数形结合思想例题选讲

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数形结合,例题解析

利用数形结合思想解题，不但是一种重要的解题方法，更是一种重要的思维方法。

对于应用数形结合思想解题，大家并不陌生，但如何应用却是值得我们深究的问题。

数形结合的主要方法有：图像法、几何法，主要途径是转化，常见转化有：构造函数实现转化、构造图形实现转化。

一、构造函数，实现转化把研究数的问题转化为研究图像的问题，这类方法一般适用于解方程或不等式的问题。

例1：方程x+log2x=2和方程x+log3x=2的根分别是α、β，那么α、β的大小关系是（）a.α＜βb.α=βc.α＞βd.无法确定■分析：由x+log2x=2得log2x=2－x，由x+log3x=2得log3x=2－x，分别构造函数y=log2x，y=log3x及y=2－x，并作出它们的图像，由图易得答案为a。

例2：方程■-|ax|=0（a∈r）解的个数是（）a.4个b.2个c.0个d.与a的取值有关■分析：原方程可化为■=|ax|，分别作函数y＝■与y＝|ax|的图像，由图知，应选b。

二、构造几何图形，实现转化在解题时，我们常通过构造几何图形，实现问题转化，如把a转化为距离，把a2或ab 转化为面积，a2 +b2+ab转化为余弦定理，把sinα转化为直角三角形中边角关系等。

例3：若锐角α、β、γ满足cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，求证tgαtgβtgγ≤2■。

分析：由已知条件可设α、β、γ为一长方形的一条对角线与过同一顶点的三条棱所成的角，从而命题容易得证。

■证明：如图，设长方形体abcd－a1b1c1d1的长、宽、高为a，b，c，∵cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，∴可设∠d1ba=α，∠d1bc=β，∠d1bb1=γ，连结bd1，则tgα＝■，同理tgβ＝■，tgγ＝■，tgαtgβtgγ=■·■·■≤■=2■，当且仅当a＝b＝c时取等号，故命题成立。

例4：设x＞0，y＞0，z＞0，求证：■＋■＞■。

■分析：注意到■＝■表示以x、y为两边，夹角为60°的三角形第三边，另两边也有同样意义。

数形结合(含解析)

数形结合Ⅰ、专题精讲：数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．Ⅱ、典型例题剖析【例1】某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，图3－3－1已表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：（1）求y1与y2的函数解析式；（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？（3）果你是推销员，应如何选择付费方案？解：（1）y1=20x，y2=10x+300．（2）y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，y2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．（3）若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择y1的付费方案；否则，选择y2的付费方案．点拨：图象在上方的说明它的函数值较大，反之较小，当然，两图象相交时，说明在交点处的函数值是相等的.【例2】某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图3－3－2，图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？答题要求：（1）请提供四条信息；（2）不必求函数的解析．解：（1）2月份每千克销售价是3．5元；7对月份每千克销售价是0．5元；（3）l月到7月的销售价逐月下降；（4）7月到12月的销售价逐月上升；（5）2月与7月的销售差价是每千克3元；（6）7月份销售价最低，1月份销售价最高；（7）6月与8月、5月与9月、4月与10 月、3月与11 月，2月与12 月的销售价分别相同．点拨：可以运用二次函数的性质：增减性、对称性．最大（小）值等，得出多个结论．【例3】某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图3l司所示的条形统计图：⑴请写出从条形统计图中获得的一条信息；⑵请根据条形统计图中的数据补全如图3－3－3所示的扇形统计图（要求：第二版与第三版相邻人并说明这两幅统计图各有什么特点？⑶请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。

数形结合思想例题分析演示教学

数形结合思想例题分析数形结合思想例题分析一、构造几何图形解决代数与三角问题： 1、证明恒等式：例1 已知x 、y 、z 、r 均为正数，且222,x y z +=2z x = 求证：.rz xy =分析：由222,x y z +=自然联想到勾股定理。

由2.z x ⋅=可以联想到射影定理。

从而可以作出符合题设条件的图形（如图）。

对照图形，由直角三角形面积的两种算法，结论的正确性一目了然。

证明：（略）小结：涉及到与平方有关的恒等式证明问题，可构造出与之对应的直角三角形或圆，然后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。

2、证明不等式：例2 已知：0＜a ＜1，0＜b ＜1. 求证+++≥证明：如图，作边长为1的正方形ABCD ，在AB 上取点E ，使AE=a ；在AD 上取点G ，使AG=b ，过E 、G 分别作EF//AD 交CD 于F ；作GH//AB 交BC 于H 。

设EF 与GH 交于点O ，连接AO 、BO 、CO 、DO 、AC 、BD.由题设及作图知△AOG 、△BOE 、△COF 、△DOG 均为直角三角形，因此BACxyzr22OA a b =+22(1)OB a b =-+22(1)(1)OC a b =-+-22(1)OD a b =+-且 2ACBD ==由于 ,.OA OC AC OB OD BD +≥+≥ 所以：22222222(1)(1)(1)(1)2 2.a b a b a b a b ++-+++-+-+-≥当且仅当12a b ==时，等号成立。

小结：在求证条件不等式时，可根据题设条件作出对应的图形，然后运用图形的几何性质或者平面几何的定理、公理去建立不等式使结论获证。

3、求参数的值或参数的取值范围：例3 若方程2210ax x -+= （a ＞0）的两根满足：1x ＜1，1＜2x ＜3，求a的取值范围。

解析：画出与方程对应的二次函数221y ax x =-+ （a ＞0）的草图：0123xy0123y由图可知：当x =1时，y ＜0；当x =3时，y ＞0.即 21211a ⨯-⨯+＜0 ； 23231a ⨯-⨯+＞0.解得：59＜a ＜1.例4 若关于x 的不等式2021x mx ≤++≤ 的解集仅有一个元素，求m 的值。

高中数学数形结合思想经典例题(含解析)

