一元二次方程根的判别式评课
一元二次方程的根的判别式说课稿教案评课稿
一元二次方程的根的判别式说课稿教案评课稿
一元二次方程的根的判别式说课稿
1、本节教材的地位及作用：
“一元二次方程的根的判别式”一节，是在学生已经学过一元二次方程的解法，并对b2－4ac 的作用有所了解的基础上，来进一步研究它的作用的一个重要理论内容，它是前面知识的深化与总结。
它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次函数等奠定基础，并且可以解决许多其它问题。
通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透转化和分类的数学思想，渗透数学的简洁美。
2、教学内容的确定：
本节课的主要内容是：一元二次方程根的判别式的意义，定理、逆定理及其应用，对定理的引出我改变了教材中直接推证的方法，而是通过设置悬念让学生解三种不同的方程的亲身感受来发现定理，这样使学生感到自然、易于授受，对教材中的例题则有所增加，例题的设置由浅入深，这样安排符合学生的认知规律，同时，使学习内容充实，不单调。
3、教学目的；
依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目的是：
（1）使学生理解一元二次。
一元二次方程根的判别式教学案例及反思
学生认知障碍点：学生形成本节课知识时最主要的障碍点，可能是知识基础不足、旧的概念或者能力方法不够、思维方式 变化等。
学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对 b2 4ac 的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究 b2 4ac 作用，它是
前面知识的深化与总结。从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。所以可以通过让学生动手、 动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。
教学环节
教师活动
预设学生行为 设计意图
同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现
这样设计，能马上激发学
在章老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方会 争先 恐后 地编生的学习兴趣和求知欲， 设置悬念，引发兴趣
程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情题考老师
为后面发现结论创造一个
是：它能决定方程生明白：b2 4ac 的值的
（1）由此可见：在解
是否可解。
符号在解一元二次方程中
一元二次方程ax2 bx c 0a 0时，代数式b2 4ac
所起的重要作用，从而很
起着重要的作用，显然我们可以根据 b2 4ac 的值的符号来判
断 一元二次方程ax2 bx c 0a 0 的根的情况，因此，
况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我。
最佳的心理状态。
你们一定很想知道我的绝活是怎么回事吧？那么好，现在就请同
这样设计，使学生亲身感
学们用公式法解，以下三个一元二次方程；你们会很快发现我的
知一元二次方程根的情
设 置 练 习 , 创 设 情奥秘。
境。
用公式法解一元二次方程（用投影仪打出）
一元二次方程的根的判别式评课
一元二次方程的根的判别式评课1. 概述一元二次方程是高中数学中常见的内容，而方程的根则是这一章节中的重点内容之一。
掌握一元二次方程的根的判别式对于学生来说尤为重要。
通过判别式，我们可以快速、准确地判断方程的根的情况，从而解题更加高效。
本篇文章将围绕一元二次方程的根的判别式展开评课，对此部分的教学内容进行深入分析与评价。
2. 课程设计与内容安排在高中数学课程中，一元二次方程的根的判别式通常作为一个单独的章节进行教学。
教学内容主要包括：判别式的公式推导、判别式的应用、习题训练等。
教学安排上，一般会安排2-3节课的时间来深入讲解和练习。
3. 教学目标分析通过学习一元二次方程的根的判别式，学生应该能够掌握以下目标：- 了解一元二次方程的根的概念和性质；- 掌握判别式的公式和应用方法；- 能够灵活运用判别式判断方程的根的情况；- 提高解决实际问题中的建模能力。
4. 评价教学过程在教学过程中，老师应该注重以下几点：- 逻辑清晰、表达准确。
在讲解判别式的公式推导时，需要让学生明白每一步的推导过程，逻辑清晰，表达准确；- 举一反三、注重应用。
在教学中，老师应该通联实际情境，举一反三，让学生明白判别式的实际应用意义；- 自主探究、拓展思维。
在习题训练环节，老师应给学生一定的自主探究的空间，引导学生思考，拓展思维，提高解题能力。
5. 效果评估针对一元二次方程的根的判别式，可以进行如下的效果评估方法：- 课堂小测验。
可以设计一份小测验，测试学生对判别式的掌握程度；- 课后作业。
设计一些应用性较强的题目作为课后作业，检测学生对判别式的应用能力；- 实际案例分析。
选取一些实际问题，让学生运用判别式解决问题，评估其建模与解题能力。
6. 反思与改进在教学过程中，老师应该不断进行反思与改进：- 反思教学方法。
是否采用了多种教学方法，是否能够激发学生的学习兴趣，是否能够引导学生进行自主探究；- 改进教学内容。
是否能够将判别式与实际问题更好地结合起来，使学生能够更好地理解和应用判别式。
《一元二次方程的根的判别式》word教案 (公开课获奖)沪科版
《17.3 一元二次方程根的判别式》教学目标：1、能说出一元二次方程根的判别式及判别式定理．2、不解方程，会用根的判别式判断一元二次方程根的存在情况．3、会根据根的存在情况确定方程中字母的取值或取值范围．过程和方法：1、培养学生的探索、创新精神；2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力．情感态度价值观：1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；2、加深师生间的交流，增进师生的情感；3、培养学生的协作精神．教学重点：根的判别式定理．教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用．教学过程：一、通过看书自学：思考：一元二次方程ax 2+bx +c =0〔a ≠0〕有实根，包括哪两种情况？当△≥0时，方程的根有哪两种情况？方程x 2+Px +q =0，当满足关系式 时，有两个不相等的实根；满足关系式 时，有两个相等的实根；满足关系式 时，无实根；满足关系式 时，有实根．〔1〕由此可见：在解()22004ax bx c a b ac ++=≠-一元二次方程时，代数式起着重要的作用，显然我们可以根据24b ac -的值的符号来判断方程的根的情况，因此，我们把 24b ac -叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△〔读作delta ，它是希腊字母〕〞来表示．我们说在今后的数学学习中还会遇到：用一个简单的符号来表示一个数学式子的情况，同学们要逐渐适应这一点，它表达了数学的简洁美．〔2〕注意：224.b ac ≠-（）注意：△而应为：△＝ 〔3〕通过解这三个方程，同学们可以发现一元二次方程根的情况有哪几种，谁能总结出来？一元二次方程根的情况果真有三种吗？请同学们认真阅读课本P35的内容，书上从理论方面给我们做了很好的解释．由此我们就得出了关于()200ax bx c a ++=≠一元二次方程的根的判别式定理： ()22004ax bx c a b ac ++=≠-在一元二次方程中，△＝假设△＞0那么方程有两个不相等的实数根；假设△=0那么方程有两个相等的实数根；假设△＜0那么方程没有实数根．二、典例分析：例1、不解方程，利用一元二次方程根的判别式，判断以下方程的根的情况．5〔x 2+1〕-7x =0针对训练：2x 2+3x -4=0 16y 2+9=24y思考：求△时，应先将方程化成什么形式？然后确定好哪三个数值？例2、k 为何值时，〔1〕方程kx 2-〔2k +1〕x +k =0有两个不相等的实根〔2〕方程〔k -4〕x 2=〔2k -1〕x -k 有两个相等的实根注意：假设一元二次方程二次项系数含有字母，在确定该字母的取值范围时，一定注意考虑什么条件？三、练习稳固：1、分层练习：A 层：关于x 的方程x 2+〔m +1〕x +〔m -2〕2=0有两个相等的实数根．〔1〕求m 的值．〔2〕求出这时方程的根．B 层：k 为何实数时，以下方程有二实根？无实根？〔1〕x 2+〔2k -5〕x +k 2=0 〔2〕2kx 2 +〔8k +1〕x =-8k思考：“有二实根〞、“有二相等实根〞、“有二不等实根〞三种说法有何本质区别？C 层拓展：1、方程x 2 +2x =k -1没有实数根，求证方程x 2 +kx =1-2k 必定有两个不相等的实根．2、a 、b 是△ABC 的两边，且方程〔a 2+b 2〕x 2 +2a 〔a +b 〕x +b 〔a +b 〕=0有相等的实数根．求证：△ABC 是等腰三角形． 有理数的乘法和除法教学目标：1、了解有理数除法的意义，理解有理数的除法法那么，会进行有理数的除法运算，会求有理数的倒数。
