对偶单纯形法+灵敏度分析讲解
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运筹学 第三章 对偶理论 第二讲 对偶单纯形法,灵敏度与参数分析
1
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
X XB λ
b
B-1A B-1b C-CBB－1A －CBB－1b 若上表为最优单纯形表，则下列两个式子同时成立：
(1) B1b 0 (可行性条件，又叫对偶最优性条件)
(2) C CB B 1 A 0 (最优性条件,又叫对偶可行性条件)
定进基变量后确定出基变量，对偶单纯形法是先确定出基变量后确定进基
变量；
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
(5)普通单纯形法的最小比值是 问题的基本解可行，
bi min aik 0 其目的是保证下一个原 i aik
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
例2.9 用对偶单纯形法求解：
m i n Z 9 x 1 12 x 2 15 x 3 2 x 1 2 x 2 x 3 10 2 x 1 3 x 2 x 3 12 x 1 x 2 5 x 3 14 x j 0( j 1.2.3)
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
设线性规划问题为：
max Z CX ( P)
原始单纯形法的思想： 从满足可行性条件的一个基可行解(即基B满足
AX ＝ b X 0
B b 0 )出发，经过换基运算迭代到另一个基可行解，
直到找到满足最优性条件( C C B 1 A 0 )的基可行解， B 这就是原问题的最优解。
y1 y2 2 y 4y 3 1 2 s.t. y1 7 y2 3 y1 0, y2 0
第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶
这个约束条件的对偶价格就和这个剩余变量的
z
有关了。这将使得最优目
j
标值特别“恶化”而不是改进，故这时约束条件的对偶价格应取 z j 值的相反
数- z j。
对于含有等于号的约束条件，其约束条件的对偶价格就和该约束方
程的人工变量有关了。其约束条件的对偶价格就等于此约束方程的人工变
量的 z j值。
管理运筹学
XB
bb12
5
5
,
X
B
5
5
b3 15
15
对于b1：比值的分母取B－1的第一列，这里只有β11=1，而β21=β31=0，则
1
max
b1
11
5 1
5
Δb1无上界，即Δb1≥－5，因而b1在[35,+∞) 内变化时对偶价格不变。
管理运筹学
18
§1 单纯形表的灵敏度分析
对于b2：比值的分母取B－1的第二列，β12＜0，β22＞0，则
§1 单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量Ck系数灵敏度分析
1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广矩阵不变，又因为Xk是非 基变量，所以基变量的目标函数的系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变
xBi di1
|
d 'i1
0
50
而Min
xBi di1
|
d 'i1
0
25,故有当 50
b1
25,即250
b
b
325第一个
约束条件的对偶价格不变。
第8讲：对偶单纯形法及灵敏度分析简介
2 3
c2
2
运筹学
第8讲：对偶单纯形法及灵敏度分析简介
三、资源约束系数 bi 变化的灵敏度分析
∆b 的变化将引起 ∆b’的变化，最终出现a、c两种情况
P64-例6：(1) 若设备A和调试工序的每天能力不变，而设备B每
天的能力增加到32h，问最优生产计划有何变化；(2) 若设备A 和B每天可用能力不变，问调试工序能力在什么范围内变化时， 问题的最优基不变。
甲
乙 每天可用能力
0
5
15
6
2
24
1
1
5
2
1
对应最后一张单纯形表
基变矢XB ＝ [x3, x1, x2]T ＝ [15/2, 7/2, 3/2]T 非基变矢XN ＝ [x4, x5]T ＝ [0, 0]T
与XB对应的未转换前的基为最优基，用B表示
与XN对应的未转换前的列向量组合采用N表示
例如：
1 B (P3, P1, P2 ) 0
例2(P61-例4)：采用对偶单纯形法求解LP问题
min Z = 15x1+ 24x2 + 5x3
s.t.
6x2 + x3 ≥ 2
5x1 + 2x2 + x3 ≥ 1
x1, x2, x3≥ 0
运筹学
第8讲：对偶单纯形法及灵敏度分析简介
例3：求解如下LP问题
min Z = 3x1 + 2x2 + x3 + 4x4 s.t. 2x1 + 4x2 + 5x3 + x4 ≥ 0 3x1 － x2 + 7x3 － 2x4 ≥ 2 5x1 + 2x2 + x3 + 6x4 ≥ 10
韩伯棠管理运筹学(第三版)_第六章_单纯形法的灵敏度分析与对偶
迭代 基
次数 变 量
CB
x1 x2 。 s1 50 100 0
s2
s3
0 0b
x1 50 1 0 1
0 -1 50
S2 0 0 0 -2
1 1 50
2
x2 100 0 1 0
0 1 250
zj
50 100 50 0 50
σj=cj-zj
0 0 -50
0 -50 2750 0
❖
从上表可以发现设备台时数的约束方程中的松弛变量S1
j ck akj 0, ck akj j ,
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
而当j k时, k ck ck zk ck ck zk ckaKK ,
因为xk是基变量,知 k 0, akk 1,故知 k 0.
