向量组的线性相关性的判定方法浅析

目录摘要： (I)关键词： (I)Abstract (II)Keywords： (II)1．前言 (1)2．预备知识 (1)2.1线性相关性的概念及性质 (1)2.1.1线性相关的概念 (1)2.1.2线性相关的性质 (2)3.向量组线性相关的判定方法 (3)3.1定义法 (3)3.2根据齐次线性方程组的解进行判定 (4)3.3利用矩阵的秩进行判定 (5)3.4利用行列式值进行判定 (6)3.5反证法 (7)3.6 数学归纳法 (7)3.7用线性变换的性质进行判定 (8)3.8利用朗斯基行列式来判定 (10)4.结束语 (11)参考文献 (12)致谢 (13)向量组的线性相关性的判定方法浅析摘要：本文总结综述了向量组线性相关性的判定方法，并阐述了不同判定方法适用的条件.关键词：线性相关；线性无关；判定方法.Several Methods of Judging the Linear Dependence of A VectorGroup is analysedAbstract：This article summarizes the judging methods of vector linear correlation, and expounds the different methods applicable conditions.Keywords：linear correlation; linear independence; judging methods .1．前言向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用.线性相关性这个概念在许多数学专业课程中都有体现，如微分几何，高等代数和偏微分方程等等.它是线性代数理论的基本概念，它与线性空间(包括基，维数），子空间等概念有密切关系，同时在微分几何以及偏微分方程中都有广泛的应用.因此，掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意义，也是解决其它问题的重要理论依据.向量组的线性相关与线性无关判定方法是非常灵活的。

本文从线性相关性的定义出发，分别运用了定义法、矩阵的秩、行列式的值、齐次线性方程组的解、反证法、数学归纳法、线性变换的性质等几种方法对向量组的线性相关性进行了判定.如果向量组是函数，那么可用朗斯基判别法判定.特别是反证法，线性变换的性质，朗斯基判别法运用于一些复杂和特殊的题目，是比较方便的.2．预备知识2.1线性相关性的概念及性质2.1.1线性相关的概念定义1[1]向量称为向量组的一个线性组合，如果有数域P 中的数αs βββ,,,21 使12s ,,,,k k k =α1122s sk k k βββ+++ 定义2[1]若向量组中每一个向量()都可由向量组={}线性表示,则A i αt i ,,2,1 =B s ββ,,1 称可由线性表示.若两个向量组可互相线性表示,则称这两个向量组等价.A B 性质 向量组的等价具有1)反身性；2)对称性；3)传递性.定义3[1]如果向量组中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量()12,,,2s s ααα≥ 组称为线性相关的。

s ααα,,,21 定义4[1]向量组称为线性相关，如果有数域P 中不全为零的数()12,,,1s s ααα≥ 使12s ,,,,k k k11220s s k k k ααα+++= 定义3与定义4在的时候是一致的。