《一元二次方程根的判别式》教学反思
《4.一元二次方程根的判别式》教学反思
这节课，我重点分三步上的。
一、经历根的判别式推导过程，概括出根的判别式与一元二次方程根的关系。
二、已知一元二次方程，用根的判别式去判断方程根的情况。
三、已知一元二次方程根的情况，用根的判别式求字母系数的取值范围。
这节课成功的地方有：
1、基本完成了教学目标。
在师生互动及生生互动中，完成了教学任务。
2、教学环节中，用到了（1）师生互动，探究问题。
（2）小组交流讨论，个人展示。
（3）个人独立完成，集体订正。
（4）集体整理总结。
3、个人展示时。
很多学生积极主动，不需要老师点名。
讲例题时，清晰条理，没有多余的话。
有些步骤不清时，教师及时点拨。
4、课堂氛围较为轻松，并不感到压抑。
5、学生独立作业时，教师适时查看练习，并指导错误
的地方。
这节课失败的地方有：
1、一些授课环节，因一时记不清，没有讲完整。
但并不影响理解知识点。
2、教师语言还不够丰富，还不是太流畅，需要多练习。
3、有两点要补充：
（1）练习2题，说完所以小明的说法是正确的。
强调：当a、c异号时，方程有两个不相等的实数根。
（2）当根的判别式小于0时，强调左边是非负数，右边是负数。
这个等式不成立，所以方程没有实数根。
九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式》教案人教新课标版
九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式》教案人教新课标版一、教学目的1．使学生理解并掌握一元二次方程的根的判别式．2．使学生掌握不解方程，运用判别式判断一元二次方程根的情况．二、教学重点、难点重点：一元二次方程根的判别式的应用．难点：一元二次方程根的判别式的推导．三、教学过程复习提问1．一元二次方程的一般形式及其根的判别式是什么？2．用公式法求出下列方程的解：(1)3x2＋x－10＝0；(2)x2－8x＋16＝0；(3)2x2－6x＋5＝0．引入新课通过上述一组题，让学生回答出：一元二次方程的根的情况有三种，即有两个不相等的实数根；两个相等的实数根；没有实数根．接下来向学生提出问题：是什么条件决定着一元二次方程的根的情况？这条件与方程的根之间又有什么关系呢？能否不解方程就可以明确方程的根的情况？这正是我们本课要探讨的课题．(板书本课标题)新课先讨论上述三个小题中b2－4ac的情况与其根的联系．再做如下推导：对任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，可将其变形为∵a≠0，∴4a2＞0．由此可知b2－4ac的值的“三岐性”，即正、零、负直接影响着方程的根的情况．(1)当b2－4ac＞0时，方程右边是一个正数．(2)当b2－4ac＝0时，方程右边是0．通过以上讨论，总结出：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况可由b2－4ac来判定．故称b2－4ac是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用“△”来表示．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．反过来也成立．注：“△”读作“delta”．例不解方程，判别下列方程根的情况：(1)2x2＋3x－4＝0；(2)16y2＋9＝24y；(3)5(x2＋1)－7x＝0．分析：要想确定上述方程的根的情况，只需算出“△”，确定它的符号情况即可．练习：P26 1 2 3小结应用判别式解题应注意以下几点：1．应先把已知方程化为一元二次方程的一般形式，为应用判别式创造条件．2．不必解方程，只须先求出△，确定其符号即可，具体数值不一定要计算出来．3．其逆命题也是成立的．作业：习题12.3 A组 1--4第9课一元二次方程的根的判别式(二)一、教学目的通过对含有字母系数方程的根的讨论，培养学生运用一元二次方程根的判别式的论证能力和逻辑思维能力．培养学生思考问题的灵活性和严密性．二、教学重点、难点重点：巩固掌握根的判别式的应用能力．难点：利用根的判别式进行有关证明．三、教学过程复习提问1．写出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式．2．方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有哪几种情况？如何判断？引入新课教材中“想一想”提出了如下问题：已知关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0，其中△=[-(4k+1)]2-4×2×(2k2-1)=16k2+8k+1-16k2+8=8k+9．想一想，当k取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根；(3)方程没有实数根．新课上述问题，实际上是这样一道题目．例1当k取什么值时，关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等实数根；(3)方程没有实数根．讲解例1例2求证关于x的方程(k2+1)x2-2kx+(k2+4)=0没有实数根．分析：要证明上述方程没有实数根，只须证明其根的判别式△＜0即可．例3证明关于x的方程(x-1)(x-2)=m2有两个不相等的实数根．讲解例3例4已知a，b，c是△ABC的三边的长，求证方程a2x2-(a2+b2-c2)x+b2=0没有实数根．讲解例4练习：1．若m≠n，求证关于x的方程2x2+2(m+n)x+m2+n2=0无实数根．2．求证：关于x的方程x2+(2m+1)x-m2+m=0有两个不相等的实数根．小结解决判定一元二次方程ax2+bx+c=0的方程根的情况应依照下列步骤进行：1．计算△；2．用配方法将△恒等变形(或变成易于观察其符号的情况)；3．判断△的符号，得出结论．作业：习题12.3 B组第10课一元二次方程的根与系数的关系(一)一、教学目的1．使学生掌握一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理)，并学会初步运用．2．培养学生分析、观察以及利用求根公式进行推理论证的能力．二、教学重点、难点重点：韦达定理的推导和初步运用．难点：定理的应用．三、教学过程复习提问1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式应如何表述？2．上述方程两根之和等于什么？两根之积呢？新课一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：(又称“韦达定理”)如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么我们再来看二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0的根与系数的关系．得出：如果方程x2＋px＋q＝0的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q．由 x1＋x2＝－p，x1x2＝q可知p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，∴方程x2＋px＋q＝0，即 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．