《二 平面与圆柱面的截线》教案
人教版高中选修4-1二平面与圆柱面的截线教学设计 (2)
人教版高中选修4-1二平面与圆柱面的截线教学设计
知识框架
•二次曲线：椭圆、双曲线、抛物线
•二平面与圆柱面的基本概念和性质
•二平面与圆柱面的截线
教学目标
1.理解二平面与圆柱面的基本概念和性质；
2.能够判定二次曲线与球、椭球面、双曲面、抛物面和圆柱面的位置关
系；
3.学会求解二平面与圆柱面的截线方程；
4.掌握借助图像解决有关问题的方法。
教学重点
•二平面与圆柱面的基本概念和性质；
•二平面与圆柱面的截线方程。
教学难点
•如何求解二平面与圆柱面的截线方程。
教学方法
•讲授法；
•示范法；
•互动探讨法。
1。
2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)
为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任
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当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个
封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1、F2，与圆锥相切 于圆S1、S2. 在截口的曲线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线交S1 于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因
此PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.
所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2. 由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行平 面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在β>α时， 平面π与圆锥的交线是以F1、F2为焦点的椭圆．
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[悟一法]
由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓广
为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成
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①G2F1＋G2F2＝ AD；②G1G2＝ AD； G2F1 ＝cosφ＝sinθ. ③ G2E (3)如图(2)，将两个圆拓广为球面，将矩形 ABCD 看 成是圆柱面的轴截面，将 EB、DF 拓广为两个平面 α、β， EF 拓广为平面 γ，则平面 γ 与圆柱面的截线是 椭圆 ．即 得定理 1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．
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[研一题] [例2] 证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆 锥的交线为椭圆． 分析：本题考查平面与圆锥面的截线．解答本题需要 明确椭圆的定义，利用椭圆的定义证明．
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证明：如图，与定理1的证明相同，在圆锥内部嵌入 Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的 下方，并且与平面π及圆锥均相切．
人教版高中选修4-1二平面与圆柱面的截线教学设计
人教版高中选修4-1二平面与圆柱面的截线教学设计一、教学目标1.掌握二平面与圆柱面的基本概念；2.掌握二平面与圆柱面的截线构成规律；3.通过教学实例，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
二、教学内容1. 二平面与圆柱面的基本概念1.1 二平面二平面是指任意两个平面相交形成的图形，有直线、梯形、三角形等形状。
1.2 圆柱面圆柱面是指以一条线段为轴线，保持与轴线部分等距离的所有点构成的曲面。
2. 二平面与圆柱面的截线构成规律2.1 直线的截线当二平面与圆柱面相交时，其中一个截面是直线。
对于切割圆柱面的直线，其截下来的圆截面与圆柱面的截面相同。
2.2 梯形的截线当二平面与圆柱面相交时，其中一个截面是梯形。
对于切割圆柱面的梯形，其截下来的圆截面与圆柱面的截面相似。
2.3 三角形的截线当二平面与圆柱面相交时，其中一个截面是三角形。
对于切割圆柱面的三角形，其截下来的圆截面与圆柱面的截面相似。
三、教学方法1.案例分析法通过课堂上的案例分析来加深学生的理解和记忆。