x1 x2 s1 50 100 0 1 01 0 0 -2 0 10
s2
s3
00
b
0 -1 50
1 1 50
0 1 250
zj σj=cj-zj
50 100 50 0 0 -50
0 50 0 -50
Z= 27500
先对非基变量s1的目标函数的系数C3进行灵敏度 分析。这里σ3=-50，所以当C3 的增量ΔC3≤-(-50)即 ΔC3≤50时，最优解不变，也就是说S1的目标函数的系 数C′3=C3+△C3≤0+50=50时，最优解不变。
规划问题的对偶价格就不变。而要使所有的基变量仍然
是基变量只要当bj 变化成b′j =bj+△bj时，原来的基不变所 得到的基本解仍然是可行解，也就是所求得的基变量的
韩伯棠管理运筹学(第三版)_第六章_单纯形法的灵敏度分析与对偶
x1 x2 s1 s2 s3 比值 基 ck 是系数 变 cB b bi/ai2 50 100 0 0 0 量 s1 0 1 1 c1 灵敏度分析 0 0 300 一、目标函数中变量系数 k s2 0 2 1 0 1 0 400 1．在最终的单纯形表里， xk 是非基变量。 0 s3 0 0 1 0 0 1 250
j , a2 j ,...,akj ,...,amj )T 变成了: z j (cB1 , cB 2 ,...,cK ,...,cBm )(a1 j , a2 j ,...,akj ,...,amj )T z j (cB1 , cB 2 ,...,(cK ck ),...,cBm )(a1 j c B 2 a2 j ... (cK ck )akj ... cBm amj cB1a1 j c B 2 a2 j ... cK akj ... cBm amj ck akj cB1a1 . z j ck akj (c j z j ) - ck akj 这样检验数 j c j z j c j z j - ck akj j - ck akj
首先知道在最优解中s2=50是基变量，也就是说， 原料A有50千克没用完，再增加原料 A是不会带来任何利 x x s s s3 迭代 基 1 2 1 2 润的，故原料 A 的对偶价格为零。在最终单纯形表上当 次数 变 cB b 50 100 0 0 0 松弛变量为基变量时，都有其检验数 σj 为零，又知道对 量 任何的松弛变量，它在目标函数中的系数 都为零，那 x1 50 1 0 1 0 -1 cj 50 么为基变量的松弛变量的 s2 0 0 0 zj也必然为零，因为 -2 1 1 50zj=cj-σ j=00=0 2 ，这正确地反映了对于任何为基变量的松弛变量所 x2 100 0 1 0 0 1 250 对应的约束条件的对偶价格为零。
第二章 对偶理论和灵敏度分析
经整理得 : min 20 y1 10 y2 5 y3 3 y1 4 y2 y3 4 s.t. 2 y1 3 y2 y3 5 y 0, y 0, y 不限 2 3 1
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4 5 5 0
第二章 对偶理论和灵敏度分析
c
CB
CN
x
b XB -Z B-1b -CBB-1b
θ
XB
B-1B 0
XN
B-1N CN－CBB-1 N
二、对偶问题的经济含义
每一个线性规划问题，都存在一个与它密切相关的线性 规划的问题，我们称其中的任一个为原问题，另一个为对 偶问题。任何线性规划问题都有其对偶问题。 对偶思想： 周长一定的矩形,以正方形面积最大 面积一定的矩形,以正方形周长最小 P6 例1.1：MAXZ=3X1+2X2+5X3 S.T. X1+2X2+X3<=430 3X1+2X3<=460 X1+4X2<=420 X1,X2,X3>=0
《运筹学》 第二章 对偶理论和灵敏度分析 Slide 4
设X1、X2、X3分别为生产甲、乙、丙三种产品的产量。 解见P71表1.63。 假如有另外一个工厂要求租用该厂的全部生产能力另做 他用。 那么该厂的厂长应该如何来确定合理的租金（各道工序 的每分钟加工能力的定价）呢? 出租所得的利润应不小于原来用于生产甲、乙、丙三种 产品的利润。 而对于租用生产能力的厂家，考虑的是在尽量满足上述 条件的基础上，总的租用花费最少。 设Y1、Y2、Y3为第一、第二、第三道工序每分钟的租金 。
《运筹学》 第二章 对偶理论和灵敏度分析 Slide 17
五、对偶单纯形法
对偶单纯形法是应用对偶原理求解原问题线性规划的一 种方法，采用的技术是在原问题的单纯形表格上进行对偶处 理。 注意：对偶单纯形法不是求解对偶问题的单纯形法。 对偶单纯形法的基本思想：当一个原始问题从可行但不 最优开始，并继续保持可行直到取得最优解的时候，也就是 它的对偶问题从不可行但比最优还好开始并继续保持最优直 到取得可行最优解。 当原问题在寻找最优性的时候，对偶问题相应地寻找可 行性。P56图1.12
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4 5 5 0
第二章 对偶理论和灵敏度分析
c
CB
CN
x
b XB -Z B-1b -CBB-1b
θ
XB
B-1B 0
XN
B-1N CN－CBB-1 N
二、对偶问题的经济含义
每一个线性规划问题，都存在一个与它密切相关的线性 规划的问题，我们称其中的任一个为原问题，另一个为对 偶问题。任何线性规划问题都有其对偶问题。 对偶思想： 周长一定的矩形,以正方形面积最大 面积一定的矩形,以正方形周长最小 P6 例1.1：MAXZ=3X1+2X2+5X3 S.T. X1+2X2+X3<=430 3X1+2X3<=460 X1+4X2<=420 X1,X2,X3>=0
《运筹学》 第二章 对偶理论和灵敏度分析 Slide 4
设X1、X2、X3分别为生产甲、乙、丙三种产品的产量。 解见P71表1.63。 假如有另外一个工厂要求租用该厂的全部生产能力另做 他用。 那么该厂的厂长应该如何来确定合理的租金（各道工序 的每分钟加工能力的定价）呢? 出租所得的利润应不小于原来用于生产甲、乙、丙三种 产品的利润。 而对于租用生产能力的厂家，考虑的是在尽量满足上述 条件的基础上，总的租用花费最少。 设Y1、Y2、Y3为第一、第二、第三道工序每分钟的租金 。
《运筹学》 第二章 对偶理论和灵敏度分析 Slide 17
五、对偶单纯形法
对偶单纯形法是应用对偶原理求解原问题线性规划的一 种方法，采用的技术是在原问题的单纯形表格上进行对偶处 理。 注意：对偶单纯形法不是求解对偶问题的单纯形法。 对偶单纯形法的基本思想：当一个原始问题从可行但不 最优开始，并继续保持可行直到取得最优解的时候，也就是 它的对偶问题从不可行但比最优还好开始并继续保持最优直 到取得可行最优解。 当原问题在寻找最优性的时候，对偶问题相应地寻找可 行性。P56图1.12
运筹学02对偶理论(2)对偶单纯形法,灵敏度与参数分析
从满足条件(2)的基出发去找原问题的最优解→ 对偶单纯形法思想： 从满足条件(2) 的基(一般称为正则基)B出发，经 过换基运算到另一个正则基，即一直保证条件 (2)成立， 直到找到一个满足条件(1)的正则基。
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
注：当模型的数据发生变化后，不必对线性规划问题
重新求解，而用灵敏度分析方法直接在原线性规划取
得的最优结果的基础上进行分析或求解 . 线性规划的参数分析(Parametric Analysis)是研究和分
析目标函数或约束中含有的参数μ在不同的波动范围内 最优解和最优值的变化情况．这种含有参数的线性规划
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
X XB σ
b
B-1A B-1b C-CBB－1A －CBB－1b 若上表为最优单纯形表，则下列两个式子同时成立：
(1) B1b 0 (可行性条件，又叫对偶最优性条件)
(2) C CB B 1 A 0 (最优性条件,又叫对偶可行性条件)
4.最优解、无可行解的判断。
作业：教材P81 1.12 (2)
下一节：灵敏度分析与参数分析
3.4 灵敏度与参数分析
Sensitivity and Parametric Analysis
3.4 灵敏度与参数分析 Sensitivity and Parametric Analysis
