高三数学一轮复习课件：第61讲 n次独立重复试验与二项分布

由事件的独立性与互斥性,得
P(E)=P(ABCD)+P(������BCD)+P(A������CD) +P(AB������D)+P(ABC������)=P(A)P(B)P(C) P(D)+P(������)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(������)P( C)P(D)+P(A)P(B)P(������)P(D)+P(A)P(B) P(C)P(������)=34×23×34×23+2× 14×23×34×23+34×13×34×23 =23,所以“星队”至 少猜对 3 个成语的概率为23. (2)由题意,随机变量 X 可能的取值为
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60%的概率;
(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
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解:(1)设 A 表示事件“一续保人本年度的保费高于基本Байду номын сангаас费”,则事件 A 发生当且仅当一年
内出险次数大于 1,故 P(A)=0.20+0.20+0.10+0.05=0.55.
概率
2015全国卷Ⅰ4
条件概率 二项分布
条件概率 二项分布
2016全国卷
Ⅱ18,2014全国卷Ⅱ5
2017全国卷Ⅱ 13
考查热度 ★☆☆
★★☆ ★★☆
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真题再现
■ [2017－2013]课标全国真题再现
1.[2015·全国卷Ⅰ] 投篮测试中,每人
投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.
[答案] A
[解析] 记事件 M={恰好投中 2 次},N={3 次
已知某同学每次投篮投中的概率为 都投中},E={通过测试},则事件 M 与 N 互斥,
0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则
该同学通过测试的概率为 ( )
A.0.648 C.0.36
B.0.432 D.0.312
且 E=M∪N.又 P(M)=C32×(0.6)2×(1-0.6)=0.432,P(N)=C33×(0. 6)3=0.216,所以 P(E)=P(M∪
解:(1)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.
P(X=0)=
1-
1 2
×
1-
1 3
×
1-
1 4
=14,
P(X=1)=12×
1-
1 3
×
1-
1 4
+
1-
1 2
×13×
1-
1 4
+
1-
1 2
×
1-
1 3
×14=1214,
P(X=2)=
1-
1 2
×13×14+12×
1-
1 3
×14+12×13×
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3.[2017·全国卷Ⅱ] 一批产品的二等
品率为 0.02,从这批产品中每次随机取
一件,有放回地抽取 100 次,X 表示抽到
的二等品件数,则 DX=
.
[答案] 1.96 [解析] X~B(100,0.02),故 DX=100×0.02×0.98=1.96.
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4.[2016·全国卷Ⅱ] 某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续
N)=P(M)+P(N)=0.648.故选 A.
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2.[2014·全国卷Ⅱ] 某地区空气质量
监测资料表明,一天的空气质量为优
良的概率是 0.75,连续两天为优良的概
率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,
则随后一天的空气质量为优良的概率
是( ) A.0.8 C.0.6
B.0.75 D.0.45
解:(1)记事件 A:“甲第一轮猜对”,记事 件 B:“乙第一轮猜对”, 记事件 C:“甲第二轮猜对”,记事件 D:“乙第二轮猜对”, 记事件 E:“‘星队’至少猜对 3 个成语”. 由题 意,E=ABCD+������BCD+A������CD+AB������D+ ABC������.
教学参考
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2.[2016·山东卷] 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语 活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中, 如果两人都猜对,则“星队”得 3 分;如果只有一人猜对, 则“星队”得 1 分;如果两人都没猜对,则“星队”得 0 分. 已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23; 每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互 不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: (1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率; (2)“星队”两轮得分之和 X 的分布列和数学期望 E(X).
X 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a P 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 E(X)=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a. 因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 1.23.
保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
一年内出险次数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
所以随机变量 X 的分布列为
X0 1 2 3 1 11 1 1
P 4 24 4 24
随机变量 X 的数学期望 E(X)=0×14+1×1214+2×14+3×214=1132.
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1.[2017·天津卷] 从甲地到乙地要经过 3 个 十字路口,设各路口信号灯工作相互独立, 且在各路口遇到红灯的概率分别为12,13,14. (1)设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红 灯的个数,求随机变量 X 的分布列和数学 期望; (2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地,求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率.
[答案] A
[解析] 设“第一天空气质量为优良”为事件 A,“第二天空气质量为优良”为事件 B,则 P(A)=0.75,P(AB)=0.6,由题知要求的是在事 件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率,根据条 件概率公式得 P(B|A)=���������(������(���������������))=00.7.65=0.8.
