2020届天津市耀华中学高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含解析

2020届天津市耀华中学高三第一次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．设全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得：,，∴=，∴() A=故选：D点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．2．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】由约束条件得如图所示的阴影区域,由，即由,可得,平移直线，由图可知，当直线过点时, 直线在轴上的截距最小，取得最小值为，故选A.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3．已知程序框图如图所示，则输出的是（）A．9 B．11 C．13 D．15【答案】C【解析】试题分析：经过第一次循环得到S=1×3=3，i=5经过第二次循环得到S=3×5=15，i=7经过第三次循环得到S=15×7=105，i=9经过第四次循环得到S=105×9=945，i=11经过第五次循环得到S=945×11=10395，i=13此时，满足判断框中的条件输出．【考点】程序框图．4．设，都是不等于的正数，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则，从而有，故为充分条件. 若不一定有，比如.，从而不成立.故选B.【考点】命题与逻辑.5．设是定义在实数集上的函数，满足条件是偶函数，且当时，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵y=f（x+1）是偶函数，∴f（-x+1）=f（x+1），即函数f（x）关于x=1对称．∵当x≥1时，为减函数，∵f（log32）=f（2-log32）= f（）且==log34，log34＜＜3，∴b＞a＞c，故选：C6．函数的部分图象如图所示，如果，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由周期求出,由五点法作图求出的值,可得函数的解析式,再根据正弦函数图象的对称性,求得,从而可得的值.【详解】由函数的部分图象,可得,再根据五点法作图可得，，因为上，且，所以,，，故选A.【点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.7．已知双曲线的左、右焦点分别为.若双曲线上存在一点，使得为等腰三角形，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．或2 D．或2【答案】A【解析】通过分析可知,利用双曲线的定义可知,通过余弦定理化简得,进而计算可得结论.【详解】由题可知,边为腰,则等腰三角形的腰,根据双曲线的定义可知,,，即,化简得:,，解得或(舍),故选A.【点睛】本题主要考查双曲线的定义与离心率,涉及到余弦定理等基础知识,属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8．已知函数有零点，函数有零点，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：由两个函数均有两个零点可得对应方程的判别式大于，且的对称轴在的对称轴左边，初步得到的范围，再列不等式求解即可.详解：二次函数均有两个零点，所以，解得，因为，所以对称轴位于对称轴左边，即，解得，由求根公式可得，，由，得，化为，①，②解①得，且，两边平方得，，由②得，平方得，显然成立，综上，，故选C.点睛：函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数零点函数与轴的交点横坐标方程的根函数与交点横坐标.二、填空题9．已知，是虚数单位，若复数，则______.【答案】4【解析】化简原等式为，利用复数相等的性质求出的值，从而可得结果.【详解】,,,,故答案为4.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题. 若，则.10．设20,a xdx=⎰则二项式5axx⎫-⎪⎭展开式中含2x项的系数是______.【答案】80-【解析】首先确定a的值，然后结合二项式定理展开式的通项公式即可确定含2x项的系数. 【详解】由题意可得：22211d4222a x x x===⨯=⎰，则5axx⎫⎪⎭即52xx⎫-⎪⎭，其展开式的通项公式为：515(2)rr rnT C xx-+=⋅-=3525(2)rr rC x--⋅⋅，令3522r-=可得3r=，则展开式中含2x项的系数是()325281080C-=-⨯=-.【点睛】本题主要考查定积分的计算，二项式展开式通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．