这就是说，以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．例1已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根是2，求它的另一根及k的值．讲解例1练习 P32 1 2小结1．本节课主要学习了一元二次方程根与系数关系定理，应在应用过程中熟记定理．2．要掌握定理的两个应用：一是不解方程直接求方程的两根之和与两根之积；二是已知方程一根求另一根及系数中字母的值．作业：习题12.4 A组 1第11课一元二次方程的根与系数的关系(二)一、教学目的1．复习巩固一元二次方程根与系数关系的定理．2．学习定理的又一应用，即“已知方程，求方程两根的代数式的值”．3．通过应用定理，培养学生分析问题和综合运用所学知识解决问题的能力．二、教学重点、难点重点：已知方程求关于根的代数式的值．难点：用两根之和与两根之积表示含有两根的各种代数式．三、教学过程复习提问1．一元二次方程根与系数关系的定理是什么？2．下列各方程两根之和与两根之积各是什么？(1)x2－3x－18＝0；(2)x2＋5x＋4＝5；(3)3x2＋7x＋2＝0；(4)2x2＋3x＝0．引入新课考虑下列两个问题；1．方程5x2＋kx－6＝0两根互为相反数，k为何值？2．方程2x2＋7x＋k＝0的两根中有一个根为0，k为何值？我们可以从这两题中看出，根与系数之间的运算是十分巧妙的．本课我们将深入探讨这一问题．新课例2利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2＋3x－1＝0两根的(1)平方和；(2)倒数和．在讲本题时，要突出讲使用韦达定理，寻求x2＋px＋q＝0中的p，q的值．例4已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．这是一道“根与系数的关系定理”的应用题，要注意讲此类题的解题步骤：(1)运用定理构造方程； (2)解方程求两根； (3)得出所欲求的两个数．练习：P32 3、4、5小结本课学习了利用根与系数关系解决三类问题的方法：(1)已知方程求两根的各种代数式的值；(2)已知两根的代数式的值，构造新方程；(3)已知两根的和与积，构造方程，解方程，求出与根对应的数．作业：习题12.4 A组 2、3、4第12课二次三项式的因式分解(公式法)(一)一、教学目的1．使学生理解二次三项式的意义及解方程和因式分解的关系．2．使学生掌握用求根法在实数范围内将二次三项式分解国式．二、教学重点、难点重点：用求根法分解二次三项式．难点：方程的同解变形与多项式的恒等变形的区别．三、教学过程复习提问解方程：1．x2-x-6＝0； 2．3x2-11x+10＝0； 3．4x2+8x-1＝0．引入新课在解上述方程时，第1，2题均可用十字相乘法分解因式，迅速求解．而第3题则只有采用其他方法．此题给我们启示，用十字相乘法分解二次三项式，有时是无法做到的．是否存在新的方法能分解二次三项式呢？第3个方程的求解给我们以启发．新课二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，我们已经可以用十字相乘法分解一些简单形式．下面我们介绍利用一元二次方程的求根公式将之分解的方法．易知，解一元二次方程2x2-6x+4＝0时，可将左边分解因式，即2(x-1)(x-2)＝0，求得其两根x1＝1，x2＝2.反之，我们也可利用一元二次方程的两个根来分解二次三项式．即，令二次三项式为0，解此一元二次方程，求出其根，从而分解二次三项式．具体方法如下：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两个根是＝a[x2-(x1+x2)x+x1x2]＝a(x-x1)(x-x2)．从而得出如下结论．在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两根x1，x2，然后写成ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)．例如，方程2x2-6x+4＝0的两根是x1＝1，x2＝2．则可将二次三项式分解因式，得2x2-6x+4＝2(x-1)(x-2)．例1把4x2-5分解因式．讲解例1练习：P37 1小结：用公式法解决二次三项式的因式分解问题时，其步骤为：1．令二次三项式ax2+bx+c＝0；2．解方程(用求根公式等方法)，得方程两根x1，x2；3．代入a(x-x1)(x-x2)．作业：习题12.5 A组 1第13课二次三项式的因式分解(公式法)(二)一、教学目的使学生进一步巩固和熟练掌握公式法将二次三项式因式分解的方法．二、教学重点、难点重点：用求根公式法分解二次三项式．难点：二元二次三项式的因式分解．三、教学过程复习提问求根法分解二次三项式的因式的步骤有哪些？引入新课上节课我们证明了：ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2分别等于什么？应用这一结论，今天我们深入的探讨一些问题．新课例2把4x2+8x-1分解因式．此题注意将二次项系数4分解乘入两因式的必要性，即化简结论．例3 把2x2-8xy+5y2分解因式．注意视之为关于x的方程，视y为常数的重要性．练习 P37 2小结二次三项式ax2+bx+c(a≠0)分解因式的方法有三种，即1．利用完全平方公式；2．十字相乘法：即x2+(a+b)x+ab＝(x+a)(x+b)；acx2+(ad+bc)x+bd＝(ax+b)(cx+d)．3．求根法：ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2)，(1)当b2-4ac≥0时，可在实数范围内分解；(2)当b2-4ac＜0时，在实数范围内不能分解．作业：习题12.5 A组 2第14课一元二次方程的应用(一)一、教学目的1．使学生会列出一元二次方程解应用题．2．使学生通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．二、教学重点、难点重点：由应用问题的条件列方程的方法．难点：设“元”的灵活性和解的讨论．三、教学过程复习提问1．一元二次方程有哪些解法？(要求学生答出：开方法、配方法、公式法、因式分解法．) 2．回忆一元二次方程解的情况．(要求学生按△＞0，△＝0，△＜0三种情况回答问题．) 3．我们已经学过的列方程解应用题时，有哪些基本步骤？(要求学生回答：①审题；②设未知数；③根据等量关系列方程(组)；④解方程(组)；⑤检验并写出答案．) 引入新课我们已经涉及了一个与一元二次方程有联系的应用．此类问题还有吗？回答是肯定的：还有很多！本课我们将深入研究有关一元二次方程的应用题．新课本章开始时，教材P3中我们提出了如下问题：用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖长方形盒子．试问：应如何求出截去的小正方形的边长？解：设小正方形边长为xcm，则盒子底面的长、宽分别为(80-2x)cm及(60-2x)cm，依题意，可得(80-2x)(60-2x)＝1500，即 x2-70x+825＝0．当时，我们不会解此方程．现在，可用求根公式解此方程了．∴x1＝55，x2＝15．当x＝55时，80-2x＝-30，60-2x＝-50；当x＝15时，80-2x＝50，60-2X＝30．由于长、宽不能取负值，故只能取x＝15，即小正方形的边长为15cm．我们再回忆本章第1节中的一个应用题：剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm，这块铁片应怎样剪？分析：要解决此问题，需求出铁片的长和宽，由于长比宽多5cm，可设宽为未知数来列方程．解：设这块铁片宽xcm，则长是(x+5)cm．依题意，得x(x+5)＝150，即x2+5x-150＝0．∴x1＝10，x2＝-15(舍去)．∴x＝10，x+5＝15．答：应将之剪成长15cm，宽10cm的形状．练习 P41 1 2小结利用一元二次方程解应用题的主要步骤仍是：①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤依题意检验所得的根；⑥得出结论并作答．