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
max z 7 x1 3x 2
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
注：当模型的数据发生变化后，不必对线性规划问题
重新求解，而用灵敏度分析方法直接在原线性规划取
得的最优结果的基础上进行分析或求解 . 线性规划的参数分析(Parametric Analysis)是研究和分
析目标函数或约束中含有的参数μ在不同的波动范围内 最优解和最优值的变化情况．这种含有参数的线性规划
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
X XB σ
b
B-1A B-1b C-CBB－1A －CBB－1b 若上表为最优单纯形表，则下列两个式子同时成立：
(1) B1b 0 (可行性条件，又叫对偶最优性条件)
(2) C CB B 1 A 0 (最优性条件,又叫对偶可行性条件)
4.最优解、无可行解的判断。
作业：教材P81 1.12 (2)
下一节：灵敏度分析与参数分析
3.4 灵敏度与参数分析
Sensitivity and Parametric Analysis
3.4 灵敏度与参数分析 Sensitivity and Parametric Analysis
Chapter3 对偶理论 Dual Theory
3.3 对偶单纯形法 Dual Simplex Method
max z 7 x1 3x 2
管理运筹学-第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
我们对b1进行灵敏度分析，因为在第一个约束方程中含有松弛变量S1,
所以松弛纯 变形 量表 在中 最 1， 2 的 ， 终 0） T就 系 单 B 是 -的 1 数第 列一 （
因d为 1'110,d2'120,X150,X250,可M 以axxdB i1i|d'i1050 而 MinxdB i1i|d'i102,5故有5当 0b12,5即 250bb32第 5 一个 约束条件的变 对。 偶价格不
对于任何为基变量的松弛变量所对应的约束条件的对偶价格为0迭代次数基变量cbx1x2s1s2s350100x15050s250x2100250zj50100505027500cj单纯形表的灵敏度分析可以看出上题中对于设备台时数约束来说当其松弛变量在目标函数50时也就是只要当前余下一台时数设备从不能获利变成获利50元时譬如有人愿意出50元买一个设备时我们就不必为生产产品而使用完所有的设备台时了这说明了设备台时数的对偶价格就是z对于含有大于等于号的约束条件添加剩余变量化为标准型
管理运筹学
11
§1 单纯形表的灵敏度分析
要 使 X 'B0也 就 是 各 个 分 量 均 不 小 于 0， 用 一 个 数 学 式 子 来 表 示 bk的 允 许 变 化 范 围 是
M ax d xB 'iik|d'ik0 bkM in d xB 'iik|d'ik0 下面我们仍以第二章例1在最终单纯形表上对bj 进行灵敏度分析。 最终单纯形表如下所示：
例：
目标函数：Max z=50X1+100X2 约束条件：X1+X2≤300
2X1+X2≤400 X2≤250 X1，X2≥0 最优单纯形表如下
所以松弛纯 变形 量表 在中 最 1， 2 的 ， 终 0） T就 系 单 B 是 -的 1 数第 列一 （
因d为 1'110,d2'120,X150,X250,可M 以axxdB i1i|d'i1050 而 MinxdB i1i|d'i102,5故有5当 0b12,5即 250bb32第 5 一个 约束条件的变 对。 偶价格不
对于任何为基变量的松弛变量所对应的约束条件的对偶价格为0迭代次数基变量cbx1x2s1s2s350100x15050s250x2100250zj50100505027500cj单纯形表的灵敏度分析可以看出上题中对于设备台时数约束来说当其松弛变量在目标函数50时也就是只要当前余下一台时数设备从不能获利变成获利50元时譬如有人愿意出50元买一个设备时我们就不必为生产产品而使用完所有的设备台时了这说明了设备台时数的对偶价格就是z对于含有大于等于号的约束条件添加剩余变量化为标准型
管理运筹学
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§1 单纯形表的灵敏度分析
要 使 X 'B0也 就 是 各 个 分 量 均 不 小 于 0， 用 一 个 数 学 式 子 来 表 示 bk的 允 许 变 化 范 围 是
M ax d xB 'iik|d'ik0 bkM in d xB 'iik|d'ik0 下面我们仍以第二章例1在最终单纯形表上对bj 进行灵敏度分析。 最终单纯形表如下所示：
例：
目标函数：Max z=50X1+100X2 约束条件：X1+X2≤300
2X1+X2≤400 X2≤250 X1，X2≥0 最优单纯形表如下
3对偶问题与灵敏度分析解析
该线性规划问题与原问题互为对偶问题
max z=70x1+120x2 s.t. 9x1＋4x2≤360
4x1+5x2≤200 3x1+10x2≤300 x1,x2≥0
对偶的定义
(LP) Max z = CX (DP) Min w = Yb
s.t. AX ≤ b
s.t. YA ≥ C
X≥0
Y≥0
若一个问题的某约束为等式， 那么对应的对偶问题的相应变量无非负限制； 反之， 若一个问题的某变量无非负限制， 那么对应的对偶问题的相应约束为等式。
影子价格非资源的市场价格，而是指系统达到 最优状态时，资源的单位变化引起目标最优值的变化
什么是对偶单纯形法？
对偶单纯形法是求解线性规划的另一的基本方法。 它是根据对偶原理和单纯形法的原理而设计出来的， 因此称为对偶单纯形法。不要简单理解为是求解对偶 问题的单纯形法。
由对偶理论可以知道，对于一个线性规划问题，我 们能够通过求解它的对偶问题来找到它的最优解。
运筹学 ——第3章 对偶问题与灵敏度分析
本讲内容
什么是对偶问题 单纯形法的矩阵描述 对偶问题的性质 线性规划的灵敏度分析
什么是对偶问题？
对偶问题的提出
考虑上一讲的生产计划问题，若设备和原料都用 于对外加工，工厂收取加工费。试问：该厂设备 工时、劳动力和原料该如何定价？
显然，工厂给这些生产要素定价，既要保证自己的利益， 又要使自己的价格具有竞争力
原问题（或对偶问题）
目标函数 max
约
m个
束
≤
条
≥
件
=
n个
变
≥0
量
≤0
无约束
约束条件右端项
目标函数变量的系数
max z=70x1+120x2 s.t. 9x1＋4x2≤360
4x1+5x2≤200 3x1+10x2≤300 x1,x2≥0
对偶的定义
(LP) Max z = CX (DP) Min w = Yb
s.t. AX ≤ b
s.t. YA ≥ C
X≥0
Y≥0
若一个问题的某约束为等式， 那么对应的对偶问题的相应变量无非负限制； 反之， 若一个问题的某变量无非负限制， 那么对应的对偶问题的相应约束为等式。
影子价格非资源的市场价格，而是指系统达到 最优状态时，资源的单位变化引起目标最优值的变化
什么是对偶单纯形法？
对偶单纯形法是求解线性规划的另一的基本方法。 它是根据对偶原理和单纯形法的原理而设计出来的， 因此称为对偶单纯形法。不要简单理解为是求解对偶 问题的单纯形法。
由对偶理论可以知道，对于一个线性规划问题，我 们能够通过求解它的对偶问题来找到它的最优解。
运筹学 ——第3章 对偶问题与灵敏度分析
本讲内容
什么是对偶问题 单纯形法的矩阵描述 对偶问题的性质 线性规划的灵敏度分析
什么是对偶问题？
对偶问题的提出
考虑上一讲的生产计划问题，若设备和原料都用 于对外加工，工厂收取加工费。试问：该厂设备 工时、劳动力和原料该如何定价？
显然，工厂给这些生产要素定价，既要保证自己的利益， 又要使自己的价格具有竞争力
原问题（或对偶问题）
目标函数 max
约
m个
束
≤
条
≥
件
=
n个
变
≥0
量
≤0
无约束
约束条件右端项
目标函数变量的系数
单纯形法的灵敏度分析与对偶
目标函数： max z=50x1+100x2
x1+ x2≤300 s.t. 2x1+x2≤400
x2≤250 x1 ≥0, x2≥0
max z=50x1+100x2
x1+ x2+s1=300
s.t.