高中数学数形结合思想经典例题一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)D ．(0，1)3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．256．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.128．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<19．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259D.26912．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( )A.15B.25C.12D ．113．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3D ．214．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |＝________．19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是______．20．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x|，x≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b有三个不同的根，则m 的取值范围是________．高中数学数形结合思想经典例题解析一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数【答案】 B【解析】作出函数f (x )的图象，如图所示，可知A ，C ，D 均错．f (f (14))＝3log 214＝3－2＝19，故B 正确．2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0) D ．(0，1)【答案】 C【解析】 ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点．又∵f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，解得－32<a <－56.又∵a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )>1，即－x 2－x >0.解得－1<x <0. 3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )【答案】 A【解析】因为f (0)＝ln|cos0|＝0，故排除C ，D ；又f (1)＝ln|1＋cos1|>ln 1＝0，故排除B ，选A.4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)【答案】 D【解析】由已知条件可以画出函数f (x )的草图，如图所示．由函数f (x )为奇函数可化简不等式f （x ）－f （－x ）x <0为2f （x ）x <0.若x >0，则需有f (x )<0，结合图象可知0<x <2；若x <0，则需有f (x )>0，结合图象可知－2<x <0.综上可知，不等式的解集为(－2，0)∪(0，2)．5．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．25【答案】 B【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max＝21.6．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)【答案】 B【解析】在同一坐标系中分别画出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12<k <1.7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.12【答案】 A【解析】依题意，得实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，0≤y≤1，画出可行域如图阴影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，z ＝2＋yx 1＋y x ＝1＋11＋y x ∈[53，2]，故选A.8．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1 D ．0<x 1x 2<1【答案】 D【解析】本题考查函数的性质．在同一坐标系下，画出函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点横坐标属于(－∞，－1)，另一个交点横坐标属于(－1，0)，即在x 1，x 2中，其中一个属于(－∞，－1)，另一个属于(－1，0)，不妨设x 1∈(－∞，－1)，x 2∈(－1，0)，则有10x 1＝|lg(－x 1)|＝lg(－x 1)，10x 2＝|lg(－x 2)|＝－lg(－x 2)，10x 1－10x 2＝lg(－x 1)＋lg(－x 2)＝lg(x 1x 2)<0，0<x 1x 2<1，故选D. 9．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定【答案】 C【解析】如图，设曲线上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))，kOP 1＝f （x 1）－0x 1－0＝f （x 1）x 1，kOP 2＝f （x 2）－0x 2－0＝f （x 2）x 2，由于0＜x 1＜x 2＜1，根据斜率与倾斜角之间的关系，显然有kOP 1＞kOP 2，即f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2，故选C. 10．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)【答案】 C【解析】作出不等式组所表示的平面区域，根据题设条件分析求解．当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23. 11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF→＝( ) A.89 B.109 C.259 D.269【答案】 B【解析】由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，不可能为0，所以AB →与AC →垂直，所以△ABC 为直角三角形．以AC 为x 轴，以AB 为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，由E ，F 为BC 的三等分点知E (23，23)，F (13，43)，所以AE →＝(23，23)，AF →＝(13，43)，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109. 12．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( ) A.15 B.25 C.12D ．1 【答案】 A【解析】 (x －a )2＋(ln x 2－2a )2表示点P (x ，ln x 2)与点Q (a ，2a )距离的平方．而点P 在曲线g (x )＝2ln x 上，点Q (a ，2a )在直线y ＝2x 上．因为g ′(x )＝2x ，且y ＝2x 表示斜率为2的直线，所以由2x＝2，解得x ＝1.从而曲线g (x )＝2ln x 在x ＝1处的切线方程为y ＝2(x －1)，又直线y ＝2(x －1)与直线y ＝2x 平行，且它们间的距离为222＋（－1）2＝255，如图所示．故|PQ |的最小值为255，即f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2的最小值为(255)2＝45，当|PQ |最小时，P 点的坐标为(1，0)，所以2a －0a －1×2＝－1，解得a ＝15.13．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2【答案】 C【解析】利用FP →＝4FQ →转化长度关系，再利用抛物线定义求解． ∵FP →＝4FQ →， ∴|FP →|＝4|FQ →|. ∴|PQ||PF|＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4. ∴|PQ||PF|＝|QQ′||AF|＝34.∴|QQ ′|＝3. 根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.14．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】 B【解析】 x 2a 2－4y 2＝1的右顶点坐标为(a ，0)，一条渐近线为x －2ay ＝0.由点到直线的距离公式得d ＝|a|12＋4a 2＝34，解得a ＝32或a ＝－32(舍去)，故双曲线的方程为4x 23－4y 2＝1.因为c ＝34＋14＝1，故双曲线的右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以p ＝2，x ＝－1是抛物线的准线，如图，作MA ⊥l 1于点A ，MB ⊥l 2于点B ，设抛物线的焦点为F ，连接MF ，则由抛物线的定义知|MB |＝|MF |，当M ，A ，F 三点共线时，距离之和最小，其最小值是点F 到l 1的距离，由点到直线的距离公式可得d 1＝|4＋6|（－3）2＋42＝105＝2，即距离之和的最小值为2，选B.二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．【答案】 (0，1)∪(1，4) 【解析】根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x>1或x<－1，－x －1，－1≤x<1.在直角坐标系中作出该函数的图象，如下图中实线所示．根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．【答案】 (－7，3)【解析】当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0，5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5，5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7，3)．17．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________．【答案】－2【解析】 F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)＝log 2(y ＋1)－log 2(x ＋1)＝log 2y ＋1x ＋1，令k ＝y ＋1x ＋1＝y －（－1）x －（－1），则k 表示可行域内(如图所示)的点与P (－1，－1)所在直线的斜率．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，。

高考数学复习----《数形结合》典型例题讲解

高考数学复习----《数形结合》典型例题讲解【典型例题】例1、（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2x f x x =+，2()log g x x x =+，()2sin h x x x =+的零点分别为a ，b ，c 则a ，b ，c 的大小顺序为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】D【解析】由()2sin 0h x x x =+=得0x =，0c ∴=，由()0f x =得2x x =−，由()0g x =得2log x x =−.在同一平面直角坐标系中画出2x y =、2log y x =、y x =−的图像，由图像知a<0，0b >，a c b ∴<<.故选：D例2、（2023·江苏·高三专题练习）已知正实数a ，b ，c 满足2e e e e c a a c −−+=+，28log 3log 6b =+，2log 2c c +=，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】22e e e e e e e e c a a c c c a a −−−−⇒+=+−=−，故令()e e x x f x −=−，则()e e c c f c −=−，()e e a a f a −=−．易知1e ex x y −=−=−和e x y =均为()0,+∞上的增函数，故()f x 在()0,+∞为增函数． ∵2e e a a −−<，故由题可知，2e e e e e e c c a a a a −−−−=−>−，即()()f c f a >，则0c a >>．易知222log 3log log 2b =+>，2log 2c c =−，作出函数2log y x =与函数2y x =−的图像，如图所示，则两图像交点横坐标在()1,2内，即12c <<，c b ∴<，a cb ∴<<．故选：B ．例3、（2023·全国·高三专题练习）已知e ππe e ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】A【解析】令()()ln ,0x f x x x =>，则()()21ln ,0x f x x x −'=>，由()0f x ¢>，解得0e x <<，由()0f x '<，解得e x >，所以()()ln ,0x f x x x=>在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减；因为πe >，所以()()πe f f <，即ln πln e πe<，所以eln ππln e <，所以e πln πln e <，又ln y x =递增，所以e ππe <，即b a <；ee ππ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在同一坐标系中作出xy =与y x =的图像，如图：由图像可知在()2,4中恒有x x >，又2π4<<，所以ππ>，又e y x =在()0,∞+上单调递增，且ππ>所以e πe πe π=⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即b c >；综上可知：c b a <<，故选：A例3、（2022春·四川内江·高三校考阶段练习）最近公布的2021年网络新词，我们非常熟悉的有“yyds ”、“内卷”、“躺平”等．定义方程()()f x f x '=的实数根x 叫做函数()f x 的“躺平点”．若函数()lng x x =，()31h x x =−的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为（）A ．αβ≥B ．αβ>C ．αβ≤D ．αβ<【答案】D【解析】∵()ln g x x =，则()1g x x'=，由题意可得：1ln a α=，令()1ln G x x x=−，则α为()G x 的零点，可知()G x 在定义域()0,∞+内单调递增，且()()1110,e 10eG G =-<=->， ∴()1,e α∈；又∵()31h x x =−，则()23h x x '=，由题意可得：3213ββ−=，令()3231H x x x =−−，则β为()H x 的零点，()()23632H x x x x x '=−=−，令()0H x '>，则0x <或2x >，∴()H x 在(),0∞−，()2,+∞内单调递增，在()0,2内单调递减，当(),2x ∈−∞时，()()010H x H ≤=−<，则()H x 在(),2−∞内无零点，当[)2,x ∞∈+时，()()310,4150H H =−<=>，则()3,4β∈，综上所述：()3,4β∈；故αβ<.故选：D.。

初一数形结合的典型例题

初一数形结合的典型例题
例题1，一个正方形的边长为5cm，求它的周长和面积。

解答，正方形的周长等于四条边的长度之和，即周长 = 5cm +
5cm + 5cm + 5cm = 20cm。

正方形的面积等于边长的平方，即面积
= 5cm × 5cm = 25cm²。

例题2，一个长方形的长为12m，宽为8m，求它的周长和面积。

解答，长方形的周长等于两倍的长加两倍的宽，即周长= 2 × 12m + 2 × 8m = 40m。

长方形的面积等于长乘以宽，即面积 = 12m × 8m = 96m²。

例题3，一个圆的半径为3cm，求它的周长和面积（取π ≈
3.14）。

解答，圆的周长等于2πr，其中r为半径，即周长= 2 ×
3.14 × 3cm ≈ 18.84cm。

圆的面积等于πr²，即面积 = 3.14
× 3cm × 3cm ≈ 28.26cm²。

例题4，一个三角形的底边长为6cm，高为4cm，求它的面积。

解答，三角形的面积等于底边乘以高再除以2，即面积 = 6cm × 4cm ÷ 2 = 12cm²。

这些例题涵盖了常见的数形结合题型，通过计算周长和面积，能够帮助我们理解几何形状的特征和计算方法。

当然，在实际应用中，还有更多复杂的数形结合问题需要解决，但这些例题可以作为初步的练习和基础知识的巩固。

希望这些例题能对你有所帮助。

(完整版)数形结合思想例题分析

数形结合思想例题解析数形结合思想例题解析一、结构几何图形解决代数与三角问题：1、证明恒等式：x 、y、 z 、 r 均为正数，且 x2y2z2 , z x2r 2x2例 1已知求证： rz xy.Cy r xA Bz解析：由 x2y2z2 , 自然联想到勾股定理。

