非齐次泊松过程的仿真方法

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第三章泊松(Poisson)过程.

基础部张守成 2020年2月28日星期五
4. 齐次泊松过程的两个相关随机变量
设{N (t), t 0}是强度为的泊松过程，Wn(n 1)
表示事件第n次出现的等待时间.
W0 0
记 Ti Wi Wi1, i 1,2, 则Ti 表示第n-1次
事件发生到第n次事件发生的时间间隔.
（每小时）的泊松过程 {N(t), t 0}, 若每个人消费的金额（元）为独立同分布的随机变量 Yn：
f ( y) 0.05e0.05 y ( y 0)
设 X(t) 表示 [0,t) 时间内该超市的总营业额，求3 小时内总营业额的期望和方差.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: E[N (t)] t,
方差函数: DN (t) Var[N (t )] t
E[ N (t)].
t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件数目的均值.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
(2) 协方差函数:
设{N(t), t0}是强度的泊松过程,{Yk,k=1,2,}是
独立同分布随机变量序列,且与{N(t), t0}独立,令
N (t)
X (t) Yk , t 0 k 1
则称为复合泊松过程. 例设N(t)是在(0, t]内来到某商店的顾客数,Yk是
N (t)
第k个顾客的花费,则 X (t) 是Yk (0, t]内的营业额. k 1
如果对任意的实数h 和 0 s h t h,
X (t h) X (s h) 和 X (t) X (s) 具有相同的分布, 则称增量具有平稳性.

泊松、非时齐泊松、离散马氏链仿真

随机模拟报告2011211173航院陈金秀在本次所有的模拟过程中，下标为1作为开始时刻，如在泊松过程中，是用S(1)表示第0次跳跃的时间，取为0。

S(i)表示第i —1次跳跃的时间，S(3)表示N(t) 2的时刻, X(i)也是采取类似的取法。

1•泊松过程的模拟1)对于参数为时齐泊松过程的模拟。

时齐泊松过程的模拟是基于，N(t)每次增加的时间间隔，即每次跳跃的时间间隔是独立且服从参数为的指数分布。

所以时齐泊松过程的模拟本质上是模拟每次跳跃的时间间隔。

方法为生成一个在0到1上的随机数X，然后取丫In(X)，则丫就是参数为的指数分布。

对于3000次的跳跃的模拟过程，就是用此方法生成3000个Y(i)，则第N次跳跃的N时刻S N Y(i)。

Y(0)表示表示初始时间取为0，在编程的时候，由于不指定如何用向i 0量表示Y(0),都是采用Y(i)表示第i—1次的跳跃时间间隔，其余相关符号也采用类似方法详情可以见代码中的注释。

以S为横坐标，纵坐标表示跳跃后的值，就可以得到跳跃过程，如图所示：局部放大后如下图所示:2)对于强度函数(t)的/非时齐泊松过程t 根据定理2.6.2 (2),对于非时齐泊松过程，先由(t)计算函数m(t) o (s)ds，对于1的时齐泊松过程M (u)，令N(t) M (m(t))，则N(t)就是强度函数为⑴的泊松过程。

所以采用的方法是先模拟一个参数为1的时齐泊松过程，然后对于每次跳跃时间，代入im(t)的反函数，可以求得非时齐泊松过程的各次跳跃时间，本例中取(t) t '，10次跳跃，900条轨道，对首达时间进行频数统计，得到直方图如下图所示：2.计算积分对于状态空间S 0,1,2,3，初始分布(0)0.2,0.3,0.2,0.3，一步概率转移矩阵由大数定律当n 时，n，这表明可以用随机模拟的方法计算积分。

其参考解为(3)(0) 0.4987。

首先生成A~ U (0,1)的随机数，则(0,3)上的随机数为3x x13X 3A ，则积分式=3°f(3—)d(—) 3°f(3y)dyf (3U i )。

基于泊松过程的模拟方法研究

独立随机变量（Ｕ１，Ｕ２… Ｕｎ）的次序统计量有相同的ｎ维
联合分布．
依据定义１和引理１，可以得到如下模拟方法，使
得齐次泊松过程在（０，Ｔ］上实现，操作步骤是：
① 选定Ｔ＞０，并产生参数为 λＴ的泊松分布随机
机数
ｙｉ，若
ｙｉ≤λ１（
２
Ｓｉ）
／λ２（
２
Ｓｉ）
，则保留点
Ｓ２ｉ，反之则不保留．
③令被保留下来的点按从小到大的次序排列成Ｓ２ｉ
１２
１
１，Ｓ２ｉ２， … ，Ｓ２ｉｋ … ．再令对每个正整数ｋ有Ｓｋ＝Ｓｉｋ，则｛Ｓｋ，
的现实或原有的过程Ｎ２的现实得到所要求解的过程
Ｎ１的现实的模拟方法，操作步骤如下：
①产生过程Ｎ２的现实｛Ｓ２ｉ，ｉ≥１，２， …｝（其中Ｓ２ｉ是Ｎ２的第ｉ个点发生时间）．
② 对每一个ｉ，独立地产生在［０，１］上均匀分布的随
文章编号：１６７２－７０１０（２００７）０１－０００７－０２
基于泊松过程的模拟方法研究
Ｖｏｌ．４Ｎｏ．１Ｍａｒ．，２００７
夏冬晴１，补爱军２，蒋耀龙３
（１．邵阳学院理学与信息科学系，湖南邵阳４２２０００；２．怀化学院数学系，湖南怀化４１８０００；３．新宁县第一中学，湖南新宁４２２７００）