2x1+x2+s2=400
x2+s3 =250
x1 ≥0, x2≥0, si≥0
一、线性规划问题解的基本概念
△C3 ≤－（－50）=50；
c’=c+△C<=0+50=50
最优解不变。
（2）再分析基变量的系数分析：
ck k
max J ak jjak j0 ckm J i ak n jjak j0
例如对基变量X1的系数C1进行灵敏度分析：
从表中获得了:
a11=1, a12=0, a13=1, a14=0, a15=-1
❖
OBJ COEFFICIENT RANGES
❖ VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
❖
COEF INCREASE DECREASE
❖
X1
50.000000 50.000000 50.000000
❖
X2
100.000000 INFINITY 50.000000
❖
RIGHTHAND SIDE RANGES
4. 对偶问题的约束条件系数矩阵A是原问题的AT
maxz c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a1nxn b1
s.t.
a21x1 a22x2 a2nxn b2
am1x1 y2 bm ym
管理运筹学单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题课件
参数灵敏度分析关注的是模型中参数变化对最优解的影响 。通过分析参数变化对最优解的影响，可以了解参数变化 对模型最优解的影响程度和方向，从而为决策者提供有关 参数调整的建议。
参数灵敏度分析的方法包括局部灵敏度分析和全局灵敏度 分析。局部灵敏度分析关注单个参数的小幅度变化对最优 解的影响，而全局灵敏度分析则考虑多个参数同时变化对 最优解的影响。
结合的必要性
解决复杂优化问题
单纯形法在处理线性规划问题时具有高效性，而灵敏度分析和对偶问题则提供了分析和解决非线性规划问题的 工具。将两者结合，可以更好地解决复杂的优化问题。
提高决策准确性
通过灵敏度分析，可以对决策变量的微小变化对最优解的影响进行量化分析，从而更准确地预测和应对各种情 况。对偶问题则提供了从另一个角度审视问题的机会，有助于发现潜在的优化空间。
灵敏度分析与对偶对偶问题的概述
灵敏度分析是线性规划中研究最优解的敏感性的分析方法。它主要关注当模型参数发生变化时，最优 解和最优值的变化情况。通过灵敏度分析，可以了解模型参数对最优解的影响程度，从而更好地理解 和预测实际问题的变化趋势。
对偶对偶问题是线性规划中的一类重要问题。它主要研究原问题和对偶问题的关系，以及如何利用对 偶理论求解原问题。对偶对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，如资源分配、投资组 合优化等问题。
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THANKS
通过建立线性规划模型，将物流配送 路径问题转化为求取最小成本的问题 。约束条件包括车辆路径限制、运输 成本限制等，目标函数为最小化总成 本。
灵敏度分析与对偶对 偶问题应用
在物流配送路径调整过程中，需要考 虑客户需求变化、运输成本变化等因 素对最优解的影响。通过灵敏度分析 ，可以确定最优解对不同因素变化的 敏感性，从而制定出更加合理的配送 路径。同时，通过对偶对偶问题的研 究，可以更好地理解配送路径的性质 和结构，进一步优化配送路径。
参数灵敏度分析的方法包括局部灵敏度分析和全局灵敏度 分析。局部灵敏度分析关注单个参数的小幅度变化对最优 解的影响，而全局灵敏度分析则考虑多个参数同时变化对 最优解的影响。
结合的必要性
解决复杂优化问题
单纯形法在处理线性规划问题时具有高效性，而灵敏度分析和对偶问题则提供了分析和解决非线性规划问题的 工具。将两者结合，可以更好地解决复杂的优化问题。
提高决策准确性
通过灵敏度分析，可以对决策变量的微小变化对最优解的影响进行量化分析，从而更准确地预测和应对各种情 况。对偶问题则提供了从另一个角度审视问题的机会，有助于发现潜在的优化空间。
灵敏度分析与对偶对偶问题的概述
灵敏度分析是线性规划中研究最优解的敏感性的分析方法。它主要关注当模型参数发生变化时，最优 解和最优值的变化情况。通过灵敏度分析，可以了解模型参数对最优解的影响程度，从而更好地理解 和预测实际问题的变化趋势。
对偶对偶问题是线性规划中的一类重要问题。它主要研究原问题和对偶问题的关系，以及如何利用对 偶理论求解原问题。对偶对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，如资源分配、投资组 合优化等问题。
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通过建立线性规划模型，将物流配送 路径问题转化为求取最小成本的问题 。约束条件包括车辆路径限制、运输 成本限制等，目标函数为最小化总成 本。
灵敏度分析与对偶对 偶问题应用
在物流配送路径调整过程中，需要考 虑客户需求变化、运输成本变化等因 素对最优解的影响。通过灵敏度分析 ，可以确定最优解对不同因素变化的 敏感性，从而制定出更加合理的配送 路径。同时，通过对偶对偶问题的研 究，可以更好地理解配送路径的性质 和结构，进一步优化配送路径。
单纯形法灵敏度分析线性规划对偶理论
单纯形法的灵敏度分析与 线性规划对偶理论
1 23 4 5
图解法的灵敏度分析
灵敏度分析： 建立数学模型和求得最优解后，研究线性规 划的一个或多个参数（系数）ci , aij , bj 变化 时，对最优解产生的影响。
• 参数多为估计值或预测值，常常不精确 • 参数常常随着其他条件变化而变化
图解法的灵敏度分析
线性规划的对偶问题
• 假设另外一工厂要租用该厂的设备A、B、C，那么 该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢？
• 从出租人的角度：
– 生产1个单位Ⅰ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅰ产品的利润50元。
– 生产1个单位Ⅱ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅱ产品的利润100元。
• 另外， y1 , y2 , y3 ≥ 0
线性规划的对偶问题
max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
原问题
min f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3
图解法的灵敏度分析
• 在一定范围内，当约束条件右边常数增加1 个单位时
– 若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函 数值得到改善（变好）；
– 若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函 数值受到影响（变坏）；
– 若约束条件的对偶价格等于0，则最优目标函数 值不变。
线性规划的矩阵描述
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
1 23 4 5
图解法的灵敏度分析
灵敏度分析： 建立数学模型和求得最优解后，研究线性规 划的一个或多个参数（系数）ci , aij , bj 变化 时，对最优解产生的影响。
• 参数多为估计值或预测值，常常不精确 • 参数常常随着其他条件变化而变化
图解法的灵敏度分析
线性规划的对偶问题
• 假设另外一工厂要租用该厂的设备A、B、C，那么 该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢？