由z x2r 2x2 .可以联想到射影定理。

进而可以作出吻合题设条件的图形（如图）。

比较图形，由直角三角形面积的两种算法，结论的正确性了如指掌。

证明：（略）小结：波及到与平方相关的恒等式证明问题，可结构出与之对应的直角三角形或圆，此后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。

2、证明不等式：例 2已知：0＜a＜1，0＜b＜1.求证a2b2(1 a)2b2a2(1 b)2(1 a)2(1 b)2 2 2.证明：如图，作边长为 1 的正方形ABCD，在 AB 上取点 E，使 AE=a；在 AD上取点 G，使 AG=b，过E、G分别作 EF//AD 交 CD于 F；作 GH//AB 交 BC于 H。

设 EF与 GH交于点 O，连结 AO、BO、CO、DO、AC、BD.由题设及作图知△AOG 、△ BOE 、△ COF 、△ DOG 均为直角三角形，所以OA a2b2OB(1a)2b2OC(1a)2(1 b)2OD a2(1b) 2且AC BD2因为OA OC AC, OB OD BD . 所以：- 1 - / 5数形结合思想例题解析a 2 b2(1 a)2 b2a 2 (1 b)2(1 a)2 (1 b)22 2.当且仅当a b12 时，等号成立。

小结：在求证条件不等式时，可依据题设条件作出对应的图形，此后运用图形的几何性质或许平面几何的定理、公义去成立不等式使结论获证。

3、求参数的值或参数的取值范围：例 3若方程ax22x 10 （ a ＞ 0）的两根知足： x 1 ＜ 1， 1＜ x 2 ＜ 3，求 a 的取值范围。

解析：画出与方程对应的二次函数y ax 22x1 （ a ＞ 0）的草图：yy123x 0 1 2 3x由图可知：当x =1 时， y ＜0；当 x =3 时， y ＞ 0.即a 122 1 1＜ 0 ； a 322 3 1＞ 0.5解得：9 ＜ a ＜ 1.例 4若对于 x 的不等式 0 x 2mx 2 1 的解集仅有一个元素，求m 的值。

数形结合高中数学例题

例题1．关于x 的方程2x 2－3x －2k ＝0在(－1, 1)内有一个实根，则k 的取值范围是什么？
分析：原方程变形为2x 2－3x =2k 后可转化为函数
y =2x 2－3x 。

和函数y =2k 的交点个数问题．
解：作出函数y =2x 2－3x 的图像后，用y =2k 去截抛
物线，随着k 的变化，易知2k ＝－8
9或－1≤2k ＜5时只有一个公共点．∴ k =－169或－21≤k <2
5. 点拨解疑：方程（组）解的个数问题一般都是通过相
应的函数图象的交点问题去解决．这是用形（交点）解决
数（实根）的问题．
例题3．已知s =
1
322+-t t ，则s 的最小值为。

分析：等式右边形似点到直线距离公式．
解：|s |＝1
|32|2+-t t , 则|s |可看成点（0, 0）到直线tx +y +2t －3=0的距离，又直线tx +y +2t －3=0变形为：(x +2)t +y
－3=0后易知过定点P (－2，3)，从而原点到直线 tx +y +2t
－3＝0的最短距离为|OP |=13, ∴ －13≤s ≤13.
点拨解疑：由数的形式联想到数的几何意义也即形，从而以形辅数解决问题．类似地如n bx m ay --联想到斜率，1cx d b
++联想到定比分点公式，(x －a )2+(y －b )2
联想到距离，|z 1－z 2|联想到两点间距离等．。

华罗庚数形结合的题目

华罗庚数形结合的题目可能涉及数学中的代数与几何的结合，特别是在解析几何和代数几何等领域。

这些题目通常要求学生能够将数学问题中的数值与相应的几何图形结合起来，以便更直观地理解和解决问题。

以下是一些华罗庚数形结合思想的题目示例：
1. 已知直线y = 2x + 3 与x 轴相交于点A，与y 轴相交于点B。

求线段AB 的中点坐标。

2. 在直角坐标系中，点P(2, -3) 关于x 轴的对称点Q 的坐标是什么？
3. 设直线l 的斜率为k，且经过点P(a, b)。

求直线l 的方程。

4. 已知圆的半径为r，圆心在原点(0, 0)。

求该圆的方程。

5. 平行四边形ABCD 的对角线互相垂直，且AB = 3, BC = 4。

求平行四边形的高。

6. 在直角三角形中，两个锐角的正切值分别是3 和4。

求这个三角形的面积。

7. 已知椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。

求椭圆的标准方程。

8. 在空间直角坐标系中，点A(1, 2, 3) 到原点O(0, 0, 0) 的距离是多少？
9. 已知双曲线的实轴长度为2a，虚轴长度为2b。

求双曲线的标准方程。

10. 平行线l1: 2x + 3y + 1 = 0 和l2: 2x - 3y + c = 0 之间的距离是多少？
这些题目要求学生能够将数学中的数值与几何图形相结合，从而更直观地理解问题和解题过程中的几何意义。

数形结合思想例题分析

数形结合思想例题分析引言数形结合思想是现代数学发展中的重要思维工具，它将数学问题与几何图形相结合，通过对几何图形的分析和推理来解决数学问题。

在数学学习和解题过程中，数形结合思想能够帮助我们更好地理解和掌握抽象概念，提升解决问题的能力。

本文将通过分析几个数形结合思想的例题，展示数形结合思想的应用方法和解题思路。

例题一：矩形面积最大值问题描述给定一段长为10米的围墙，现在要用这段围墙围成一个矩形花坛，花坛的一边靠着围墙，另外三面用围墙围起来。

问这个矩形花坛的最大面积是多少平方米？解题思路我们可以通过数形结合思想来解决这个问题。

首先，我们设矩形花坛的一边长为x米，则另一边长为(10 - 2x)米。

根据矩形的面积公式，我们可以得到矩形的面积S 为：S = x * (10 - 2x)接下来，我们需要求解这个二次函数的最大值。

通过求导数，我们可以得到函数的极值点，进而得到函数的最大值。

对函数S关于x求导，得到：S’ = 10 - 4x令S’等于0，解得x的值为2.5米。

由于题目中要求花坛的一边长不能超过5米，所以我们取x = 2.5米。

将x = 2.5代入矩形面积公式，得到最大面积为S = 2.5 * (10 - 2 * 2.5) = 12.5平方米。

结论这个矩形花坛的最大面积为12.5平方米。

例题二：三角形的内角和问题描述已知一个三角形的两边长分别为5厘米和12厘米，以及两边间夹角为60度。

求这个三角形的第三边长度和三个内角的度数之和。

解题思路我们可以通过数形结合思想来解决这个问题。

首先，我们将这个三角形绘制出来。

根据题目所给的信息，我们可以确定一个边长为5厘米，另一个边长为12厘米，并且它们之间夹角为60度的三角形。

接下来，我们需要求解第三边的长度。

根据三角形的边长关系，我们可以使用余弦定理来求解：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC其中，c为第三边的长度，a和b为已知的两边的长度，C为这两边间的夹角。

