专题训练：直角三角形斜边上的中线等于斜边一半

专题训练：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。

一、直角三角形斜边上中线的性质

性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

二、性质的证明

1、证明线段相等

例1、如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D点，使，点E、F分别为边BC、AC的中点。

（1）求证：DF=BE；

（2）过点A作AG∥BC，交DF于G。求证：AG=DG。

2、证明角相等

例2、已知，如图5，在△ABC中，∠BAC>90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：∠FED=∠FDE。

例3、已知：如图6，在△ABC中，AD是高，CE是中线。DC=BE，DG⊥CE，

G为垂足。

求证：（1）G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE。

3、证明线段的倍分及和差关系

例4、如图7，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E 是BD的中点，连AE。求证：（1）∠AEC=∠C；（2）求证：BD=2AC。

例5、如图8，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，E、F分别是AB、CD的中点。求证：。

4、证明线段垂直

例6、如图9，在四边形ABCD中，AC⊥BC，BD⊥AD，且AC=BD，M、N分别是AB、DC边上的中点。

求证：MN⊥DC。

5、证明特殊的几何图形

例7、如图10，将Rt△ACB沿直角边AC所在直线翻折180°得到Rt△ACE，点D与点F分别是斜边AB、AE的中点，连CD、CF，则四边形ADCF为菱形．请给予证明．

强化训练

1、如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D,E 、F 、G 分别是AC 、AB 、BC 的中点。 求证：四边形OEFG 是等腰梯形。 F E

G D C B A

2、如图所示，BD 、CE 是三角形ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点 求证：MN ⊥DE

N

E D

C A

3、已知梯形ABCD 中，∠B+∠C ＝90o ，EF 是两底中点的连线，试说明AB －AD ＝2EF

F

C B

4、如图，四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=90o ，点M 、N 分别是BD 、AC 的中点。MN 、AC 的位置关系如何？证明你的猜想。

D

5、过矩形ABCD 对对角线AC 的中点O 作EF ⊥AC 分别交AB 、DC 于E 、F ，点G 为AE 的中点，若∠AOG ＝30o

求证：3OG=DC

A 6、如图所示；过矩形ABCD 的顶点A 作一直线，交BC 的延长线于点E ，F 是AE 的中点，连接FC 、FD 。

求证：∠FDA=∠FCB

A

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供参考，感谢您的配合和支持）

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