作业：习题12.6 A组 1、2、3第15课一元二次方程的应用(二)一、教学目的使学生掌握有关面积和体积方面以及“药液问题”的一元二次方程应用题的解法．提高学生化实际问题为数学问题的能力．二、教学重点、难点重点：用图示法分析题意列方程．难点：方程的布列．三、教学过程复习提问本小节第一课我们介绍了什么问题？引入新课今天我们进一步研究有关面积和体积方面以及“药液问题”的一元二次方程的应用题及其解法．新课例1 如图1，有一块长25cm，宽15cm的长方形铁皮．如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面积为231cm2的无盖长方体盒子，求截去的小正方形的边长应是多少？分析：如图1，考虑设截去的小正方形边长为xcm，则底面的长为(25-2x)cm，宽为(15-2x)cm，由此，知由长×宽＝矩形面积，可列出方程．解：设小正方形的边长为xcm，依题意，得(25-2x)(15-2x)＝231，即x2-20x+36＝0，解得x1＝2，x2＝18(舍去)．答：截去的小正方形的边长为2cm．例2一个容器盛满药液20升，第一次倒出若干升，用水加满；第二次倒出同样的升数，这时容器里剩下药液5升，问每次倒出药液多少升？∴x＝10．答：第一、二次倒出药液分别为10升，5升．练习 P41 3、4小结1．注意充分利用图示列方程解有关面积和体积的应用题．2．要注意关于“药液问题”应用题，列方程要以“剩下药液”为依据列式．作业：习题12.6 4、5、6、7第16课一元二次方程的应用(三)一、教学目的使学生掌握列一元二次方程解关于增长率的应用题的方法．并进一步培养学生分析问题和解决问题的能力．二、教学重点、难点重点：弄清有关增长率的数量关系．难点：利用数量关系列方程的方法．三、教学过程复习提问1．问题：(1)某厂生产某种产品，产品总数为1600个，合格品数为1563个，合格率是多少？(2)某种田农户用800千克稻谷碾出600千克大米，问出米率是多少？(3)某商店二月份的营业额为3.5万元，三月份的营业额为5万元，三月份与二月份相比，营业额的增长率是多少？新课例1 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增产的百分率是多少？分析：用译式法讨论列式一月份产量为5000吨，若月增长率为x，则二月份比一月份增产5000x吨．二月份产量为(5000+5000x)＝5000(1+x)吨；三月份比二月份增产5000(1+x)x吨，三月份产量为5000(1+x)+5000(1+x)x＝5000(1+x)2吨．再根据题意，即可列出方程．解：设平均每月增长的百分率为x，根据题意，得5000(1+x)2＝7200，即(1+x)2＝1.44，∴1+x＝±1.2，x1＝0.2，x2＝-2.2(不合题意，舍去)．答：平均每月增长率为20％．例2 某印刷厂一月份印刷了科技书籍50万册，第一季度共印182万册，问二、三月份平均每月的增长率是多少？解：设每月增长率为x，依题意得50+50(1+x)+50(1+x)2＝182，答：二、三月份平均月增长率为20％．练习：P41 5小结依题意，依增长情况列方程是此类题目解题的关键．作业：习题12.6 A组 8第17课可化为一元二次方程的分式方程教学目的1．使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，会用去分母或换元法求方程的解．2．使学生了解解分式方程产生增根的原因，掌握验根的方法．3．结合教学对学生进行化归转化思想的培养．教学重点将分式方程转化为一元二次方程．教学难点分式方程验根的必要性的认识．教学过程一、复习1．我们学过分式方程，同学们还记得怎样解分式方程吗？2．请同学们解下列方程：3．请同学们结合上面两个题，回答下列问题：(1)什么是分式方程？解分式方程的一般方法与步骤是什么？(2)在解分式方程过程中，容易犯的错误是什么？应当怎样避免？(3)解分式方程为什么必须验根，应当怎样验根？指出：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程的一般思路是化分式方程为整式方程，解分式方程的一般步骤是：(1)把方程中各分式的分母因式分解，确定各分式的最简公分母．(2)用最简公分母去乘方程两边，约去分母，使分式方程化为整式方程．(3)解这个整式方程，得到此整式方程的根．(4)检验．解分式方程容易犯的错误有：(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．(2)约去分母后，分子是多项式时，要注意添括号．根据方程同解原理：方程两边都乘以不等于零的同一个数，所得方程与原方程同解．而我们在解分式方程时，方程两边同时乘以最简公分母，它是一个整式，当此整式为零时，就破坏了方程的同解原理，因此最后整式方程的根就不一定是原方程的根，所以解分式方程必须验根．验根的一般方法是：把最后整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根为原方程的增根，必须舍去，否则是原方程的根．二、新课讲解例1讲解例2三、练习 P49 1、2四、小结1．分式方程的定义．2．分式方程的一般解法及解方程步骤．3．用换元法解分式方程时，方程具备的特点，验根的方法．五、作业习题12.7 A组 1、2、3、4第18课可化为一元二次方程的分式方程的应用教学目的1．使学生掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法，会用去分母或换元法求方程的解．2．会列出可化为一元二次方程的分式方程，解应用题．3．在教学中培养学生分析问题与解决问题的能力．教学重点:列方程．教学过程一、复习1．什么叫分式方程？解分式方程的一般方法是什么？在不同的解法过程中应分别注意什么？二、新课今天我们学习利用分式方程解应用题．例1甲乙二人同时从张庄出发，步行15千米来到李庄．甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时，二人每小时各走几千米？讲解例1例2某农场开挖一条长960m的渠道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成任务，原计划每天挖多少？讲解例2三、练习1．从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后，快车在慢车前12千米；快车到达乙站此慢车早25分，快车和慢车每小时各走几千米？2．某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存煤比原计划多用20天，贮存的煤原计划用多少天？每天烧少吨？3．甲、乙两队学生绿化校园．如果两队合作，6天可以完成．如果单独工作，甲队比乙队少用5天，两队单独工作各需多少天完成？四、小结1．列方程解应用题的一般步骤．2．列分式方程解应用题验根的两个目的．五、作业习题12.7A组 4、5第19课由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组(一)一、教学目的1．使学生了解二元二次方程、二元二次方程组的概念．2．使学生熟练掌握用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组．二、教学重点、难点重点：用代入法解二元二次方程组．难点：二元一次方程代入二元二次方程的技巧．三、教学过程复习提问1．我们学过哪些方程及其解法？2．二元一次方程组有哪些解法，其解法步骤是什么？引入新课我们已经知道，方程就是含有未知数的等式．方程x2+2xy+y2+x+y+6=0 (*)是一个含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的方程．这样的方程我们怎样称呼它呢？新课形如方程(*)和下述方程(1)x2+3y2+4x+3y+6=0；(2)xy+3y+7=0；(3)x2+3xy+5=0；(4)x2+y2+4=0，等．含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程．其中(*)中，x2，2xy，y2叫做这个方程的二次项，4x，3y叫做一次项，6叫做常数项．我们看下面的两个方程组：第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的；第二个方程组是由两个二元二次方程组成的．