泊松过程及维纳过程

随机事件{ N(t0,t) k } 的概率为 Pk (t0 , t ) P{ N (t0 , t ) k }, k 0,1, 2,. 对N (t)的假设
(1) 在不相重叠的区间上的增量具有独立性.
(2) 对于充分小的t ,
P1(t,t t) P{N (t,t t) 1} t o(t), 常数 0 称为过程 N(t) 的强度.
令 t0 0, 根据假设 N (0) 0 可得
E[N (t)] t,
均值函数
DN (t) Var[N (t)] t,
方差函数
E[ N (t)].
t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值.
C N (s, t ) min( s, t ), s, t 0. 协方差函数
fTi (t)
et
0
fti1 (ti1 )dti1
et
0 fti1 (ti1 )dti1
et , t 0,
fTi (t) 0, t 0.
et , t 0,
fTi
(t
)
0,
t 0.
i 2, 3,.
结论点间间距序列{Ti } 服从相同的指数分布.
理论上, T1, T2,,Ti , 是相互独立的随机变量.
记 Y(t) X(t) X (t).
当 X (t) 具有独立增量时, Y (t ) 也具有独立增量; Y (0) 0, E[Y (t)] 0, DY (t) E[Y 2 (t)] DX (t). 因此,当0 s t 时, 有
C X (s,t) E[Y (s)Y (t)] E{[Y (s) Y (0)][(Y (t) Y (s)) Y (s)]}
称作强度为的泊松流 .
增量的分布律

泊松过程及例子1

,
(t) n1
(n 1)!
积分得
eλtPn(t)=
+(ct.) n
n!
பைடு நூலகம்
由于Pn(0)=P{X(0)=n}=0, 因而c=0, 所以 Pn(t)=e-λt . (t)n
由条件(2)X(t)是独立、n! 平稳增量过程,故有
P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt ,(nt=)n0,1,2,…
n! 故定义3.3蕴涵定义3.2.
所以 P0 (t h)=-Pλ0 (Pt)0(t)+ .
h
o(h) h
令h→0取极限得 P’0(t)=-λP0(t) 或
=P0-(λt ). P0 (t)
积分得 lnP0(t)=-λt+C 即 P0(t)=ke-λt.
由于P0(0)=P{X(0)}=1, 代入前式得 P0(t)=e-λt. 类似地,对于n≥1,有
(t)k et
kn k!
t0
首页
于是 Wn 的概率密度为
f (t) F(t)
(t)k1 et (t)k et
kn (k 1)!
kn (k )!
(t)n1 et (t)k1 et (t)k et
(n 1)! kn1 (k 1)!
kn (k )!
et (t)n1
P1(t)=(λt+c)e-λt.
由于P1(0)=0, 代入上式得
以假下设Pc用n={X-0数1(,t时P学+1有s归()t-结)纳X=论(法λst,)证证e=-nλ对明t}.=n: P有en-λ:(tt)=(,nt(=)enn0t-!)λ,n1t成,2立,…..
根式据,有[[eeλλddddttttPPnn((tt))]]==λλeeλλttPn-1e(t-λ)((tn=t) n1n)1!!

6.非齐次泊松过程与更新过程

上式两边同减P0 (t )，再同除h得到 P0 (t h) P0 (t ) o( h) P0 (t ) P0 (t )，当h 0时得 h h P0(t )＝ P0 (t ) (). 当n 1时： Pn (t h) PN (t h) n
命题2.3.4 : 强度为的Poisson过程 N (t ), t 0的到达时间间隔 X1 , X 2 , 是相互独立的随机变量列，并 1
X n，n 1称为到达时间间隔序 .列
具有相同的均值为的指数分布.

x0 0, n 分布密度函数：f ( x) n 1 x x e ,x 0 n x0 0, n 1时为负指数分布：f ( x) x e , x 0 函数：( s ) e x x s 1dx ( s 0)
Pn (t ) z z Pn 1 (t ) z n 1
n n 0 n 0

Pn (t ) z n z Pn (t ) z n ( P1 (t ) 0)
n 0 n 0

( z 1) Pn (t ) z n

N( t )
i 1
Yi
称{ X n ,n 0 }为复合Poisson过程. 其矩母函数为 t exp{t( Y1 ( u ) 1 )}; 均值函数 : EX ( t ) t' ( 0 ) tEY1 ; 方差函数 : VarX ( t ) t" ( 0 ) ( t' ( 0 ))2 tEY12 .
条件Poisson过程随机变量Y的分布函数为G( y ),若在Y 的条件下,{ N ( t ),t 0 }是强度为的Poisson过程 ,称此过程为条件Poisson过程.有 :

