1.1 随机事件及其频率--概率的统计定义
概率论与数理统计 第一章1.1随机事件
事件的关系与运算
注：(1) 事件的关系与运算可用维恩图形象表之
(2) 事件的和与积的运算可推广到有限个事 件或可数无限个事件的情形.
A B A B, (3) 事件的和与积的另一记法：
A B AB.
事件的关系与运算
８. 完备事件组 设 A1 , A2 ,, An , 是有限或可数个事件，若其 满足：
完
随机事件
在随机试验中，人们除了关心试验的结果本身外，
往往还关心试验的结果 是否具备某一指定的可观
察的特征，概率论中将这一可观察的特征称为一 个事件 ， 它分三类：
随机事件
1. 随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的 事件； 2. 必然事件：在每次试验中都必然发生的事件； 3. 不可能事件：在任何一次试验中都不可能发 生的事件. 例如，在抛掷一枚骰子的试验中，我们也许会关
A : “点数为奇数”，B : “点数小于5”.
则 A B {1，2，3，4，5}； A B {1，3}；
A - B {5}.
6. 若 A B , 则称事件 A 与 B 是互不相 容的(或互斥的).
7. 若 A B S 且 A B ,
事件的关系与运算
由于随机现象的结果事先不能预知， 初看似乎 毫无规律. 然而人们发现 同一随机现象大量重 其每种可能的结果 出现的频率具有 复出现时，
稳定性， 从而表明随机现象也有其固有的规律
性. 人们把随机现象在大量重复出现时 所表现 出的量的规律性 称为随机现象的统计规律性.
随机现象的统计规律性
概率论与数理统计是研究 随机现象统计规律性 的一门学科. 为了对随机现象的统计规律性进行研究，就需 对随机现象进行重复观察，我们把对随机现象
随机数列与概率(课后答案)
第一章 随机事件及其概率§ 1.1 随机事件及其频率·概率的统计定义§ 1.2 样本空间1.答：Ω={（A，B）、（A，C）、（A，D）、（A，E）、（B，A）、（B，C）、（B，D）、（B，E）、（C，A）、（C，B）、（C，D）、（C，E）、（D ，A）、（D ，B）、（D ，C）、（D ，E）、（E ，A）、（E ，B）、（E ，C）、（E ，D）} 成员A 被挑选出来的事件：A={（A，B）、（A，C）、（A，D）、（A，E）、（B，A）、（C，A）、（D ，A）、（E ，A）}2.（1）样本空间Ω； （2）事件A＝“点数不超过２”；（3）事件B＝“点数不超过３”； （4）事件C＝“点数不小于４”；（5）事件D＝“掷得奇数点”。
答：(){}11,2,3,4,5,6Ω= (){}21,A =2 (){}31,2,B =3(){}44,5,C =6 (){}51,3,5D =3. 在下列试验中，样本空间是什么？(A)在一次调查有三个孩子的家庭时，按年龄的递增次序纪录孩子们的性别；(B)把一本给定的书翻到任一页，计算该页印刷错误的数目。
答：(){},,,,,,,A BBB BGB BGG GGG GBB GBG BBG GGB Ω=()B 假设该页字数为,N {}0x x N Ω=≤≤4. 在下列试验中写出样本空间：(A)在一次调查有三个孩子的家庭时，记录男孩的数目；(B)从一个工厂的产品中任选四件产品，记录次品数目。
答：(){}0,1,2,3A Ω= ()B {}0,1,2,3,4Ω=§1.3 事件的关系及运算 §1.4 概率的古典定义1. 某人向固定目标射击三次，用表示“第i 次击中目标”i A)3,2,1(=i ，试用表示下列事件：321,,A A A (1)全部击中； (2)至少击中一次； (3)至少击中二次；(4)恰击中一次； (5)恰击中二次； (6)都未击中；(7)击中次数不多于一次； (8)击中次数不多于二次。
第三节 随机事件的概率
第三节 随机事件的概率考试要求1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式．[知识排查·微点淘金]知识点1 随机事件的频率与概率(1)频数与频率：在相同的条件S 下进行n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比值f n (A )＝n An 为事件A出现的频率．(2)概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数n 的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，则把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率．[微提醒],频数是一个整数，其取值范围为0≤n A ≤n ，n A ∈N ，因此随机事件A 发生的频率f n (A )＝n An的可能取值介于0与1之间，即0≤f n (A )≤1.知识点2 事件的关系与运算定义符号表示包含关系一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A (或称事件A 包含于事件B )B ⊇A (或A ⊆B ) 相等关系 一般地，若A ⊆B 且B ⊆A ，则称事件A 与事件B 相等 A ＝B 并事件(或和事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件) A ∪B (或A ＋B ) 交事件(或积事件) 若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称该事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件) A ∩B 或AB 互斥事件 若A ∩B 为不可能事件，那么称事件A 与事件B 互斥 A ∩B ＝∅ 对立事件若A ∩B 为不可能事件，而A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件A ∩B ＝∅，且A ∪B ＝Ω(Ω为全集)(1)互斥事件具体包括三种不同的情形：①事件A 发生且事件B 不发生；②事件A 不发生且事件B 发生；③事件A 与事件B 都不发生.(2)“事件A 与事件B 是对立事件”是“其概率满足P (A )＋P (B )＝1”的充分不必要条件，这里一定有事件A 或事件B 中的一个发生，且不会同时发生.知识点3 互斥事件的概率和对立事件的 概率(1)概率的加法公式如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． (2)对立事件的概率若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件，P (A ∪B )＝1，P (A )＝1－P (B )．[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．(×) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√) (3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(×)(4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的．(×)2．(链接教材必修3 P 121T 4)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( )A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．只有一次中靶D ．两次都不中靶解析：选D “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．3．(链接教材必修3 P 121例题)如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张，取到黑桃的概率是14，取到梅花的概率是14，则取到红色牌的概率是( )A ．18B ．14C ．12D ．34解析：选C 由对立事件的概率公式得P ＝1－⎝⎛⎭⎫14＋14＝12.4．(链接教材必修3 P 123A 组T 3)某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10 环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶．假设此人射击1次，则其中靶的概率约为 ；中10环的概率约为 ．答案：910 155．(混淆频率与概率)给出下列三个命题，其中正确的命题有 个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．答案：0一、基础探究点——随机事件的关系(题组练透)1．从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件A ，则A 的对立事件是( )A ．至多有一件次品B ．两件全是正品C ．两件全是次品D ．至多有一件正品解析：选B 从四件正品、两件次品中随机取出两件，记“至少有一件次品”为事件A ，则A 的对立事件是两件全是正品．2．一袋中装有5个大小和形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，从中任取2个小球，若事件“2个小球全是红球”的概率为310，则概率是710的事件是( )A ．恰有一个红球B ．两个小球都是白球C ．至多有一个红球D ．至少有一个红球解析：选C 因为710＝1－310，所以概率是710的事件是“2个小球全是红球”的对立事件，应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至多有一个红球”．3．设条件甲：事件A 与事件B 是对立事件，结论乙：概率满足P (A )＋P (B )＝1，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件．再由概率的加法公式得P (A )＋P (B )＝1.投掷一枚硬币3次，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不一定是对立事件．如事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“出现3次正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．判断互斥、对立事件的两种方法定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．集合法①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．②事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集.