现代信号处理讲义讲义

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现代信号处理--清华胡广书讲义-第6章滤波器组基础

150第6章滤波器组基础6.1 滤波器组的基本概念一个滤波器组是指一组滤波器，它们有着共同的输入，或有着共同的输出，如图6.1.1所示。

图6.1.1 滤波器组示意图，（a ）分析滤波器组，（b ）综合滤波器组。

假定滤波器)(0z H ，)(1z H ，…，)(1z H M -的频率特性如图6.1.2（a ）所示，)(n x 通过这些滤波器后，得到的)(0n x ，)(1n x ，…，)(1n x M -将是)(n x 的一个个子带信号，它们的频谱相互之间没有交叠。

若)(0z H ，)(1z H ，…，)(1z H M -的频率特性如图6.1.2（b ）所示，那么，)(0n x ，)(1n x ，…，)(1n x M -的频谱相互之间将有少许的混迭。

由于)(0z H ，)(1z H ，…，)(1z H M -的作用是将)(n x 作子带分解，因此我们称它们为分析滤波器组。

将一个信号分解成许多子信号是信号处理中常用的方法。

例如，若图6.1.1中的2=M ，那么，在图6.1.2中，)(0z H 的频率特性将分别占据2~0π和ππ~2两个频段，前者对应低频段，后者对应高频段。

这样得到的)(0n x 将是)(n x 的低频成份，而)(1n x 将是其高频)(0n x )(1n x )(1n x M -)(n x(ˆ0x (ˆ1x)(ˆ1n xM -)(ˆn x151成份。

我们可依据实际工作的需要对)(0n x 和)(1n x 作出不同的处理。

例如，若我们希望对)(n x 编码，设)(n x 的抽样频率为20KHz ，若每个数据点用16bit ，那么每秒钟需要的码图6.1.2 分析滤波器组的频率响应，（a ）无混迭，（b ）稍有混迭流为320Kbit 。

若)(n x 是一低频信号，也即)(n x 的有效成份（或有用成份）大都集中在)(0n x 内，)(1n x 内含有很少的信号能量。

这样，我们可对)(0n x 仍用16bit ，对)(1n x 则用8bit ，甚至是4bit ，由于)(0n x 和)(1n x 的带宽分别比)(n x 减少了一倍，所以，)(0n x 和)(1n x 的抽样频率可降低一倍。

现代信号处理第4章循环平稳信号分析-讲义

4.2.1 一阶循环统计量
循环统计方法是研究信号统计量的周期结构，它直接对时变统计量进行非线性变换得到循环统计量，并用循环频率——时间滞后平面分布图来描述信号，抽取信号时变统计量中的周期信息。循环统计量的一般表达式为
C x ()kT li m T 10 Tcx(t, )kej2 td t (4.2.1)
可见均值是时间的周期函数，该信号是循环平稳信号，因此无法直接使用时间平均估计信号的均值。
对上述循环平稳信号以T0为周期进行采样，则这样的采样值显然满足遍历性，从而，可以用样本平均来估计其均值
M x(t)N li m 2N 11n N Nx(tnT0)
(4.2.4)
一阶循环统计量—循环均值
可以看出式(4.2.4)是T0的周期函数,
将式（4.2.9）代入式（4.2.11）得
（4.2.11）
Rx (
)1 T0
TT 00//22N li m 2N 11nN Nx(tnT0)x*(tnT0)ej2tdt
引言
机械循环平稳信号具有以下特点：
(1) 正常无故障的机械信号一般是平稳随机信号，统计量基本不随时间变化。
(2) 故障信号产生周期成分或调制现象，其统计量呈现周期性变化，此时信号成为循环平稳信号。
(3) 统计量中的某些周期信息反映机械故障的发生。
因此研究循环平稳信号处理和特征信息的提取方法，对机械故障诊断具有重要的意义。
精品
现代信号处理第4 章循环平稳信号分析
第四章循环平稳信号分析
4.1 循环平稳信号的定义 4.2 信号的循环统计量 4.3 基于二阶循环统计量的仿真信号解调分析 4.4 循环平稳信号处理的工程应用
引言
在信号处理中，信号的统计量起着极其重要的作用，最常用的统计量有均值（一阶统计量）、相关函数与功率谱密度函数（二阶统计量），此外还有三阶、四阶等高阶统计量。在非平稳信号中有一个重要的子类，它们的统计量随时间按周期或多周期规律变化，这类信号称为循环平稳信号。具有季节性规律变化的自然界信号都是典型的循环平稳信号，例如水文数据、气象数据、海洋信号等。雷达系统回波也是典型的循环平稳信号。