“数形结合”巧解小学数学思维题

由图可知，小长方形的面积一定小于70，即：
9（a+b+c)＜70
a+b+c＜70÷9
a+b+c＜ 8
a+b+c大于6小于8，所以a+b+c=7
例4: 计算：
我们用一个大正方形表示整数1，依次表示出、、 ……
从图中可以，所以：
=1-
=
例5：计算：6²+8²+14²+22²+36²+58²
6、8、14、22、35、58这个数列是斐波那契数列，6²可以看作是边长为6的正方形，依次类推。
不难看出：6²+8²+14²+22²+36²+58²
=（36+58）×58-（8-6）×6
=5452-12
=5440
例6：甲、乙两站相距610千米，两站之间有丙站。快车从甲站开往丙站，已经行驶了90千米，慢车从乙站开往丙站，已经行驶了它全部路程的，这时丙站正好处在快慢两车中间的位置上，求甲站到丙站的距离。
例2：(16+△)÷(20-△)=3
根据题意有（16+△）是（20-△）的3倍，把（20-△）看作一份，（16+△）有这样的3份。由此画出线段图：
20- △：
16+△:
一份（20-△）就是36÷（1+3）=9 △=20-9=11
例3：9a+10b+11c=70(五年级思维题）
（a,b,c是非0的自然数）
求a+b+c=
先画长9、宽a的长方形，再画长10、宽b的长方形，最后画长11、宽c的长方形。
把这个图形补成一条边长11、一条边长（a+b+c)的长方形。由图可知，这个长方形的面积一定小于70，即：

数形结合思想在中考题中的体现专题精讲精练

数形结合思想在中考题中的体现专题精讲精练【例题1】构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°=AC CD =2+√3=√3(2+√3)(2−√3)=2−√3．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（）A ．√2+1B ．√2−1C ．√2D ．12 【对点练习】（2019•湖北省仙桃市）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（） A ． B ． C ．D ．【例题2】数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y ＝x +5和直线y ＝ax +b 相交于点P ，根据图象可知，方程x +5＝ax +b 的解是（）A ．x ＝20B ．x ＝5C ．x ＝25D ．x ＝15【对点练习】（2020株洲模拟）直线y=k1x+b1（k1＞0）与y=k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y轴围城的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于．【例题3】在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上．(1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由．(2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长．(3）如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H，写出△GHE与△BHD面积之和的最大值，并简要说明理由．【对点练习】（2020山东日照模拟）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC=AB．探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．（1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE=AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为．（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论．拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标．各种类型点对点强化训练一、选择题1．如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（）A．（1.5+150tanα）米B．（1.5+150tanα）米C．（1.5+150sinα）米D．（1.5+150sinα）米2．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（）A. 4B. 7C. 3D. 123．如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜B．﹣3＜m＜﹣C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣二、填空题4．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是．（填写正确结论的序号）5．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB 长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A 不动，则坡顶B沿BC至少向右移m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°＝1.2）6．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF，以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是2；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为．其中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）．三、解答题7.解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．8. 我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短．这种“数形结合”的思想方法，非常有利于解决一些实际问题中的最大（小）值问题．请你尝试解决一下问题：（1）在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是 _____.（2）在图2中，相距3km的A、B两镇位于河岸（近似看做直线CD）的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你：①作图确定水塔的位置；②求出所需水管的长度（结果用准确值表示）.（3）已知x+y=6，求的最小值？此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下：①如图3中，作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA= ____DB= ____.②在AB上取一点P，可设AP= _____，BP= _____.③③的最小值即为线段___和线段_____长度之和的最小值，最小值为___．9.如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．（1）求直线AD的函数解析式；（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠PAD的值．10．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点A（3，2），与y轴的负半轴交于点B，且OB＝4．（1）求函数y＝和y＝kx+b的解析式；（2）结合图象直接写出不等式组0＜＜kx+b的解集．11．如图，已如平行四边形OABC中，点O为坐标顶点，点A（3，0）C（1，2），函数y＝（k≠0）的图象经过点C．（1）求k的值及直线OB的函数表达式：（2）求四边形OABC的周长．12.如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i=1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米，与凉亭距离CE=20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）。