2s ≥ 定义5[1]一向量组不线性相关，即没有不全为零的数使()12,,,1s s ααα≥ 12s ,,,k k k 11220s s k k k ααα+++= 就称为线性无关;或者说，一向量组如称为线性无关，如果由s ααα,,,21 11220s s k k k ααα+++= 可以推出120s k k k ==== 定义6[1]设向量组{}是向量组{}的部分组.称{}是{r i i i ααα,,,21 s ααα,,,21 r i i i ααα,,,21 }的极大无关组,如果s ααα,,,21 i)向量组{}线性无关；r i i i ααα,,,21 ii){}中的任意个向量(如果有的话)构成的向量组总是线性相关的.s ααα,,,21 1+r 定义7[1]向量组{}的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩. 记为秩(s ααα,,,21 ).s ααα,,,21 性质 向量组{}线性无关秩{} =.r αα,,1 ⇔r αα,,1 r 向量组{}线性相关{}秩.r αα,,1 ⇔r αα,,1 <r 2.1.2线性相关的性质性质(1)[1] 一个向量组若有部分向量线性相关,则此向量组线性相关.(即:部分相关,整体相关)性质(2)[1] 若一个向量组线性无关,则它的每个非空部分向量组也线性无关.(即:整体无关,部分无关)性质(3)[2] 含零向量的向量组必线性相关,即{}线性相关.10,,,s αα 性质(4)[2]{}线性相关.α=0α⇔性质(5)[2]{}线性相关.βα,λβα=⇔)(P ∈λ性质(6)[1]中单位向量组线性无关.nP 性质(7)[1]向量组=线性相(无)关齐次线性方程组i α),,,(21in i i a a a ),,2,1(s i =⇔ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221121221111s sn n n ss s s x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有(无)非零解.性质(8)[2] 设向量组{}线性无关,而向量组{,}线性相关,则一定可s ααα,,,21 s ααα,,,21 ββ由唯一的线性表示.s ααα,,,21 性质(9)[2] 向量组{}(s )线性相关的充要条件是其中某一个向量是其余向量的线性s ααα,,,21 2≥组合.性质（10）[2]如果向量组可由向量组线性表出，且s>t,则s ααα,,,21 12t ,,,βββ 必线性相关.s ααα,,,21性质（11）[2]如果向量组线性无关，且它可由向量组线性表出，则s ααα,,,21 12t ,,,βββ （这是10）的逆否命题）.s t ≤性质(12)[1]任意个维向量必线性相关.1+n n 性质(13)[1] 两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量.性质(14)[2]设向量组{}是向量组{}的一个部分组,则{}r i i i ααα,,,21 s ααα,,,21 r i i i ααα,,,21 是极大线性无关组的充要条件为 i)向量组{}线性无关;r i i i ααα,,,21 ii)每一个()都可由线性表示.j αs j ,,2,1 =r i i i ααα,,,21 性质(15)[1] 向量组的任意一个极大无关组都与向量组本身等价.性质(16)[1]向量组的任意两个极大线性无关组等价.性质(17)[1] 向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量.性质(18)[1]两个等价的向量组有相同的秩.性质(19)[1]一个向量组线性无关的充要条件为它的秩与它所含向量的个数相同.性质(20)[1]n 阶方阵A 的行列式为零的充要条件是A 的秩小于n.性质(21)[1]一矩阵的秩是r 的充要条件为矩阵中有一个r 级子式不为零，同时所有r+1级子式全为零.性质(22)[1]矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.3.向量组线性相关的判定方法3.1定义法定义法是判定向量组的线性相关性的最基本的方法。