2.课堂讲解法结合教材中的知识点，详细讲解二平面和圆柱面的相关概念和截线构成规律。
3.课外拓展法利用课外时间，为学生提供更多的数学实例，加深对该知识点的理解。
四、教学步骤第一步：引入通过图示、实例介绍二平面和圆柱面的基本概念，并探讨其关系。
第二步：讲解讲解二平面与圆柱面的截线构成规律，并详细讲解三种形状的截线构成规律。
第三步：案例分析以实际问题为例，引导学生思考如何利用截线构成规律求解。
第四步：课外拓展对于学生认为有疑惑或者想要了解更多的内容，提供更多的实例和内容进行拓展。
五、教学效果本课程教学内容重点突出，难点深入，使学生能够在课堂上更好的理解、掌握二平面和圆柱面的基本概念，掌握其截线构成规律。
同时，通过案例的分析，学生的数学思维能力和解决问题的能力得到了很好的培养。
2.平面和圆柱面的截线-湘教版选修4-1教案
2.平面和圆柱面的截线-湘教版选修4-1教案一、知识点概述在几何学中，圆柱面指的是以矩形为母线、以一条直线为轴线旋转而成的物体。
平面则是一个无限大的、类似于地面的表面，没有高度，只有长和宽。
本次教案将围绕圆柱面和平面相交时产生的截线展开讲解。
二、教学重点1.了解平面和圆柱面的基本定义2.掌握平面和圆柱面相交时的截线形态及性质三、教学难点“突破平面和圆柱面的二维限制，理解三维物体的截线形态。
”四、教学过程1. 圆柱面的基本概念•以矩形为母线、以一条直线（轴线）为旋转轴旋转而得到的几何体称为圆柱。
•圆柱的母线是圆柱的一条侧棱线。
•圆柱的直径是与母线垂直的直线段，圆柱底面上截取一个直径所得到的圆称为圆柱的底圆。
2. 平面的基本概念•平面是物体表面，具有两个维度：长度和宽度。
•平面没有高度和体积，仅仅是有限个位于平面内的点的集合。
3. 相交的情况当平面与圆柱面相交时，会产生不同的截线形态。
下面分别进行说明。
情况一：平面与圆柱面相交于母线此时，截面是一个矩形，如下图所示：___________| ||截面为矩形 ||___________|情况二：平面与圆柱面垂直于母线相交此时，截面是两个直角三角形，如下图所示：//截面角度为90度/___________| Δ → || \\ β || \\ || \\ ||______\\___ |情况三：平面与圆柱面在母线直径面内相交此时，截面是一个矩形和两个全等的梯形，如下图所示：_________/ \\|截面形成字母H|\\ _______ /4. 性质分析根据以上三种情况，可以总结出圆柱面和平面相交时的一些性质：•截面形态呈现出矩形、直角三角形、全等梯形等几何图形，每个图形有其特定的属性和性质。
•平面相交圆柱面时，圆柱面可以被切成无数个全等的圆，每个圆在截面处都成为直径，且这些圆在同一平面内。
•相交平面可以是不同的位置和方向，产生的截面形态也不同。
五、教学点拨【教师提醒】学习本节内容，学生需要理解平面和圆柱面的基本定义，以及掌握平面和圆柱面相交时的截线形态及性质。
《平面与圆柱面的截线》教学课件2
直线 l 与平面α相交------ l的方向称投影方向。
点的平行射影：过点A作平行于 l 的直线（称
投影线）必交α于一点A´,称点A´为A沿 l 的方向 在平面 α上的平行射影。
l
A
A
图形的平行射影： 一个图形上各点在平面 α上的平行射影所 组成的图形，叫做这个图形的平行射影。 正射影是平行射影的特例。
探究 如图 3 12 ,
1 找出椭圆的准线; 2 探讨P到焦点 F1 的距离与 A
到两平面交线m的距离之比.
m
S Q1 B
F1
`
P 如图 3 12, 上面一个 Dandelin 球与圆锥的交线为圆 S , 记圆 S 图3 12 所在的平面为 `.设 与 `的交 线为 m.在椭圆上任取一点 P, 连接 PF1 .在 中过 P作m 的垂线 , 垂足为 A.过P作 `的垂线 , 垂足为 B, 连接 AB, 则AB是PA在平面 `上的射影 . 容易证明, m AB.故 PAB是平面 与平面 `交成的二面角的平面角 .
探究 如图
1 G2 F1 G2 F2与AD有什么关系 ? 2 AD的长与G1G2的长有什么关系 ? E A 3 G2 F1与G2 E有什么关系 ?
O1
B
(1)G2 F1 G2 F2 AD G
(2)AD G1G 2
G2 F1 cos sin . 3 G2 E
E B
P
l
D
C
1
G
A
P
F
l
D
C
2
图3 9
2 当l与AB不相交时, 则l / / AB,
2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)
0)，则
①β>α ②β＝α ③ β<α ，平面π与圆锥的交线为椭圆； ，平面π与圆锥的交线为抛物线； ，平面π与圆锥的交线为双曲线．
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[小问题·大思维] 用平面截球面和圆柱面所得到的截线分别是什么 形状？
提示：联想立体图形及课本方法，可知用平面截
球面所得截线的形状是圆；用平面截圆柱面所得截线 的形状是圆或椭圆．
2 解：由题意知，椭圆的长半轴长 a＝ ＝2 2， sin 45° 短半轴长 b＝2，则半焦距 c＝ a2－b2＝ 8－4＝2. 所以焦距 2c＝4.
