对称矩阵的相似矩阵(精)

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对称矩阵的相似矩阵

线性代数（工）同济大学第五版
推论1. 设A是一个n阶实对称矩阵，则对于A的任一特征
值i一定有A(i ) G(i )，即i的代数重数等于几何重数。
推论2. 设 A为 n阶对称矩阵, 是A的特征方程的 r重根, 则 (A E)x 0的解空间的维数是r，从而
R(A E) n r.
推论3. 设 n阶对称矩阵A的所有不相同的特征值为
注：由于对称矩阵A的特征值为实数,所以齐次 i
线性方程组
(A E)x 0 i
是实系数方程组,由向量可以取实向量.
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线性代数（工）同济大学第五版
定理2. 设1,2是实对称矩阵A的两个不同特征值，1,2 分别是关于特征值1,2的特征向量，则1, 2彼此正交。
由归纳假设，存在k阶正交矩阵Q1使得Q11BQ1 1，其中 1是一个k阶的对角矩阵，于是
bT 0T 1 0T 0T 1 0T
0
B
0
B
0
Q11
0
1
0
Q1
,
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线性代数（工）同济大学第五版
设是A的任一特征值，v是关于特征值的一个单位特征
向量，将其扩充为¡ k1的一个正交规范基：v, w1,, wk ,
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线性代数（工）同济大学第五版
令Q (v, w1,, wk )，则Q是一个正交矩阵，且
b01 b02 L
0
b11
b12
L
b0k

相似矩阵

第三讲Ⅰ 授课题目：§5.3 相似矩阵§5.4 对称矩阵的相似矩阵 Ⅱ 教学目的与要求：1. 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的充分条件.2. 会求实对称矩阵的相似对角形. Ⅲ 教学重点与难点：重点：相似矩阵的性质及矩阵对角化的条件. 难点：求实对称矩阵的相似对角矩阵. Ⅳ 讲授内容：一、相似矩阵的定义及性质定义1 设B A ,都是n 阶矩阵，若有可逆矩阵P ，使B AP P =-1，则称B 是A 的相似矩阵，或说矩阵A 与B 相似，记为B A ~.对A 进行运算AP P 1-称为对A 进行相似变换，可逆矩阵P 称为把A 变成B 的相似变换矩阵. 注矩阵相似是一种等价关系.（1）反身性：A A ~.（2）对称性：若B A ~，则A B ~.（3）传递性：若B A ~，C B ~，则C A ~. 性质1 若B A ~，则（1）T T B A ~；（2）11~--B A ；（3）E B E A λλ-=-；（4）B A =；（5）)()(B R A R =.推论若n 阶矩阵A 与对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λn λλλ21相似，则n λλλ,,,21 是A 的n 个特征值.性质2 若1-=PBPA ，则A 的多项式1)()(-=PB P A φφ.推论若A 与对角矩阵Λ相似，则1211)()()()()(--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λ=P P PP A n λφλφλφφφ.注（1）与单位矩阵相似的只有它本身；（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似. 二、矩阵可对角化的条件对n 阶方阵A ，如果可以找到可逆矩阵P ，使Λ=-AP P 1为对角阵，就称为把方阵A 对角化。

定理1 n 阶矩阵A 可对角化（与对角阵相似）A ⇔有n 个线性无关的特征向量。

推论如果n 阶矩阵A 的n 个特征值互不相等，则A 与对角阵相似.（逆命题不成立）注：（1）若A ～Λ，则Λ的主对角元素即为A 的特征值，如果不计i λ的排列顺序，则Λ唯一，称之为矩阵A 的相似标准形。

