热传导方程的初边值问题
harnack不等式_热传导方程_概述说明
harnack不等式热传导方程概述说明1. 引言1.1 概述在数学和物理学领域中，热传导方程是一个重要的方程模型，用于描述物质内部的热传输过程。
它在许多实际问题中具有广泛的应用，例如材料科学、地球物理学和工程等领域。
本篇文章旨在介绍热传导方程以及与之密切相关的Harnack 不等式。
1.2 文章结构本文将按照如下的结构进行组织和详细说明：- 引言：对文章主题进行概述，说明文章结构和目的。
- Harnack不等式：介绍Harnack不等式的定义、背景以及其在数学领域中的重要性和应用。
- 热传导方程：给出热传导方程的方程模型及其基本性质，并介绍相应的初边值问题和解的存在唯一性。
- 概述说明：探讨Harnack不等式与热传导方程之间的关联性，并总结基于Harnack不等式所进行的研究，同时探讨实际应用案例。
- 结论：对全文进行回顾总结并展望未来对这一领域进一步的研究和发展。
1.3 目的本文的目的是通过对热传导方程和Harnack不等式的综述，使读者了解热传导方程及其性质，并认识到Harnack不等式在这一领域中的重要作用。
同时，希望激发读者对于研究热传导方程以及利用Harnack不等式进行相关探索和实际应用的兴趣。
通过该篇论文，读者可以系统地了解研究现状，为未来工作提供参考和启示。
2. Harnack不等式:2.1 定义和背景:Harnack不等式是数学上的一个重要不等式，最早由德国数学家阿道夫·海因里希·哈纳克在19世纪末提出。
它是研究热传导方程及其解的性质时经常使用的基本工具。
热传导方程描述了物体内部温度分布随时间的演化规律，是表达多种自然现象的一种偏微分方程模型。
在研究热传导方程解的性质时，我们常常需要借助Harnack不等式来推导结论。
2.2 Harnack不等式的表述:Harnack不等式可以用下述方式进行简单陈述：设u(x, t)是满足某些正则条件的关于空间变量x和时间变量t的函数，且满足热传导方程。
deform有限元模拟 边值问题公式化
deform有限元模拟边值问题公式化一、一维热传导问题题目1：考虑一根长度为L的均匀杆，杆的左端（x = 0）温度保持为T_0，右端（x = L）温度保持为T_L。
杆的热传导系数为k，横截面积为A，单位长度的热生成率为q。
建立热传导的边值问题公式。
解析：1. 控制方程- 根据傅里叶热传导定律，对于一维热传导，热传导方程为：(∂)/(∂ x)(kA(∂T)/(∂ x))+qA = ρ Ac(∂ T)/(∂ t)，在稳态（(∂ T)/(∂ t)=0）情况下，方程简化为：(d)/(dx)(k(dT)/(dx))+q = 0。
2. 边界条件- 在x = 0处，T=T_0（第一类边界条件）。
- 在x = L处，T=T_L（第一类边界条件）。
题目2：对于上述杆，如果左端是绝热的（即热流为0），右端与温度为T_{∞}的环境进行热对流，对流换热系数为h。
重新建立边值问题公式。
解析：1. 控制方程- 稳态热传导方程仍然是：(d)/(dx)(k(dT)/(dx))+q = 0。
2. 边界条件- 在x = 0处，(dT)/(dx)=0（第二类边界条件，表示绝热）。
- 在x = L处，-k(dT)/(dx)=h(T - T_{∞})（第三类边界条件，表示热对流）。
二、弹性力学中的梁弯曲问题题目3：考虑一长度为L的简支梁，受到均布载荷q作用。
梁的弯曲刚度为EI。
建立梁弯曲的边值问题公式。
解析：1. 控制方程- 梁的弯曲控制方程为：EIfrac{d^4w}{dx^4}=q，其中w是梁的挠度。
2. 边界条件- 在x = 0处，w = 0（第一类边界条件，表示梁在左端的位移为0），EIfrac{d^2w}{dx^2}=0（表示左端弯矩为0）。
- 在x = L处，w = 0（第一类边界条件，表示梁在右端的位移为0），EIfrac{d^2w}{dx^2}=0（表示右端弯矩为0）。
题目4：如果梁的左端固定（位移和转角都为0），右端为自由端（弯矩和剪力都为0），重新建立边值问题公式。
Caputo型时间分数阶热传导方程非齐次初边值问题的研究
Caputo型时间分数阶热传导方程非齐次初边值问题的研究Caputo型时间分数阶热传导方程非齐次初边值问题的研究引言：时间分数阶微积分是对传统整数阶微积分的推广和拓展，它在描述具有记忆特性的非线性行为方面具有很大的潜力。
而热传导方程是描述传热过程中温度变化的重要方程之一。
因此，研究时间分数阶热传导方程的非齐次初边值问题对于理解热传导行为及其动力学机制具有重要意义。
本文主要研究Caputo型时间分数阶热传导方程的非齐次初边值问题。
首先，我们简要回顾了时间分数阶微积分的基本概念和性质，包括Riemann-Liouville和Caputo定义、性质及其逆变换等。
