保守力势能功能原理
动力学5-势能-机械能
（3）弹性势能：
弹性势能以弹簧原长为零 势能点。
注意：零势能点可以任意取，前述是一般取法。
小结：
1、只有在保守力场中，才可引入相应的势能；只要
§4-3 保守力的功 势能 1、保守力：有些力作功只与 作功路径的始 末位置有关，而与路径的具体形状无关。这 种力称为保守力。 保守力场：在施力物体周围存在的一种作用。 当其他物体进入其作用范围内时，会受到力 的作用。
典型的保守力和保守力场：重力与重力场、 万有引力与引力场、弹性力与弹力场。
与保守力相对应的是耗散力——作功与路径形状有关
一般情况下，保守力沿某方向的分量就等于势能 沿该方向的方向导数的负值。
保守力与势能的关系：W保 E p dW dE p F dr dE P
F dr Fx dx F y dy Fz dz
Fx E p x , Fy E p y , Fz
m
0
M
h
解：从子弹以初速击中沙箱到获得共同速度可看作
在平衡位置完成的完全非弹性碰撞。水平方向
受外力为0，由动量守恒有
m 0 (m M )
子弹射入沙箱后，只有重力作功，子弹，沙箱 地球组成的系统机械能守恒。
mv0 v mM
1 2 ( m M ) ( m M ) gh 2 ( m M ) 2 gh 0 m
由动量守恒
两边平方
mv mv1 mv2 v v1 v 2 2 2 2 v v1 2v1 v2 v2
大学物理2-4保守力成对力的功势能
势能与保守力做功的物理意义
势能与保守力做功的物理意义在 于它们描述了系统能量的转化和
守恒。
在保守力作用下，系统势能与其 他形式的能量之间相互转化，但
总能量保持不变。
势能与保守力做功的概念在物理 学中具有广泛的应用，如机械能 守恒、电磁学、相对论等领域。
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量来得到保守力所做的功。
保守力做功的实例分析
01
02
03
重力做功
当物体在重力场中移动时， 重力所做的功等于物体质 量与高度差的乘积。
电场力做功
当电荷在电场中移动时， 电场力所做的功等于电荷 量与电势差的乘积。
万有引力做功
当物体在地球附近移动时， 万有引力所做的功等于物 体的质量与地球半径的乘 积。
势能存在
保守力做功与势能的变化有关，势能 是系统能量的重要组成部分，它决定 了系统能分法
01
利用微积分的基本定理，将力在路径上的积分转换为在空间上
的积分，从而求得保守力所做的功。
直接法
02
根据保守力的定义，直接计算力在路径上的积分，得到保守力
所做的功。
势能法
03
利用势能的变化求得保守力所做的功，即通过计算势能的变化
保守力的功与路径无关，只与初末位 置有关，因此存在势能的概念。
成对力的定义
成对力
在物理系统中，如果两个力作用 于同一物体，并且大小相等、方 向相反，则称这两个力为成对力 。
特点
成对力不改变物体的总动量，因 此常常出现在动量守恒的物理过 程中。
保守力与成对力的关系
保守力不一定是成对力，而成对力也 不一定都是保守力。只有当一对力都 是保守力时，它们才具有势能的概念 。
保守力势能
保守力 势能一，力学中常见力的功1， 万有引力的功⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-=⋅=⋅=⎰⎰⎰a b r r r r r r bar Mm G r Mm G r MmGdr r Mm Gd r rMm G -d A ba baba22)(rr r F引力做功与路径无关。
2， 重力的功)())((a b h h h h y bayxbamgh mgh mgdy dy F dy dx FF d A baba--=-==++=⋅=⎰⎰⎰⎰j i j i s F重力做功与路径无关。
3， 弹性力的功⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=⋅-=⋅=⎰⎰222212121a b x x x x ba kx kx kx dx kx dr F A babai i弹性力做功与路径无关。
a b【例】：试证明力做功与路径无关可表述为：⎰=⋅Ld 0r F证：0=⋅-⋅=⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰bab aa bLb ad d d d d r F r F r F r F r F二，保守力由上可见，万有引力、重力、弹性力作功的特点都是与路径无关；人们将做功的大小只与物体始末位置有关，而与所经历的路径无关的这类力叫做保守力。
所以万有引力、重力、弹性力均是常见的保守力。
它们都满足关系0=⋅⎰Ld r F保三，势能由保守力做功的表达式可以看出：保守力做功＝某个只与质点位置有关的状态量的改变（负号表示“减少”）。