[典例剖析][例1] 某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该保险的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数605030302010(1)记A )的估计值；(2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P (B )的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．解：(1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55.(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.30，故P (B )的估计值为0.30. (3)由所给数据得：保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a ·0.30＋a ·0.25＋1.25a ·0.15＋1.5a ·0.15＋1.75a ·0.10＋2a ·0.05＝1.1925a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a . [拓展变式]1．[变结论]若本例的条件不变，试求“一续保人本年度的保费不低于基本保费”的概率的估计值．解：设事件“一续保人本年度的保费不低于基本保费”为E ，事件E 对应于出险次数大于或等于1，由本例知出险次数小于1的频率为0.30，故一年内出险次数大于或等于1的频率为1－0.30＝0.70，故P (E )的估计值为0.70.2．[变结论]若本例的条件不变，记F 为事件：“一续保人本年度的保费等于基本保费”．求P (F )的估计值．解：“一续保人本年度的保费等于基本保费”的事件F 发生当且仅当一年内出险次数等于1，其频率为0.25，故P (F )的估计值为0.25.1．概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．2．随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．提醒：概率的定义是求一个事件概率的基本方法．[学会用活]1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，正面朝上的频数为51次，则正面朝上的频率为( )A ．49B ．0.5C ．0.51D ．0.49解析：选C 由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为51100＝0.51.三、综合探究点——互斥、对立事件的概率(多向思维)[典例剖析]思维点1 互斥、对立事件概率的计算[例2] 一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．解：解法一：(利用互斥事件求概率)记事件A 1＝{任取1球为红球}，A 2＝{任取1球为黑球}，A 3＝{任取1球为白球}，A 4＝{任取1球为绿球}，则P (A 1)＝512，P (A 2)＝412＝13，P (A 3)＝212＝16，P (A 4)＝112.根据题意知，事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得 (1)取出1球是红球或黑球的概率为P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝512＋13＝34.(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝512＋13＋16＝1112. 解法二：(利用对立事件求概率)(1)由解法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A 1∪A 2的对立事件为A 3∪A 4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P (A 1∪A 2)＝1－P (A 3∪A 4)＝1－P (A 3)－P (A 4)＝1－16－112＝34.(2)因为A 1∪A 2∪A 3的对立事件为A 4，所以P (A 1∪A 2∪A 3)＝1－P (A 4)＝1－112＝1112.思维点2 互斥、对立事件与统计的综合[例3] 如图所示，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如表所示：所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L 1的人数 6 12 18 12 12 选择L 2的人数416164(1)试估计40分钟不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44人．所以用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L 1的有60人，选择L 2的有40人，故由调查结果得频率为 所用时间(分钟) 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 选择L 1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 选择L 2的频率0.10.40.40.1(3)A 1，A 2分别表示甲选择L 1和L 2时，在40分钟内赶到火车站；B 1，B 2分别表示乙选择L 1和L 2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)得P (A 1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P (A 2)＝0.1＋0.4＝0.5，P (A 1)＞P (A 2)，所以甲应选择L 1；P (B 1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P (B 2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P (B 2)＞P (B 1)， 所以乙应选择L 2.1．求解此类题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来．2．求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A)求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑间接法．解决与统计知识交汇考查随机事件的概率计算问题时，先读懂图表，提取有关信息，用统计知识求频数，频率，再求概率．[学会用活]2．经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率．解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E ＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.(方法二)记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.限时规范训练基础夯实练1．某医院治疗一种疾病的治愈率为50%，则下列说法正确的是()A．如果第1位病人没有治愈，那么第2位病人一定能治愈B．2位病人中一定有1位能治愈C．每位病人治愈的可能性是50%D．所有病人中一定有一半的人能治愈解析：选C某医院治疗一种疾病的治愈率为50%，对于A，如果第1位病人没有治愈，那么第2位病人治愈的概率为50%，故A错误；对于B,2位病人中每个人治愈的可能性都是50%，或两人都能治愈，或有1位能治愈，或都不能治愈，故B 错误；对于C ，每位病人治愈的可能性是50%，故C 正确；对于D ，所有病人中每个人治愈的可能性都是50%，但所有病人中不一定有一半的人能治愈，故D 错误．故选C ．2．从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n 个白球的口袋中随机取出一球，若取得红球的概率是25，则取得白球的概率等于( )A ．15B ．25C ．35D ．45解析：选C ∵取得红球与取得白球为对立事件，∴取得白球的概率为P ＝1－25＝35.3．(2021·烟台一中月考)在第3,6,16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车和6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为( )A ．0.20B ．0.60C ．0.80D ．0.12解析：选C “能乘上所需要的车”记为事件A ，则3路或6路车有一辆路过即事件发生．故P (A )＝0.20＋0.60＝0.80.4．设A 与B 是互斥事件，A ，B 的对立事件分别记为A ，B ，则下列说法正确的是( ) A ．A 与B 互斥 B ．A 与B 互斥 C ．P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )D ．P (A ＋B )＝1解析：选C 根据互斥事件的定义可知，A 与B ，A 与B 都有可能同时发生，所以A 与B 互斥，A 与B 互斥是不正确的；P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )正确；A 与B 既不一定互斥，也不一定对立，所以P (A ＋B )＝1是不正确的．5．对一批产品的长度(单位：mm)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35]上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.45解析：选D 设[25,30)上的频率为x ，由所有矩形面积之和为1，即x ＋(0.02＋0.04＋0.03＋0.06)×5＝1，得[25,30)上的频率为0.25.所以产品为二等品的概率为0.04×5＋0.25＝0.45.6．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表： 分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70] 频数234542的频率为 ．解析：数据落在区间[10,40)的频率为2＋3＋420＝920＝0.45.答案：0.457．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人．解析：在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－1450＝1825，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9600×1825＝6912(人)．