5.6闭环系统的频率特性解析
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2 w n 典型二阶系统开环传递函数为： Gk ( s) s( s + 2zw n ) 2 wn 开环频率特性为： Gk ( jw ) ( jw )( jw + 2zw n )
② 对典型欠阻尼二阶系统而言，性能指标与系统的特征参数有关。欠 阻尼二阶系统的特征参数是阻尼系数z 和无阻尼震荡频率w。
tp 2 wd wn 1 z
d%e
z
1z 2
100%
4 zw ，当Δ 2时 n ts 3 ，当Δ 5时 zw n
③ 对临界阻尼和过阻尼二阶系统而言，性能指标只有ts 。
(w ) |w 0
2
, 求 。
二、动态性能指标
㈠ 时域性能指标
在时域分析中，性能指标一般是最大超调量d%、调节时间ts、峰值时 间tp等。
1. 对一阶系统而言，性能指标只有ts。
4T，当Δ 2时 ts 3T，当Δ 5时
2.对二阶系统而言，系统可根据阻尼系数z 的不同分为： ①无阻尼系统; ②欠阻尼系统; ③临界阻尼系统; ④过阻尼系统
essr 1 M (0) 0 M (0) 1 所以对单位反馈系统而言，可根据闭环频率特性的零频值M(0)来确定 系统的稳态误差。
当n >0时
② 谐振峰值Mp：系统闭环频率特性幅值的最大值。 ③ 谐振频率wp：系统闭环频率特性幅值出现最大值时的频率。 ④ 系统带宽和带宽频率：设M(jw)为系统的闭环频率特性，当幅频特性
|M(jw)|下降到
w [0, wb ]称为系统带宽。
2 M 0 ) 时，对应的频率 w b 称为带宽频率。频率范围 2
（三） 频率特性的重要性质
1. 频率尺度与时间尺度的反比源自文库系
若有两个系统的频率特性F1(jw)和F2(jw)有如下关系
w 1 ( jw ) 2 ( j )
则两个系统的阶跃响应有如下关系
2 M 0 ) 时，对应的频率 w b 称为带宽频率。频率范围 2
5.8 闭环系统性能分析
2
一、稳态性能指标分析：
如果通过频率特性曲线能确定系统的无差度阶数 v（即积分环节的个数） 和开环放大系数 K 的话，则可求得系统的稳态误差。（见3.6 稳态误差分析） 在波德图上，低频渐近线的斜率 和 的关系如下： 由 20 (dB / Dec) ,可求得 值； 也可由
1 c( ) lim c(t ) lim s ( s ) lim (w ) M (0) t s 0 s w 0
系统的稳态误差为 当n =0时
essr 1 M (0)
essr 1 M (0) 1 1+ K
K M ( 0) 1 1+ K
K越大稳态误差越小，M(0)越接近于1
0
10
h1 (t ) h2 (t )
这个性质说明频率特性展宽多少倍，输出响应将加快多少倍。
10
Mw)dB 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60
1 s 2 + 0.6s + 1
16 s + 2.4 s + 16
2
1.4 1.2 w)deg
0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 -180 100 w
m
( jw ) ( jw )
K (1 + iwj )
m
(1 + T wj ) + K (1 + wj )
j 1 j
n
i 1
M (w ) ( jw )
i 1
i
① 零频值 M(0)：闭环幅频特性的零频值
在单位阶跃输入信号时，根据终值定理，可得系统时域的响应终值
3. 对高阶系统，如果有主导极点存在，也可利用上述公式进行计算。
（二）
频域性能指标
⑴开环频率特性性能指标 ① 幅值稳定裕度 Kg(Lg) 系统开环相频特性为－180°时，系统开环频率特性幅值的倒数定义为 幅值稳定裕度。所对应的频率 wg称为相角穿越频率。即Kg=1/A(wg) ， wg满 足j(wg)=－180°。实际中常用对数幅值稳定裕度Lg=－20lgA(wg)。 ② 相角稳定裕度 g 系统开环频率特性的幅值为1时，系统开环频率特性的相角与180°之和 定义为相角稳定裕度，所对应的频率wc称为系统截止频率或幅值穿越频率
六、闭环频率特性性能指标
常用的有下列三项： 零频值 M(0)：闭环幅频特性的零频值 谐振峰值Mp：系统闭环频率特性幅值的最大值。 谐振频率wp：系统闭环频率特性幅值出现最大值时的频率。 系统带宽和带宽频率：设M(jw)为系统的闭环频率特性，当幅频特性
|M(jw)|下降到
w [0, wb ]称为系统带宽。
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
1 s 2 + 0.6s + 1
16 s 2 + 2.4 s + 16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 t
0.1
1
10
11
2. 频率特性与系统性能的关系 ① 频率响应的低频区(远低于幅值穿越频率的区域)，表征了闭环系统的
稳态特性；
j 1
m
(1 + iwj )
j
(1 + T wj )
闭环传递函数和频率特性可表示为：
GK ( s ) ( s) 1 + GK ( s ) K (1 + i s ) s
m i 1 j
(1 + T s) + K (1 + s)
j 1 i 1 i m
n
② 频率响应的高频区(远高于幅值穿越频率的区域)，表征了闭环系统输 出响应的起始部分；
③ 频率响应的中频区(靠近幅值穿越频率的区域)，表征了闭环系统的稳
定性和瞬态性能。 闭环频率特性的Mp、wp和wb 开环频率特性的wc、g、wg和Kg(Lg)
都是中频特性
（四）典型二阶系统的频域指标与瞬态性能指标的关系
。即g 180°+ wc)，wc满足Awc)1
(2)闭环频率特性性能指标 设单位反馈系统的开环传递函数和开环频率特性为 m