5.4 对称矩阵的相似矩阵

由于对称矩阵 A的特征值线性方程组 (A −
λ
i
为实数,所以齐次
λ
i
E )x = 0
是实系数方程组 ,由 A −
λ
i
E = 0知必有实的基础解
系,从而对应的特征向量可以取实向量 .
定理 2 设λ1 , λ 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ 2 , 则p1与p2正交 .
当abc ≠ 0 时，ax + by + cz = 0 的两个正交解为 ( −b, a , 0)T ,(ac, bc, − a 2 − b2 )T 当abcd ≠ 0 时, ax + by + cz + dw = 0 的三个两两正交解为 ( − b, a , 0,0)T ,(0, 0 − d , c )T , (a(c 2 + d 2 ), b(c 2 + d 2 ), − c(a 2 + b2 ), −d (a 2 + b2 ))T
则
说明：说明：（1）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下，对）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下，称矩阵的正交相似标准形唯一的，但是所用的正交矩阵称矩阵的正交相似标准形唯一的，却不是唯一的。却不是唯一的。（2）对于一般的齐次线性方程，有如下公式：）对于一般的齐次线性方程，有如下公式：
第四节对称矩阵的相似标准形
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵实对称矩阵．均指实对称矩阵．定理1 对称矩阵的特征值为实数，定理1 对称矩阵的特征值为实数，其特征向量一定是实向量。实向量。证明略定理1 定理1的意义

第四节实对称矩阵的相似矩阵

1 2 1 3. 设 2为非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵( A ) 有一个 3 特征值等于( ).( 93年) 4 3 1 1 答案：B ( A ) ， ( B ) ， (C) ， ( D) . 3 4 2 4 4. 向量组 1 (1， 1，， )， 2 (0，，， )， 3 ( 3，，，4)， 2 4 31 2 0 7 1 4 (1， 2，， )， 5 ( 2，，， )的极大线性无关组为( ).(94年) 2 0 1 5 10 ( A ) 1， 2， 3，B ) 1， 2， 4，C) 1， 2， 5，D) 1， 2， 4， 5 . 答案： . ( ( ( B
第五章相似矩阵
第四节实对称矩阵的相似矩阵
1. 实对称矩阵的性质：
(1) 实对称矩阵的特征值必为实数. 证: 设为对称矩阵的特征值对应的特征向量为, A , x 则 Ax x , x 0. Ax x, A x x， A x x,
( A x )T ( x )T , x T A x T , x T Ax x T x , x T x x T x , ( ) x T x 0.
( 3) 设A为 n阶对称矩阵, 是A的 k重特征值, 则R(E A) n k , 从而对应恰有k个线性无关的特征向量.
2. 实对称矩阵相似对角化：
(1) 实对称矩阵必与对角矩阵相似，即可对角化. 如果把对应特征值i ( i 1，，，)的k i 个线性无关的特征向量 2 r pi 1， i 2，， iki p p ei 1，i 2，，iki ， e e 正交规范化得则ei 1，i 2，，iki 为i的两两正交的单位特征 e e 向量. 令P (e11，12，，rk r )，则P为正交矩阵，且P 1 AP ， e e 其中为对角矩阵，且该矩阵主对角线上元素为A的特征值. ( 2) 设A为实对称矩阵，则存在正交矩阵P， P 1 AP为对角矩阵. 使

线性代数5-4-对称矩阵的相似矩阵

3的特征向量,故它们必两两正交 .
第四步将特征向量单位化
令
i
i i
,
i 1,2,3.
得
2 3
1 2 3 ,
2 3
2 1 3 ,
1 3
2 3
1 3
3 2 3.
2 3
2 2 1
作
P
1 ,
2
,
3
1 3
2 1
1 2
2, 2
4 0 0
则
P
1
AP
0
1
0 .
0 2 得 1 4, 2 1, 3 2.
第二步由A i E x 0,求出A的特征向量
对 1 4,由A 4E x 0,得
2
2 x1 2 x2 0 x1 3 x2 2 x3
0
解之得基础解系
1
2 2 .
2 x2 4 x3 0
1
对 2 1,由A E x 0,得
2
x1 x1
2 x2 2 x3
0 0
2 x2 x3 0
2
解之得基础解系
2
1
.
2
对 3 2,由A 2E x 0,得
2
x1
4 x1 3x2
2x2 2x3
0
0
解之得基础解系 3
1 2.
2 x2 2 x3 0
2
第三步将特征向量正交化
由于1,2 ,3是属于A的3个不同特征值1, 2 ,
及 xT Ax xT AT x Ax T x xT x xT x.
两式相减，得
xT x 0.
但因为 x 0,
所以
xT
x
n
xi xi