高中数学数形结合思想经典例题（含解析）

高中数学数形结合思想经典例题（含解析）高中数学数形结合思想经典例题一、选择题1．已知函数f (x )＝3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)D ．(0，1)3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( )4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x <0的解集为( )A ．(－2，0)∩(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)5．实数x ，y 满足不等式组x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )A.2155B ．21C ．20D ．256．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋yx ＋y 的最小值为( )A.53 B ．2 C.35D.128．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<1<="" bdsfid="103" p="">9．已知函数y ＝f (x )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x 1＜x 2＜1，则( )A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2B.f （x 1）x 1＝f （x 2）x 2C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2D ．不能确定10．设关于x ，y 的不等式组2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，43)B ．(－∞，13)C ．(－∞，－23)D ．(－∞，－53)11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259D.26912．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤45成立，则实数a的值为( ) A.15 B.25 C.12D ．113．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3D ．214．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于34，抛物线E ：y 2＝2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：x ＝－1的距离之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题15．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．17．已知变量x ，y 满足约束条件x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值为________．18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |＝________．19．已知函数f (x )＝?－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是______．20．已知函数f (x )＝?|x|，x≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b有三个不同的根，则m 的取值范围是________．高中数学数形结合思想经典例题解析一、选择题1．已知函数f (x )＝?3x ，x≤0，log 2x ，x>0，下列结论正确的是( )A ．函数f (x )为奇函数B ．f (f (14))＝19C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称D ．函数f (x )在R 上是增函数【答案】 B【解析】作出函数f (x )的图象，如图所示，可知A ，C ，D 均错．f (f (14))＝3log 214＝3－2＝19，故B 正确．2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0) D ．(0，1)【答案】 C【解析】∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4>0，∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点．又∵f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)<0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)<0，解得－32<－5<="" bdsfid="173" p=""><－5<="" bdsfid="175" p="">6.<－5<="" bdsfid="177" p="">又∵a ∈Z ，∴a ＝－1.<－5<="" bdsfid="179" p="">不等式f (x )>1，即－x 2－x >0.解得－1<="" )＝ln|x="" 3．函数f=""<－5<="" bdsfid="182" p=""><－5<="" bdsfid="184" p="">【答案】 A<－5<="" bdsfid="186" p="">【解析】因为f (0)＝ln|cos0|＝0，故排除C ，D ；又f (1)＝ln|1＋cos1|>ln 1＝0，故排除B ，选A.<－5<="" bdsfid="188" p="">4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）<－5<="" bdsfid="190" p="">x <0的解集为( )<－5<="" bdsfid="192" p="">A ．(－2，0)∩(2，＋∞)<－5<="" bdsfid="194" p="">B ．(－∞，－2)∪(0，2)<－5<="" bdsfid="196" p="">C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)<－5<="" bdsfid="198" p="">D ．(－2，0)∪(0，2)<－5<="" bdsfid="200" p="">【答案】 D<－5<="" bdsfid="202" p="">【解析】由已知条件可以画出函数f (x )的草图，如图所示．由函数f (x )为奇函数可化简不等式f （x ）－f （－x ）x <0为2f （x ）<－5<="" bdsfid="204" p="">x <0.若x >0，则需<－5<="" bdsfid="206" p="">有f (x )<0，结合图象可知00，结合图象可知<－5<="" bdsfid="209" p="">－2<0.综上可知，不等式的解集为(－2，0)∪(0，2)．<="" bdsfid="210" p=""><－5<="" bdsfid="212" p="">5．实数x ，y 满足不等式组<－5<="" bdsfid="214" p="">?x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( )<－5<="" bdsfid="216" p="">A.215<－5<="" bdsfid="218" p="">5<－5<="" bdsfid="220" p="">B ．21<－5<="" bdsfid="222" p="">C ．20<－5<="" bdsfid="224" p="">D ．25<－5<="" bdsfid="226" p="">【答案】 B<－5<="" bdsfid="228" p="">【解析】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4| <－5<="" bdsfid="230" p="">5<－5<="" bdsfid="232" p="">·5，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．<－5<="" bdsfid="234" p="">由?<－5<="" bdsfid="236" p="">x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得B 点坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max<－5<="" bdsfid="238" p="">＝21.<－5<="" bdsfid="240" p="">6．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12)<－5<="" bdsfid="242" p="">B ．(1<－5<="" bdsfid="244" p="">2，1)<－5<="" bdsfid="246" p="">C ．(1，2)<－5<="" bdsfid="248" p="">D ．(2，＋∞)<－5<="" bdsfid="250" p="">【答案】 B<－5<="" bdsfid="252" p="">【解析】在同一坐标系中分别画出函数f (x )，g (x )的图象如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故1<－5<="" bdsfid="254" p="">2<－5<="" bdsfid="256" p=""><1.<="" bdsfid="257" p=""> <－5<="" bdsfid="259" p=""><－5<="" bdsfid="261" p="">7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋y<－5<="" bdsfid="263" p="">x ＋y 的最小值为( )<－5<="" bdsfid="265" p="">A.53 B ．2 C.35<－5<="" bdsfid="267" p="">D.12<－5<="" bdsfid="269" p="">【答案】 A<－5<="" bdsfid="271" p="">【解析】依题意，得实数x ，y 满足<－5<="" bdsfid="273" p="">?x ＋y －3≥0，x －y －3≤0，0≤y≤1，画出可行域如图阴<－5<="" bdsfid="275" p="">影部分所示，其中A (3，0)，C (2，1)，z ＝2＋y<－5<="" bdsfid="277" p="">x 1＋y x ＝1＋11＋y x ∈[5<－5<="" bdsfid="279" p="">3，2]，故<－5<="" bdsfid="281" p="">选A.<－5<="" bdsfid="283" p="">8．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1 D ．0<="" p="" 【答案】=""><－5<="" bdsfid="286" p="">【解析】本题考查函数的性质．在同一坐标系下，画出函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点横坐标属于<－5<="" bdsfid="288" p="">(－∞，－1)，另一个交点横坐标属于(－1，0)，即在x 1，x 2中，其中一个属于(－∞，－1)，另一个属于(－1，0)，不妨设x 1∈(－∞，－1)，x 2∈(－1，0)，则有10x 1＝|lg(－x 1)|＝lg(－x 1)，10x 2＝|lg(－x 2)|＝－lg(－x 2)，10x 1－10x 2＝lg(－x 1)＋lg(－x 2)＝lg(x 1x 2)<0，0<="" )在(0，1)内的一段图象是如图所示的一段曲线，若0＜x="" 1x="" 1＜x="" 2 <－5<="" bdsfid="291" p=""><－5<="" bdsfid="293" p="">A.f （x 1）x 1＜f （x 2）x 2<－5<="" bdsfid="295" p="">B.f （x 1）x 1＝f （x 2）<－5<="" bdsfid="297" p="">x 2<－5<="" bdsfid="299" p="">C.f （x 1）x 1＞f （x 2）x 2<－5<="" bdsfid="301" p="">D ．不能确定<－5<="" bdsfid="303" p="">【答案】 C<－5<="" bdsfid="305" p="">【解析】如图，设曲线上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))，kOP 1＝<－5<="" bdsfid="307" p="">f （x 1）－0x 1－0＝f （x 1）x 1，kOP 2＝f （x 2）－0x 2－0<－5<="" bdsfid="309" p="">＝f （x 2）<－5<="" bdsfid="311" p="">x 2，由于0＜x 1<－5<="" bdsfid="313" p="">＜x 2＜1，根据斜率与倾斜角之间的关系，显然有kOP 1＞kOP 2，即f （x 1）x 1＞f （x 2）<－5<="" bdsfid="315" p="">x 2<－5<="" bdsfid="317" p="">，故选C. 10．设关于x ，y 的不等式组<－5<="" bdsfid="319" p="">?2x －y ＋2>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0 <－5<="" bdsfid="321" p="">＝2，求m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4<－5<="" bdsfid="323" p="">3)<－5<="" bdsfid="325" p="">B ．(－∞，1<－5<="" bdsfid="327" p="">3)<－5<="" bdsfid="329" p="">C ．(－∞，－2<－5<="" bdsfid="331" p="">3)<－5<="" bdsfid="333" p="">D ．(－∞，－5<－5<="" bdsfid="335" p="">3<－5<="" bdsfid="337" p="">)<－5<="" bdsfid="339" p="">【答案】 C<－5<="" bdsfid="341" p="">【解析】作出不等式组所表示的平面区域，根据题设条件分析求解．当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m <0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．<－5<="" bdsfid="343" p="">要使可行域内包含y ＝1<－5<="" bdsfid="345" p="">2<－5<="" bdsfid="347" p="">x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝<－5<="" bdsfid="349" p="">12x －1的下方即可，即m <－12m －1，解得m <－23<－5<="" bdsfid="351" p="">. 11．在△AB C 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →＝( ) A.89 B.109 C.259 D.269<－5<="" bdsfid="353" p="">【答案】 B<－5<="" bdsfid="355" p="">【解析】由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →<－5<="" bdsfid="357" p="">＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两条边，不可能为0，所以AB →与AC →垂直，所以△ABC 为直角三角形．以AC 为x 轴，以AB 为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)，由E ，F 为BC 的三等分点知E (23，23)，F (13，4<－5<="" bdsfid="359" p="">3)，所以AE →＝(23，<－5<="" bdsfid="361" p="">23)，AF →＝(13，4<－5<="" bdsfid="363" p="">3)，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109<－5<="" bdsfid="365" p="">. 12．设函数f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2，其中x >0，a ∈R ，存在x 0使得f (x 0)≤4 <－5<="" bdsfid="367" p="">5成立，则实数a<－5<="" bdsfid="369" p="">的值为( ) A.15 B.2<－5<="" bdsfid="371" p="">5 C.12<－5<="" bdsfid="373" p="">D ．1 【答案】 A<－5<="" bdsfid="375" p="">【解析】(x －a )2＋(ln x 2－2a )2表示点P (x ，ln x 2)与点Q (a ，2a )距离的平方．而点P 在曲线g (x )＝2ln x 上，点Q (a ，2a )在直线y ＝2x 上．<－5<="" bdsfid="377" p="">因为g ′(x )＝2x ，且y ＝2x 表示斜率为2的直线，所以由2<－5<="" bdsfid="379" p="">x<－5<="" bdsfid="381" p="">＝2，解得x ＝1.<－5<="" bdsfid="383" p="">从而曲线g (x )＝2ln x 在x ＝1处的切线方程为y ＝2(x －1)，又直线y ＝2(x －1)与直线y ＝2x 平行，且它们间的距离为<－5<="" bdsfid="385" p="">222＋（－1）2<－5<="" bdsfid="387" p="">＝25<－5<="" bdsfid="389" p="">5，如图所示．<－5<="" bdsfid="391" p=""><－5<="" bdsfid="393" p="">故|PQ |的最小值为25<－5<="" bdsfid="395" p="">5<－5<="" bdsfid="397" p="">，<－5<="" bdsfid="399" p="">即f (x )＝(x －a )2＋(ln x 2－2a )2的最小值为(255)2＝4<－5<="" bdsfid="401" p="">5，当|PQ |最小时，P 点的坐标为(1，0)，所以<－5<="" bdsfid="403" p="">2a －0a －1<－5<="" bdsfid="405" p="">×2＝－1，解得a ＝1<－5<="" bdsfid="407" p="">5.<－5<="" bdsfid="409" p="">13．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →<－5<="" bdsfid="411" p="">，则|QF |＝( ) A.72 B.52 C ．3 D ．2<－5<="" bdsfid="413" p="">【答案】 C<－5<="" bdsfid="415" p="">【解析】利用FP →＝4FQ →<－5<="" bdsfid="417" p="">转化长度关系，再利用抛物线定义求解．∵FP →＝4FQ →，∴|FP →|＝4|FQ →|. ∴<－5<="" bdsfid="419" p="">|PQ||PF|＝3<－5<="" bdsfid="421" p="">4<－5<="" bdsfid="423" p="">.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4. ∴<－5<="" bdsfid="425" p="">|PQ||PF|＝|QQ′||AF|＝3<－5<="" bdsfid="427" p="">4<－5<="" bdsfid="429" p="">.∴|QQ ′|＝3. 根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3，故选C.<－5<="" bdsfid="431" p="">14．已知双曲线C ：x 2a 2－4y 2＝1(a >0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于3<－5<="" bdsfid="433" p="">4，抛物线E ：y 2＝<－5<="" bdsfid="435" p="">2px 的焦点与双曲线C 的右焦点重合，则抛物线E 上的动点M 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0和l 2：<－5<="" bdsfid="437" p="">x ＝－1的距离之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4<－5<="" bdsfid="439" p="">【答案】 B<－5<="" bdsfid="441" p="">【解析】 x 2<－5<="" bdsfid="443" p="">a 2－4y 2＝1的右顶点坐标为(a ，0)，一条渐近线为<－5<="" bdsfid="445" p="">x －2ay ＝0.由点到直线的距离公式得d ＝<－5<="" bdsfid="447" p="">|a|12＋4a 2＝34<－5<="" bdsfid="449" p="">，解得a ＝<－5<="" bdsfid="451" p="">3<－5<="" bdsfid="453" p="">2或a ＝－32(舍去)，故双曲线的方程为4x 2<－5<="" bdsfid="455" p="">3<－5<="" bdsfid="457" p="">－4y 2＝1.因为c ＝<－5<="" bdsfid="459" p="">34＋14<－5<="" bdsfid="461" p="">＝1，故双曲线的右焦点为(1，0)，即抛物线的焦点为(1，0)，所以p ＝2，x ＝－1是抛物线的准线，如图，作MA ⊥l 1于点A ，MB ⊥l 2于<－5<="" bdsfid="463" p="">点B ，设抛物线的焦点为F ，连接MF ，则由抛物线的定义知|MB |＝|MF |，当M ，A ，F 三点共线时，距离之和最小，其最小值是点F 到l 1的距离，由点到直线的距离公式可得d 1＝|4＋6|<－5<="" bdsfid="465" p="">（－3）2＋42＝10<－5<="" bdsfid="467" p="">5＝2，即距离之和的最小值为2，选B.<－5<="" bdsfid="469" p="">二、填空题<－5<="" bdsfid="471" p="">15．已知函数y ＝|x 2－1|<－5<="" bdsfid="473" p="">x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是<－5<="" bdsfid="475" p="">__________．<－5<="" bdsfid="477" p="">【答案】 (0，1)∪(1，4) 【解析】根据绝对值的意义，<－5<="" bdsfid="479" p="">y ＝|x 2－1|x －1＝<－5<="" bdsfid="481" p="">x ＋1，x>1或x<－1，－x －1，－1≤x<1.<－5<="" bdsfid="483" p=""><－5<="" bdsfid="485" p="">在直角坐标系中作出该函数的图象，如下图中实线所示．根据图象可知，当0<1或1<4时有两个交点．<="" bdsfid="486" p=""><－5<="" bdsfid="488" p=""><－5<="" bdsfid="490" p="">16．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．【答案】 (－7，3)<－5<="" bdsfid="492" p="">【解析】当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0，5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5，5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7，3)．<－5<="" bdsfid="494" p="">17．已知变量x ，y 满足约束条件<－5<="" bdsfid="496" p="">?x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，则F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)的最小值<－5<="" bdsfid="498" p="">为________．【答案】－2<－5<="" bdsfid="500" p="">【解析】 F (x ，y )＝log 2(y ＋1)＋log 12(x ＋1)＝log 2(y ＋1)－log 2(x ＋1)＝log 2y ＋1x ＋1，令k ＝y ＋1<－5<="" bdsfid="502" p="">x ＋1<－5<="" bdsfid="504" p="">＝<－5<="" bdsfid="506" p="">y －（－1）<－5<="" bdsfid="508" p="">x －（－1）<－5<="" bdsfid="510" p="">，则k 表示可行域内(如图所示)的点与P (－1，－1)所在直线的斜率．<－5<="" bdsfid="512" p=""><－5<="" bdsfid="514" p="">18．已知直线y ＝x －2与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0及抛物线y 2＝8x 的四个交点从上面依次为A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |＝________．【答案】 14<－5<="" bdsfid="516" p="">【解析】如图所示，圆的方程可化为(x －2)2＋y 2＝1，抛物线的焦点F (2，0)，准线x ＝－2.<－5<="" bdsfid="518" p=""><－5<="" bdsfid="520" p="">由y ＝x －2，y 2＝8x ，<－5<="" bdsfid="522" p="">得x 2－12x ＋4＝0，设直线与抛物线交于A (x A ，y A )，D (x D ，y D )，则x A ＋x D ＝12. |AB |＋|CD |＝(|AF |－|BF |)＋(|DF |－|CF |)＝(|AF |－1)＋(|DF |－1)＝|AF |＋|DF |－2，由抛物线的定义得|AF |＝x A ＋2，|DF |＝x D ＋2，故|AB |＋|CD |＝(|AF |＋|DF |)－2＝x A ＋x D ＋2＝14.<－5<="" bdsfid="524" p="">19．已知函数f (x )＝?<－5<="" bdsfid="526" p="">－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是______．<－5<="" bdsfid="528" p="">【答案】 [－2，0]<－5<="" bdsfid="530" p="">【解析】画出函数|f (x )|的图象，数形结合求解．<－5<="" bdsfid="532" p=""><－5<="" bdsfid="534" p="">作出函数y ＝|f (x )|的图象，如图，当|f (x )|≥ax 时，必有k ≤a ≤0，<－5<="" bdsfid="536" p="">其中k 是y ＝x 2－2x (x ≤0)在原点处的切线斜率，显然，k ＝－2. ∴a 的取值范围是[－2，0]．<－5<="" bdsfid="538" p="">20．已知函数f (x )＝?<－5<="" bdsfid="540" p="">|x|，x≤m ，<－5<="" bdsfid="542" p="">x 2－2mx ＋4m ，x>m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b<－5<="" bdsfid="544" p="">有三个不同的根，则m 的取值范围是________．【答案】 (3，＋∞)<－5<="" bdsfid="546" p="">【解析】 f (x )＝?<－5<="" bdsfid="548" p="">|x|，x≤m ，<－5<="" bdsfid="550" p="">x 2－2mx ＋4m ，x>m ，当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，<－5<="" bdsfid="552" p="">其顶点为(m ，4m －m 2)；当x ≤m 时，函数f (x )的图象与直线x<－5<="" bdsfid="554" p="">＝m 的交点为Q (m ，m )．①当m>0，<－5<="" bdsfid="556" p="">4m －m 2≥m ，<－5<="" bdsfid="558" p="">即0<="" bdsfid="559" p="" ≤3时，函数f=""><－5<="" bdsfid="561" p="">直线y ＝b 与函数f (x ) 的图象有一个或两个不同的交点，不符合题意；②当?<－5<="" bdsfid="563" p="">4m －m 2<=""><－5<="" bdsfid="566" p="">m>0，即<－5<="" bdsfid="568" p="">m >3时，函数f (x )的图象如图2所示，则存在实数b 满足4m －m 2<－5<="" bdsfid="571" p=""><－5<="" bdsfid="573" p="">。