G ( s)
K s
(1 + s)
i i 1 n j 1 j
(1 + T s)
K i 1 G ( jw ) ( jw ) n
② 对典型欠阻尼二阶系统而言，性能指标与系统的特征参数有关。欠 阻尼二阶系统的特征参数是阻尼系数z 和无阻尼震荡频率w。
tp 2 wd wn 1 z
d%e
z
1z 2
100%
4 zw ，当Δ 2时 n ts 3 ，当Δ 5时 zw n
③ 对临界阻尼和过阻尼二阶系统而言，性能指标只有ts 。
(w ) |w 0
2
, 求 。
二、动态性能指标
㈠ 时域性能指标
在时域分析中，性能指标一般是最大超调量d%、调节时间ts、峰值时 间tp等。
1. 对一阶系统而言，性能指标只有ts。
4T，当Δ 2时 ts 3T，当Δ 5时
2.对二阶系统而言，系统可根据阻尼系数z 的不同分为： ①无阻尼系统; ②欠阻尼系统; ③临界阻尼系统; ④过阻尼系统
essr 1 M (0) 0 M (0) 1 所以对单位反馈系统而言，可根据闭环频率特性的零频值M(0)来确定 系统的稳态误差。
当n >0时
② 谐振峰值Mp：系统闭环频率特性幅值的最大值。 ③ 谐振频率wp：系统闭环频率特性幅值出现最大值时的频率。 ④ 系统带宽和带宽频率：设M(jw)为系统的闭环频率特性，当幅频特性
|M(jw)|下降到
w [0, wb ]称为系统带宽。
2 M 0 ) 时，对应的频率 w b 称为带宽频率。频率范围 2
（三） 频率特性的重要性质
1. 频率尺度与时间尺度的反比源自文库系
若有两个系统的频率特性F1(jw)和F2(jw)有如下关系
w 1 ( jw ) 2 ( j )
则两个系统的阶跃响应有如下关系
2 M 0 ) 时，对应的频率 w b 称为带宽频率。频率范围 2
5.8 闭环系统性能分析
2
一、稳态性能指标分析：
如果通过频率特性曲线能确定系统的无差度阶数 v（即积分环节的个数） 和开环放大系数 K 的话，则可求得系统的稳态误差。（见3.6 稳态误差分析） 在波德图上，低频渐近线的斜率 和 的关系如下： 由 20 (dB / Dec) ,可求得 值； 也可由
1 c( ) lim c(t ) lim s ( s ) lim (w ) M (0) t s 0 s w 0
系统的稳态误差为 当n =0时
essr 1 M (0)
essr 1 M (0) 1 1+ K
K M ( 0) 1 1+ K
K越大稳态误差越小，M(0)越接近于1
0
10
h1 (t ) h2 (t )
这个性质说明频率特性展宽多少倍，输出响应将加快多少倍。
10
Mw)dB 10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -60
1 s 2 + 0.6s + 1
16 s + 2.4 s + 16
2
1.4 1.2 w)deg
0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 -180 100 w
m
( jw ) ( jw )
K (1 + iwj )
m
(1 + T wj ) + K (1 + wj )
j 1 j
n
i 1
M (w ) ( jw )
i 1
i
① 零频值 M(0)：闭环幅频特性的零频值
在单位阶跃输入信号时，根据终值定理，可得系统时域的响应终值
3. 对高阶系统，如果有主导极点存在，也可利用上述公式进行计算。
（二）
频域性能指标
⑴开环频率特性性能指标 ① 幅值稳定裕度 Kg(Lg) 系统开环相频特性为－180°时，系统开环频率特性幅值的倒数定义为 幅值稳定裕度。所对应的频率 wg称为相角穿越频率。即Kg=1/A(wg) ， wg满 足j(wg)=－180°。实际中常用对数幅值稳定裕度Lg=－20lgA(wg)。 ② 相角稳定裕度 g 系统开环频率特性的幅值为1时，系统开环频率特性的相角与180°之和 定义为相角稳定裕度，所对应的频率wc称为系统截止频率或幅值穿越频率
六、闭环频率特性性能指标
常用的有下列三项： 零频值 M(0)：闭环幅频特性的零频值 谐振峰值Mp：系统闭环频率特性幅值的最大值。 谐振频率wp：系统闭环频率特性幅值出现最大值时的频率。 系统带宽和带宽频率：设M(jw)为系统的闭环频率特性，当幅频特性
|M(jw)|下降到
w [0, wb ]称为系统带宽。
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
1 s 2 + 0.6s + 1
16 s 2 + 2.4 s + 16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 t
0.1
1
10
11
2. 频率特性与系统性能的关系 ① 频率响应的低频区(远低于幅值穿越频率的区域)，表征了闭环系统的
稳态特性；
j 1
m
(1 + iwj )
j
(1 + T wj )
闭环传递函数和频率特性可表示为：
GK ( s ) ( s) 1 + GK ( s ) K (1 + i s ) s
m i 1 j
(1 + T s) + K (1 + s)
j 1 i 1 i m
n
② 频率响应的高频区(远高于幅值穿越频率的区域)，表征了闭环系统输 出响应的起始部分；
③ 频率响应的中频区(靠近幅值穿越频率的区域)，表征了闭环系统的稳
定性和瞬态性能。 闭环频率特性的Mp、wp和wb 开环频率特性的wc、g、wg和Kg(Lg)
都是中频特性
（四）典型二阶系统的频域指标与瞬态性能指标的关系
。即g 180°+ wc)，wc满足Awc)1
(2)闭环频率特性性能指标 设单位反馈系统的开环传递函数和开环频率特性为 m
G ( s)
K s
(1 + s)
i i 1 n j 1 j
(1 + T s)
K i 1 G ( jw ) ( jw ) n