线性代数§5.4实对称矩阵的相似矩阵

§5.4 实对称矩阵的相似矩阵
一、实对称矩阵的性质
说明: 本节所提到的对称矩阵, 除非特别说明, 均指实对称矩阵. 定理5: 实对称矩阵的特征值为实数. 证明: 设向量x(x0)为实对称矩阵A的对应复特征值的特征向量, 即 Ap =p, 用表示的共轭复数, 用 x 表示x的共轭复向量. A x A x Ax x x . T T T T 于是有 x Ax x ( Ax ) x (x ) ( x x ) 及
于是这个定理的证明超出本课程范围, 证明略. 定理8: 设A为n阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P , 使 P-1AP =, 其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵. 证明: 设A的互不相等的特征值为1, 2 , · · · , s , 它们的重数依次为r1, r2 , · · · , rs , 且 r1 + r2 + · · · + rs = n .
可以验证仍有 2 0 0 P 1 AP 0 4 0 . 0 0 4
三、小结
1. 对称矩阵的性质: (1)特征值为实数; (2)属于不同特征值的特征向量正交; (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等; (4)必存在正交矩阵, 将其化为对角矩阵, 且对角矩阵对角元素即为特征值. 2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤: (1) 求特征值; (2) 求特征向量; (3)将特征向量正交化; (4) 将特征向量单位化.
第二步, 由(A–iE)x=0, 求A的特征向量. 对1=2,由(A–2E)x=0, 得 0 2 x1 0 x 2 x 3 0 , 得基础解系 1 1 1 x2 x3 0 对2=3=4,由(A–4E)x=0, 得 00 1 0 0 , 3 1 . x 2 x 3 0 , 得基础解系 2 0 1 x x 0 2 3 第三步, 将特征向量正交化. 由于2, 3恰好正交, 故1, 2, 3两两正交. 第四步, 将所有特征向量单位化. 令

第五章相似矩阵(2)

k1X1 k2 X 2 ... km X m 0中，
X m 0,km 0
X
1,
X
2,
...X
线性
m
无关
。
定理4：设1, 2,... m是方阵A的m个互不相同的特征
值,xi1,xi2,…xiki是矩阵A对应于特征值i(i=1,2,…m)的
线性无关的特征向量,则向量组x11,x12,…x1k1, x21,x22,…x2k2, …xm1,xm2,…xmkm线性无关
的特征向量,则有
(1)当A可逆时,
1
是A-1的特征值;
(2)当A可逆时, A是A的伴随矩阵A*的特征值;
(3)f(x)是x的一个一元多项式,则f()是f(A)的一个特征值,并且x仍
是矩阵A-1,A*,f(A)的分别对应于特征值 1 ,
A
, f()的特征向量.
定理3：设1，2，m 是方阵A的m个互不相同的特征值， X1，X2，Xm依次为与之相对应的特征向量，则X1，X2，Xm线性无关。
AX= X
成立，则称数为方阵A的特征值，非零列向量X称为A对应
于特征值的特征向量。
a11 a12
f () E A
a21
a22
a1n
a2n
an1 an2 ann n (a11 a22 ann ) (1)n A
称为方阵A的特征多项式,|E-A|=0称为矩阵A关于的特 4 征方程.
相似矩阵一定等价，但矩阵等价不一定相似。
定理6：相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。
证明：设A与B相似，则P1AP B
E B E P1AP P1EP P1AP
P1(E A)P P1 E A P E A 11

54实对称矩阵的相似矩阵-PPT文档

证明
p Ap , p Ap , ,
1 1 1 2 2 2 12
T A 对称 , A , A
于是
p p p p Ap p p p, p p 0 .
T T T 1 2 1 2 12 2 1
T 1 2 2 1 T 2 1 2
1 则 P 为正交矩阵使得 P A P 。
其中对角矩阵的主对角元的排列顺序与 P 中列向量的排列顺序相对应.
例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P ， 1 AP 使P 为对角阵. 4 0 0 2 2 0 (1)A2 1 2, ( 2) A 0 3 1 0 1 3 0 2 0 解 (1)第一步求 A的特征值
TT T p p Ap p p , 1 1 1 1 1 1A 1A
T T T