(2)设 B 表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出 60%”,则事件 B 发生当且仅当一 年内出险次数大于 3,故 P(B)=0.10+0.05=0.15.又 P(AB)=P(B),故 P(B|A)=���������(������(���������������))=������������((������������))=00..1555= 131,因此所求概率为131. (3)记续保人本年度的保费为 X,则 X 的分布列为
故随机变量 X 的分布列为
X01 2 346 1 5 25 1 5 1
P 144 72 144 12 12 4
所以数学期望
E(X)=0×1414+1×752+2×12454+3×112+4× 152+6×14=263.
教学参考
3.[2016·北京卷] A,B,C 三个班共有 100 名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样
由事件的独立性与互斥性,得
P(X=0)=14×13×14×13=1414,P(X=1)=2× 34×13×14×13+14×23×14×13 =11404=752, P(X=2)=34×13×34×13+34×13×14×23+14×23×34× 13+14×23×14×23=12454, P(X=3)=34×23×14×13+14×13×34×23=11424=112, P(X=4)=2× 34×23×34×13+34×23×14×23 =16404=152, P(X=6)=34×23×34×23=13464=14.
教学参考
■ [2017-2016]其他省份类似高考真题
1.[2017·天津卷] 从甲地到乙地要经过 3 个 十字路口,设各路口信号灯工作相互独立, 且在各路口遇到红灯的概率分别为12,13,14. (1)设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红 灯的个数,求随机变量 X 的分布列和数学 期望; (2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地,求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率.
2.[2016·山东卷] 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语 活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中, 如果两人都猜对,则“星队”得 3 分;如果只有一人猜对, 则“星队”得 1 分;如果两人都没猜对,则“星队”得 0 分. 已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23; 每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互 不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: (1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率; (2)“星队”两轮得分之和 X 的分布列和数学期望 E(X).
(2)设 Y 表示第一辆车遇到红灯的个数,Z 表
示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的
概率 P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y= 0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=14×1214+1214×14=1418. 所以这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为1418.
0,1,2,3,4,6.
教学参考
2.[2016·山东卷] 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语 活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中, 如果两人都猜对,则“星队”得 3 分;如果只有一人猜对, 则“星队”得 1 分;如果两人都没猜对,则“星队”得 0 分. 已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23; 每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互 不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: (1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率; (2)“星队”两轮得分之和 X 的分布列和数学期望 E(X).
1-
1 4
=14,
P(X=3)=12×13×14=214.
教学参考
1.[2017·天津卷] 从甲地到乙地要经过 3 个 十字路口,设各路口信号灯工作相互独立, 且在各路口遇到红灯的概率分别为12,13,14. (1)设 X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红 灯的个数,求随机变量 X 的分布列和数学 期望; (2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地,求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率.
(3)再从 A,B,C 三个班中各随机抽取一名学生,他们该周的锻炼时间分别是 7,9,8.25(单位:小
时).这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 μ1,表格中数据的平均数记为
μ0,试判断 μ0 和 μ1 的大小.(结论不要求证明)
教学参考
解:(1)由题意知,抽出的 20 名学生中,来自 C 班的学生有 8 名.根据分层抽样方法,C 班的学 生人数估计为 100×280=40. (2)设事件 Ai 为“甲是现有样本中 A 班的第 i 个人”,i=1,2,…,5,事件 Cj 为“乙是现有样本中 C 班的第 j 个人”,j=1,2,…,8. 由题意可 知,P(Ai)=15,i=1,2,…,5;P(Cj)=18,j=1,2,…,8.P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=15×18=410,i=1,2,…,5,j=1,2,…,8. 设事件 E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,
获得了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时):
A班
6
6.5
B班
6
7
C班
3
4.5
(1)试估计 C 班的学生人数.
7 7.5 8
8
9
10 11 12
6 7.5 9 10.5 12 13.5
(2)从 A 班和 C 班抽出的学生中,各随机选取一人,A 班选出的人记为甲,C 班选出的人记为
乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;
教学参考
2.[2016·山东卷] 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语 活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中, 如果两人都猜对,则“星队”得 3 分;如果只有一人猜对, 则“星队”得 1 分;如果两人都没猜对,则“星队”得 0 分. 已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23; 每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互 不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: (1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率; (2)“星队”两轮得分之和 X 的分布列和数学期望 E(X).
第61讲 PART 9
n次独立重复 试验与二项分 布
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
考试说明
1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念. 2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题.
教学参考
考情分析
考点
考查方向
考例
互斥事件及其 互斥事件及其发生的
发生的概率