精品解析：【全国市级联考】重庆市2018届高三4月调研测试(二诊)数学理试题(原卷版)
2018重庆二诊理科数学答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷理科数学参考答案一、选择题1～6BABBCA7～12ADCCDB第（12）题提示：由ln 1x a ax b +++≤得0a >，即ln 10ax x a b --++≥，令()ln 1h x ax x a b =--++，1()h x a x '=-，()h x 在1(0)a ， 上递减，在1()a +∞， 上递增，min 1()(ln 20h x h a a b a ==-++≥，ln 21b a a a +-≥，令ln 2()1x u x x +=-，2ln 1()x u x x +'=，max 1()(1u x u e e==-，所以1bea -≥二、填空题（13）64（14）1[)3-+∞， （15）36（16）3第（16）题提示：圆22(3sin )(3cos )1x y αα+++=的圆心(3sin 3cos )αα--， 在圆229x y +=上，当α改变时，该圆在绕着原点转动，集合A 表示的区域是如右图所示的环形区域，直线34100x y ++=恰好与环形的小圆相切，所以A B 所表示的是直线34100x y ++=截圆2216x y +=所得的弦长.三、解答题（17）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）π31()cos(2)sin 2cos 2sin 2sin 2622f x x x x x x =--=+-2πsin(2)3x =+令π2π3π2π22π232k x k +++≤≤，解得π5πππ1212k x k -+≤≤，k Z ∈单调递减区间为π5π[ππ]1212k k -+， ，k Z∈（Ⅱ）2π1sin()32C +=，2π5π36C +=，π6C =，外接圆直径28sin ABr C==，4r =，外接圆面积16πS =（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题可得如下用车花费与相应频率的数表花费1416182022频率0.20.360.240.160.04估计小刘平均每天用车费用为140.2160.36180.24200.16220.0416.96⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2用时不超过45钟的概率为0.8，~(20.8)B ξ， 0022(0)0.80.20.04PC ξ==⋅=，1112(1)0.80.20.32P C ξ==⋅=2202(2)0.80.20.64P C ξ==⋅=ξ012P 0.040.320.6420.8 1.6E ξ=⋅=（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设8AB =，则13A M =，2AN =，16A N =，1tan 2AN NEA AE ∠==，111tan 2A M MNA AN ∠==，1NEA MNA ∠=∠，又π2NEA ENA ∠=-∠，所以1π2MNA ENA ∠=-∠，MN EN⊥BC AC =，CE AB ⊥，111ABC A B C -为直三棱柱，∴CE ⊥平面11AA B B ，∴MN CE ⊥，MN ⊥平面CEN ，平面CMN ⊥平面CEN .（Ⅱ）由AC BC ⊥，以C 为原点1CB CA CC， ， 分别为x y z ， ，轴建立空间直角坐标系.3252(8)22M ， ，(02)N ，设平面CMN 的法向量为1()n x y z =， ， ，由11104)0n CM n n CN ⎧⋅=⎪⇒=-⎨⋅=⎪⎩平面1CNA 的法向量2(100)n =， ， 设所求二面角平面角为θ，1212310cos 10||||n n n n θ⋅==⋅（20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设P 00()x y ， ，由题22222200002221x y a y x a a b b+=⇒-=-2220000003443y y x a y x a x a ⋅=-⇒-=--+结合1c =得，24a =，23b =所求椭圆方程为22143x y +=（Ⅱ）设直线:(1)AB y k x =-，联立椭圆方程223412x y +=得2222(43)84120k x k x k +-+-=得222218424343M k k x k k =⋅=++，23(1)43M M k y k x k =-=-+∴222444433N k x k k ==++，2213(13(1)4433N N k k y x k k k⋅-=--=-=++由题，若直线AB 关于x 轴对称后得到直线A B ''，则得到的直线M N ''与MN 关于x 轴对称，所以若直线MN 经过定点，该定点一定是直线M N ''与MN 的交点，该点必在x 轴上.设该点为P (0)s ， ，()M M MP s x y =-- ， ，()M N M N NM x x y y =--， 由//MP NM 得N M M N M Nx y x y s y y -=-，代入,M N 坐标化简得47s =经过定点为4(0)7， （21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()ln 23F x x x x =--，1(41)(1)()43x x F x x x x-+'=--=-()F x 在1(04， 上单调递增，在1()4+∞， 上单调递减.（Ⅱ）20000000121()()(2)ax bx f x g x ax b x x --''-=-+=22212121212002()()1212()222x x x x a x x b x x ax bx a b ++-+-+--=--=2111ln ax bx x +=，2222ln ax bx x +=，111212121221221()()()ln()ln x x a x x x x b x x a x x b x x x x +-+-=⇒++=-121212112121122221()()ln ln 1x x x x x xa x xb x x x x x x x x +++++==--不妨设12x x >，令1()ln 1x h x x x +=-(1)x >，下证12(1)44()ln 2ln 2ln 21111x x h x x x x x x x x +-=>⇔>=-⇔+>-+++4()ln 1u x x x =++，22214(1)()(1)(1)x u x x x x x -'=-=++，所以()(1)2u x u >=∴21212()()2a x x b x x +++>，00()()f xg x ''<（22）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由题21:4C y x =，22sin 4cos ρθρθ=，即2sin 4cos ρθθ=2:C 225x y x+=（Ⅱ）联立24y x =和225x y x +=得1A x =，2A y =设2()4m B m ，由OA OB ⊥，218m m m =-⇒=-，(168)B -，1||||202AOB S OA OB ∆=⋅==（23）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）222|2||||(2)()||2|x x a x x a a -+----=-≥，2x =时等号成立∴()f x 的最小值为2|2|a -，2|2|a a -≤，22a a a --≤≤，[12]a ∈，（Ⅱ）2a =时，211112()(2)()(1m n +=++≥∴1132m n +≥22m n =-=-，时等号成立.。
2018届重庆市南开中学高三二诊模拟理科数学试题及答案
重庆南开中学高2018届高三二诊模拟考试数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设i 是虚数单位，则复数1iz i=-+的虚部是（ ） A 、2i - B 、12-C 、12D 、2i2、已知命题:,2lg p x R x x ∃∈->，命题2:,0q x R x ∀∈>，则（ ） A 、命题p q ∨是假命题 B 、命题p q ∧是真命题 C 、命题()p q ∧⌝是真命题 D 、命题()p q ∧⌝是假命题3、已知等比数列{}n a 的公比2q =，且462,,48a a 成等差数列，则{}n a 的前8项和为（ ）A 、127B 、255C 、511D 、10234、若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）A 、180B 、120C 、90D 、455、已知菱形ABCD 的边长4，150ABC ∠= ，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为（ ）A 、4πB 、14π-C 、8πD 、18π-6、若抛物线()2:20C y px p =>上一点到焦点和x 轴的距离分别为5和3，则此抛物线的方程为（ ）A 、22y x =B 、)24y x = 或C 、22y x =或218y x =D 、23y x=)24y x =7、某程序框图如图所示，现分别输入下列四个函数()f x ，则可以输出()f x 的是（ ）A 、()11212x f x =+- B 、()1lg 21xf x x x -=-+ C 、()1212x x f x x =--D 、()32f x x x=--8、已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1b a c b -=-=且2C A =，则cos C =（ ）A 、12B 、14C 、16D 、189、已知某几何体的三视图如图所示，过该几何体最短两条棱的中点作平面α，使得α平分该几何体的体积，则可以作此种平面α （ ） A 、恰好1个 B 、恰好2个 C 、至多3个 D 、至少4个10、数列{}n a ()2014,n n N ≥∈满足：120120i i i a a a +++++< ，其中1,2,,2012i n =- ，120130j j j a a a +++++> ，其中1,2,,2013j n =- ，则满足条件的数列{}n a 的项数n 的最大值为（ ）A 、4025B 、4026C 、20132D 、20142第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。
【高三英语试题精选】2018届高三4月调研测试(二诊)数学试题(重庆市文带答案)
5不等式选讲
已知函数 ．
（1）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围；
（2）若正实数 ， 满足 ，当 取（1）中最大值时，求 的最小值．
10 11、12
二、填空题1364Biblioteka 148 15 16三、解答题
17解（1） ， ，
两式相减， ， ，其中 ，
．
（2）联立 和 ，得 ， ，
设 ，由 ， ，得 ， ，
．
23解（1） ， 时等号成立，
∴ 的最小值为 ， ， ， ．
（2） 时， ，
∴ ， ， 时等号成立．
（2）设 ， ，直线 ，联立椭圆方程得
， ， ．
由题，若直线 关于 轴对称后得到直线 ，则得到的直线 与 关于 轴对称，
所以若直线 经过定点，该定点一定是直线 与 的交点，该点必在 轴上．
设该点坐标 ， ， ，
代入 ， ，化简得 ， 经过定点 ．
21解（1） ，
由题 在 恒成立， ，即 ，
设 ， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
， ．
（2） ，即 ，其中 ，
∴ ， ，
令 ， ， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，由 ，
又 ，所以存在 ，使 在 上满足 ，
在 上满足 ，即 在 上单调递减，在 上单调递增，
由 ， → 时， → ，
所以当 ， 时， 有一个解，
∴ 只有一个解．
22解（1）由题 ， ，即 ，
累乘得， ，其中 ，又 ，
∴ ．
（2） ．
18解（1） ， ，
∴ ，
，回归方程为 ．
（2）当 时， ，预测该社区在2019年投资金额为30万元．
重庆市2018届高三4月调研测试(二诊)理数试题(考试版)
绝密★启用前重庆市2018届高三4月调研测试（二诊）数学（理）试题第I 卷（选择题）一、单选题1．设全集U R =，集合{}1,0,1,2A =-， {}2|log 1B x x =<，则()U A B ⋂=ð（ ） A. {}1,2 B. {}1,0,2- C. {}2 D. {}1,0- 2．复数z 满足()123z i i +=+，则z =（ ） A. 1i - B. 1i + C.15i - D. 15i + 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37a =， 312S =，则10a =（ ） A. 10 B. 28 C. 30 D. 145 4．“1cos22α=”是“()6k k Z παπ=+∈”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5．已知定义域为I 的偶函数()f x 在()0,+∞上单调递增，且0x I ∃∈， ()00f x <，则下列函数中符合上述条件的是（ ） A. ()2f x x x =+ B. ()22xxf x -=-C. ()2log f x x =D. ()43f x x-=6．已知向量a ， b 满足3a b -=且()0,1b =- ，若向量a 在向量b 方向上的投影为2-，则a=（ ）A. 2B. 4 D. 127．中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“菱形”处应填入（ ）A.221a Z -∈ B. 215a Z -∈ C. 27a Z -∈ D. 23a Z-∈ 8．如图，在矩形ABCD 中，2AB =， 3AD =，两个圆的半径都是1，且圆心1O，2O 均在对方的圆周上，在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）9．设函数6cos y x =与5tan y x =的图象在y 轴右侧的第一个交点为A ，过点A 作y轴的平行线交函数sin2y x =的图象于点B ，则线段AB 的长度为（ ）D. 10．某几何体的三视图如图所示，其正视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（ ）A. 18B. 8+24D. 12+11．已知双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）的左右焦点分别为1F ， 2F ，点P 在双曲线的左支上， 2PF 与双曲线的右支交于点Q ，若1PFQ ∆为等边三角形，则该双曲线的离心率是（ ）212．已知函数()ln f x x a =+， ()1g x ax b =++，若0x ∀>， ()()f x g x ≤，则ba的最小值是（ ） A. 1e + B. 1e - C. 1e - D. 12e -第II 卷（非选择题）二、填空题13．某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测，对这100件产品随机编号后分成5组，第一组1~20号，第二组21~40号，…，第五组81~100号，若在第二组中抽取的编号为24，则在第四组中抽取的编号为__________．14．已知实数x ， y 满足330,{10, 10,x y x y x y -+≥+-≥--≤若目标函数z ax y =+在点()3,2处取得最大值，则实数a 的取值范围为__________．15．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为__________（用数字作答）． 16．