清华大学《现代信号处理》课件

现代信号处理（离散随机信号处理）电子工程系本课程要讨论的主要问题：（1）对信号特性的了解随机信号（随机过程，时间序列––随机过程的一个实现）信号模型→参数估计→现代谱估计：参数化谱估计讨论信号模型及模型参数的估计问题，比较参数谱估计方法和周期图方法的优劣。

（2）对统计意义下最优滤波器设计的研究平稳条件下：Wiener滤波器理论非平稳条件下：Kalman滤波理论上的目标，实际算法可达到的最佳结果（3）对环境的自适应，具备“学习能力”的滤波算法自适应均衡、波束形成、线性自适应滤波器（4）更多信息的利用，挖掘（针对非高斯问题）线性系统、功率谱：二阶矩，高斯过程的完全刻划非线性、多谱：高阶量，循环平稳（5）对时间（空间）–––频率关系的适应性：全局特性与局域特性，小波变换，时频分析信号处理算法设计面向的几个主要因素n信噪比n先验知识n雷达n通信系统n电子对抗n对先验知识的利用：统计基础上的假设、学习过程n算法复杂性与性能要求的匹配性一些进展中的课题盲自适应信号处理序列贝叶斯估计、粒子滤波阵列信号处理等等与信号处理紧密关联的学科人工神经网络统计学习理论模式识别等等教材n张旭东，陆明泉：离散随机信号处理，2005年10月，清华大学出版社主要参考书①S. Haykin, Adaptive Filter theory, Third Edition, Prentice-Hall, 1996，//Fouth Edition 2001 (电子工业出版社均有影印本)①S.M. Kay, Modern Spectral Estimation: Theory & Application,Prentice-Hall, 1988①S.M. Kay, Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory, Prentice Hall PTR, 1993.①S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, Academic press, 1998，Second Edition 1999①扬福生, 小波变换的工程分析与应用, 科学出版社, 2000.① D. G. Manolakis, et,al. Statistical and Adaptive Signal Processing, Mcgraw-Hall, 2000.①J. G. Proakis, et al. Algorithms for Statistical Signal Processing, Prentice hall, 2002①张贤达现代信号处理第2版清华大学出版社课程成绩n平时作业10％n2个Matlab作业40％（布置后2周内提交）n期末开卷考试50％1.1随机信号基础被噪声干扰的初相位是随机值的正弦波信号本质上均是随机的，但将信号作为随机信号处理，还是做为确定信号处理，与我们的应用目标和我们的先验知识有关，一般地，我们总是选择对应用有利的处理方式。

Kalman滤波LMS算法RLS算法_清华大学《现代信号处理》讲义

线性状态模型、高斯噪声 v1 (n), v 2 (n)
Kalman 滤波问题 (一步预报：一步预报)：一步预报
无噪声的估计值: 已知含噪数据 y (1),L , y (n) ，求 y (i ) 无噪声的估计值
ˆ ⑴ i = n (滤波 )：已知 y (1),L , y ( n )，求 y ( n ) ˆ ⑵ i < n (平滑 )：已知 y (1),L , y ( n )，求 y (i )， i < n ˆ ⑶ i > n (预测)：已知 y (1), L , y ( n )，求 y (i )， i > n ˆ 一步预测：已知 y (1),L , y ( n )，求 y ( n＋1) ˆ 数学符号： y 1 ( n + 1) = y ( n + 1 | y (1),L , y ( n ) )
要求不同时间的输入信号向量 u ( n ) 线性独立 [因为瞬时梯度向量为 e* ( n )u ( n )]。
LMS 算法的均值收敛 µ ( n )的选择 LMS 算法的均方收敛
E {e( n )} = 0
均值收敛：均值收敛：
E {w ( n )} = w opt = R −1r
均方收敛：均方收敛： E w ( n ) − w opt
k (1, 0) = E { x 2 ( n )} = E { x 2 (1)} = P0
依次可以递推出 g (1), k (2,1); g (2), k (3, 2);L
4.4 LMS自适应算法 LMS自适应算法
LMS: Least Mean Squares
随机优化问题 Wiener 滤波器滤波器: 最陡下降法
新息方法：新息方法：新息 (innovation)

