矩阵分析简介

一种矩阵范数，则矩阵序列 { Ak}k=1 收敛于矩阵A的充要条件
∞
定理1 设 { Ak }k=1 为 C m × n 中的矩阵序列，⋅ 为 Cm×n 中的
∞
是 Ak − A 收敛于零。 证：首先，利用范数的等价性知，对于 C m×n 中的任意 两个矩阵范数 ⋅ 即有
t
和 ⋅ s，存在常数 c1 ≥ c2 > 0 , 使得
⎛ 1 ⎞ k ⎞ ⎛k 1+ 1⎟ −1 , 对于 Ak (k = 1, 2,L) 都有 (Ak ) = ⎜ 例如，Ak = ⎜ k ⎜ − k k +1⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ 1 1⎟ ⎝ ⎠
⎛ 1 1⎞ 但是 lim Ak = ⎜1 1⎟ = A 不可逆。 k →∞ ⎝ ⎠
在矩阵序列中，最常见的是由一个方阵的幂构成的序列。 关于这样的矩阵序列有以下的概念和收敛定理。 定义 设 A∈Cn×n， lim Ak = 0 ，则称A为收敛矩阵。 若 k →∞
−1 + 12 + 2 2 +
k
⎛1 0 ⎞ 但是矩阵序列Ak不收敛，故更不收敛于矩阵 A = ⎜ ⎟ 1 2⎠ 。 ⎝
( k + 1)
2
= 6= A
F
性质1 设
{ Ak }k =1
∞
和
{Bk }k=1为
∞
Cm×n 中的矩阵序列，并且
lim Ak = A ， lim Bk = B k→∞ k →∞
矩阵分析简介
大连理工大学数学科学学院 张宏伟制作
此前我们只研究了矩阵的代数运算，但在工程实际中， 特别是涉及到多元分析时，还要用到矩阵的分析运算。 同微积分理论一样，矩阵分析的理论建立，也是以极限 理论为基础的，其内容丰富，是研究数值方法和其它数学分 支的重要工具。 本章讨论矩阵序列的极限运算，然后介绍矩阵序列和 矩阵级数收敛的定理, 矩阵幂级数的极限运算和一些矩阵 函数，如 sinA,cosA, eA等，最后介绍矩阵的微积分。
A k ≤ A ≤ ( ρ ( A) + ε ) ≤ q k < 1
k
k
(0 < q < 1)
k k 于是，lim A = 0 根据定理1 即知 lim A = 0。 k→∞ k →∞
n n n n 推论 设 A∈C × ，若对C × 上的某种范数 ⋅ ，有 A < 1
则
lim Ak = 0。
k →∞
∞
m×n
( Ak = ( aijk ) ) 中的矩阵序列，其中
矩阵序列
{ Ak }k =1 的极限，记为
∞
lim Ak = A 。 不收敛的矩阵
k→∞
序列称为发散的。
例1 讨论矩阵序列 { Ak }k =1 的收敛性。 其中
∞
解： 根据定义，只须求出它的每一个元素的极限即可， 因此 它的极限为：
lim
det ( λ I − B ) =
λ −1
2
8
λ −1
= ( λ − 1) − 16 = (λ − 5)(λ + 3) = 0
2
1 5 λ λ 得 λ1 ( B) = 5， 2 ( B) = −3，进而得 λ1 ( A) = ， 2 ( A) = − 。 2 6 5 ρ ( A) = < 1 故 lim A k = 0 。 于是， k →∞ 6 lim A k = 0 （2）因为 A 1 = 0.9 < 1，由推论，故 k → ∞
lim Ak = 0 的充分必要条件是对任意 证 必要性 由定理1知 k→∞
例 2 设 A∈Cn×n，证明 lim Ak = 0 的充分必要条件是 ρ ( A ) < 1。 k→∞
一种矩阵范数 ⋅ 均有 lim A k − 0 = lim A k = 0 。 因此对充分大的k, k →∞ k →∞
Ak < 1 ， 必有 利用矩阵谱半径的定义以及相容矩阵范数的性质有：
一、矩阵序列与矩阵级数 二、矩阵幂级数 三、函数矩阵的微积分
1. 矩阵序列
定义1
j =1,2,…,n 均成立， 则称矩阵序列 { Ak }k =1 收敛，而A称为
∞
( n 又 A= aij ∈ Cm×。 如果 lim aijk ) = aij 对 i =1, 2，…，m， k →∞
( )
{ Ak }k =1为 C
% Ak =
(k ) 其中 det (Aij )( n − 1 ) × ( n − 1 )
(
)