答案：69128．一只袋子中装有大小相同的7个红玻璃球和3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为 ；至少取得一个红球的概率为 ．解析：由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P ＝715＋115＝815.由于事件A “至少取得一个红球”与事件B “取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P (A )＝1－P (B )＝1－115＝1415.答案：815 14159．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.商品顾客人数甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98×√××(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买三种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解：(1)从题中统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了两种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买三种商品的概率可以估计为100＋2001000＝0.3.(3)与(1)同理可得，顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001000＝0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．综合提升练10．某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．设x 为这种商品每天的销售量，y 为该商场每天销售这种商品的利润，从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为( )A ．19B ．110C ．15D ．18解析：选B 日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元．从条形统计图可以看出，日销售量为20个的有3天，日销售量为21个的有2天，日销售量为20个的3天记为a ，b ，c ，日销售量为21个的2天记为A ，B ，从这5天中任选2天，可能的情况有10种：(a ，b )，(a ，c )，(a ，A )，(a ，B )，(b ，c )，(b ，A )，(b ，B )，(c ，A )，(c ，B )，(A ，B )，其中选出的2天日销售量都为21个的情况只有1种，故所求概率P ＝110，故选B ．11．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A ．17B ．1235C ．1735D ．1解析：选C 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.12．某城市2020年的空气质量状况如表所示： 污染指数T 30 60 100 110 130 140 概率p1101613730215130时，空气质量为轻微污染，则该城市2020年空气质量达到良或优的概率为 ．解析：由题意可知2020年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.答案：3513．某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是 ，他属于不超过2个小组的概率是 ．解析：“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P ＝11＋10＋7＋86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝35.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”．故他属于不超过2个小组的概率是P ＝1－86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝1315.答案：35 131514．(2021·沈阳调研)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率0.40.20.150.250.20.1(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.＝0.025.故所求概率为502000(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.故所求概率估计为1－372＝0.814.2000(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．创新应用练15．(2021·湖北七市联考)某电子商务公司随机抽取1000名网络购物者进行调查．这1000名购物者2018年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3,0.9]内，样本分组为[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：购物金额分组[0.3,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.8)[0.8,0.9] 发放金额50100150200(2)以这1000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．解：(1)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表：x 0.3≤x<0.50.5≤x<0.60.6≤x<0.80.8≤x≤0.9y 50100150200频率0.40.30.280.02 这11000×(50×400＋100×300＋150×280＋200×20)＝96.(2)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系及(1)知P(y＝150)＝P(0.6≤x<0.8)＝0.28，P(y＝200)＝P(0.8≤x≤0.9)＝0.02，从而，获得优惠券金额不少于150元的概率为P(y≥150)＝P(y＝150)＋P(y＝200)＝0.28＋0.02＝0.3.。
概率论与数理统计复习资料
自考04183概率论与数理统计(经管类)笔记-自考概率论与数理统§1.1 随机事件1.随机现象：确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等；不确定现象：随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等；其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。
结论：随机现象是不确定现象之一。
2.随机试验和样本空间随机试验举例：E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。
E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。
E3：记录110报警台一天接到的报警次数。
E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。
E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。
E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。
随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。
样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。
所有样本点的集合称为样本空间，记作。
举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。
3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。
只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。
必然事件：一定发生的事件，记作不可能事件：永远不能发生的事件，记作4.随机事件的关系和运算由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。
（1）事件的包含和相等包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作，或。
性质：例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇数点”，则。
注：与集合包含的区别。
相等：若且，则称事件A与事件B相等，记作A＝B。
（2）和事件概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作或A＋B。
第1章 概率论的基本概念
试验者
德•摩根 蒲 丰 K•皮尔逊 K•皮尔逊 维 尼
n
2048 4040 12000 24000 30000
nH
1061 2048 60199 12012 14994
fn(H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4998
nA 频率 f n ( A) 具有如下基本性质: n
统计概率的性质
1. 非负性：对每个事件A有 1 P ( A) 0; 2. 规范性：对必然事件S有 P ( S ) 1;
3. 有限可加性：设A1,A2,…An是两两互不相容事件 则 P( A1 A2 ... An ) P( A1 ) P( A2 ) ... P( An )
交换律 A B B A
A B B A
结合律 ( A B) C A ( B C )
( A B) C A ( B C )
分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C )
A ( B C ) ( A B) ( A C )
其结果可能为:
正品、次品。
其结果可能为: 红、黄、绿。
实例6 “出生的婴儿可能是男，也可能是 女”。
实例7 “明天的天气可能是晴 , 也可能是多云 或雨 ”。
在我们所生活的世界上， 充满了不确定性
如何来研究随机现象?