然后，我们介绍了热传导方程的基本理论和解析解的求解方法，包括分离变量法和Laplace变换法。
接着，我们详细讨论了Caputo型时间分数阶热传导方程的非齐次初边值问题，包括方程的建立、边界条件的确定和解的求解过程。
正文：时间分数阶微积分是对传统整数阶微积分的推广和拓展，它引入了记忆项，能够更好地描述具有非线性和非局域的行为特性。
时间分数阶微积分的两种常用定义分别是Riemann-Liouville定义和Caputo定义。
Riemann-Liouville定义将分数阶导数定义为整数阶导数的分数次积分，而Caputo定义则是将分数阶导数定义为整数阶导数和初始条件的组合。
Caputo定义具有更好的初值性质和适应性。
热传导方程是描述传热过程中温度变化的重要方程之一。
在传统整数阶热传导方程中，使用分离变量法或Laplace变换法可以得到其解析解。
然而，在时间分数阶热传导方程中，由于分数阶导数的非局域性和非线性性质，解析解的求解变得更加复杂。
因此，我们需要寻找适用于时间分数阶热传导方程的新的数值方法和近似解法。
针对Caputo型时间分数阶热传导方程的非齐次初边值问题，我们首先建立了方程的数学模型。
假设热传导介质的性质是均匀的，并且在边界上有一定的温度分布。
热传导方程的导出及其定解问题的导出
热传导方程的导出及其定解问题的导出1. 热传导方程的导出考察空间某物体G 的热传导问题。
以函数u (x ,y ,z ,t )表示物体G 在位置(x ,y ,z )及时刻t 的温度。
依据传热学中的Fourier 实验定律，物体在无穷小时段dt 内沿法线方向n 流过一个无穷小面积dS 的热量dQ 与物体温度沿曲面dS 法线方向的方向导数学成正比，即o n d udQ =-k (x ,y ,z )dSdt (1-1)o n 其中k (x ,y ,z )称为物体在点(x ,y ,z )处的热传导系数，它应取正值。
(1-1)式中负号的出 o u现是由于热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，因此dQ 应和异号。
o n在物体G 内任取一闭曲面r ，它所包围的区域记为0，由(1-1)式，从时刻t 到t 流进12此闭曲面的全部热量为Q =f t 2仙k (x ,y ,z)—dS\dt (1-2)4I r O nJ这里表示u沿r 上单位外法线方向n 的方向导数。
o n流入的热量使物体内部的温度发生变化，在实践间隔(t ,t )中物体温度从u (x ,y ,z ,t )121变化到u (x‘y ,z ,t2)，它所应该吸收的热量是JU c (x ,y ,z )P (x ,y ,z )[u (x ,y ,z ,t )一u (x ,y ,z ,t )]dxdydz其中c 为比热，P 为密度。
因此就成立 >dt=JfJ C (x ,y ,z )P (x，y ,z)[u (x,y ,z ,12)一U (x ,y ,z ,t i )]dxdydz(1-3)假设函数u 关于变量x ,y ,z 具有二阶连续偏导数，关于t 具有一阶连续偏导数，利用格林公式，可以把(1-3)化为交换积分次序，就得到J t t 12仰(x ，y ,z )护t10O x{k 譽'O x 丿(一O u 、 +—k 二+—°y°y 丿 O z (O u 、k 一>dxdydzdt =c P JI o 丿J 「E O u dtdxdydztO t 丿dxdydzdt =0(1-4)训c P '0、由于t i,t2,0都是任意的，我们得到(1-5)式称为非均匀的各向同性体得热传导方程。
数学物理方程练习题
σf 4dSdt.
根据热量平衡有 故所求边界条件为
−k
∂u ∂n
dSdt
=
σu4dSdt
−
σf
4dSdt.
−k
∂u ∂n
=
σ(u4
− f 4).
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 12 / 49
1. 热传导方程及其定解问题的导出 2. 初边值问题的分离变量法 3. 柯西问题 4. 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 5. 解的渐近性态
dQ = −βQ, dt Q(0) = Q0,
⇒ Q(t) = Q0e−βt.
易知 t1 到 t2 时刻, 砼内任一区域 Ω 中的热量的增加等于从 Ω 外部流入 Ω 的热量及砼中的水化热之和, 即
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 7 / 49
热传导方程及其定解问题的导出
∫ t2 cρ ∂u dtdxdydz =
.
热传导方程
.
