高等数学 高等教育出版社

说明： n维空间的记号为 Rn;
n维空间中两点间距离公式
设两点为 P( x1, x2 ,, xn ), Q( y1, y2 ,, yn ), | PQ | ( y1 x1 )2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
特殊地当 n 1, 2, 3 时，便为数轴、平面、
空间两点间的距离．
1 4
.
一、 填空题:
练习 题
1、 若 f ( x, y) x 2 y 2 xy tan x ,则 f (tx, ty) =____. y
2、 若 f ( x, y) x 2 y 2 ,则 f (2,3) __________; 2 xy
f (1, y ) ________________. x
也有不属于 E 的点（点 P 本身可以属于E ，也
可以不属于 E ），则称 P 为 E 的边界点．
E 的边界点的全体称为 E 的边界．
•P
设 D 是开集．如果对于D内
任何两点，都可用折线连结起来， E
且该折线上的点都属于D ，则称
开集 D 是连通的．
• •
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连通的开集称为区域或开区域．
y
例如，{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
（2）区域
设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点．如果存在点P 的某一邻域U(P) E ， 则称 P 为 E 的内点. E 的内点属于 E .
如果点集 E 的点都是内点，
则称 E 为开集.
•P
例如，E1 {(x, y)1 x2 y2 4}
即为开集．
E
如果点 P 的任一个邻域内既有属于 E 的点，
为二元函数的图形.
（如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面.
例如, z sin xy 图形如右图.
例如, x2 y2 z2 a2
z
左图球面.
D {(x, y) x2 y2 a2}.
o
y
单值分支: z a2 x2 y2
x
z a2 x2 y2.
二、多元函数的极限及连续
定 义 1 设 函 数 z f (x, y) 的 定 义 域 为 D, P0 ( x0 , y0 ) 是其聚点，如果对于任意给定的
（3）一致连续性定理
在有界闭区域D上的多元连续函数必定 在D上一致连续．
多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
一般地，求 lim f (P) 时，如果 f (P) 是初等函 P P0
（2）找两种不同趋近方式，使lim f ( x, y) 存在， x x0 y y0 但两者不相等，此时也可断言 f ( x, y) 在点 P0 ( x0 , y0 )处极限不存在．
利用点函数的形式有n元函数的极限
定 义 2 设n 元 函 数 f ( P ) 的 定 义 域 为 点 集
D, P0是其聚点，如果对于任意给定的正数 ， 总 存 在 正 数 ， 使 得 对 于 适 合 不 等 式 0 | PP0 | 的 一 切 点 P D ， 都 有 | f ( P ) A | 成立，则称 A 为n 元函数f (P )
不存在．
y0
证 取 y kx3,
lim
x0
x
x3 y 6 y2
lim x0
x3 kx3 x6 k2x6
1
k k
2
,
y0
ykx3
其值随k的不同而变化，
故极限不存在．
观察
z
x3 y x6 y2
图形,
lim
x0
x3 y x6 y2
不存在.
y0
播放
确定极限不存在的方法：
（1）令P( x, y)沿y kx 趋向于P0 ( x0 , y0 )，若 极限值与k 有关，则可断言极限不存在；
所求定义域为 D {(x, y) | 2 x2 y2 4, x y2}.
（6） 二元函数 z f ( x, y)的图形
设函数z f ( x, y)的定义域为D ，对于任意 取定的P( x, y) D，对应的函数值为 z f ( x, y)，这样，以x 为横坐标、y 为纵坐 标、z 为竖坐标在空间就确定一点M ( x, y, z)， 当x 取遍D 上一切点时，得一个空间点集 {( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}，这个点集称
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 |）.
说明：
（1）定义中 P P0 的方式是任意的；
（2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x, y); x x0 y y0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
例2
求证lim( x2 x0
y2 )sin
x2
1
y2
当P P0时的极限，记为 lim f (P) A.
P P0
多元函数的连续性
定义3 设n 元函数 f ( P ) 的定义域为点集D, P0
是其聚点且
P0
D
，如果
lim
P P0
f (P)
f ( P0 )
则称n 元函数 f ( P ) 在点P0 处连续.
设P0 是函数 f (P ) 的定义域的聚点，如果 f (P )在点P0 处不连续，则称P0 是函数 f (P )的
思考题解答
不能.
例
f
(
x,
y)
(
x3 y2 x2 y4
)2
,
( x, y) (0,0)
取 y kx,
f
(
x,
kx)
(
x3 k2x2 x2k4 x4 )2
x0 0
但是 lim f ( x, y) 不存在.