随机现象是通过随机试验来研究的。
问题 什么是随机试验？
1. 试验（Experiment）：包括各种各样的科学实 验，也包括对客观事物的“观察”、“测量”等。 2. 随机试验（E，Random experiment）：具有以 下三个特征的试验： （1）可以在相同的条件下重复地进行; （2）每次试验的可能结果不止一个，并且能 事先明确试验的所有可能结果; （3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现。
概率论课件
例3 盒中有3个红球，2个白球，，每次从袋中任 取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所 取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试 求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率 。
解：设Ai为第i次取球时取到白球，则
1.7 全概率公式
例：市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品， 已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三 家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上该品 牌产品的次品率。
古典概型中的概率: 设事件A中所含样本点个数为M ，以N记样 本空间S中样本点总数，则有
M P ( A) N
P(A)具有如下性质： (1) 0 P(A) 1；
(2) P()＝1； P( )=0
(3) AB＝，则 P( A B )＝ P(A) ＋P(B)
例1:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概
1.6 条件概率和乘法定理
袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十
人依次从袋中各取一球(不放回)，问
第一个人取得红球的概率是多少？
第二个人取得红球的概率是多少？
若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取 到红球的概率是多少？ 若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到 红球的概率又是多少？ 已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为 A条件下B的条件概率，记作P(B|A)
• 随机事件
定义 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随 机事件”, 简称“事件”.记作A、B、C等. 在每次试验的结果中某事件一定发生，则该事件称 为必然事件，记作U。 在每次试验的结果中某事件一定不发生，则该事件 称为不可能事件，记作V。
频率：
设随机事件A在n次试验中发生了m次
m f n ( A) n
高考数学《随机事件、频率与概率》课件
索引
3.已知随机事件 A，B 发生的概率满足条件 P(A∪B)＝34，某人猜测事件A－∩B－发
生，则此人猜测正确的概率为( C )
A.1
B.12
C.14
D.0
解析 ∵事件A－∩B－与事件 A∪B 是对立事件，
∴事件A－∩B－发生的概率 P(A－∩B－)＝1－P(A∪B)＝1－34＝14， 则此人猜测正确的概率为14.
业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整
理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
频数 28 17 34 21
索引
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率； 解 由试加工产品等级的频数分布表知， 甲分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为14000＝0.4； 乙分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为12080＝0.28.
中奖的概率.( ×)
解析 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故(1)错. (4)中，甲中奖的概率与乙中奖概率相同.
索引
2.(2021·珠海期末)一个人打靶时连续射击两次，与事件“至少有一次中靶”互
斥的事件是( D )
A.至多有一次中靶
B.两次都中靶
C.只有一次中靶
D.两次都不中靶
解析 “两次都不中靶”和“至少有一次中靶”，不能同时发生，故D正确.
训练1 (2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)
按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级
第一章--随机事件及其概率PPT课件
.
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结8束
§1.1 随机事件及其频率·概率的统计定义
随机事件（简称事件） 随机试验中的某种结果(它在一次试验中可能发生
也可能不发生,而且在大量重复试验中具有某种统计规 律性).
或：随机试验结果的一种描述 或：关于试验结果的一个命题 用大写 A,字 B,C母 ,表.示
随机事件 事件 必然事件 (记作U)
概率论与数理统计
主编：刘韶跃 李以泉 丁碧文 杨湘桃
湘潭大学出版社
概率论与数理统计教程（第四版）
.
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结1束
美国报纸检阅（Parade）的专栏内提出了一个有趣的 概率问题：电视主持人指着三扇关着的门说，其中一 扇后是汽车，另两扇后各有一只山羊，你可以随意打 开一扇，后面的东西就归你了，你当然想得到一辆汽 车！当你选定一扇门后，比方说选定1号门（但未打 开），主持人知道哪扇门后是汽车，哪扇门后是山羊， 他打开另一扇中有山羊的一个，比方说他打开了3号 门让你看到里边是山羊，并对你说：我现在再给你一 个机会，允许你改变原来的选择，为了得到汽车，你 是坚持1号门还是改选2号门？
个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌
若干局，谁先赢m局就算获胜，全部赌本就归
胜者，但是当其中一个人甲赢了a(a<m)局的
时候，赌博中止，问赌本应当如何分配才算合
理？” 概率论在物理、化学、生物、生态、
天文、地质、医学等学科中，在控制论、信息
论、电子技术、预报、运筹等工程技术中的应
用都非常广泛。
概率论与数理统计教程（第四版）
设随机 A在 n次 事试 件验m 中 次 ,则 发比 生
m称为随机事 A的件 相对频率(简称频率). n
1随机事件和概率
解 ：令A={第一次取到次品},B={第二次取到次品}, 需求P(B│A).
(1)在缩减的样本空间中计算.因第一次已经取得了次品, 剩下的产品共19件其中3件次品,从而
P(B│A)=3/19 (2)在原样本空间中计算,由于
二 、乘法公式
设P(B)>0,则有 P(AB)=P(B)P(A│B) 同样,当P(A)>0时,有： P(AB)=P(A)P(B│A) 上述乘法公式可推广至任意有限个事件的情形:
三、样本空间
试验E的所有基本结果构成的集合称为样本空间， 记为S。 S中的元素即E的每个基本结果称为样本点，记为 ω，即S={ω}。 基本事件是样本空间的单点集。 复合事件是由多个样本点组成的集合。 必然事件包含一切样本点，它就是样本空间S。 不可能事件不含任何样本点，它就是空集φ。
四、事件间的关系及其运算 例1 : 从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数， 则这一试验的样本空间为：
可列个事件A1 , A2 , … , An的积记为A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An
或A1A2 … An ，也可简记为 在可列无穷的场合，用 件同时发生。” 。 表示事件“A1、A2 …诸事
4.互不相容事件
事件A与事件B不能同时发生，即AB=φ，则称A 和B是互不相容的或互斥的。 基本事件是两两互不相容的。 5.对立事件 若A，B互不相容，且它们的和事件为必然事件，即
例2: 设A，B，C为三个事件，试用A，B，C表
示下列事件： （1）A发生且B与C至少有一个发生； （2）A与B都发生而C不发生； （3）A，B，C恰有一个发生； （4）A，B，C中不多于一个发生； （5）A，B，C不都发生；
（6）A，B，C中至少有两个发生。
1.2 事件的概率
随机事件及概率
恰好出现两次正面｝ Ｂ={恰好出现两次正面｝ 恰好出现两次正面
{ HHT , THH , HTH }
Ｄ={至多出现一次正面｝ 至多出现一次正面｝ 至多出现一次正面
{ HTT , THT , TTH , HHT , TTT }
设E为古典概型,Ω为E的样本空间,A为任意一个事件，定 义事件A的概率为 m 事件 A 所包含基本事件数 P ( A) = = n 基本事件总数
19
（３）古典概型的题型 古典概型的题型 （一）抽样问题(摸球问题,随机取数问题) （一）抽样问题(摸球问题,随机取数问题)
自 个 N 元 素 中 回 无 放 回 有 放
2
三.样本空间
把随机试验的每一个可能结果称为一个样本点， 将一个随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间，通常用 表示．
求实验的样本空间：
Ω = {H ,T }
E1:将一枚硬币抛掷 一次，观察正面、反面出 现的情况 E2:将一枚硬币抛掷 二次，观察正面、反面出现的情况
Ω = { HT , TH }
4
五.事件间的关系与运算
1.事件之间的四种关系 1.