• 从出租人的角度：
– 生产1个单位Ⅰ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅰ产品的利润50元。
– 生产1个单位Ⅱ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅱ产品的利润100元。
• 另外， y1 , y2 , y3 ≥ 0
线性规划的对偶问题
max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
原问题
min f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3
图解法的灵敏度分析
• 在一定范围内，当约束条件右边常数增加1 个单位时
– 若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函 数值得到改善（变好）；
– 若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函 数值受到影响（变坏）；
– 若约束条件的对偶价格等于0，则最优目标函数 值不变。
线性规划的矩阵描述
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
运筹学第8讲：对偶单纯形法及灵敏度分析简介
② 原问题有可行解（b≥0）, 对偶问题无可行解（存在δj>0），采 用单纯形法继续求解
③ 原问题无可行解（存在bi<0）, 对偶问题有可行解（ δ≤0 ）， 采用对偶单纯形法继续求解
④ 原问题无可行解（存在bi<0）, 对偶问题无可行解（存在δj>0）， 设法使bi>0，并引入人工变量，采用大M 法继续求解
P38：例3.6
某公司生产甲、乙、丙、丁四种产品，已知制造单件产品时分
别占用的设备A、B的台时，设备A、B每天可用于生产的能力 以及单件产品的收益情况如下表所示。问该公司应该如何制定 最优生产计划？ 项目 甲 乙 丙 丁 每天可用能力
设备A（h） 设备B（h）
单件利润(元)
3 2
4
2 3
3
1 2
上式两边左乘B-1，得到
题的最优基B不变，我们可以直接 求出新问题的最优解
X B B1b B1NX N
(1)
运筹学
第8讲：对偶单纯形法及灵敏度分析简介
设 Pj
为初始单纯形表中的第j 列列向量，
设 Pj’为最终单纯形表中的第j 列列向量 例如： 3 P 1 2 我们不难得到：
运筹学
第8讲：对偶单纯形法及灵敏度分析简介
同时，
Pj ' B1Pj
(3)
例如：
3 5 2 5 3 1 B P 1 1 2 0 P ' 2 5 3 5
1
再考察式(1)，由于XN＝[0, 0]T，因而
X B * B1b
(2) 解：设乙的收益c2直接反映到原问题的最终单纯形表中，得到
为使最优生产计划不变，则δ3, δ4 ,δ5, δ6 ≤0，得到
对偶单纯形法灵敏度分析
对偶单纯形法灵敏度分析
汇报人：XX
单击输入目录标题 对偶单纯形法概述 对偶单纯形法灵敏度分析的步骤 对偶单纯形法灵敏度分析的优点和局限性 对偶单纯形法灵敏度分析的改进方向 对偶单纯形法灵敏度分析的实际应用案例
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对偶单纯形法概述
对偶单纯形法的定义
对偶单纯形法是一种线性规划 算法
它基于对偶理论，通过迭代寻 找最优解
结论：对偶单纯形法灵敏度分析在资源分配问题中具有广泛的应用前景，能够为企业带来巨大 的经济效益。
THANK YOU
汇报人：XX
各变量对目标函数的影响程度。
求解最优解
确定初始对偶解
确定迭代步长
计算对偶方向 更新最优解
计算灵敏度
计算对偶问题的 最优解
确定最优解对应 的基变量和自由 变量
计算基变量的灵 敏度
计算自由变量的 灵敏度
对偶单纯形法灵敏度分析的优 点和局限性
优点
计算简单：对偶单 纯形法在计算上相 对简单，易于理解 和实现。
对偶单纯形法适用于求解标准 型线性规划问题
它具有简单、高效、可靠等优 点
对偶单纯形法的原理
对偶性：将原问题转化为对偶问题，通过对偶问题的最优解得到原问题 的近似最优解 单纯形法：利用线性规划的迭代方法，通过不断迭代寻找最优解
灵敏度分析：分析决策变量变化对最优解的影响，为决策提供参考
对偶单纯形法的应用场景
分析灵敏度结果：根据灵敏度系数的大 小和符号，分析各变量对目标函数的灵
敏度，为决策提供依据。
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确定约束条件和目标函数：在分析过程 中，首先需要确定问题的约束条件和目 标函数，这是对偶单纯形法灵敏度分析
汇报人：XX
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对偶单纯形法概述
对偶单纯形法的定义
对偶单纯形法是一种线性规划 算法
它基于对偶理论，通过迭代寻 找最优解
结论：对偶单纯形法灵敏度分析在资源分配问题中具有广泛的应用前景，能够为企业带来巨大 的经济效益。
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各变量对目标函数的影响程度。
求解最优解
确定初始对偶解
确定迭代步长
计算对偶方向 更新最优解
计算灵敏度
计算对偶问题的 最优解
确定最优解对应 的基变量和自由 变量
计算基变量的灵 敏度
计算自由变量的 灵敏度
对偶单纯形法灵敏度分析的优 点和局限性
优点
计算简单：对偶单 纯形法在计算上相 对简单，易于理解 和实现。
对偶单纯形法适用于求解标准 型线性规划问题
它具有简单、高效、可靠等优 点
对偶单纯形法的原理
对偶性：将原问题转化为对偶问题，通过对偶问题的最优解得到原问题 的近似最优解 单纯形法：利用线性规划的迭代方法，通过不断迭代寻找最优解
灵敏度分析：分析决策变量变化对最优解的影响，为决策提供参考
对偶单纯形法的应用场景
分析灵敏度结果：根据灵敏度系数的大 小和符号，分析各变量对目标函数的灵
敏度，为决策提供依据。
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确定约束条件和目标函数：在分析过程 中，首先需要确定问题的约束条件和目 标函数，这是对偶单纯形法灵敏度分析
第六章 2 单纯形法的灵敏度分析与对偶07.9
= 2/3
将它们反映到原最终单纯形表中，得到下表： 将它们反映到原最终单纯形表中，得到下表：
X XB
X4 X3
cB cj
19 50
Байду номын сангаас
X1 9
X2 8
X3 50 0 1 0
X4 19 1 0 0
X5 0
X6 0
X7 17
b θ
2 1 Z
2 4/3 -1/2 -1/3 -4 -2/3
2/3 -10/3 -4/3 -1/6 4/3 5/6 -13/3 -10/3 2/3
原问题 可行解 可行解
对偶问题 结论或继续计算的步骤
可行解 问题的最优解或最优基不变 非可行解 用单纯形法继续迭代求最优 解 用对偶单纯形法继续迭代求 非可行解 可行解 最优解 引进人工变量，编制新的单 引进人工变量， 非可行解 非可行解 纯形表重新计算
一、单纯形表的灵敏度分析
1. 灵敏度分析的方法 当参数 C、b、A 中的某些数据发生变化时， 、 、 中的某些数据发生变化时， 通过改变目前最优基对应的单纯形表中的局部 数据，考察是否影响以下两组数据的成立： 数据，考察是否影响以下两组数据的成立： （1） B-1b ≥ 0 ） （2） C – CBB-1A ≤ 0 ）
X XB
X4 X3
cB cj
19 50
X1 9
X2 8
X3 50 0 1 0
X4 19 1 0 0
X5 0
X6 0
b
2 1
θ
2 4/3 -1/2 -1/3 -4 -2/3