设集合()()(){}22,|3sin 3cos 1,A x y x y R ααα=+++=∈，(){},|34100B x y x y =++=，记P A B =⋂，则点集P 所表示的轨迹长度为__________．三、解答题17．设函数()cos 22sin cos 6f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的单调递减区间； （2）在ABC ∆中，若4AB =， 122C f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求ABC ∆的外接圆的面积． 18．重庆市推行“共享吉利博瑞车”服务，租用该车按行驶里程加用车时间收费，标准是“1元/公里+0.2元/分钟”．刚在重庆参加工作的小刘拟租用“共享吉利博瑞车”上下班，同单位的邻居老李告诉他：“上下班往返总路程虽然只有10公里，但偶尔开车上下班总共也需花费大约1小时”，并将自己近50天的往返开车的花费时间情况统计如表：将老李统计的各时间段频率视为相应概率，假定往返的路程不变，而且每次路上开车花费时间视为用车时间．（1）试估计小刘每天平均支付的租车费用（每个时间段以中点时间计算）； （2）小刘认为只要上下班开车总用时不超过45分钟，租用“共享吉利博瑞车”为他该日的“最优选择”，小刘拟租用该车上下班2天，设其中有ξ天为“最优选择”，求ξ的分布列和数学期望．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中， AC BC =， 1C C ⊥平面ABC ，侧面11ABB A 是正方形，点E 为棱AB 的中点，点M 、N 分别在棱11A B 、1AA 上，且11138A M AB =，114AN AA =．（1）证明：平面CMN ⊥平面CEN ；（2）若AC BC ⊥，求二面角1M CN A --的余弦值．20．椭圆E ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为()11,0F -， ()21,0F ，左右顶点分别为1A ， 2A ， P 为椭圆E 上的动点（不与1A ， 2A 重合），且直线1PA 与2PA 的斜率的乘积为34-．（1）求椭圆E 的方程；（2）过2F 作两条互相垂直的直线1l 与2l （均不与x 轴重合）分别与椭圆E 交于A ，B ，C ，D 四点，线段AB 、CD 的中点分别为M 、N ，求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．21．已知函数()ln f x x =， ()2g x ax bx =+（0a ≠， b R ∈）.（1）若2a =， 3b =，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；（2）若函数()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点()()11,x f x ， ()()22,x f x ，记1202x x x +=，记()'f x ， ()'g x 分别是()f x ， ()g x 的导函数，证明： ()()00''f x g x <．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2,{2x t y t==（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为5cos ρθ=．（1）写出曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）记曲线1C 和2C 在第一象限内的交点为A ，点B 在曲线1C 上，且2AOB π∠=，求AOB ∆的面积． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()22f x x x a =-+-．（1）若关于x 的不等式()f x a ≤有解，求实数a 的取值范围；（2）若正实数m ， n 满足2m n a +=，当a 取（1）中最大值时，求11m n+的最小值．1．B【解析】由题意得{}{}2|log 1|02B x x x x =<=<<， ∴{}|02U B x x x =≤≥或ð， ∴()={1,0,2}U A B ⋂-ð．选B ． 2．A【解析】 由()123z i i +=+，则()()()()()3123551211212125i i ii z i i i i i +-+-+====-++-，故选A ． 3．B【解析】 由题意，设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则313127{ 3312a a d S a d =+==+=，解得11,3a d ==，所以101919328a a d =+=+⨯=，故选B ．5．C 【解析】 由题意，函数()2f x x x =+的图象关于y 轴对称，但在10,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，不满足题意； 函数()22xxf x -=-的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，不满足题意； 函数()430f x x -==≥，即函数的值域为[)0,+∞，不满足题意，故选C ．6．A7．A【解析】 由题意可知，该程序框图的功能是使得实数a ，使得3除余2，被5除余3，被七除余2的数值， 其中53a n =⨯+表示除5除余3的数，再使得3除余2，被7除余2的数，所以是除21余2的数，所以判断框应填入221a Z -∈，故选A ． 8．D【解析】 如图所示，分别连接1212,,,MO MO NO NO ， 则1212,MO O NO O ∆∆分别为边长为1的等边三角形，所以其面积分别为12124MO O NO O S S ∆∆==， 其中拱形1MO的面积为12122111236MO O MO O S S S ππ∆=-=⨯⨯-=扇形，所以阴影部分的面积为24212463S πππ⎡⎤⎛=⨯-⨯=⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦阴影所以概率为483223636S P ππ+===⨯阴影，故选D ．9．C【解析】 由方程组6{5y cosx y tanx==，即6cos 5tan x x =，即5sin 6cos xx cox =，即26cos 5sin x x =，又22cos sin 1x x +=，联立得26sin 5sin 60x x +-=，解得2sin 3x =或3sin 2x =-（舍去），则cos 3x =，又因为26cos sin26cos 2sin cos 623AB x x x x x =-=-=⨯=， 故选C ． 10．C11．D【解析】 由题意得，设1PF m =， 2QF n =，则1QF PQ m ==由双曲线的定义可知212PF PF m n m a -=+-=且122QF QF n m a -=-= 解得4,2m a n a ==，在12QF F ∆中，由余弦定理得22201212122cos120FF QF QF QF QF =+-，即22221416322282c a a a a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以c e a ===，故选D ．点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)． 12．B所以()max 1ln 1h x h a a a ⎛⎫==-+-⎪⎝⎭，即ln 11a a b -+-≤+，即ln 20a a b -+--≤ 令bk a=，则b ak =，所以()ln 120a k a -+--≤， 设()()ln 12a a k a ϕ=-+--，则()()11a k aϕ'=-+-，若10k -≤，则()0a ϕ'<，此时()x ϕ单调递减，无最大值； 所以1k >，由()0a ϕ'=，得11a k=-， 此时()()max ln 110x k ϕ=--≤，解得1k e ≥-， 所以k 的小值为1e -，故选B ．点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题． 13．6414．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 把目标函数z ax y =+，化为y ax z =-+，可得当直线y ax z =-+在y 轴的截距越大时，目标函数取得最大值，直线330x y -+=的斜率为13，又由目标函数z ax y =+在点()3,2A 处取得最大值， 由图象可知， 13a -≤，即13a ≥-，即实数a 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．15．36点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件．解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率．在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式． 16．【解析】 由题意，圆()()223sin 3cos 1x y αα+++=的圆心()3sin ,3cos αα--在圆229x y += 上运动，当α变化时，该圆在绕着原点转动，集合A 表示的区域如下图所示的环形区域， 直线34100x y ++=恰好与环形的小圆相切，所以A B ⋂所以表示的是直线34100x y ++=截圆2216x y +=所得弦长，又原点到直线34100x y ++=的距离为2d =，所以弦长为=点睛：本题考查轨迹方程的判定和直线与圆的位置关系的应用问题，其中解答中根据集合A 的圆心坐标满足的方程229x y +=得到集合A 所表示的区域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题．17．(1) 单调递减区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦， k Z ∈ (2) 16S π= 【解析】试题分析：（1）由三角恒等变换的公式，化简得()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，利用正弦型函数的图象与性质，即可求解单调递减区间； （2）由（1）中求解6C π=，利用正弦定理求解外接圆的直径，即可求解外接圆的面积．18．(1)16.96，(2) () 1.6E ξ=【解析】试题分析：（1）由题可得如下用车花费与相应频率的数表，利用平均数的计算公式，求得平均数，即可估计平均每天的用车费用；（2）由题意，确定ξ可能的取值，根据二项分布求解取每个值的概率，列出分布列，利用二项分布的期望公式，即可求解数学期望． 试题解析：（1）由题可得如下用车花费与相应频率的数表：估计小刘平均每天用车费用为140.2160.36180.24200.16220.0416.96⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）ξ可能的取值为0,1,2，用时不超过45分钟的概率为0.8， ()~2,0.8B ξ，()002200.80.20.04P C ξ==⋅=， ()111210.80.20.32P C ξ==⋅=，()22220.80.20.64P C ξ==⋅=，()20.8 1.6E ξ=⨯=．19．(1)见解析试题解析：（1）设8AB =，则13A M =， 2AN =， 16A N =， 1tan 2AN NEA AE ∠==， 111tan 2A M MNA AN ∠==， 1NEA MNA ∠=∠， 又2NEA ENA π∠=-∠，所以12MNA ENA π∠=-∠， MN EN ⊥，BC AC =， CE AB ⊥， 111ABC A B C -为直三棱柱，∴CE ⊥平面11AA B B ，∴MN CE ⊥， MN ⊥平面CEN ，平面CMN ⊥平面CEN ．（2）由AC BC ⊥，以C 为原点CB ， CA ， 1CC分别为x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，M ⎫⎪⎪⎝⎭，()N ，设平面CMN 的法向量为()1,,n x y z =，由110,{ 0,n CM n CN ⋅=⋅=解得()14n =- ． 平面1CNA 的法向量()21,0,0n =，设所求二面角平面角为θ，1212cos n n n n θ⋅==⋅20．(1) 22143x y += (2)见解析， 经过定点为4,07⎛⎫⎪⎝⎭试题解析：（1）设()00,P x y ，由题2200221x y a b +=，整理得2222002a y x ab -=-， 000034y y x a x a ⋅=--+，整理得2220043x a y -=-，结合1c =，得24a =， 23b =，所求椭圆方程为22143x y +=． （2）设直线AB ： ()1y k x =-，联立椭圆方程223412x y +=，得()22224384120kx k x k +-+-=，得222218424343M k k x k k =⋅=++， ()23143M M ky k x k =-=-+，∴222444433N k x k k ==++， ()22131314433N N k k y x k k k⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=--=-=++， 由题，若直线AB 关于x 轴对称后得到直线''A B ，则得到的直线''M N 与MN 关于x 轴对称，所以若直线MN 经过定点，该定点一定是直线''M N 与MN 的交点，该点必在x 轴上．设该点为(),0P s ， (),M M MP s x y =-- ， (),M N M N NM x x y y =--， 由//MP NM ，得N M M N M Nx y x y s y y -=-，代入M ， N 坐标化简得47s =，经过定点为4,07⎛⎫⎪⎝⎭． 点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通常利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 21．(1) ()F x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减(2)见解析试题解析：（1）()2ln 23F x x x x =--， ()()()4111'43x x F x x x x-+=--=-，()F x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．（2）()()()20000000121''2ax bx f x g x ax b x x ---=-+=， ()()221212212120021212222a x xb x x x x x x ax bx a b -+-+++⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，2111ln ax bx x +=， 2222ln ax bx x +=， ()()()11212122lnx a x x x x b x x x +-+-=，即()1121221ln x a x x b x x x ++=-， ()()121212112121122221ln ln 1x x x x x x a x x b x x x x x x x +++++==⋅--，不妨设12x x >，令()1ln 1x h x x x +=-（1x >），下证()1ln 21x h x x x +=>-,即()214ln 211x x x x ->=-++，即4ln 21x x +>+， ()4ln 1u x x x =++， ()()()()222114'11x u x x x x x -=-=++，所以()()12u x u >=， ∴()()212122a x x b x x +++>， ()()00''f x g x <．点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，不等式证明等问题，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用．22．(1) 2sin 4cos ρθθ=， 225x y x +=(2)20试题解析：（1）由题1C ： 24y x =， 22sin4cos ρθρθ=，即2sin 4cos ρθθ=，2C ： 225x y x +=．（2）联立24y x =和225x y x +=，得1A x =， 2A y =，设2,4m B m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由OA OB ⊥， 2124m m =-，得8m =-， ()16,8B -，112022AOB S OA OB ∆=⋅==． 23．(1) []1,2a ∈(2)32+【解析】试题分析：（1）由绝对值的三角不等式，求解()f x 的最小值，得出关于实数a 的不等式，即可求解实数a 的取值范围； （2）当2a =时，利用基本不等式，即可求得11m n+的最小值．。