T 2 1 2
, p p 0 .即 p 与 p 正交 . 1 1 2
定理 3设 A 为 n 阶对称矩阵 ,是 A 的特征方程 r 重根 ,则矩阵 A E的秩 R (A E )nr,从而
1 4x1 2x2 0 2x1 3x2 2x3 0 解之得基础解系 3 2 . 2 2x 2x 0 2 3 第三步将特征向量正交化

的特征向量 , 故它们必两两正交 . 3
i 令 , i 1 , 2 , 3 . i i
T T

T
T
T
两式相减，得
T xx 0 .
但因为 x 0 ,
0 , 所以 x x x x x 0 i i i

线性代数第五章第三节实对称矩阵的相似矩阵(2014版)

§5.3 实对称矩阵的相似矩阵
一、复矩阵与复向量
定义1：元素为复数的矩阵和向量，称为复矩阵和复向量
定义2: 当 A = (aij) 为复矩阵时, 用aij表示aij 的共轭复数, 记A (aij ), 称 A 为A 的共轭矩阵.
由定义和复数的运算性质可知： (1)A A；(2)
T
A
AT
（3）当A为实对称矩阵时，AT A.
解：1）当k=1时，A是实对称矩阵，则A一定有
三个线性无关的特征向量，从而必可对角化，也必存在正交矩阵T，使 T 1AT 为对角矩阵。不唯
一。 2）当k=0时，由 | A I | ( 1)2( 1) ,A 的特征值为 1 2 1,3 1 ，又 r(A I ) 2 故A的对应于 1 2 1 特征向量只有一个，故
作矩阵
0 1 0
P
(1,2
,3
)
1 1
0 0
11
则有
1
P1
AP
1
1
于是
0 1 0 1
0 1 0 1
A
PP1
1 1
0 0
11
1Байду номын сангаас
1
1 1
0 0
11
0 1 0 1
0
1 2
1 2
1 1
0 0
11
1
1
1 0
0
1 2
0
1 2
1 0 0
0 0
0 1
01
例6 设三阶实对称矩阵A的秩为2，1 2 6 是A的二重特征值，若 1 (1,1,0)T ,2 (2,1,1)T ,3 (1,2, 3)T
( i = 1, 2, … , m ) .

第五章相似矩阵(2)

i的特征向量。因为 P可逆，得 A的n个特征向量线性无关。
(2) 充分性（命题：已知n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则A相似于）
14
设A有n个线性无关的特征向量 P , P2 ,...Pn , 它们分别属于 1 A的特征值 1，2， n ..., AP A( P , P2 ,...Pn ) ( AP , AP2 ,...APn ) 1 1 (1 P , 2 P2 ,...n Pn ) 1 1 2 ( P , P2 ,...Pn ) 1 P n P 1 AP A相似于对角矩阵
2 1
T X 1 X 2 0 X 1与X 2正交。
20
定理10：设A为n阶实对称矩阵，则一定存在正交矩阵Q，使 1 2 T 1 Q AQ Q AQ ..., , 其中1，2， n为A的特征值
n
1
(2)当A可逆时, A是A的伴随矩阵A*的特征值;

是A-1的特征值;
(3)f(x)是x的一个一元多项式,则f()是f(A)的一个特征值,并且x仍是矩阵A-1,A*,f(A)的分别对应于特征值
1

,
A

, f()的特征向量.
定理3：设1，2，m 是方阵A的m个互不相同的特征值， X1，X2，Xm依次为与之相对应的特征向量，则X1，X2，Xm线性无关。证明：采用数学归纳法进行证明（1）当m=1时，∵X10，所以X1线性无关
令P ( X 1 , 2 ,... n ),则P正交， P 1 AP P T AP 1 0 B 0 1 1 T T T T T T 又( P AP ) P A P P AP T B 0 B 0, B T B , 所以B为n 1阶实对称矩阵，由归纳假设存在n 1阶正交矩阵P1 , 使 P1 BP1 P1 BP1 diag{2 ,...,n }

