第六章 势流理论

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第六章势流理论

课堂提问:

为什么上弧旋与下弧旋乒乓球的应对方法不同?

本章内容:

1.势流问题求解的思路

2.库塔----儒可夫斯基条件

3. 势流的迭加法

绕圆柱的无环绕流,绕圆柱的有环绕流

4.布拉休斯公式

5.库塔----儒可夫斯基定理

学习这部分内容的目的有二:

其一,获得解决势流问题的入门知识,即关键问题是求解速度势。求出速度势之后,可按一定的步骤解出速度分布、压力分布,以及流体和固体之间的作用力。

其二,明确两点重要结论:

1)园柱体在理想流体中作等速直线运动时,阻力为零(达朗贝尔疑题);升力也为零。

2)园柱本身转动同时作等速直线运动时,则受到升力作用(麦格鲁斯效应)。

本章重点:

1、平面势流问题求解的基本思想。

2、势流迭加法

3、物面条件,无穷远处条件

4、绕圆柱有环流,无环流流动的结论,即速度分布,压力分布,压力系数分布,驻点位

置,流线图谱,升力,阻力,环流方向等。

5、四个简单势流的速度势函数,流函数及其流线图谱。

6、麦马格鲁斯效应的概念

7、计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理

8、附加惯性力,附加质量的概念

本章难点:

1.绕圆柱有环流,无环流流动的结论,即速度分布,压力分布,压力系数分布,驻点位置,流线图谱,升力,阻力,环流方向等。

2.任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理

3.附加惯性力,附加质量的概念

§6-1 几种简单的平面势流

平面流动:平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面,无垂直于该平面的

分量;与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。

例如:

1)绕一个无穷长机翼的流动,

2)船舶在水面上的垂直振荡问题,由于船长比宽度及吃水大得多,且船型纵向变化比较缓慢,可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动。如果我们在船长方向将船分割成许多薄片,并且假定绕各薄片的流动互不影响的话,则这一问题就可以按平面问题处理。这一近似方法在船舶流体力学领域内称为切片理论。 一、均匀流

流体质点沿x轴平行的均匀速度Vo ,

V x=V o , V y =0

平面流动速度势的全微分为

dx V dy V dx V dy y

dx x d y x 0=+=∂∂+∂∂=

ϕϕϕ

积分: φ=Vox (6-4)

流函数的全微分为,

dy V dy V dx V dy y

dx x d o x y =+-=∂∂+∂∂=

ψψψ 积分: ψ=Vo y (6-5)

由(6-4)和(6-5)可得: 流线:y=const ,一组平行于x轴的直线。 等势线:x=const ,一组平行于y轴的直线。 均匀流的速度势还可用来表示平行平壁间的

流动或薄平板的均匀纵向绕流,如图6-4所示。

图6-4

二、源或汇

平面源:流体由坐标原点出发沿射线流出,反之,流体从各个方向流过来汇聚于一点,谓之平面汇:与源的流动方向相反。

设源的体积流量为Q,速度以源为中心,沿矢径方向向外,沿圆周切线方向速度分量为零。现以原点为中心,任一半径r作一圆,则根据不可压缩流体的连续性方程, 体积流量Q

2πrvr=Q

∴vr=Q/2πr (6-6)

在直角坐标中,有

x y V y

x V y x ∂∂-

=∂∂=∂∂=∂∂=

ψϕψϕ

在极坐标中有:

r r s V r s r V s r ∂∂-

=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=

ψθϕϕθψψϕ11 (6-7) 极坐标中φ和ψ的全微分:

θ

πψπϕθ

π

θθθψψψπθθθϕϕϕ2ln 222Q r

Q d Q d rV dr V d dr r d dr r Q d rV dr V d dr r d r s s r ===+-=∂∂+∂∂==+=∂∂+∂∂=

(6-8)

流线:为θ=const ,从原点引出的一组射线;等势线为r=const ,就是和流线正交的一组

同心圆。

由(6-6)式可看出,当Q>0,则vr>0,坐标原点为源点; 如果Q<0,则vr<0,流体向原点汇合,

图6-7 扩大壁面和源的互换性乃是汇点。 源(汇)的速度势,还适用于扩大(收缩), 渠道中理想流体的流动。

图6-7

三、偶极子

偶极流:流量相等的源和汇无限靠近,且随着其间距δx→0,其流量Q→∞,且Qδx→

M(δx→0) (6-9)

则这种流动的极限状态称为偶极子,M称为偶极矩。 用迭加法求φ和ψ。

)ln (ln 22121r r Q

-+

+=π

ϕϕϕ 由图6-8 (a)所示: 121cos θδx r r +≈

因此

)cos 1ln(2cos ln 2ln 2)ln (ln 22

22

2

22

1

2121r x Q

r x r Q r r Q r r Q θδπθδπππϕϕϕ+=

+==-+

+=

图6-8 (a)

式中z=δxcosθ1r2是个小量,我们利用泰劳展开式

将φ展开并略去δx二阶以上小量得

当δx→0时,Qδx→M,θ1→θ,r2→r。其中r,θ为A点的极坐标,这样便可从 上式得到偶极子的速度势为

(6-10)

直角坐标有

2

22y x x

M +=

πϕ (6-11)

对于流函数: )(2)(22121δθπ

θθπψψψQ Q =-+

+= 图6-8(a)三角形BCD:r2δθ=δxsinθ1,有

2

1

sin r x θδδθ=

所以 2

sin 2r x M θ

δπψ=

nθr2当δx→0时,Qδx →M,r2→r,θ1→θ,所以

r

M θ

πψsin 2-

= (6-12)

直角坐标有 2

22y x y

M +-

=πψ (6-13)

令ψ=C 即得流线族: c y

x y

M =+-

2

22π 或

12

2c y x y

=+

即 01

2

2=-

+c y

y x 配方后得 21

212

41

)21(c c y x =-+ (6-14) 图6-10(b) ⋅

⋅⋅⋅-+-=+3

2)1ln(3

2z z z z r

M θπϕcos 2=

2

1cos 2r x Q θδπϕ≈

图6-8(b )

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