i, j = 1, 2, L, n 为Ak的第ij个代数余子式。
于是，
lim ( A k )
k→∞
−1
% % A Ak = = = lim k →∞ det( A ) det( A) k
A−1
注意， 性质3中条件 Ak ( k = 1, 2, L) 和A均为可逆的是不可少的。 因为即使 A k (k = 1, 2,L) 可逆也不能保证A一定可逆。
∑
∞ k =1
∞
k =1
( a ijk ) = s ij
j = 1, 2, L , n) 即m×n个数项级数
∑ a 均为收敛的。
(k ) ij
例 研究矩阵级数 ∑ A k 的收敛性， 其中
k =1
∞
⎛ N ⎞ N 11 ⎟ 1 1 ⎜ ∑ 1 − (k + 1)(k + 2)2 − N k ∑2 ⎟ 2 ⎜ k =0 N + 2 k =0 N ⎟ ，k =0,1,2,…, S N = ∑ Ak = ⎜ ⎜ k =0 π⎛ N π ⎞⎟ 1 ⎜ ⎜ 4 − Nk ⎟ ⎟ 0 ⎜ 3 ⎝∑ 4 ⎠ ⎟ k =0 4 ⎝ ⎠ 于是 ⎛1 2 ⎞ ⎟ S = lim SN = ⎜ 4 ⎟ N→∞ ⎜0 π⎟ ⎜ 3 ⎠ ⎝
Sk +1 = In + A + A2 + L+ Ak
k 因此 A = S k +1 − S k ，利用极限运算法则有 lim A k = lim [S k +1 − S k ] = 0
根据例2，ρ ( A ) < 1。
k →∞
k →∞
充分性 由 AS k = A I + A + L + A k −1 = A + A 2 + L + A k - k k ( 则有 S k − AS k = I − A ， I A ) S k = I A 。 由 ρ ( A ) < 1 , 可知 则存在某种范数‖·‖，使得 A < 1 ，且（I-A）可逆。 又有
c2 ⋅ Ak − A t ≤ Ak − A s ≤ c1 ⋅ Ak − A t
k →∞
lim
Ak − A
t
=0 = lim Ak − A s
k →∞
即收敛于零是一致的。 因此，只需证明定理对一种特定的矩阵范数成立即可。
我们选取∞ -范数加以证明。 根据 ∞ -范数的定义，对于 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n ，均有
故矩阵级数 ∑Ak 收敛，且和为S。
k =1 ∞
解：因为
定理 设A为n阶方阵，则有 （1）
∑
∞
ρ ( A ) < 1;
k =0
A k = I + A + A2 +L+ Ak +L 收敛(A0=I)的充要条件是
∞
（2） 当 ∑ A k 收敛时，有
k =0
∑
∞
k =0
A k = ( I n − A) −1 ,
∞
k→∞
Ak (k = 1, 2, L) 和 A∈Cn×n均为可逆矩阵， 则
lim Ak−1 = A−1
k →∞
% % 又有 lim Ak = lim A ≠ 0,
k →∞
-1 -1 证 因为(Ak) 和A 存在，所以 lim det ( Ak ) = det ( A ) ≠ 0 , k →∞
k →∞
则
lim (α Ak + β Bk ) = α A + β B , ∀α , β ∈ C
k →∞
= B 证 由 (α Ak + β Bk ) − (α A + β B) ≤ α (⋅AkA− − )A β (Bk ⋅− B k) − B k A − + β
由定理1，即结论成立。
{ Ak }k =1和 {Bk }k =1 分别为 Cm×n 和 Cn×l 中的矩阵序列， 性质2 设
∞
k →∞
， lim Ak = A 则 k→∞
Ak
−
A
≤
⎛ ( −1) ⎜ 1 ⎝
Ak − A ，即结论成立。
1 k +1
需要指出的是，此结论只是充分条件，反过来不一定成立。
k
给定矩阵序列 Ak =
⎞ ⎟ 2 ⎠
⎛1 和矩阵 A = ⎜ ⎝1
1
0⎞ ⎟ 2⎠
显然有 lim Ak k→∞
F
=
lim
k→∞
∞
{ Sk }k =1
∞
收敛且 lim Sk = S ，则称矩阵级数 ∑ A 收敛， k →∞
∞
k =1 k
而矩阵S称为矩阵级数的和矩阵，记为 S = ∑ Ak。不收敛的矩阵
k =1
级数称为发散的。 显然，和 ∑
