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等腰三角形与等边三角形

名校导读

学习目标掌握等腰三角形、等边三角形的性质和判定

1．理解等腰三角形的性质和判定．

本课重点2．理解等边三角形的性质和判定．

3．灵活运用性质和判定定理解决实际问题

本课难点综合应用等腰三角形的性质和判定解决实际问题，理解性质和判定的区别．名校互动

1．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，这个等腰三角形顶角的度数

为．

2．已知等腰三角形的两边长分别为 5 和 6，则这个等腰三角形的周长为（）A．11B．16C．17D．16 或 17

3．下列说法，正确的个数是（）

①等腰三角形的底角一定是锐角；②等腰三角形的角平分线、中线、高线是同一条

线段；

③等腰三角形两腰上的高一定相等；④等腰三角形两腰上的中线一定相等

A．0B．1C．2D．3 4．如图，∠ B=∠C=36 °，∠ ADE =∠ AED =72 °，则图中的等腰三角形的个数为（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个

名校精析

知识点一、等腰三角形三线合一

【例 1】如图，在△ ABC 中 AB=AC，点 F 在 AC 上，在 BA 延长

线上截取 AE =AF

求证： EF⊥ BC

【变式 1】求证：一边上的中线与这边所对的角的角平分线互相重合的三角形是等腰三角形．

知识点二、等腰三角形边关系

【例 2】已知：如图，点 D 是∠ ABC 的角平分线与∠ ACB 的外角平分线的交点， DE∥ BC， DE 交AB 于点 E，交 AC 于点 F．求证： EF＝ BE－ CF．

【变式2】等腰三角形ABC 中，AB AC ，A90o，BD 平分ABC ，DE BC ，且 BC 10 ，求DCE 的周长．

知识点三、等腰三角形角的关系

【例 3】如图，∠ DEF =36°，AB=BC=CD =ED =EF ，求∠ A．

【变式3】在

Rt ABC中，ACB 90o，AD AC，BE BC ，求 DCE 的度数．知识点四、等边三角形与直角三角形含 30°角的性质

【例 4】将ABC 绕顶点A顺时针旋转60o，得到AB C ，且C为BC的中点．

则求：

DB 的值．

C D :

【变式 4】如图所示，在△ ABC中，∠A=30°，∠ ACB=90°，M是AB上一点，CM =1

AB，2

D 是 BM 的中点，求证：CD⊥ AB．

知识点五、等腰等边三角形证明综合应用

【例 5】ABC 中， AB AC ， A 100o，作 B 的角平分线交AC于E．求证： AE BE BC ．

【变式 5】已知 ABC 为等边三角形，

D 是 BC 上一点，再延长 BA 到

E ，使 AE BD ．

求证： CE

DE

知识点六、等腰直角三角形

【例 6】如图，在 Rt △ ABC 中， AB=AC ，∠ BAC=90°，点 O 是 BC 的中点，连结 OA ，

（1） OA=OB=OC 成立吗？请说明理由．（ 2）若点 M ， N 分别在线段 AB ， AC 上移动，在移动中始终保持 AN=BM ，请判断 △OMN 的形状，并说明理由． （ 3）若点 O 分别在线段BA 、AC 的延长线上移动， 在移动中始终保持 AN=BM ，请判断 △ OMN 的形状， 并说明理由．

【变式 6】如图：已知在 △ABC 中，AB=AC ，∠ BAC=90°，直角∠ EPF 的顶点 P 是 BC 中点，

两边 PE ，PF 分别交 AB ，AC 于点 E ，F ，给出以下五个结论： ①AE=CF ；②∠ APE=∠ CPF ；

③△ EPF 是等腰直角三角形； ④ EF=AP ⑤ S 四边形 AEPF=

1

△

2 S ABC ．当∠ EPF 在 △ ABC 内绕顶

点 P 旋转时（点 E 不与 A ， B 重合），判断以上结论的正确性并证明．

名校拓展

A 夯实基础

1．若等腰三角形有一个角的度数是70°，则这个三角形的顶角是___________．

2．等腰三角形的底边长为3，周长为15，则一腰长为．

3．如图，已知△ABC 是等边三角形，点B，C，D，E 在同一直线上，且CG=CD ，DF =DE，则∠E=．

4．已知：如图，B、 D 分别在 AC、 CE 上， AD 是∠ CAE 的平分线， BD∥ AE， AB＝ BC．

求证： AC＝ AE．

5．长方形球桌ABCD 上，一球从AB 边上某处P 点击出，分别撞击球桌的边BC、CD 、DA 各一次后，又回到出发点P 处，每次球撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成德角相等（如

图中）．已知AB 3 ，BC 4 ，求此球所走路线的长度．

B能力提高

6．如图，已知，在△ ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF 交 AC 于点 E，交 BC 于点 F．求证： BF =2CF．

7．△ ABC BN与AM 为等边三角形，点

相交于 Q 点，则∠M 是 BC 上任意一点，点

AQN 等于多少度？

N 是CA 上任意一点，且BM =CN，C综合创新

8．在等边三角形ABC中，BD⊥AC，延长BC到E，使CE CD，连接DE．则BD与 DE 有什么关系？

名校小结