高考数学140分必读之把关题解析10讲(10)

高考数学140分必读之把关题解析10讲（10）
【浙江·文】19．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)假设点P 为l 上的动点，求∠F 1PF 2最大值．
此题要紧考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹
角等基础知识，考查解析几何的差不多思想方法和综合解
题能力。

总分值14分。

解：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，半焦距为c ，那么
()
2
1112
22222
,2242,3,1
1.43
a MA a A F a c c
a a a c c a a
b
c a b c x y =-=-⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩
∴===+=由题意,得 故椭圆方程为 (Ⅱ)()004,,0P y y -≠设
0011221211002112212000012121235
0,
22215tan .1152151515tan 15arctan
.y y PF k PF k F PF PF M F PF y y k k F PF k k y y y y F PF F PF F PF π=-=-<∠<∠<
∴∠-∴∠==≤=++=±∠∠∠设直线的斜率,直线的斜率 为锐角。

当，即=时，取到最大值，此时最大，故的最大值为
【浙江·文】20．函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =+． (Ⅰ)求函数()g x 的解析式；
(Ⅱ)解不等式()()1g x f x x ≥--；
(Ⅲ)假设()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范畴．
此题要紧考查函数图象的对称、二次函数的差不多性质与不等式的应用等基础知识，以及
综合运用所学知识分析和解决咨询题的能力。

总分值14分。

解：(Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为(),P x y ，那么
00000,,2.
0,2
x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上
∴()22222,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故
(Ⅱ)由()()21210g x f x x x x ≥----≤， 可得
当1x ≥时，2210x x -+≤，现在不等式无解。

当1x <时，2210x x +-≤，解得112x -≤≤。

因此，原不等式的解集为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

〔Ⅲ〕()()()21211h x x x λλ=-++-+
①()[]1411,1h x x λ=-=+-当时，在上是增函数，
1λ∴=- ②11.1x λλλ
-≠-=+当时，对称轴的方程为 ⅰ〕111, 1.1λλλλ
-<-≤-<-+当时,解得 ⅱ〕111,10.1λλλλ
->-≥--<≤+当时,解得 0.λ≤综上，
【上海·理】21．(此题总分值16分)此题共有3个小题,第1小题总分值4分, 第2小题总分值6分, 第3小题总分值6分.
对定义域分不是D f 、D g 的函数y=f(x) 、y=g(x),
f(x)·g(x) 当x ∈D f 且x ∈D g
规定: 函数h(x)= f(x) 当x ∈D f 且x ∉D g
g(x) 当x ∉D f 且x ∈D g
(1) 假设函数f(x)=1
1-x ,g(x)=x 2,x ∈R,写出函数h(x)的解析式; (2) 求咨询题(1)中函数h(x)的值域;
(3)假设g(x)=f(x+α), 其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R 的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.
[解] (1)h(x)= 1
2
-x x x ∈(-∞,1)∪(1,+∞) 1 x=1
(2) 当x≠1时, h(x)= 12-x x =x-1+1
1-x +2, 假设x>1时, 那么h(x)≥4,其中等号当x=2时成立
假设x<1时, 那么h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立
∴函数h(x)的值域是(-∞,0] {1}∪[4,+∞)
(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=
4
π 那么g(x)=f(x+α)= sin2(x+4π)+cos2(x+4π)=cos2x-sin2x, 因此h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x -sin2x)=cos4x.
另解令f(x)=1+2sin2x, α=2
π, g (x)=f(x+α)= 1+2sin2(x+π)=1-2sin2x,
因此h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+2sin2x)( 1-2sin2x)=cos4x.
【上海·理】22．(此题总分值18分)此题共有3个小题,第1小题总分值4分, 第2小
题总分值8分, 第3小题总分值6分.
在直角坐标平面中,点P 1(1,2),P 2(2,22),┄,P n (n,2n ),其中n 是正整数.对平面上任一点A 0,记
A 1为A 0关于点P 1的对称点, A 2为A 1关于点P 2的对称点, ┄, A N 为A N-1关于点P N 的对称点.
(1)求向量20A A 的坐标;
(2)当点A 0在曲线C 上移动时, 点A 2的轨迹是函数y=f(x)的图象,其中f(x)是以3为周期
的周期函数,且当x ∈(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线C 为图象的函数在(1,4]上的解析式;
(3)对任意偶数n,用n 表示向量n A A 0的坐标.
[解](1)设点A 0(x,y), A 0为P 1关于点的对称点A 0的坐标为(2-x,4-y),
A 1为P 2关于点的对称点A 2的坐标为(2+x,4+y),
∴20A A ={2,4}.
(2) ∵20A A ={2,4},
∴f(x)的图象由曲线C 向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到.
因此, 曲线C 是函数y=g(x)的图象,其中g(x)是以3为周期的周期函数,且当x ∈(-2,1]时,g(x)=lg(x+2)-4.因此,当x ∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4.
另解设点A 0(x,y), A 2(x 2,y 2),因此x 2-x=2,y 2-y=4, 假设3< x 2≤6,那么0< x 2-3≤3,因此f(x 2)=f(x 2-3)=lg(x 2-3). 当1< x≤4时, 那么3< x 2≤6,y+4=lg(x -1). ∴当x ∈(1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4. (3)n A A 0 =n n A A A A A A 24220-+++ , 由于k k k k P P A A 2122222--=,得 n A A 0 =2(n n P P P P P P 14321-+++ ) =2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n-1}) =2{2
n ,3)12(2-n }={n,3)12(4-n }。