《高等代数》知识点梳理.pdf
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a11 a1n （2）伴随矩阵：设 Aij 是矩阵 A = 中元素 aij 的代数余子式，矩阵
an1 ann
-2-
Stephen
A*
=
A11
An1 称为 A 的伴随矩阵。
A1n Ann
1、基本性质
（1）矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A 非退化（ | A |≠ 0 ），而 A−1 = A* | A|
A1−1
0
（4）
A
可逆的充要条件是
A1,
A2 ,,
Al
可逆，且此时，
A−1
=
0
。 Al −1
四、初等变换与初等矩阵
1、基本概念 （1）初等变换：初等行列变换称为初等变换所得到的矩阵。
①用一个非零的数 k 乘矩阵的第 i 行（列）记作 ri × k(ci × k)
②互换矩阵中 i ， j 两行（列）的位置，记作 ri ↔ rj (ci ↔ c j )
（2）矩阵的相等：设 A = (aij )m×n ， B = (aij )l×k ，如果 m = l ， n = k ，且 aij = bij ，对
i = 1,2,m ； j = 1,2,n 都成立，则称 A 与 B 相等，记 A = B 。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，
A1
0
B1
0
对于两个有相同分块的准对角矩阵 A = ，B = B 如果它们相
0
Al
0
Bl
应的分块是同级的，则
A1B1
0
（1） AB =
B
；
0
Al Bl
A1 + B1
0
（2） A + B =
B
；
0
Al + Bl
（3）| A |=| A1 || A2 | | Al | ；
1
0
0 1
0 0
0
0
（2）任意一个
s
×
n
矩阵
A
都与一形式为
0
0
1
0
的等价，它称为矩阵
0 0
0
0
0 0 0 0
A 的标准型，主对角线上 1 的个数等于 A 的秩。
（3） n 级矩阵 A 为可逆的充分必要条件是，它能表示成一些初等矩阵的乘积。
（4）两个 s × n 矩阵 A ，B 等价的充分必要条件是，存在可逆的 s 级矩阵 P 与可逆的 n
Stephen
高等代数知识点梳理
第四章 矩阵 一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念
（ 1 ） 定 义 ： 由 s × n 个 数 aij （ i = 1,2,s ； j = 1,2,n ） 排 成 s 行 n 列 的 数 表
a11 a1n ，称为 s 行 n 列矩阵，简记为 A = (aij )s×n 。 as1 asn
级矩阵 Q ，使 B = PAQ 。
3、用初等变换求逆矩阵的方法
把 n 级矩阵 A ， E 这两个 n × n 矩阵凑在一起，得到一个 n × 2n 矩阵 ( AE) ，用初等行
变换把它的左边一半化成 E ，这时，右边的一半就是 A−1 。
-3-
Stephen
③将第 i 行（列）的 k 倍加到第 j 行（列）上，记作 rj + kri (ci + kc j ) 称为矩阵的三种初
等行（列）矩阵。
（2）初等方阵：单位矩阵经一次初等变换所得到的矩阵。
2、基本性质
（1）对一个 s × n 矩阵 A 作一次初等行变换就相当于在 A 的左边乘上相应的 s × s 初等 矩阵；对 A 作一次初等列变换就相当于在 A 的右边乘上相应的 n × n 初等矩阵。
② k( A + B) = kA + kB
④ A + (− A) = O
a11 a1n b11 b1m c11 c1m （ 3 ） 矩 阵 的 乘 法 ： = 其 中
as1 asn bn1 bnm cs1 csm
-1-
Stephen
cij
=
a11 a1n
a11 a1s
（4）矩阵的转置： A = ，A 的转置就是指矩阵 A'=
as1 asn
an1 ans
运算规律：
① ( A')'= A
③ ( AB)'= B' A'
② ( A + B)'= A'+B'
④ (kA)'= kA'
a11 a1n
ai1b1i
+
ai 2b2i
++
ainbnj ， i
= 1,2, s
；
j
=
1,2, m
。
Βιβλιοθήκη Baidu
运算规律：
① ( AB)C = A(BC)
③ (B + C) A = BA + CA
② A(B + C) = AB + AC
④ k( AB) = A(kB) = (kA)B
一般情况，
① AB ≠ BA ② AB = AC ， A ≠ 0 ， ⇒ B = C ③ AB = 0 ⇒ A = 0 或 A = 0
a11 a1n
（5）方阵的行列式：设方阵
A
=
，则
A
的行列式为
|
A
|=
。
an1 ann
an1 ann
运算规律：
①| A'|=| A |
②| kA |= k n | A |
③| AB |=| A || B |=| BA |
这里 A ， B 均为 n 级方阵。
二、矩阵的逆
1、基本概念
（1）矩阵可逆的定义：n 级方阵 A 称为可逆的，如果有 n 级方阵 B ，使得 AB = BA = E ， 这里 E 是单位矩阵。
③A+O= A
② (A + B) + C = A + (B + C)
④ A + (− A) = O
a11 a1n ka11 ka1n （2）数与矩阵的乘法： k =
as1 asn kas1 kasn
运算规律：
① (k + l) A = kA + lA
③ k(lA) = (kl) A
数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算
a11 a1n b11 b1n a11 + b11 a1n + b1n （1）矩阵的加法： + = 。
as1 asn bs1 bsn as1 + bs1 asn + bsn
运算规律：
①A+B= B+ A
（2）如果矩阵 A ，B 可逆，那么 A' 与 AB 也可逆，且 ( A')−1 = ( A−1)' ，( AB)−1 = B−1A−1 。
（3）设 A 是 s×n 矩阵，如果 P 是 s×s 可逆矩阵， Q 是 n×n 可逆矩阵，那么