chapter04 清华大学《现代信号处理》讲义-胡广书

1.幅度是中心在（0，0）的高斯信号； 2.在 θ , τ 两个方向上是振荡的，振荡频率由 Ω 0 , t0 决定；注意，Ω 0 , t0 并不影响
AF的中心位置； 3. AF是复函数。
例2
α 2 x(t ) = ∑ exp − α (t − t i ) 2 + jΩ i t i =1 π
结论：Cohen 类的任一成员都可由Wigner分布得到。
（5）用广义模糊函数表示
M x (θ，τ ) = Ax (θ，τ )g(θ，τ )
Cx (t，Ω) = ∫∫ M x (θ，τ )e
− j (θt +Ωτ )
dτdθ
（6）用广义时间相关表示
− jtθ ′ 定义： g ( t，τ ) = ∫ g (θ，τ ) e dθ
上一例已求出，中心在 (θ , τ ) = (0, 0) 处；
互项：
1 2 α 2 1 Ax1 ,x2 (θ，τ ) = exp − (θ −Ωd ) + (τ − td ) exp j ( Ωuτ +θ tu +Ωd tu 2π 4 4α
1 2 α 2 1 Ax1 ,x2 (θ，τ ) = exp − (θ −Ωd ) + (τ − td ) exp j ( Ωuτ +θ tu +Ωd tu ) 2π 4 4α
Wx ( t，Ω ) = ∫ rx (t , τ )e − jΩτ dτ
WVD定义为瞬时自相关对时间延迟的傅里叶正变换
τ
rx ( t，τ ) = ∫ Ax (θ ，τ ) e − jθ t dθ
Wx ( t，Ω ) = ∫ rx (t , τ )e − jΩτ dτ = ∫∫ Ax (θ ，τ ) e

MUSIC方法_清华大学《现代信号处理》讲义_-张贤达

改进方法1: (求根MUSIC方法)
基本思想：Pisarenko谐波分解 (不需一维搜索)
a H ( )G 0
j
或
j ( m 1)
G H a( ) 0

T
a( ) 1, e , , e
z e j
p( z ) 1, z, , z
m 1 T

波束形成器：
w opt
1 H R xx a (d ) 1 H a(d )R xx a (d )
5. 改进的MUSIC方法
改进方法1：
ˆ ( ) a H ( )Ua P( ) H a ( )GG H a( )
p
ˆ 2 U
i 1
2 i
i
H s s 2 k k
观测空间 = 信号子空间 + 噪声子空间
特征值分解后，与大特征值对应与小特征值对应
子空间的几何意义：
U S, G
H H H S S S S G H U U H S, G H I H G S G G G
S S I p , GH G Im p , G H S 0 S H G 0
Vandermonde矩阵
j p e j ( m 1) p e 1
方向矩阵
满列秩 1 2 p
1 j1 e j ( m 1)1 e
1 e j2 e j ( m 1)2
2
加性噪声

2

1 lim N N
2

n 1
N
z (n) w H E x(n)x H (n) w
2

现代信号处理 - 第13讲

42 15
3 、卷积同态系统

信号和噪声的关系除相加、相乘外，可以为卷积：
语音信号是声带源和声道冲激响应的卷积地震波是地震源波形和地壳冲激响应的卷积

处理这类信号，使用卷积同态系统卷积同态系统：输入、输出矢量空间中矢量间的运算是卷积运算( 、为卷积运算)

x(n) *
＋＋＋＋ * L[] T* [] T*-1[] x(n) y(n)

三个子系统都是同态系统第一个系统T []称为运算的特征系统 -1 第三个系统 TO []称为运算O的特征系统的逆系统第二个系统 L[]则为线性系统
42 6

三个子系统均满足广义的线性叠加原理 T 1(n) 2(n)]=T 1(n)]＋T 2(n)] [x x [x [x T [cx(n)]=cT [x(n)] ˆ ˆ ˆ ˆ L[ x1 (n) x2 (n)] L[ x1 (n)] L[ x2 (n)] ˆ ˆ L[cx(n)] cL[ x(n)] ˆ ˆ ˆ ˆ To-1[ y1 (n) y2 (n)] To-1[ y1 (n)]OTo-1[ y2 (n)]