像这样的方程组叫做二元二次方程组．本课主要研究由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法．一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法来解．注意以下三点：(2)为什么将x1，x2代入③；(3)作此类题要按格式写规范．练习 P57 1、2、小结解由一个二元一次方程和一个二元二次方程构成的二元二次方程组，其解法步骤是：①将一次方程代入二次方程，将之化为一元方程，解一元方程，求出一个未知数的值；②将求出的一个未知数的值代入一次方程，求出另一个未知数的值；③写出方程组的解．作业：P12.8A组 1、2第19课由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组(二)一、教学目的1．使学生深入理解二元二次方程、二元二次方程组的概念．2．使学生熟练掌握用构造方程法和因式分解化为同解方程组来解方程组的方法．二、教学重点、难点重点：用构造法解方程组．难点：化为同解方程组来解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的方法．三、教学过程复习提问1．什么样的方程叫做二元二次方程？什么叫做二元二次方程组？2．我们学了由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的什么解法？其具体步骤是什么？引入新课这类二元二次方程组还有其他解法吗？我们继续进行研究．新课解法1：由①，得x=7－y．③把③代入②，整理，得y2－7y+12=0．解得 y1=3，y2=4．把y1=3代入③，得x1=4；把y2=4代入③，得x2=3．解法2：观察方程组，其特征不难使人联想到一元二次方程根与系数的关系，即视x，y 是方程at2+bt+c=0的两根，从而通过解方程即可求出x，y了．视方程组的x,y是一元二次方程z2-7z+12=0的两个根,解这个方程,得z1=3，或z2=4．练习 P57 3小结1．构造一元二次方程解方程组，要注意求出的方程组的解有两组．2．用化为同解方程组解方程组的方法，关键在对二元二次方程分解因式．作业：习题12.8 A组 3第20课由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组一、教学目的1．使学生学会用分解降次的方法解二元二次方程组．2．通过观察方程组中方程的特点，思考分析解法，培养学生的观察分析问题的能力．二、教学重点、难点重点：用分解降次的方法解二元二次方程组．难点：正确地通过分解将一个二元二次方程转化为两个二元一次方程．三、教学过程复习提问1．二元二次方程组有哪几种类型？引入新课前面我们已经学了应用代入法、构造一元二次方程法、分解成同解方程组法等方法，解由一个二元一次方程与一个二元二次方程组成的方程组的解法．下面我们研究一些特殊的由两个二元二次方程组成的方程组的解法．新课将②分解为(x－2y)(x－3y)=0，使得 x－2y=0或x－3y=0，用代入法可得原方程组的解这种分解降次，化为学生熟知的有关方程组的方法，是一种重要解题思想方法．在教学中要讲清楚这种数学思想方法．练习P60 1、2小结1．一些特殊的二元二次方程组可用分解降次法解之，关键是将其中一个方程分解因式．2．解题时要注意观察，选择分解对象．作业：习题12.9 A组 1、2、3。
根的判别式听课教研记录(3篇)
第1篇一、教研背景随着新课程改革的不断深入，数学教学也在不断变革。
为了提高数学教学质量，我校数学组开展了关于“根的判别式”的听课教研活动。
本次活动旨在通过听课、评课、研讨等方式，提升教师对根的判别式的教学理解，优化教学策略，提高课堂教学效果。
二、教研内容1. 听课环节本次教研活动共听课4节，分别由四位教师主讲。
以下是对每节课的简要描述：（1）第一节课：教师以实际问题引入，引导学生探索一元二次方程的根与系数的关系。
通过类比一元一次方程的解法，让学生自主发现一元二次方程的根的判别式。
整节课注重学生探究过程，培养了学生的创新思维。
（2）第二节课：教师以多媒体课件展示，详细讲解了根的判别式的定义、符号及意义。
通过实例分析，让学生深刻理解根的判别式在不同情况下的应用。
同时，教师注重引导学生总结规律，提高学生的归纳能力。
（3）第三节课：教师以小组合作的形式，让学生探究一元二次方程根的情况。
通过小组讨论、交流，让学生发现根的判别式在判断方程根的情况中的作用。
整节课注重培养学生的合作精神和团队意识。
（4）第四节课：教师以练习题的形式，巩固学生对根的判别式的应用。
通过设计不同难度的题目，让学生在练习中巩固知识，提高解题能力。
2. 评课环节在评课环节，各教师针对所听的课程进行了深入的讨论。
以下是对每节课的评析：（1）第一节课：教师以实际问题引入，激发了学生的学习兴趣。
在探究过程中，注重培养学生的创新思维，值得借鉴。
（2）第二节课：教师讲解清晰，重点突出。
通过实例分析，让学生深刻理解根的判别式的意义。
但在讲解过程中，可以适当减少多媒体的使用，增加学生的动手操作。
（3）第三节课：小组合作形式新颖，有利于培养学生的合作精神和团队意识。
但在小组讨论过程中，教师应加强对学生的引导，确保讨论方向正确。
（4）第四节课：练习题设计合理，难度适中。
但在练习过程中，教师应关注学生的解题思路，及时纠正错误，提高解题能力。
3. 研讨环节在研讨环节，各教师就以下问题进行了深入讨论：（1）如何让学生更好地理解根的判别式？（2）如何提高学生对根的判别式的应用能力？（3）如何在教学中培养学生的合作精神和团队意识？针对以上问题，教师们提出了以下建议：（1）结合实际问题，让学生在探究过程中理解根的判别式。
九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式》教案、教学设计
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对一元二次方程根的判别式的好奇心，培养他们主动学习、乐于探究的良好习惯。
2.引导学生认识数学在现实生活中的广泛应用，增强他们学习数学的信心和责任感。
3.培养学生面对问题时的积极态度，使他们学会在困难面前不退缩，勇于挑战，形成正确的价值观。
4.成果展示：每组选派一名代表展示讨论成果，其他组员进行补充。
（四）课堂练习
1.练习题设计：设计不同难度的练习题，涵盖本节课的知识点，让学生进行即时巩固。
2.练习过程：学生在规定时间内独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
3.反馈与评价：学生互相批改练习题，教师对共性问题进行讲解，提高学生的解题能力。
（五）总结归纳
1.知识点回顾：对本节课的重点知识点进行回顾，如判别式的定义、性质和应用。
2.方法总结：引导学生总结运用判别式判断一元二次方程根的情况的方法。
3.情感态度与价值观：强调数学在现实生活中的应用，激发学生学习数学的兴趣和责任感。
4.课后作业布置：布置适量的课后作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
（二）过程与方法
在教学过程中，注重启发式教学，引导学生通过自主探究、合作交流的方式，培养他们的逻辑思维能力和解决问题的方法。
1.采用问题驱动的教学策略，激发学生的学习兴趣，引导他们主动探究一元二次方程根的判别式的规律。
2.通过举例、练习和讨论，帮助学生掌握判别式的应用方法，培养他们分析问题、解决问题的能力。
九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解一元二次方程的一般形式，理解判别式的定义及其数学意义。
青岛版九年级数学上册《一元二次方程根的判别式》评课稿
青岛版九年级数学上册《一元二次方程根的判别式》评课稿一、引言《一元二次方程根的判别式》作为青岛版九年级数学上册的一章内容，是初中数学中重要的一部分。
通过学习这个章节，学生可以掌握判别一元二次方程根的方法，进而解决实际问题。
本评课稿将对这一章节进行评价，并提出改进和完善的意见。
二、课程设计1. 教材分析本章节主要围绕一元二次方程根的判别式展开讲解，包括判别式的定义、判别式的计算方法以及判别式与方程根的关系等内容。