重庆市2018届高三四月调研测试理科数学试题
重庆市2018届高三四月调研测试理科数学试题一、单选题1．设全集UR ，集合1,0,1,2A ，2|log 1B x x ，则U A B e （）A. 1,2 B. 1,0,2 C. 2D. 1,02．复数z 满足123z i i ，则z （）A. 1i B. 1i C. 15i D. 15i3．设等差数列n a 的前n 项和为n S ，若37a ，312S ，则10a （）A. 10 B. 28 C. 30D. 1454．“1cos22”是“6k k Z ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5．已知定义域为I 的偶函数f x 在0,上单调递增，且0x I ，00f x ，则下列函数中符合上述条件的是（）A. 2f xx x B. 22x x f x C. 2log f x x D. 43f xx 6．已知向量a ，b 满足3ab 且0,1b ，若向量a 在向量b 方向上的投影为2，则a （）A. 2 B. 23 C. 4D. 127．中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“菱形”处应填入（）A. 221a Z B. 215a Z C. 27aZ D. 23a Z8．如图，在矩形ABCD 中，2AB ，3AD ，两个圆的半径都是1，且圆心1O ，2O 均在对方的圆周上，在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A. 2312 B. 42324 C. 106336 D. 833369．设函数6cos y x 与5tan y x 的图象在y 轴右侧的第一个交点为A ，过点A 作y 轴的平行线交函数sin2y x 的图象于点B ，则线段AB 的长度为（）A. 5 B. 352 C. 1459 D. 2510．某几何体的三视图如图所示，其正视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（）A. 18 B. 883C. 24D. 126511．已知双曲线22221xya b （0a，0b ）的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的左支上，2PF 与双曲线的右支交于点Q ，若1PFQ 为等边三角形，则该双曲线的离心率是（）A. 2 B. 2 C. 5 D.712．已知函数ln f x x a ，1g x ax b ，若0x ，f x g x ，则ba 的最小值是（）A. 1eB. 1eC. 1eD. 12e 二、填空题13．某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测，对这100件产品随机编号后分成5组，第一组1~20号，第二组21~40号，…，第五组81~100号，若在第二组中抽取的编号为24，则在第四组中抽取的编号为__________．14．已知实数x ，y 满足330,{10,10,x yxy x y 若目标函数z ax y 在点3,2处取得最大值，则实数a 的取值范围为__________．15．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为__________（用数字作答）．16．设集合22,|3sin 3cos 1,A x y x y R ，,|34100B x y x y ，记P A B ，则点集P 所表示的轨迹长度为__________．三、解答题17．设函数cos 22sin cos 6f x x x x ．（1）求f x 的单调递减区间；（2）在ABC 中，若4AB ，122Cf ，求ABC 的外接圆的面积．18．重庆市推行“共享吉利博瑞车”服务，租用该车按行驶里程加用车时间收费，标准是“１元/公里0.2元/分钟”．刚在重庆参加工作的小刘拟租用“共享吉利博瑞车”上下班，同单位的邻居老李告诉他：“上下班往返总路程虽然只有10公里，但偶尔开车上下班总共也需花费大约1小时”，并将自己近50天的往返开车的花费时间情况统计如表：将老李统计的各时间段频率视为相应概率，假定往返的路程不变，而且每次路上开车花费时间视为用车时间．（1）试估计小刘每天平均支付的租车费用（每个时间段以中点时间计算）；（2）小刘认为只要上下班开车总用时不超过45分钟，租用“共享吉利博瑞车”为他该日的“最优选择”，小刘拟租用该车上下班2天，设其中有天为“最优选择”，求的分布列和数学期望．19．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，AC BC ，1C C 平面ABC ，侧面11ABB A 是正方形，点E 为棱AB 的中点，点M 、N 分别在棱11A B 、1AA 上，且11138A M A B ，114AN AA ．（1）证明：平面CMN平面CEN ；（2）若AC BC ，求二面角1MCN A 的余弦值．20．椭圆E ：22221(0)xya b a b 的左右焦点分别为11,0F ，21,0F ，左右顶点分别为1A ，2A ，P 为椭圆E 上的动点（不与1A ，2A 重合），且直线1PA 与2PA 的斜率的乘积为34．（1）求椭圆E 的方程；（2）过2F 作两条互相垂直的直线1l 与2l （均不与x 轴重合）分别与椭圆E 交于A ，B ，C ，D 四点，线段AB 、CD 的中点分别为M 、N ，求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．21．已知函数ln f x x ，2g x ax bx （0a ，b R ）.（1）若2a，3b ，求函数F x f x g x 的单调区间；（2）若函数f x 与g x 的图象有两个不同的交点11,x f x ，22,x f x ，记1202x x x ，记'f x ，'g x 分别是f x ，g x 的导函数，证明：00''f x g x ．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2,{2xt y t （t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为5cos ．（1）写出曲线1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程；（2）记曲线1C 和2C 在第一象限内的交点为A ，点B 在曲线1C 上，且2AOB ，求AOB 的面积．23．选修4-5：不等式选讲已知函数22f x x x a ．（1）若关于x 的不等式f x a 有解，求实数a 的取值范围；（2）若正实数m ，n 满足2m n a ，当a 取（1）中最大值时，求11m n 的最小值．。
2018年重庆市高考数学二诊试卷
2018年重庆市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分） 1.若复数iia 213++(R a ∈，i 是虚数单位)是纯虚数，则a 的值为（ ） A.23 B.23- C.6 D.-62.已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8},集合A ＝{2,3,5,6},集合B ＝{1,3,4,6,7},则集合B C U ⋂A ＝( )A.{2,5}B.{3,6}C.{2,5,6}D.{2,3,5,6,8}3.已知向量)21(，-=a ，)1-(，m b =，)23(-=，c ，若c b a ⊥-)(，则m 的值是（ ） A.27 B.35C.3D.-34.直线2:+=my x l 与圆02222=+++y y x x 相切，则m 的值为（ ）A.1或-6B.1或-7C.-1或7D.1或71-5.甲盒子中装有2个编号分别为1,2的小球，乙盒子中装有3个编号分别为1,2,3的小球，从甲、乙两个盒子中各随机取一个小球，则取出的两个小球的编号之和为奇数的概率为（ ） A.32 B.21 C.31 D.616.一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为（ ）A.280B.292C.360D.3727.设0>w ，函数2)3sin(++=πwx y 的图象向右平移34π个单位后与原图象重合，则w 的最小值是（ ） A.32 B.34 C.23D.38.如果执行右面的程序框图，输入46==m n ，，那么输出的p 等于（ ）A.720B.360C.240D.1209.若54cos -=α，α是第三象限的角，则2tan 12tan1αα-+=( ) A.-21 B.21C.2D.-2 10.在区间],[ππ-内随机取两个数分别记为b a ，，则函数222)(b ax x x f -+=+2π有零点的概率（ ）A.8-1πB.4-1πC.2-1πD.23-1π11.设双曲线的左准线与两条渐近线交于A 、B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内,则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A.)20(， B.)122(， C.)21(， D.)2(∞+，12.记函数)(x f （e x e≤<1，e=2.71828…是自然对数的底数）的导数为)('x f ，函数)(')1()(x f ex x g -=只有一个零点，且)(x g 的图象不经过第一象限，当e x 1>时，ex x x f 11ln 1ln 4)(>+++，0]1ln 1ln 4)([=+++x x x f f ，下列关于)(x f 的结论，成立的是（ ）A.)(x f 最大值为1B.当e x =时，)(x f 取得最小值C.不等式0)(<x f 的解集是（1，e ）D.当11<<x e时，)(x f ＞0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题线上.13．已知向量⊥，||=3，则•=．14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则=．15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得=80，y i=20，x i y i=184，=720．家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为y=bx+a，若该居民区某家庭的月储蓄为2千元，预测该家庭的月收入为千元．（附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=﹣b）16．已知P点为圆O1与圆O2公共点，圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1，若ac=8，=，则点P与直线l：3x﹣4y﹣25=0上任意一点M之间的距离的最小值为．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设数列{a n}的各项为正数，且a1，22，a2，24，…，a n，22n，…成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和，若S k≥30（2k+1），求正整数k的最小值．18．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=4，BC=，BD⊥AC，垂足为D，E为棱BB1上的一点，BD∥平面AC1E；（Ⅰ）求线段B1E的长；（Ⅰ）求二面角C1﹣AC﹣E的余弦值．19．某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y（单位：千元）与该地当日最低气温x（单位：Ⅰ）的数据，如表：x25891 1y 121887（Ⅰ）求y关于x的回归方程=x+；（Ⅰ）判定y与x之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6Ⅰ，用所求回归方程预测该店当日的营业额．（Ⅰ）设该地1月份的日最低气温X～N（μ，δ2），其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2，求P（3.8＜X＜13.4）附：①回归方程=x+中，=，=﹣b．②≈3.2，≈1.8．若X～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜X＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜X＜μ+2δ）=0.9544．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，直线AB的斜率为，坐标原点O到直线AB的距离为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅰ）设圆O：x2+y2=b2的切线l与椭圆C交于点P，Q，线段PQ的中点为M，求直线l的方程，使得l与直线0M的夹角达到最小．21．设f（x）=（x2﹣x+）e mx，其中实数m≠0．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅰ）若g（x）=f（x）﹣x﹣5恰有两个零点，求m的取值范围．请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]．[选修4-4：坐标系与参数方程]．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以O为原极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=4ρsinθ﹣3（Ⅰ）求曲线C1与曲线C2在平面直角坐标系中的普通方程；（Ⅰ）求曲线C1上的点与曲线C2上的点的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]．23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣2a|（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅰ）若对任意x∈R，不等式f（x）≥a2﹣3a﹣3恒成立，求a的取值范围．2018年重庆市高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题DADBB CCBAB CA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题线上.13．已知向量⊥，||=3，则•=9．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．