极限的运算法则

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第五节
极限的运算法则
1 例10 求 lim n ln(1 + ). n→ ∞ n 1 n 1 n 解 因为 lim (1 + ) = e , 且 (1 + ) ≠ e n→ ∞ n n lim ln u = ln e = 1
u→ e
第一章 函数 极限 连续
所以
1 n 原式 = lim ln(1 + ) n→ ∞ n
5 x3 = 2. 1 7 x3
(无穷小分出法)
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第五节
极限的运算法则
小结
第一章 函数 极限 连续
当a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m和n为非负整数时有
⎧ a0 , 当 n = m , ⎪b 0 m m −1 ⎪ + L + am ⎪ a 0 x + a1 x lim = ⎨ 0, 当 n > m , 1 − n n x→∞ b x + b x + L + bn 0 1 ⎪ ∞ , 当n < m , ⎪ ⎪ ⎩
x→2
第一章 函数 极限 连续
= (lim x ) 2 − 3 lim x + lim 5
x→2 x→2 x→2
= 2 2 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3 ≠ 0,
3 x −1 −1 7 2 x→2 = x→2 2 ∴ lim 2 = . = x→2 x − 3 x + 5 3 lim( x − 3 x + 5) 3 x→2
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第五节
极限的运算法则
⎧ 1 − x, 例8 设 f ( x ) = ⎨ 2 ⎩ x + 1,
第一章 函数 极限 连续
x<0 , 求 lim f ( x ),lim f ( x ). x →0 x→2 x≥0
解
x→0
x = 0是函数的分段点,两个单侧极限为
x→0
lim− f ( x ) = lim− (1 − x ) = 1,
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(消去零因子法)
第五节
极限的运算法则
2x3 + 3x2 + 5 ∞ . ( 例4 求 lim 型未定式 ) 3 2 x→∞ 7 x + 4 x − 1 ∞
第一章 函数 极限 连续
解
x → ∞时, 分子, 分母的极限都是无穷大 .
先用x 3去除分子分母, 分出无穷小, 再求极限 .
3 2+ + 3 2 2x + 3x + 5 x lim 3 lim = x→∞ 7 x + 4 x 2 − 1 x→∞ 4 7+ − x
三
第一章 函数 极限 连续
复合函数的极限
定理2(复合函数的极限) 设函数 y = f ( u), u = ϕ ( x ) 的复合函数 y = f (ϕ ( x )) 在 x0 的某个领域内有定义. 若 且存在δ 0 > 0, 使当 0 <| x − x0 |< δ 0 时, 有 ϕ ( x ) ≠ u0 , 则 当 x → x0 时, y = f (ϕ ( x )) 的极限存在, 且有 lim f (ϕ ( x )) = A. 证 ∀ε > 0, Q lim f ( u) = A,∴ ∃η > 0, 当0 <| u − u0 |< η u→ u
说明 (1) 根据定理的条件，复合函数求极限的公式可写为
x → x0
lim f (ϕ ( x ))
令u =ϕ ( x )
=
u→ u0
lim f ( u) = A,
第一章 函数 极限 连续
因此这也提供了一个求极限的方法：变量替换法. (2) 如果将定理的条件作相应的修改, x → x0 可用其 他的六种自变量的趋向过程代替.
0
x → x0
lim ϕ ( x ) = u0 , lim f ( u) = A,
u→ u0
x → x0
时, 恒有
| f ( u) − A |< ε ,
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第五节
极限的运算法则
lim ϕ ( x ) = u0 , 所以对上面的 η , ∃δ 1 > 0, 使得当 又因为 x →x
0
0 <| x − x0 |< δ 1 时, 恒有 | ϕ ( x ) − u0 |< η ,
x → x0
= a 0 x 0 + a1 x 0
n −1
+ L + a n = f ( x 0 ).
P( x) 2. 设 f ( x ) = , 且Q( x0 ) ≠ 0, 则有 Q( x )
P ( x0 ) = = f ( x 0 ). lim f ( x ) = x → x0 lim Q( x ) Q( x 0 )
x→0
lim+ f ( x ) = lim+ ( x 2 + 1) = 1,
x→0
y y = 1− x
左右极限存在且相等,
故 lim f ( x ) = 1.
x →0
1
y = x2 + 1
o
2
x
lim f ( x ) = lim( x + 1) = 5
x→2 x→2
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第五节
极限的运算法则
3
lim x 3 − lim 1
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第五节
极限的运算法则
小结
1. 设 f ( x) = a0 xn + a1 xn−1 +L+ an ,则有
x → x0
lim f ( x ) = a 0 ( lim x ) n + a1 ( lim x ) n −1 + L + a n
x → x0
n
第一章 函数 极限 连续
第一章 函数 极限 连续
取 δ = min{δ 0 , δ 1 }，则当 0 <| x − x0 |< δ 时, 恒有
0 <| ϕ ( x ) − u0 |< η ,
即恒有
| f (ϕ ( x )) − A |< ε ,
所以
x → x0
lim f (ϕ ( x )) = A.