非齐次泊松过程与复合泊松过程

E ((1: 30) - (0 : 30)) 10
29
四、复合泊松过程

在人们的日常生活中，泊松过程往往不是单独存在的。比如顾客到商店，不会只是在商店转一圈，往往会购物(当然，进去转转不买也是有的)。生产线的机器坏了，维修的时候会有维修费用。参加保险公司的医疗保险人生病，保险公司会对其作出赔偿等。这一系列的泊松过程都会有累积的事件参杂在其中。如果我们能够将这些累积的事件和泊松过程联系起来，找出一定的规律，也许就能成为解决某些生活规律的工具。例如，算出商店一天的营业额，生产线一年的机器维修费用，保险公司的预备赔偿金的存储额等。因此，可以看出，前面多考虑的泊松过程，并未涉及到“泊松过程质点”的大小，确定这些泊松过程质点的累积效果的随机过程及其概率结构是有实际意义的。
非齐次泊松过程复合泊松过程
主讲人：张建军
2015.5.01
1
一、泊松过程的定义二、齐次泊松过程三、非齐次泊松过程四、复合泊松过程
2
一、泊松过程的定义
泊松过程是一类较为简单的时间连续状态离散的随机过程。一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。
3
一、泊松过程的定义
泊松过程是由法国著名数学家泊松（Poisson,
0
11
三、非齐次泊松过程
下面我们将从均值函数的层面解释非齐次泊松过程与齐次泊松过程的不同之处：在齐次泊松过程中，由于齐次性，即它的平稳增量过程，过程的强度为λ，因此，在（s ，t＋s）内，其均值为λt。在非齐次泊松过程中，由于非齐次性，即强度函数的为λ（t），因此： t 在（0 ，t）内，均值为 (t ) 0 ( s)ds 在 (0, t t ) 内，均值为：(t t )

第三章泊松(Poisson)过程

E[ N ( t )] t ,
DN (t ) Var[ N (t )] t
E[
N (t ) ]. t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件数目的均值.
基础部张守成 2014年6月18日星期三
(2)
协方差函数:
C N ( s, t ) mins, t , s, t 0.
基础部张守成 2014年6月18日星期三
(1) 7时至9时为t(2,4],则由非齐次泊松过程的性质可得7时至9时乘车人数的数学期望为
E[ N (4) N (2)] m(4) m(2)
( t )dt
2
4
(200 400t )dt 1400dt
2 3
3
4
由于Wn Ti , 利用矩母函数容易证明
i 1
n
Wn ~ (n, ), 即Wn具有概率密度
t ( t )n 1 ,t 0 e fWn ( t ) ( n 1)! 0 , t 0
基础部张守成 2014年6月18日星期三
二、泊松过程的推广
由于 N ( s, t ) N ( t ) N ( s) ~ ( (t s )) ， (1) E[ N (t ) N ( s )] Var[ N (t ) N ( s )] (t s ).
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: 方差函数:
P Yn 2 0.4，P Yn 3 0.4， P Yn 4 0.1.
设X (t)表示 [0, t )时间内移民到该地的人口数，求在五周内移民到该地人口数的的期望和方差.
X ( t ) Yn 是复合泊松过程, 解：由Yn的分布律可得

产生泊松过程的方法

P{N (t ) k}
k
k!
e (k 0,1, 2,
).
设待产生的泊松过程 {N (t ), t 0} 的强度为，以 Si 表示第 i 个事件的发生时刻， Ti 表示第 i 个事件与第 i 1 个事件之间的事件间隔( i 1, 2, )，则 Sn Ti 。
t t
设 (t ) ，其中为一常数，而 s1 , s2 , , sn , 为参数的齐次泊松过程的事件发生的时刻，对每个 si ，以概率 (si ) / 进行保留，以概率 1 (si ) / 舍弃，由此得到的序列 s(1) , s(2) , , s( n) , 是强度为 (t ) 的非齐次泊松过程事件发生的时刻。证明：显然 s(1) , s(2) , , s( n) , 是 s1 , s2 , , sn , 的稀疏，因此满足非齐次泊松过程定义中的（1）~（3），设
i 1 nLeabharlann 1.1 顺序统计量法引理 1. 设总体 X 具有密度 f ( x) ，则 X 的简单随机样本 ( X1 , X 2 , , X n ) 的顺
序统计量 ( X1( n) , X1( n) , , X n( n) ) 的联合概率密度为
g (t1 , t2 , n n ! f (ti ), t1 t2 , tn ) i 1 0, 其他 tn ,
X1 , X 2 , , X n 随机变量的顺序统计量分布相同，因此可按如下步骤产生齐次泊松
过程：（1）设终止时间为 T，产生泊松分布 N(T)的一个随机数 n；（2）产生 n 个[0,T]上的均匀分布的随机数；（3）把这 n 个均匀分布随机数从小到大排列，就得到了齐次泊松过程的发生时间序列 S1 , S2 , , Sn 。