42 12
如何从图像s(x，y)中提取反射图sr(x，y)？解：可以采用乘法同态滤波系统第一个子系统：乘法特征系统，通过对数运算得： ln[s(x，y)]=ln[si(x，y)]+ln[sr(x，y)] 即：照度图和反射图的相乘关系被转变为相加关系由于照度图是低频的，而反射图是高频的，因此第二个子系统：线性系统 L[]可设计成一个二维的高通滤波器。理想情况下，第二个子系统的输出为： ln[sr(x，y)] 第三个子系统：乘法特征系统的逆系统，通过指数运算，将ln[sr(x，y)]变为： exp{ln[sr(x，y)]}= sr(x，y) 因此达到分离反射图的目的

第5讲现代信号处理方法(2+2)

缺乏时频分析能力、多分辨率分析能力，难以分析非平稳信号
6
第5讲现代信号处理方法
5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 傅里叶变换存在的问题短时傅里叶变换连续小波离散小波与小波包故障诊断中的应用
机械动态信号分析与处理
第5讲现代信号处理方法
5-2 短时傅里叶变换
FT
STFT
x( f ) x(t) e
机械动态信号分析与处理
第5讲现代信号处理方法
分析的时间位置，也即时间中心。
5-3 连续小波
函数 f (t ) 的连续小波变换定义为:
1 WT (a, b) a

x(t ) (
t b t b )dt x(t ), ( ) b是时移 a a
待分析序列基函数
a是尺度因子
把基本小波作伸缩。思考：时域伸缩，频域？

- 2jft
dt
x(t, f) [x(t) h(t - t' )] e-2jft dt
矩形窗
h(t )
高斯窗
h(t )
三角窗
h(t )
8
机械动态信号分析与处理
短时傅里叶变换
第5讲现代信号处理方法
非平稳信号
20Hz 80Hz 120Hz
h(t )
利用高斯窗STFT对非平稳信号进行分析
×
x(t)
X
0 a 1
35
机械动态信号分析与处理
连续小波---运算过程示意图
第5讲现代信号处理方法
(s,t)
Inner product
×
x(t)
X
50
a 1
36

中科院课件--《现代信号处理的理论和方法》Chapter+2

满足各子集合的并集 I p I,即 I1, I2, , I p 1, 2, , k
mx I 随机信号x t 的k阶矩
cx I 随机信号x t 的k阶累积量
mx
Ip
符号集为I
的矩
p
cx
Ip
符号集为I
的累积量
p
❖ 矩与累积量之间的相互关系：
q
mx I E x1 , , xk cx I p qp1 I p I p1
ln 22
2
由于 ' 2, '' 2, k 0, k 3, 4,
可得高斯变量的各阶累积量为：
0
ckx 2
0
k 1 k 2 k 3, 4,
矩与累积量的转换关系
❖ 集合I={1,2,…,k}的无序、非空、无交连分割
令{ x1,…, xk}是k个随机变量组成的集合，其符号集为I={1,2,…,k}。
cum x1 , , xk cum xi1 , , xik i 1
,ik 是1, , k 的一个排列.
例: c3x m, n c3x n, m c3x n, m n c3x n m, m
c3x m n, n c3x m, n m
c3x m, n m cum x t , x t m, x t n m
第二章高阶统计和高阶谱方法
❖ 2.1 矩与累积量 ❖ 2.2 矩与累积量的性质 ❖ 2.3 高阶谱 ❖ 2.4 非高斯信号与线性系统 ❖ 2.5 相位估计 ❖ 2.6 系统辨识
2.1 矩与累积量
❖ 引言 ❖ 高阶矩与高阶累积量的定义 ❖ 高斯信号的高阶矩与高阶累积量 ❖ 矩与累积量的转换关系
引言
ln
dk
0
jk

第1章现代信号处理 (1)

