理论力学第3章 力系的平衡条件与平衡方程

x
xC
x
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5
平行分布线载荷的简化
Q
q
1、均布荷载 Q=ql
l 2
l 2
Q
q
2、三角形荷载 Q=ql /2
2l 3
l 3
Q
3、梯形荷载 Q=(q1+q2)l /2 (自己求合力的位置)
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q1
q2
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滚动摩擦产生的物理原因
实际上是面接触，分布在接触面上 的约束力严格说是一空间力系，它 的合力不一定通过A点。如将该力 系向A点简化，即得法向反力FN、 滑动摩擦力Fs 以及滚动摩擦力偶Ｍ。 考虑滚动摩擦时的受力图通常如图 所示。 思考：为什么自行车轮胎气不足时 或者松软的地面上骑车人感到费力？
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4
平行分布线载荷的简化
若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则 称此力系为平行分布线载荷，简称线载荷。
y
q(x)
1. 合力的大小等于线载荷 所组成几何图形的面积。
Q
2. 合力的方向与线载荷的 方向相同。
3. 合力的作用线通过荷载 图的形心。
10
例题二的解答
解：选取研究对象：杆CE（带有销 钉D）以及滑轮、绳索、重物组成 的系统（小系统）受力分析如图， 列平衡方程:
M D (F ) 0 M C (F ) 0 M B (F ) 0
( F C cos ) CD F ( DE R ) PR 0 F Dx DC F ( CE R ) PR 0 F BD F ( DE R ) P ( DB R ) 0 Dy
q (2a b) 2a
2
YA q (2a b)
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课堂练习3
多跨静定梁由AB梁和BC梁用中间铰B连接而成，支撑和荷 载情况如图所示，已知P = 20kN，q=5kN⋅m，α = 45°。求 支座A、C的反力和中间铰B处的反力。
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摩擦角
当有摩擦时，支承面对平衡物体的 反力包含法向反力 N 和切向摩擦力 F , 这两个力的合力称为支承面的全约束反 力，即 R N F ，它与支承面间的夹 角 将随主动力的变化而变化，当物体 处于临界平衡状态时， 角达到一最大 值 m ，如图，则 m称为摩擦角。 角的 变化范围为： 0


Xi 0
Yi 0
M
B
(F ) 0

F Bx F 0
F By F C F q F A 0
M F A a FC a F q ( a 2 a / 3 ) 0
步骤４： 求解，得：
F Bx 500 N F By 666 . 7 N F C 1666 . 7 N
7
例题一
题： 单个物体的平衡
已知：梁AD 的支承及受 力如图所示。F ＝500 N， FA＝1000 N，q ＝1000 N/m，Ｍ＝2000 N · ， m a=2m
求： 反力 支座B、C 的约束
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例题一的解答
步骤１：选取研究对象：梁AD。 步骤２：受力分析如图所示： 步骤３：取坐标系，列平衡方程：
P P
4m
A
8m
B
由几何关系，
sin 5 5 , cos
5 2
2 5 5
A

y
B
RA
YB
解得
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RA
P , YB
1 2
x
P
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历史回顾之第2章 例题三
求图示简支梁的支座反力。
A
m 2 m1
m3 B
解：以梁为研究对象，受 力如图。
m 0 : R Al m1 m 2 m 3 0
l
m 2 m1
解之得： m1 m 2 m 3 RA RB l
A
RA
m3 B
RB
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静定与静不定的概念
静定问题： 未知量个数 = 独立的平衡方程个数 静不定问题：未知量个数 > 独立的平衡方程个数
解：1、选取研究对象：梁OA 2、画梁OA 的受力图：G、FB 、 FO， 构成一平面汇 交力系，汇交点 为E 点。 3、解析法，取坐标轴如图，列平 衡方程：

X i 0 F B cos( ) Fo cos( ) 0
i
Y
0 F B sin( ) Fo sin( ) G 0
M
A
x
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例题四
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讲解： 例题3-8 课本第63页 讨论图3-8 （d）（e）的错误之处！
例题3-9 课本第65页 讨论图3-9 （d）（e）的错误之处！
给出更一般的求解方法；
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B
P
C
RC
再以AB为研究对象，受力如图， 建立如图坐标。
X 0: X
A
M
P RB 0
Y 0 : Y A qa 0 m A ( F ) 0 : M A P (a b)
q
RB
y
1 2
qa
2
RB a 0
XA
A
YA
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历史回顾之第2章 例题一
已知：悬臂式起重机 OB =AB,θ =45.,重物 D 重 G =5kN, 梁重 OA不计。 求：钢索BC 的拉力 及铰链O 的反力
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历史回顾之第2章 例题一：解
工程实例：千斤顶、固定螺 纹等都是自锁条件的利用。
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滚动摩擦
滚动摩擦：是指一物体沿另 一物体表面相对滚动（或有 相对滚动趋势）时接触面间 产生的一种阻碍物体相对滚 动的阻力偶，称为滚动摩擦， 或称为滚阻。一般用Ｍ 表 示。
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m
mR N
Fm
由图可知，角 m与静滑动摩擦系数 f 的关系为：
tg m
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Fm N