定义法既适用于分量没有具体给出的抽象向量组,也适用于分量已经给出的具体向量组。

对给定的个向量，只需令s s ααα,,,21 11220s s k k k ααα+++= 根据题中的条件去求即可。

12s ,,,k k k 当不全为零时，是线性相关的。

当全为零时，12s ,,,k k k s ααα,,,21 12s ,,,k k k 是线性无关的。

s ααα,,,21 例1 设线性无关，证明也线性无2345,,,,ααααα１1223344551,,,,αααααααααα+++++关.证明：设对于任意的，有12345,,,,k k k k k .11222333445551()()()()+0k k k k k αααααααααα++++++++=4（）整理得.1512223334455()()()()+()0k k k k k k k k k k ααααα++++++++=１4由于线性无关，得2345,,,,ααααα１151223344500000k k k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪+=⎩解得1234500000k k k k k =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩所以也线性无关.1223344551,,,,αααααααααα+++++例2 设，判断它们的线性相关性.2341,1,1,1[]x x x P x +++∈解：设，令1234,,,k k k k P ∈，231234(1)(1)(1)0k k x k x k x ++++++=整理得,231234234()0k k k k k x k x k x ++++++=所以有12342340000k k k k k k k +++=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩解得.12340k k k k ====从而是线性无关的.231,1,1,1x x x +++3.2根据齐次线性方程组的解进行判定在应用定义法解一个齐次线性方程组,需由该方程组是否有非零解来判定向量组的线性相关性.即应用定义法的同时也就应用了齐次线性方程组的解进行了线性相关性的判定.于是我们可以利用以下结论进行判定.结论[1]：向量组=线性相(无)关齐次线性方程组i α),,,(21in i i a a a ),,2,1(m i =⇔ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221121221111m mn n n m m m m x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有(无)非零解.例3 设,试判断它们是否线性相关.123(1,2,-1),(3,1,-1),(-1,0,1)x x x ===解：令.1122330k x k x k x ++=即12312123k 30200k k k k k k k +-=⎧⎪+=⎨⎪--+=⎩解得1230,0,0.k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩故是线性无关的.123,,x x x 3.3利用矩阵的秩进行判定结论[1]：设向量组:是由s 个维列向量所组成的向量组,则向量组的线性相A 12s ,,ααα⋅⋅⋅n A 关性可由向量组所构成的矩阵=()的秩的大小来进行判定.即A A 12s ,,ααα⋅⋅⋅(i) 当R()=s 时,则向量组:是线性无关的.A A 12s ,,ααα⋅⋅⋅(ii) 当R()s 时,则向量组:是线性相关的.A <A 12s ,,ααα⋅⋅⋅例4【2】设试判断它们12345=1-=0,3,1,2(3,0,7,14),(1,1,2,0),(2,1,5,6)ααααα==-=（，1,2,4）,（）,的线性相关性并求它们的一个极大无关组.解：将写成列向量，拼成一个矩阵，并进行初等行变换，将此矩阵化为,ααααα１２34５，，，阶梯型.103121031210312130110330301101217250110100044421406022420000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，从最后一个矩阵可以看出的秩为3，是线性相关的，（或,ααααα１２34５，，，ααα１２4，，）为向量组的一个极大无关组.3ααα１4，，3.4利用行列式值进行判定行列式值的判定实质上是根据克莱姆法则判定以向量组作为系数向量的齐次线性方程组是否有非零解,然后再对向量组的线性相关性作出判定,所以能应用行列式值进行判定的向量组,也可以应用矩阵的秩和齐次线性方程组是否有非零解的方法来进行判定. 但是该方法的局限性在于只有符合向量组的个数和单个向量的分量个数相等的条件时才用此法.结论[1]：若向量组: 是由s 个s 维列向量所组成的向量组,且向量组所构成A 12,,s ααα⋅⋅⋅A 的矩阵=(),即为s 阶方阵,则A 12,,s ααα⋅⋅⋅A (i) 当=0时,则向量组:是线性相关的.A A 12,,s ααα⋅⋅⋅(ii) 当≠0时,则向量组:是线性无关的.A A 12,,s ααα⋅⋅⋅例5【4】设线性无关，试问向量组是否线性相关？