ψ 若把ψ (t ) 看成一窗函数， (t / a ) 的宽度将随着的不同而不同，看成一窗函数，的宽度将随着的不同而不同， Ψ，由此我们可得到不同的 ( aΩ ) 这也同时影响到频域，这也同时影响到频域，即 a 对应分析信号的高频部分，时域分辨率和频域分辨率。时域分辨率和频域分辨率。小，对应分析信号的高频部分， a 对应分析信号的低频部分。大，对应分析信号的低频部分。参数是沿着时间轴的位 b x 尺度位移” WTx ( a, b) 尺度－移，所得结果是信号的“(t ) －位移”联合分它也是时－频分布的一种。析，它也是时－频分布的一种。
第1章信号分析基础章
Cohen时 Cohen时－频分布
C x (t , Ω : g ) =
1 2π
x (u + τ ) x * (u − τ ) g (θ ,τ )e − j (θt +Ωτ −uθ ) dudτdθ 2 2 ∫∫∫
Cohen分布即式中g (θ , τ )是处在平面的权函数若g (θ , τ )＝1，则Cohen分布即变成Wigner-Ville分布，给定不同的权函数，我们可得到同变成Wigner-Ville分布，给定不同的权函数， Wigner 分布的时－频分布，统称为Cohen类时－频分布，简称Cohen类的时－频分布，统称为Cohen类时－频分布，简称Cohen类， Cohen类时 Cohen
第1章信号分析基础章
小波变换
小波变换：希望找到一个基本函小波变换：对给定的信号 x (t ) ，希望找到一个基本函数 ψ (t ) ，并记 ψ (t ) 的伸缩与位移
ψ a,b (t) = 1a ψ ( t −b ) a
x 为一族函数，为一族函数，(t )和这一族函数的内积

短时Fourier变换与Gabor变换清华大学《现代信号处理》讲义 -张贤达

⑵ (t )为正交函数
⑶ Vj Wj
H ( ), G( ) 希望具有FIR、线性相位，但满足以上条件
的滤波器组H、G不能同时具备FIR和线性相位，此时只能用两个滤波器组以满足FIR和线性相位：
H ,G,
Vj Wj
H ,G
Vj Wj , Wj Vj
Vj
Gabor原子
* Gabor变换： amn (t ) mn (t )dt
mn (t ) (t mT )e j 2 nFt
⑴ 选择 g (t ) (t ) ⑵ 计算Gabor变换 ⑶ 计算Gabor展开，得到 (t ) 的时域表示形式
完全重构条件：
紧凑框架(snug frame)： A B 紧致框架(tight frame)： A B 正合框架(exact frame)：框架元素 jk (t ) 独立 “一个都不能少” Rietz基(正合框架)： jk (t ) 的所有元素相互独立
正交小波, 多分辨分析滤波器组 ( H , G)
Vj Wj
H ( ) 2 H ( ) 2 1 2 2 V j W j的条件 G ( ) G ( ) 1 H ( )G * ( ) H ( )G * ( ) 0
则 ⑴ (t ) 为正交函数

双线性变换 “能量分布”
信号取全局,核函数取局部的两个典型例子例3: Gabor变换：
amn (t ) g * (t mT )e j 2 ( nF )t dt (t ), gmn (t )

g mn (t ) g (t mT )e j 2 ( nF )t

m n

ESPRIT方法清华大学《现代信号处理》讲义-张贤达

3.6 ESPRIT方法
Estimating Signal Parameters via Rational Invariant Technique
1. 基本ESPRIT方法
x(n) As(n) w(n) y(n) x(n 1) AΦs(n) w(n 1)
1
A
e
j1
e j(m1)1
1
e j p
J1
Im1,0
和
J2
0,Im1 ，则
XX12
J1X J2X
X
X1 最后一行
第一行
X2
AS
W
Vandermonde 矩阵
A
A1 最后一行
第一行
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A2
旋转矩阵
A2 A1Φ
不考虑噪声时
XX12
A1S A2S
A1ΦS
R xx
APAH
2I
Us
,
U
n
Σs 0
0
2I
UsH
U
准则函数：
max
R
max
UT SbU UT SwU
max Q uTi Sbui i1 uTi Swui
ui是矩阵对(Sb ,Sw )的第i个最大广义特征值对应的广义特征向量。令i 1, , c 1,则矩阵Uc1=[u1, , uc1] 的列构成c类信号的最优类鉴别子空间。
yi,k UTc1si,k描述样本特征向量si,k在最优类鉴别子空间的投影。若不同类型的特征向量投影分别用，，等符号画出，则投影图直观地给出了不同特征的类鉴别性能。
满秩广义特征值是广义特征多项式 | A B | 0 的根
Cxx ,Cxy APAH , APΦH AH Cxx Cxy APAH APΦH AH AP I ΦH AH