三棱锥P ABC -中，,D E 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = 【答案】14【解析】由已知1.2DAB PAB S S ∆∆=设点C 到平面PAB 距离为h ，则点E 到平面PAB 距离为12h ， 所以，1211132.143DAB PAB S h V V S h ∆∆⋅== 【考点】几何体的体积.12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为cos x a y sin θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin ,42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭若直线l 与圆C 相切，则实数a =______.【答案】1-【解析】首先将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程，然后利用直线与圆相切的充分必要条件得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值. 【详解】圆C 的参数方程为cos sin x a y θθ=+⎧⎨=⎩,(θ为参数)，化为普通方程：()221x a y -+=.直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()sin cos θθ-=， 可得直角坐标方程：x −y +1=0.∵直线l 与圆C 相切，则圆心到直线的距离等于半径，12∴=,解得12a =-±. 故答案为：12-±. 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．若正实数，满足，则的最大值为______.【答案】【解析】 ，即又 ，等号成立的条件为 ，原式整理为，即 ，那么，所以 的最大值是 .【点睛】基本不等式常考的类型，已知和为定值，求积的最大值，经常使用公式 ，已知积为定值，求和的最小值， ，已知和为定值，求和的最小值，例如：已知正数 ， ，求 的最小值，变形为 ，再，构造1来求最值.14．在中，点满足，且对于边上任意一点，恒有.则______.【答案】0【解析】以为原点，为轴，建立直角坐标系，设，可得，由此列方程求得，可得，利用平面向量数量积的运算法则求解即可.【详解】以为原点，为轴，建立直角坐标系，设，则，，因为，所以，解得，，所以，故答案为0.【点睛】平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题以及最值问题时，往往先建立适当的平面直角坐标系，转化为解析几何问题或函数问题，可起到化繁为简的妙用．三、解答题15．已知函数，.（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积.【答案】（1）;（2）【解析】试题分析：（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．试题解析：（1）函数由，解得时，，可得的增区间为（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边，角B所对边b=5，若，即有解得，即由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc cos A，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC 的面积为16．在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球4个，白球3个，蓝球3个。

(Ⅰ)现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球，重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球，求：①最多取两次就结束的概率；②整个过程中恰好取到2个白球的概率；(Ⅱ)若改为从中任取出一球确定颜色后不放回盒子里，再取下一个球。

重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球，则设取球的次数为随机变量,ξ求ξ的分布列和数学期望,【答案】(Ⅰ)①51100，②27200；(Ⅱ)答案见解析.【解析】(Ⅰ)①由题意分别求得取1次结束和取2次结束的概率即可确定满足题意的概率；②首先列出所有取到2个白球的事件，然后利用概率公式可得相应的概率值；(Ⅱ)由题意可知ξ的取值为 1,2,3 ，求得相应的概率值即可确定分布列，进一步计算数学期望即可.【详解】(Ⅰ)①设取球的次数为X，则131103(1)10CP XC===，117311101021(2)100C CP XC C==⋅=，故最多取两次就结束的概率151(1)(2)100P P X P X ==+==. ②由题意可知，可以如下取球：红白白，白红白，白白红，白白蓝， 所以恰好取到 2 个白球的概率：2433333273101010101010200P =⨯⨯⨯+⨯⨯=. (Ⅱ)随机变量ξ的取值为 1,2,3 ，37321(1),(2)1010990P P ξξ====⨯=， 76376542(3)1098109890P ξ==⨯⨯+⨯⨯=，随机变量ξ的分布列为：ξ123P3107301430ξ 的数学期望371413()1231030306E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，离散型随机变量分布列与数学期望的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面,ABCD AB 垂直于AD 和BC ，2,SA AB BC ===1,AD M =是棱SB 的中点.