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点击下图进入“创新演练”
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[读教材·填要点]
1．平面与圆柱面的截线
(1)椭圆组成元素： F1，F2 叫椭圆的焦点； F1F2 叫椭圆 的焦距；AB叫椭圆的 长轴 ；CD叫椭圆 的 短轴 ．
如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦 2 a2－b2 . 距2c＝
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(2)如图(1)，AB、CD是两个等圆的直径，AB∥CD，
AD、BC与两圆相切，作两圆的公切线EF，切点分别为F1、 F2，交BA、DC的延长线于E、F，交AD于G1，交BC于G2. 设EF与BC、CD的交角分别为φ、θ.
选择题的形式考查了平面与圆柱面的截线的形状，是
高考模拟命题的一个新动向．
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[考题印证]
(2012· 梅州模拟)已知半径为 2 的圆柱面， 一平面与圆 柱面的轴线成 45° 角，则截线椭圆的焦距为 A．2 2 C．4 B．2 D．4 2 ( )
[命题立意]
本题主要考查平面与圆柱面的截线问题，
同时考查椭圆的相关性质．
曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采 用与上节中定理1的证明相同的方法，即Danelin双球法， 这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使 问题得到解决．
2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)
0)，则
①β>α ②β＝α ③ β<α ，平面π与圆锥的交线为椭圆； ，平面π与圆锥的交线为抛物线； ，平面π与圆锥的交线为双曲线．
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[小问题·大思维] 用平面截球面和圆柱面所得到的截线分别是什么 形状？
提示：联想立体图形及课本方法，可知用平面截
球面所得截线的形状是圆；用平面截圆柱面所得截线 的形状是圆或椭圆．
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2．平面与圆锥面的截线
(1)如图，AD是等腰三角形底边BC上的高，∠BAD＝α，
直线l与AD相交于点P，且与AD的夹角为β(0<β<)，则： ① β>α ，l与AB(或AB的延长线)、AC相交； ② β＝α ③ β<α ，l与AB不相交； ，l与BA的延长线、AC都相交．
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(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O 点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥 面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝
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当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个
封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1、F2，与圆锥相切 于圆S1、S2. 在截口的曲线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线交S1 于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因
此PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.
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[研一题] [例2] 证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆 锥的交线为椭圆． 分析：本题考查平面与圆锥面的截线．解答本题需要 明确椭圆的定义，利用椭圆的定义证明．
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证明：如图，与定理1的证明相同，在圆锥内部嵌入 Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的 下方，并且与平面π及圆锥均相切．
《平面与圆柱面的截线》教学设计
《平面与圆柱面的截线》教学设计《《平面与圆柱面的截线》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！高中数学选修4-1《几何证明选讲》中“圆锥截线”一节的教学要求是“让学生了解平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆)”。
虽然本节内容不作要求，可以选择开设相关讲座或指导学生阅读进行教学。
但是定理的证明，蕴涵着丰富的数学思想方法，它们有助于学生体会空间想像能力和几何直观能力在解决问题中的作用，有助于提高学生综合运用几何知识解决问题的能力。
条件允许的学校，教师可以利用现代计算机技术，动态地展现Dandelin双球的方法，帮助学生利用几何直观进行思维。
近期，我根据有关材料，运用《几何图霸》制作了相关课件，可以到图霸网盘中自由下载。
文中的图片均是静态的截图，在课件中它们是可以动态变化的。
一、直观感知：倾斜的茶杯中的水面：平面与圆柱面的截线：容易发现：当截面与圆柱面的轴垂直时交线是一个圆,当截面与圆柱面的轴成锐角时，交线为椭圆。
刀削竹杆图，截口是椭圆。
在几何图霸中曲面的绘制要用到方程。
上图使用柱坐标系很方便，图霸用户可以根据下图制作：平面与圆柱面截线的展开图是正弦型曲线。
如下图：你能证明吗?几个圆柱面相交构成“田”字，它们的制作要复杂些，可以在图霸中查看各步骤。
它们的交线方程又是什么呢?到“空间解析几何”中学习吧!二、定理证明及性质探究为什么截线是椭圆呢?教材先从平面图入手，下图其实是空间图形的一个轴截面。
在下图中探讨三个问题：再由此向立体图过渡：下面图运用了光照及透明效果。
图中的点P运动到点G2时即是上图。
证明仍要运用球的切线长定理。
请看下面的线框图：三、知识运用：求离心率参看下图：椭圆的短半轴等于圆柱面的半径R.长半轴等于R/sinθ.上图中绿色线长为短轴长2b，红色线为长轴长2a，所以KF等于焦距2c.离心率为cosθ.《平面与圆柱面的截线》教学设计这篇文章共2270字。
课件高中数学人教A版选修二平面与圆柱面的截线PPT课件_优秀版
探究定理1的证明并掌握其定理. G1F2＝G1D，F2G2＝G2C，
椭圆上任意一点到焦点F1的距离与到直线l1的距离之比为定值cos . 当点P与G2重合时，有
连接F1O1，F2O2，容易证明
PF1=PK1,PF2=PK2,
于是可证得△FCG2≌△EAG1
连接F1O1，F2O2，容易证明
G1F2＝G1D，F2G2＝G2C，
当点P与G2重合时，有
∴ G2F1=G2Ecos 圆柱形物体的斜截口是椭圆. ∴G1G2＝G1D＋G2C
知识与能力
相当于正午太阳光向下照射的影子！
通过从平面图形向空间图形的过渡，探究定理1的证明，提高空间的想象能力，培养学生的发散思维和严谨的逻辑思维.