教材通过理论讲解和例题演练相结合的方式，帮助学生理解和掌握相关概念和方法。
2. 教学目标通过本节课的学习，学生应该能够： - 掌握一元二次方程根的判别式的概念和计算方法； - 理解判别式与方程根的关系； - 能够应用判别式解决实际问题。
3. 教学重点和难点本节课的教学重点是让学生掌握一元二次方程根的判别式的计算方法和应用技巧。
难点是判别式的概念和方程根的关系的理解。
4. 教学方法为了达到教学目标，本节课采用了以下教学方法： - 讲解法：通过对判别式的概念和计算方法进行详细讲解，帮助学生理解相关知识点； - 演示法：通过解析例题的方式，帮助学生了解判别式的应用方法； - 练习法：通过练习习题，加强学生对判别式的掌握和运用能力。
三、教学过程1. 知识讲解首先，我详细讲解了一元二次方程根的概念和判别式的定义。
一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0，判别式为Δ=b2−4ac。
Δ的值可以判断方程的根的情况： - 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根； - 当Δ=0时，方程有两个相等的实根；- 当Δ<0时，方程没有实根。
2. 例题演练我通过几个具体的例题，引导学生运用判别式来判断方程的根。
每个例题我都进行了详细解析，包括判别式的计算过程和根的情况，帮助学生理解判别式与方程根的关系。
3. 练习习题为了巩固和运用所学知识，我设计了一些练习习题，要求学生根据给定的一元二次方程，计算判别式并判断根的情况。
湘教版九年级上册说课稿：2.3 一元二次方程根的判别式
湘教版九年级上册说课稿：2.3一元二次方程根的判别式一. 教材分析湘教版九年级上册的“2.3 一元二次方程根的判别式”是数学课程中的重要内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次三项式的因式分解、一元二次方程的解法等知识的基础上进行讲解的。
通过本节课的学习，使学生能够理解一元二次方程根的判别式的概念，掌握根的判别式的计算方法，以及能够应用根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
教材中通过引入故事、图片等丰富的教学资源，激发学生的学习兴趣，引导学生通过自主探究、合作交流的方式，掌握根的判别式的知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次三项式的因式分解、一元二次方程的解法等知识有一定的了解。
但是，对于一元二次方程根的判别式的概念和计算方法还不够熟悉。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过自主学习、合作交流的方式，理解和掌握根的判别式的知识。
同时，学生对于故事、图片等丰富的教学资源比较感兴趣，因此在教学过程中，可以充分利用这些资源，激发学生的学习兴趣。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解一元二次方程根的判别式的概念，掌握根的判别式的计算方法，能够应用根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
2.过程与方法目标：通过自主探究、合作交流的方式，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程根的判别式的概念，根的判别式的计算方法。
2.教学难点：根的判别式的应用，判断一元二次方程的根的情况。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，将采用自主探究、合作交流的教学方法。
引导学生通过小组合作、讨论的方式，共同探索一元二次方程根的判别式的知识。
同时，利用多媒体教学手段，展示故事、图片等丰富的教学资源，激发学生的学习兴趣。
六. 说教学过程1.导入：通过引入故事、图片等丰富的教学资源，激发学生的学习兴趣，引导学生进入本节课的学习。
一元二次方程的根的判别式教案人教版
1. 对根的判别式的性质的理解和应用。
2. 将实际问题转化为数学模型，利用根的判别式解决问题。
解决办法：
1. 对于重点内容，通过例题讲解和练习，让学生反复巩固，加强对判别式性质的理解。
2. 对于难点内容，可以通过小组讨论、教师引导的方式，帮助学生建立判别式与实际问题之间的联系，提高学生解决问题的能力。
（二）存在主要问题
1. 学生参与度不够：在课堂上，部分学生参与度不高，对于问题的讨论和解答不够积极。
2. 部分学生理解困难：有些学生在理解一元二次方程的根的判别式的性质时存在困难，对于如何应用判别式解决问题不够清晰。
3. 教学评价需要改进：现有的随堂测试和作业评价方式可能过于单一，不能全面反映学生的学习情况。
2. 课程平台：人教版数学教材、教学课件、练习题库。
3. 信息化资源：互联网、在线教育平台、数学教学视频。
4. 教学手段：讲解、示范、练习、讨论、小组合作、案例分析。
教学过程Hale Waihona Puke 计1. 导入新课（5分钟）
目标：引起学生对“一元二次方程的根的判别式”的兴趣，激发其探索欲望。
过程：
开场提问：“你们知道什么是一元二次方程的根的判别式吗？它与我们的生活有什么关系？”
展示一些关于一元二次方程的图片或视频片段，让学生初步感受数学的魅力或特点。
简短介绍一元二次方程的根的判别式的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。
2. 一元二次方程基础知识讲解（10分钟）
目标：让学生了解一元二次方程的基本概念、组成部分和根的判别式的原理。
过程：
讲解一元二次方程的定义，包括其主要组成元素或结构。
4. 利用根的判别式判断一元二次方程的根的情况。
教学内容与学生已有知识的联系：
中考数学总复习 第十二章 一元二次方程 第9课时 根的判别式教案-人教版初中九年级全册数学教案
一元二次方程第9课时：一元二次方程的根的判别式（二）教学目标：1、熟练运用判别式判别一元二次方程根的情况．2、学会运用判别式求符合题意的字母的取值X围和进行有关的证明．3、通过例题教学，渗透分类的思想．教学重点：运用判别式求出符合题意的字母的取值X围．教学难点：教科书上的黑体字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根”可看作一个定理，书上的“反过来也成立”，实际上是指它的逆命题也成立．对此的正确理解是本节课的难点．可以把这个逆命题作为逆定理．教学过程：上节课学习了一元二次方程根的判别式，得出结论：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．”这个结论可以看作是一个定理．在这个判别方法中，包含了所有各种情况，所以反过来也成立，也就是说上述结论的逆命题是成立的，可作为定理用．本节课的目标就是利用其逆定理，求符合题意的字母的取值X围，以及进行有关的证明．本节课是上节课的延续和深化，主要是在“明确目标”中所提的逆定理的应用．通过本节课的内容的学习，更加深刻体会到“定理”与“逆定理”的灵活应用．不但不求根就可以知道根的情况，而且知道根的情况，还可以确定待定的未知数系数的取值，本节课内容对学生严密的逻辑思维及思维全面性进行恰如其分的训练．一、新课引入：（1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项．（2）一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情况？二、新课讲解：将复习提问中的问题（2）的正确答案板书，反之，即此命题的逆命题也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有两个不相等的实数根，则△＞0；如果方程有两个相等的实数根，则△=0；如果方程没有实数根，则△＜0．”即根据方程的根的情况，可以决定△值的符号，‘△’的符号，可以确定待定的字母的取值X围．请看下面的例题：例1 已知关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值时（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（1）方程无实数根．