2/3 -10/3 -1/6 4/3 -13/3 -10/3
σj= cj - zj
Z = 88
6第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
以第二章例1在最终单纯形表上对进行b1灵敏度分析：
x1 x2 s1 s2 s3
50
1 0 0 50 0
100
0 0 1 100 0
0
1 -2 0 50 -50
0
0 1 0 0 0
0
-1 1 1 50 -50
b
50 50 250 27500
比值
bi/aij
x2 zj
σj=cj-zj
在第一个约束方程中含有松弛变量s1,其对应的列为(1,-2,0)T,
管理运筹学
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
本章内容
1
2
线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质
3
4
对偶单纯形法种特殊情况
本章内容
1
2
线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质
3
4
对偶单纯形法种特殊情况
§1
单纯形表的灵敏度分析
c c 一、目标函数中变量系数 ck 灵敏度分析 c k k k
1、在最终的单纯形表里，xk是非基变量
使得对应约束条件 的对偶价格不变
0
xBi xBi max dik 0 bk min dik 0 dik dik
§1
迭代 次数 基变 量
x1 s2
2
单纯形表的灵敏度分析
cB
50 0 100
b1 0 b 2 0 b b b b b k bk 0 b m 0
bk bk bk
原始的最终单纯形表中基变量xB变为x'B：
管理运筹学--单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题讲课讲稿
2. 初始单纯表中的基变量Xs=b，迭代后的单 纯形表中为XB= B-1b
3. 初始单纯表中的约束系数矩阵为：
[A,I]=[B,N,I] 迭代后的单纯形表中约束系数矩阵为：
[B-1A, B-1I]=[B-1B, B-1N, B-1I]=[I , B-1N, B-1] 4. 若初始矩阵中变量xj的系数向量为Pj，迭代
x4
x5 值
0 x3
8
1
0
1
0
0
0 x4 12 0 2 0 1 0
0 x5 36 3 4 0 0 1
检验数j
3 50 0 0
• 最优基和最优基的逆
Cj
3 5 0 0 0比
CB XB
b
x1
x2 x3
x4
x5 值
0 x3 4 0 0 1 2/3 -1/3
5 x2 6 0 1 0 1/2 0
3 x1 4 1 0 0 -2/3 1/3
0
0
1
表
j
0
0 -50
0
-50
初始单纯形表为:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
0
X S
b
B
N
I
检验数j
CB
CN
0
当迭代若干步，基变量为X B时，新的单纯形表:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
CB
b X B
B-1
I
检验数j
0
B-1N CN- CB B-1N
B-1 - CB B-1
小结
1. 对应初始单纯表中的单位矩阵I，迭代后的 单纯形表中为B-1
3. 初始单纯表中的约束系数矩阵为：
[A,I]=[B,N,I] 迭代后的单纯形表中约束系数矩阵为：
[B-1A, B-1I]=[B-1B, B-1N, B-1I]=[I , B-1N, B-1] 4. 若初始矩阵中变量xj的系数向量为Pj，迭代
x4
x5 值
0 x3
8
1
0
1
0
0
0 x4 12 0 2 0 1 0
0 x5 36 3 4 0 0 1
检验数j
3 50 0 0
• 最优基和最优基的逆
Cj
3 5 0 0 0比
CB XB
b
x1
x2 x3
x4
x5 值
0 x3 4 0 0 1 2/3 -1/3
5 x2 6 0 1 0 1/2 0
3 x1 4 1 0 0 -2/3 1/3
0
0
1
表
j
0
0 -50
0
-50
初始单纯形表为:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
0
X S
b
B
N
I
检验数j
CB
CN
0
当迭代若干步，基变量为X B时，新的单纯形表:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
CB
b X B
B-1
I
检验数j
0
B-1N CN- CB B-1N
B-1 - CB B-1
小结
1. 对应初始单纯表中的单位矩阵I，迭代后的 单纯形表中为B-1
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答：不能。因为此时右边常数项为负数，解不可 行。为了保证初始解可行
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第四节 对偶单纯形法
例 用对偶单纯形法求解
maxZ x1 4x2 3x4
x1 2x2 x3 x4 3
x
2x j
10 jx2
1,24,x33,4 x4
2
能否用对偶单纯形法呢？
原问题表中的检验数满足最优性条件
CN-CB B-1 N≤0
ATY ≥ CT;
min w Y T b bTY
-CB B-1 ≤0;
Y≥0
CB:1×m B-1：m ×m
YT= CB B-1
CB B-1：1 ×m Y： m ×1
ATY CT s.t.
Y 0
从上面可以看出：
1、当原问题达到最优时，松弛变量经过上述转换后构成的检验 数的相反数为其对偶问题的一个可行解，反之亦成立
-1 x1 7 0 x3 4
7
1 7/2 0 5/2 -2 -1/2 0 3/2 1 3/2 -1 -1/2 0 -1/2 0 -1/2 -2 -1/2
最优解 X*=（7，0，4， 0）T
Z*=-7
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例6 用对偶单纯形法求解
min w 2x1 3x2 4x3
（P）
x1 2x2 x3 3 2x1 x2 3x3 4
原问题不 可行，应 该换基迭 代。但按 对偶单纯 形法的思 想，每次 均应保证 检验数均 非正
cj
CB XB b -1 x1 3 0 x6 -8
3
-1 -4 0 -3 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 2 - 1 1 -1 0 0 -3 -2 -3 2 1 0 -2 -1 -2 -1 0
j1
x
j
0
（j 1,
, m） , n）
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一、含义和研究对象
2、灵敏度分析的研究对象：
• 目标函数的系数 cj 变化对最优解的影响； • 约束方程右端系数 bi 变化对最优解的影响； • 约束方程组系数矩阵 A 变化对最优解的影响 ；
①这些系数在什么回范答两围个内问题发：生变化时，最优解不变？ ②系数变化超出上述范围，如何用最简便的方法求出 新的最优解？
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第五节 灵敏度分析
一、含义和研究对象
1、什么是灵敏度分析？ 灵敏度分析是指系统或事物因为周围条件变化
而显示出来的敏感程度分析。
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第五节 灵敏度分析
在生产计划问题的一般形式中，A代表企业的技术状 况，b代表企业的资源状况，而C代表企业产品的市场状 况，在这些因素不变的情况下企业的最优生产计划和最大 利润由线性规划的最优解和最优值决定。
