复变函数第五章2留数的一般理论
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复变函数第五章留数
第五章 留数
§1 孤立奇点 §2 留数
1
§5.1 孤立奇点
一、孤立奇点定义
如果函数f z在z0不解析, 但在z0的某个去心邻域
0 z z0 内处处解析, 则称z0为f z的孤 立 奇 点.
例如
1 sin
1
, z0
=
0为奇点,
但不是孤立奇点.
z
z 1 n 1,2,为奇点, n , z 0,
]
sinz
cosz
zzk
sinz sinz
z
zk
1
tgzdz
C
2i 8 1 16i
31
例4 计算 z4 sin 1 dz, C为 z 1 2.
C
z
解 奇点：z 0, 奇点类型不清楚，
•
z4
sin 1 z
z4
1 z
1 3! z3
1 5! z5
1 7! z7
z3
z 3!
1 5! z
1 7! z3
Re
s
f
z,0
c1
1 120
C
z4
sin
1 z
dz
2i
Re
s
f
z,0
60
i
32
例5 计算
C
z z4 1
dz,C为 z
2，正向.
解 显然 z 1,i 都是 f z 的一级极点，
f z ( z z0 )m z ，
其中 z在z0解析，且 z0 0，m为正整数，
则
z
为
0
f
z
的m
级
零
点.
例如 对于 f z z(z 1)3，z0 0, z0 1分别是其一级
§1 孤立奇点 §2 留数
1
§5.1 孤立奇点
一、孤立奇点定义
如果函数f z在z0不解析, 但在z0的某个去心邻域
0 z z0 内处处解析, 则称z0为f z的孤 立 奇 点.
例如
1 sin
1
, z0
=
0为奇点,
但不是孤立奇点.
z
z 1 n 1,2,为奇点, n , z 0,
]
sinz
cosz
zzk
sinz sinz
z
zk
1
tgzdz
C
2i 8 1 16i
31
例4 计算 z4 sin 1 dz, C为 z 1 2.
C
z
解 奇点：z 0, 奇点类型不清楚，
•
z4
sin 1 z
z4
1 z
1 3! z3
1 5! z5
1 7! z7
z3
z 3!
1 5! z
1 7! z3
Re
s
f
z,0
c1
1 120
C
z4
sin
1 z
dz
2i
Re
s
f
z,0
60
i
32
例5 计算
C
z z4 1
dz,C为 z
2，正向.
解 显然 z 1,i 都是 f z 的一级极点，
f z ( z z0 )m z ，
其中 z在z0解析，且 z0 0，m为正整数，
则
z
为
0
f
z
的m
级
零
点.
例如 对于 f z z(z 1)3，z0 0, z0 1分别是其一级
第5章-留数及其应用02-留数
3 留数的计算方法
例1： 解： 因为
z 1, z 2,
f (z)dz
z 3
Re s[
f
( z ), 1]
lim
z1
( ห้องสมุดไป่ตู้
1)
(z
ez 1)( z
2)
lim
z1
ez z
2
e
Re s[
f
( z ),
2]
lim
z2
( z
2)
(z
ez 1)( z
2)
lim
z2
ez z
1
e
2
解:
注： 当极点的级数高（三级或者三级以上），则计算繁杂.