(Ⅰ)求证：AM P 平面SCD ； (Ⅱ)求二面角S CD M --的正弦值；(Ⅲ)在线段DC 上是否存在一点,N 使得MN 与平面SAB 所成角的正弦值为35,若存在，请求出DN DC 的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)105(Ⅲ)答案见解析. 【解析】(Ⅰ)建立空间直角坐标系，由直线的方向向量和平面的法向量的关系即可证得线面平行；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论进一步求得两个半平面的法向量，首先确定二面角的余弦值，然后求解二面角的正弦值即可；(Ⅲ)设出点的坐标，由线面角夹角的正弦值公式计算可确定满足题意的点N 是否存在. 【详解】(Ⅰ)以A 点为坐标原点，,,AD AB AS 方向分别为,,x y z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则：(0,0,0),(0,0,2),(0,2,0),(0,1,1)A S B M ，C(2,2,0),(l,0,0)D ，故()0,1,1AM =u u u u r ，设平面SCD 的法向量为(,,)m x y z =r，则：(,,)(2,2,2)2220(,,)(1,0,2)20m SC x y z x y z m SD x y z x z ⎧⋅=⋅-=+-=⎨⋅=⋅-=-=⎩u u uv r u u uv r ， 据此可得平面SCD 的一个法向量为(2,1,1)m =-r ，且0110AM m ⋅=-+=u u u u r r ，据此可得AM m ⊥u u u u r r，AM ⊄平面SCD ,则AM P 平面SCD .(Ⅱ)设平面CDM 的法向量为()111,,n x y z =r，则：()()11111111111,,(1,2,0)20,,(1,1,1)0n CD x y z x y n DM x y z x y z ⎧⋅=⋅--=--=⎪⎨⋅=⋅-=-++=⎪⎩u u u v r u u u u v r ， 据此可得平面CDM 的一个法向量(2,1,3)n =-r,二面角S CD M--的平面角大小为θ，易知：cos||||21m nm nθθ⋅====⨯r rr r.(Ⅲ)假设存在满足题意的点N，且：(01)DN DCλλ=≤≤u u u r u u u r，设点N的坐标为(),,N x y z，据此可得：()1,,(1,2,0)x y zλ-=，由对应坐标相等可得(1,2,0)Nλλ+，故(1,21,1)MNλλ=+--u u u u r，由于平面SAB的一个法向量(1,0,0)AD=u u u r，由题意可得：MN ADMN AD⋅==⋅u u u u r u u u ru u u u r u u u r，解得：[]20,13λ=∈，据此可得存在满足题意的点N，且DNDC的值为23.【点睛】本题主要考查利用空间向量证明线面平行的方法，利用空间向量处理空间角的方法，探索性问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18．已知数列{}n a满足1112,22nn na a a++==+.（1）设2nn nab=，求数列{}n b的通项公式；（2）求数列{}n a的前n项和n S；（3）记()()211422n nnn nn nca a+-++=，求数列{}n c的前n项和n T.【答案】（1）nb n=（2）()1122nnS n+=-+（3）()()()11412331?2nnnn+++---+【解析】试题分析：（1）对条件1122nn na a++=+两边同除以12n+得11n nb b+=+，即得数列{}n b为首项及公差均为1的等差数列，再根据等差数列通项公式求数列{}n b的通项公式；（2）因为·2nna n=，所以利用错位相减法求和得数列{}n a的前n项和n S；（3）对n c裂项处理：()()()11111122?21?2n n nn n n c n n ++⎛⎫--⎛⎫⎪=-+- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，再根据分组求和以及裂项相消法求和得数列{}n c 的前n 项和n T .试题解析：（1）由1122n n n a a ++=+得11n n b b +=+，得n b n =；（2）易得·2n n a n =， 1223112222,212222,n n n n S n S n +=⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯L L 错位相减得12111222222212nn n n n S n n ++--=+++-⨯=⨯-⨯-L所以其前n 项和()1122n n S n +=-+； （3）()()()()()()()()()()2221111422142121·2?12?12?12nnnnn n n n n n n n n nn n nc n n n n n n +++-++-++-++++===+++()()()()()()1111111111112?21?222?21?2nn n n nn n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫---⎛⎫ ⎪=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()()2231212231111111*********?22?22?23?2?21?2n n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪=-+-++-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L ()()1112113621?2n nn n ++-⎛⎫=-+--⎪+⎝⎭或写成()()()11412331?2n n n n +++---+.