二次根式讲解全套整合

【知识回顾】

1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：

（1）（a）2=a（a≥0）；（2

）

5.二次根式的运算：

（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

（a≥0，b≥0）；=（b≥0，a>0）．

（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

【典型例题】

1、概念与性质

例1下列各式1-

其中是二次根式的是_________（填序号）．

a（a＞0）

=

=a

a2

a

-（a＜0）

0 （a=0）；

例2、求下列二次根式中字母的取值范围

（1）

x x --

+315；（2）

2

2)-(x

例3、 在根式1)

222;2)

;3);4)275

x

a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)

例4、已知：

的值。求代数式22,211881-+-

+++-+-=x y

y x x y

y x x x y

例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2

()a b -=b －a ，则 ( )

A. a>b

B. a

C. a ≥b

D. a ≤b 2、二次根式的化简与计算 例1. 将

根号外的a 移到根号内，得 ( ) A.

； B. －

； C. －

； D.

例2. 把（a －b ）

－1

a －

b 化成最简二次根式

例3、计算：

例4、先化简，再求值：

11()

b

a b b a a b ++++，其中a=512+，b=512-．

例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：2

2

2

()a b a b ---

3、在实数范围内分解因式 例. 在实数范围内分解因式。（1）； （2）

4、比较数值

当0,0a b >>时，①如果a b >>a b <<

例1、比较的大小。

（2）、平方法

当0,0a b >>时，①如果2

2

a b >，则a b >；②如果2

2

a b <，则a b <。

例2、比较

（3）、分母有理化法

通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 例3

的大小。

（4）、分子有理化法

通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

例4、。

（5）、倒数法

例5

（6）、媒介传递法

适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

例633的大小。

在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ①0a b a b ->⇔>；②0a b a b -<⇔< 例7、比较2131++与2

3

的大小。

（8）、求商比较法

它运用如下性质：当a>0，b>0时，则： ①

1a a b b

>⇔>； ②

1a a b b

<⇔<

例8、比较53-与23+的大小。

5、规律性问题

例1. 观察下列各式及其验证过程：

， 验证：

；

验证:.

（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4

4

15

的变形结果，并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n ≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程. 例2. 已知，则a _________

发展：已知，则a ______。

例3、化简下列各式：

（1423+ （2526-

例4、已知a>b>0，a+b=6ab ，则

a b

a b

-+的值为（ ）

A ．

22 B ．2 C ．2 D ．12

例5、甲、乙两个同学化简

时，分别作了如下变形：

甲：==；

乙：=。 其中，（ ）。

A. 甲、乙都正确

B. 甲、乙都不正确

C. 只有甲正确

D. 只有乙正确

【基础训练】

1．化简：（1

__ __； （2

=___ __； （3

=___ _；

（4

0,0)x y ≥≥=___ _； （5）_______420

=-

。

2.(08，安徽)

=_________。

3.（08的结果是

Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2 Ｄ．4 4. 化简：

（1）

（08，的结果是 ；

（2

的结果是 ； （3）(08，宁夏)825-= ； （4）（

08，黄冈）

5-2=_____

_；

（5）（08，宜昌）

3＋（5－3）=_________； （6）

；