概率论-样本与统计量、统计量的分布.

2
E( X ) ( E X ) D X n 1 n 1 2 2 2 2 2 ( ) n ( ) n 1 i 1 n
1 2 2 EX i nE ( X ) n 1 i 1
对个体逐个观测来获取总体X的分布情况?
取样本!根据样本的取值情况来推断总体的情况.
×
2. 样本：来自总体的部分个体X1,… ,Xn ,如果满足： (1)代表性: Xi(i=1,…,n)与总体
同分布;
(2)独立性:X1,… , Xn 相互独立.
则称X1,… ,Xn为容量为n 的简
单随机样本,简称样本。而称 X1,… , Xn的一次实现为样本观 察值, 记x1, …, xn.
特别地,若 X1 , X 2 , , X n ~ N ( , 2 )
则 X 1X ~ N , , i
n 2
i . i .d
X
n i 1

n

n
~ N 0,1
标准正态分布的 分位数
定义 若 P X u 则称u为标准正态 分布的上 分位数.
解 {( x , 1
f ( x1 ,
1 ( 2 )
n
, xn ) : xi R, i 1,
n
, n}
1
2 ( x ) i 2
, xn ) f ( xi ) i 1
1 2
e n
1 2 ( xi )2 2 i 1
i 1
e

2
n
第六章 样本及其抽样分布
样本与统计量 直方图与样本分布函数 常用统计量的分布
一、总体与样本
6.1 样本与统计量
1.总体 —— 研究对象全体元素组成的集合. 数理统计关心研究对象的某个(或某些)数量 指标——是一个随机变量(或多维随机变量),记为 X ——以此表示一个总体.
X 的分布函数和数字特征称为总体的 分布函数和数字特征.
来自总体X的随机样本X1，… , Xn可记为
X1 ,
, X n ~ X 或 f ( x ), F ( x ),
n
iid
显然，样本联合分布函数或密度函数为
F * ( x1 , x 2 , , x n ) F ( x i )
i 1
或 f * ( x , x , , x ) f ( xi ) 1 2 n
i 1
n
3.总体、样本、样本观察值的关系
总体
理论分布
样本
样本观察值
样本空间 —— 样本所有可能取值的集合.
二、统计量
例
定义:如果样本X1, … ,Xn 的函数g(X1, … ,Xn )不含
未知参数,则称之为总体X的一个统计量.
X ~ N ( , ) , 已知， 为未知参数,
2
2
X=(X1,… , Xn)是一样本, (1) 写出样本空间与样本X的联合密度函数;
(2) 指出下列哪些是统计量?
1 n X Xi , n i 1
n n 2 1 2 2 2 2 S X X , S X / i 1 i n 1 i 1 i 1


是, 称为 样本均值
是, 称为 wenku.baidu.com本方差
不是, 含 未知参数
(3)若样本观察值为1,2,3, 则样本均值与样 本方差是多少?
n
EX i2 ( EX i )2 DX i 2 2
2
总
一、总体与样本 二、统计量
结
三、几个常用的统计量
作业： P106—2(1)(2), 4， 5
正态分布外三大重要分布: 2分布、t分布、F分布
6.3 常用统计量的分布
一、正态分布 定理1(样本均值的分布)若X1, X2, …,Xn相互独立, n n n 2 2 2 X i N ( i , i ), 则 ai X i ~ N ai i , ai i i 1 i 1 i 1
《数理统计》
数理统计学是关于数据资料收集、整理、分析、 和推断的一门应用性很强的学科。利用数理统计学 可对所考察的问题作出推断和预测,直至为采取一 定的决策和行动提供依据和建议. 数理统计学

合理收集数据-试验设计、抽样调查等
整理分析数据-统计推断
学习统计要在基本概念、方法原理的正确理解上 多花些时间. 统计软件包SAS,SPSS,MATLAB, STAT等, 都可以快速、简便地进行数据处理和分析.
(3) E( S ) D( X )
2
2
证明 (1)、(2)自证, 下面证明性质(3).
n 1 2 2 ES E ( Xi X ) n 1 i 1 n 1 2 E ( Xi X ) n 1 i 1
n 1 E ( X i2 2 XX i X 2 ) n 1 i 1
n n n 2 1 2 E X i 2 X X i X n 1 i 1 i 1 i 1
n 2 1 2 E X i 2 X nX nX n 1 i 1
DXi EX ( EXi )
2 i
2 2 2
x 2,
1 2 2 2 s {(1 2) (2 2) (3 2) } 1 2
2
三、几个常用的统计量
1 n 1. 样 本 均 值 X X i , n i 1
n 1 2 2. 样本方差 S 2 ( X X ) i n 1 i 1
样本均方差( 标准差 ) S
P X u
0.4 0.3 0.2 0.1
S2
样本的数字特征
3.样本k阶矩 k阶原点矩 k阶中心矩
1 mk X ik n i 1
1 n M k ( X i X )k n i 1
n
m1 X n1 2 M2 S n S 2 ( n较大)
性质 如果总体X的期望为，方差为2，则 2 D( X ) (1) E ( X ) E ( X ) (2) D( X ) n n