数形结合思想的应用举例

设a为常数,试讨论方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根的个数 x −1 > 0 1 < x < 3 . lg( x −1)( 3− x) = lg( a − x) 3 − x > 0 ⇒ a − x > 0 x < a
⇒ ( x − 1)( 3 − x ) = a − x
利用定义化曲为直
• 【例5】已知方程 x 2 − 4x + 3 = m 有4个根，则实数m的取值范围 .
函数与方程关系
• 【例6】已知定义在R上的函数y=f（x）满足 • 下列三个条件:①对任意的x∈R都有f(x+4)=f(x)；② 对任意的0≤x1<x2≤2，都有f(x1)<f(x2);③y=f(x+2)的图象关于y轴对称.则f(4.5),f(6.5),f(7)的大小关系是____
谢谢大家！！谢谢大家！！
x m = − y − 1
y−b 斜率函数模型 x−a
• 【例2】求y=(cosθ-cosα+3)2+(sinθ-sinα2)2的最大(小)值.
θ,α∈R ∈
距离函数模型
| AB |=
( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )
2
2
【例3】若直线y=x+k与曲线x= 1 − y 2 恰有一个公共点，求k的取值范围.
f’(x)g(x)+f(x) g’(x)>0
【例8】若x∈(１,２)时,不等式 (x-1)2<logax恒成立,则a的取值范围是( Ａ. （0，1）Ｂ. （１，２）Ｃ. （１，２］Ｄ. ［１，２］
)
例9.已知函数f(x)=|sinx|的图像与直线 y=kx(k>0) 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为 α，求证: 2 cos α 1+ α = sin α + sin 3α 4α

数形结合思想例题选讲

数形结合思想例题选讲数形结合思想是“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。

应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化（1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法；以数助形常用的有借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。