人们将这个只与位置有关的状态量叫“势能”。
通常用E P 表示。
所以 “保守力做功＝势能的减少”可表示为：)(Pa Pb P E E E A --=∆-＝保说明：（1）势能是质点系中相互作用的物体所共有的。
单个质点无势能可言。
（2）只有当保守力作为系统内力并做功时系统方可能有势能。
（3）势能差是绝对的，但势能却是相对的，它依赖于势能零点的选择。
()()[]C E C E E E A Pa Pb Pa Pb +-+-=--)(＝保其中C 为任意常数，选择得当，可以使E P 的表达式获得最简形式。
11保守力势能
r 1 2 2 2 1 2 r dr xdx ydy zdz d ( x y z ) d ( r ) rdr 2 2
r ）dr
mM mM mM A ( G 3 r )dr [(G ) (G )] ra r rb ra
rb
4
对于弹性势能，通常规定弹簧处于自然状态 1 2 （x=o）时为势能零点。 kx E p ( x) 对于万有引力势能，通常规定两物体相距无限远 时为势能零点。 E ( r ) G mM
p
2
r
8
说明： 1.势能是由于物体的位置（或状态）的变化而具有的 能量。 ①质点系; 2.引入势能条件： ②保守力作功。 3.势能是系统的，如说物体的势能不切确。 4.对于不同的势能零点，系统在某同一位置的势能值 是不同的。但根据A= -[E(rb)-E(ra)]可知，某两个位 置的势能差是一定的，与势能零点的选择无关。 5. 由A= -[E(rb)-E(ra)]=-ΔEP可知，当系统状态变化 时，保守力所作的功等于相应势能增量的负值，或者 说等于相应势能的减少。这就是势能与保守力的关系。 6.势能的绝对值没有意义，只关心势能的相对值。
1 2 弹力的势函数： E ( r ) E ( x ) kx c 2 mM c 万有引力的势函数： E ( r ) G r
重力势能： E p (h) mgh c
A保 [( E (rb ) E (ra )]
1 2 弹性势能： E p ( x ) kx c 2 mM c 万有引力势能：E p ( r ) G r
7
强调：由于势能的表达式中含有任意常数c，所以当 系统处于任一确定的状态时，势能的值都不是唯一的。 要确定质点系在任一给定位置时的势能值，就必 须选择某一位置作为参考点，而规定些参考位置的势 能为零。通常把这一参考位置就叫做势能零点。规定 势能零点之后，势能的值才是确定的。 2.势能零点的选择
浅议物理学中的保守力和势能
浅议物理学中的保守力和势能【摘要】保守力和势能在物理学中扮演着重要的角色。
保守力是指不依赖路径的力，其所做的功与路径无关。
势能则是对保守力的一种描述，是可用于确定力学系统状态的函数。
保守力和势能之间存在着密切的关系，一般通过势能函数来确定。
根据保守力和势能的关系，我们可以推导出机械能守恒定律，即在只受保守力的情况下，力学系统的机械能保持不变。
保守力和非保守力的区别在于是否可以用势能来描述。
保守力和势能的重要性体现在它们对力学系统的描述和分析中起到了关键作用，而在物理学中也有着广泛的应用。
为了更深入地理解和探索保守力和势能，未来的研究方向可能会集中在更复杂系统下的运用和拓展。
【关键词】保守力、势能、物理学、性质、关系、确定、守恒定律、区别、重要性、应用、未来研究方向。
1. 引言1.1 保守力的基本概念保守力是物理学中一个非常重要的概念，它在描述物体运动和相互作用过程中起着至关重要的作用。
保守力是一种在物体运动中所做的功与路径无关的力，即对于沿着任意闭合路径作功的保守力，总是零。
这意味着保守力对物体的位移所做的功只依赖于起点和终点，而与具体路径无关。
保守力的基本概念包括以下几个要点：1. 保守力与势能的关系：保守力可以用势能来描述和计算。
势能是对物体在某个力场中位置所储存的能量，而保守力则是通过势能的梯度来定义和推导的。
具体来说，对于一个保守力F，其对应的势能函数为U，满足F = -∇U。
这里的负号表示力是势能的负梯度方向，即力的方向指向势能减小的方向。
2. 势能的引入：为了便于描述和计算保守力对物体的作用，我们引入了势能这一概念。
势能可以是位置的函数，也可以是速度和其他物理量的函数。
通过引入势能，我们可以将关于保守力的问题转化为寻找势能函数和利用势能函数进行计算的问题。
保守力的基本概念包括了与势能的关系和势能的引入。
这些概念在物理学中有着广泛的应用和重要性，对于解决各种运动和相互作用问题都起着至关重要的作用。
保守力与势能
内容摘要详细介绍保守力的特定性质证明以及常见的保守力种类。
定义势能函数，论证了几种常见势能的计算方法。
保守力和势能是经典物理学中极其重要的内容，具有十分重要的研究意义。