l1,l2与椭圆上的点有什么关系?
提高学生学习数学的积极性，培养他们勤于思考，敢于探索的思维习惯，使学生体会到数学的逻辑严谨的特征.
解析 由切线长定理有
G2F1＝G2B，G2F2＝G2C， ∴G2F1＋G2F2＝G2B＋G2C＝BC＝AD 又∵G1G2＝G1F2＋F2G2 由切线长定理知
G1F2＝G1D，F2G2＝G2C， ∴G1G2＝G1D＋G2C 连接F1O1，F2O2，容易证明 △EF1O1≌△FF2O2 ∴EO1＝FO2
下平面中全部正投影，所形成
的图形，就是平面上的正射影.
相当于正午太 阳光向下照射
的影子！
平行射影？
上平面中的圆的各点，沿着 一组平行线l作为投影方向，在 下平面投影所形成的图形，就是 平行射影.
教学目标
相当于正午太阳光向下照射的影子！
当点P不在端点时，连接PF1,PF2,则PF1,PF2分别是两个球面的切线,切点为F1,F2.
情感态度与价值观
2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)
[读教材·填要点]
1．平面与圆柱面的截线
(1)椭圆组成元素： F1，F2 叫椭圆的焦点； F1F2 叫椭圆 的焦距；AB叫椭圆的 长轴 ；CD叫椭圆 的 短轴 ．
如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦 2 a2－b2 . 距2c＝
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(2)如图(1)，AB、CD是两个等圆的直径，AB∥CD，
AD、BC与两圆相切，作两圆的公切线EF，切点分别为F1、 F2，交BA、DC的延长线于E、F，交AD于G1，交BC于G2. 设EF与BC、CD的交角分别为φ、θ.
曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采 用与上节中定理1的证明相同的方法，即Danelin双球法， 这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使 问题得到解决．
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[通一类] 2．在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角
为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任
2 解：由题意知，椭圆的长半轴长 a＝ ＝2 2， sin 45° 短半轴长 b＝2，则半焦距 c＝ a2－b2＝ 8－4＝2. 所以焦距 2c＝4.
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取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)， 求证：β＝α时，平面π与圆锥的交线是抛 物线．(如图)
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证明：如图，设平面 π 与圆锥内切球相切于点 F1，球与圆 锥的交线为圆 S，过该交线的平面为 π′，π 与 π′相交于 直线 m. 在平面 π 与圆锥的截线上任取一点 P，连接 PF1.过点 P 作 PA⊥m，交 m 于点 A，过点 P 作 π′的垂线，垂足为 B，连 接 AB，则 AB⊥m，∴∠PAB 是 π 与 π′所成二面角的平面 角．连接点 P 与圆锥的顶点，与 S 相交于点 Q1，连接 BQ1， 则∠BPQ1＝α，∠APB＝β. 在 Rt△APB 中，PB＝PAcos β.
平面与圆柱面的截线 课件
圆锥曲线的性质
【例 3】 椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的两个焦点为 F1，F2， 点 P 在椭圆 C 上，且 PF1⊥F1F2，|PF1|＝43，|PF2|＝134.