【解答】解：由⊥，得•=0，即•（）=0，∵||=3，∴．故答案为：9．14．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若，则=9．【考点】等差数列的性质；定积分的简单应用．【分析】先利用定积分求得，再根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵=（x2+x）|02=5，∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为9．15．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得=80，y i=20，x i y i=184，=720．家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程为y=bx+a，若该居民区某家庭的月储蓄为2千元，预测该家庭的月收入为8千元．（附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=﹣b）【考点】线性回归方程．【分析】利用已知条件求出，样本中心坐标，利用参考公式求出b，a，然后求出线性回归方程y=bx+a，通过x=2，利用回归直线方程，推测该家庭的月储蓄．【解答】解：（1）由题意知，n=10，==8，=y i=2，b===0.3，a=﹣b=2﹣0.3×8=﹣0.4，∴线性回归方程为y=0.3x﹣0.4，当y=2时，x=8，故答案为：8．16．已知P点为圆O1与圆O2公共点，圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1，若ac=8，=，则点P与直线l：3x﹣4y﹣25=0上任意一点M之间的距离的最小值为2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把两个圆的方程相减与圆O1联立可得x2+y2=9，令4y﹣3x=t，则y=，代入可得25x2+6tx+t2﹣144=0，由△≥0，可得﹣15≤t≤15，再利用P到直线l的距离为=，即可求出点P与直线l上任意一点M之间的距离的最小值．【解答】解：∵ac=8，=，∴=，故两圆的圆心O1（a，b）、圆心O2（c，d）、原点O三点共线，不妨设==k，则c=，b=ka，d=kc=．把圆O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，圆O2：（x﹣c）2+（y﹣d）2=d2+1相减，可得公共弦的方程为（2c﹣2a）x+（2d﹣2b）y=c2﹣a2，即（﹣2a）x+（﹣2•ka）y=﹣a2，即2（﹣a）x+2k（﹣a）y=（+a）（﹣a），当a≠±2时，﹣a≠0，公共弦的方程为：2x+2ky=+a，即：2ax+2kay=a2+8，即：2ax+2by=a2+8．O1：（x﹣a）2+（y﹣b）2=b2+1，即x2+y2=2ax+2by﹣a2+1，再把公共弦的方程代入圆O1的方程可得x2+y2=9 ①．令4y﹣3x=t，代入①可得25x2+6tx+t2﹣144=0．再根据此方程的判别式△=36t2﹣100（t2﹣144）≥0，求得﹣15≤t≤15．==，故当4y﹣3x=t=﹣15时，点P到直线l：3x﹣4y﹣25=0的距离取得最小值为2．当a=±2时，由条件可得a=c，b=d，此时，两圆重合，不合题意．故答案为：2．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设数列{a n}的各项为正数，且a1，22，a2，24，…，a n，22n，…成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和，若S k≥30（2k+1），求正整数k的最小值．【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）推导出数列{a n}是首项为2，公比为4的等比数列，由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅰ）先求出等比数列{a n}的前n项和S n=，从而得到≥30（2k+1），由此能求出正整数k的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵列{a n}的各项为正数，且a1，22，a2，24，…，a n，22n，…成等比数列，∴，即a2=8，∴，解得a1=2，∴数列{a n}是首项为a1=2，公比为q==4的等比数列，∴．（Ⅰ）∵数列{a n}是首项为2，公比为4的等比数列，∴等比数列{a n}的前n项和S n==，∵S k≥30（2k+1），∴≥30（2k+1），即2×（2k）2﹣90×2k﹣92≥0，解得2k≥46或2k≤﹣1（舍），∴正整数k的最小值为6．18．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=4，BC=，BD⊥AC，垂足为D，E为棱BB1上的一点，BD∥平面AC1E；（Ⅰ）求线段B1E的长；（Ⅰ）求二面角C1﹣AC﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱的结构特征．【分析】（1）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B1E的长．（2）求出平面ACE的法向量和平面ACC1的法向量，利用向量法能求出二面角C1﹣AC﹣E的余弦值．【解答】解：（1）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，D（0，0，0），B（0，，0），B1（0，，4），A（，0，0），C1（﹣，0，4），设E（0，，t），=（0，﹣，0），=（﹣，，t），=（﹣4，0，4），设平面AC1E的法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，，1），∵BD∥平面AC1E，∴=﹣=0，解得t=．∴E（0，，），∴线段B1E的长|B1E|=4﹣=．（2）C（﹣，0，0），=（﹣4，0，0），=（﹣，，），设平面ACE的法向量=（a，b，c），则，取b=15，得=（0，15，﹣），平面ACC1的法向量=（0，1，0），设二面角C1﹣AC﹣E的平面角为θ，cosθ===．∴二面角C1﹣AC﹣E的余弦值为．19．某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y（单位：千元）与该地当日最低气温x（单位：Ⅰ）的数据，如表：x258911y1210887（Ⅰ）求y关于x的回归方程=x+；（Ⅰ）判定y与x之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6Ⅰ，用所求回归方程预测该店当日的营业额．（Ⅰ）设该地1月份的日最低气温X～N（μ，δ2），其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2，求P（3.8＜X＜13.4）附：①回归方程=x+中，=，=﹣b．②≈3.2，≈1.8．若X～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜X＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜X＜μ+2δ）=0.9544．【考点】线性回归方程；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】（I）利用回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（II）根据的符号判断，把x=6代入回归方程计算预测值；（III）求出样本的方差，根据正态分布知识得P（3.8＜X＜13.4）=P（3.8＜X＜10.2）+P（10.2＜X＜13.4）．【解答】解：（I）解：（I）=×（2+5+8+9+11）=7，=（12+10+8+8+7）=9．=4+25+64+81+121=295，=24+50+64+72+77=287，∴==﹣=﹣0.56．=9﹣（﹣0.56）×7=12.92．∴回归方程为：=﹣0.56x+12.92．（II）∵=﹣0.56＜0，∴y与x之间是负相关．当x=6时，=﹣0.56×6+12.92=9.56．∴该店当日的营业额约为9.56千元．（III）样本方差s2=×[25+4+1+4+16]=10，∴最低气温X～N（7，10），∴P（3.8＜X＜10.2）=0.6826，P（0，6＜X＜13.4）=0.9544，∴P（10.2＜X＜13.4）=（0.9544﹣0.6826）=0.1359．∴P（3.8＜X＜13.4）=P（3.8＜X＜10.2）+P（10.2＜X＜13.4）=0.6826+0.1359=0.8185．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，直线AB的斜率为，坐标原点O到直线AB的距离为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅰ）设圆O：x2+y2=b2的切线l与椭圆C交于点P，Q，线段PQ的中点为M，求直线l的方程，使得l与直线0M的夹角达到最小．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意可得A（﹣a，0），B（0，b），求得AB的斜率和方程，运用点到直线的距离公式解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅰ）讨论当直线l的斜率不存在和为0，不为0，设出直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程可得（1+6k2）x2+12ktx+6t2﹣6=0，运用韦达定理和中点坐标公式，由两直线的夹角公式，结合基本不等式，可得最小值，由直线和圆相切的条件：d=r，进而得到直线方程．【解答】解：（I）由题意可得A（﹣a，0），B（0，b），k AB==，直线AB的方程为y=x+b，由题意可得=，解得b=1，a=，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，即有OM⊥l，夹角为90°；当直线l的斜率为0时，不符合题意；设直线l的方程为y=kx+t，代入椭圆方程可得（1+6k2）x2+12ktx+6t2﹣6=0，可得x1+x2=﹣，可得中点M（﹣，），又直线l与圆x2+y2=1相切，可得=1，即1+k2=t2，可得OM的斜率为k'=﹣，直线l和OM的夹角的正切为、|=|﹣k﹣|，当k＜0时，﹣k﹣≥2=，当k=﹣时，夹角取得最小值．求得t2=，解得t=±，可得直线l的方程为y═﹣x±，当k＞0时，可得k=时，夹角取得最小值．求得t2=，解得t=±，可得直线l的方程为y═±x±，使得l与直线0M的夹角达到最小．21．设f（x）=（x2﹣x+）e mx，其中实数m≠0．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅰ）若g（x）=f（x）﹣x﹣5恰有两个零点，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）讨论f（x）的单调性，很容易想到求导数的办法，通过导函数f′（x）的符号判断单调性，注意到导函数中二次函数的部分，判别式的值以及m的符号判断即可．（Ⅰ）g（x）=f（x）﹣x﹣5恰有两个零点，转化为方程有两个解，转化为两个函数有两个交点．判断直线经过的顶点，通过f（x）的导数，曲线的斜率，推出m 的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（x2﹣x+）e mx，其中实数m≠0．可得f′（x）=（mx2﹣x+）e mx，其中实数m≠0．∵e mx＞0，∴f′（x）的符号，只与mx2﹣x+的符号有关．令y=mx2﹣x+，m≠0，△=1﹣4m=﹣7＜0．当m＞0时，y＞0恒成立，此时f′（x）＞0，恒成立．函数在R上是增函数．当m＜0时，y＜0恒成立，此时f′（x）＜0，恒成立．函数在R上是减函数．（Ⅰ）g（x）=f（x）﹣x﹣5恰有两个零点，即f（x）=x+5恰有两个解，也就是f（x）=（x2﹣x+）e mx，与g（x）=x+5有两个交点．因为g（x）=x+5恒过（0，5），当m=1时，f（x）=（x2﹣3x+5）e x，经过（0，5），并且f′（x）=（x2﹣x+2）e x，此时f′（0）=2，g（x）=2x+5的斜率也为2，如图：当m＞1时．两个函数有两个交点．当m∈（0，1）时，f（x）经过（0，），，此时两个函数至多有一个交点．当m＜0时，两个函数都是减函数，m=﹣1时，两个函数的图象如图：m＜﹣1时，两个函数有两个交点．综上，m＜﹣1或m＞1．请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]．[选修4-4：坐标系与参数方程]．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以O为原极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=4ρsinθ﹣3（Ⅰ）求曲线C1与曲线C2在平面直角坐标系中的普通方程；（Ⅰ）求曲线C1上的点与曲线C2上的点的距离的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．（I）曲线C1的参数方程为（α为参数），由x=【分析】=sinα+cosα，两边平方代入即可得出曲线C1的普通方程．曲线C2的极坐标方程为ρ2=4ρsinθ﹣3，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得曲线C2的普通方程．（II）x2+y2﹣4y+3=0配方为：x2+（y﹣2）2=1，圆心C2（0，2），设P（x0，y0）为曲线C1上的任意一点，则y0=，可得|PC|2=+=+，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（α为参数），由x===sinα+cosα，两边平方可得：x2=1+sin2α=y，∴曲线C1的普通方程为y=x2．曲线C2的极坐标方程为ρ2=4ρsinθ﹣3，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得：x2+y2=4y﹣3，∴曲线C2的普通方程为：x2+y2﹣4y+3=0．（II）x2+y2﹣4y+3=0配方为：x2+（y﹣2）2=1，圆心C2（0，2），设P（x0，y0）为曲线C1上的任意一点，则y0=，则|PC|2=+=+=﹣3+4=+，当=时，|PC|min=．∴曲线C1上的点与曲线C2上的点的距离的最小值为﹣1．[选修4-5：不等式选讲]．23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣2a|（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅰ）若对任意x∈R，不等式f（x）≥a2﹣3a﹣3恒成立，求a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，写出分段函数，即可解f（x）＞2的解集；（Ⅰ）先用绝对值三角不等式将问题等价为：f（x）min=|a||≥a2﹣3a﹣3，再分类讨论求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．x≤1时，f（x）=﹣x+1﹣x+2=3﹣2x，由不等式f（x）＞2可得x＜；1＜x＜2时，f（x）=x﹣1﹣x+2=1由不等式f（x）＞2可得x∈∅；x≥2时，f（x）=x﹣1+x﹣2=2x﹣3，由不等式f（x）＞2可得x＞；∴不等式f（x）＞2的解集为（﹣∞，）Ⅰ（，+∞）；（Ⅰ）因为不等式f（x）≥a2﹣3a﹣3对x∈R恒成立，所以，f（x）min≥a2﹣3a﹣3，根据绝对值三角不等式，|x﹣a|+|x﹣2a|≥|（x﹣a）﹣（x﹣2a）|=|a|，即f（x）min=|a|，所以，|a||≥a2﹣3a﹣3，分类讨论如下：①当a≥0时，a≥a2﹣3a﹣3，即a2﹣4a﹣3≤0，∴2﹣≤a≤2+，此时0≤a≤2+；②当a＜0时，﹣a≥a2﹣3a﹣3，即a2﹣2a﹣3≤0，∴﹣1≤a≤3，此时﹣1≤a＜0．综合以上讨论得，实数a的取值范围为：[﹣1，2+]．。