并证明12,,n ααα⋅⋅⋅1223n 1++αααααα+ ，，，你的结论.解：当n 为奇数时，向量组线性无关；当n 为偶数时，向量组1223n 1++αααααα+ ，，，线性相关.1223n 1++αααααα+ ，，， 证明如下：令于是，112223n 1(+(+()0n k k αααααα++= )+k )+有.111221n ()()()0n n n k k k k k k ααα-++++++= 由于线性无关，所以，得12,,n ααα⋅⋅⋅ 112231000n n n k k k k k k k k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 系数行列式为=1000111000011000001000011D = 20n n ⎧⎨⎩当为奇数时当为偶数时即当n 为奇数时，只有零解，故向量组线性无关；当n 为偶数时，1223n 1++αααααα+ ，，，有非零解，故向量组线性相关.1223n 1++αααααα+ ，，，3.5反证法在有些题目中，直接的给出证明结论往往比较困难，而从结论的反面入手却很容易推出一些与已知条件或已知的定义，定理，公理相悖的结果，从而说明原结论成立.例6【4】设向量可由向量组线性表示，但不能由向量组线性表示，证明：β12r ,,ααα⋅⋅⋅12r-1,,ααα⋅⋅⋅不能由向量组线性表示.r α12r-1,,ααα⋅⋅⋅证明：用反证法，若（1） r 1111r r k k ααα--=++ 又已知（2）1111r r r r l l l βααα--=+++ 将（1）代入（2），整理得111111()()r r r r r l k l l k l βαα---=++++ 这与不能由线性表示矛盾，所以得证不能由向量组线性表示.β12r-1,,ααα⋅⋅⋅r α12r-1,,ααα⋅⋅⋅3.6 数学归纳法向量组的线性相关性与线性无关性是两个密切相关的概念，理解线性相关我们可以结合线性无关来理解.在研究一个向量组是否线性相关时，需要结合相应的背景，应用数学归纳法来讨论.例如矩阵A 的特征向量有以下性质：例7【1】设A 为n 阶方阵，证明：属于A 的不同特征值的特征向量是线性无关的.证明：对于A 的特征值的个数作数学归纳法.由于特征向量是不为零的，所以单个的特征向量必然是线性无关.现在设属于A 的k 个不同特征值的特征向量线性无关，我们证明属于A 的k+1个不同特征值的特征向量也线性无关.12k+1λλλ ，，，121k ξξξ+ ，，，假设有关系式（1）11221k 10k k k a a a a ξξξξ+++++=成立.等式两端乘以，得k+1λ （2）1k+112k+12k+11k+1k 10k k k a a a a λξλξλξλξ++++++= （1）式两端同时施行变换，即有（3）1112221k+1k 10k k k k a a a a λξλξλξλξ++++++= （3）减去（2）得到1111k+1()()0k k k k a a λλξλλξ+-++-= 根据归纳法假设，线性无关，于是12k ξξξ ，，， 1()0,1,2,,.i i k a i k λλ+-== 但，所以.这时(1)式变成.又因为10,()i k i k λλ+-≠≤0,1,2,,i a i k == 110k k a ξ++=，所以只有.故线性无关.10k ξ+≠+1=0k a 121k ξξξ+ ，，，3.7用线性变换的性质进行判定在线性空间的理论中，定义在数域P 上的线性空间V 中的元素，我们称之为向量.V 上的线性变换有一些比较好的性质，可以帮助我们来讨论向量组的线性相关性.σ性质1【7】设是数域上的线性空间，是上的一个线性变换，，若V P σV 12,,,n V ααα∈ 线性相关，则也是线性相关的.12,,,n ααα 12(),(),,()n σασασα 证明：由于线性相关，那么存在不全为0的数使得12,,,n ααα 12,,,n k k k .11220n n k k k ααα+++= 由于是上的线性变换，那么有σV .1122()0n n k k k σααα+++= 即.1122()()()0n n k k k σασασα+++= 因此，是线性相关的.12(),(),,()n σασασα 但是该定理反过来不一定成立.即线性相关，并不一定12(),(),,()n σασασα 12,,,n ααα 也是线性相关的.若为零变换，假设是线性无关的，零变换把全部变σ12,,,n ααα 12,,,n ααα 成零向量，它们是线性相关的，从而满足该条件，但是是线性无关的.12,,,n ααα 推论【7】设是数域上的线性空间，是上的一个线性变换，若V P σV 是线性无关的，那么也是线性无关的.12(),(),,()n σασασα 12,,,n ααα性质2【7】设是数域上的线性空间，是上的一个线性变换，且是V 中可逆的线性变换,V P σV σ线性空间V 中的向量组线性相关的充要条件是它们的象线性12,,,n ααα 12(),(),,()n σασασα 相关.