( x , y )(0,0)
原因为若取x y2,
f
(
y
2
,
y)
(
y6 y4
y2 y4
)2
(0,0)既是边界点也是聚点．
点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．
例如, {( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0) 是聚点但不属于集合．
例如, {( x, y) | x2 y2 1}
边界上的点都是聚点也都属于集合．
（4）n维空间
设n 为取定的一个自然数，我们称n 元数组 ( x1 , x2 ,, xn )的全体为n 维空间，而每个n 元数 组( x1 , x2 ,, xn ) 称为n 维空间中的一个点，数 xi 称为该点的第i 个坐标.
o
x
开区域连同它的边界一起称为闭区域. y
例如，{(x, y) | 1 x2 y2 4}.
o
x
对于点集 E 如果存在正数 K ，使一切点 P E 与某一定点 A 间的距离 AP 不超过 K ，
即 AP K
对一切 P E 成立，则称 E 为有界点集，否 则称为无界点集． 例如，
y
{( x, y) | 1 x2 y2 4}
一、多元函数的定义
（1）邻域
设P0 ( x0 , y0 )是xoy 平面上的一个点， 是某 一正数，与点P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点P( x, y) 的全体，称为点P0 的 邻域，记为U (P0 , ) ，
U(P0, ) P | PP0 |
• P0
( x, y) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 .
2
f ( x, y) f (0,0) 2
lim f ( x, y) f (0,0),
( x, y )(0,0)
故函数在(0,0)处连续.
例6 讨论函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y2
,
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
在(0,0)的连续性．
解 取 y kx
lim
x0
x
2
xy
y
2
y0
lim
x0
x2
kx 2 k2
x2
ykx
1
k k
2
其值随k的不同而变化， 极限不存在．
故函数在(0,0)处不连续．
闭区域上连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D
上至少取得它的最大值和最小值各一次．
（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如
果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上 取得介于这两值之间的任何值至少一次．
7、函数z arcsin y 的定义域是_______________. x
8、函数z
y2 y2
2x 的间断点是________________. 2x
二、求下列各极限:
1、lim 2 xy 4 ；
x0
xy
y0
2、lim sin xy ； x0 x
y0
3、lim x0
1 (x
cos( x 2 y2
正数 ，总存在正数 ，使得对于适合不等式 0 | PP0 | ( x x0 )2 ( y y0 )2 的 一 切 点，都有| f ( x, y) A | 成立，则称 A 为函数
z f ( x, y)当 x x0， y y0 时的极限， 记为 lim f ( x, y) A
x x0 y y0
2 y) y2
y0
lim
x0
sin( x2 x2 y
y)
x2 y x2 y2
,
y0
其中
lim
x0
sin( x
x2 2y
y
)
y0
u x2 y sin u
lim 1, u0 u
x2 y x2 y2
1x 2
x0 0,
lim
x0
sin( x2 y) x2 y2
0.
y0
例4
证明
lim
x0
x3 y x6 y2
三、小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性）
多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
思考题
若点( x, y)沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 )时，函数 f ( x, y)都趋向于 A，能否 断定 lim f ( x, y) A？
( x , y )( x0 , y0 )
间断点.
例5
讨论函数
f
( x,
y)
x3
x
2
y3 y2
,
( x, y) (0,0)
0,
( x, y) (0,0)
在(0,0)处的连续性．
解 取 x cos ,
y sin
f ( x, y) f (0,0)
(sin3 cos3 ) 2
0, , 当 0 x2 y2 时
n维空间中邻域、区域等概念
邻域： U (P0 , ) P | PP0 | , P Rn
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
（5）二元函数的定义
设D 是平面上的一个点集，如果对于每个点
P( x, y) D ，变量z 按照一定的法则总有确定的 值和它对应，则称z 是变量x, y 的二元函数，记为 z f ( x, y)（或记为z f ( P ) ）.
0
y0
证
(x2
y2 )sin
x2
1
y2
0
x2
y2
sin
x2
1
y2
x2 y2
0, ,
当 0 ( x 0)2 ( y 0)2 时，
(x2
y2 )sin
x2
1
y2
0
原结论成立．
例3
求极限
lim
x0
sin( x x2
2 y) y2
.
y0
解
lim
x0
sin( x x2
有界闭区域；
o
x
{( x, y) | x y 0}
无界开区域．
（3）聚点
设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集 E，则称 P 为 E 的聚点. 说明：
内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；
例 {( x, y) | 0 x2 y2 1}
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n 元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念.
例1 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域． x y2
解
3 x2 y2 1
x y2 0
2 x2 y2 4
x
y2
数，且 P0 是 f (P ) 的定义域的内点，则 f (P ) 在
点 P0
处连续，于是 lim P P0
f (P)
f (P0 ).
例７ 求 lim xy 1 1.
x0
xy
y0
解 原式 lim xy 1 1 lim
x0 xy( xy 1 1) x0
y0
y0
1 xy 1 1
1. 2
2
)
x2
y2 y2
)
.
y0
三、证明：lim xy 0.
x0 y0
x2 y2
四、证明极限lim xy 1 1不存在 . x0 x y
y0
练习题答案
一、 1、 t 2 f ( x, y)；
2、 13 , f ( x, y)； 12
3、若 f ( y)
x2 y2 ( y 0),则f ( x) ________.
x
y
4、 若 f ( x y, y ) x 2 y 2 , 则 f ( x, y) _________. x 4x y2
函数z ln(1 x 2 y 2 ) 的定义域是__________.
6、函数z x y 的定义域是______________.