关 系 包含关系 相等关系 互不相容（互斥）关系 符 号
A⊂ B
概率论 事件A发生导致事件 事件 发生导致事件B 发生导致事件 发生 事件A与事件 相等 事件 与事件B相等 与事件 事件A与事件B不能同 时发生 发生， 事件 A发生，当且仅 当事件A不发生 当事件 不发生
§1.1 随机事件
一.随机现象及统计规律 1.随机现象 我们事先无法准确预知其结果的现象．或具有偶然性 质的现象.如： （1）某人射击一次，考察命中情况； （2）某人射击一次，考察命中环数； （3）掷一枚硬币，观察向上的面； （4）从一批产品中抽取一件，考察其质量； 2.随机现象的统计规律性 人们把随机现象在大量重复出现时所表现出来的量的规 律性称为随机现象的统计规律性．
1.1随机现象
宰相没能如愿以偿地写上他想写 的内容，公主也没有。 的内容，公主也没有。皇帝是公平 的，最终驸马幸运的抓到了 “生” … …
• 在自然界和实际生活中，我们会遇 在自然界和实际生活中， 到各种各样的现象． 到各种各样的现象． 如果从结果能否预知的角度来看， 如果从结果能否预知的角度来看， 可以分为两大类： 可以分为两大类： 一类现象的结果总是确定的，即在一 一类现象的结果总是确定的， 定的条件下， 定的条件下，它所出现的结果是可以预 知的，这类现象称为确定性现象 确定性现象； 知的，这类现象称为确定性现象； 另一类现象的结果是无法预知的， 另一类现象的结果是无法预知的，即 在一定的条件下， 在一定的条件下，出现那种结果是无法预 先确定的，这类现象称为随机现象． 先确定的，这类现象称为随机现象． 随机现象
§1.1 随机事件及其频率·概率的统计定义
[例1] 试验 E1：抛硬币, 观察结果. 例
A : 出现正面;
或 A = {出现正面 }.
}
（事件的两种表达方式）
[例2] 试验 E 2：掷骰子，观察点数 . 例
A : 出现 5 点;
B : 出现 的点数能被 3 整除; C : 出现 的点数不超过 6 ( 必然事件).
A : 寿命不超过 5000 小时; B : 寿命在 6000 小时以上 .
随堂练习
• 指出下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件， 指出下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件， 并说明理由？ 并说明理由？ （1）在地球上，抛出的篮球会下落； （必然事件） ）在地球上，抛出的篮球会下落； 必然事件） （2）随意翻一下日历，翻到的日期为 ）随意翻一下日历， 不可能事件） （不可能事件） 2月31日； 月 日 （3）乔丹罚球，十投十中； ）乔丹罚球，十投十中； 随机事件） （随机事件） （4）掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动 ）掷一枚均匀的骰子， 随机事件） （随机事件） 后偶数点朝上； 后偶数点朝上； （5）任意买一张电影票，座位号是偶数； 随机事件） ）任意买一张电影票，座位号是偶数； 随机事件） （ （6）抛一枚硬币，正面朝上； ）抛一枚硬币，正面朝上； 随机事件） （随机事件）
概率论频率与概率
解 ABA BBBA B
P A B P AB P B
0.3
AB
概率论频率与概率
例6 P A 0.5,PA B0.2，求 P A B 解 P AB PAAB PAPAB
0 .50 .20 .3
P AB 1 PAB
0.7
A BS
从定﹏义﹏出﹏发﹏求﹏概﹏率﹏是﹏不﹏切﹏实﹏际﹏的﹏，下面将针对 ﹏特﹏殊﹏类﹏型的概率求事件的概率。
频率 : 设在 n 次重复试验中,事件 A出现了 nA 次 ,
则称 nA 为事件 A 在 n 次试验中出现的频数 ,比值
nA n
为事件
A
在
n
次试验中出现的频率
, 记为
fn A
,
即
fn
A
nA n
概率论频率与概率
抛掷钱币试验记录
试验者 德摩根 蒲丰 皮尔逊 皮尔逊 维尼
抛币次数n “正面向上”次数
这个定义也称概率论为频率概与概率率 的统计定义 .
二、概率的定义
概率的公理化定义 设 E 是随机试验 , S 是它的
样本空间 ,对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数 PA ,
称之为事件 A的概率 ,如果它满足下列三个条件 :
1 PA 0; 非负性 2 PS 1; 规范性
3 对于两两互斥事件 A1, A2,, 有 PA1 A2 PA1 PA2
第二节 频率与概率
一 、频率 二、概率的统计定义 三、概率的公理化定义
概率论频率与概率
研究随机现象，不仅关心试验中会出现哪些事 件，更重要的是想知道事件出现的可能性大小， 也就是事件的概率.
