数学建模饮酒驾车问题_论文正稿

江西科技师范大学理工学院

理工学科部2010级数学与应用数学专业

数学建模实训论文

论文题目：

饮酒驾车问题

第六实训小组

学生姓名与学号:

李颖娇 蔡小鹏 眭玉兰 朱丽

论文完成时间：

饮酒驾车的数学模型

摘要

本文解决的是一个司机安全驾车与饮酒的问题，目的是通过建立一个数学模型（结 合新的国家驾驶员饮酒标准）分析司机如何适量饮酒不会影响正常的安全驾驶。根据一 定合理的假设，建立人体内酒精浓度随时间变化的微分方程模型，并通过拟合曲线对数 据进行分析。在不同饮酒方式下进行分类讨论，得出体内酒精浓度随时间的变化函数。 在讨论过程中，我们得到两个结论：在短时间喝酒形式下，达到最大值的时间为

1.23

小时，与喝酒量无关；在长时间喝酒形式下，喝酒结束时酒精含量最高。最后，我们讨 论了模型的优缺点，并结合新的国家标准写一篇关于司机如果何适量饮酒的一篇短文 o

关键词：微分方程、模型、房室系统。

一、问题重述

饮酒驾车问题主要是分析驾驶员在喝过一定量的酒后，酒精在体内被吸收后，血液 中酒精含量上升，影响司机驾车，所以司机饮酒后需经过一段时间后才能安全驾车，国 家标准新

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2012年5月13日

规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80

毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，司机大李在中午12点喝下一瓶啤酒，6小时后检查符合新标准，晚饭地其又喝了一瓶啤酒，他到凌晨2点驾车，被检查时定为饮酒驾车，为什么喝相同量的酒，两次结果不一样？讨论问题：

1、对大李碰到的情况做出合理解释；

2、在喝三瓶啤酒或半斤白酒后多长时间内驾车会违反标准，喝酒时间长短不同情况会

怎样？

3、分析当司机喝酒后何时血液中的酒精含量最高；

二、模型假设

1、酒精从胃转移到体液的速率与胃中的酒精浓度成正比。

2、酒精从体液转移到体外的速率与体液中的酒精浓度成正比。

3、酒精从胃转移到体液的过程中没有损失。

4、测量设备完善，不考虑不同因素所造成的误差。

5、酒精在体液中均匀分布。

三、符号说明

k o：酒精从体外进入胃的速率；

f i(t):酒精从胃转移到体液的速率；

f 2 (t)：酒精从体液转移到体外的速率；

X(t):胃里的酒精含量；

Y(t):体液中酒精含量；

V o：体液的容积；

K i:酒精从胃转移到体液的转移速率系数；

K2:酒精从体液转移到体外的转移速率系数；

C(t):体液中的酒精浓度。

D o :短时间喝酒情况下进入胃中的初始酒精量。

T :较长时间喝酒所用的时间或达到浓度最大值所需时间

四、模型的分析与建立

(一) 、模型分析：

假设酒精先以速率k o 进入胃中，然后以速率f i (t)从胃进入体液，再以速率 f 2(t)

从体液中排到体外。根据假设可以建立如图一所示的带有吸收室的单房室系统，其中胃 为吸收室，体液为中心室

图一

(二) 模型建立:

用x(t)与y(t)分别表示酒精在胃、体液中的酒精量，c(t)表示酒精在体液中的

浓度。根据酒精从胃进入体液的速度f i (t)与胃中的酒精量成正比，速率系数为K i ；酒 精从血液中排出的速率f 2(t)与血液中的酒精量y(t)成正比，速率系数为K 2，可以建 立方程如下：

f i (t) = k i x(t) f 2(t)*2y(t)

( 2)

dx(t) dt

将(1)式代入(3)式可得:

(1)

(3)

又对中心室(即体液)可建立方程组如下;

dy(t)

“ dt y (o )=y °

将(2)式代入(8)式可得；

如二 f 1(t)-k 2y(t) dt

将上式转化为：■dy ° k 2y(tH f 1 (t)

dt

dx(t) dt

- k i x(t) (4)

通过移项，上式可以转化为；

■dXt) &x(t)二 k o (5)

dt

利用一阶线性常微分方程的常数变易法对(5)式求解，可以得到;

x(t) =C |e 上11 + 人

说上

(6)

k i

G + A = x(0) = x 0

又因为f i (t)二k i x(t)，联合(6)式可得:

f i (t)二 k i C 1e J

Klt

k i A

(7)

k o

=

(k i x °

k o )e" k o

(8)

因为f,t ）二（k i x 。- k o ）e Al t k o ，将其代入上式可得到:

又酒精浓度为酒精量与体液容积之比，c

（t ）

=晋，即:

（三）模型的讨论：

1、当酒是在较短时间内喝时

此时有 x （0） = D o = X 。， k ° = 0，C o = 0 o

k 0

k 1x o - k o

C 2

因为有 A 3

-

， B 3 一 —， C 3

-

k 2V o （k 2—kjv 。 V o

所以经计算整理后可得：A 3 = o ， B 3

'D 0 ， c 3 - -B 3 （k 2 - kjV o

将A 3，B 3，C 3代入式（11）可以得到：酒在较短时间内喝下去时，体液中的酒精浓度 与时间的函数关系式如下所示：

c （t ） 一B s e 如 B se^

= -B 3（e*t -e^）

（12）

k o

t

-M ]

dy(t) dt

k 2y(t)二(k i x 。- k °)e*t

k o

(9)

求解（11）式可得;

k 2t k o k i x o - k o . k i t

y(t)二 C 2e

e

k 2 k 2-k i

= c 2e±2t

A 2

B 2e J 'it

(10)

（其中 A 2半, k 2

B 2

k i X o k 2 -k i

A 2

B 2

C 2 二 y(0) = y o )

c(t) =Q e 上2t A 3 B g e 凶

(11)

（其中

c 2 k 0

，A 3

V o

k 2V o

^X o - k o

，B 3

(k 2 — kJ

A 3

B 3

C 3 = C (0) = C o ) o