2018年重庆普通高中4月调研测试卷
2018年重庆普通高中4月调研测试卷理科数学第Ⅰ卷（共60分）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z = A. 12i + B. 12i - C. 12i -+ D. 12i --2.已知{}{},|12,|3U R M x x N x x ==-≤≤=≤，则()U C M N =I A. {}|123x x x <-<≤或 B. {}|23x x <≤ C. {}|123x x x ≤-≤≤或 D. {}|23x x ≤≤3.下列说法正确的是A. 1,"1"a R a∈<是"1"a >的必要不充分条件B. “p q ∧”为真命题是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件C. 命题"x R ∃∈,使得2230"x x ++<的否定是 "x R ∀∈,2230"x x ++>D.命题:",sin cos 2"p x R x x ∀∈+≤，则p ⌝是真命题4.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且其图象向左平移3π个单位后得到函数()cos g x x ω=的图象，则函数()f x 的图象 A. 关于直线12x π=对称 B. 关于直线512x π=对称C. 关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称D. 关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称5. 如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数为A. 2B. 3C. 4D. 56. 在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入的x 取值范围是A. (]2,4B. ()2,+∞C. (]4,10D.()4,+∞7.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高，计算其体积V 的近似公式2148V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为4，那么近似公式2175V L h ≈相当于将圆锥体积公式中π的近似取为A. 256B. 258C. 253D.2548.等比数列{}n a 中，181,4a a ==，函数()()()()()123n f x x x a x a x a x a =----L ，若()y f x =的导函数为()y f x '=，则()0f '= A. 1 B. 02 C. 122 D.1529.甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的情况下，甲丙也相邻的概率为A. 110B. 23C. 13D.1410.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为22，若直线()32y x =-+与椭圆交于点M,满足122112MF F MF F ∠=∠，则离心率是A.22B. 31-C.312- D. 3211.点M 为棱长是22的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 的中点，若满足DM BN ⊥，则动点M 的轨迹的长度为 A.252π B. 452π C. 2102π D.4102π12.已知函数()()x xf x x R e=∈，若关于x 的方程()()2111022f x mf x m -+-=恰好有4个不相等的实根，则m 的取值范围是A. 22,2e e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭B. 21,1e e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭C. 21,12e e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ D. 22,22e e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13.在△ABC 中，若31sin 45==∠=A B b ，，π，则=a . 14.正方体1111D C B A ABCD -中，1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为. 15.由直线0323===y x x ，，ππ与x y sin =所围成的封闭图形的面积为 ______.16.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<≥=10ln1ln )(x x x x x x x f ，，，若}{n a 是公比大于0的等比数列，且1543=a a a ，若16212)(...)()(a a f a f a f =+++，则1a = ______ ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin()2sin ()24C A B π-=-．（1）求sin cos A B 的值； （2）若233a b =，求B ．18． 如图，矩形ABCD 中，22AB =，2AD =，M 为DC 的中点，将DAM ∆沿AM 折到'D AM ∆的位置，'AD BM ⊥．（1）求证：平面'D AM ⊥平面ABCM ；（2）若E 为'D B 的中点，求二面角'E AM D --的余弦值．19．“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++，2()P K k≥0．10 0．05 0．025 0．010k2．706 3．841 5．024 6．635（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有X人，超过10000步的有Y人，设||X Yξ=-，求ξ的分布列及数学期望．20．已知,A B分别为椭圆C：22142x y+=的左、右顶点，P为椭圆C上异于,A B两点的任意一点，直线,PA PB的斜率分别记为12,k k．（1）求12,k k；（2）过坐标原点O作与直线,PA PB平行的两条射线分别交椭圆C于点,M N，问：MON∆的面积是否为定值？请说明理由．21．已知曲线2ln ln()x a x af xx++=在点(,())e f e处的切线与直线220x e y+=平行，a R∈．（1）求a的值；（2）求证：()xf x ax e>．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin 2x t y t αα=-+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22244sin cos ρθθ=+． （1）写出曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点P 的直角坐标为1(1,)2-，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求||||PA PB g 的取值范围．23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()|||3|f x x a x a =-+-． （1）若()f x 的最小值为2，求a 的值；（2）若对x R ∀∈，[1,1]a ∃∈-，使得不等式2||()0m m f x --<成立，求实数m 的取值范围．试卷答案2018年普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷 理科数学二填空题○13325○1436○151 ○162e第（15）题解析：函数)(x f 的图象如图所示，结合图象易得，当]1,8[--∈m 时，]2,1[)(-∈x f .第（16）题解析：1122+=++n a a n n ，则12745032999832=+++=++++ΛΛa a a a ，31302932262550136122550100=+=+=-=+=+=-=a a a a a a a ，则1306100=S .三、解答题 （17）解：（Ⅰ）1cos sin 2)sin(1sin 1)2cos(1)sin(=⇒+-=-=--=-B A B A C C B A π，21cos sin =∴B A ； （Ⅱ）332sin sin ==b a B A ，由（Ⅰ）知212sin 33cos sin 332cos sin ===B B B B A ，232sin =∴B ，32π=∴B 或32π，6π=∴B 或3π. （18）解：（Ⅰ）由题知，在矩形ABCD 中，︒=∠=∠45BMC AMD ，︒=∠∴90AMB ，又BM A D ⊥'，⊥∴BM 面AM D '，∴面⊥ABCM 面AM D '；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在平面AM D '内过M 作直线MA NM ⊥，则⊥NM 平面ABCM ， 故以M 为原点，MN MB MA ,,分别为z y x ,,轴的正方向建立空间直角坐标系，则)0,0,0(M ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)1,0,1(D '，于是)21,1,21(E ，)0,0,2(=MA ，)21,1,21(=ME ，设平面EAM 的法向量为),,(z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=0212102z y x x 令1=y ，得平面EAM 的一个法向量)2,1,0(-=m ，显然平面AM D '的一个法向量为)0,1,0(=n ，故51,cos >=<n m ，即二面角D AM E '--的余弦值为55.（19）解：（Ⅰ）841.3114018222020)861214(4022<=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，故没有95%以上的把握认为二者有关；（Ⅱ）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为81，超过10000步的概率为41，且当0==Y X 或1==Y X 时，0=ξ，12551129888464P C =⨯+⋅=；当0,1==Y X 或 1,0==Y X 时，1=ξ，6430854185811212=⋅+⋅=C C P ；当0,2==Y X 或2,0==Y X 时，2=ξ，645)81()41(22=+=P ，即ξ的分布列为：.（20）解：（Ⅰ）设),(00y x P ，则21242220202020000021-=-=-=-⋅+=y y x y x y x y k k ； （Ⅱ）由题知，直线x k y OM 1:=，直线x k y ON 2:=，设),(),,(2211y x N y x M ， 则|)(|21||21||2121211122211221x x k k x k x x k x y x y x S -=⋅-⋅=-=，由212112221442k x xk y y x +=⇒⎩⎨⎧==+， 同理可得2222214k x +=，故有85=ξE 积极型 懈怠型 总计 男 14 6 20 女 8 12 20 总计2218401)(24)2(16214214)(42221222121222122212212+++-+=+⋅+⋅-=k k k k k k k k k k k k S ， 又2121-=k k ，故8)(22)1(164222122212=++++=k k k k S ，2=∴S . （21）解：（Ⅰ）22ln (2)ln ()x a x f x x -+-'=，由题22122(e)3e ea f a -+-'==-⇒=； （Ⅱ）2ln 3ln 3()x x f x x ++=，2ln (ln 1)()x x f x x -+'=，1()01ef x x '>⇒<<， 故()f x 在1(0,)e 和(1,)+∞上递减，在1(,1)e 上递增，①当(0,1)x ∈时，1()()e e ≥f x f =，而33(1)()e e x x x x -'=，故3ex x 在(0,1)上递增， 33e e e x x ∴<<，3()e x x f x ∴>即()3ex f x x >； ②当[1,)x ∈+∞时，2ln 3ln 30033≥x x ++++=，令23()ex x g x =，则23(2)()e x x x g x -'=故()g x在[1,2)上递增，(2,)+∞上递减，212()(2)3e≤g x g ∴=<，223ln 3ln 3e x x x x ∴++>即()3ex f x x >； 综上，对任意0x >，均有()3ex f x x >. （22）解：（Ⅰ）14444cos sin 422222222=+⇒=+⇒=+y x x y θρθρ； （Ⅱ）因为点P 在椭圆C 的内部，故l 与C 恒有两个交点，即R ∈α，将直线l 的参数方程与椭圆C 的直角坐标方程联立，得4)sin 21(4)cos 1(22=+++-ααt t ，整理得 02)cos 2sin 4()sin 31(22=--++t t ααα，则]2,21[sin 312||||2∈+=⋅αPB PA .（23）解：（Ⅰ）|||3||()(3)||2|x a x a x a x a a -+----=≥，当且仅当x 取介于a 和a 3之间的数时，等号成立，故)(x f 的最小值为||2a ，1±=∴a ；（Ⅱ）由（Ⅰ）知)(x f 的最小值为||2a ，故]1,1[-∈∃a ，使||2||2a m m <-成立，即 2||2<-m m ，0)2|)(|1|(|<-+∴m m ，22<<-∴m .。
重庆市2018届高三下学期二模理科数学试题(附解析)