第五章 留数及其应用
第二讲 留数与留数定理
主要内容
1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算方法 4. 函数在无穷远点的留数
1 留数的定义
回顾：复变函数的积分 柯西-古萨基本定理： 柯西积分公式： 高阶导数公式： 闭路变形原理：
明星公式：
2 留数定理
如果函数 f(z) 在某区域 D 内除有限个孤立奇点外处处解析， 则利用复合闭路定理可以得到留数的一个基本定理. 定理: 设 f(z) 在区域内 D 除有限个孤立奇点z1, z2,…,zn外处处解 析, C 是 D 内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向曲线, 则
f (z)dz
z 3
f (z)dz
z 2
4 函数在无穷远点处的留数
N 1
Res f (z), zk Res f (z), 0
k 1
《复变函数与积分变换》 留数—计算规则
三、在 ∞ 点的留数 定义 2.2 设 ∞ 是 f ( z ) 的孤立奇点 , 则 f ( z ) 在 R < z < +∞ 内解析 ,
C 是 R < z < +∞ 内一条简单闭
y C
O
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
R
x
定理 2.2 若 f ( z ) 在 C U {∞} 上有有限个奇点：z1 ,L , z n , ∞ , 则
1 P ( z ) , z = 0 是 f ( z ) 的 3 级极点 . z3 1
解二：把 f ( z ) 在 z = 0 点展成洛朗级数 :
z − sin z 1 = 6 z6 z = 1 3 1 5 1 7 z − z − 3! z + 5! z − 7! z + L
O
1 = − c1 . ∫ C f ( z ) dz, 则 Res f ( z ) , ∞ 2π i Ñ
× zn
f ( z ) ,∞ . = − 2π i Res
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
规则 IV Res [ f ( z ), ∞ ] = − Res f ( )
(5)
假设 z0 是 f ( z ) 的 k 级极点 , k < m ,
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
−k
+ L + c−1 ( z − z0 ) + c0 + c1 ( z − z0 ) + L
−1 m− k
( z − z0 )
0
m
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
§5.2 留 数 —— 计算规则
复变函数与积分变换5.2留数
m
f ( z )} ( m - 1)! c - 1 a ( z - z 0 )
令两端 zz0, 右端的极限是(m-1)!c-1, 两端除以(m-1)! 就是Res[f (z), z0], 即得规则2, 当 m=1时就是规则1。
规则 3
设 f ( z ) P z Q z , P (z)及 Q (z)在 z 0 都 解 析 ,
Res[ f ( z ), 0 ] lim z
z 0
e
z 2
z ( z - 1)
lim
e
z 2
z 0
( z - 1)
1.
z d e 2 R es[ f ( z ),1] lim ( z - 1) 2 ( 2 - 1)! z 1 d z z ( z - 1)
1 Q (z)
1 z - z0
( z ),
其 中 (z)在 z 0 解 析 , 且 (z 0 ) 0 . 故 z 0 为 f (z )的 一 级 极 点 .
根 据 规 则 1 , R es[ f ( z ), z 0 ] lim ( z - z 0 ) f ( z ) ,而 Q (z 0 )= 0 .
z
-1
d z 2 π i(
e 2
) 2 π i ch 1
2
我们也可以用规则3来求留数:
Res[ f ( z ),1] ze
z
2z
|
z 1
e 2
; e
-1
Res[ f ( z ), - 1]
ze
z
2z
|
z -1
2
.
这比用规则1要简单些.
例 2
f ( z )} ( m - 1)! c - 1 a ( z - z 0 )
令两端 zz0, 右端的极限是(m-1)!c-1, 两端除以(m-1)! 就是Res[f (z), z0], 即得规则2, 当 m=1时就是规则1。
规则 3
设 f ( z ) P z Q z , P (z)及 Q (z)在 z 0 都 解 析 ,
Res[ f ( z ), 0 ] lim z
z 0
e
z 2
z ( z - 1)
lim
e
z 2
z 0
( z - 1)
1.
z d e 2 R es[ f ( z ),1] lim ( z - 1) 2 ( 2 - 1)! z 1 d z z ( z - 1)
1 Q (z)
1 z - z0
( z ),
其 中 (z)在 z 0 解 析 , 且 (z 0 ) 0 . 故 z 0 为 f (z )的 一 级 极 点 .
根 据 规 则 1 , R es[ f ( z ), z 0 ] lim ( z - z 0 ) f ( z ) ,而 Q (z 0 )= 0 .
z
-1
d z 2 π i(
e 2
) 2 π i ch 1
2
我们也可以用规则3来求留数:
Res[ f ( z ),1] ze
z
2z
|
z 1
e 2
; e
-1
Res[ f ( z ), - 1]
ze
z
2z
|
z -1
2
.