Heat Equations
齐海涛
山东大学（威海）数学与统计学院
htqisdu@
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 1 / 49
目录
1. 热传导方程及其定解问题的导出 2. 初边值问题的分离变量法 3. 柯西问题 4. 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 5. 解的渐近性态
热传导方程及其定解问题的导出
.E.xample 1.2
.试直接推导扩散过程所满足的微分方程.
解: 设 N(x, y, z, t) 表示在时刻 t, (x, y, z) 点处扩散物质的浓度, D(x, y, z) 为 扩散系数, 在无穷小时间段 dt 内, 通过无穷小曲面块 dS 的质量为
热传导方程初边值问题
热传导方程初边值问题介绍热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的一类偏微分方程。
在实际生活和工程中，了解和解决热传导问题对于保护环境和优化工艺非常重要。
本文将详细介绍热传导方程的初边值问题及其解决方法。
初边值问题的定义初边值问题是指在给定一定空间区域和时间区域内，求解偏微分方程在这些区域内满足一定初值和边界条件的解。
对于热传导方程，我们通常关注的是物体内部的温度分布随时间的变化，因此需要给出初始时刻物体内各点的温度，并指定物体表面与周围介质之间的热量交换方式。
热传导方程热传导方程描述了物体内部温度分布随时间变化的规律，其一维形式为：∂u ∂t =α∂2u∂x2其中，u(x,t)代表了某一点(x,t)处的温度，α代表热扩散系数，t代表时间，x代表空间位置。
初边值条件为了求解热传导方程的初边值问题，我们需要给出一些初始条件和边界条件。
常见的初边值条件包括： - 初始条件：u(x,0)=f(x)，给出初始时刻物体内各点的温度分布，f(x)代表初始时刻的温度函数。
- 边界条件：u(a,t)=g(t)和u(b,t)=ℎ(t)，指定物体表面与周围介质之间的热量交换方式，a和b分别为空间区域的起始和结束位置，g(t)和ℎ(t)为边界处的温度函数。
初边值条件的选择对于求解问题的精确性和适用范围具有重要影响。
解法针对热传导方程的初边值问题，我们可以通过数值方法或解析方法来求解。
下面介绍两种常见的解法。
球坐标系下的分离变量法对于某些具有球对称性的问题，可以采用球坐标系下的分离变量法来求解。
通过假设解具有分离变量形式u(r,θ,ϕ,t)=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ)T(t)，将热传导方程分解成径向、角度和时间三个单变量函数的形式，然后带入原方程得到各个变量的微分方程。
最后通过求解单变量微分方程和利用边界条件，确定解的具体形式。
差分方法差分方法是一种常用的数值方法，通过将连续的空间和时间区域离散化，将热传导方程转化为有限差分方程组，并通过迭代求解来逼近真实的解。
微分方程中的边值问题与初值问题
微分方程中的边值问题与初值问题微分方程是数学中的一种重要概念，广泛应用于科学和工程领域。
边值问题和初值问题是微分方程的两类基本问题。
本文将重点讨论微分方程中的边值问题与初值问题，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、边值问题边值问题是指在给定的区间内，求解微分方程的解在区间两个端点处满足一些给定的条件。
通常情况下，边值问题的求解需要利用方程的边界条件来确定解的形式。
对于一阶微分方程，边值问题的一般形式可以表示为：$$\begin{cases}y'(x) = f(x, y(x)) \\y(a) = \alpha \\y(b) = \beta \\\end{cases}$$其中，$f(x, y(x))$是给定的函数，$a$和$b$是区间的端点，$\alpha$和$\beta$是给定的常数。
边值问题的求解可以利用一些经典的数值方法，如有限差分法、有限元法等。
这些方法将边值问题转化为一个离散的数值问题，并通过迭代求解来逼近真实的解。
边值问题在物理学、工程学和生物学等领域有广泛应用。
例如，在弹簧振动系统中，可以通过求解边值问题来确定系统的稳定状态。
在电路分析中，可以利用边值问题求解电路中的电压、电流分布等问题。
二、初值问题初值问题是指在给定的初始条件下，求解微分方程的解在某一点处的值。
与边值问题不同，初值问题只需要确定方程在某一点的解，而不需要确定整个区间上的解。
对于一阶微分方程，初值问题的一般形式可以表示为：$$\begin{cases}y'(x) = f(x, y(x)) \\y(x_0) = y_0 \\\end{cases}$$其中，$f(x, y(x))$是给定的函数，$x_0$是初始点的横坐标，$y_0$是初始点的纵坐标。
初值问题的求解可以采用一些经典的数值方法，如欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法通过迭代计算微分方程的斜率和步长，逐步逼近解的真实值。
初值问题在物理学、控制系统和经济学等领域有广泛应用。
热传导方程(扩散方程)
u q0 k n x=l处： u
n
x
n
若端点是绝热的，则
u u |xl x x
0
x 0
三、定解问题 定义1 在区域 G [0, ) 上，由偏微分方程、初 始条件和边界条件中的其中之一组成的定解问题称为 初边值问题或混合问题。
ut a 2 uxx 0, u x ,0 ( x ), u o, t 1 ( t ), 0 x l , t 0, 0 x l , t 0, ux l , t hu l , t 2 (t ), t 0, h 0.