概率是随机事件 发生可能性大小 的度量
事件发生的可能性 越大，概率就 越大！
概率统计 期末复习-经管(1)
第一章 随机事件及其概率一、基本概念1． 事件的关系与运算、运算规律因为事件是样本空间的一个集合, 故事件之间的关系与运算可按集合之间的关系和运算来处理。
事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的表1.1没有相同的元素与互不相容和事件事件的差集与不发生发生而事件事件的交集与同时发生与事件事件的和集与至少有一个发生与事件事件的相等与相等与事件事件的子集是发生发生导致事件的余集的对立事件子集事件元素基本事件空集不可能事件全集必然事件样本空间集合论概率论记号B A B A AB B A B A B A B A B A AB B A B A B A B A B A B A B A B A B A A A A A ∅=-=⊂∅Ω ω,对偶律：A B A B = ，A B A B =2、概率的定义频率：A n n f (A )n=，其中n 为试验次数, A n 为事件A 发生的次数概率的统计定义：在相同条件下重复进行n 次试验，若事件A 发生的频率A n n f (A )n=随着试验次数n 的增大而稳定地在某个常数p ()10≤≤p 附近摆动，则称p 为事件的概率，记为)(A P古典概型：具有下列两个特征的随机试验模型： 1. 随机试验只有有限个可能的结果; 2. 每一个结果发生的可能性大小相同.概率的古典定义：在古典概型的假设下，设事件A包含其样本空间S中k个基本事件, 即},{}{}{21ki i i e e e A =则事件A发生的概率.)()()(11中基本事件的总数包含的基本事件数S A n k e P e P A P kj i k j i jj====∑== 概率的公理化定义：设E 是随机试验, S 是它的样本空间,对于E 的每一个事件A 赋于一个实数, 记为)(A P , 若)(A P 满足下列三个条件: 1. 非负性：对每一个事件A ,有 0)(≥A P ;2. 完备性：1)(=S P ;3. 可列可加性：设,,21A A 是两两互不相容的事件，则有.)()(11∑∞=∞==i ii i A P A P 则称)(A P 为事件A 的概率.概率的基本性质：○1()0P ;∅=○2设12n A ,A ,,A 是两两互不相容的事件，则有11nni i i i P(A )P(A ).===∑○3()()1P A P A ;=-○4()()()P A B P A P AB ;-=-特别地，若B A ⊂，则()()()P A B P A P B ;-=-()()P A P B ;≥○5对任一事件A 有()1P A ≤○6对于任意两个事件A ，B 有()()()()P A B P A P B P AB =+-3、条件概率与独立性条件概率：)()()|(A P AB P A B P =（0)(>A P ），在事件A 发生的条件下,事件B 的条件概率.事件的独立性：A ,B 相互独立P(AB )P(A)P(B )⇔=n A A A ,,,21 相互独立()111j jk ki i j j k,k n,P A P A ==⎛⎫⇔∀≤≤= ⎪⎝⎭∏事件独立的性质： ○1当0)(>A P ,0)(>B P 时, A ,B 相互独立与A ,B 互不相容不能同时成立. 但∅与S 既相互独立又互不相容(自证). ○2 设A ,B 是两事件, 且0)(>A P ,若A ,B 相互独立, 则)()|(A P B A P =. 反之亦然.伯努利概型（试验的独立性）设随机试验只有两种可能的结果：事件A 发生(记为A )或事件A 不发生(记为A )，则称这样的试验为伯努利(Bermourlli)试验。
概率的定义
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概率的性质
4、 P ( A B ) P ( A ) P ( A B ) ．特别，若 B A ， 则 P (A B )＝ P ( A ) P ( B ) 且 P ( B ) P ( A ) ．
证明 因为 A＝ ( A B ) A B 且 ( A B ) A B＝ ， 所 以 P ( A )＝ P (( A B ) A B ) P ( A B ) P ( A B ) ， 移项即证．又由概率的非负性知 P ( A B ) 0 ，所 以 P ( B ) P ( A) .
m1 m 2 m k
种方法．
譬如， 由甲地到乙地去旅游有三类交通工具： 汽车、 火车和飞机．而汽车有 5 个班次，火车有 3 个班次，飞 机有 2 个班次，则从甲地到乙地共有 5+3+2=10 个班次 供旅游者选择．
2012年11月11日星期日
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1、排列与组合
(2) 乘法原理 如果完成某件事情需经 k 步才能完成，在第一步中 有 m 1 种方法，在第二步中有 m 2 种，……，在第 k 步中 有 m k 种方法， 那么完成这件事共有 m 1 m 2 m k 种方 法．
i 1
n n
i 1
P ( Ai ) P ( Ai ) P ( A1 ) P ( A n ) P ( )
i 1 i 1
P(A )
i i 1
n
特别地，若 A B ，则 P ( A B ) P ( A ) P ( B ) ．
1、 P ( ) 0 ．
随机事件及其频率·概率的统计定义
§1.1 随机事件及其频率· 概率的统计定义
随机事件（简称事件） 随机试验中的某种结果(它在一次试验中可能发生 也可能不发生,而在大量重复试验中具有某种统计规律 性). 或：随机试验结果的一种描述 或：关于试验结果的一个命题
用大写字母 A , B , C ,表示.
随机事件 事件 必然事件 (记作U ) 不可能事件 (记作V )
பைடு நூலகம்
率
频
0.2
§1.1 随机事件及其频率· 概率的统计定义
概率的统计定义
随机事件发生的可能性可以用一个数来表示, 这 个刻画随机事件 A在试验中发生的可能性大小的、介
于0与1之间的数叫做随机事件 A的概率, 记作 : P( A).
根据定义有：
0 P ( A) 1,
P(V ) 0,
P(U ) 1.
第一章 随机事件及其概率
§1.1 随机事件及其频率·概率的统计定义
§1.1
随机事件及其频率· 概率的统计定义
1.随机现象与统计规律性
确定性现象（必然现象）： 在一定条件下,必然会出现的某种确定的结果. 例如： (1) 向上抛一枚硬币,硬币上升到一定高度后必 然会下落； (2) 水加热后温度必定升高. (3) 太阳必定从东方升起.
统计规律性 人类的大量实践表明,在相同条件下,对随机现象进 行大量的重复观测,其结果总能呈现出某种规律性. 例：抛一枚硬币,观察正面朝上情况.
