第三届学而思数理化全国联赛数学卷-答案及解析

由于
(x2
−
2x
+
a)
+
1 x2−2x+a
∈ (−∞, −2] ∪ [2, +∞)，故 f (x) ∈ (−∞, −2] ∪
(1, +∞). 而 g(x) ∈ [−1, 1]，故 f (x) 与 g(x) 无交点.
(2)
若 a > 1. 则
x2 − 2x + a
恒大于 0.f (0) =
1 a
< 1 = g(0)，而 f (1) =
则 |P F1 − P F2| 的值为
.
【答案】
4
√ 6
3
【解析】显然
P
在
x
轴上方.
由条件可知
∠F1P F2
=
π ，因为
3
PB
是
∠F1P F2
平分线，且
BF1
=
BF2，由鸡爪定理，B、P 、F1、F2
四点共圆，故
∠F1BF2
=
2 3
π.
因此
a
=
F1B
=
2BO
=
2.
由椭圆性质，P F1 +P F2 = 2a = 4，两端平方得到 P F12 +P F22 +2P F1 ·P F2 = 16；由余弦定
因此共
4×2×8×6×6
种情况，故概率为
4×2×8×6×6 8!
=
2.
35
6. 平面直角坐标系 xOy 点，B 是 C 的下顶点，点
中，椭圆 C 的方程为 P 在椭圆 C 上，且 P
x2 a2
+
y2
=
1(a
>
1)，F1、F2
为椭圆
不在坐标轴上. 已知 ∠BP F1 = ∠B
C 的两焦
P F2
=
π， 6
P B2 = P O · P F,
故
1 ( x0
−
x0)2
+
y02
=
11 − (−
x0 x0
+
√ 2),
带入 y02 = x20 − 1，整理得到
√ 2x30 − 3x0 + 2 = 0,
即
2(x0
+
√ 2)(x0
−
√ 2 )2 2
=
0.
√
又因为点 B 在双曲线左半支上，所以 x0 < 0，故点 B 横坐标为 x0 = − 2.
√
√
√
体的性质，P O =
6 4
,
P
I
=
PH 2
=
6 ，故
6
IQ
=
2P O
−
PI
√
=
6 3
.
√
设J 因此
为 BC 中点，又 tan ∠LKQ = tan
△ABC ∠I K Q
=是II正KQ 三=角4√形2有. 故H所J求=二6面3 ，角故大I小K为=aHr2cJta=n(412√3 .2).
5. 有一个盒子装了写有 1 到 8 的纸条各一张，4 对夫妇依次从盒子中不放回地随机抽取一
不共线，故
AG
取值范围是
(
1 3
,
1).
注：也可以用 −A→B 和 −A→C 表示出 −A→G 和 −B−→C.
学而思培优 • 奥林匹克竞赛
1
4. 正三棱锥 P − ABC 内接于一个以 O 为球心的球，且所有棱长均为 1，点 Q 与点 P 关
于点 O 中心对称，L、M 、N 分别为 P A、P B、P C 的中点，则二面角 L − M N − Q 的大小
理 故
12 = F1F22 = |P F1 − P F2|
P F1√2 +P F22 −P F1 ·P F2.
=
4 3
6.
两式联立可知
P F1 ·P F2
=
4 ，推出
3
(P F1 −P F2)2
=
32 ，
3
2
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7.
a
为正实数，若函数
f (x)
=
(x − 1)2
−
x2 − 2x − 1 + x2 − 2x + a
(4) 若第二格填 2，则有 Bn−1 种填法.
综上，An = An−1 + 2An−2 + Bn−1. 再求 Bn，假设最左填有 2，最右填有 0，根据从左数第二格所填之数分类：
(1) 若第二格填 0，有 An−1 种填法.
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3
(2) 若第二格填 2，有 Bn−1 种填法. 综上 Bn = Bn−1 + An−1. 通过相邻两项相减消去 Bn：
An+1−An = An+An−1−2An−2+(Bn−Bn−1) = An+An−1−2An−2+An−1 = An+2An−1−2An−2.
故 An+1 = 2An + 2An−1 − 2An−2，由递推式依次得出 A4 = 8, A5 = 22, A6 = 52, A7 = 132, A8 = 324. 题目所求即 A8 = 324.
为
.
【答案】arctan(4√2)
【解析】设 K 为 M N 中点，由于 K、L、Q 均在 M N 的中垂面上，故 QK ⊥ M N 、LK ⊥ M N .
二面角 L − M N − Q 大小为 ∠LKQ.
设直线 P O 与平面 ABC、平面 LM N 分别交于点 H、I，则 I 为 P H 中点. 根据正四面
p2 − 4q 的值为
.
【答案】-1
【解析】由韦达定理，p2 − 4q = (a + b)2 − 4ab = (a − b)2 = i2 = −1.
3.
点
G
是三角形
ABC
的重心，已知
−→ AG
·
−−→ BC
=
1，且
AC
=
2，则
AG
长度的取值范围
是
.
【答案】(1 , 1) 3
【解析】想办法用
−→ AG
a(a − 1)(a2 + a − 1) = 0.
√
√
又由
a
是正实数，故
√
a
=
1
或
a
=
−1+ 2√
5.
而
a
=
1
时
b
=
c
=
1，不合题意.
故
a
=
−1+ 2
5，
b = a2 =
3− 2
5 ，因此
a
+
b
+
c
=
3b
=
9−3 2
5.
2. z 为复数，p、q 为实数，若 z 和 z − i 都是方程 x2 − px + q = 0 的根 (i 为虚数单位)，则
有
−→ −→ −→ AG · (2AC − 3AG)
=
1，两端乘
3
再减
|−A→C |2 ，得到
−|3−A→G − −A→C|2 = −1，故 |3−A→G − −A→C| = 1.
又
|AC |
=
2，由三角不等式得到
1
≤
−→ |3AG|
≤
3，且当
A、C 、G
共线时取等.
而
ABC
构成三角形当且仅当
A、C 、G
求证：S1S2 − S3 是实数且 S1S2 − S3 > 0.
【解析】令 (x − zi)(x − zi) = x2 − aix + bi(i = 1, 2, . . . , n)，由 Re(zi) > 0 有 ai, bi > 0. 由于 S1, S2, S3 是 ni=1(x2 − aix + bi) 的 2n − 1, 2n − 2, 2n − 3 次项系数，故
因为 ∠A 为钝角，故 tan B, tan C > 0，由均值不等式
√
√
6( tan B · tan C)3 + ( tan B · tan C)2 − 1 ≤ 0,
因此
√ ( tan
B
·
tan
C
−
1
√ )(6( tan
B
·
tan
C )2
+
√ 4 tan
B
·
tan
C
+
2)
≤
0,
2
√
故
tan B
·
tan C
a
与
g(x)
=
cos πx
的图像恰有
2
个
不同的交点，则 a =
.
【答案】1
【解析】将
f (x)
化简为
f (x)
=
(x2
−
2x
+
a)
+
1 x2−2x+a
−
a，注意到
f (x)
与
g(x)
的图像均关
于直线 x = 1 对称，若它们有两个不同的交点，则它们在 x < 1 时恰有一个交点.
(1)
若
0
<
a
<
1.
综上，a = 1.
8. 在 1 × 10 的一排方格中，每格填入 0、1、2、3 四个数之一，满足最左边和最右边的格都
写有 1，且相邻两格所填的两数之积为 0 或 4. 共有