这比用规则1要简单些.
例 2
复变函数 留数和留数定理讲解
另解： f1(z) 在点 z0 0 的去心邻域 0 z 内的
Laurent级数为
e
z z5
1
1 z5
1
z
1 z4
1 2! z 3
z2 2! 1
3! z 2
z3 3!
1 4! z
z4 4! 1
5!
z5 5! z
6!
z6
,6!
,
Res[ f1(z), 0] 1 ; Res[ f1(z),1] 0 于是由留数定理得积分值为
I1 2i[1 0] 2i
20
(2)
I2
z 2
esin z dz z 2 (z 2 1)
解： f2 (z) esin z [z 2 (z 2 1)] 在圆 z 2 的内部有一
2 当z0为f(z)=g(z-z0) 的孤立奇点时，若 g 为偶
函数，则f(z)在点z0的留数为零.
3 若z0为f(z) 的一级极点，则有
Re
s
f
(
z),
z0
lim
zz0
(
z
z0
)
f
(
z)
4 若z0为f(z) 的m级极点，则对任意整数 n m有
Re s
f (z), z0
个二级极点 z 0和两个一级极点 z i ,
于是利用留数的计算规则 2 和 1得
Res[
f
2
(
z
),0]
lim
z 0
(
ze2sinz1)
lim
高等数学课件-复变函数与积分变换 第五章 留数 §5.2 用留数定理计算实积分
§5.2 用留数定理计算实积分
引言
在实际问题中，往往会遇到求一些实 积分的值，计算比较复杂。但是，如果把 它们化为复变函数的积分，运用留数定理 计算可能要简捷的多。
首先，被积函数必须要与某个解析函 数密切相关。
其次，定积分的积分域是区间，而用 留数来计算要牵涉到把问题化为沿闭曲线 的积分。
一、形如
积分限化为从 到 ，又显然 lim f z 0 z
于是积分属于上述类型，可由（2.4）式计算
f z 可写成
f z
1 z2 a2
2
z
ia
1
2
z
ia
2
易见，f z 在上半平面只有一个二级极点
z ia，计算 f zeipz在 z ia 点的留数
Re s f
z eipz ,ia
Re s
f
z eiz , 2i
lim z
z2i
2i
f
z eiz
zeiz
1
lim
z2i z 2i
z2 1
6e2
Re
s
f
z eiz ,i
lim z
zi
i
f
z eiz
lim
zeiz
1
zi z2 4 z i 6e
将所得留数代入（2.5）式得：
I
xsin x dx
(x2 4)(x2 1)
奇点？在实轴上是否无奇点？
c．等式 lim zf z 0 是否成立？ z
（2）计算 f z在上半平面奇点处的留数，
然后代入上述公式就得结果。显然结果必然
是实数，如果是复数，说明计算有误。
例2.3计算积分
x2
I
x2 1 2 dx
引言
在实际问题中，往往会遇到求一些实 积分的值，计算比较复杂。但是，如果把 它们化为复变函数的积分，运用留数定理 计算可能要简捷的多。
首先，被积函数必须要与某个解析函 数密切相关。
其次，定积分的积分域是区间，而用 留数来计算要牵涉到把问题化为沿闭曲线 的积分。
一、形如
积分限化为从 到 ，又显然 lim f z 0 z
于是积分属于上述类型，可由（2.4）式计算
f z 可写成
f z
1 z2 a2
2
z
ia
1
2
z
ia
2
易见，f z 在上半平面只有一个二级极点
z ia，计算 f zeipz在 z ia 点的留数
Re s f
z eipz ,ia
Re s
f
z eiz , 2i
lim z
z2i
2i
f
z eiz
zeiz
1
lim
z2i z 2i
z2 1
6e2
Re
s
f
z eiz ,i
lim z
zi
i
f
z eiz
lim
zeiz
1
zi z2 4 z i 6e
将所得留数代入（2.5）式得：
I
xsin x dx
(x2 4)(x2 1)
奇点？在实轴上是否无奇点？
c．等式 lim zf z 0 是否成立？ z
（2）计算 f z在上半平面奇点处的留数，
然后代入上述公式就得结果。显然结果必然
是实数，如果是复数，说明计算有误。
例2.3计算积分
x2
I
x2 1 2 dx
复变函数 第五章留数
F(t)
c
n
t
n
cnt
n
(2)
n 1
n0
第五章 留数
相应地规定：如果 t = 0 是 F(t) 的可去奇点、m 级极点或本
性奇点，则称z 是 f (z) 的可去奇点、m 级极点或本性奇点。
将式（1）写成
f
(z)
c
n
z
n
c0
cn zn
(3)
n 1
n 1
将式（2）写成
F(t)
cn t n
c0
cnt
( n 0, 1, 2, , m 1)
f
(m) (z0 ) m!