解：∵ a＝2， b＝-4k-1，c＝2k2-1，∴ b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）＝8k+9．方程有两个不相等的实数根．方程有两个相等的实数根．方程无实数根．本题应先算出“△”的值，再进行判别．注意书写步骤的简练清楚．练习1．已知关于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．t取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？学生模仿例题步骤板书、笔答、体会．教师评价，纠正不精练的步骤．假设二项系数不是2，也不是1，而是k，还需考虑什么呢？如何作答？练习2．已知：关于x的一元二次方程：kx2+2（k+1）x+k=0有两个实数根，求k的取值X围．和学生一起审题（1）“关于x的一元二次方程”应考虑到k≠0．（2）“方程有两个实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根，可得到△≥0．由k≠0且△≥0确定k的取值X围．解：∵△＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．原方程有两个实数根．学生板书、笔答，教师点拨、评价．例求证：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0没有实数根．分析：将△算出，论证△＜0即可得证．证明：△＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）＝4m2-4m4-20m2-16＝-4（m4＋4m2＋4）＝-4（m2＋2）2．∵不论m为任何实数，（m2＋2）2＞0．∴ -4（m2＋2）2＜0，即△＜0．∴（m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，没有实根．本题结论论证的依据是“当△＜0，方程无实数根”，在论证△＜0时，先将△恒等变形，得到判断．一般情况都是配方后变形为：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……从而得到判断．本题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨．此种题型的步骤可归纳如下：（1）计算△；（2）用配方法将△恒等变形；（3）判断△的符号；（4）结论．练习：证明（x-1）（x-2）=k2有两个不相等的实数根．提示：将括号打开，整理成一般形式．学生板书、笔答、评价、教师点拨．三、课堂小结：1．本节课的主要内容是教科书上黑体字的应用，求符合题意的字母的取值X围以及进行有关的证明．须注意以下几点：（1）要用b2-4ac，要特别注意二次项系数不为零这一条件．（2）认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知△＞0，还是要证明△＞0．（3）要证明△≥0或△＜0，需将△恒等变形为a2＋2，-（a＋2）2……从而得到判断．2．提高分析问题、解决问题的能力，提高推理严密性和思维全面性的能力．四、作业：1．教材P．29中B1，2，3．2．当方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有实数根时，求a的正整数解．参考题目：一、选择题（每题4分，共24分）将下列各题中唯一正确答案的序号填在题后括号内。
课题：一元二次方程根的判别式——初中数学第一册教案
课题：一元二次方程根的判别式——初中数学第一册教案课题：一元二次方程根的判别式大于镇中赵从品一、教材分析1、教材所处的地位和作用：本课是阅读教材P39页的有关内容，虽然新课程标准没有要，教材上也作为阅读教材，但由于其内容太重要了，因而必须把它作为一堂课来上。
它的作用在于让学生能尽快判定一元二次方程根的情况。
2、教学内容：本课主要是引导学生通过对一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方后得到的（x+ ）2 = 2 的观察，分析，讨论，发现，最后得出结论：只有当 2 b2－4ac≥ 0 时，才能直接开平方，进一步讨论分析得出根的判别式，从而运用它解决实际问题。
3、新课程标准的要求：由于根的判别式作为删去内容，虽然其内容重要，因而在处理这部分内容时，只能要求作了解性深入，练习尽可能简捷明确。
4、教学目标：（1）知识能力目标：通过本课的学习，让学生在知识上了解掌握根的判别式。
在能力上在求不解方程能判定一元二次方程根的情况；根据根的情况，探求所需的条件。
（2）情感目标：学生通过观察、分析、讨论、相互交流、培养与他人交流的能力，通过观察、分析、感受数学的变化美，激发学生的探求欲望。
5、数学思想：由感性认识到理性认识。
6、教学重点：（1）发现根的判别式。
（2）用根的判别式解决实际问题。
7、教学难点：根的判别式的发现8、教法：启导、探究9、学法：合作学习与探究学习10、教学模式：引导——发现式二、教学过程（一）自习回顾，引入新课1、师生共同回顾：一元二次方程的解法2、解下列一元二次方程。
（1）x2 -1=0 （2）x2 -2x =-1（3）(x+1)2- 4=0 （4）x2 +2x+2=03、为什么会出现无解？（二）探索1、回顾：用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。
ax2+bx+c= －cx2+ x =－x2+ x+( )2=( )2 —2(x+ ) 2= 222、观察(x+ ) 2= 2 在什么情况下成立？3、学生分组讨论。
一元二次方程的根与系数的关系评课
一元二次方程的根与系数的关系评课第一篇：一元二次方程的根与系数的关系评课一元二次方程的根与系数的关系评课“一元二次方程的根与系数的关系”是初中数学九年级上册第二十一章一元二次方程的内容，但不是课标要求范围的内容，教学要求是“阅读材料”。
由于该内容对学生在高中数学学习中的作用非常重要，初中老师一般都要带领学生认真阅读，对一元二次方程的根与系数的关系产生的背景作一些介绍，最多对其应用适当练习即可。
但宋老师考虑到“一元二次方程的根与系数的关系”（韦达定理）是一个很好的数学探究问题，因此，将之定位为定理的探索→再发现→证明→应用，充分展示从问题出发寻找解决问题的途径和对策，定位准确、立意新颖、符合认知规律，宋老师确定的教学目标有三点：一是经历“一元二次方程的根与系数的关系”的探索过程，培养学生观察、归纳、猜想、论证能力；二是掌握一元二次方程的根与系数的关系，能进行简单应用；三是体验归纳猜想思想、特殊与一般思想、整体思想等数学思想方法。
其中前两条是知识与技能、过程与方法层面的，是数学学习的常规要求，也是数学教学呈现在学生面前的显性目标；第三条是隐性目标，从价值观角度看更重要，渗透的是数学的精髓——数学思想方法，对学生后续数学学习作用深远。
本节课自始至终从问题出发，引导学生探讨解决问题的对策，始终围绕问题，寻求问题解决的途径。
教学过程高潮不断，亮点纷呈，具体如下：首先，问题导入：“若x1,x2 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，求x1+x2,x1x2 的值．”学生都是先求根再代入求值，不仅繁琐，而且易错，教师提出“有没有既简便又不易出错的方法解决此问题？”实际上直奔从问题到对策的主题，充分激发出学生的求知欲望。
其次，教师并没有马上解决以上问题，而是将问题高挂，进入本节课的最重要阶段——让学生通过两个一元二次方程根与系数的观察，猜想它们之间存在什么样的关系，这是本节课的难点之一。
学生在观察、归纳、猜想过程中，有的深思，有的兴奋，有的一筹莫展，有的得出了结论，有的甚至得出了其它结论，可见学生思维活跃，发散性数学思维得到很好的发展。
一元二次方程根的判别式评课
当堂检测
2、已知关于 x 的一元二次方程，x2+2x+k=0 没有实数根，则 k 的 取值范围 3、 已知三角形 ABC 的三边长为 a,b,c 若关于 x 的方程 x2+2ax+ b2=0 有两个相等的实数根，试判断三角形的形状
复习知识要点， 利于知识点的驾驭 自评反思