现代信号处理_2012-07

(11)
i 1) a (ji ) a (ji 1) ai(i ) ai( (12) j ( j 1,..., i 1)
(i ) (i 1) [1 (ai(i ) ) 2 ]
(13)
6) 置i =i+1; 7) 判别：若 i N 转3)；否则，结束程序.
现代信号处理 7 现代信号处理 8
现代信号处理 4
1
Levinson算法
r (1) r (0) r (1) r (0) R ( k 1) r (k 1) r(k ) r ( k 1) r(k )
k
Levinson算法
由(5)式,(6)式和(9)式可得
(3)
r (k ) r ( k 1) 1 ( k 1) k ( k 1) r ( k ) a1( k 1) 0 ( k 1) r (0) r (1) ak 0 ( k 1) ak 1 r (1) r (0) 0
ai( i ) [ r (i ) a (ji 1) r (i j )] / ( i 1)
j 1 i 1
Levinson算法
Levinson算法第4步利用了一个重要递推关系(12) 通常称为Levinson关系式递推过程产生一个滤波参数序列通常称为偏相关系数 ai(i ) (i 1,..., N ) 递推过程产生的 ( i ) 可用来监视i阶信号模型的均方误差估值 (N) 递推结果的最终解为 a j ( j 1,..., N ) 和 ( N ) 最后，计算功率谱密度：
(1)
最小方差谱估计
• 自相关矩阵的特征分解为

随机信号清华大学《现代信号处理》讲义 -张贤达

最优化： min Em = min
i = m +1
∑
M
q iH R x q i
约束条件：q iH q i = 1 拉格朗日乘子法：代价函数 J (q i ) =
i = m +1
∑
M
q R xqi +
H i
i = m +1
∑
M
λi (1 q iH q i )
J (q i ) = R x q i λi q i = 0 * q i 特征值λi 和特征向量u i
课程特点及考核
课程特点现代信号处理的主要理论、方法和应用 “与前沿接轨” 数学知识（矩阵分析、数理统计、最优化）创新能力的培养考核方式习题（11%）计算机仿真（实验3次，24%）考试（65%）
第一章随机信号
本章主要介绍随机信号的基本概念：本章主要介绍随机信号的基本概念：相关函数、功率谱密度、两个信号的正交、函数、功率谱密度、两个信号的正交、统计不相关和统计独立、相关和统计独立、相干信号以及它们的几个典型应用。型应用。
R x q i = λi q i
Lagrange乘子λi 和基向量必须分别选取为自相关矩阵R x的
正交的两个典型应用( 正交的两个典型应用(续)
离散K-L变换 x = ∑ wi u i
i =1 m
若R x只有K 个大特征值，其余M K 个特征值可忽略，则 x = ∑ wi u i
i =1 K
正交的几何解释
1. 常数向量的正交(常数向量：元素为常量的向量)
夹角： cos θ = x, y x, x xH y = x y y, y
正交：
x, y = x H y = 0
两常数向量夹角为90°