为此，学者们在此领域研究十分深入，主要研究保守力和势能之间是怎样的关系，那么什么是保守力呢？保守力的本质是什么？势能又是怎么引入的，势能的定义是什么，以及引入势能后，保守力与势能的关系如何。
关键词：保守力势能势能零点平衡AbstractDetailed introduction of specific properties conservative force proof and common conservative force types. The nature of the potential energy of physical meaning of a deep elaborated, demonstrates the potential of common calculation methodsKey words:Conservative force Potential energy Potential energy zero Balance内容摘要引言 (1)1.保守力 (2)1.1保守力的定义 (2)1.2保守力的性质 (2)1.3保守力的证明 (2)2.势能 (3)2.1势能的定义 (3)2.2势能的性质 (4)2.3势能零点 (5)2.4物体在势能场中的平衡 (7)3.几种常见势能的计算 (7)3.1引力势能 (7)3.2重力势能 (8)3.3弹性势能 (9)3.4电势能 (9)3.5分子势能 (10)4.结束语 (12)5.参考文献 (13)6.致谢 (14)引言保守力和势能是经典物理学中极其重要的内容，具有十分重要的研究意义。
为此，学者们在此领域研究十分深入，主要研究保守力和势能之间是怎样的关系，那么什么是保守力呢？保守力的本质是什么？势能又是怎么引入的，势能的定义是什么，以及引入势能后，保守力与势能的关系如何。
保守力-势能
注意：摩擦 力作负功！
(2)对链条应用动能定理：
A ＝ A P ＋ A f 1 2m2 v1 2m0 2v
v00 AP ＋ Af 1 2m2v
A P a lP • d r a lm l xg d m x ( l2 2 l g a 2 )
前已得出：
Af
mg (la)2
2l
m(lg 2 a 2)m(lg a )21m 2v
A非保－摩擦力的功
A 非 保 fd r
B
C
A fd s B f d s ( m g c o s) s m g s
m g s c o s m g s m g h
三、能量守恒定律 能量都有哪些形式呢？机械能，热能，电磁能，化学 能，原子能，……
（1）能量可以相互转换； （2）孤立系统，能量的总量保持不变。
As (12kxb2 12kxa2)
mgz GMm
r 1 kx2 2
A 保 F 保 • d r E P 0 E P E p
保守力所作的功等于势能增量的负值。
势能的值与零点的选择有关
零势能点
势能为零
A 保 a b F 保 • d r E P a E P b
零
E Paa F 保 •dr
❖保守力：作功的大小只与物体的初末位置有关，而 与所经历的路径无关。
例如：重力、万有引力、弹性力。
A F d r 0
在保守力作用下，物体沿闭合路径运动一周，力所做的 功为零。
❖非保守力：作功与路径有关的力。 例如：摩擦力。
A F d r0
二、势能
✓势能——是与有相互作用的物体构成的系统的位形 相联系的能量。
2、势能曲线上任意一点的斜率 dP Edl的负值，
高二物理竞赛课件：保守力 成对力的功 势能
保守力 成对力的功 势能 一、 保守力
根据各种力做功的特点，可将力分为保守力和 非保守力。 保守力（conservative force）：
做功与路径无关，只与始末位置有关的力。 如：重力、万有引力、弹性力以及静电力等。 非保守力（non-conservative force）： 做功不仅与始末位置有关，还与路径有关的力。 如：摩擦力、回旋力等。
摩擦力所做的功：
A4 Ff l cos180 1453 435(J)
（2）合力所做的功：
A A1 A2 A3 A4 165 J
返回 退出
（3）如改用起重机把木箱吊上汽车。 所用拉力 F' 至少要等于重力。这时拉力所做的功为
A Fl sin30 980 30 0.5 1.47 103(J)
重力所做的功
A2 Gl co（s 180 60） 980 3（ 0.5） 1.47 103(J)
正压力所做的功
A3 FNl cos90 0
返回 退出
根据牛顿第二定律：
FN F sin10 G cos30 0
FN G cos30 F sin10 727(N) Ff μFN 0.20 727 145(N)
例 柔软均质物体以初速v0 送上平台，物体前端在平台 上滑行 s 距离后停止。设滑道上无摩擦，物体与台面间
的摩擦因数为 ，且 s ＞Ｌ，求初速度v0 。
解：
返回 退出
由动能定理：
返回 退出