例题选讲类型一：集合的运算及韦恩图利用数形结合的思想解决集合问题，常用的方法有数轴法、韦恩图法等。

当所给问题的数量关系比较复杂，且没有学容斥原理前，不好找线索时，用韦恩图法能达到事半功倍的效果。

例1．如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（） ().A M P S B 。

()M P S ().I C M P S ð ().I D M P S ð 解：阴影部分是M 与P 的公共部分（转化为集合语言就是M P ），且在S 的外部（转化为集合语言就是C I S ），故选C 。

通过上述例子，我们知道：当应用题中牵涉到集合的交集、并集、补集时，用韦恩图比用数轴法简便。

类型二：图表信息题此类题目都有图形（或图表）作为已知条件，须联系函数的性质分析求解，解决问题的关键是从已知图形（图表）中挖掘信息.例2．直角梯形ABCD 如图（1），动点P 从B 点出发，由A D C B →→→沿边运动，设点P 运动的路程为x ，ABP ∆的面积为)(x f ．如果函数)(x f y =的图象如图（2），则ABC ∆的面积为（）A ．10B ．16C ．解：由)(x f y =图象可知,当04()0x f x →由时由由4=x及9=x 时)(x f 不变,说明P 点在DC 上,即所以AD=14-9=5,过D 作DG AB ⊥则DG=BC=43=∴AG ,由此可求出AB=3+5=8.16482121=⨯⨯=⋅=∆BC DB S ABC 选B例3．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是A ．y =2x -2 B.y =21(x 2-1) C.y =log 2x D.y =log 21x A B CD P图（1）解：解法一:把表中x 的数值取整数代入下列函数中逐一计算,近似估算,最接近y 值的一个函数为()2112y x =-.故选B. 解法二:把表中()y x ,近似描点连线,对照可得最接近的函数为()2112y x =-的图象.故选B. 类型三：解析几何中直线与曲线例4．曲线y =1+24x - (–2≤x ≤2)与直线y =r (x –2)+4有两个交点时，实数r 的取值范围解析方程y =1+24x -的曲线为半圆，y =r (x –2)+4为过（2，4）的直线答案（43,125］类型四：方程（多指二元方程）及方程的曲线交点问题例5．已知最小正周期为2的函数y=f(x)，当x ∈[-1,1]时，f(x)=x 2，则函数y=f(x)（x ∈R ）的图象与y=|log 5x|的图象交点个数为（）A.2B.3C.4D.5解：本题考查周期函数的图象和性质，对数函数的图象和性质及含有绝对的函数的图象的画法，本题考查数形结合思想.例6．设f (x )=x恒成立，求a 的取值范围解法一由f (x )⇔x 2–2ax +2–a 考查函数g (x )=x 2轴上方如图两种情况不等式的成立条件是(1)Δ=4a 2–4(2–a )＜0⇒a ∈(–2,1)(2)⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--<≥∆0)1(10g a a ∈(–3,–2]，综上所述a ∈(–3,1)解法二由f (x )＞a ⇔x 2+2＞a (2x +1)令y 1=x 2+2,y 2=a (2x +1),在同一坐标系中作出两个函数的图象如图满足条件的直线l 位于l 1与l 2之间，而直线l 1、l 2对应的a 的斜率）分别为1，–3，故直线l 对应的a ∈(–3,1)类型六：函数知识解应用题函数知解应用题的题型比较丰富,一般为中档题,其中对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．例7．某医药研究所开发一种新药.如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量y （毫克）与xx y (毫克时间t （小时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线. 据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效.则服药一次治疗该疾病有效的时间为（）A. 4小时B. 478 小时C. 41516小时 D. 5小时解：由已知图象可得, 01,()1(), 1.2t a kt t f x t -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩将点(1,4)代入可得4k =,3a =.∴34, 01,()1(), 1.2t t t f x t -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩令()0.25f x ≥可得40.25,11,0116t t t ≥⎧⇒≤≤⎨<≤⎩或31,151()0.25,2t t t ->⎧⎪⇒<≤⎨-≥⎪⎩, ∴1516t ≤≤, 从而得服药一次治疗该疾病有效的时间为1155-41616=,故应选C. 类型七：创新题例8．如图,三台机器人123,,M M M 和检测台M （M 与123,,M M M 均不能重合）位于一条直线上,三台机器人需把各自生产的零件送交M 处进行检测,送检程序设定：当1M 把零件送达Ｍ处时，2M 即刻自动出发送检，当2M 把零件送达M 处时，3M 即刻自动出发送检，设2M 的送检的速度为v ，且送检速度是1M 的２倍、3M 的３倍．（１）求三台机器人123,,M M M 把各自生产的零件送达检测台M 处的时间总和；（２）现要求三台机器人123,,M M M 送检时间总和必须最短，请你设计出检测台M 在该直线上的位置．解：（１）由已知得检测台M 的位置坐标为0，则机器人123,,M M M 与检测台M 的距离分别为2,1,3．又2M 的送检的速度为v ，则1M 的送检的速度为12v ，3M 的送检的速度为13v . ∙∙∙∙∙∙1M M2M 3M -2 -1 0 1 2 3故三台机器人123,,M M M 按程序把各自的生产零件送达检测台Ｍ处的时间总和为213141123y v v v v =++=. （２）设x 为检测台M 的位置坐标，则三台机器人123,,M M M 与检测台M 的距离分别为|(2)|,|1|,|3|x x x ----．于是三台机器人123,,M M M 按程序把各自的生产零件送达检测台Ｍ处的时间总和为|(2)||1||3|1(2|2||1|3|3|)1123x x x y x x x v v v v ----=++=++-+-.只要求()2|2||1|3|3|f x x x x =++-+-的最小值．而66,(2),214,(21),()12,(13),66,(3),x x x x f x x x x -+<-⎧⎪-+-≤<⎪=⎨≤≤⎪⎪->⎩由分段函数图象得当[1,3]x ∈时，有min ()12f x =．即送检时间总和最短为12v.又检测台M 与123,,M M M 均不能重合，故可将检测台M 设置在直线上机器人2M 和3M 之间的任何位置（不含23,M M 的位置），都能使各机器人123,,M M M 的送检时间总和最短.。

