东南大学工科数学分析习题课
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工科数学分析习题课（10-11-2，第 12 周，十一）
一.内容：定积分的性质， Newton-Leibniz 公式，变上限积分。 二.要求： （1）掌握定积分及积分中值定理，熟练掌握 Newton-Leibniz 公式； （2）理解 变上限积分定义的函数，会求它的导数，会讨论变上限积分定义的函数的有关性质。 三．课内题 1．填空题与选择题： （1）设 F ( x) =
可导，且
f ′ > 0 ，则
[
]
（A） F (0) 是 F ( x) 的极小值 （C） F (0) 不是极值，但点 (0, F (0)) 是曲线
（B） F (0) 是 F ( x) 的极大值
y = F ( x) 的拐点 y = F ( x) 的拐点
；
π
（D） F (0) 不是极值，点 (0, F (0)) 也不是曲线 （6） F ( x) =
n n ⎞ ⎛ n + 2 2 + L+ 2 2 ⎟ ； n +n ⎠ ⎝ n +1 n + 2
1 2 n ⎛ sin π ⎜ sin n π sin n π n + +L+ lim （2） n→∞ ⎜ 1 1 ⎜ n +1 n+ n+ 2 n ⎝
1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1
3．设
f ∈ C[0,1] ，且 ∫ 0 f ( x)dx = 0 ，证明： ∃ξ ∈ (0,1) ，使 f (ξ ) = ∫ξ f ( x)dx 。
π
4
+ 1。
4．设
f
在 [ a , b ] 上二阶可导，且
f ′′ > 0 ，证明：
b f (b) + f (a) ⎛ a+b⎞ (b − a) f ⎜ ≤ 。 ⎟ ∫ a f ( x)dx ≤ (b − a) 2 ⎝ 2 ⎠
5．设
f ∈ C[a, b] ，令
x x x a a a
F1 ( x) = ∫ f (t )dt , F2 ( x) = ∫ F1 (t )dt ,L, Fn ( x) = ∫ Fn −1 (t )dt ,(n ≥ 3) ，
y = y ( x) 由方程 sin( xy ) − ∫1
e−t dt = 0 确定，则
Leabharlann Baidu
2
dy dx
x =0
=
；
（4） 方程
∫
x 0
1 + t 4 dt + ∫
0 cos x
e−t dt = 0 在 (−∞, +∞) 内实根的个数为
2
（填数字） ；
（5）设 F ( x) =
∫
x 0
(2t − x) f (t )dt ，其中 f
∫
0 x2
(
t ∫ cos u 2du dt ，则 F ′( x) =
0 x 2 x2
t
)
， F ′′( x) =
；
（2） 将 x → 0 时的无穷小量 α
= ∫ cos u du, β = ∫ tan t dt , γ = ∫
0 0
y − x2
x 0
sin t 3dt 排列
；
起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 （3）设
∫
x −1
sgn tdt =
（7）设
f ∈ C[0, π ] ，且满足 f ( x) = cos 2 x + ∫ 0 f (t )dt ，则 f ( x) =
；
（8）设 A =
∫
1 0
ln(1 + x)dx, B = ∫
arctan x dx ，则 A, B 的大小关系为 0 1+ x
1
。
2．求下列极限： （1） lim ⎜ 2 n →∞
证明： lim Fn ( x) = 0, ∀x ∈ [a, b] 。
n→∞
6．设当 x
≥ 1 时， f ( x) 满足 f ′( x) =
1 ，且 f (1) = 1 ，令 x + f 2 ( x)
2
an ≤ an = f (n)(n = 1, 2,L) ，证明：数列 {an } 收敛，且 lim n →∞
一.内容：定积分的性质， Newton-Leibniz 公式，变上限积分。 二.要求： （1）掌握定积分及积分中值定理，熟练掌握 Newton-Leibniz 公式； （2）理解 变上限积分定义的函数，会求它的导数，会讨论变上限积分定义的函数的有关性质。 三．课内题 1．填空题与选择题： （1）设 F ( x) =
可导，且
f ′ > 0 ，则
[
]
（A） F (0) 是 F ( x) 的极小值 （C） F (0) 不是极值，但点 (0, F (0)) 是曲线
（B） F (0) 是 F ( x) 的极大值
y = F ( x) 的拐点 y = F ( x) 的拐点
；
π
（D） F (0) 不是极值，点 (0, F (0)) 也不是曲线 （6） F ( x) =
n n ⎞ ⎛ n + 2 2 + L+ 2 2 ⎟ ； n +n ⎠ ⎝ n +1 n + 2
1 2 n ⎛ sin π ⎜ sin n π sin n π n + +L+ lim （2） n→∞ ⎜ 1 1 ⎜ n +1 n+ n+ 2 n ⎝
1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1
3．设
f ∈ C[0,1] ，且 ∫ 0 f ( x)dx = 0 ，证明： ∃ξ ∈ (0,1) ，使 f (ξ ) = ∫ξ f ( x)dx 。
π
4
+ 1。
4．设
f
在 [ a , b ] 上二阶可导，且
f ′′ > 0 ，证明：
b f (b) + f (a) ⎛ a+b⎞ (b − a) f ⎜ ≤ 。 ⎟ ∫ a f ( x)dx ≤ (b − a) 2 ⎝ 2 ⎠
5．设
f ∈ C[a, b] ，令
x x x a a a
F1 ( x) = ∫ f (t )dt , F2 ( x) = ∫ F1 (t )dt ,L, Fn ( x) = ∫ Fn −1 (t )dt ,(n ≥ 3) ，
y = y ( x) 由方程 sin( xy ) − ∫1
e−t dt = 0 确定，则
Leabharlann Baidu
2
dy dx
x =0
=
；
（4） 方程
∫
x 0
1 + t 4 dt + ∫
0 cos x
e−t dt = 0 在 (−∞, +∞) 内实根的个数为
2
（填数字） ；
（5）设 F ( x) =
∫
x 0
(2t − x) f (t )dt ，其中 f
∫
0 x2
(
t ∫ cos u 2du dt ，则 F ′( x) =
0 x 2 x2
t
)
， F ′′( x) =
；
（2） 将 x → 0 时的无穷小量 α
= ∫ cos u du, β = ∫ tan t dt , γ = ∫
0 0
y − x2
x 0
sin t 3dt 排列
；
起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 （3）设
∫
x −1
sgn tdt =
（7）设
f ∈ C[0, π ] ，且满足 f ( x) = cos 2 x + ∫ 0 f (t )dt ，则 f ( x) =
；
（8）设 A =
∫
1 0
ln(1 + x)dx, B = ∫
arctan x dx ，则 A, B 的大小关系为 0 1+ x
1
。
2．求下列极限： （1） lim ⎜ 2 n →∞
证明： lim Fn ( x) = 0, ∀x ∈ [a, b] 。
n→∞
6．设当 x
≥ 1 时， f ( x) 满足 f ′( x) =
1 ，且 f (1) = 1 ，令 x + f 2 ( x)
2
an ≤ an = f (n)(n = 1, 2,L) ，证明：数列 {an } 收敛，且 lim n →∞