非齐次泊松过程定义

例：假设每秒钟IP包以速率为λ =1的泊松分布到达某路由器。
（1）直到第10个IP包到达的时间期望是多少？
（2）第10个IP包到达和第11个IP包到达之间的时间超过2秒的概率是多少？
解: (1)第10个IP包的到达时间S10，Sn服从参数n与λ的Γ分布
期望：n/ λ, 方差：n/ λ2
E(S10 ) 10 / 10秒
se s e (t s ) s t te t
事件发生的时间均匀分布在[0,t]上
定理：给定N(t)=n,
n个到达时间S1 ,< …, <Sn 与n个在 (0,t) 上均匀分布的独立随机变量所对应的次序统计量有相同的分布。
f ( s1 ,...,sn , n) f ( s1 ,...,sn | n) P( N (t ) n)
＝Pk(t)[1-h+o(h)]+Pk-1(t)[h+o(h)]+o(h)
pk (t h) pk (t ) o( h) pk (t ) pk 1 (t ) , h h
pk ' (t ) pk (t ) pk 1 (t ) 令h 0得， ,(k 0,1,2,) pk (0) P{N (0) k} 0

0
时间间隔Tn，指数分布的期望
c xf X | X y ( x)dx F ( y ) f ( x) c x dx F ( y) F ( y )
d E[ R( y )] 0 dy
yF ( y ) xf ( x)dx
y