重力的功 设物体m从a点沿任一曲线移动到b点。
在元位移 dr中，重力所做的元功为
dA mg cosds mgdh
返回 退出
弹性力的功 设光滑水平桌面一端固定 的轻弹簧(k)，另一端连接 质点 m，当质点由a点运 动到b点的过程中 ：
4保守力势能功能原理
④.势能的绝对值没有意义，只关心势能 的相对值。 如果一块石头放在地面你对它并不关心。
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你 就不会不关心它，你可能要离它远些， 因为它对你的生命安全造成威胁。
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
dv f mg cos m dt 摩擦力的功 W阻 fdr
A
R
f N
n
d
o
B
解2：动能定理 由质点动能定理： W Ek Ek 0 Ek 受力分析：只有重力和摩擦力作功，
W重 W阻 Ek Ek 0 A A点物体动能 Ek 0 0 mg cos dr W阻 Ek 1 90 2 W阻 mv 0 mg cos Rd 2 1 2 mv mgR 2
初态机械能： 1 2 E A mvA mgh 2 h AC sin 36.9
36.9º
f
vA
h
末态机械能：
n
1 2 EC k( BC ) 2
n i 1 i 1
由功能原理： Wi外 Wi内非 E
§4.保守力、势能、功能原理 / 五、方法应用举例
i 1
Wi外 0,
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
三、功能原理 利用质点系的动能定理：
i 1
Wi外 Wi内 Ek Ek 0 Ek
i 1 n i 1
n
n
其中内力作功的代数和项 Wi内 可分为 系统内部保守力的功和内部非保守力的功，
i 1 n n n
Wi内 Wi内保 Wi内非
保守力做功与势能ppt课件
AAB
B
ur F
drr
EkB
EkA
A
GmM GmM rB rA EkB EkA
或
GmM
GmM
( rB ) EkB ( rA ) EkA
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
结论：
B ur r
AAB F dr EkB EkA A
1. 质点在引力场中运动时，引力场作功（或正负）， 质点动能有相应变化（或增大或减小）。
x0 m
O
xO
P
x
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
解：(1) 以弹簧原长点O 为坐标原点，系统总势能：
(2) 若以重力与弹性力合力 的平衡位置为原点，则有：
任意位置 x 处的系统总势能：
x0 m
O
xO
P
x
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
例4 已知地球半径 R，物体质量 m，处在地面 2R 处。 求势能: （1）地面为零势能点； （2）无限远处为零势能点。 解：
可得物体沿acd路径从a点移动到b点时重力做的总功
A mgr drr acb
mg
z2 z1
dz
mgz1
mgz2
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
例2 设一劲度系数为k的轻弹簧放在光滑水平桌面上， 一端固定，另一端连接到质量为m的质点上。计算当 质点由a点运动到b点的过程中弹性力所做的功。
第3章 机械能和功
3-2 保守力做功与势能
3.2.3 由势能函数确定保守力场
1. 积分关系
2. 微分关系
dA
v F
drv
Fxdx
保守力做功和势能变化的关系
保守力做功和势能变化的关系
保守力做功和势能变化的关系是一个基本的物理原理，它描述了一个物体在受到保守力作用下，其势能的变化与所受的保守力所做的功之间的关系。
首先，我们来定义保守力。
保守力是一个与路径无关的力，它只与物体的位置有关。
这意味着，如果一个物体沿着一个闭合回路运动，受到的保守力所做的总功为零。
常见的保守力有重力和弹性力。
当一个物体受到保守力作用时，它的势能会发生变化。
势能是描述物体位置所具有的能量。
根据势能的定义，势能的变化可以通过将物体从一个位置移动到另一个位置时保守力所做的功来计算。
根据物体在保守力作用下的势能变化，我们可以得出以下关系：
势能变化 = -保守力所做的功
这个关系可以解释为，当保守力对物体做正功时，物体的势能减少；反之，当保守力对物体做负功时，物体的势能增加。
这个关系也可以用数学公式来表示。
假设物体在从位置A移动到位置B时，保守力所做的功为W_AB，物体在位置A的势能为U_A，位置B
的势能为U_B，则势能变化为：
ΔU = U_B - U_A = -W_AB
其中，ΔU表示势能变化。