fN N
f
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自锁
自锁：如果主动力的合力的 作用线在摩擦角（锥）之 内， 则不论合力大小如何，物体 总能平衡，这 种情况称为自 锁。如图所示。与主动力的 大小无关而只与摩擦角有关 的这一平衡条件， 称为自锁 条件：即 φ ≤φm
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例题二
题：物系的平衡 已知：构架如图所示,重物重P ＝10kN,AD ＝DB ＝2m，CD ＝DE ＝1.5m，滑轮半径为R，不计摩擦及杆、滑轮的重量。 求：杆BC 所受的力和杆AB 作用于销钉D 的力。
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解得：FC＝12.5 kN FDX＝20 kN FDY＝2.5 kN
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例题三
求图示结构固定端的约束反力。
解：先以BC为研究对象，受力如图。
P
C
q
M
b
m 0 : RC b m 0
于是得： R C
m b RB
a
a
B
A
RB
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滚动摩擦力偶的性质
滚动摩擦力偶Ｍ 具有如下性质（与滑动摩擦力性质类似）： ◆ 其大小由平衡条件确定； ◆ 转向与滚动趋势相反； ◆ 当滚子处于将滚未滚的平衡临界状态时， Ｍ = Ｍ max =δFN
式中：δ —滚动摩擦系数，它的量纲为长度； FN —法向反力（一般由平衡条件确定）。
解之得： X
YB
A
P cos
YA m Pb sin a
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m P sin ( a b ) a
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课堂练习2
组合结构的荷载和尺寸如图所示，求 支座反力和各链杆的内力。
q
A
E
1 2
B F
3
解：先以整体为研究对象，受力如图， 建立如图坐标。
X 0:X
A
a a
D
b
C
RD 0
a
q
m A (F ) 0 : RD a
Y 0 : YA q (2a b) 0
1 2
q (2a b) 0
2
XA A YA RD
D
B E
1 2
F
3
解之得：
RD q (2a b) 2a
2
C
X
A

l
6
刚体系统的平衡
刚体系统的平衡: 是指组成系统的每一个刚体都处于平衡状态。这类问题是常 见的工程实际问题。 在研究刚体系统平衡问题时，应区分两种力： 外力：刚体系统以外的物体作用在系统上的力； 内力：组成系统的物体间相互作用的力。
关键：建立方程组的概念！
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F B 14 . 15 kN
Fo 11 . 18 kN
解出：
FO 为负值，表示受力图中FO 假定方 向与正确指向相反。
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历史回顾之第2章 例题二
求图示平面刚架的支反力。 解：以刚架为研究对象，受 力如图，建立如图坐标。
X 0 : R A cos P 0 Y 0 : R A sin Y B 0
由此得物体的平衡范围： 0≤ FS ≤ F max（保证不滑动） 0≤ Ｍ ≤ Ｍ max（保证不滚动）
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空间力系及其简化
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空间力系的简化
(F1,F2,......Fn)<＝>(F1‘,F2’,......Fn‘)＋(Ｍ1＋Ｍ2......Ｍn) 其中: Fi ’＝Fi ，Ｍi＝ＭO（Fi），（i＝1,2,.....n） 将此两个简单力系合成，得： 一个力(空间力系的主矢)： F R
第
3
章
力系的平衡条件与平衡方程
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平衡
若平面力系的主矢及对任一点的主矩等于零，即： FR‘＝0
｝＝>平衡
ＭO＝0
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百度文库
平面力系的平衡条件和平衡方程
平面力系平衡的必要且充分条件是：力系的主矢以及力系对 任一点的主矩都等于零。即：FR'＝0，ＭO＝0 而 FR'＝((∑Fxi）2+（∑Fyi）2 )1/2 ，ＭO＝∑ＭO（F i ） 于是得：平面力系的平衡方程（基本形式） ∑Fxi ＝0 ∑Fyi ＝0 ∑ＭO（F i）＝0 即：力系中各力在任选的两直角坐标轴上投影的代数和都等 于零，以及力系中各力对任一点之矩的代数和也等于零。
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课堂练习1
求图示梁的支座反力。
解：以梁为研究对象，受力如 图，建立如图所示的坐标。
y
A
m
P B
a
XA
A
m
X 0:X
A
P cos 0
P B
b
Y 0 : Y A Y B P sin 0
YA
x
YB
m A ( F ) 0 : Y B a P sin ( a b ) m 0
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3
平衡方程的其他形式
平面力系平衡方程除上面基本形式外，还可以写成如下两 种形式: ∑ＭA（F i ）＝0 ∑ＭB（F i ）＝0 ∑Fix ＝0 附加条件：X 轴不垂直于A、B 二点的连线。 两矩一投影： ∑ＭA（F i ）＝0 ∑ＭB（F i ）＝0 ∑ＭC（F i ）＝0 附加条件：A、B、C 三点不共线。 必须指出：平面力系的平衡方程只有三个独立方程，因此 只能求解三个未知量！ 三矩式：
'


F
'

F
M
o
M 一个力偶（空间力系的主矩）： o
M
i

( Fi )
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空间力系的平衡
当FR'=0，Ｍ0 =0，空间力系平衡
X 0 Y 0 Z 0 mx (F ) 0 m y (F ) 0 mz (F ) 0