x ＝17(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，y ＝17(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)≈79.86.(2)依据已知∑7i ＝1x 2i ＝280，∑7i ＝1y 2i ＝45 309， ∑7i ＝1x i y i ＝3 487，得相关系数r ＝3 487－7×6×79.86(280－7×62)(45 309－7×79.862)≈0.973.由于0.973>0.75，所以纯利润y 与每天销售件数x 之间具有显著的线性相关关系．利用已知数据可求得线性回归方程为 y ＝4.75x ＋51.36. 22．解 (1)由题意得 χ2＝42×(16×12－8×6)224×18×20×22＝25255≈4.582>3.841. 所以，据此统计有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关． (2)由题意可知在“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学． (i)令大事A 为“这名学委被选中”；大事B 为“两名数学课代表被选中”，则P (A ∩B )＝C 33C 318，P (A )＝C 217C 318.所以P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝C 33C 217＝217×16＝1136.另解：令大事A 为“在这名学委被选中的条件下，两名数学课代表也被选中”，则P (A )＝C 22C 217＝217×16＝1136.(ii)由题意知X 的可能取值有0,1,2，依题意P (X ＝0)＝C 316C 318＝3551，P (X ＝1)＝C 216C 12C 318＝517，P (X ＝2)＝C 116C 22C 318＝151.从而X 的分布列为于是EX ＝0×3551＋1×517＋2×151＝1751＝13.。

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