试验者
抛硬币次数 n
De Morgan Buffon Fisher Pearson Pearson
2048 4040 10000 12000 24000
正面朝上次数 m 1061 2048 4979 6019 12012
随机事件与概率及其概率和频率的关系
随机事件与概率及其概率和频率的关系一、引言本文将探讨随机事件与概率之间的关系，以及概率和频率之间的关联。
我们将从随机事件的定义入手，逐步介绍概率的概念和计算方法，并分析概率和频率在实际应用中的联系和差异。
二、随机事件的定义随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
通俗来说，它是具有某种不确定性的事件，例如抛硬币、掷骰子等。
随机事件的发生是由各种因素相互作用的结果，无法事先准确预测。
三、概率的基本概念3.1概率的定义概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。
用数学语言来表达，概率就是随机事件发生的频率与总试验次数之间的比值。
它的取值范围在0到1之间，其中0代表事件不可能发生，1代表事件一定会发生。
3.2概率的计算方法等可能性事件概率的计算方法可以分为两种常见的情况：和**不等可能性事件**。
对于等可能性事件，计算概率很简单，只需要用有利结果的个数除以所有可能结果的个数即可。
古典概型对于不等可能性事件，常用的计算概率方法有、**几何概型**和**统计概型**等。
四、概率和频率的关系4.1概率和频率的定义概率和频率都可以用来描述随机事件的发生情况，但它们是从不同的角度出发进行观察和分析的。
理论上的数值概率是通过总体试验次数与事件发生次数之间的比值来衡量事件的可能性大小，是一种。
实际观察到的数值频率是通过大量的试验实验所得的事件发生次数与实验总次数之间的比值来衡量事件的发生情况，是一种。
4.2概率和频率的关联系数频率到概率的收敛概率和频率之间存在一定的关联，可以通过大量试验的频率逼近概率值，这就是。
随着试验次数的增加，频率趋于概率，两者的差距逐渐减小。
数学上可以通过极限的概念来描述概率和频率的关联，即频率趋近于概率的极限值。
4.3概率和频率的差异概率和频率之间存在一定的差异，主要有以下几个方面：观察对象不同-：概率是基于推理和理论的观察，而频率是基于实际观察和统计的结果。
试验次数要求不同-：概率不需要进行大量试验，只需要考虑总体的因素；而频率需要进行大量的试验，以实际观察到的结果进行统计。
《概率论与数理统计》第一章知识点
第一章随机事件及概率1.1随机事件1.1.1随机试验一、人在实际生活中会遇到两类现象：1.确定性现象：在一定条件下实现与之其结果。
2.随机现象（偶然现象）：在一定条件下事先无法预知其结果的现象。
二、随机试验满足条件：1.实验可以在相同条件写可以重复进行；（可重复性）2.事先的所有可能结果是事先明确可知的；（可观察性）3.每次实验之前不能确定哪一个结果一定会出现。
（不确定性）1.1.2样本空间1.样本点：每次随机试验E 的每一个可能的结果，称为随机试验的一个样本点，用w 表示。
2.样本空间：随机试验E 的所有样本点组成的集合成为试验E 的样本空间。
1.1.3随机事件1.随机事件：一随机事件中可能发生也可能不发生的事件称为试验的随机事件。
2.基本事件：试验的每一可能的结果称为基本事件。
一个样本点w 组成的单点集{w}就是随机试验的基本事件。
3.必然事件：每次实验中必然发生的事件称为必然事件。
用Ω表示。
样本空间是必然事件。
4.不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，用空集符号表示。
1.1.4事件之间的关系和运算1.事件的包含及相等“如果事件A 发生必然导致事件B 发生”，则称事件B 包含事件A ，也称事件A 是B 的子事件，记作A B B A ⊃⊂或。
2.事件的和（并⋃）“事件A 与B 中至少有一个事件发生”，这样的事件称为事件A 与B 的和事件，记作B A 。
3.事件的积（交⋂）“事件A 与B 同时发生”，这样的事件称作事件A 与B 的积（或交）事件，记作AB B A 或 。
4.事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”，这样的事件称为事件A 与B 的差事件，记作A-B 。
5.事件互不相容（互斥事件）“事件A 与事件B 不能同时发生”，也就是说，AB 是一个不可能事件，即=AB 空集，即此时称事件A 与事件B 是互不相容的（或互斥的）6.对立事件“若A 是一个事件，令A A -Ω=,称A 是A 的对立事件，或称为事件A 的逆事件”事件A 与事件A 满足关系：=A A 空集，Ω=A A 对立事件一定是互斥事件；互斥事件不一定是对立事件。
概率论与数理统计初步(第一节 随机事件与概率)
概率论与数理统计初步(第一节随机事件与概率)－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－第七章概率论与数理统计初步第一节随机事件与概率1．1 随机试验与随机事件1．随机现象与随机试验自然界和社会上发生的现象是多种多样的。
有一类现象在一定的条件下必然发生或必然不发生，称为确定性现象。
例如，沿水平方向抛出的的物体，一定不作直线运动。
另一类现象却呈现出非确定性。
例如，向地面抛一枚硬币，其结果可能是“正面向上”，也可能是“反面向上”。
又如在有少量次品的一批产品中任意地抽取一件产品，结果可能抽得一件正品，也可能是抽得一件次品。
这类现象可看作在一定条件下的试验或观察，每次试验或观察的可能结果不止一个，而且在每次试验或观察前无法事先知道确切的结果。
人们发现，这类现象虽然在每次试验或观察中具有不确定性，但在大量重复试验或观察中，其结果却呈现某种固定的规律性，即统计规律性，称这类现象为随机现象。
概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。
定义1 在概率统计中，我们把对随机现象的一次观测称为一次随机实验，简称试验。
概率论中研究的试验具有如下特点：（1）可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的结果具有多种可能，并且事先能明确试验的所有可能结果；（3）每次试验之前不能确定该次试验将出现哪种结果。
例1 掷一枚均匀了，观察出现的点数。
试验的所有可能的结果有6个：出现点1，出现点2，出现点3，出现点4，出现点5，出现点6。
分别用1，2，3，4，5，6表示。
例2 将一枚均匀的硬币抛掷两次，观察出现正面、反面的情况。
试验的所有可能结果有4个：两次都出现正面，两次都出现反面，第一次出现正面而第二次出现反面，第一次出现反面而第二次出现正面。
分别用“正正”、“反反”、“正反”、“反正”表示。
2．随机事件在随机试验中，每一个可能的基本结果称为这个试验的一个基本事件。
全体基本事件的集合称为这个试验的样本空间，记为Ω。
1-2节 随机事件的概率
第 k 次抽到白球就是排在第 k 号位置上的球是白球 只能在2个白球中取得，故有2种抽法. 而另外9次抽 的球 可在余下的9个中任取，共有9！种抽法
P ( A) 2 9! 10 ! 2 10 1 5
解法二 把2个白球看成一样，8个黑球看成一样，把
抽出的球仍依次放到10个位置上，由于白球看成一样，
4
0 . 2778 .