y
xf ( x)dx c / F ( y)
称为此过程的速率或强度

非齐次泊松过程的仿真方法

第１５卷第１期高等数学研究，Ｖｏｌ．１５Ｎｏ．１２０１２年１月ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ，Ｊａｎ．２０１２Ｏ２２７Ａ１００８－１３９９２０１２０１－００８６－０４现实中许多的随机现象都可以用齐次泊松过程去描述，但是齐次泊松过程描述的现象要求事件的发生具有平稳性，即事件发生的强度为常数，不随时间的变化而变化．事实上，更多的随机现象事件发生的强度与时间有关系，如到达银行的顾客在一天或一月中的不同日子具有波动性，这就需要用非齐次泊松过程去描述．因此非齐次泊松过程是程．利用参见文［３］之附录．有些非齐次泊松过程的方法需基于齐次泊松过程的仿真，因此首先介绍齐次泊松过程的仿真方法．１齐次泊松过程的仿真１．１齐次泊松过程的定义定义１计数过程｛Ｎ（ｔ），ｔ≥０｝称为强度为λ的齐次泊松过程，如果满足（）Ｎ（０）＝０；（）具有平稳独立增量；收稿日期：２００９－０８－０９；修改日期：２０１１－０５－１０：ｎ（）Ｐ｛Ｎ（ｔ＋ｈ）－Ｎ（ｔ）≥２｝＝ｏ（ｈ）；（）Ｐ｛Ｎ（ｔ＋ｈ）－Ｎ（ｔ）＝１｝＝λ（ｈ）＋ｏ（ｈ）．可以证明［４］ｋ１．２．１产生间隔时间法泊松过程过程具有如下性质．定理１［１］３１设泊松过程｛Ｎ（ｔ），ｔ≥０｝的强度为λ，则｛Ｔｉ，ｉ＝１，２，…｝为独立同分布的参数λ指数分布随机变量序列．根据定理１，只要产生参数为λ指数随机变量的随机数，作为事件发生的时间间隔，再依次求和就可以得到强度为λ的泊松过程事件发生时刻序列．１．２．顺序统计量法Ｘ的简（ｎ），Ｘ１Ｘ２，…，）的联合概率密度为Ｘｎｎ！（）＜＜…＜，，ｔｔｎｆｔｔ∏ｉ１２ｎｉ１由引理的，，为Ｘ１Ｘ２ＸｎｆＳ１，Ｓ２，…，Ｓｎ｜Ｎ（ｔ）（ｔ１，ｔ２，…，ｔｎ｜ｎ）＝ｎ！，０＜ｔ１＜ｔ２＜ … ＜ｔｎ＜ｔ，ｎｔ０，其他．第１５卷第１期宁如云：非齐次泊松过程的仿真方法８７定理２［１］３７在Ｎ（ｔ）＝ｎ的条件下，Ｓ１，Ｓ２，…，Ｓｎ的联合分布为Ｓ２的分布，产生Ｎ（Ｔ）的一个随机数ｎ．（２）产生ｎ个［０，Ｔ］上的均匀分布的随机数．（３）把这ｎ个均匀分布随机数从小到大排列，记为ｓ１，ｓ２，…，ｓｎ即得．２非齐次泊松过程的仿真方法２．１非齐次泊松过程的定义定义２计数过程｛Ｎ（ｔ），ｔ≥０｝｝＝ｏ）＝１｝＝性质］（）（）服从泊松分布，１６２－６３１Ｎｓ＋ｔ－Ｎｓ其参数（）（为）ｍｓ＋ｔ－ｍｓ．２．２仿真方法为Ｔ｛１２．２．２．１稀疏法定理设（），其中为一常数，而，，３λｔ≤λλｓ１ｓ２…，，…为参数的齐次泊松过程的事件发生的时ｓｎλ率，…，，…ｓ（ｎ）ｓｓｎ，… 的稀疏，因此满足中定义２中的（）～（）．以下证明它也满足定义２中的（）．设Ａ＝｛非齐次泊松过程Ｎｔ（）在ｔ（ｔ，＋ｈ］中有一个事件发生｝，Ｂ＝｛齐次泊松过程Ｎｔ（）在ｔ（ｔ，＋ｈ］中有一个事件发生｝，则有（）（）（）ＰＡＢ＝ＰＢＰＡ｜Ｂ＝（），，ｓ（１）ｓ（２）２（ｎ）．根据定理，先产生齐次泊松过程事件发生的３时刻，再按概率稀疏就得到非齐次泊松过程事件发生时刻，步骤如下．（）产生参数的齐次泊松过程的Ｔ前事件发１λ生的时刻，，…，３ｓｉ（１）ｓ（２）（ｋ）出即可．２．２．２尺度变换法定理［１］７６｛，，，…｝为强度函数为４ｓｎｎ＝１２（）的非齐次泊松过程事件发生的时刻的充要条件过＝∫λ发生的时刻．步骤如下．（）产生参数１的齐次泊松过程的Ｔ前事件发１生的时刻，，…，ｚ１ｚ２ｚｎ．（）令－１（），则，，…，为强度为．３定理５设，则在Ｓｎ－１＝ｓｎ－１的条件下，Ｓ０＝０（，，…）的条件密度函数为Ｔｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１ｎ＝１２ｆＴ（＝ｓｎ－１）ｔ｜Ｓｎ－１＝ｎ，其＞ｔ｜Ｓ－１ｓｎ－１｝＝｛（ｓｎ－１，ｓｎ－１＋ｔ）内无事件发生｜Ｓ１＝ｓ１，Ｓ２＝ｓ２，…，Ｓｎ－１＝ｓｎ－１｝＝｛（ｓｎ－１，ｓｎ－１＋ｔ）内无事件发生｜Ｓｎ－１＝ｓｎ－１｝，再根据性质１，Ｐ｛Ｔｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１＞ｔ｜Ｓ１＝ｓ１，Ｓ２＝ｓ２，…，Ｓｎ－１＝ｓｎ－１｝８８高等数学研究２０１２年１月故有（）定理５给出了非齐次泊松过程事件发生间隔时间的条件分布．根据定理５可以先产生Ｔ１分布的随机数ｔ１，令ｓ１＝ｔ１，在此基础上产生Ｔ２分布的随机数ｔ２，依次下去，直至ｔｎ，使得ｓｎ＝ｔ１＋ｔ２＋…＋ｔｎ＞Ｔ，，Ｔ赋＝（［ｍ（ｓ－ｍ（ｓ）］，）ｎ－１ｎ－１，λｓｎ－１＋ｔｅｔ＞０｛０，其他．的随机变量的随机数．（）令，２．２．４理６在（）下，，，Ｎｔ＝ｎＳ１Ｓ２Ｓｎ的分布恰好为密度函数为（）λｕ，，（）（）０＜ｕ≤ｔｍｔ得ｆＳＳ…Ｓｓ１ｓ２ｓｎｓｎｔ＝１２ｎ－［ｍ）－ｍ（０－［ｍ（ｓ）－）（ｓ）］ｍ（ｓ］（）１（）２１…λｓ１ｅλｓ２ｅｎ－［ｍ再由－ｍ（ｔ），ｎ！可得在Ｎ（ｔ）＝ｎ条件下，Ｓ１，Ｓ２，…，Ｓｎ的联合密度函数为ｆＳＳ…Ｓ（ｓ１ｓ２…ｓｎ｜Ｎ（ｔ）＝ｎ）＝１２ｎｎｎ！∏λ（ｓｉ）（０＜ｓ１＜ｓ２＜…＜ｓｎ＜ｔ）．ｉ＝１ｍ（ｔ）根据引理１，可得定理结论成立．由定理６，在条件Ｎ（ｔ）＝ｎ下，产生ｎ个随机数，再从小到大排列即可，具体（）λｕ，，（）（）０＜ｕ≤ＴｍＴ顺序排列即可．３仿真算例设非齐次泊松过程｛Ｎ（ｔ），ｔ≥０｝的强度函数λ（ｔ）＝２ｅ－ｔ５，截止时刻Ｔ＝５，实际系统仿真中可取较长的时间．此时在稀疏法中λ＝２，在尺度变换法中ｍ－１（ｔ）＝－５ｌｎ（１－ｔ）＋ｔ－ｎ－１］－ｅ５ＦＴｔ｜Ｓｎ－１ｎ－１＝１－ｅｎ（，，，，…），ｔ＞０ｓ０＝０ｎ＝１２在顺序统计量法中－ｔ５（）１－ｅ（）０．４７４２１．９１４１２．４０４０２．６１３７３．９９０６４．３３０２尺度变换法，，，，，０．２１３５０．８５７８０．９７３２２．２０９９２．６７２８，４．，，，，０．１８５６１．５６２３２．１８２３３．３４３２３．５０２７４结论通过讨论，可以看到四种方法都需要一定的条件，稀疏法需要强度函数具有上界，尺度变换法需要计算累计强度函数的反函数，产生间隔时间法和顺序统计量法分别需要产生具有一定密度函数的随机变量的随机数，也就需要计算分布函数的反函数，相比之下尺度变换法较为简捷高效．此外对随机过程的每次仿真，得到过程的一个事件发生时刻序列，应较第１５卷第１期高等数学研究，Ｖｏｌ．１５Ｎｏ．１２０１２年１月ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ，Ｊａｎ．２０１２号Ｇ６４２．１码Ａ号（）１００８－１３９９２０１２０１－００８９－０３面对一个有相当难度的概率问题，我们通常并不知道自己得到的求解结果是否一定正确，这时可采用随机模拟的方法，通过判断模拟结果与理论计算是否接近来自我验证结果的正确性．另外，随机模拟又从另一个角度加深了对该问题的理解．因此，随机模拟在概率学习和复杂问题求解过程中都显得十分重要．以下就有一个很好的例子．问题１收稿日期：２０１０－０１－０６；修改日期：２０１１－１２－０７作者简介：肖华勇（１９６９－），男，陕西西安人，博士，副教授，从事概率该问题是我在教改班进行随机数学教学中由一位同学提出的．初时感觉这个问题理论求解比较困难，就采用计算机模拟获得了一个结果．后来深入下去，经过比较复杂的计算求得了理论结果，但发现理论求解与模拟计算结果相差很大．进一步探究，终于发现是模拟过程采用的公式出现了问题，对模．社，：２００１４２５－４３１．［］邓永录，梁之舜随机点过程及其应用［］北京：中国［］张波，张景肖应用随机过程［］北京：清华大学出版４．Ｍ．１．Ｍ．社，科学出版社，：：２００４３３－３４．１９９２１００－１０３．概率论：Ｍ．２ｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＣｏｌｅｇｅ，Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ０５０００３，ＰＲＣ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＢａｓｅｄｏｎｔｗｏｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓＰｏｉｓｓｏｎｐｒｏｃｅｓｓｅｓ，ｆｏｕｒｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓＰｏｉｓｓｏｎｐｒｏｃｅｓｓｅｓａｒｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｔｈｅｙａｒｅｓｐａｒｓｅｍｅｔｈｏｄ，ｓｃａｌｅａｌｔｅｒｎａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ，ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇｔｉｍｅｉｎｔｅｒｖａｌｍｅｔｈｏｄ，ａｎｄｏｒｄｅｒｓｔａｔｉｓｔｉｃｓｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｂａｓｅｓａｎｄｐｒｏｃｅｄｕｒｅｓｏｆｔｈｅｆｏｕｒｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓａｒｅｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．ＡｃｏｎｃｒｅｔｅｅｘａｍｐｌｅｏｆｓｉｍｕｌａｔｉｎｇｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓＰｏｉｓｓｏｎｐｒｏｃｅｓｓｅｓｉｓｐｒｏｖｉｄｅｄ．Ｆｏｕｒｍｅｔｈｏｄｓａｒｅａｐｐｌｉｅｄａｎｄｆｅａｔｕｒｅｓｏｆｔｈｅｓｅｍｅｔｈｏｄｓａｒｅａｎａｌｙｚｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓＰｏｉｓｓｏｎｐｒｏｃｅｓｓｅｓ，ｎｏｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓＰｏｉｓｓｏｎｐｒｏｃｅｓｓｅｓ，ｓｉ。