a0
0
故必有 f (z) cm (z z0 )m cm1(z z0 )m1 cm2 (z z0 )m2
(z z0 )m[cm cm1(z z0 ) cm2 (z z0 )2 ]
(z z0)m (z)
根据 0 z z0 内 f (z) 的 Laurent 级数的不同，孤立奇点 分为三种类型。
第五章 留数
1、可去奇点
如果 Laurent 级数中不含 z z0 的负幂项，孤立奇点 z0 称为 f (z) 的可去奇点。
即
c0 c1(z z0 ) cn (z z0 )n
在 0 z z0 内收敛于 f (z) 。
lim f (z)
zz0
或
lim f (z)
z z0
第五章 留数
如果 f (z)以 z0为其孤立奇点，则下列四个条件是等价的。 它们中的任何一条都是 m 级极点的特征：
（1） f (z) 在以 z0 点为中心的去心邻域内的 Laurent 级数只 有有限多个 z z0 的负幂项；
复变函数之留数定理
∫ f
( z )在a点的留数：Res [
f
(z), a]
=
a−1
=
1
2π
i
f (ζ )dζ ，
C
它是f (z)在a的充分小去心邻域内洛朗展式中 z−1a 的系数。
故∫C f (ζ )dζ = 2π i Res[ f (z), a]，
C：在a的使f (z)解析的去心邻域K 内 < 任一条围绕 a 的正向闭路。
第五章 留数及其应用
留数是复变函数又一重要概念，有着非常广泛的应用.
5.1 留数定理
一 、留数的定义和计算
设 a 是 f (z) 的孤立奇点， 则∃δ > 0,使得
f (z)在K : 0 < z − a < δ 解析，f (z)在K内可展为洛朗级数：
∑+∞
f (z) =
an(z − a)n,
n=−∞
留数定理(P103定理1)：设f (z)在闭路C上解析， y
C
∫ ∑ 在C内部除n个孤立奇点a1, a2 ,, an外解析,则 n
a1 C1 a2 C2
C
f (z)d z
=
2π
i Res f (z), ak 。
k =1
0 a3 C3
证明 ∀k =1, 2,n, 以ak为圆心作充分小的圆周Ck ,
an Cn
x
使得C1,C2 ,,Cn都在C 的内部,且它们彼此完全分离(如图)。
由多连通区域柯西积分定理和留数定义得
n
n
∫ ∑ ∫ ∑ C
f (z)d z =
k =1
Ck
f (z)d z = 2π i Res f (z), ak 。#
k =1
数学物理基本方法5.2留数
应用留数定理求解微分方程
通过构造合适的复变函数，将微分方程的求解转化为复平面上留数 的计算。
典型例题的解析
例题1
例题3
求解一阶常系数线性微分方程。通过 构造指数形式的复变函数，利用留数 定理求解。
求解带有初值条件的一阶非线性微分 方程。通过构造满足初值条件的复变 函数，利用留数定理进行求解。
例题2
计算实轴上的定积分
利用留数定理，可以将某些实 轴上的定积分转化为复平面上 的围道积分，从而简化计算过 程。
计算围道上的线积分
对于某些围道上的线积分，可 以通过计算围道内奇点的留数 之和来得到积分结果。
判断函数的解析性
如果一个函数在某区域内解析 ，那么该函数在该区域内的任 意闭曲线上的积分为零。利用 留数定理可以判断一个函数是 否在某区域内解析。
留数定理的应用举例
计算实函数的定积分
通过构造复变函数，将实函数的定积分转化为复变 函数的线积分，再利用留数定理计算。
计算复变函数的线积分
对于某些特殊的复变函数，可以直接利用留数定理 计算其在某条曲线上的线积分。
解决物理问题
在物理学中，许多问题可以通过构造复变函数并应 用留数定理来解决，如计算电场、磁场等物理量的 分布。