内温度变化所需要的热量 Q =通过曲面 S 流入 内的热量 Q1+热源提供的热量 Q2
下面分别计算这些热量
（1） 内温度变化所需要的能量 Q 设物体 G 的比热（单位质量的物体温度改变 1 C 所需要的热量为c c( x , y , z ), 密度为 ( x , y , z ), 那么包含点 ( x , y , z )的体积微元 dV的温度从 u( x , y , z , t1 ) 变为 u( x, y, z , t 2 ) 所需要的热量为
(1.6)
通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6） 为齐次热传导方程。
二、定解条件（初始条件和边界条件）
初始条件：
u( x , t ) ( x , y , z ), ( x , y, z ) G , t 0 : (1.7)
边界条件：( G )
1、第一边界条件（ Dirichlet 边界条件）
u f x , y , z
或者 2u f x, y, z .
拉普拉斯方程和泊松方程不仅描述稳定状态下温 度的分布规律，而且也描述稳定的浓度分布及静 电场的电位分布等物理现象。
热传导方程初边值问题的注记
第 三类边界 条件 的初 边值 问题 ． 后 不 管是 对 具第 ”其
三类 边界条 件还 是对 具 第 二 类 边 界 条件 的初 边值 问
由极 值原理 知 ，
ｍ ａ ｕ（ ，） 一 ｍａ ￡（ ． ｘ ｘ‘ｚ，）
１ 引 言
ｆ “ 微 分 方 程 ”热 传 导 方 程 部 分 的 教 学 过 程 偏 中， 热传导 方程 的极值 原 理 是 非 常 重 要 的 内容 ． 用 运
它 可 以去研 究初 边值 问题 的解 的唯 一性 和稳定 性． 有
在 下 文 中 ， 妨 假设 不
Ｑ Ｔ＝ ｛ ，）ｌ （ ０＜ ｚ＜ Ｚ０＜ ｔ Ｔ） ， ≤ ，
ＲＴ＝ Ｑ１ ＦＴ— Ｒ１一 Ｑｒ 、 ， ＇ ．
与 文［］所 不 同 的是 ， 面 直 接 运 用 极 值 原 理 来 对 ３ 下
（ｉ 甜的 上 界 ． ）
文 ［］ 讲述 这部 分 内容前 ， 定 理 ４ １ 证 明 解 ｕ ｘ，） 行估 计 ． ３在 称“ ．所 （ ￡进
ｘ（ ． “（ｚ ，ｏ ０ ｔ）＝ ｍ ａ ｕ ，）
—
ｑＴ
由于抛物 边界 ｒ Ｔ由两 侧边 和 一底 边 构成 ， 于是再 分 三种 情形 讨论 ： １ 若 （ ， ）在侧 边 ｚ＝ ０ ０≤ ￡ Ｔ上 ， 。 。 ￡ 。 ， ≤ 则
（ ￡ ，）一 ｕ Ｏ ｔ）一 ￣ （ ）一 （， ｏ －ｔ ｇ Ｏ ｌ
ｒ Ｔ 。
３ 若 （ ｏ ）在侧 边 Ｘ— ｚ０≤ ｔ Ｔ上 ， 。 ｚ， ， ≤ 则
ｍａ ／（ ，） 一 ｕ（ ，ｏ ｘ ￡ ／ １ ｔ）．
ｒ Ｔ
我们 先考 虑 文 ［ ］中 的 具 第 三 类 边 界 条 件 的初 ３ 边 值 问题
向前Euler格式求解热传导方程Dirichlet初边值问题
17 (0.5 , 0.17) -42.8371 1.9542 4.4791e+01
18 (0.5 , 0.18) 132.9477 1.9739 1.3097e+02
表 3.3
取不同步长时数值解的最大��
������∞(ℎ, ������) ������∞(2ℎ, 4������)/������∞(ℎ, ������)
k (x , t)
数值解 精确解 |精确解-数值解|
1 (0.5 , 0.01) 1.6652 1.6653 6.8968e-05
2 (0.5 , 0.02) 1.6819 1.6820 1.3932e-04
3 (0.5 , 0.03) 1.6987 1.6989 2.1107e-04
4 (0.5 , 0.04) 1.7157 1.7160 2.8425e-04
13 (0.5 , 0.13) 1.2870 1.8776 5.9063e-01
14 (0.5 , 0.14) 3.6519 1.8965 1.7554e+00
15 (0.5 , 0.15) -3.2776 1.9155 5.1931e+00
16 (0.5 , 0.16) 17.2114 1.9348 1.5277e+01
1/10 1/200 8.6337e-04
热传导方程的初边值问题
热传导方程的初边值问题热传导方程是研究物体在热传导过程中温度随时间和空间的变化规律的数学模型。
初边值问题是给定某个初始条件和边界条件，求解热传导方程的问题。