非齐次泊松过程的数控机床可靠性建模

增刊２
许彬彬，等：非齐次泊松过程的数控机床可靠性建模中，Ｖ－检验如下：齐次泊松过程。Ｈ０：具有非单调趋势。Ｈ１：
·２１１·
本文提出了非齐次泊松过程的数控机床可靠性建模方法，并结合数控机床的失效特点，建立故障率为浴盆曲线的非齐次泊松过程可靠性模型。同时，结合具有随机截尾特点的多样本数控机床现场试验故障数据，对数控机床的可靠性进行了深入分析。
收稿日期：２０１１０３１８．－－
次泊松过程建立的可靠性模型更能贴近于复杂系统的生产实际。
）（（；基金项目：国家科技重大专项（吉林大学科学前沿与交２００９ＺＸ０４０１４０１１２０１０ＺＸ０４０１４０１１）２０１０ＺＸ０４０１４０１６）－－－）；）叉学科创新项目（吉林大学研究生创新研究计划项目（２００９０３１７１２０１１１０５７．，：作者简介：许彬彬（女，博士研究生．研究方向：数控装备可靠性建模技术．１９８２Ｅ－ｍａｉｌｘｕｂｉｎｂｉｎｌｕｆｏｘｍａｉｌ．ｃｏｍ－）＠ｊ，：通信作者：杨兆军（男，教授，博士生导师．研究方向：数控装备可靠性理论与技术．１９５６Ｅ－ｍａｉｌｚｌｕ．ｅｄｕ．ｃｎ－）＠ｙｊｊ
ｏｌ．４１Ｓｕ．２Ｖｐｅｔ．２０１１Ｓｐ
非齐次泊松过程的数控机床可靠性建模