(1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若直线 l 过圆 x2＋y2＋4x－2y＝0 的圆心 M，且交椭圆 C 于 A，B 两点，且 A，B 两点关于点 M 对称，求直线 l 的方程．
【 解 析 】 (1) 依 题 意 ， 可 设 抛 物 线 C 的 标 准 方 程 为 y2 ＝ 2px(p>0)．
因为抛物线过定点A(2,2)，所以4＝4p⇒p＝1. 因此抛物线的标准方程为y2＝2x.
(2)由(1)可得焦点 F 的坐标为 F12，0， 又直线 OA 的斜率 kOA＝22－ －00＝1， 且所求直线 l 与直线 OA 垂直， 所以 kl＝－k1OA＝－1. 所以所求直线 l 的方程为 y－0＝－x－12，即 2x＋2y－1＝0.
3．圆锥曲线的几何性质
(1)焦点：Dandelin球与π平面的___切__点___；
(2)准线：__截__面____与Dandelin球和圆锥面的交线所在平面
的交线；
cos β
(3)离心率：e＝____c_o_s_α_______.
利用定理2求离心率
【例1】 一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴长为 8，长轴的两端点到顶点的距离分别是6和10，求椭圆的离心 率．
y－1＝kx＋2，
由x92＋y42＝1，
消去 y，得
(4 ＋ 9k2)x2 ＋ (36k2 ＋ 18k)x ＋ 36k2 ＋
36k－27＝0， 由韦达定理，得 x1＋x2＝－364k＋2＋9k128k.
因为 A，B 两点关于点 M(－2,1)对称， 所以x1＋2 x2＝－148＋k2＋9k92k＝－2，解得 k＝89. 经检验 k＝89符合题意． 所以直线 l 的方程为 y－1＝89(x＋2)， 即 8x－9y＋25＝0.
【教学设计】《平面与圆柱面的截线》(人教)
《平面与圆柱面的截线》平面与圆柱面的截线是本章重要内容， 对于学生的空间想象能力提出要求， 巧妙地利用 dan del in 双球证明定理的方法是学生应具备的能力、知识，本节内容对下一节平面与圆锥面的截线具有重要意义。
【知识与能力目标】1, 通过观察平面截圆柱面的情境，体会定理2, 利用dandelin 双球证明定理3, 通过探究，得出椭圆的准线和离心率【过程与方法目标】3、培养学生化归的思想、运动联系的观点。
【情感态度价值观目标】4、感受数学与生活的联系，获得积极的情感体验。
定理的证明、椭圆的准线和离心率的探究【教学难点】椭圆的准线和离心率的探究♦课前准备———多媒体课件、复习回顾♦教学重难点I . ---------------【教学重点】问题：圆柱的斜截面是什么形状？学生：椭圆二、知识探究AB CD是两个等圆的直径AB//CD,AD、BC与两圆相切。
作两圆的公切线EF,切点分别为F1、F2交BA DC的延长线与E、F,交AD于G1,交BC于G2。
设EF与BC CD的交角分别为与、问题1: G2F1 + G 2F2与AD有怎样的等式？学生：G2F1=G2B,G2F2=G2CG2F1+G2F2=G2B+G2C=BC=AD学生：又••• GG= G1F2+ F2GG1F2= G1D,F2G2=G2CG i G2= G1D+GC连接F1O1,F2O2, 容易证明△EF i O^A FF2Q••• EO=FQ问题2: AD的长与GG的长有怎样等式？问题3: G2F1的长与GE的长有怎样等式？（2）G1G2=AD（2）G1G2=AD将左图中的两个圆拓广为球面，将矩形ABCD看成是圆柱面的轴截面，将EB DF拓广为两个平面，EF拓广为平面得到右图你能猜想这个椭圆的两个焦点的位置吗？两个焦点为两个球与斜截面的切点上，过球心QQ2分别作斜截面的垂线，其垂足FiR 就可能是焦点。