需要注意的是，这个关系只适用于保守力。
非保守力所做的功不能简单地与势能变化相联系。
非保守力所做的功还需要考虑其他能量转化形式，比如热能、摩擦力等。
总结起来，保守力做功和势能变化之间存在着简单的关系。
势能变化等于保守力所做的功的负值。
这个关系对于理解物体在保守力作用下的运动和能量转化非常重要。
4A 保守力 势能 功能原理 能量守恒
Ep =
∫
0
za
−mgdz = mgz a = mgh
2.3 能量守恒定律
第二章对称性与守恒定律
万有引力场中，以两物体相距无穷远时的引力势能 万有引力场中， 为零，则相距为r时的引力势能为 为零，则相距为 时的引力势能为
Ep = ∫
∞
r
Mm Mm −G 2 dr = −G r r
以弹簧原长处的势能为零，则弹簧伸长为x时的势能 以弹簧原长处的势能为零，则弹簧伸长为x时的势能 为
A = − ( mgz B − mgz A )
rB
rA
弹力功 A = − ( 1 kx 2 − 1 kx 2 ) B A
A
C
∫
ACB
v v F ⋅ dr = ∫
2
ADB
v v F ⋅ dr
2
D
B
2.3 能量守恒定律
第二章对称性与守恒定律
∫
l
ACB
v v F ⋅ dr = ∫
ACB
ADB
v v F ⋅ dr
计算得
故
v1 = gR
3
v1 = 7.9 × 10 m/s
第一宇宙速度
2.3 能量守恒定律
第二章对称性与守恒定律
2） 人造行星 第二宇宙速度 ） 第二宇宙速度 v 2 ，是卫星脱离地球引力所需 的最小发射速度 . 设 地球质量 M , 卫星质量 m , 地球半径 R . 取卫星和地球为一系统 系统机械能 E 守恒 . 当
2.3 能量守恒定律
第二章对称性与守恒定律
有一轻弹簧, 例 1 有一轻弹簧 其一端系在铅直放置的圆环的 顶点P, 另一端系一质量为m 的小球, 顶点 另一端系一质量为 的小球 小球穿过圆环并 在圆环上运动(不计摩擦 开始小球静止于点 不计摩擦) 在圆环上运动 不计摩擦 .开始小球静止于点 A, 弹簧 处于自然状态,其长度为圆环半径 当小球运动到圆环 处于自然状态 其长度为圆环半径R; 其长度为圆环半径 的底端点B时 小球对圆环没有压力 求弹簧的劲度系数. 小球对圆环没有压力. 的底端点 时,小球对圆环没有压力 求弹簧的劲度系数 解 以弹簧、小球和地球为一系统， 以弹簧、小球和地球为一系统，
yyf--保守力、势能及守恒(1)
量守恒相违背，泡利提出中微子假说，20年后，科 学终于证实了中微子的存在）
（4）凡违背守恒定律的过程不可能实现，由此判 断哪些过程是不可能发生的。
例如：“永动机”（第一类）
21
例：长为L的细链条，质量m均匀分布，一部 分静止在水平光滑桌面上，另一部分（a<L） 下垂。求链条自动滑离桌面时的速度。
F
R OM 2R
①
G
mM
3R2
m v2 3R
Ek
1 2
mv2
GmM 6R
②
Ep
G
3R
mM r2 dr
G
mM 3R
③
E
Ek
Ep
GMm 6R
约束于引力场中，未摆脱地球影响 15
例题： 在图中，一个质量m=2kg的物体从静止开始，
沿四分之一的圆周从A滑到B，已知圆的半径R=4m，
设物体在B处的速度v=6m/s，求在下滑过程中，摩擦
分别用牛顿定律、动能定理、机械能守恒定 律求解。
答案： v g（L2 a2 ) L
22
例题 ： 用一弹簧将质量分别为m1和m2的上下两水平 木板连接如图所示，下板放在地面上。（1）如以上 板在弹簧上的平衡静止位置为重力势能和弹性势能的 零点，试写出上板、弹簧以及地球这个系统的总势能。 （2）对上板加多大的向下压力 F ，才能因突然撤去 它，使上板向上跳而把下板拉起来？
（3）势能差有绝对意义，而势能只有相对意 义。势能零点可根据问题的需要来选择。
10
4. 势能曲线
Ep (h)
E
Eh
Ep
o
H H
h
重力势能
高二物理竞赛课件：保守力的功和势能
保守力的功，均为系统始末位形函数的差。
把这些由位形决定的函数，叫做势能函数(Ep) 。
A保ab E pa E pb ( E pb E pa ) E p
——保守力的功等于系统势能的减少
即 A保 E P
任一状态的势能值？
由功的定义
b
A保 f保 dl EPa EPb a
定若义选:末E态P为a 势势能能参零考f点保点 ，dr即令一保E点守Pb处力的从0 势该能点等到于势 (a) 为系统在状态a的势能 能零点的线积分值
(3) 弹性势能
通常以弹簧原长(x = 0)时为弹性势能零点，
以弹簧原长(x = 0) 时为弹性势能零点
X ox
同样根据任一状态势能值的定义
，可得弹簧伸长 x 时弹性势能:
EP弹
EP弹
0 kxdx 1 kx2
x
2
E P弹
1 2
kx 2
[思考] 设 Ep (x0) 0 ,则 Ep (x) ?