例3 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是优秀生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优 秀生分配在同一个班级的概率是多少? 解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:
15 10 5 5
}
第3次摸到红球 4种
第1次摸到黑球 6种 第2次摸到黑球
第3次摸球 第2次摸球 第1次摸球
10种
样本点总数为
10 10 10 10 ,
3
A 所包含样本点的个数为
故 P ( A) 664 10
3
6 6 4,
0 . 144 .
课堂练习 1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,求各位 数字互不相同的概率. 7 7
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因此所求概率为
p1 3 ! 12 ! 4! 4! 4! 15 ! 5! 5! 5!
25 91
.
(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种,
对于每一种分法,其余12名新生的分法有
12 ! 2! 5! 5!
种.
因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有
( 3 12 ! ) ( 2 ! 5! 5! ) 种 , 因此所求概率为
在数学研究上，他的学生阿诺尔德认为， 柯尔莫哥洛夫总是去解决几百年来遗留 下来的许多问题，成为新领域的发现者 和先驱．正是由于他的聪颖和广泛爱好， 兼对原创问题的关注，使他对开创现代 数学的一系列重要分支作出了重大贡献， 成为20世纪下半叶世界数学的领袖人 物．
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m P ( A) ≈ f n ( A) = n
概率的基本性质
1、非负性：对任意随机事件A有 、非负性：对任意随机事件 有
0 ≤ P( A) ≤ 1
2、规范性：必然事件的概率恒为 、规范性：必然事件的概率恒为1 概率恒为
P(U ) = 1
3、不可能事件的概率恒为 、不可能事件的概率恒为0 概率恒为
P(V ) = 0
注
事件的概率是衡量此事件发生可能性的度量， 事件的概率是衡量此事件发生可能性的度量，是事件 固有的属性， 固有的属性，虽然在一次试验中某事件的发生与否带 有偶然性， 有偶然性，但可在相同的条件下大量重复的随机试验 往会呈现出明显的数量规律。 往往会呈现出明显的数量规律。
n=500 nH ƒn(H) 251 0.502 249 0.498 256 0.512 253 0.506 251 0.502 246 0.492 244 0.488 258 0.516 262 0.524 247 0.494
频率稳定性
大量实验证实，当重复试验的次数逐渐增大时， 大量实验证实，当重复试验的次数逐渐增大时，频率 呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数。 呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数。由于事件发生 的频率表示A发生的频繁程度。频率大，事件 发生就 的频率表示 发生的频繁程度。频率大，事件A发生就 发生的频繁程度 频繁，这意味着 在一次试验中发生的可能性就大 在一次试验中发生的可能性就大。 频繁，这意味着A在一次试验中发生的可能性就大。
试验序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
nH 2 3 1 5 1 2 4 2 3 3
n= 5 ƒn(H) 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.4 0.6 0.6
n= 50 nH ƒn(H) 22 0.44 25 0.50 21 0.42 25 0.50 24 0.48 21 0.42 18 0.36 24 0.48 27 0.54 31 0.62
第一章
随机事件及其概率
1.1 随机事件及其频率 -----概率的统计定义 -----概率的统计定义
随机试验
随机试验是具有以下特征的试验： 随机试验是具有以下特征的试验： 1、可以在相同条件下重复进行； 、可以在相同条件下重复进行； 2、每次试验的结果不止一个，但结果事先可以预知； 、每次试验的结果不止一个，但结果事先可以预知； 3、每次试验前不能确定哪个结果会出现。 、每次试验前不能确定哪个结果会出现。 例如： 例如： ）、抛一枚硬币 （1）、抛一枚硬币，观察出现正面与反面的情况； ）、抛一枚硬币，观察出现正面与反面的情况； ）、抛一颗骰子 （2）、抛一颗骰子，观察出现的点数。 ）、抛一颗骰子，观察出现的点数。
事件、必然事件、 事件、必然事件、不可能事件
随机试验的每一个可能的结果称为随机事件或 随机试验的每一个可能的结果称为随机事件或事件 随机事件 在每次试验中都必然发生的事件称为必然事件 在每次试验中都必然发生的事件称为必然事件 在每次试验中都不可能发生的事件称为不可能事件 在每次试验中都不可能发生的事件称为不可能事件
0 ≤ fn ( A) ≤ 1
2、规范性：必然事件的频率恒为 、规范性：必然事件的频率恒为1 频率恒为
f n (U ) = 1
3、不可能事件的频率恒为 、不可能事件的频率恒为0 频率恒为
f n (V ) = 0
例
考虑“抛硬币”这个试验，我们将一枚硬币抛掷 考虑“抛硬币”这个试验，
5次、5次、500次，各做10遍。得到数据如下表所示 500次 各做10遍 10 (其中nH表示H发生的频数，ƒn(H)表示H发生的频率)。 表示H 其中n 表示H发生的频数， (H)表示 发生的频率)
频率
设随机事件A在 次重复试验中发生了 次重复试验中发生了m次 设随机事件 在n次重复试验中发生了 次，则称比值
m 为事件A发生的频率，记作 f n ( A) 即： 为事件 发生的频率， 发生的频率 n m f n ( A) = n
频率的基本性质
1、非负性：对任意随机事件A有 、非负性：对任意随机事件 有
概率的统计定义
一个随机事件A 在一次试验中发生的可能性的大小， 一个随机事件 在一次试验中发生的可能性的大小， 可以用一个数P(A)来表示，这个数 来表示， 可以用一个数 来表示 这个数P(A)就称为随机 就称为随机 事件A的概率。 事件 的概率。 作为事件A的 大量重复试验中随机事件A的 大量重复试验中随机事件 的频率 f n ( A) 作为事件A的 概率的近似值，当试验次数 充分大时 充分大时， 概率的近似值，当试验次数n充分大时，