重庆市2018届高三下学期二模理科数学试题（附解析）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}6,5,4,3,2,1=U ，集合{}3,5,1=A ，集合{}Z x x x x B ∈≤--=,0)4)(2(|，则()U A B =ð（ ）A ．{}1,6B ．{}6C ．{}63，D ．{}1,3 2．在复平面内，复数Z 所对应的点的坐标为）（4,3，则ZZ=（ ） A ．i 5453-B ．i 5354-C ．i 5453+D ．i 5354+3．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若6482=-+a a a ，则11=S （ ） A ．132B ．108C ．66D ．不能确定4．某车间为了规划生产进度提高生产效率，记录了不同时段生产零件个数x （百个）与相应加工总时长y （小时）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为05.07.0ˆ+=x y ，则下列结论错误．．的是（ ） A ．加工总时长与生产零件数呈正相关 B ．该回归直线一定过点)5.2,5.3(C ．零件个数每增加1百个，相应加工总时长约增加0.7小时D ．m 的值是2.855．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤=1,4sin 10,2)(x x x x f x π，则=-+)7log 3()2(2f f （ ）A ．87B ．157C ．158D ．2276．某几何体的三视图如图所示，其侧视图为等边三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．3263+πB ．43+πC ．32123+πD ．432+π7．已知25tan 1tan =+αα，)2,4(ππα∈，则)42sin(πα-的值为（ ） A ．1027-B ．102C ．102-D ．1027 8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的2,2==n x ，则输出的=S （ ）A ．8B ．10C ．12D ．229．已知向量b a ,5==+的取值范围是（ ） A ．]5,0[B ．]25,5[C ．]7,25[D ．]10,5[10．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12F F 、，以O 为圆心，12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限相交于点P ，且直线OP 的斜率为3，则椭圆的离心率为（ ）A ．13-B ．213- C ．22 D ．23 11．已知实数b a ,满足不等式1)1(22≤-+b a ，则点)1,1(-A 与点)1,1(--B 在直线01=++by ax 的两侧的概率为（ ） A ．43B ．32C ．21D ．3112．已知函数mx x x x f ++=233)(，)0(,)1ln()(>++=n nx x x g ，若函数)(x f 的图像关于点)1,1(--对称,且曲线)(x f 与)(x g 有唯一公共点，则=+n m （ ）A ．3B ．5C ．7D ．9第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若51(2)(1)ax x++展开式中常数项为12，则实数a 等于 ．14．甲、乙、丙三个同学在看c b a ,,三位运动员进行“乒乓球冠军争夺赛”.赛前，对于谁会得冠军进行预测，甲说：不是b ，是c ；乙说：不是b ，是a ；丙说：不是c ，是b ．比赛结果表明，他们的话有一人全对，有一人对一半错一半，有一人全错，则冠军是 ．15．已知三棱锥ABC P -的外接球的球心为O ，⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，2AB AC ==，1PA =，则球心O 到平面PBC 的距离为 ．16．如图，在平面四边形ABCD 中，ACD ∆的面积为3，132-==BC AB ，，135120=∠=∠BCD ABC ，，则=AD ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）有如下数阵，，，，，)2,2,2()2,2,2()2,2()2(:12154332-+n n n 其中第n 个括号内的所有元素之和记为n a ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令22(1)log (4)n n n n b n a =-⋅+-，求数列{}n b 的前100项和100S ．18．（12分）当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．重庆2018年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分，某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到右边频率分布直方图，且规定计分规则如下表：（1）现从样本的100名学生中,任意选取2人,求两人得分之和不大于35分的概率； （2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数X 服从正态分布),(2σμN ，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差,已知样本方差1692≈S (各组数据用中点值代替)．根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型:（ⅰ）预估全年级恰好有2000名学生时，正式测试每分钟跳182个以上的人数；（结果 四舍五入到整数）（ⅱ）若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．附：若随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，则6826.0)(=+<<-σμσμX P ，)22(σμσμ+<<-X P .9974.0)33(9544.0=+<<-=σμσμX P ，19．（12分）如图，在矩形ABCD 中，点G F E 、、分别为CD 和AB 的三等分点，其中AD AG AB 33==23=，现将ADE ∆和BCF ∆分别沿BF AE ，翻折到AME ∆和BNF ∆的位置，得到一个以、、、、、M F E B A N 为顶点的空间五面体．（1）证明//:MN 平面;ABCD（2）若2=MG ，求平面AME 与平面EGN 所成锐二面角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知两定点11(0,)(0,)33M N -，，平面内的动点P 在y 轴上的射影为1P ，且1||||MN MP NM NP +=+，记点P 的轨迹为C ． （1）求点P 的轨迹方程C ；（2）设点),1,2(),1,0(A F 以A 为圆心，||AF 为半径的圆A 与直线1-=y 相切于点,B 过F 作斜率大于0的直线与曲线C 在第一象限交于点Q ，与圆A 交于点.H 若直线QB QA QH ,,的斜率成等差数列，且E 为QB 的中点，求QFB ∆和QHE ∆的面积比．21．（12分）已知函数()ln ().au x x a R x=-∈ （1）若曲线)(x u 与直线0=y 相切，求a 的值． （2）若,21e a e <<+设,ln |)(|)(xxx u x f -=求证：()f x 有两个不同的零点12,x x ，且 21x x e -<．（e 为自然对数的底数）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线M 的参数方程为12cos 12sin x y ββ=+⎧⎨=+⎩β(为参数),以原点为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为=θα，直线2l 的极坐标方程为=+2πθα．（1）写出曲线M 的极坐标方程，并指出它是何种曲线；（2）设1l 与曲线M 交于C A 、两点，2l 与曲线M 交于D B 、两点，求四边形ABCD 面积的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数)()(R x x x f ∈=．（1）求不等式4)1()1(≤++-x f x f 的解集;M （2）若,,M b a ∈证明.4)()(2:+≤+ab f b a f2018届重庆市高三第二次模拟考试卷数学（理）答案一、选择题． 1-5：BACDB 6-10：ADDBA 11、12：CB二、填空题．13．2 14．C 15．66 16．22三、解答题．17．解：（1）n a =.2421)21(2222121n n n n n n n-=--=++-+ ………… 5分（2）222log (4)(1)(1)n n n n n b a n n n =-+-⋅=+-⋅.10100)14(2)1001(100501100=-++⋅=∴∑=k k S ……………… 12分18．解：（1）两人得分之和不大于35分，即两人得分均为17分，或两人中1人17分，1人18分，;16502921001121626=+=C C C C P ……………… 3分 （2）18508.02101.020030.019034.018012.017006.0160=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X （个）5分 又,13,1692≈≈s S 所以正式测试时，182,13,195=-∴==σμσμ （ⅰ）,8413.026826.011)182(=--=>∴ξP 16836.168220008413.0≈=⨯∴（人） … 7分（ⅱ）由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5，即,125.0)5.01()0(),5.0,3(~303=-⋅==∴C P B ξξ122233333(1)0.5(10.5)0.375,(2)0.5(10.5)0.375,(3)0.50.125;P C P C P C ξξξ==⋅⋅-===⋅⋅-===⋅=∴ξ的分布列为.5.15.03)(=⨯=X E ……… 12分19．解：（1）⊄AB CD AB ,// 平面//,AB EFNM ∴平面,EFNM 又⊂AB 平面,ABNM 平面 ABNM 平面,MN EFNM =;//AB MN ∴⊄MN 平面//,MN ABCD ∴平面.ABCD ……………… 5分（2）取AE 中点,O 连接,,,MG OG MO 由勾股定理逆定理易证,OG MO ⊥O ME MA ,= 为AE 中点，.AE MO ⊥∴又⊥∴=OM O OG AE , 平面,ABCD如图，分别以OM OG OA 、、为z y x 、、轴建立空间直角坐标系 显然平面AME 的一个法向量()0,1,01=n ，)0,0,1(-E ，).0,1,0(G法一：取BF 中点记为H ，由（1）知//MN 平面,ABCD 故N 到平面ABCD 的距离,1===NH OM dN 在平面ABCD 的射影与H 重合，易得点N 的坐标为).1,2,2(-法二：连接,,HN OH 由（1）知,//AB MN 又,//,//OH MN AB OH ∴ 由 ,552cos cos =∠=∠HMN MHO 可得,22=MN 即OHNM 为矩形． N 在平面ABCD 的射影与H 重合，易得点N 的坐标为).1,2,2(-法三：由最小角定理可得,3,21cos cos cos π=∠∴=∠∠=∠MAB EAG MAO MAB可得,2AG MN =().1,2,22-=+=+=∴AG OM MN OM ON设平面EGN 的一个法向量为()),1,2,1(),0,1,1(,,,2-===z y x n则有⎩⎨⎧=++-=+020z y x y x ，可取().3,1,12-=n设平面AME 与平面EGN 所成锐二面角为θ .1111cos cos ==∴θ…… 12分 20．解：（1）设(,)P x y ，则1(0,)P y121(0,)(0,)(0,1)33MN MP y y ∴+=++=+，21(0,)(,)(,1)33NM NP x y x y +=-+-=- 由1||||MN MP NM NP +=+可得222(1)(1)y x y +=+-即24x y =．24C x y ∴=的轨迹方程为：． ……… 4分 （2）设2(,)4t Q t ，由2,QF QB QA k k k +=得222111444222t t t t t t -+-+=--，得2t =+t =舍) Q ∴,1,QF k =………… 8分90QFB ∴∠=且易得(2,3)H ，11(31)422QFB S FQ FB ∴=⋅=⋅+⋅+……………… 10分 又1112222222QHE QHB S S HB ∆∆===，: 2.QFB QHE S S ∴==…… 12分 21．解：（1）设切点)0,(0x P ,)('2x x a x u -+=.,002x a x x a k -=∴=-+=∴ 又切点在函数)(x u 上，,0)(0=∴x u 即,1ln 0ln 000-=⇒=-x x x a.1,10ea e x -=∴=∴ ……………… 4分（2）证明:不妨设12x x <， 21()0a u x x x'=--<，所以()u x 在(0,)+∞上单调递减， 又()10,(2)ln 202a au e u e e ee=->=-<， 所以必存在0(,2)x e e ∈，使得0()0u x =，即,ln 00x x a =⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<--=∴00,ln ln 0,ln ln )(x x x x x a x x x x x x x ax f ． 6分①当00x x <≤时，222211ln ln (1)1(1)()0a x x x a x x a f x x x x x x---+---+'=---=≤<， 所以()f x 在区间0(0,]x 上单调递减，注意到1()10a f e ee=-->，00000ln ln ()ln 0x x a f x x x x x =--=-<所以函数()f x 在区间0(0,]x 上存在零点1x ，且10e x x <<． ………… 9分 ②当0x x >时,22211ln ln (1)()0a x x x a f x xx x x -++-'=+-=> 所以()f x 在区间0(,)x +∞上单调递增，又0ln ln ln )(0000000<-=--=x x x x x a x x f ， 且ln 21ln 241411(2)ln 2ln 21ln 20222252522a e f e e e e e e e e e=-->--->->->， 所以()f x 在区间0(,2)x e 上必存在零点2x ，且022x x e <<．综上，()f x 有两个不同的零点1x 、2x ，且21212x x x x e e e -=-<-=． ……… 12分22．解：（1）由12cos 12sin x y ββ=+⎧⎨=+⎩（β为参数）消去参数β得：22(1)(1)4x y -+-=，将曲线M 的方程化成极坐标方程得：2-2(sin cos )20ρρθθ+-=， ∴曲线M 是以)1,1(为圆心,2为半径的圆． …………… 5分（2）设12||,||OA OC ρρ==，由1l 与圆M 联立方程可得22(sincos )20ρραα-+-=1212+=2(sin cos )=2ρρααρρ∴+⋅-，，∵O ，A ，C 三点共线，则12||||AC ρρ=-==①， ∴用+2πα代替α可得||BD =, 121,=2ABCD l l S ⊥∴⋅四边形2sin 2[0,1]ABCD S α∈∴∈四边形． ……………… 10分23．解：（1）2,1112,112,1x x x x x x x -<-⎧⎪-++=-≤<⎨⎪≥⎩由];2,2[411-=⇒≤++-M x x ……………… 5分 （2）法一：要证42+≤+ab b a ，只需证()()2244a b ab +≤+，即证()222484816a ab b ab ab ++≤++，ab ab 88≤只需证()2224416a b ab +≤+，即证()()22440a b --≥由（1）,2,2≤≤b a ：上式显然成立，故原命题得证． 法二：b a b a +≥+ ，∴要证42+≤+ab b a 只需证422+≤+ab b a ，即证()()220a b --≥ 由（1）,2,2≤≤b a ：上式显然成立，故原命题得证．。
2018年4月2018届高三第二次全国大联考(新课标Ⅲ卷)理数卷(考试版)
………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
绝密★启用前|学科网试题命制中心
2018 年第二次全国大联考【新课标Ⅲ卷】
理科数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。
………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
…
学 校 ： ______________姓 名 ： _____________班 级 ： _______________考 号 ： ______________________
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的）
1
A．
4 7
C．
8
3
B．
4 8
D．
125
5．函数 f (x) x2 sin x 在[, ] 上的图象大致是