rank( A) = rank(PA) = rank( AQ)
三、矩阵分块
an1 ann
-2-
Stephen
A*
=
A11
An1 称为 A 的伴随矩阵。
A1n Ann
1、基本性质
（1）矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A 非退化（ | A |≠ 0 ），而 A−1 = A* | A|
A1−1
0
（4）
A
可逆的充要条件是
A1,
A2 ,,
Al
可逆，且此时，
A−1
=
0
。 Al −1
四、初等变换与初等矩阵
1、基本概念 （1）初等变换：初等行列变换称为初等变换所得到的矩阵。
①用一个非零的数 k 乘矩阵的第 i 行（列）记作 ri × k(ci × k)
②互换矩阵中 i ， j 两行（列）的位置，记作 ri ↔ rj (ci ↔ c j )
（2）矩阵的相等：设 A = (aij )m×n ， B = (aij )l×k ，如果 m = l ， n = k ，且 aij = bij ，对
i = 1,2,m ； j = 1,2,n 都成立，则称 A 与 B 相等，记 A = B 。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，
A1
0
B1
0
对于两个有相同分块的准对角矩阵 A = ，B = B 如果它们相
0
Al
0
Bl
应的分块是同级的，则
A1B1
0
（1） AB =
B
；
0
Al Bl
A1 + B1
0
（2） A + B =
B
；
0
Al + Bl
（3）| A |=| A1 || A2 | | Al | ；
1
0
0 1
0 0
0
0
（2）任意一个
s
×
n
矩阵
A
都与一形式为
0
0
1
0
的等价，它称为矩阵
0 0
0
0
0 0 0 0
A 的标准型，主对角线上 1 的个数等于 A 的秩。
（3） n 级矩阵 A 为可逆的充分必要条件是，它能表示成一些初等矩阵的乘积。
（4）两个 s × n 矩阵 A ，B 等价的充分必要条件是，存在可逆的 s 级矩阵 P 与可逆的 n
Stephen
高等代数知识点梳理
第四章 矩阵 一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念
（ 1 ） 定 义 ： 由 s × n 个 数 aij （ i = 1,2,s ； j = 1,2,n ） 排 成 s 行 n 列 的 数 表
a11 a1n ，称为 s 行 n 列矩阵，简记为 A = (aij )s×n 。 as1 asn
级矩阵 Q ，使 B = PAQ 。
3、用初等变换求逆矩阵的方法
把 n 级矩阵 A ， E 这两个 n × n 矩阵凑在一起，得到一个 n × 2n 矩阵 ( AE) ，用初等行
变换把它的左边一半化成 E ，这时，右边的一半就是 A−1 。
-3-
Stephen
③将第 i 行（列）的 k 倍加到第 j 行（列）上，记作 rj + kri (ci + kc j ) 称为矩阵的三种初
等行（列）矩阵。
（2）初等方阵：单位矩阵经一次初等变换所得到的矩阵。
2、基本性质
（1）对一个 s × n 矩阵 A 作一次初等行变换就相当于在 A 的左边乘上相应的 s × s 初等 矩阵；对 A 作一次初等列变换就相当于在 A 的右边乘上相应的 n × n 初等矩阵。
② k( A + B) = kA + kB
④ A + (− A) = O
a11 a1n b11 b1m c11 c1m （ 3 ） 矩 阵 的 乘 法 ： = 其 中
as1 asn bn1 bnm cs1 csm
-1-
Stephen
cij
=
a11 a1n
a11 a1s
（4）矩阵的转置： A = ，A 的转置就是指矩阵 A'=
as1 asn
an1 ans
运算规律：
① ( A')'= A
③ ( AB)'= B' A'
② ( A + B)'= A'+B'
④ (kA)'= kA'
a11 a1n
ai1b1i
+
ai 2b2i
++
ainbnj ， i
= 1,2, s
；
j
=
1,2, m
。
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运算规律：
① ( AB)C = A(BC)
③ (B + C) A = BA + CA
② A(B + C) = AB + AC
④ k( AB) = A(kB) = (kA)B
一般情况，
① AB ≠ BA ② AB = AC ， A ≠ 0 ， ⇒ B = C ③ AB = 0 ⇒ A = 0 或 A = 0
a11 a1n
（5）方阵的行列式：设方阵
A
=
，则
A
的行列式为
|
A
|=
。
an1 ann
an1 ann
运算规律：
①| A'|=| A |
②| kA |= k n | A |
③| AB |=| A || B |=| BA |
这里 A ， B 均为 n 级方阵。
二、矩阵的逆
1、基本概念
（1）矩阵可逆的定义：n 级方阵 A 称为可逆的，如果有 n 级方阵 B ，使得 AB = BA = E ， 这里 E 是单位矩阵。
③A+O= A
② (A + B) + C = A + (B + C)
④ A + (− A) = O
a11 a1n ka11 ka1n （2）数与矩阵的乘法： k =
as1 asn kas1 kasn
运算规律：
① (k + l) A = kA + lA
③ k(lA) = (kl) A
数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算
a11 a1n b11 b1n a11 + b11 a1n + b1n （1）矩阵的加法： + = 。
as1 asn bs1 bsn as1 + bs1 asn + bsn
运算规律：
①A+B= B+ A
（2）如果矩阵 A ，B 可逆，那么 A' 与 AB 也可逆，且 ( A')−1 = ( A−1)' ，( AB)−1 = B−1A−1 。
（3）设 A 是 s×n 矩阵，如果 P 是 s×s 可逆矩阵， Q 是 n×n 可逆矩阵，那么
rank( A) = rank(PA) = rank( AQ)
三、矩阵分块