本文将讨论热传导方程的初边值问题，并介绍一些求解方法。
1. 热传导方程的基本概念热传导方程描述了物体内部的温度随时间和空间的变化规律。
它的数学表达式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} - a^2\nabla^2u=0$$其中，$u$表示物体内每个点的温度，$a$代表物体的热传导系数，$\nabla^2u$表示温度的梯度。
这个方程可以描述一维、二维和三维的情况。
2. 初边值问题的基本概念在研究热传导方程时，通常需要解决初边值问题。
这个问题是在一定的时间范围内，在某些区域内确定某些温度和温度梯度的初始值和边界条件，然后根据热传导方程求解温度随时间和空间的变化规律。
初边值问题的形式可以表示为：$$\left \{\begin{aligned}&\frac{\partial u}{\partial t} - a^2\nabla^2u=0&\quad\Omega\times(0,T)\\&u(x,t)=u^0(x,t)&\quad\text{on }\ \partial\Omega\times(0,T)\\&u(x,0)=u_0(x)&\quad \text{in }\ \Omega\end {aligned}\right .$$其中，$\Omega$表示问题所在的区域，$T$表示时间范围，$u^0(x,t)$表示边界条件，$u_0(x)$表示初始条件。
3. 求解初边值问题的方法对于初边值问题，常见的求解方法有以下几种：（1）分离变量法分离变量法是一种常用的求解偏微分方程的方法。
可以根据问题的对称性，将其解分解成一个时间函数和一个空间函数的乘积。
通过对每一部分采用不同的数学处理方法，最终得到问题的解。
数理方程：第2讲典型方程的定解条件
弹性力 k u xl
张力
T u x xl
u
u
x
xl
0
( T )
k
(2) 热传导问题（端点自由冷却）
散失的热量
dQ1 h(u u1)dSdt
内部流到边界的热量
dQ2
k
u dSdt n
dQ1 dQ2 k nu h(u u1 )
即
(u
u )
x xl
u1
( k )
h
§3 定解问题
x
, t
0)
的解等于问题(I)和问题(II)的解之和
(I)
utt u t0
a2uxx 0
( x), ut
t0
(
(x)
x
, t
0)Байду номын сангаас
(II) utt a2uxx f ( x, t ) u t0 0, ut t0 0
( x ,t 0)
如
Lu
a11
2u x 2
2a12
2u xy
a22
2u y 2
b1
u x
b2
u y
c
u
u x
x0
二阶偏微分方程
a11
2u x 2
2a12
2u xy
a22
2u y 2
b1
u x
b2
u cu y
f
可简写为
L[u] f
叠加原理 1 若ui 满足线性方程 L[ui ] fi ，i 1,2,, n
➢包含初值条件和边界条件的定解问题称为混合问题 (初边值问题)
uutt
0
a2(uxx
(x, y
u yy ,z)
4.7.1解的渐进性态
2
所以 → ∞时(0 , )为指数衰减。证毕。
热传导方程的柯西问题
2
2
=
൞
2
, 0 = ()
的唯一解
, =
+∞
对增加条件：如果−∞
1
+∞
න
− 2
−
42
2 −∞
() 收敛，则称 ∈ ′()，并记
+∞
1 ()
=න
−∞
()
定理 设是有界连续函数，且 ∈ ′()，则热传导方程柯西问题
解的适定性
存在性 唯一性 稳定性
热传导方程 = 2
波动方程 = 2
发展型方程
求得方程解的表达式(, )
取 → ∞时的极限，
得到解的渐近性态
问题：无法求出解的具体表达式
或者
解的表达式为
∞
σ
无穷级数 , = = (, )
积分 , = , ,
2
∞
(−)
1
−
න () 42
(, ) =
2 −∞
由()的性质知
(0 −)2
1
−
න () 42
(0 , ) =
2
记 = 0 − , 0 − ，则
2
2
1
1
− 2
− − 2
4
න () ≤ 2 4
维数。
例1 设(, )是下列初边值问题的解：
= (0 < < , > 0)
一维热传导方程求解例题
一维热传导方程求解例题【原创版】目录一、问题的提出二、问题的分析1.一维热传导方程的定义2.初边值问题的概念3.差分解法求解一维热传导方程三、差分解法的实现1.设定参数2.编写代码3.运行代码并观察结果四、结论正文一、问题的提出在实际应用中，热传导问题非常常见。