第五篇第四节实对称矩阵的相似矩阵

2 ( p1' p2 ).
(1 2 )( p1' p2 ) 0.
1 2 , 即 1 2 0.
p1' p2 0. 即 p1与 p2 正交. 证毕.
3
返回
定理八. 设是实对称阵A的k重特征值,
那么对应与的所有特征向量中, 其最大线
性无关组所包含的向量个数恰为k.
推论. 实对称矩阵必与对角矩阵相似.
2
返回
性质2.设1 , 2是实对称阵A的两个特征值, p1, p2 是相应的特征向量, 若1 2 ,
则 p1与 p2 正交.
证明: Ap1 1 p1, Ap2 2 p2 .
1( p1' p2 ) (1 p1') p2 ( Ap1 )' p2
( p1' A') p2 p1'( Ap2 ) p1 '(2 p2 )
求出A的特征向量.
对于 1 2, 解方程组 (2E A)X 0.
2
2E
A
0
0
0 1 1
0
1 1
r1
(
1 2
)
r3 r2
1
0 0
0 1 0
0
1. 0
取同解方程组:
x1 x2
0 x3
0.
7
返回
x1 x2
0 k1
x3 k1
x1 0
x2
k1
1
.
x3 1
8
返回
0
基础解系:
1
1
.
1
对于 2 3 4, 解方程组 (4E A)X 0.
0
4E A 0 0
0 1 1

第四节实对称矩阵的相似矩阵

0 − 1 1 0 0 0 . 0 0 0
0 ⋅ x1 − x2 + x3 = 0.
9
返回
x1 = k2 x2 = k 3 x3 = k 3
x1 1 0 x = k 0 + k 1 . ⇒ 2 3 2 0 1 x3 1 0 ξ 2 = 0 , ξ 3 = 1 . 基础解系: 基础解系 0 1
4
返回
二、求正交矩阵的方法
求正交矩阵的具体步骤为: 求正交矩阵的具体步骤为
1. 求出n阶实对称阵A的所有特征值λ1 ,L , − A) x = 0, 求出A
的线性无关的特征向量 p1 , p2 , L pn
3. 将 p1 , ,pn 正交规范化得 e1 ,L , en ; L 4. 写出正交矩阵 P = (e1 ,L , en ).
12
返回
0 1 0 0 − 1 − 1 . 0 0 0
x1 = 0 取同解方程组: 取同解方程组 x2 + x3 = 0.
7
返回
x1 = 0 ⇒ x2 = k1 x3 = − k1
x1 0 x = k 1 . 1 2 − 1 x3
§4 实对称矩阵的相似矩阵
一、实对称矩阵的特征值的有关性质二、求正交矩阵的方法
1
返回
一、实对称矩阵的特征值的有关性质
a11 a 12 对称阵 A = L a 1n a12 L a1n a22 L a2 n ⇔ A' = A. L L L a 2 n L a nn
5
返回
4 0 0 例. 设 A = 0 3 1 , 求一个正交阵 P , 0 1 3 使 P −1 AP = Λ . 第一步: 求出A的所有特征值的所有特征值. 解: 第一步: 求出的所有特征值. A的特征多项式的特征多项式: 的特征多项式 0 0 λ −4 λE − A = 0 λ − 3 − 1 = (λ − 2)(λ − 4)2 . 0 −1 λ − 3

(完整版)5-3.4相似矩阵

性质2 实对称矩阵的相异特征值所属的特征向量必正交。
证设 Ap须1 证 1pp1T1 ,p2Ap02 2 p2 (1 2 ), A AT
1 p1T (1 p1 )T ( Ap1 )T p1T AT p1T A,
1 p1T p2 p1T Ap2 p1T (2 p2 ) 2 p1T p2
4 0 0
例1
解
设A 求004可13逆013阵,P求, 使 0正P交1阵A(P4P,为使P对)(1角2AP阵6为?对 8角) 阵.
E－A 0
0
3 1P
1
( q13
q
2
(q43
)
)2 (2 1
)
2,
2 3 4.
1 2 的特征向量为 q1 (0，1， 1)T ;
将 q1 (0，1， 1)T 单位化，得： p1 （0，1 ， 1 ）T .
(1 2 ) p1T p2 0
p1T p2 0 p1与p2正交。
特征值λ 的重数k ≥ λ对应的线性无关的特征向量的个数
定理8
n – R(λE-A) 个
n 阶实对称矩阵 A 的 k 重特征值 λ 所对应的线性
无关的特征向量恰有 k 个。
R (λE-A ) = n－ k
实对称矩阵A一定与对角矩阵相似
反之不真
若A 有重特征值, 不能马上断言A 是否与对角阵相似, 这时要看重根对应的特征向量. 只要 k 重特征值正好对应 k 个线性无关的特征向量即可
四、对角化的方法
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1
为对角矩阵，
即
0