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信号S 噪声G
子空间：向量组 a1, ,ap 的线性组合的集合，称为 a1, ,ap 张成的空间。
p
span a1, ,a p close a1, ,a p ja j , j C
j1
信号子空间： span s1, ,sp span u1, ,up 噪声子空间： span g1, ,g p span up1, ,um
J (w) 0
w*
wopt Rxx1a(k )
又
wH opt
a(k
)
1
aH
(k
)wopt
，代入上式
aH
(k
1
)R xx1a( k
)
wopt
Rxx1a(k ) aH (k )Rxx1a(k )
最佳滤波器
由Capon提出，称为最小方差无畸变(MVDR)波束形成器
MVDR: minimum variance distortionless response
期望信号干扰信号加性噪声
E z(n) 2 lim 1 N z(n) 2 wH E x(n)xH (n) w
N N
n1
E sk (n) 2 wH a(k ) 2 p E si (n) 2 wH a(i ) 2 2 w 2 i 1,i k
wH a(k ) 1
(波束形成条件)
现代信号处理讲义
3.5 MUSIC方法
1. 阵列信号处理问题 2. 最优波束形成器 3. 子空间方法 4. MUSIC方法 5. 改进的MUSIC方法
3.5 MUSIC方法
MUSIC: Multiple Signal Classification 1. 阵列信号处理问题 (array signal processing)
观测空间：spanx(1), , x(N) spanu1, ,um
观测空间 = 信号子空间 + 噪声子空间
特征值分解后，与大特征值对应
与小特征值对应
关键：求 a(k ) k
空间谱：
P(k
)
aH
(k
1
)R xx1a( k
)
最大幅值对应的 k 即为所求。
3. 子空间方法
假设1：对于不同的 i 值，向量 a(i ) 线性独立
假设2：各阵元上复加性噪声具有零均值、相同方差，且不相关
Ee(n) 0 E e(n)eH (n) 2I
E{e(n)eT (n)} O 令复白噪声分量ei (n) xi (n) jyi (n)，则 E{ei (n)ej (n)} 0, i j E{ei2 (n)} E{xi2 (n)} E{yi2 (n)} j2E{xi (n) yi (n)}
1 e j2
e j (m1)2
1
e j p
e j(m1) p
p
信号模型 xk (n) ak (i )si (n) ek (n), k 1, , m i 1
阵元k上的观测数据
x(n) x1(n), , xm(n)T
s(n) s1(n), , sp (n)T
e(n) e1(n), , em(n)T
A() a(1), , a( p )(m p)
阵列信号处理的数学模型：
x(n) A()s(n) e(n)
N个快拍
阵列信号处理的问题：已知数据向量 x(1), , x(N) ，求空间参数 1, , p
波达方向
2. 最优波束形成器
DOA估计：波束形成器
设计一个滤波器 w1, , wm 抽头(权系数)，
m p p p pm
121
特征值分解：
UH R xxU Σ
UH APAH U 2I Σ
2 pp 0
2I
0
R xx 的特征值：
i
2 ii
2
,
2,
i 1, , p i p 1, , m
若
2 ii
2 ，区分大和小的特征值
U S G [u1, , u p | u p1, , um ]
1
N
N n1
z(n) 2
1 N
N n1
wH x(n) 2
wH
1 N
N
x(n)xH(n) Nhomakorabeaw
n1
则
min
1 N
N n1
z(n) 2
min wH Rˆ xxw
其中
Rˆ xx
1 N
N
x(n)xH (n)
n1
lim min
N
1 N
N n 1
z(n) 2
min wH R xxw
P
x(n) A( )s(n) e(n) a(k )sk (n) a(i )si (n) e(n) i 1,i k
0 (实部和虚部不相关,具有相同方差）
假设3：P Es(n)sH (n) 满秩矩阵（非奇异）
Rxx E x(n)xH (n)
E A()s(n) e(n)A()s(n) e(n)H
A()E s(n)sH (n) AH () E e(n)eH (n)
APAH 2I
阵列：多个天线的组合每个天线——阵元：天线、传感器
假设：⑴窄带信号 si (n) ：点信源 ⑵远场(far field)：波前——平面波
波达方向 i (DOA: direction of arrival)：入射线与法线之间的夹角，可以有正有负
——波长
i
2
d
sini
d 2 (半波长条件)：若不满足该条件，会出现DOA估
计的模糊
si (n)
si (n)e ji
p个信号
si (n)e j(m1)i
信号 si (n)的方向向量，(阵列响应)向量：
a(i ) 1, e ji ,
,e
j (m1)i
T
A() a(1), , a( p )
Vandermonde矩阵
方向矩阵满列秩
1 2 p
1
e j1
e j(m1)1
w
H
a(i
)
0,
ik
(干扰拒绝条件，零点形成条件)
则 E z(n) 2 E sk (n) 2 2 w 2
在 wH a(k ) 1 约束条件下，使 E z(n) 2 min
Largange乘子法：
J (w) E z(n) 2 1 wHa(k ) 其中 E z(n) 2 wH Rxxw
m
z(n) wi*xi (n) i 1
加权求和
输出信号 z(n) 只包含 xd (n) —— 期望信号拒绝其他信号 —— 干扰信号
最小输出能量(MOE: minimum output energy)准则：
1 N z(n) 2
N n1
min
m
z(n) wH x(n) w, x(n) wi*xi (n) i 1