概率统计在实际生活中的应用

概率统计在实际生活中的应用

摘要 : 介绍了概率统计的某些知识在实际问题中的应用，主要围绕数学期望、全概率公式、二项分布、泊松分布、正态分布假设检验、极限定理等有关知识!探讨概率统计知识在实际生活中的广泛应用，进一步揭示概率统计与实际生活的密切联系。

关键词 : 概率 ；统计 ；生活 ；应用

我们在日常生活中的好多事情都多多少少牵扯到了统计或者概率计算的问题，例如人口普查，粮食生产状况的研究，交通状况的研究，体育项目成绩的研究；天气预报中的降水概率，买彩票的中奖概率，患有某种遗传病的概率等。生活中的概率问题往往让我们意想不到，学会怎样运用概率，可以让我们简单的解决生活中遇到的一些问题，有时候还可以把它当做一种兴趣来发展，增加生活的乐趣。

1概率问题在生活中的应用

概率，简单地说，就是一件事发生的可能性的大小。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%或者说是1，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率就是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如某天会不会下雨、买东西买到次品等等，这类事件的概率就介于0和100%之间，或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件，都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。

1.1风险决策中的应用

定理1 设()X g Y =是随机变量X 的函数()是连续函数g

(1)当X 是离散型随机变量时，如果它的概率分布为{}k k p x X P ==，,,2,1 =k 且()k k k

p x g ∑∞=1绝对收敛，则有()()[]()k K k p x g X g E Y E ∑∞

===1； (2)当X 是连续型随机变量时，如果它的概率密度为()x f ，且()()dx x f x g ⎰+∞

∞-绝对收敛，则

有()()[]()()dx x f x g X g E Y E ⎰+∞

∞-==。 例1 设国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X ()吨服从区间[]40002000，

上的均匀分布.若售出这种商品1吨，可挣得外汇3万元，但如果销售不出而囤积于仓库，则每吨需保管费1万元，问应预备多少吨这种商品，才能使国家的收益最大？

解 令预备这种商品y 吨()40002000≤≤y ，则收益()万元为

()()⎩⎨⎧--=，X y X y X g 3,3 y X y X <≥

由定理得

()[]()()()dx x g dx x f x g X g E 20004000140002000-⋅==⎰⎰+∞∞- ()[]⎰⎰+--=40002000320001320001y y ydx dx x y x ()

6

2104700010001⨯-+-=y y 当3500=y 时，上式达到最大值，所以预备3500吨此种商品能使国家的收益最大，最大收益为8250万元。

在风险决策中，用了随机事件的概率和数学期望。概率表示随机事件发生的可能性的大小，在决策中还引用了概率统计的原理，利用数学期望的最大值进行决策，比直观的想象更为科学合理。

1.2产品次品率问题

定理2 设1B ,2B ,…是一列互不相容的事件，且有i i 1B U +∞

==Ω，()0>i B P ,

,2,1=i ，则对任一事件A 有())|()(1i i i B A P B P A P ∑+∞

==。

以下为上述公式在检验产品中的应用。

例 2 工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15％，20％，30％和35％，又这四条流水线的不合格率依次为0.05、0.04、0.03及0.02。现在从出厂的产品中任取一件，问恰好抽到不合格的概率为多少？

解 令

{}合格产品任取一件，恰好抽到不=A

{}条流水线的产品任取一件，恰好抽到第i =B ()4,3,2,1=i

于是由公式可得

()4

i i i 1P A P(B )P(A |B )==∑

0.150.050.200.040.300.02=⨯+⨯+⨯

0.0315=

3.15%=

其中，由题意知)|(i B A P 分别为03.0,04.0,05.0以及02.0。

1.3在比赛方面的应用

定义1 如果试验E 只有两个可能的结果：A 与A ,并且()()10<=p A P ,把E 独立地重复进行n 次的试验构成了一个试验，这个试验称作n 重伯努利试验或伯努利概型。

在n 重伯努利试验中事件A 出现k 次的概率为

k n k k n k p p C A P --=)1()( n k ,,2,1,0 =

下面我们应用伯努利概型来解决日常生活中遇到的问题。

例3 某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队进行对抗比赛。校队的实力比系队强，当一个校队运动员与一个系队运动员比赛时，校队运动员获胜的概率为6.0。现在校、系双方商量对抗赛的方式，提了三种方案：

（1）双方各出3人，比三局（2）双方各出5人，比五局；（3）双方各出7人，比七局。 三种方案均以比赛中得胜人数多的一方为胜。问：对系队来说，哪种方案有利？

解 设系队得胜人数为ξ，则在上述三种方案中，系队获胜的概率为

（1）()352.0)6.0()4.0(2332

3≈=≥-=∑k k

k k

C P ξ；（2）()317.0)6.0()4.0(355

35≈=≥-=∑k k k k C P ξ； （3）()290.0)6.0()4.0(4774

7≈=≥-=∑k k k k C P ξ。

由此可知第一种方案对系队最有利（当然，对校队最为不利）。这在直觉上是容易理解的，因为参加比赛的人数愈少，系队侥幸获胜的可能性也就愈大。很显然，如果双方只出一个人比赛，则系队获胜的概率就是4.0。所以，当两方实力有差距时，所比局数越少，对实力弱的一方就越有利。