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第四节 对偶单纯形法
怎么做呢？
① 先找一个基，建立初始对偶单纯形表，使检 验数全部非正，即C全部为非正； ② 若b列元素非负，则已经是最优基。反之， 则换基迭代，直至原问题可行。
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第四节 对偶单纯形法
例 用对偶单纯形法求解
maxZ x1 4x2 3x4
也就是说：对偶单纯形法是在保持原问题所有检验数 都小于等于零的基础上，通过迭代，使原问题的解（即 右边常数项）都大于等于零，从而求得最优解。
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第四节 对偶单纯形法
使用对偶单纯形法必须满足两个条件： （1）单纯形表中的所有检验数必须符合对偶可行，即 小于等于0
（2）初始解不可行，即右端常数项有负分量（如果原 问题可行，则直接用单纯形法）
单 系数
行解
纯
形
0
Xs
b
表
cj zj
非基变量 XB XN BN CB CN
பைடு நூலகம்
基变量 Xs I 0
最 优 单 纯 形 表
基变量 基变量 基可
系数
行解
CB
XB
B-1b
cj zj
基变量
非基变量
XB
XN
Xs
CN－CBB-1N ≤0
I
B-1N
B-1
0
CN－CBB-1N －CBB-1
－CBB-1 ≤0
原问题基变量的最优解：X*=B-1b 最优值：Z*=CBB-1b 对偶问题决策变量的最优解<影子价格>： Y*T= CBB-1
0
x1 x2 x3 x4 x5 x6 -1 -2 1 - 1 1 0 2 1 -4 -1 0 1 -1 -4 0 -3 0 0
mi
n
1 1
,
4 2
,
3 1
1
cj
-1 -4 0 -3 0 0
CB XB b -1 x1 3 0 x6 -8
3
x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 2 - 1 1 -1 0 0 -3 -2 -3 2 1 0 -2 -1 -2 -1 0
x1 2x2 x3 x4 3
x
2x j
10 jx2
1,24,x33,4 x4
2
将约束方程化为标准型，再用（-1）乘不等式两边
maxZ x1 4x2 3x4
x1 2x2 x3 x4 x5 3
2 x
x
j
10x j2
14,x23, x,64
项目
非基变量
XB XN
0 XS b B N
Cj-Zj
CB CN
基变量 XS I 0
项目
CB
CN
0
基变量
非基变量
XB
XN
XS
CB XB B-1 b
I B-1 N
B-1
Cj-Zj
0 CN -CB B-1 N -CB B-1
单纯形法是在保持所有约束条件常数项总是保持大于等于零的情 况（保证可行），通过迭代，使所有检验数小于等于零（求最大 值），求得最优解。
x1 2x2 x3 x4 3
x
2x j
10 jx2
1,24,x33,4 x4
2
该问题用单纯形法求解时，需要先化标准型，此时约束
方程两边左边需要减去剩余变量，同时为了构造单位阵，
需要添加人工变量，采用大M法求解。
思考：上面约束方程化为标准型后，两边乘以-1， 就可得到单位阵。此时能否用单纯形法？原因?
第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
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第四节 对偶单纯形法
对偶单纯形法并不是求对偶问题解的方法，而是利用单纯形 法求解规划问题时运用了对偶理论。
也就是说：对偶单纯形法与单纯形法一样都是是求解线性规划 的一种基本方法。它是根据对偶原理和单纯形法原理设计出来的， 因此称为对偶单纯形法。
也就是说，当原问题达到最优时，对偶问题的解可行。并且根据 对偶的性质，我们可以确定此时对偶问题也达到最优
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初始单纯形表
项目
非基变量
XB XN
0 XS b B N
Cj-Zj
CB CN
基变量 XS I 0
项目
基变量
非基变量
CB XB B-1 b Cj-Zj
XB
XN
XS
I B-1 N
B-1
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二、进行灵敏度分析的基本原则
1、在最终单纯形表的基础上进行； 2、尽量减少附加的计算工作量；
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三、灵敏度分析的步骤
1. 先求问题的最优解. 2. 将参数的改变通过计算反映到最终单纯形表上来. 3. 检查原问题的可行解和检验数是否满足最优. 4. 依据不同情况决定继续计算或得到结论.
原问题 对偶问题
结论或继续计算的步骤
可行解 可行解 问题的最优解或最优基不变 可行解 非可行解 用单纯形法继续迭代求最优解 非可行解 可行解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 非可行解 非可行解 引进人工变量，编制新的单纯形表重
新计算
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四、灵敏度分析的主要内容
1. 分析 cj 的变化 2. 分析 bi 的变化
x1, x2, x3 0
解：先将这问题化成下列形式，以便得到对偶
问题的初始可行基
max z 2 x1 3x2 4 x3
（P）
x1 2 x2 x3 x4 3 2 x1 x2 3 x3 x5 4
x j 0, j 1,2,,5
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在实际生产过程中，上述三类因素均是在不断变化 的，如果按照初始的状况制订了最佳的生产计划，而在计 划实施前或实施中上述状况发生了改变，则决策者所关心 的是目前所执行的计划还是不是最优，如果不是应该如何 修订原来的最优计划。更进一步，为了防止在各类状况发 生时，来不及随时对其变化作出反应，即所谓“计划不如 变化快”，企业应当预先了解，当各项因素变化时，应当 作出什么样的反应。
-4 0 0
4/3
-
-
1/2 1 -1/2
3/2 0 -1/2
-1
0
-1
-
-
2
-1/5 7/5 -3/5
-2/5 -1/5 -8/5
1/5 -2/5 -1/5
X ( 11 / 5,2 / 5,0,0,0 )T
w
-z
28 5
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第四节 对偶单纯形法
使用对偶单纯形法求初始解时右边常数项可以为负， 所以对于一些大于等于号的约束表达式不需要添加人工 变量，只要两边同时乘上-1，就可用对偶单纯形法求解， 简化计算，这是该方法的优点。缺点是很难找到一个初 始解使得所有检验数都小于等于零，因而很少单独使用。
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第四节 对偶单纯形法
例 用对偶单纯形法求解
maxZ x1 4x2 3x4
x1 2x2 x3 x4 3
x
2x j
10 jx2
1,24,x33,4 x4
2
能否用对偶单纯形法呢？
原问题表中的检验数满足最优性条件
CN-CB B-1 N≤0
ATY ≥ CT;
min w Y T b bTY
-CB B-1 ≤0;
Y≥0
CB:1×m B-1：m ×m
YT= CB B-1
CB B-1：1 ×m Y： m ×1
ATY CT s.t.