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第五节
极限的运算法则
又 Q lim(4 x − 1) = 3 ≠ 0,
x →1
x + 2x − 3 0 ∴ lim = = 0. x →1 4x − 1 3
2
由无穷小与无穷大的关系,得
4x − 1 lim 2 = ∞. x →1 x + 2 x − 3
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第五节
极限的运算法则
x2 − 1 0 求 lim . 例3 ( ) 型未定式 2 x →1 x + 2 x − 3 0
x lim a 例9 求极限 x → x (a > 0, a ≠ 1).
0
解
lim x ln a = x0 ln a , 所以 由于 a x = e x ln a , 而 x →x
0
x → x0
lim a x
令u = x ln a
=
u→ x0 ln a
lim e u = e x0 ln a = a x0 .
lim( f ( x ))n = (lim f ( x ))n = An .
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第五节
极限的运算法则
二、求极限方法举例
x3 − 1 . 例1 求 lim 2 x→2 x − 3 x + 5 2 2 = lim x 3 x + lim 5 解 Q lim( x − 3 x + 5) x → 2 − lim x→2 x→2
第五节
极限的运算法则
第五节
第一章 函数 极限 连续
极限的运算法则
一 二 三
极限的四则运算法则 求极限方法举例 复合函数的极限
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第五节
极限的运算法则
一、极限运算法则
定理1
第一章 函数 极限 连续
设 lim f ( x ) = A,lim g ( x ) = B , 则
(1) lim( f ( x ) ± g ( x )) = lim f ( x ) ± lim g ( x ) = A ± B; (2) lim( f ( x ) g ( x )) = (lim f ( x ))(lim g ( x )) = AB;
x → x0 x → x0
lim P ( x )
若Q( x0 ) = 0, 则商的法则不能应用.
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第五节
极限的运算法则
4x − 1 . 例2 求 lim 2 x →1 x + 2 x − 3
第一章 函数 极限 连续
( x 2 + 2 x − 3) = 0, 解 Q lim x →1
商的法则不能用
1 令u= (1+ )n n
=
lim ln u = 1
u→ e
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无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
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第五节
极限的运算法则
y
例5
第一章 函数 极限 连续
sin x . 求 lim x →∞ x
o
y=
sin x x
1 解 当x → ∞时, 为无穷小, x
x
而sin x是有界函数 .
sin x ∴ lim = 0. x→∞ x
f ( x ) lim f ( x ) A = = . (3) 如果 B ≠ 0, lim g ( x ) lim g ( x ) B
证 Q lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B .
∴ f ( x ) = A + α , g ( x ) = B + β . 其中α → 0, β → 0.
∴ (2)成立.
f ( x ) A A + α A Bα − Aβ − = − = g ( x ) B B + β B B( B + β )
Q lim( Bα − Aβ ) = 0.
lim B( B + β ) = B lim( B + β ) = B 2 ≠ 0
利用无穷小与极限非零的函数的商仍是无穷小得
由无穷小运算法则,得
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第五节
极限的运算法则
[ f ( x ) ± g ( x )] − ( A ± B ) = α ± β → 0. ∴ (1)成立. [ f ( x ) ⋅ g ( x )] − ( A ⋅ B ) = ( A + α )( B + β ) − AB
第一章 函数 极限 连续
= ( Aβ + Bα ) + αβ → 0.
第一章 函数 极限 连续
解
x → 1时, 分子, 分母的极限都是零 .
先约去不为零的无穷小因子x − 1后再求极限 .
x2 − 1 ( x + 1)( x − 1) lim 2 = lim x →1 x + 2 x − 3 x →1 ( x + 3)( x − 1)
x+1 1 = . = lim x →1 x + 3 2
例7
第一章 函数 极限 连续
1 4 求极限 lim − 2 ( ). + x→2 x − 2 x −4
1 4 x+ 2−4 ( − 2 ) = lim 解 lim + x→2 x − 2 x → 2+ ( x − 2)( x + 2) x −4 1 1 = lim = 通分，消零因子 + x→2 x + 2 4
2 lim x ( x + 1 − x ). (0 ∞ 型未定式） 例7 求极限 x →+∞ x 2 解 lim x ( x + 1 − x ) = lim 2 x →+∞ x →+∞ x +1 + x 1 1 = lim = x →+∞ 有理化法 2 1 1+ 2 +1 x
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第五节
极限的运算法则
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第五节
极限的运算法则
Bα − Aβ 是无穷小，所以(3)成立. B( B + β )
第一章 函数 极限 连续
推论1
则 如果 lim f ( x ) 存在，c 为常数，
lim(cf ( x )) = c lim f ( x ) = cA.
常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 则 如果 lim f ( x ) 存在，n 为正整数，
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第五节
极限的运算法则
例6
2 lim ( x + 1 − x ). ( ∞ − ∞ 型未定式） 求极限 x →+∞
解 lim ( x + 1 − x ) = lim
2 x →+∞
1 x2 + 1 + x
x →+∞
1 x = lim =0 x →+∞ 1 1+ 2 +1 x
第一章 函数 极限 连续