问题：对截口上任一点P,证明PF i+PF>=定值学生：当P不在端点时，连接PF i、PF2,则PF1PF2分别是两个球面的切线，切点为F1F2, 过P作母线，与两球面分别相交于KK2,则PK,PK2分别是两球面的切线，切点为KK2, PF1=PK1PF2=PK2PF i+PF2=PK+PK=AD问题：对截口上任一点P,证明PF i+P氐定值圆柱面的斜截口是椭圆问题：点P在椭圆的任意位置PQL l,PK i丄AB能够得出什么结论？三、例题剖析例1、如图，AB CD是两个半径为2的等圆的直径，AB// CD AD BC与两圆相切，作两圆公切线EF,切点为F i, F2,交BA DC的延长线于E, F两点，交AD于G,交BC 于G，设EF与BC, CD的交角分别为, 0 .当B = 30 ° 时，贝V © = ___________学生：当0 = 30° 时，© = 90 ° - 30°= 60° .连接QG,在Rt△ QGC中，由已知及Q, F2, G, C四点共圆可求得/ GQC= 30° 例2、一平面与圆柱面的母线成45°角,平面与圆柱面的截线椭圆的长轴为6,则圆柱面的半径为_____________ ．学生：四、当堂检测1、已知圆柱面的半径为r = 6,截割平面B与母线所成的角为60求此截割面的两个焦球球心距离，并指出截线椭圆的长轴、短轴和离心率 e.2、已知一圆柱面的半径为3，圆柱面的一截面的两焦点球的球心距为12，求截面截圆柱所得的椭圆的长轴长、短轴长、两焦点间的距离和截面与母线所夹的角五、课堂检测通过本节课学习，请同学们说说掌握了哪些知识？略。
高中数学 3.2 平行与圆柱线的截线课件 新人教版选修4
规律技巧 解答本题应熟悉截线椭圆的重要公式：设斜截
面与圆柱面的母线夹角为φ，圆柱面的半径为r，则截线椭圆的
长轴长2a＝
2r sinφ
，短轴长2b＝2r，离心率e＝cosφ
，焦距2c＝
2acosφ.
变式2 已知一圆柱面的半径为3，圆柱面的一截面的两焦 点球的球心距为12，求截面截圆柱所得的椭圆的长轴长、短轴 长、两焦点间的距离和截面与母线所夹的角．
a2＝b2＋c2，离心率e＝
c a
，准线方程为x＝±ac2
，椭圆的标准方
程为ax22＋by22＝1(a>b>0)．
(2)椭圆内切于矩形，且它是以x轴、y轴为对称轴的轴对称
图形，又是以原点为对称中心的对称图形．因此，画椭圆的图
形时，只要画出第一象限部分，利用对称性可画出其余部分．
2．平面与圆柱面的截线 定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆． 圆柱面的截割面的两侧各有一个焦球．若截割面是圆柱面 的直截面时，两焦球与直截面切于同一点，即截线圆的圆心， 若截割面是圆柱面的斜截面时，两焦球与斜截面的切点恰好是 截线椭圆的两个焦点，此时称两焦球为丹迪林(Dandelin)双 球．
1.AD AD cosφ sinθ 答
2.椭圆 案
3.长轴 短轴 焦距 2 a2－b2
思考探究1 用一个平行于圆柱的轴的平面截圆柱，截口 是什么？
提示 是矩形．如图，截口显然是矩形． 思考探究2 在一个圆柱体中你能用一个平面截出一个三 角形吗？能截出一个半圆吗？在什么条件下，你能截出一个正 方形？
解析 由2a＝6，知a＝3.