v v0
v v0e
N
Afk
Ek
Ek0
1 2
mv02
(e2
1)
重力作功 Aab mgha mghb
ha
2. 弹簧的恢复力的功
小球在x点时，受力 F k x,
则质点从 a →b 的过程中， 弹簧的恢复力作功：
(b)
Aab
F d x
(a)
xb kxdx
xa
1 2
kxa2
1 2
kxb2
Ox
E p ( x)
x0 kxdx
x
1 2
kx 2
1 2
kx02
有关势能的几点说明
1、势能属于产生保守力的整个物体系统，不属于某 一物体所有。
浅议物理学中的保守力和势能
浅议物理学中的保守力和势能【摘要】本文将探讨物理学中的保守力和势能的概念。
在我们将介绍保守力和势能的基本概念。
接着，在我们将解释保守力的定义、势能的概念、保守力和势能之间的关系、不同类型的势能以及保守力和非保守力的区别。
在我们将探讨保守力和势能的重要性，它们在物理学中的应用以及研究它们的意义。
通过本文的阐述，读者将更深入地了解保守力和势能在物理学中的重要性，以及它们对于理解物体运动和相互作用的作用。
【关键词】保守力、势能、物理学、定义、关系、种类、区别、重要性、应用、研究、意义。
1. 引言1.1 物理学中的保守力和势能概念物理学中的保守力和势能概念是指在物体运动过程中存在的一种重要物理现象。
保守力是指只与路径无关的力，即在物体沿着闭合路径作用力时所做的功为零的力。
而势能则是描述物体在受到保守力作用时所具有的能量状态。
保守力和势能之间存在着密切的关系，它们是描述物体运动的重要概念。
保守力和非保守力的区别在于前者所做的功只与初末位置有关，而后者所做的功与路径有关。
保守力和势能在物理学中具有重要的作用，它们能够描述物体的运动规律，并为我们理解自然界提供了重要的依据。
在物理学中，研究保守力和势能的重要性不言而喻。
它们的应用涵盖了多个领域，如力学、热力学等。
对保守力和势能进行深入研究有助于我们更好地理解物理世界，推动科学技术的发展。
保守力和势能的研究具有重要的意义，将为我们带来更多的探索和发现。
2. 正文2.1 保守力的定义保守力是指对物体做功与物体路径无关的力，即沿任意闭合路径对物体作用的保守力所做的功为零。
这意味着保守力是一种和路径无关的力，只与物体的起始位置和终止位置有关。
在物理学中，保守力的定义是指只有静力场才是保守场，即保守力是一种具有势能的力。
势能是指物体由于位置而具有的能量，是力的势能可以表示为能够做功的能量。
保守力的一个重要特征是它可以通过梯度形式的势能函数来描述，即保守力的大小等于势能函数的负梯度。
论文：浅议物理学中的保守力和势能
物理学论文浅议物理学中的保守力和势能1 保守力的定义及其作功特点一般教材上对保守力是这样定义的：如果一个力“所作的功只与运动物体的始末位置有关，而与运动物体所经过的路径无关”，则该力为保守力[1]。
而有些教材上，则有另一种定义即“当物体沿任一闭合路径绕行一周时，该力所作的功为零则该力为保守力[2]。
其实这几种说法的实质是一样的，意思都是说只要一种力做功与路径无关，仅与物质的始末位置有关，则这种力就是保守力。
一般教材中在引入保守力的概念时，只强调“一个力作功与路径无关”，这是不严密的。
在计算保守力作功是，系统中的反作用力不做功，所以我们计算的保守力的功是成对力做功的结果，而成对力作功是与参照系无关的，所以保守力做功具有绝对性，与路径无关，所以单独说是某一个力作功一路经无关是不严密的。
在通常讨论保守力作功时，总是假定除所研究的质点或点电荷外，系统的其余部分是不动的，因此容易把内力总功与一个质点所受内力的功，质点间的相对位移与一个质点的位移混淆起来，造成模糊概念。
因此，我们把满足大小相等，方向相反的相互作用力定义为保守力。
功是描述力的空间积累效应的物理量。
在固定参考系中，保守力做功与路径或过程无关，仅由始点、末点的位置决定，等于能量函数的末值与初值之差[3]。
运动参考系中，在任意二位置之间一对保守力作功之和等于能量函数的未值与初值之差，与参照系和路径无关，仅与它们的相对位置有关。
若考虑物体对地球的反作用力，计算物体对地球的作用力在此参照系中所作的功。
一对保守力作功之和与路径（或过程）无关，具有保守力作功的全部特征.而不是单一保守力作功与路径无关。
后者仅适用于一些特殊情况，而前者具有普遍的意义。