6．已知在 (x 3 )n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为 64，则 (x2 3 )n 的展开式中含
x
xx
x5 的项的系数是
A． 540 C．135
2018届重庆市江津中学校高三4月月考数学(理)试题(解析版)
2018届重庆市江津中学校高三4月月考数学（理）试题（解析版）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意可知：，则 .本题选择D选项.2. 已知集合，则（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】故选C。
3. 等差数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵等差数列的前项和为，且，解得故选B．【点睛】本题考查等差数列的第二项的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的通项公式的合理运用．4. 执行如图的程序框图，则输出的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意可知：该程序框图计算的问题可转换为如下的数列问题：已知中，，有递推关系：，求的值.该数列为周期为3的周期数列，且，输出值为： .本题选择D选项.5. 已知实数满足不等式组，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】的最大值为故选6. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在长方体中抠点,1.由正视图可知:上没有点;2.由侧视图可知:上没有点;3.由俯视图可知:上没有点;4.由正（俯）视图可知:处有点,由虚线可知处有点,点排除.由上述可还原出四棱锥,如右图所示,,,故选.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响7. 某中学为提升学生的英语学习能力，进行了主题为“听”、“说”、“读”、“写”四场竞赛.规定：每场竞赛的前三名得分分别为（，且），选手的最终得分为各场得分之和.最终甲、乙、丙三人包揽了每场竞赛的前三名，在第四场竞赛中，已知甲最终得分为分，乙最终得分为分，丙最终得分为分，且乙在“听”这场竞赛中获得了第一名，则“读”这场竞赛的前三名是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 甲和丙都有可能【答案】B【解析】总分为，∴，只有种可能或，若、、分别为、、时，若乙在“听”中得第名，得分，即使他在剩下三场比赛中都得第名，得分，不符合要求，故、、分别为、、，乙的得分组成只能“听”、“说”、“读”、“写”分别得分、、、分，即乙在“听”这场竞赛中获得了第一名，其余均为第三名，由于甲得分为分，其得分组成只能是“听”、“说”、“读”、“写”分别得分、、、分，在“听”比赛中甲、乙、丙三人得分分别为、、分，故获得第三名的只能是丙，故选．【思路点睛】本题主要考查推理案例，属于难题.推理案例的题型是高考命题的常见题型，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件间的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.8. 将某商场某区域的行走路线图抽象为一个的长方体框架（如图），小红欲从处行走至处，则小红行走路程最近的路程共有（）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】B【解析】根据题意，最近路线，那就是不能走回头路，不能走重复的路；所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次；因为不能连续向上,所以先把不向上的次数排列起来,也就是2次向左和2次向前全排列，因为2次向左是没有顺序的,所以还要除以，同理2次向前是没有顺序的,再除以，接下来,就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中5个位置排三个元素,也就是，则共有种；本题选择C选项.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．9. （）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选A.10. 如图，半径为的扇形中，是弧上的一点，且满足分别是线段上的动点，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵扇形的半径为1∴∵∴∵∴∴故选C点睛：（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题；（3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.11. 如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆，过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设抛物线的方程则，∴抛物线的标准方程焦点坐标由直线过抛物线的焦点，则圆圆心，半径1，|的最小值为23，故选A．12. 已知实数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，若实数满足，，则有当且仅当①时等号成立，则有令导数为当时，函数单调递减；时，函数单调递增，可得即有则可得即②由①②可得则故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，且，则等于__________．【答案】【解析】根据题意，则，又由，则有即，化简可得，即；故答案为．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，其中解题的关键是利用向量平行的坐标表示方法求出关于三角函数式．14. 在展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式中常数项是__________．【答案】【解析】易知通项，当时，常数项为．点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.15. 下图是两个腰长均为的等腰直角三角形拼成的一个四边形，现将四边形沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的体积为__________．【答案】【解析】由题设可将该三棱锥拓展成如图所示的正方体，则该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，由于正方体的对角线长为，即球的半径，该球的体积，应填答案。
重庆市2017-2018学年高考数学二诊试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年重庆市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．设集合A={x||x|＜3}，B={x|2x＞1}，则A∩B=（）A．（﹣3，0）B．（﹣3，3）C．（0，3）D．（0，+∞）2．已知为纯虚数，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．3．设单位向量，的夹角为，=+2，=2﹣3，则在方向上的投影为（）A．﹣B．﹣C．D．4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2﹣c2=ab=，则△ABC 的面积为（）A．B．C．D．5．在区间[1，4]上任取两个实数，则所取两个实数之和大于3的概率为（）A．B．C．D．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2C．D．37．执行如图所示的程序框图，若输入t的值为5，则输出的s的值为（）A．B．C．D．8．若直线y=ax是曲线y=2lnx+1的一条切线，则实数a=（）A．e﹣B．2e﹣C．e D．2e9．设x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．a≥1 C．﹣1≤a≤1 D．a≥1或a≤﹣110．已知双曲线﹣=1的离心率为，过右焦点的直线与两条渐近线分别交于A，B，且与其中一条渐近线垂直，若△OAB的面积为，其中O为坐标原点，则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．2D．211．设正三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，BC=1，E、F分别是AB，BC的中点，EF⊥DE，则球O的半径为（）A．B．C．D．12．设D，E分别为线段AB，AC的中点，且•=0，记α为与的夹角，则下述判断正确的是（）A．cosα的最小值为B．cosα的最小值为C．sin（2α+）的最小值为D．sin（﹣2α）的最小值为二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分.13．若（+）4展开式的常数项和为54，且a＞0，则a=______．14．将函数y=sinx+cosx的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再向上平移1个单位后，所得图象经过点（，1），则φ的最小值为______．15．设函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，f（3）=0，且g（x）=f（x+1）为偶函数，则不等式g（2﹣2x）＜0的解集为______．16．过直线l：x+y=2上任意点P向圆C：x2+y2=1作两条切线，切点分别为A，B，线段AB 的中点为Q，则点Q到直线l的距离的取值范围为______．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设数列{a n}的各项为正数，且a1，22，a2，24，…，a n，22n，…成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为等比数列{a n}的前n项和，若S k≥30（2k+1），求正整数k的最小值．18．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=4，BC=，BD⊥AC，垂足为D，E为棱BB1上的一点，BD∥平面AC1E；（Ⅰ）求线段B1E的长；（Ⅱ）求二面角C1﹣AC﹣E的余弦值．19．某火锅店为了了解气温对营业额的影响，随机记录了该店1月份中5天的日营业额y（单x（单位：℃）的数据，如表：（Ⅰ）求y关于x的回归方程=x+；（Ⅱ）判定y与x之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6℃，用所求回归方程预测该店当日的营业额．（Ⅲ）设该地1月份的日最低气温X～N（μ，δ2），其中μ近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2，求P（3.8＜X＜13.4）附：①回归方程=x+中，=，=﹣b．②≈3.2，≈1.8．若X～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜X＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜X＜μ+2δ）=0.9544．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，直线AB的斜率为，坐标原点O到直线AB的距离为．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设圆O：x2+y2=b2的切线l与椭圆C交于点P，Q，线段PQ的中点为M，求直线l的方程，使得l与直线0M的夹角达到最小．21．设f（x）=（x2﹣x+）e mx，其中实数m≠0．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若g（x）=f（x）﹣x﹣5恰有两个零点，求m的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]．22．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AH⊥CD于H，BD交AH于P，且PC⊥BC （Ⅰ）求证：A，B，C，P四点共圆；（Ⅱ）若∠CAD=，AB=1，求四边形ABCP的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以O为原极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=4ρsinθ﹣3（Ⅰ）求曲线C1与曲线C2在平面直角坐标系中的普通方程；（Ⅱ）求曲线C1上的点与曲线C2上的点的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣2a|（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若对任意x∈R，不等式f（x）≥a2﹣3a﹣3恒成立，求a的取值范围．2017-2018学年重庆市高考数学二诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
【高三数学试题精选】2018高三数学理第二次质量调研抽测试题(重庆市附答案)
所以椭圆的方程为…………………………………………………………………5分
（2）设，联立方程，得，
解得，
所以，，……………………7分
∴，
分子
……………………………10分
∴,∴．…………………………………………………………12分
21（1）因为,由题意可知在上恒成立
得，……………………………………………………………………2分
令,，
解得在单调递增，单调递减,所以,
所以………………………………………………………………………………………………4分
(2)函数有两个极值点,
即有两个不同的零点,且均为正，
令,由可知
在是增函数，在是减函数，……………………………………………6分
22解（1）曲线，……………………………………………………………1分
把，，代入，
得，
化简得，曲线的极坐标方程为，…………………………………………………3分
曲线的极坐标方程为，
所以曲线的普通方程为…………………………………………………5分
（2）依题意可设
所以，…………………………………………………………………………………6分
2018高三数学理第二次质量调研抽测试题（重庆市附答案）
5
高5不等式选讲】(本小题满分10分）
已知函数
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）设为正实数，且，其中为函数的最大值，求证
高2018届高三学业质量调研抽测（第二次）
理科数学答案
一、选择题
1—5ABDAD 6—10BBccc 11—12BA
二、填空题
13 14 20 15 16
重庆市2018届高三4月调研(二诊考试)考试数学(理)试卷(含答案)
18．(本小题满分 12 分）
据调查显示，某高校 5 万男生的身
高服从正态分布 N 168，9 ，现从
该校男生中随机抽取 40 名进行身 高测量，将测量结果分成 6 组：
[157，162) ， 162，167 ，
理科数学试题卷 第 4 页 共 6 页
积为
A． 3(8 ) 6
B． 5 3 3
C． 3(4 ) 3
D． 3(4 3 ) 3
理科数学试题卷 第 1 页 共 6 页
5．在 ABC 中，角 A, B,C 所对应的边分别是 a,b, c ，若 (a b)(sin A sin B)
c(sin C 3 sin B) ，则角 A 等于
x1 x2
A.2,
B. , 2
C.