Y 0
从上面可以看出：
1、当原问题达到最优时，松弛变量经过上述转换后构成的检验 数的相反数为其对偶问题的一个可行解，反之亦成立
-1 x1 7 0 x3 4
7
1 7/2 0 5/2 -2 -1/2 0 3/2 1 3/2 -1 -1/2 0 -1/2 0 -1/2 -2 -1/2
最优解 X*=（7，0，4， 0）T
Z*=-7
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例6 用对偶单纯形法求解
min w 2x1 3x2 4x3
（P）
x1 2x2 x3 3 2x1 x2 3x3 4
原问题不 可行，应 该换基迭 代。但按 对偶单纯 形法的思 想，每次 均应保证 检验数均 非正
cj
CB XB b -1 x1 3 0 x6 -8
3
-1 -4 0 -3 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 2 - 1 1 -1 0 0 -3 -2 -3 2 1 0 -2 -1 -2 -1 0
j1
x
j
0
（j 1,
, m） , n）
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一、含义和研究对象
2、灵敏度分析的研究对象：
• 目标函数的系数 cj 变化对最优解的影响； • 约束方程右端系数 bi 变化对最优解的影响； • 约束方程组系数矩阵 A 变化对最优解的影响 ；
①这些系数在什么回范答两围个内问题发：生变化时，最优解不变？ ②系数变化超出上述范围，如何用最简便的方法求出 新的最优解？
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第五节 灵敏度分析
一、含义和研究对象
1、什么是灵敏度分析？ 灵敏度分析是指系统或事物因为周围条件变化
而显示出来的敏感程度分析。
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第五节 灵敏度分析
在生产计划问题的一般形式中，A代表企业的技术状 况，b代表企业的资源状况，而C代表企业产品的市场状 况，在这些因素不变的情况下企业的最优生产计划和最大 利润由线性规划的最优解和最优值决定。
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第四节 对偶单纯形法
怎么做呢？
① 先找一个基，建立初始对偶单纯形表，使检 验数全部非正，即C全部为非正； ② 若b列元素非负，则已经是最优基。反之， 则换基迭代，直至原问题可行。
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第四节 对偶单纯形法
例 用对偶单纯形法求解
maxZ x1 4x2 3x4
也就是说：对偶单纯形法是在保持原问题所有检验数 都小于等于零的基础上，通过迭代，使原问题的解（即 右边常数项）都大于等于零，从而求得最优解。
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第四节 对偶单纯形法
使用对偶单纯形法必须满足两个条件： （1）单纯形表中的所有检验数必须符合对偶可行，即 小于等于0
（2）初始解不可行，即右端常数项有负分量（如果原 问题可行，则直接用单纯形法）
单 系数
行解
纯
形
0
Xs
b
表
cj zj
非基变量 XB XN BN CB CN
பைடு நூலகம்
基变量 Xs I 0
最 优 单 纯 形 表
基变量 基变量 基可
系数
行解
CB
XB
B-1b
cj zj
基变量
非基变量
XB
XN
Xs
CN－CBB-1N ≤0
I
B-1N
B-1
0
CN－CBB-1N －CBB-1
－CBB-1 ≤0
原问题基变量的最优解：X*=B-1b 最优值：Z*=CBB-1b 对偶问题决策变量的最优解<影子价格>： Y*T= CBB-1
0
x1 x2 x3 x4 x5 x6 -1 -2 1 - 1 1 0 2 1 -4 -1 0 1 -1 -4 0 -3 0 0
mi
n
1 1
,
4 2
,
3 1
1
cj
-1 -4 0 -3 0 0
CB XB b -1 x1 3 0 x6 -8
3
x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 2 - 1 1 -1 0 0 -3 -2 -3 2 1 0 -2 -1 -2 -1 0
x1 2x2 x3 x4 3
x
2x j
10 jx2
1,24,x33,4 x4
2
将约束方程化为标准型，再用（-1）乘不等式两边
maxZ x1 4x2 3x4
x1 2x2 x3 x4 x5 3
2 x
x
j
10x j2
14,x23, x,64
项目
非基变量
XB XN
0 XS b B N
Cj-Zj
CB CN
基变量 XS I 0
项目
CB
CN
0
基变量
非基变量
XB
XN
XS
CB XB B-1 b
I B-1 N
B-1
Cj-Zj
0 CN -CB B-1 N -CB B-1
单纯形法是在保持所有约束条件常数项总是保持大于等于零的情 况（保证可行），通过迭代，使所有检验数小于等于零（求最大 值），求得最优解。
x1 2x2 x3 x4 3
x
2x j
10 jx2
1,24,x33,4 x4
2
该问题用单纯形法求解时，需要先化标准型，此时约束
方程两边左边需要减去剩余变量，同时为了构造单位阵，
需要添加人工变量，采用大M法求解。
思考：上面约束方程化为标准型后，两边乘以-1， 就可得到单位阵。此时能否用单纯形法？原因?
第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
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第四节 对偶单纯形法
对偶单纯形法并不是求对偶问题解的方法，而是利用单纯形 法求解规划问题时运用了对偶理论。
也就是说：对偶单纯形法与单纯形法一样都是是求解线性规划 的一种基本方法。它是根据对偶原理和单纯形法原理设计出来的， 因此称为对偶单纯形法。
也就是说，当原问题达到最优时，对偶问题的解可行。并且根据 对偶的性质，我们可以确定此时对偶问题也达到最优
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初始单纯形表
项目
非基变量
XB XN
0 XS b B N
Cj-Zj
CB CN
基变量 XS I 0
项目
基变量
非基变量
CB XB B-1 b Cj-Zj
XB
XN
XS
I B-1 N
B-1
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二、进行灵敏度分析的基本原则
1、在最终单纯形表的基础上进行； 2、尽量减少附加的计算工作量；
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三、灵敏度分析的步骤
1. 先求问题的最优解. 2. 将参数的改变通过计算反映到最终单纯形表上来. 3. 检查原问题的可行解和检验数是否满足最优. 4. 依据不同情况决定继续计算或得到结论.
原问题 对偶问题
结论或继续计算的步骤
可行解 可行解 问题的最优解或最优基不变 可行解 非可行解 用单纯形法继续迭代求最优解 非可行解 可行解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 非可行解 非可行解 引进人工变量，编制新的单纯形表重
新计算
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四、灵敏度分析的主要内容
1. 分析 cj 的变化 2. 分析 bi 的变化
x1, x2, x3 0
解：先将这问题化成下列形式，以便得到对偶
问题的初始可行基
max z 2 x1 3x2 4 x3
（P）
x1 2 x2 x3 x4 3 2 x1 x2 3 x3 x5 4
x j 0, j 1,2,,5
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在实际生产过程中，上述三类因素均是在不断变化 的，如果按照初始的状况制订了最佳的生产计划，而在计 划实施前或实施中上述状况发生了改变，则决策者所关心 的是目前所执行的计划还是不是最优，如果不是应该如何 修订原来的最优计划。更进一步，为了防止在各类状况发 生时，来不及随时对其变化作出反应，即所谓“计划不如 变化快”，企业应当预先了解，当各项因素变化时，应当 作出什么样的反应。
-4 0 0
4/3
-
-
1/2 1 -1/2
3/2 0 -1/2
-1
0
-1
-
-
2
-1/5 7/5 -3/5
-2/5 -1/5 -8/5
1/5 -2/5 -1/5
X ( 11 / 5,2 / 5,0,0,0 )T
w
-z
28 5
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第四节 对偶单纯形法
使用对偶单纯形法求初始解时右边常数项可以为负， 所以对于一些大于等于号的约束表达式不需要添加人工 变量，只要两边同时乘上-1，就可用对偶单纯形法求解， 简化计算，这是该方法的优点。缺点是很难找到一个初 始解使得所有检验数都小于等于零，因而很少单独使用。