2 势能概念的引入以及势能的特点在物理学中，势能的概念是非常重要的，在一些力学领域中，它的存在使保守力作功的过程转换为某种能量发生转化的简单过程，它又与动能一起组成机械能，从而使能量这个概念在物理学中具有更广泛、更加重要的意义。
动能定理-保守力、机械能守恒
一、动能定理 （theorem of kinetic energy） 二、保守力和势能 （conservative force; potential energy） 三、机械能守恒定律 （Conservation of Mechanical Energy ）
力的空间累积效应
F 对 r 积累
2
设抛地体球相绕对太于阳太轨阳道的近速似度为一v圆3 ，由(2于Gmv'S3 与RSv)1E2同
向, 则抛体与太阳的距离 RS 即为地球轨道半径.
则
mE
vE2 RS
G
mE mS RS2
v' v'3 vE v' (
vE
(G
mS )1 2 RS
2 1)( GmS )1 2
RS
取地球为参照系
1 2
mv32
当
W ex
W in nc
0
时，有 E E0
机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况下，
质点系的机械能保持不变 .
Ek Ek0 (Ep Ep0 ) Ek Ep
守恒定律的意义 不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是各 个守恒定律的特点和优点 .
讨论 如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上，
x
xA dx xB
F kxi
W xB Fdx xB kxdx
xA
xA
W
(
1 2
kxB2
1 2
kxA2
)
W kxdx 0
二 保守力和非保守力
➢ 保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 .
引力功
W
(G
m'm) (G rB
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1.弹力是保守力，作功与路径无关。
2.弹力作功等于势能增量的负值。
3.弹性势能总是大于等于0。
Ep
1 2
kx
2
4.弹性0势点一般选在弹簧的平衡位置。
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
三、功能原理
利用质点系的动能定理：
n
n
Wi外 Wi内 E k E k 0 E k
i 1
i 1
n
其中内力作功的代数和项 Wi内 可分为 i 1
第四节
保守力、势能 功能原理
一、什么是保守力
作功与路径无关，只与始末位置有关的 力为保守力，作功与路径有关的力为非保 守力。
二、势能
1.势能：由于物体的位置（或状态）的变 化而具有的能量为势能。
2.引入势能条件：
①质点系; ②保守力作功。
重力、弹簧的弹力，电场力都是保守力。
§4.保守力、势能、功能原理 / 一保守力、二势能
即当外力对质点系内质点作功之和为负时，
其内部机械能将减少。
§4.保守力、势能、功能原理 / 四、注意几点
五、应用功能原理解题方法
1.确定研究对象，必须是质点系。
2.受力分析，不考虑保守力和不作功的力。
3.确定势能0点，以及始末两态的机械能E0、
E。
n
n
4. 列方程求解。 Wi外 Wi内非 E
A
A点物体动能 E k 0 0
mg cos dr W阻 E k
W阻
1 2
mv
2
90
0
mg
cos Rd
1 mv 2 mgR 2
§4.保守力、势能、功能原理 / 五、方法应用举例
R
o
f
n
mg
B
解3：功能原理
n
n
由功能原理： Wi外 Wi内非 E
i 1
i 1
以物体和地球为研究对象，
i 1
i 1
下面举例应用功的定义、动能定理和功能
原理三种方法进行比较，看看哪一种方法
好？
§4.保守力、势能、功能原理 / 五、方法应用举例
例：质量为 m 的物体从一个半径为 R 的
1/4 圆弧型表面滑下，到达底部时的速度
为 v,求 A 到 B 过程中摩擦力所做的功？
解1：功的定义 以m为研究对象，
§4.保守力、势能、功能原理 / 四、注意几点
n
n
Wi外 Wi内非 E
i 1
i 1
n
n
3.当 Wi内非 0 时， Wi外 E E 0
i 1
i 1
若
n
Wi外 0
则 E E0 0
i 1
即当外力对质点系内质点作功之和为正时，
其内部机械能将增加；
