对偶单纯形法+灵敏度分析讲解

0 CN -CB B-1 N -CB B-1
也就是：单纯形法计算时只要原问题可行（B-1b ≥ 0），对偶问 题可行（即检验数小于0），解就是最优解。单纯形法的基本过 程就是保证原问题解可行的情况下，不停迭代，直至对偶问题也 达到可行，此时原问题达到最优，对偶问题也达到最优
第四节 对偶单纯形法
根据刚才所说，单纯形法只要单纯形法计算时只要原问 题可行（B-1b ≥ 0），对偶问题可行（即检验数小于 0），解就是最优解。所以，我们利用单纯形法对原问 题求解时，如果首先保持对偶问题的可行性（即原问题 检验数≤0），然后再看原问题是否可行，如果此时原 问题的解不可行，则换基迭代，换基过程中保证对偶可 行（检验数≤0 ），直至原问题由不可行解变为可行解， 此时就得到它的最优解，——这就是对偶单纯形法的基 本思想。
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第四节 对偶单纯形法
怎么做呢？
① 先找一个基，建立初始对偶单纯形表，使检 验数全部非正，即C全部为非正； ② 若b列元素非负，则已经是最优基。反之， 则换基迭代，直至原问题可行。
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第四节 对偶单纯形法
例 用对偶单纯形法求解
maxZ x1 4x2 3x4
单纯形表
cj
CB XB b 0 x4 -3 0 x5 -4
cj-zj
θ
0 x4 -2 x1
cj-zj
θ -3 x2 -2 x1
cj-zj
-1 2
2/5 11/5
-2 -3
x1
x2
-1
-2
-[ 2 ]
1
-2
-3
1
-
0
[-5/2]
1
-1/2
0
-4
-
8/5
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1
0
0
0
-4
00
x3
x4
x5
-1 1
0
-3 0 1
0
x1 x2 x3 x4 x5 x6 -1 -2 1 - 1 1 0 2 1 -4 -1 0 1 -1 -4 0 -3 0 0


mi
n

1 1
,

4 2
,

3 1

1
cj
-1 -4 0 -3 0 0
CB XB b -1 x1 3 0 x6 -8
3
x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 2 - 1 1 -1 0 0 -3 -2 -3 2 1 0 -2 -1 -2 -1 0
也就是说：对偶单纯形法是在保持原问题所有检验数 都小于等于零的基础上，通过迭代，使原问题的解（即 右边常数项）都大于等于零，从而求得最优解。
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第四节 对偶单纯形法
使用对偶单纯形法必须满足两个条件： （1）单纯形表中的所有检验数必须符合对偶可行，即 小于等于0
（2）初始解不可行，即右端常数项有负分量（如果原 问题可行，则直接用单纯形法）
x1 x2 x3 x4 x5 x6 -1 -2 1 - 1 1 0 2 1 -4 -1 0 1 -1 -4 0 -3 0 0
初始对 偶单纯 形表
此时，初始单纯形表检验数均小于等于0，对偶可行，但原问
题初始解不可行
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先选出基变量
后选进基变量cj
-1 -4 0 -3 0 0
CB XB b 0 x5 -3 0 x6 -2
原问题不 可行，应 该换基迭 代。但按 对偶单纯 形法的思 想，每次 均应保证 检验数均 非正
cj
CB XB b -1 x1 3 0 x6 -8
3
-1 -4 0 -3 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 2 - 1 1 -1 0 0 -3 -2 -3 2 1 0 -2 -1 -2 -1 0
在实际生产过程中，上述三类因素均是在不断变化 的，如果按照初始的状况制订了最佳的生产计划，而在计 划实施前或实施中上述状况发生了改变，则决策者所关心 的是目前所执行的计划还是不是最优，如果不是应该如何 修订原来的最优计划。更进一步，为了防止在各类状况发 生时，来不及随时对其变化作出反应，即所谓“计划不如 变化快”，企业应当预先了解，当各项因素变化时，应当 作出什么样的反应。
-1 x1 7 0 x3 4
7
1 7/2 0 5/2 -2 -1/2 0 3/2 1 3/2 -1 -1/2 0 -1/2 0 -1/2 -2 -1/2
最优解 X*=（7，0，4， 0）T
Z*=-7
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例6 用对偶单纯形法求解
min w 2x1 3x2 4x3
（P）
x1 2x2 x3 3 2x1 x2 3x3 4
j1