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.19．已知是圆上的一个动点，过点作两条直线，它们与椭圆都只有一个公共点，且分别交圆于点.（Ⅰ）若，求直线的方程；（Ⅱ）①求证：对于圆上的任意点，都有成立；②求面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）①证明见解析；②.【解析】（Ⅰ）设出直线方程，代入椭圆方程,利用直线与椭圆都只有一个公共点,求出直线的斜率,即可求直线的方程；（Ⅱ）①分类讨论,斜率不存在时成立，斜率存在时，利用判别式等于零可得关于的一元二次方程，由韦达定理可得成立，即可证得结论；②记原点到直线的距离分别为，可得，设面积为，可得，利用二次函数的性质可求其取值范围.【详解】（Ⅰ）设直线的方程为,代入椭圆，消去，可得，由,可得，设的斜率分别为，直线的方程分别为；（Ⅱ）①证明:当直线的斜率有一条不存在时,不妨设无斜率与椭圆只有一个公共点,所以其方程为,当的方程为时，此时与圆的交点坐标为，的方程为(或，成立，同理可证，当的方程为时，结论成立;当直线的斜率都存在时,设点且，设方程为,代入椭圆方程，可得，由化简整理得，，，设的斜率分别为，成立，综上,对于圆上的任意点，都有成立；②记原点到直线的距离分别为，因为，所以是圆的直径，所以，面积为，，，.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系,以及求范围问题,综合性强,难度大. 解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.20．已知函数()ln .f x x x x =+(Ⅰ)求函数()f x 的图像在点()1,1处的切线方程.(Ⅱ)若,k Z ∈且()()1k x f x -<对任意1x >恒成立，求k 的最大值； (Ⅲ)当4n m >≥时，证明：()().mnn m mn nm >【答案】(Ⅰ)21y x =-；(Ⅱ)3；(Ⅲ)证明见解析.【解析】(Ⅰ)首先求得导函数的解析式，据此可得切线的斜率，然后求解切线方程即可； (Ⅱ)将原问题转化为函数在给定区间上恒成立的问题，构造新函数，结合函数的单调性和零点存在定理即可确定k 的最大值；(Ⅲ)结合(Ⅱ)中证得的函数单调性和不等式的性质得到关于m ,n 的不等式，对不等式进行整理变形即可证得题中的结论. 【详解】(Ⅰ)因为()'ln 2f x x =+，所以()'12f =， 函数()f x 的图像在点()1,1处的切线方程21y x =-; (Ⅱ)由题意可知()()1k x f x -<对任意1x >恒成立即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立. 令ln ()1x x xg x x +=-，则2ln 2'()(1)x x g x x --=-，令()()ln 21h x x x x =-->,则11'()10x h x x x-=-=>， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增，因为()31ln30h =-<,()422ln 20h =->， 所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ， 且满足()03,4x ∈.当01x x <<时,()0h x <即()'0g x <， 当0x x >时,()0h x >，即()'0g x >， 所以函数ln ()1x x xg x x +=-在()01,x 上单调递减,在()0,x +∞上单调递增，所以：()()()()000000min 001ln 12(3,4)11x x x x g x g x x x x ++-====∈⎡⎤⎣⎦--， 所以()min (3,4)k g x <∈⎡⎤⎣⎦，故整数k 的最大值是3.(Ⅲ)由(Ⅱ)知,ln ()1x x x g x x +=-是[)4,+∞上的增函数， 所以当4n m >≥时,ln ln 11n n n m m m n m ++>--即(1)(1ln )(1)(1ln )n m n m n m -+>-+， 整理得ln ln ln ln ()mn n m m mn m n n n m +>++-，因为n m >，故0n m ->，所以ln ln ln ln mn n m m mn m n n +>+，即ln ln ln ln mn m mn n n m m n +>+，即()()ln ln mn m mn n n m m n >， 所以()()m n n m mn nm >.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的切线方程，导函数研究函数的单调性，导函数证明不等式的方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。