9 4
,
)
D.
0,
9 4
二、填空题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填写在答题卡相 应位置上．
13 ． 已知向 量 a ， b 满足 a 3 ， b 8 ， a b a 3 ， 则 a 与 b 的 夹 角
的成绩与甲不一样，在 A 组中的那位的成绩比丙低，在 B 组中的那位的成绩
比乙低．若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确
的是
A．甲、丙、乙
B．乙、甲、丙
C．乙、丙、甲
D．丙、乙、甲
9．已知圆 C : x2 y2 2x 2 3y 3 0 ，点 A0,m (m 0) ， A、B 两点关
为圆心的圆与双曲线 C 在第一象限交于点 P ，直线 PF1 恰与圆 F2 相切于点
P ，与双曲线左支交于点 Q ，且 PQ 2 F1Q ，则双曲线的离心率为
2018年高考理科数学4月调研测试卷(附参考答案)
2018年普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷 理科数学理科数学测试卷共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设全集U R =，集合{1012}A =-， ， ， ，2{|log 1}B x x =<，则()U A B =I （A ）{12}，（B ）{102}-， ，（C ）{2}（D ）{10}-，（2）复数z 满足(12i)3i z +=+，则=z（A ）1i - （B ）1i +（C ）1i 5- （D ）1i 5+ （3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若73=a ，123=S ，则=10a（A ）10 （B ）28（C ）30（D ）145（4）“1cos 22α=”是“ππ()6k k Z α=+∈”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知定义域为I 的偶函数()f x 在(0)+∞， 上单调递增，且0x I ∃∈，0()0f x <，则下列函数中符合上述条件的是（A ）2()||f x x x =+（B ）()22x xf x -=-（C ）2()log ||f x x =（D ）43()f x x-=（6）已知向量a r ，b r 满足||3a b -=r r 且(01)b =-r ， ，若向量a r 在向量b r 方向上的投影为2-，则||a =r（A ）2 （B）（C ）4（D ）12（7）中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“ ”处应填入 （A ）221a Z -∈ （B ）215a Z -∈ （C ）27a Z -∈（D ）23a Z -∈C（8）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3AD =，两个圆的半径都是1，且圆心12O O ，均在对方的圆周上，在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为 （A（B（C）10π36-（D）8π36（9）设函数6cos y x =与5tan y x =的图象在y 轴右侧的第一个交点为A ，过点A 作y 轴的平行线交函数sin 2y x =的图象于点B ，则线段AB 的长度为（A（B（C（D）（10）某几何体的三视图如图所示，其正视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是 （A ）18 （B）8+（C ）24（D）12+（11）已知双曲线22221(00)x ya b a b-=>>， 的左右焦点分别为12F F ， ，点P 在双曲线的左支上，2PF 与双曲线 的右支交于点Q ，若1PF Q ∆为等边三角形，则该双曲线的离心率是 （A（B ）2（C（D（12）已知函数()ln f x x a =+，()1g x ax b =++，若0x ∀>，()()f x g x ≤，则ba的最小值是 （A ）1e +（B ）1e -（C ）1e -（D ）12e -第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
高三数学-2018届重庆市高三联合诊断性考试(第二次)(文)答案 精品
2018届重庆市高三联合诊断性考试（第二次）数学试题参考答案及评分标准（文科）一、选择题：（本大题10个小题，每小题5分，共50分）DABAC ， CDBBD二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）11．140； 12．1； 13．18x =；14．3，6； 15．2π； 16．()2112f x x x =+-三、解答题：（本大题6个小题，共76分） 17．（13分）解：由396,,a a a 成等差数列，可得3692a a a +=…………………………（1分） 即2583693611112 0, 12 2a q a q a q a q q q q q q +=≠∴+=∴=+（3分）当1q ≠时()()()()()()363636111136991192111111112221 =211a q q a q a q a q q S S q qqqa qa q Sq q⎡⎤-+---+-⎣⎦+=+==------==--所以396,,S S S 成等差数列……………………………………………………（9分） 当1q =时3611191369,229,S S a a a S a +=+==⨯而……………………………………（11分） 1369 0 2a S S S ≠∴+≠所以396,,S S S 不成等差数列。
……………………………………………（13分） 18．（13分）解：（Ⅰ）()()()2cos ,1cos 2f x a b x x x m =⋅=⋅+2 2cos 21cos22x x m x x m =+=++2sin 216x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭………………………………………………（4分）∴函数()f x 的最小正周期22T ππ==……………………………………（5分）在[]0,π上的单调增区间为：0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦或2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………………………（7分）（Ⅱ）∵0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴当6x π=时，()f x 取最大值为：3m +；当0x =时，()f x 取最小值为2m +（9分）由题意知34-71, , -61-6224m m m m m ⎧+<<<⎧⎪∴∴<<⎨⎨<<+<⎩⎪⎩…………（13分） 19．（12分）解：（Ⅰ）甲队获胜的概率为：328327P ⎛⎫== ⎪⎝⎭甲……………………（3分） 乙队获胜的概率为：81912727P =-=乙………………………………（6分） （Ⅱ）由题设可知，第5局必为乙队获胜，………………………（8分）∴ 乙队以3∶2获胜的概率为2224121833381P C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………（12分）20．（12分） 解法1：（Ⅰ）∵,PB ABCD CD PD ⊥⊥底面，∴由三垂线定理得CD BD ⊥（2分） 在直角梯形 ,3ABCD AB AD ==中，∴ABD 为等腰直角三角形， 故BCD 为等腰直角三角形，∴6BC =…………………………（4分） 取BC 中点F ，连结PF ，AF ，则AF CD∴异面直线PA 和CD 所成的角就是PA 和AF 所成的角PAF ∠……（6分）在PAF AF PA PF ===中， 60PAF ∴∠=︒即异面直线PA 和CD 所成的角是60︒。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018年普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，，则（）
A. B. C. D.
2. 复数满足，则（）
A. B. C. D.
3. 设等差数列的前项和为，若，，则（）
A. B. C. D.
4. “”是“”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 已知定义域为的偶函数在上单调递增，且，，则下列函数中符合上述条件的是（）
A. B.
C. D.
6. 已知向量，满足且，若向量在向量方向上的投影为，则（）
A. B. C. D.
7. 中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“”处应填入（）
A. B. C. D.
8. 如图，在矩形中，，，两个圆的半径都是1，且圆心，均在对方的圆周上，在矩
形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）
A. B. C. D.
9. 设函数与的图象在轴右侧的第一个交点为，过点作轴的平行线交函数的图象于点，则线段的长度为（）
A. B. C. D.
10. 某几何体的三视图如图所示，其正视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是（）
A. B. C. D.
11. 已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，点在双曲线的左支上，与双曲线的右支交于点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
12. 已知函数，，若，，则的最小值是（）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测，对这100件产品随机编号后分成5组，第一组号，第二组号，…，第五组号，若在第二组中抽取的编号为24，则在第四组中抽取的编号为__________．
14. 已知实数，满足若目标函数在点处取得最大值，则实数的取值范围为
__________．
15. 根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门决定派出五位相关专家对三个贫困地区进行调研，每个地区至少派遣一位专家，其中甲、乙两位专家需要派遣至同一地区，则不同的派遣方案种数为__________（用数字作答）．
16. 设集合，，记，则点集所表示的轨迹长度为__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 设函数．
（1）求的单调递减区间；
（2）在中，若，，求的外接圆的面积．
18. 重庆市推行“共享吉利博瑞车”服务，租用该车按行驶里程加用车时间收费，标准是“1元/公里0.2元/分钟”．刚在重庆参加工作的小刘拟租用“共享吉利博瑞车”上下班，同单位的邻居老李告诉他：“上下班往返总路程虽然只有10公里，但偶尔开车上下班总共也需花费大约1小时”，并将自己近50天的往返开车的花费时间情况统计如表：
将老李统计的各时间段频率视为相应概率，假定往返的路程不变，而且每次路上开车花费时间视为用车时间．
（1）试估计小刘每天平均支付的租车费用（每个时间段以中点时间计算）；
（2）小刘认为只要上下班开车总用时不超过45分钟，租用“共享吉利博瑞车”为他该日的“最优选择”，小刘拟租用该车上下班2天，设其中有天为“最优选择”，求的分布列和数学期望．
19. 如图，在三棱柱中，，平面，侧面是正方形，点为棱的中点，
点、分别在棱、上，且，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
20. 椭圆：的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，，为椭圆上的
动点（不与，重合），且直线与的斜率的乘积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作两条互相垂直的直线与（均不与轴重合）分别与椭圆交于，，，四点，线段、
的中点分别为、，求证：直线过定点，并求出该定点坐标．
21. 已知函数，（，）.
（1）若，，求函数的单调区间；
（2）若函数与的图象有两个不同的交点，，记，记，分别是，
的导函数，证明：．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的极坐标方程和的直角坐标方程；
（2）记曲线和在第一象限内的交点为，点在曲线上，且，求的面积．
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）若关于的不等式有解，求实数的取值范围；
（2）若正实数，满足，当取（1）中最大值时，求的最小值．。