§4 对称矩阵的相似矩阵

对 2 1, 解方程
x1 2 x2 0 即 2 x1 2 x3 0 2x x 0 2 3
© §4 2009, Henan Polytechnic University 对称矩阵的相似矩阵
A E x 0,
2 解之得基础解系 2 1 . 2
1616
第五章相似矩阵及二次型
1 1 1 1 1 对应于1 1，由 A E 1 1 ~ 0 0 得1 1
1 1 1 1 对应于2 3，由 A 3 E 1 1 ~ 0 0
1717
第五章相似矩阵及二次型
小结
1. 对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值． 2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量正交化；(4)最后再将特征向量单位化．
解： A为对称矩阵，可以对角化
即存在可逆矩阵及对角阵，使得P 1 AP P
即A PP
1
从而A P P
n n
1
由 A E
2 1
1 2
( 1)( 3)
得1 1, 2 3
© §4 2009, Henan Polytechnic University 对称矩阵的相似矩阵
1 1 1 1 1 1 P (1 , 2 ) 1 1 , P 2 1 1

5.4实对称矩阵的相似矩阵

1
1=5: 基础解系: P1 1
1 1
1
2=3=
1
:
基础解系:
P2
1
,
P3
0
0
1
将P2,P3正交化: 取2=P2
1
3
P3
[ 2 , P3 ] [2, 2]
2
0 1
1 2
1
1
0
1
2 1
2
1
将P1,2,3单位化,得:
e1
1
3 1
3
,
e2
那么对应于的所有特征向量中,其最大线
性无关组所包含的向量个数恰为k.
故n阶实对称矩阵必有n个线性无关的
特征向量.
推论实对称矩阵必与对角矩阵相似.
定理九若A为n阶实对称阵,则总有正交阵
P,使
1
P1AP==
2
n
其中1,2,,n是A的特征值.
二、求正交矩阵的方法
求正交矩阵的具体步骤为: (1)求出n阶实对称矩阵A的所有特征值
1
2 1
2
,
e3
1
6 1
6
1
0
2
3
6
将e1,e2,e3构成正交矩阵:
1
P
(e1 , e2
,
e3
)
3 1
3
1
3
5
有:
P 1 AP
1
1
1 2
1 2
0
1
6 1
6
2
6
定义设n阶方阵A,B,如果存在可逆矩阵P, 使得P AP=B,则称A与B相合(或合同)
相合满足反身性,对称性和传递性
§5.4 实对称矩阵的相似矩阵

5.4对称矩阵的相似矩阵

3. 将同一特征值的特征向量正交化;
4. 将全部特征向量单位化.
例9 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 P ， 1 P AP 为对角阵. 使
2 (1 ) A 2 0 2 1 2 0 2 , 0 4 (2) A 0 0 0 3 1 0 1 3
则
三、小结
作 P162
业 7 ; 9
1. 对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值． 2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量单位化；(4)最后正交化．
2 解之得基础解系 1 2 . 1
对 2 1 ,由 A E x 0 , 得
解之得基础解系
2 2 1 . 2
对 3 2 ,由 A 2 E x 0 , 得
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．定理5 对称矩阵的特征值为实数.
定理 6 设 1 , 2 是对称矩阵 A 的两个特征值 , p1 , p 2 是对应的特征向量 , 若 1 2 , 则 p 1与 p 2 正交 .
定理 7 设 A 为 n 阶对称矩阵 , 是 A 的特征方程的 r 重根 , 则矩阵 A E 的秩 R ( A E ) n r , 从而对应特征值恰有 r 个线性无关的特征向量 .
对 1 4 ,由 A 4 E x 0 , 得
2 x1 2 x 2 0 2 x1 3 x 2 2 x 3 0 2 x2 4 x3 0 x1 2 x 2 0 2 x1 2 x 3 0 2x x 0 2 3

对称矩阵的相似矩阵(精)