基于非齐次泊松过程和统计仿真的故障样本模拟生成

基于非齐次泊松过程和统计仿真的故障样本模拟生成张勇;邱静;刘冠军;陈循【期刊名称】《机械工程学报》【年(卷),期】2012(48)15【摘要】由于测试性虚拟试验具有成本低、效率高、风险小、故障注入受限少等优点,故障样本量几乎不受限制,可有效弥补测试性实物试验的不足,但同时也对故障样本生成提出新的要求。

为此提出一种适用于测试性虚拟试验的基于非齐次泊松过程和统计仿真的故障样本模拟生成方法。

分析指出可修系统的故障发生过程是随机过程,并用非齐次泊松过程及其参数化模型对其进行数学描述。

给出故障样本模拟生成流程,建立故障事件发生间隔时间的概率分布函数,通过随机数生成和逆变换法,实现故障样本的模拟生成,仿真获得故障发生次数及其相继发生时间。

以某型地平仪为案例进行试验和应用研究。

试验结果表明,采用所提方法进行故障样本模拟生成是有效的,能科学指导可修系统测试性虚拟试验中的故障注入。

【总页数】8页(P75-82)【关键词】测试性虚拟试验;故障样本;非齐次泊松过程;统计仿真【作者】张勇;邱静;刘冠军;陈循【作者单位】国防科学技术大学机电工程与自动化学院;国防科学技术大学装备综合保障技术重点实验室【正文语种】中文【中图分类】TH17;O211【相关文献】1.非齐次泊松过程的仿真方法 [J], 宁如云2.非齐次泊松过程的统计推断 [J], 余君武;朱利之;汤四平3.基于CU变换的非齐次泊松过程的统计验证模型 [J], 范朝霞;赵明;杨剑锋4.立体车库顾客到达的非齐次泊松过程模拟仿真 [J], 杨波;李建国;康耀军5.基于非齐次泊松过程的共享停车场运营策略 [J], 聂楚濠;关宏志;赵鹏飞;王安格因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

第4讲第三章泊松过程

k 1
n
et EDk E[eWk N (t) n]（Dk 与N(t), Wk相互独立） k 1
n
et ED1 E[eWk N (t) n]
k 1
n
E(D1)et E[ eWk N (t) n]
k 1 n
E(D1)et E[
eUk ]
(根据定理3.4 )
k 1
E(D1)et E[ n eUk ] nE(D1)et E(eU1 ) k 1
注：复合poisson过程 X(t)是包含泊松过程的一个复合模型，通常不是泊松过程。
N (t)
定理3.6 设 X (t) 是Y复n ,t合 0泊松过程 n1
其中{N( t ),t≥0}是强度为λ的泊松过程,Yn,n=1, 2, …相互独立且同分布，则
1） {X( t ),t≥0 }是独立平稳、增量过程
P{N(s)=k | N(t)=n}, 0<k<n,0<s<t
证明：
P{N(s)=k | N(t)=n}
PN (s) k, N (t) n
P{N (t) n}
PN (s) k, N (t) N (s) n k
P{N (t) n}
PN (s) k PN (t) N (s) n k
当过程的到达率随时间而变化, 此假设就不合理了.
若过程的增量平稳条件不满足，到达率随时间改变，设到达率为时间函数λ( t ),则引入非齐次泊松过程概念：
定义：如果计数过程满足下列条件 1）N(0)=0； 2）{N( t ),t≥0 }是一个独立增量过程；
3) P{N(t t) N(t) 1} (t)t o(t);
N (t)
iu Yk E e k 1

非齐次泊松过程的统计推断

＞０ｉ＝１２… ，，，，ｍ即ｍ台样机为同型样机，这样就可以利用ｍ台样机的试验数据来估计单台样机的参数和可靠性指标，其估计方法可参见文献［］我们假设凰ｌ５。成立，拒绝了Ｈｏ即而２
（）＝口一，ｆ＞ｏ＞０ｉ＝１２ … ，１口，，，，ｍ（）２
如何对单台样机的参数和可靠性指标进行统计推断？（）当２式成立时，即样机不是同型的，文献［］中的方５法就无法使用，需要寻找新的方法。在本文定义了系统能达到的ＭＴＦ，出了它的极大似然估计，Ｂ给点估计和区间估计。
为了估计处于研制开发中的系统的可靠性或评价软件可靠性，在文献［］１中提出了几个可靠性模型。在这些模型中，齐次泊松过程是最为广泛应用于政府和工业部门中的模型。假设对某可修系统或产品非进行可靠性增长研究，观察到时间区间（，］我们０ｔ的第ｉ台样机的相继失效时间为：＜２＜ … ＜０＜Ｘ／＜ｔｉ＝１２ … ，ｍ＞２／ｎ，，，ｍ（）（）１其强度函数为（）＝ａ～，ａ＞０＞０ｉ１２…，，称为增长率。ｔ（ｉ，，＝，，ｍ）对同一批次的样机，可假设：ｌｎｏ：＝ … ＝，ｏ：ｌ＝ａｌ＝Ｈ２ａ２＝ … ＝ａ成立，献［ —２给出了检验凰ｌ文１］的方法，当接受了凰ｌ，后文献［ —４给出了检验Ｈ２３］ｏ的方法，当接受了Ｈ２，ｏ后认为（）＝（）＝ｔｔ～，一，口＞０，