自主学习 2、 不解方程，判断下列方程根的情况 2 ①3x -2x-1.5=0 根的情况: 2 ②x =6x-9 根的情况 2 ③5x +x=-1 根的情况 运用根的判别式的 前提条件是一元二 次方程一定化为一 般式 一元二次方程根的判别式的综合应用 学生板书过程（随课生成） 1、-----2 、----3、 --------
培养寻找解决问题的切入点的能力运用一元二次方程根的判别式茫出方程中的相应字母范围或取值当堂检测1若关于x的一元二次方程mx4x20有实数根则m的取值范围2已知关于x的一元二次方程x2xk0没有实数根则k取值范围3已知三角形abc的三边长为abc若关于x的方程有两个相等的实数根试判断三角形的形状及时掌握学生的学习情况做到心中有数促进教学运用一元二次方程根的判别式判断三角形的形状学习方法设计意图自主学习没有实数根复习知识要点利于知识点的驾驭自评反思自己忽视易错的知识还有遗留的知识点不解方程判断下列方程根的情况3x2x150根的情况
规范解题过程，准 确运用根的判别式
板书设计
1、学生是学习 的主体， 2、步定优点，指 出缺点，纠正不 足 3、促进学习
1、 培养学生分辨方 程，只有一元二次 方程，才可用根的 判别式。2、挖掘隐 含条件 a 0 辨别证明与求知的 区别，本题重在推 出 0，才能准确 说明
作 业
ห้องสมุดไป่ตู้
《一元二次方程的根的判别式》教学反思
《一元二次方程的根的判别式》教学反思《一元二次方程的根的判别式》教学反思篇一：《一元二次方程的根的判别式》教学反思本学期第三周天荣中学的数学老师来我们学校进行课堂教学的交流，很荣幸地是，在这次交流活动中我上了题为《九年级数学——一元二次方程根的判别式》的公开课供大家一起交流探讨。
在这次交流探讨中我获益良多，对如何更好地开展本课的有效教学有了更多的体会和认识。
一、课后的总结与思考：“一堂成功的数学课，往往给人以自然，和谐，舒服的享受。
每一位教师在教材处理，教学方法，学法指导等诸方面都有自己的独特设计，在教学过程会出现闪光点。
”，这是我在一本数学杂志上看到的一段话，我很赞同作者的观点，一堂成功的数学课，往往给教师自己本身和听课的学生以自然，和谐，舒服的享受。
学生是课堂教学实施之本，课堂实施是否成功还要看课堂教学是否让不同的学生得到不同的发展。
因此，在准备本课的教学时我充分考虑了任教班级学生的特点。
本课任教的班级是初三（8）班，这是一个平行班，在年级的平行班中处于中等水平，学生原有的数学底子较为薄弱，学生课后的学习习惯差，但是在课堂上，有老师的督促，大部分学生在课堂上还是较为自觉地学习数学。
针对班级的实际情况，我决定在本课教学实施的过程中没有采取小组讨论的问题讨论模式开展本课的课堂教学，而是比较传统地，让学生先练后讲再练这样的讲练结合的模式开展教学。
1、为了让学生能自主地体会“方程的解与什么有关系？”，让学生能把新知识当旧知识来理解，在学习新知前，先让学生解方程，通过练习来复习用公式法解方程，并把结果填写在预先设计的表格，通过表格直观自然地体会方程的解与b?4ac的值有关。
从而很自然地进入本课所研究的重点内容。
附录一：（一）解方程并讨论方程的解与什么有关系？（1）、用公式法解：1）x?3x?1?02）4x?4x?1?03）x?x?1?0（2）、根据上述结果填写下表：思考：从上述解题中你发现什么规律？方程是否有根与什么有关系？2、师生共同小结本课学习的知识要点：（1）b2?4ac叫做一元二次方程ax2?bx?c?0根的判别式，通常用“△”表示；（2）一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根的情况：3、师提出问题，学习根的判别式对于我们有什么作用？借助根的判别式又可以帮我们解决一些什么样的数学问题？（1）利用根的.判别式可以使我们“不解方程也能判别方程的根的情况”；例1、不解方程，判别方程2x?4x?35?0的根的情况（2）利用根的判别式求出一些方程中待定系数的取值范围。
一元二次根的判别式评课稿
一元二次根的判别式评课稿
评一元二次根的判别式
朱老师的清新明了，超凡脱俗的教学展示给了我们一次很好的学习机会。
我觉得这节课的教学目标明确，对教材的组织和处理上突出了重点，突破了难点，抓住了关键。
朱老师教学思路清晰，符合教学内容实际，符合学生实际。
整堂课结构严谨、环环相扣，过渡自然，时间分配合理，密度适中，效率高。
教师教态亲切，稳重，富有感染力。
语言精当简炼，生动形象有启发性。
下面我想从两方面来做评价，一是教师的教学方法新颖独特，注重对学生的学法指导，“以旧引新—提出问题——主动探究——得出结论——运用结论解决实际问题。
”教学过程中教师注重对学生探究规律的学法指导，培养了他们科学严谨的学习方法。
在第五环节，归纳小结上给予学生全面系统的归纳，老师从“知识点—步骤—注意点”这三方面作出详细的总结，鼓励学生做有心人，善于挖掘规律，获得为以后的学习技能和学习方法，思想教育等方面有很大的帮助。
二．朱老师精心设计例题和练习卷，有层次，有梯度，从易到难，形式多样。
学习工作单一、二。
有判断题，不解方程判断题，还有三大题运用结论解决实际问题的题目，学生的能力得到了良好的发展。
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授课教师 于淑岚 课 型 专题课 授课时间 2011.10.26 学习方法 教 学 流 程 设计意图 渗透数形结合的 思想。培养寻找 解决问题的切入 点的能力 及时掌握学生的 学习情况，做到 心中有数，促进 教学
教习目标
1、理解并掌握一元二次方程根的判别式，并用判别式求出方程中相应字母的范围 或取值。 2、通过学习，培养学生发现问题或提出问题的能力。 3、有效的合作，体验学习的快乐。 运用一元二次方程根的判别式茫出方程中的相应字母范围或取值 运用一元二次方程根的判别式判断三角形的形状 教 学 流 程 设计意图
1、 学习的收获 2、 自 己 忽 视 、 易错的知识 点 3、 还 有 遗 留 的 知识点
合作探究
例：当 m 为何值时，x 的一元二次方程 x2－4x＋m－0.5=0 有两个等的实数根。 解：由题意得 b2-4ac=(-4)2-4(m-0.5)=0 即 16-4m+2=0, m=4.5 所以 m=4.5 时，方程有两个相等的实数根。 变式一：已知关于 x 的方程 kx2-2x+1=0， ①当 k 为何值时，方程只有一个实数根？ ②当 k 为何值时，方程有两个实数根？ ③在②问题下，求 k 的非负整数值？ 变式二：已知关于 x 的一元二次方程 x2+kx=2 求证：不论 x 为何实数，方程都有两个实数根。
合作探究
变式三： 三角形 ABC 的三边长为 a,b,c 若关于 x 的方程 x2+2ax+ c 2 b2=0，有两个相等的实数根， 试判断三角形 ABC 的形状。 1、若关于 x 的一元二次方程 mx2-4x+2=0 有实数根，则 m 的取值 范围
重 难
点43;bx+c=0(a≠0)根的判别式为 ① 有两个不相等实数根 ② 有两个相等的实数根 ③ 没有实数根
规范解题过程，准 确运用根的判别式
板书设计
1、学生是学习 的主体， 2、步定优点，指 出缺点，纠正不 足 3、促进学习
1、 培养学生分辨方 程，只有一元二次 方程，才可用根的 判别式。2、挖掘隐 含条件 a 0 辨别证明与求知的 区别，本题重在推 出 0，才能准确 说明
作 业
1、 关于 x 的一元二次方程 mx2-(3m-1)x+2m-1=0 其根的判别式是 1。 对本节课的知识 求 m 的值？（必做题） 巩固加深形成技 k 2 关于 x 的方程 kx2+(k-1)x+ =0 有两个不相等的实数根。 能，选做题，使 4 学有余力的同 ①求 k 的取值范围？（必做题） ②是否存在实数 k，使方程的两个实数根的倒数和等于 0？若存在， 学，养成积极动 脑的好习惯。 求出 k 的值，若不存在，说明理由。 （选做题）
当堂检测
2、已知关于 x 的一元二次方程，x2+2x+k=0 没有实数根，则 k 的 取值范围 3、 已知三角形 ABC 的三边长为 a,b,c 若关于 x 的方程 x2+2ax+ b2=0 有两个相等的实数根，试判断三角形的形状
复习知识要点， 利于知识点的驾驭 自评反思
自主学习 2、 不解方程，判断下列方程根的情况 2 ①3x -2x-1.5=0 根的情况: 2 ②x =6x-9 根的情况 2 ③5x +x=-1 根的情况 运用根的判别式的 前提条件是一元二 次方程一定化为一 般式 一元二次方程根的判别式的综合应用 学生板书过程（随课生成） 1、-----2 、----3、 --------