又e＝cos45°＝
22，∴ac＝
人教版高中选修4-1二平面与圆柱面的截线课程设计
人教版高中选修4-1二平面与圆柱面的截线课程设计一、课程背景二平面与圆柱面的截线是高中数学中的一个重点难点知识点，也是学生在学习几何变换时的必修内容。
掌握此知识点不仅有助于拓宽学生的数学思维，还有助于他们在日后的大学数学学习中打下良好的基础。
本设计适用于人教版高中选修4-1教材，旨在引导学生掌握二平面与圆柱面的截线知识。
二、教学目标1.了解二平面与圆柱面的定义和性质；2.掌握二平面与圆柱面的截线类型及特性；3.运用数学知识解决实际问题；4.培养学生的空间想象能力和数学推理能力。
三、教学内容3.1 二平面与圆柱面的定义•二平面的定义•圆柱面的定义3.2 二平面与圆柱面的性质•二平面的性质•圆柱面的性质3.3 二平面与圆柱面的截线类型•直截线•圆锥曲线•椭圆•双曲线•平行截线•交叉截线3.4 二平面与圆柱面的截线特性•截线与二平面和圆柱面的关系•截线的性质分析3.5 应用实例•如何应用二平面和圆柱面的截线知识解决实际问题四、教学方法本课程设计采用讲授、演示和练习相结合的教学方法。
在教学中，将引导学生积极思考，参与讨论，探究问题本质。
五、教学过程5.1 导入环节教师可以通过引入生活中的实例，调动学生的兴趣，如图形的识别与描述、修建房屋的平面图等。
5.2 概念说明通过教师的讲授、演示等方式，讲解二平面和圆柱面的定义、性质，引导学生掌握概念。
5.3 示例分析通过多种实例，比如日常生活中的物体，进行截线的类型分析，加深学生对截线类型的理解。
5.4 练习环节将学生分组，安排一些截线问题，让学生团队合作，运用多种截线类型解决问题，培养学生的团队协作能力和实际运用能力。
5.5 教学总结对本节课教学内容进行总结，帮学生理清知识点，加强巩固。
六、教学评估教师可以通过教学反馈问卷或听课记录等，来了解学生在学习过程中的表现与掌握情况，反思教学过程，优化教学内容和方法。
七、教学资源1.人教版高中选修4-1教材；2.经典例题及题解；3.课堂展示工具。
平面与圆柱面的截线优秀教学设计
平面与圆柱面的截线
【教学目标】
1．知识与内容：
（1）通过观察平面截圆锥面的情境，体会定理1 （2）利用Dandelin 双球证明定理1
（3）通过探究，得出椭圆的准线和离心率，加深对椭圆结构的理解 2．过程与方法：
利用现代计算机技术，动态地展现Dandelin 两球的方法，帮助学生利用几何直观进行思维，培养学生的几何直观能力，重视直觉的培养和训练，直觉用于发现，逻辑用于证明。
3．情感态度价值观：
通过亲历发现的过程，提高对图形认识能力，重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培养，让学生辩证地观察、分析问题。
【教学重难点】
重点：定理1的证明；椭圆准线和离心率的探究 难点：椭圆准线和离心率的探究
【教学准备】
模型
【教学方法】
探究 讨论
【教学过程】
1．平面与圆柱面的截线
探究讨论：如图，AB ，CD 是两个等圆的直径，AB//CD ，AD 、BC 均与两圆相切。
作公切线EF ，切点分别为F 1和F 2 ，交BA ，DC 的延长线与E ，F ，交AD 于G 1 ，交BC 于G 2 ，设EF 与BC ，CD 的交角分别为φ，θ。
AD )1(2212=+F G F G 21G G AD )2(=
定理1．圆柱形物体的斜截口是椭圆。
课后小结
1
G 2。
数学学案：互动课堂第三讲二平面与圆柱面的截线
互动课堂重难突破一、椭圆的组成元素图3—2—21。
如图3-2-2,F 1、F 2叫椭圆的焦点，F 1F 2叫椭圆的焦距；AB 叫椭圆的长轴,通常用字母a 表示；CD 叫椭圆的短轴,通常用字母b 表示;如果长轴为2a ，短轴为2b ，那么焦距为2222c b a -=。
这个式子反映了椭圆的长轴、短轴及焦距三者之间的关系，我们可以利用这一关系式进行相关的运算。
2.椭圆内切于矩形，且它是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形,又是以原点为对称中心的对称图形。
因此,画它的图形时，只要画出第一象限的部分，其余可由对称性得出。
二、椭圆的性质图3-2-3如图3—2-3，椭圆上任意一点到焦点F 的距离和它到直线l 的距离之比为定值,根据这一点，我们有椭圆的第二定义：平面内点M 与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数ac e =（0〈e<1）时,这个点M 的轨迹是椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,显然在另一侧对应另一个焦点还有一条准线,常数e 是椭圆的离心率。
e 的几何意义是:椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比。
当e越接近于1时，c越接近于a，从而b越小，因此椭圆越扁;反之，e越接近于0,从而b越接近于a,椭圆越接近于圆.当e =0时，c =0,a =b，两焦点重合，图形就是圆了。
可见离心率是刻画椭圆圆扁程度的量.活学巧用【例1】Rt△ABC的斜边BC在平面α内，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边组成的图形只能是（)A.一条线段B。
一个锐角三角形C.一个钝角三角形D。
一条线段或一个钝角三角形思路解析:（1）当顶点A在平面α上的射影A′在BC所在直线上时，两条直角边在平面α上的射影是一条线段，与斜边组成的图形是线段,如图3—2-4(1）.图3—2-4（2）当顶点A在平面α上的射影A′不在BC所在直线上时,∵AA′⊥α,∴AA′⊥A′B,AA′⊥A′C。
∴A′B<AB，A′C<AC。
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《二平面与圆柱面的截线》教案
教学目标
1.知识与内容：
(1)通过观察平面截圆锥面的情境，体会定理1
(2)通过探究，得出椭圆的准线和离心率，加深对椭圆结构的理解
2.情感态度价值观：
通过亲历发现的过程，提高对图形认识能力，重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培养，让学生辩证地观察、分析问题.