n
若 Wi外 0 则 E E0 0 i 1
2
F弹 x
o x0
F弹 x
ox
可知，弹力作功与路径无关，只与始末两
态的弹簧伸长量有关，弹力为保守力。
定义弹性势能：
Ep
1 kx 2
2
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
W弹 E p0 E p (E p E p0 ) E p
弹力作功等于势能增量的负值；或弹 力作功物体的势能减少。 单位：焦耳，J 注意几点：
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你 就不会不关心它，你可能要离它远些， 因为它对你的生命安全造成威胁。
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
⑤.重力0势点一般选在物体运动的最低点。
4.弹性势能 由第一节的弹
力作功的结论，
W弹
1 2
kx
2 0
1 2
kx
i 1
i 1
定义机械能：为物体系的动能与势能之和。
E Ek Ep
E 1 mv 2 mgh 1 kx 2
2
2
§4.保守力、势能、功能原理 / 三、功能原理
功能原理
n
n
Wi外 Wi内非 E
i 1
i 1
功能原理：系统外力与内部非保守力作功 的代数和，等于系统机械能的增量。
四、注意几点 1.在应用功能原理时，不必考虑保守力的 功，因为这部分功以变成势能增量的负值。
系统内部保守力的功和内部非保守力的功，
n
n
n
Wi内 Wi内保 Wi内非
i 1
i 1
i 1
由保守力作功等于势能增量的负值的结论，
§4.保守力、势能、功能原理 / 三、功能原理
n
n
n
Wi外 Wi内保 Wi内非 E k
i 1
i 1
i 1
n
Wi内保 E p
i 1
n
n
Wi外 Wi内非 E k E p (E k E p )
m A
R
o
建立自然坐标系，受 力分析。
f
n
列切向受力方程：
N
F ma
mg cos f
m dv dt
ma
m
dv dt
C
mg
B
§4.保守力、势能、功能原理 / 五、方法应用举例
f mg cos m dv
摩擦力的功 dt
A
R
o
f N n
d
W阻 fdr
mg cos dr
m dv dr dr
o
f
n
W阻 E B E A
1 mv 2 mgR
2
B
可以看出，用功能原理计算最简单。
§4.保守力、势能、功能原理 / 五、方法应用举例
例2：一物体质量为 2kg，以初速 3.0m/s 从斜面的点 A 处下滑，它与斜面之间的 摩擦力为 8N，到达点 B 时，压缩弹簧 20cm 达到C点停止，然后又被弹送回去。 求弹簧的劲度系数k和物体最后能到达的 高度h’。设弹簧系统的质量略去不计。
3.重力势能
以地球和物体为系统，物体从距地面
h0的高度，下落到h高度，重力作功为：
W重 mgh 0 mgh
重力作功与路径无
关，只与始末位置
mg
有关,重力是保守力。 h0
定义重力势能Ep：
E p mgh
h
W重 E p0 E p
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
W重 mgh 0 mgh E p0 E p
(E p E p0 ) E p
重力作功等于势能增量的负值；或重 力作功物体的势能减少。 单位：焦耳，J
注意几点：
①.势能是系统的，如说物体的势能不切确。 ②.重力是保守力，作功与路径无关。 ③.重力作功等于势能增量的负值。
§4.保守力、势能、功能原理 / 二、势能
④.势能的绝对值没有意义，只关心势能 的相对值。 如果一块石头放在地面你对它并不关心。
dt
mg
B
由 dr Rd ,v dr
dt
W阻
90
0
mg
cos Rd
0v
mvdv
mgR 1 mv 2
2
§4.保守力、势能、功能原理 / 五、方法应用举例
解2：动能定理 由质点动能定理： W E k E k 0 E k 受力分析：只有重力和摩擦力作功，
W重 W阻 E k E k 0
受力分析，不考虑保守 A 力重力和不作功的力弹
力N，只有摩擦力-----内
部非保守力 f 作功，
n
Wi外 0
i 1
R
o
f
n
B
§4.保守力、势能、功能原理 / 五、方法应用举例
n
Wi内非 W阻
i 1
选择 B 点为重力 0 势点，A、B 两点的机械
能：
E A mgR
EB
1 mv 2 2
A
R