求解二阶常系数齐次线性微分方程。 通过构造多项式形式的复变函数，利 用留数定理求解。
06
总结与展望
本文工作总结
研究背景
介绍了数学物理基本方法5.2留数 的研究背景和意义，了本文的主要研究内容， 包括留数的定义、性质、计算方法 和应用等方面的研究。
研究结果
通过洛必达法则，可以将求留数的问题转化为求导数的问题，从 而简化计算过程。
其他方法
幂级数展开法
当函数$f(z)$在奇点$z_0$处可以展开为幂级数时，可以通过幂级数的系数来计算留数。具体地，如果 $f(z) = sum_{n=0}^{infty} a_n (z - z_0)^n$，则留数可以表示为$text{Res}[f(z), z_0] = a_{-1}$，即幂 级数中$(z - z_0)^{-1}$的系数。
通过构造合适的复变函数，将微分方程的求解转化为复平面上留数 的计算。
典型例题的解析
例题1
例题3
求解一阶常系数线性微分方程。通过 构造指数形式的复变函数，利用留数 定理求解。
求解带有初值条件的一阶非线性微分 方程。通过构造满足初值条件的复变 函数，利用留数定理进行求解。
例题2
计算实轴上的定积分
利用留数定理，可以将某些实 轴上的定积分转化为复平面上 的围道积分，从而简化计算过 程。
计算围道上的线积分
对于某些围道上的线积分，可 以通过计算围道内奇点的留数 之和来得到积分结果。
判断函数的解析性
如果一个函数在某区域内解析 ，那么该函数在该区域内的任 意闭曲线上的积分为零。利用 留数定理可以判断一个函数是 否在某区域内解析。
留数定理的应用举例
计算实函数的定积分
通过构造复变函数，将实函数的定积分转化为复变 函数的线积分，再利用留数定理计算。
计算复变函数的线积分
对于某些特殊的复变函数，可以直接利用留数定理 计算其在某条曲线上的线积分。
解决物理问题
在物理学中，许多问题可以通过构造复变函数并应 用留数定理来解决，如计算电场、磁场等物理量的 分布。
求解二阶常系数齐次线性微分方程。 通过构造多项式形式的复变函数，利 用留数定理求解。
06
总结与展望
本文工作总结
研究背景
介绍了数学物理基本方法5.2留数 的研究背景和意义，了本文的主要研究内容， 包括留数的定义、性质、计算方法 和应用等方面的研究。
研究结果
通过洛必达法则，可以将求留数的问题转化为求导数的问题，从 而简化计算过程。
其他方法
幂级数展开法
当函数$f(z)$在奇点$z_0$处可以展开为幂级数时，可以通过幂级数的系数来计算留数。具体地，如果 $f(z) = sum_{n=0}^{infty} a_n (z - z_0)^n$，则留数可以表示为$text{Res}[f(z), z_0] = a_{-1}$，即幂 级数中$(z - z_0)^{-1}$的系数。
复变函数第五章
C
这是由于 z 0 为f ( z ) 的孤立奇点而使积分 ∫ f ( z )dz 留下”的值 “留下”
11
定义: 的孤立奇点， 定义 设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内的洛朗级数中负 称为f 在 留数， 幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为 (z)在 z0 的留数，记作 Res [f (z), z0] 或 Res f (z0)。 。 由留数定义, 由留数定义 Res [f (z), z0]= c–1 (1)
z2 z4 z 2n sin z (1) = 1 − + − L + ( −1) n +L z 3! 5! ( 2n + 1)!