教学重点、难点
重点：、定理1的证明；椭圆准线和离心率的探究
难点：椭圆准线和离心率的探究
教学过程
1、平面与圆柱面的截线
探究讨论：如图3-5(课本第45页)，AB，CD是两个等圆的直径，AB//CD，AD、BC均与两圆相切.作公切线EF，切点分别为F1和F2，交BA，DC的延长线与E，F，交AD于G1，交BC于G2，设EF与BC，CD的交角分别为φ，θ.
由切线长定理有
G2F1＝G2B，G2F2＝G2C，
∴G2F1＋G2F2＝G2B＋G2C＝BC＝AD
又∵G1G2＝G1F2＋F2G2
由切线长定理知
G1F2＝G1D，F2G2＝G2C，
∴G1G2＝G1D＋G2C
连接F1O1，F2O2，容易证明
△EF1O1≌△FF2O2
∴EO1＝FO2
又∵O1A＝O2C，
∴EA＝FC
于是可证得△FCG2≌△EAG1
∴G1A＝G2C
∴G1G2＝G1D＋G1A＝AD
在Rt△G2EB中
22122cos G B G F φG E G E
== ∴ G 2F 1=G 2Ecos ϕ
又 ∵ ϕ=90︒-θ
∴ G 2F 1=G 2Ecos ϕ=G 2Esin θ
由此得到结论:
(1)G 2F 1+G 2F 2=AD
(2)G 1G 2=AD
().cos cos 3212θϕ==E
G F G 2、知识拓展
将图3-5中的两个圆拓广为球面，将矩形ABCD 看成是圆柱面的轴截面，将EB 、DF 拓广为两个平面α、β，EF 拓广为平面γ，得到图3-6(课本第46页).
你能猜想这个椭圆的两个焦点的位置吗？
猜想:两个焦点为两个球与斜截面的切点上，即过球心O 1、O 2分别作斜截面的垂线，其垂足F 1、F 2就可以能是焦点.
对截口上任一点P ，证明PF 1+PF 2=定值
当点P 与G 2重合时，有
G 2F 1＋G 2F 2＝AD
当点P 不在端点时，连接PF 1，PF 2，则PF 1，PF 2分别是两个球面的切线，切点为F 1，F 2. 过P 作母线，与两球面分别相交于K 1，K 2，则PK 1，PK 2分别是两球面的切线，切点为K 1，K 2
PF 1=PK 1，PF 2=PK 2，
PF 1+PF 2=PK 1+PK 2=AD
定理1 圆柱形物体的斜截口是椭圆.
如上图，椭圆的焦点是F 1、F 2，B 1B 2是F 1F 2的中垂线.我们把A 1A 2叫做椭圆的长轴，B 1B 2
叫做椭圆的短轴，F 1F 2叫做椭圆的焦距.如果长轴为2a ，短轴为2b ，那么焦距2c =
3、椭圆的性质
思考：l 1，l 2与椭圆上的点有什么关系？
特殊点G 2
212cos G F φG E
==定值. 点P 在椭圆的任意位置
PQ ⊥l ，PK 1⊥α
在Rt △PK 1Q ，中∠QPK 1=ϕ
11cos PF PK φPQ PQ
===定值. 椭圆上任意一点到焦点F 1的距离与到直线l 1的距离之比为定值cos ϕ.我们把直线l 1叫做椭圆的另一条准线.
同样，椭圆上任意一点到焦点F 2的距离与到直线l 2的距离之比为定值cos ϕ.所以l 2是椭圆的另一条准线.
记e =cos ϕ，我们把e 叫做椭圆的离心率.
4、课后小结
回顾本科学习了哪些知识？。