数形结合的思想方法(2)---高考题选讲

数形结合的思想方法(2)---高考题选讲数形结合思想是一种很重要的数学思想，数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物，华罗庚先生说过：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难入微.”把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想.数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来.在使用过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化.考试中心对考试大纲的说明中强调：“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以由…形‟到…数‟的转化为主.”1. 注重图形的内涵与拓展，突出对数字直觉能力的考查【例1】图1有面积关系则由图2有体积关系：_______.解：【点评】本题注重考查图形分析能力.思维方式上从平面向空间拓展，面积与体积类比，直观类比与猜想并举.体现了高考题以能力立意考查注重素质的命题原则.【例2】如图所示，已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若F1，F2，P 是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）.解：以Ｏ为圆心以ＯＦ1为半径画圆，可知此圆与椭圆无交点，则△Ｆ1Ｆ2P中∠ＰＦ1Ｆ2（或∠ＰＦ2Ｆ1）为直角，如此求出Ｐ点坐标即得yp=±，故选Ｄ.【点评】本题以作图直观判断为突破口，直觉与逻辑推理互动，化解析几何问题为平面几何问题，化计算为判断，在理性的高度认识问题.【例３】某城市各类土地租价y（万元）与该地段和市中心的距离x（km）关系如图所示.其中l1表示商业用地，l2表示工业用地，l3表示居住用地.要使各类用地租金收入最高，应将工业用地划在（）.Ａ. 与市中心距离分别为3km和5km的圆环型区域上Ｂ. 与市中心距离分别为1km和4km的圆环型区域上Ｃ. 与市中心距离为５km的区域外Ｄ. 与市中心距离为5km的区域内解：由函数y的实际意义知：在区间（１，４）上，即在与市中心距离分别为１km和４km的圆环型区域上，工业用地的租金大于商业用地的租金和居住用地的租金，为了获取最高的租金，因此这个区域应租用给工业，故选B.【点评】这道题考查的是阅读理解能力，提醒我们在日常的学习中，要注意训练直觉思维，养成整体观察、检索信息、把握问题实质的良好习惯.2. 注重绘图，突出对动手能力和探究性学习的考查【例４】设奇函数f（x）定义域为［－５，５］，若当x∈［０，５］时，f（x）图象如下图，则不等式f（x）<0的解集是____.解：由奇函数的图象关于原点对称，完成f（x）在定义域内的图象，再由f（x）<0找出使f（x）图象在x轴下方的区域，从而得到不等式f（x）<0的解集为（-2，0）∪（2，5］.【点评】用数形结合的方法去分析解决问题除了能读图外，还要能画图.绘制图形既是数形结合方法的需要，也是培养我们动手能力的需要.【例５】设集合Ｕ＝｛（x，y）x∈R，y∈R｝，Ａ＝｛（x，y）２x－y+m>0｝，Ｂ＝｛（x，y）x＋y-n≤0｝，那么点Ｐ（２，３）∈Ａ∩（B）的充要条件是（）.Ａ. m>-1，n<5Ｂ. m<-1，n<5Ｃ. m<-1，n>5Ｄ. m>-1，n>5解：先假定点Ｐ（２，３）在直线2x-y+m=0和直线x+y-n=0上，则m=-1，n=5.再确定两个不等式2x-y-1>0和x+y-5>0所共同确定的区域，平移两直线得到答案Ａ.【点评】此题考查了集合、二元一次不等式表示的区域、充要条件等知识.以运动、变化、联系的观点考虑问题，变静态思维方式为动态思维方式，强调辨证思维能力.3. 注重对思维的灵活性和创造性的考查【例６】已知点Ｐ是椭圆上的动点，Ｆ1，Ｆ２分别是左、右焦点，Ｏ为原点，则的取值范围是（）.解：此题的一种解法是：在△ＰＦ1Ｆ２中，根据中线定理得：PF1２+PF2２＝2ＯP２+2F1Ｏ２，再由椭圆定义，得到（PF1-PF２）２＝ＯP２－１６，由2≤ＯP≤2得答案Ｄ.另一种解法是数形结合，根据Ｐ点所处的位置对取值的影响来判断出结论.逐渐移动Ｐ点到长轴端点，ＯP值逐渐增大，逐渐接近，当移动Ｐ点到短轴端点时PF1＝PF２，取最小值0.从而判断出答案为Ｄ.【点评】解法二是采用极端性原则变静态思维方式为动态思维方式，把数与形分别视为运动事物在某一瞬间的取值或某一瞬间的相对位置.运用动态思维方式处理、研究问题，揭示了问题的本质，体现了思维的灵活性.4. 注重方法的通用性、应用性，突出能力考查【例7】电信局为了满足客户的不同需求，制定了A，B两种话费计算方案.这两种方案应付话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如下图所示（MN∥CD）.（1）若通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元？（2）方案B从500钟以后，每分钟收费多少元？（3）通话时间在什么范围内方案B才会比方案A优惠？解：由M（60，98），C（500，168），N（500，230）.∵MN∥CD.设这两方案的应付话费与通话时间的函数关系式分别为f A（x），f B（x），（1）通话两小时的费用分别是116元和168元.（2）由f B（n+1）-f B（n）=0.3（n>500）或由直线CD的斜率的实际意义知方案B从500分钟以后每分钟收费0.3元.（3）由图知：当0≤x≤60时f A（x）<f B（x）；当x>500时f A（x）>f B（x）；当60<x≤500时，令f A（x）>f B（x ）得x>，即通话时间为（，+∞）时方案B 较优惠.【评析】此题在实际问题中融入函数，直线等知识，考查了阅读理解能力，体现了在知识应用过程中对能力的考查.下面就高考中出现的一些相关题进行点评【例8】. 若方程lg(－x 2＋3x －m)＝lg(3－x)在x ∈(0,3)内有唯一解，求实数m 的取值范围。

六年级数形结合的典型例题

六年级数形结合的典型例题
数形结合是数学中一个重要的概念，通过将数学问题与几何形状相结合，可以帮助学生更好地理解和应用所学知识。

以下是一些六年级数形结合的典型例题，旨在帮助学生进一步巩固和拓展他们的数学能力。

例题1：一个长方形花坛的长度是12米，宽度是8米。

如果一包草
籽足够播种4平方米的面积，那么这个长方形花坛最多可以播种多少包草籽？
解析：这个题目涉及到长方形的面积和乘法运算。

首先，我们可以计算出这个花坛的面积是12米乘以8米，等于96平方米。

然后，我们将96平方米除以每包草籽能够播种的面积4平方米，得到答案24。

所以，这个长方形花坛最多可以播种24包草籽。

例题2：一个正方形的边长是5厘米，如果将它分成4个小正方形，每个小正方形的边长是多少？
解析：这个题目涉及到正方形的边长和分割。

首先，我们知道正方形的四条边都是相等的，所以这个正方形的边长是5厘米。

然后，我们需要将正方形分成4个小正方形，所以每个小正方形的边长应该相等。

通过观察，我们可以将正方形垂直和水平地分割成4个相等的小正方
形，所以每个小正方形的边长是2.5厘米。

通过上述例题，我们可以看到数形结合在解决数学问题中的重要性。

它不仅让学生能够将抽象的数学概念具体化，还能够培养学生的空间想象力和逻辑思维能力。

在六年级的数学学习中，数形结合的例题可以帮助学生更好地理解和掌握各种数学概念，为他们将来的学习打下坚实的基础。

三年级数形结合的典型例题

三年级数形结合的典型例题
一、例题
1. 用小棒摆正方形，摆1个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要7根小棒，摆3个正方形需要10根小棒，按照这样的规律，摆n个正方形需要多少根小棒？
二、题目解析
1. 首先我们来分析小棒数量与正方形个数之间的关系：
摆1个正方形时，需要4根小棒，可表示为公式。

摆2个正方形时，我们可以看作第一个正方形用4根小棒，第二个正方形与第一个正方形共用1根小棒，所以只需要再用3根小棒，总共需要公式根小棒，也可表示为公式。

摆3个正方形时，第一个正方形4根小棒，后面两个正方形每个都与前面的正方形共用1根小棒，也就是每个只需3根小棒，总共公式根小棒，同样可表示为公式。

2. 然后我们可以总结出规律：
摆n个正方形时，除了第一个正方形用4根小棒，后面公式个正方形每个都只需3根小棒。

所以总共需要的小棒数量就是公式，化简这个式子：公式。

所以摆n个正方形需要公式根小棒。

运用数形结合思想巧解高中数学题例析

运用数形结合思想巧解高中数学题例析例题1：已知直角三角形ABC中，\angle B=90^\circ, AB=3, BC=4.过点B画高BD交AC于点D，求\bigtriangleup ABD的面积。

解析：在解决这个问题时，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。

我们可以通过勾股定理知道AC=5。

然后我们可以通过计算直角三角形ABC的面积，S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}\times 3\times 4=6。

接着，我们可以通过计算直角三角形ABC在AC上的高BD，可以用\frac{1}{2}AB\times BC=6可以得到BD=1.5。

接下来，我们可以计算\bigtriangleup ABD的面积，S_{\bigtriangleup ABD}=\frac{1}{2}\times 3\times 1.5=2.25。

\bigtriangleup ABD的面积为2.25。

通过这个例题我们可以看到，通过数形结合的思想，我们可以用较为简洁的步骤来解决这个问题，使得我们更清晰地理解题目，找到更加直观的解法。

例题2：已知f(x)=x^2+bx+c是一个以x为自变量的二次函数，且f(2)+f(3)=26,f(4)=19，求b,c的值。

解析：对于这个问题，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。

我们可以通过函数值的计算得到f(2)=4+2b+c，f(3)=9+3b+c，f(4)=16+4b+c。

由f(2)+f(3)=26可得13+5b+2c=26，所以5b+2c=13。

由f(4)=19可得16+4b+c=19，所以4b+c=3。

通过解这个方程组可以得到b=5,c=3。

例题3：已知椭圆的离心率为\frac{1}{2}，长轴的长为8，求其短轴的长。

解析：对于这个问题，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。

椭圆的离心率定义为e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}，其中a为长轴的长，b为短轴的长。