x
j

0
（j 1,
, m） , n）
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一、含义和研究对象
2、灵敏度分析的研究对象：
• 目标函数的系数 cj 变化对最优解的影响； • 约束方程右端系数 bi 变化对最优解的影响； • 约束方程组系数矩阵 A 变化对最优解的影响 ；
①这些系数在什么回范答两围个内问题发：生变化时，最优解不变？ ②系数变化超出上述范围，如何用最简便的方法求出 新的最优解？
项目
非基变量
XB XN
0 XS b B N
Cj-Zj
CB CN
基变量 XS I 0
项目
CB
CN
0
基变量
非基变量
XB
XN
XS
CB XB B-1 b
I B-1 N
B-1
Cj-Zj
0 CN -CB B-1 N -CB B-1
单纯形法是在保持所有约束条件常数项总是保持大于等于零的情 况（保证可行），通过迭代，使所有检验数小于等于零（求最大 值），求得最优解。
原问题 对偶问题
结论或继续计算的步骤
可行解 可行解 问题的最优解或最优基不变 可行解 非可行解 用单纯形法继续迭代求最优解 非可行解 可行解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 非可行解 非可行解 引进人工变量，编制新的单纯形表重
新计算
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四、灵敏度分析的主要内容
1. 分析 cj 的变化 2. 分析 bi 的变化
-4 0 0
4/3
-
-
1/2 1 -1/2
3/2 0 -1/2
-1
0
-1
-
-
2
-1/5 7/5 -3/5
-2/5 -1/5 -8/5
1/5 -2/5 -1/5
X ( 11 / 5,2 / 5,0,0,0 )T
w

-z

28 5
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第四节 对偶单纯形法
使用对偶单纯形法求初始解时右边常数项可以为负， 所以对于一些大于等于号的约束表达式不需要添加人工 变量，只要两边同时乘上-1，就可用对偶单纯形法求解， 简化计算，这是该方法的优点。缺点是很难找到一个初 始解使得所有检验数都小于等于零，因而很少单独使用。
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第五节 灵敏度分析
一、含义和研究对象
1、什么是灵敏度分析？ 灵敏度分析是指系统或事物因为周围条件变化
而显示出来的敏感程度分析。
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第五节 灵敏度分析
在生产计划问题的一般形式中，A代表企业的技术状 况，b代表企业的资源状况，而C代表企业产品的市场状 况，在这些因素不变的情况下企业的最优生产计划和最大 利润由线性规划的最优解和最优值决定。
x1 2x2 x3 x4 3
x
2x j
10 jx2
1,24,x33,4 x4

2
将约束方程化为标准型，再用（-1）乘不等式两边
maxZ x1 4x2 3x4
x1 2x2 x3 x4 x5 3
2 x
x
j
10x j2

14,x23, x,64
在了解对偶单纯形法的实质之前，我们回顾一下单纯形法。 单纯形法开始于初始基可行解。如果不满足最优性条件，则
要换基迭代转到能使目标函数值得到改善的邻近顶点上。在这个 转换过程中，存在两个原则: 一是首先保持原问题的解仍是可行的， 另一个是要求目标函数值有改善。
如何保证可行？
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初始单纯形表
答：不能。因为此时右边常数项为负数，解不可 行。为了保证初始解可行
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第四节 对偶单纯形法
例 用对偶单纯形法求解
maxZ x1 4x2 3x4
x1 2x2 x3 x4 3
x
2x j
10 jx2
1,24,x33,4 x4