(i = 1, 2, L , m,
∞
k =1
Ak = S = ( s ij )的意义指的是:
∞ ∞
并且 则 证 由
lim Ak = A ， k→∞
lim Bk = B
k →∞
lim Ak Bk = AB
k →∞
Ak Bk − AB = Bk BkAk − kA + AkkB⋅−Bk − B ≤ A ⋅ −AB A AB
由定理1和推论可知，结论成立。
性质3
设 { Ak }k =1∈Cn×n中的矩阵序列，lim Ak = A 并且
k→∞
⎛ ⎜ lim 1 Ak = ⎜ ⎜ lim 2 + k ⎝ k
k→∞ k→∞
lim ⎛1 + 1 ⎞ ⎟ k→∞ ⎜ ⎝ k⎠
k
lim sin k k→∞ k lim lim
k→∞
e− k
k
k→∞
k
⎞ ⎛e 0 ⎞ ⎟ ⎜1 0 ⎟= A ⎟ =⎜ ⎟ ⎟ ⎜1 1 ⎟ ⎠ ⎠ ⎝
由矩阵序列极限的定义可以看出，矩阵序列收敛的性质和数 列收敛性质相似。 由定义可见，C m × n 中的矩阵序列的收敛相当于mn个数列同时 收敛。 因此可以用初等分析的方法来研究它。 但同时研究mn个数列的极限未免繁琐，我们可以利用矩阵 范数来研究矩阵序列的极限。
(k (k ⎛ det( A11 ) ) det( A21 ) ) ⎜ (k (k det( A12 ) ) det( A22 ) ) ⎜ ⎜ M M ⎜ ⎜ det( A ( k ) ) det( A( k ) ) 1n 2n ⎝ (k L det( An1 ) ) ⎞ (k ) ⎟ L det( An 2 ) ⎟ ⎟ L M ⎟ (k ) ⎟ L det( Ann ) ⎠
−1 −1 k = lim Sk = lim ⎡( I − A ) ( I − Ak ) ⎤ = ( I − A ) lim( I − A ) = ( I − A ) 。 ∑ A k→∞ k →∞ ⎦ k →∞ ⎣ k =0
k k ρ( A)) = ρ( Ak ) ≤ A < 1 (
因此得
ρ ( A) < 1
1 充分性 根据定理2.8，对于 ε = (1 − ρ ( A ) ) > 0 一定存在 2 一种相容的矩阵范数 ⋅ ，使得 A ≤ ρ ( A) + ε 。
又根据相容矩阵范数的性质有， 再注意到上述关系式中 1 ρ ( A ) + ε = (1 + ρ ( A ) ) < 1 2 那么
k 练习题 判断对下列矩阵是否有 lim A = 0 k →∞
⎛ 0.2 0.1 0.2 ⎞ 1 ⎛ 1 −8 ⎞ （2） A = ⎜ 0.5 0.5 0.4 ⎟ A= ⎜ ， （1） ⎟ ⎜ ⎟ 6 ⎝ −2 1 ⎠ ⎜ 0.1 0.3 0.2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 −8 ⎞ 1 （1）取 B = ⎜ 解： ， 则 λ ( A) = λ ( B ) ，令 ⎟ −2 1 ⎠ 6 ⎝
而且存在Cn×n上的算子范数‖· ‖，使得
( I n − A) − ∑ A
−1 k =0 m k
≤
A
m +1
1− A
证 必要性 若矩阵级数 ∑ A k 收敛，则有 S = lim Sk。 k →∞ k =1 又级数
I + A + A2 +L+ Ak +L
∞
的前k项部分和与前k+1项部分和分别为：
Sk 百度文库 I n + A + A2 + L + Ak −1 ,
( aijk ) − aij ∑
n j =1
aij − aij
(k )
≤ max 1≤i≤ m
m n
=
Ak − A
∞
( ≤ ∑∑ aijk ) − aij i =1 j =1
因此，
lim Ak = A
k →∞
⇔
lim Ak − A
k→∞
∞
=0
证毕
推论 证： 由
设 { Ak }k =1， A ∈C m × n ，并且 lim Ak = A
2 矩阵级数
{ A k }k =1 为Cm×n中的矩阵序列，称 定义2 设 A1 +A2 + L + Ak + L
∞
为由矩阵序列 { Ak }k =1 构成的矩阵级数，记为
∞
∑A 。
k =1 k
∞
定义3 记 若矩阵序列
Sk = ∑ Ai
i=1
k
，称之为矩阵级数 ∑ Ak 的前k项部分和。
k =1
∞