证明：若线性相关，则存在不全为0的数，使得)⇒12,,,n ααα 12,,n k k k .11220n n k k k ααα+++= 那么.1221)))0(((n n k k k σαασσα+++= 所以是线性相关的.12),),(,)((n σσσααα 若线性相关，则存在不全为0的数，使得)⇐12),),(,)((n σσσααα 12,,n k k k ，1221)))0(((n n k k k σαασσα+++= 由于是可逆的，那么有σ，1122()0n n k k k σααα+++= 从而.11220n n k k k ααα+++= 所以也是线性相关的.12,,,n ααα 综上所述，该定理是成立的.例8在C[0,1]中，线性变换，f ()(t)xt tf dt σ=⎰设有向量组.求，，，并讨论，，的线性相关1231,,23t t ααα===+1σα2σα3σα1σα2σα3σα性.解：由题意可得210232032301121323(23)(23)32xxxtdt t t dt t t t dt x x σασσασσασ=======+=+=+⎰⎰⎰因为，即有线性相关，所以，，线性相关.3122332t ααα=+=+123,,ααα1σα2σα3σα3.8利用朗斯基行列式来判定在n 阶线性常系数微分方程中，我们需要讨论基本解组，即找n 个线性无关的解，这时需要利用朗斯基行列式的相关理论来判断.引理1[6] 一组n 个n 次可微的纯量函数线性相关的充要条件是向量函数12(),(),,()n x t x t x t 1212(1)(1)(1)12()()()()()(),,,()()()n nn n n n x t x t x t x t x t x t x t x t x t ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'''⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦线性相关.定理1[6]设在上有n 阶导数，若向量函数在区12(),(),,()n x t x t x t [],a b 12(),(),,()n x t x t x t 间上线性相关,则它们的朗斯基行列式[],a b .1212(1)(1)(1)12()t ()()()()()0()()()n nn n n n x t x x t x t x t x t w t x t x t x t ---'''== （)定理2[6]设在上有n 阶导数，如果向量函数在12(),(),,()n x t x t x t [],a b 12(),(),,()n x t x t x t 区间上线性无关,则它们的朗斯基行列式[],a b .1212(1)(1)(1)12()t ()()()()()0()()()n nn n n n x t x x t x t x t x t w t x t x t x t ---'''=≠ （)例9判定下列向量组的线性相关性.（1） （2）1,cos ,sin x x 221x ,23x +， 解：（1）因为该向量组的朗斯基行列式为，1cos sin 0sin cos 100cos sin x xx x x x-=-≠--所以线性无关.1,cos ,sin x x （2）因为该向量组的朗斯基行列式为221230240024x x xx +=所以线性相关.221x ,23x +，运用朗斯基判别法的一个缺点就是所要判定的函数必须具有高阶的导数才能判定，缺少了这个条件是不能判定的.4.结束语本文主要对向量组线性相关性的定义以及性质进行了分析，并且给出了一些判定方法，由于向量组的线性相关性是一个基础和重点问题，仅限于这些讨论是远远不够的，还有待我们作进一步的研究.参考文献[1]北京大学数学系几何和代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.[2]徐仲，陆全，张凯院，吕全义，陈芳，袁志杰.高等代数导教导学导考（北大.第三版）[M].西北工业大学出版社，2003.[3]王品超.高等代数新方法[M].北京:中国矿业大学出版社,2002.[4]钱吉森.高等代数题解精粹（第二版）[M].中央民族大学出版社，2010.[5]刘仲奎等.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2005.[6]王高雄等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2006.[7]杨燕新，王文斌.关于向量组线性相关的几种判定[J].山西农业大学学报， 2005（8151）：292-294.[8]罗秀芹，董福安，郑铁军.关于向量组的线性相关性的学习探讨[J].高等数学研究，2005（9）：18-19.[9]肖艾平.向量组线性相关性的几种判定方法[J].伊犁师范学报（自然科学版），2008（3）：58-59.致谢值此毕业论文论文完成之际，首先要感谢我的指导老师邓燕林老师。