2
能否用对偶单纯形法呢？
也就是说，当原问题达到最优时，对偶问题的解可行。并且根据 对偶的性质，我们可以确定此时对偶问题也达到最优
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初始单纯形表
项目
非基变量
XB XN
0 XS b B N
Cj-Zj
CB CN
基变量 XS I 0
项目
基变量
非基变量
CB XB B-1 b Cj-Zj
XB
XN
XS
I B-1 N
B-1
n
max z c j x j
s.t.
j 1
n

aij x j bi
（i 1,
j1

x
j

0
（j 1,
, m） , n）
3. 分析系数 aij 的变化
4. 分析增加一个约束条件的变化 系数矩阵A
5. 分析增加一个变量 xj 的变化
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初
始 基变量 基变量 基可
单 系数
行解
纯
形
0
Xs
b
表
cj zj
非基变量 XB XN BN CB CN
基变量 Xs I 0
最 优 单 纯 形 表
基变量 基变量 基可
系数
行解
CB
XB
B-1b
cj zj
基变量
非基变量
XB
XN
Xs
CN－CBB-1N ≤0
I
B-1N
B-1
0
CN－CBB-1N －CBB-1
－CBB-1 ≤0
原问题基变量的最优解：X*=B-1b 最优值：Z*=CBB-1b 对偶问题决策变量的最优解<影子价格>： Y*T= CBB-1
x6

2
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第四节 对偶单纯形法
maxZ x1 4x2 3x4
x1 2x2 x3 x4 x5 3
2 x
x
j
10x
2
j

14,x23, x,64
x6

2
cj
CB XB b 0 x5 -3 0 x6 -2
0
-1 -4 0 -3 0 0
对偶单纯形法初始对偶单纯形表只要保证对偶可行， 即检验数全部非正即可。并不要求初始解可行，所 以右边常数项可以非负，此题目价值系数均为负， 意味着初始单纯形表格的检验数为负，而右端常数 项又有负数，正好满足对偶单纯形法的要求。
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第四节 对偶单纯形法
例 用对偶单纯形法求解
maxZ x1 4x2 3x4
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第五节 灵敏度分析
一、含义和研究对象
1、什么是灵敏度分析？
是指研究线性规划模型的某些参数(bi, cj, aij） 或限制量（xj, 约束条件）的变化对最优解的影响 及其程度的分析过程<也称为优化后分析>。
n
max z c j x j
s.t.

n
j 1
aij x j bi （i 1,
第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
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第四节 对偶单纯形法
对偶单纯形法并不是求对偶问题解的方法，而是利用单纯形 法求解规划问题时运用了对偶理论。
也就是说：对偶单纯形法与单纯形法一样都是是求解线性规划 的一种基本方法。它是根据对偶原理和单纯形法原理设计出来的， 因此称为对偶单纯形法。
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二、进行灵敏度分析的基本原则
1、在最终单纯形表的基础上进行； 2、尽量减少附加的计算工作量；
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三、灵敏度分析的步骤
1. 先求问题的最优解. 2. 将参数的改变通过计算反映到最终单纯形表上来. 3. 检查原问题的可行解和检验数是否满足最优. 4. 依据不同情况决定继续计算或得到结论.
x1, x2, x3 0
解：先将这问题化成下列形式，以便得到对偶
问题的初始可行基
max z 2 x1 3x2 4 x3
（P）
x1 2 x2 x3 x4 3 2 x1 x2 3 x3 x5 4
x j 0, j 1,2,,5
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原问题表中的检验数满足最优性条件
CN-CB B-1 N≤0
ATY ≥ CT;
min w Y T b bTY
-CB B-1 ≤0;
Y≥0
CB:1×m B-1：m ×m
YT= CB B-1
CB B-1：1 ×m Y： m ×1
ATY CT s.t.
Y 0
从上面可以看出：
1、当原问题达到最优时，松弛变量经过上述转换后构成的检验 数的相反数为其对偶问题的一个可行解，反之亦成立
x1 2x2 x3 x4 3
x
2x j
10 jx2
1,24,x33,4 x4

2
该问题用单纯形法求解时，需要先化标准型，此时约束
方程两边左边需要减去剩余变量，同时为了构造单位阵，
需要添加人工变量，采用大M法求解。
思考：上面约束方程化为标准型后，两边乘以-1， 就可得到单位阵。此时能否用单纯形法？原因?