例如，在距离为 L 的两个半无限长壁面之间有传热的流体，我们需要求解流体的温度分布。
这类问题可以用一维热传导方程来描述。
本篇文章将通过一个例题，介绍如何用差分解法求解一维热传导方程。
二、问题的分析1.一维热传导方程的定义一维热传导方程是一个偏微分方程，描述了物质在温度场中的传输过程。
在一维空间中，热传导方程只涉及一个空间坐标，即 x。
2.初边值问题的概念初边值问题是指在给定边界条件和初始条件下，求解偏微分方程的问题。
在一维热传导方程中，初边值问题包括两个边界条件（在 x=0 和 x=L 处）和一个初始条件（在 t=0 时）。
3.差分解法求解一维热传导方程差分解法是一种常用的数值方法，可以用来求解一维热传导方程。
该方法将连续的空间和时间离散化，通过求解离散的方程组来逼近连续的解。
三、差分解法的实现1.设定参数在实现差分解法时，需要设定一些参数，如空间步长 h、时间步长 tao、边界条件等。
这些参数会影响到求解的精度和速度。
2.编写代码利用 Matlab 等数值计算工具，可以根据差分解法的原理编写求解一维热传导方程的代码。
代码主要包括以下几个部分：- 定义参数- 初始化网格和变量- 求解离散方程组- 绘制结果3.运行代码并观察结果运行代码后，可以得到一维热传导方程的数值解。
通过观察温度分布的变化，可以验证求解结果的正确性。
四、结论差分解法是一种有效的数值方法，可以用来求解一维热传导方程。
通过合理选择参数和编写代码，可以得到满意的求解结果。
分离变量法解 1 维热传导方程的初边值问题
标题：深度剖析分离变量法解 1 维热传导方程的初边值问题在研究热传导方程的初边值问题时，分离变量法是一种常用而有效的求解方法。
本文将对分离变量法解 1 维热传导方程的初边值问题进行深度剖析，并探讨其在物理和数学领域的应用。
在数学领域，热传导方程是描述物体温度随时间和空间变化的偏微分方程。
而在物理领域，热传导方程也是研究热量传递和热平衡的重要工具。
分离变量法，作为一种常见的求解方法，其原理和应用也备受关注。
1. 分离变量法的基本原理当我们面对一个包含多个变量的偏微分方程时，为了求解方程，我们常常采用分离变量的方法，将多个变量分开处理，从而简化原方程。
在解 1 维热传导方程的初边值问题中，分离变量法被广泛应用。
2. 解初边值问题的具体步骤2.1 我们需要对热传导方程进行分离变量，假设解可以表示为两个独立变量的乘积形式。
2.2 将分离后的各部分分别求解，并根据初边值条件确定待定系数。
2.3 将各部分的解线性组合，得到原方程的通解。
3. 应用举例在实际问题中，分离变量法可以应用于多种热传导问题的求解，比如杆的温度分布、矩形板的热传导以及圆环的热传导等。
这些例子不仅帮助我们理解分离变量法的具体应用，同时也展示了这一方法的广泛适用性。
回顾本文所述内容，我们深入剖析了分离变量法解 1 维热传导方程的初边值问题。
通过从简入繁的讲解方式，我们对分离变量法有了更深入的理解，不仅在理论上得到了加强，更加清晰地掌握了其实际应用。
我们通过具体的例子，进一步巩固了对这一方法的理解和运用能力。
个人观点和理解：分离变量法作为一种求解偏微分方程的通用方法，具有普适性和实用性。
在解决热传导方程的初边值问题时，分离变量法能够有效简化问题，并得到较为清晰的解析解。
在实际工程和科学研究中，我们可以充分发挥分离变量法的优势，解决多种与热传导相关的问题。
在知识格式的文章中，我们可以用更具体的例子和实践经验来点题问题的解决，从而更好地向读者展示这一方法的魅力和应用前景。
北京师范大学偏微分方程考试试题(2016-2019)
北京师范大学 2017 ～ 2018 学年第一学期期末考试试卷（A 卷）
课程名称：
偏微分方程
任课老师姓名：
保继光
卷面总分： 100 分 院（系）：
考试时长： 120 分钟 专业：
考试类别： 闭卷 开卷 年级：
其他
姓名：
学号：
题号 一 得分
二 三 (1) 三 (2) 三 (3) 四 (1) 四 (2) 总 分 阅卷老师（签字）：
2. 写出三维 Laplace 方程的基本解和它的导函数, 以及上半空间的 Green 函数.
3. 特征值问题 X′′(x) + λX(x) = 0, 0 < x < 1, X(0) = X(1) = 0 的解是什么？.
4. 你做过作业中的选做题吗? 你看过有关偏微分方程的课外书吗? 试举一例.