非齐次泊松分布算法

非齐次泊松分布算法
非齐次泊松分布算法是一种用于模拟非齐次泊松过程的方法。

在非齐次泊松过程中，时间随机事件的发生率不是恒定的，而是随着时间而变化的。

该算法基于泊松过程的定义，即在任意时间间隔内，随机事件的发生数目服从泊松分布。

对于非齐次泊松过程，我们需要根据发生率的变化，计算每个时间区间内的事件发生数目，并按照一定的规则进行模拟。

算法的基本步骤如下：
1. 确定时间区间，即将整个模拟的时间分成若干个小区间。

2. 计算每个时间区间内的发生率，根据发生率计算事件发生数目，使用泊松分布进行模拟。

3. 对于每个时间区间内的事件，根据一定的规则，将其放置到整个模拟时间轴上的合适位置。

4. 重复步骤2和3，直到整个模拟结束。

在具体实现中，可以根据实际情况采用不同的发生率变化模型和事件放置规则。

常用的发生率变化模型包括线性、二次函数等，常用的事件放置规则包括等间隔
放置、按照发生率密度函数放置等。

非齐次泊松分布算法在模拟时间变化的随机事件时具有很大的应用价值，在金融、交通等领域有广泛的应用。

泊松过程齐次与非齐次的区别

泊松过程齐次与非齐次的区别嘿，朋友们！今天咱们就来唠唠伏羲陶文化，这可是老有料的东西了。

咱先想象一下，很久很久以前，在那片古老的土地上，伏羲氏带着他的族人们生活着。

那时候可没有咱们现在这么多高科技的玩意儿，人们的生活简单又质朴。

伏羲氏啊，那可是个超级聪明的家伙，就像智慧的星星掉到了人间。

陶文化呢，就是从那个时候慢慢发展起来的。

也许一开始，只是有人偶然发现泥土被火烧了之后会变得坚硬，就像变魔术一样。

然后呢，人们就开始琢磨这个事儿了。

他们就像小发明家似的，试着把泥土捏成各种形状，再放到火里烧。

我猜啊，第一次烧出个像模像样的陶器的时候，那感觉就像咱们现在中了彩票一样兴奋。

你看那些出土的伏羲时期的陶器，那可都是艺术品啊。

它们的形状多种多样，有的像个小罐子，可能是用来装水或者食物的。

我就想啊，那时候的人拿着这个小罐子，是不是就像我们现在拿着个保温杯一样，走到哪儿带到哪儿呢？还有些陶器有着独特的花纹，那些花纹就像是那个时代的密码，记录着当时人们的生活和想法。

可能是对大自然的敬畏，像刻画的那些像云朵一样的线条，也许就是他们对天空的向往；也可能是对狩猎成果的记录，那些像动物形状的图案，仿佛在诉说着他们和野兽搏斗的英勇故事。

我曾经在博物馆里看到过一个伏羲陶文化的展览。

一进去，就感觉像是穿越回了古代。

那些陶器静静地摆在那里，却好像在和我说话。

我当时就想，这些小小的陶器背后，是多少代人的智慧和努力啊。

有人可能会说，这陶器有啥好看的，不就是些泥做的东西吗？嘿，这你可就大错特错了。

这伏羲陶文化啊，就像是一部无声的历史书，它记录着人类从原始走向文明的脚步。

如果没有这些陶器，我们怎么能知道古人的生活习惯呢？这就好比我们现在要是没有手机记录生活，以后的人怎么了解我们现在的样子呢？而且啊，这伏羲陶文化里的制陶技术，那也是相当了不起的。

要知道，那时候可没有什么精密的仪器，全靠一双手。

就像做一个简单的陶碗，要从选土开始，那土得是合适的土，就像我们找对象得找合适的人一样。

非齐次泊松过程的仿真方法

第三章泊松(Poisson)过程.

泊松、非时齐泊松、离散马氏链仿真

基于泊松过程的模拟方法研究

泊松过程及维纳过程

泊松过程及例子1

6.非齐次泊松过程与更新过程

非齐次泊松过程与复合泊松过程

第三章 泊松(Poisson)过程

产生泊松过程的方法

非齐次泊松过程定义

非齐次泊松过程的仿真方法

非齐次泊松过程的数控机床可靠性建模

基于非齐次泊松过程和统计仿真的故障样本模拟生成

第4讲第三章泊松过程

非齐次泊松过程的统计推断

非齐次泊松分布算法

泊松过程齐次与非齐次的区别

第三章泊松(Poisson)过程