2
弱极值原理可以直接推出解的 (5) , 而导致解的稳定性的是解的 (6) 估计, 它是 通过对辅助函数应用弱极值原理得到的. 在解的存在性方面, 通过引入 (7) , 获得了方 程的一个特解, 从而将位势方程的求解归结为调和方程.
对于Laplace方程的Dirichlet问题, 首先在区域具有某些对称性的情形, 如: 半空间、 球等, 借助基本解K(x) = (8) , 运用 (9) 方法, 获得了解的表达式—Possion公式. 然 后在一般区域情形, 使用 (10) 方法(C0下调和函数的上确界), 获得了解的存在性定理.
以各种现实情境和科学情境为背景的偏微分方程是形式多样的. 我们根据阶数和线
性性将它们分类.
如:
几何分析中的Yamabe方程−∆u
=
n+2
u n−2
(n
≥
热传导方程初边值问题
热传导方程初边值问题热传导方程初边值问题引言•热传导方程是描述物质内部温度分布随时间变化的重要方程之一。
•初边值问题是研究热传导方程在给定初始条件和边界条件下的解的问题。
•本文将介绍热传导方程的基本概念以及求解初边值问题的方法。
热传导方程的基本概念•热传导方程描述了物质内部温度分布随时间变化的规律。
•方程的形式为：∂u∂t =k⋅∂2u∂x2，其中u是温度分布函数，t是时间变量，x是空间变量，k是热传导系数。
•热传导方程的解依赖于初始条件和边界条件。
初边值问题的定义•初边值问题是指在给定初始条件和边界条件下求解热传导方程的解的问题。
•初始条件是指在t=0时刻的温度分布情况。
•边界条件是指在空间边界上温度的分布情况。
求解初边值问题的方法•求解初边值问题的方法多种多样，下面介绍两种常用的方法。
分离变量法•分离变量法是一种常用的求解热传导方程初边值问题的方法。
•首先将温度分布函数u(x,t)表示为两个变量x和t的乘积：u(x,t)=X(x)T(t)。
•然后将乘积形式的温度方程带入原方程，得到两个单独的方程：1 kX ∂2X∂x2=1T∂T∂t=−λ2。
•分别解这两个方程，得到X(x)和T(t)的表达式。
•最后将X(x)和T(t)相乘，即可得到最终的温度分布函数u(x,t)。
使用数值方法•当无法使用分离变量法求解热传导方程初边值问题时，可以使用数值方法进行求解。
•常见的数值方法包括有限差分法、有限元法等。
•有限差分法将连续的空间和时间离散化为网格点，通过近似求解差分方程得到温度分布。
•有限元法将连续的空间离散化为有限个单元，建立代表温度分布的函数空间，通过求解变分问题得到温度分布。
结论•热传导方程初边值问题在工程和科学研究中具有重要的应用价值。
•本文介绍了热传导方程的基本概念和求解初边值问题的方法。
•分离变量法和数值方法是常用的求解初边值问题的方法。
•进一步深入研究和应用这些方法，可以帮助我们更好地理解和解决热传导问题。
六点差分.doc
偏微分方程数值解法课程设计学号：*******姓名：***专业：信息与计算科学一、题目用六点对称差分格式计算如下热传导方程的初边值问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-==≤≤=≤<<<∂∂=∂∂--10,),1(,),0(10),cos()0,(10,,10,2222t e t u e t u x x x u t x x ut u tt πππ 已知其精确解为)cos(),(2x e t x u tππ-=.二、理论进行区间剖分，取步长M T N l h ==τ,，其中N,M 都是整数，用两族平行直线),,1,0(N j jh x x j ===和),,1,0(M k k t t k ===τ将矩形域{}10,10≤≤≤≤=t x G 分割成矩形网格，网格节点为()k j t x ,，用k j u 表示定义在网点),(k j t x 的函数，M k N j ≤≤≤≤0,0。
用差商代替微商，得到向前差分格式，即21112h u u u u u kj k j k j kjk j -+++-=-τ得到的向后差分格式为21111112h u u u u u k j k j k j k jk j +-+++++-=-τ将向前差分格式和向后差分格式作算术平均，即得六点对称差分格式。
题目中的六点对称差分格式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++-=----++-++++tk N t kj k j k j k j k j k j k j k j k j e u e u x u h u u u h u u u u u 22,)cos(2221002112111111πππτ 其中j=1,2,……,N-1,k=1,2,……,M-1. 上式中差分格式可以化解为k j kj k j k j k j k j u r u r u r u r u r u r 11111112)1(22)1(2-++-++++-+=-++- 其中 2h r τ=差分格式的矩阵表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+--+--+++--+-+-++)(200)(2122122122112212212211100122111121211k N k N k k k N k N k k k N k N k k u u r u u r u u u u r r r rr r r r r ru u u u r r r r r r r r r r三、稳定性分析稳定性分析：利用傅立叶方法，将jh i k p k j ev u ∂=代入计算， 得到格式为h j i k p jhi k p h j i k p h j i k p jhi k p h j i k p e v r e v r e v r e v r e v r e v r )1()1()1(11)1(12)1(22)1(2-∂∂+∂-∂+∂++∂++-+=-++- 化解上式，最后得到 k p k pv h r r h r r v )cos (1)cos (11∂-+∂--=+ 所以)cos (1)cos (1),(h r r h r r ph G ∂-+∂--=τ<1恒成立，即此差分格式恒稳定。
3 数理方程-热传导方程的导出
ux | x=L = q / k ux | x=L = q / k ux | x=L = – q / k
∂u | x = L = k1 ( u | x = L − u1 ) −k ∂x ∂u k | x = 0 = k1 ( u | x = 0 − u1 ) ∂x 电子科技大学
8/12
拉普拉斯方程与拉普拉斯算子 二维热传导方程: 二维热传导方程 ut = a2[uxx + uyy] 三维热传导方程: 三维热传导方程 ut = a2[uxx + uyy + uzz ]
t2 ∂u ∂u dt ]dxdydz = ∫ [ ∫∫∫ cρ dxdydz ]dt = ∫∫∫ cρ [ ∫ t 1 ∂t t1 ∂t V V
V
t2
Q1 = Q2
∫ [∫∫∫ k[div(Grad u )]dxdydz ]dt = ∫
t1 V
t2
t2
t1
∂u [ ∫∫∫ c ρ dxdydz ]dt ∂t V
∂u Q1 = ∫ [ ∫∫ k ds ]dt t1 ∂n 电子科技大学 S
t2
3/12
通过曲面进入导热体的总热量: 通过曲面进入导热体的总热量
Q1 = ∫ [ ∫∫∫ k[div (Grad u)]dxdydz ]dt
t1 V t2
温度升高所需热量: 温度升高所需热量
Q2 = ∫∫∫ cρ [u( x , y , z , t 2 ) − u( x , y , z , t1 )]dxdydz
(边界上有热流进入 边界上有热流进入) 边界上有热流进入
∂u = β ( x, y, z, t ) ∂n S
∂u III. 第三类边界条件 [ + σu] = γ ( x , y , z , t ) 第三类边界条件: ∂n S (边界上有热交换 边界上有热交换 边界上有热交换)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章习题1实验报告
一、实验目的
通过用最简显格式求解热传导方程的初边值问题，（1）会用显格式计算问题的解；（2）观察空间步长、时间步长不同的选择对结果的影响；（3）通过选择不同的网格比，观察最简显格式的稳定性。
二、实验内容
用古典（最简）显格式计算下列问题
22001,01,0sin ,01
0,0t x x u u
x t T t x u x x u u t T π===⎧∂∂=<<<≤⎪∂∂⎪⎪
=≤≤⎨⎪
==<≤⎪⎪⎩
并与解析解2
-sin()u e
x ππ=比较。
三、算法
节点： 1
,0,1,,,;,0,1,2,j k x jh j N h t k k N
τ===== 最简显格式为
1110
0(12)()1,2,,1sin(),0,1,,0,0,1,2,k k k k j j j j j j k k
N u r u r u u j N u x j N u u k π+++=-++⎧⎪
=-⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪=⎩
五 程序
#include<stdio.h>
#include<math.h> #define M 11 #define N 11
const double pi=3.1415926;
double Ut(double x);//初始时刻值 double fun(double x,double time); void main() {
int i,k;
double U[M][N]; double h=0.1,r=0.1,t;
t=r*h*h;
for(k=0;k<M;k++)
{
U[k][0]=0;
U[k][N-1]=0;
}
for(i=0;i<N;i++)
U[0][i]=Ut(h*i);
for(k=1;k<M;k++)
for(i=1;i<N-1;i++)
{ U[k][i]=r*U[k-1][i-1]+(1-2*r)*U[k-1][i]+r*U[k-1][i+1]; }
printf("古典显格式计算结果(t=0.005,h=0.1)：\n");
for(i=0;i<N;i++)
{ printf("x[%d]=%.5f\n",i,U[5][i]);}
printf("精确计算结果(t=0.005,h=0.1)：\n");
for(i=0;i<N;i++)
{printf("x[%d]=%.5f\n",i,fun(i*h,0.005));}
}
double Ut(double x)//初始时刻值
{
if(((int)x)>=1)//为了减小误差当x等于整数时，令x=0；此时sin(x*pi)值不变x=0;
return (sin(pi*x));
}
double fun(double x,double time)
{
double s1,s2;
if(((int)x)>=1)
x=0;
s1=-pow(pi,2)*time;
s2=exp(s1)*sin(pi*x);
return s2;
}。