特点：没有负幂次项 特点：
e z 1 +∞ z n +∞ z n −1 1 z z n −1 ( 2) = ∑ = ∑ = + 1+ +L+ +L z z n = 0 n! n = 0 n! z 2! n!
1 把扩充z平面上 平面上∞ 作变换 w = 把扩充 平面上∞的去心邻域 R<|z|<+∞映射成扩充 ∞ z w平面上原点的去心邻域： <| w |< 1 . 平面上原点的去心邻域： 平面上原点的去心邻域 0 R 1
又 f ( z ) = f ( ) = ϕ ( w) .这样 我们可把在去心邻域 这样, 这样 我们可把在去心邻域R<|z|<+∞对f (z)的研 ∞ 的研 w 1 的研究.显然 究变为在 0 <| w |< 1 内对ϕ (w)的研究 显然ϕ (w)在 0 <| w |< 内解 的研究 在 R R 所以w=0是孤立奇点 是孤立奇点. 析, 所以 是孤立奇点 在无穷远点 ∞ lim f ( z ) = lim ϕ ( w ) ⇒ f (z)在无穷远点 z=∞ 的奇点类型
这是由于 z 0 为f ( z ) 的孤立奇点而使积分 ∫ f ( z )dz 留下”的值 “留下”
11
定义: 的孤立奇点， 定义 设 z0 为 f (z) 的孤立奇点， f (z) 在 z0 邻域内的洛朗级数中负 称为f 在 留数， 幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为 (z)在 z0 的留数，记作 Res [f (z), z0] 或 Res f (z0)。 。 由留数定义, 由留数定义 Res [f (z), z0]= c–1 (1)
z2 z4 z 2n sin z (1) = 1 − + − L + ( −1) n +L z 3! 5! ( 2n + 1)!
特点：没有负幂次项 特点：
e z 1 +∞ z n +∞ z n −1 1 z z n −1 ( 2) = ∑ = ∑ = + 1+ +L+ +L z z n = 0 n! n = 0 n! z 2! n!
1 把扩充z平面上 平面上∞ 作变换 w = 把扩充 平面上∞的去心邻域 R<|z|<+∞映射成扩充 ∞ z w平面上原点的去心邻域： <| w |< 1 . 平面上原点的去心邻域： 平面上原点的去心邻域 0 R 1
又 f ( z ) = f ( ) = ϕ ( w) .这样 我们可把在去心邻域 这样, 这样 我们可把在去心邻域R<|z|<+∞对f (z)的研 ∞ 的研 w 1 的研究.显然 究变为在 0 <| w |< 1 内对ϕ (w)的研究 显然ϕ (w)在 0 <| w |< 内解 的研究 在 R R 所以w=0是孤立奇点 是孤立奇点. 析, 所以 是孤立奇点 在无穷远点 ∞ lim f ( z ) = lim ϕ ( w ) ⇒ f (z)在无穷远点 z=∞ 的奇点类型
复变函数留数和留数定理
THANKS
感谢观看
理论支撑
复变函数留数和留数定理是数学领域 中非常重要的概念，它们在复分析、 积分方程、特殊函数等领域有着广泛 的应用。留数定理是解决复积分问题 的重要工具，它可以用来计算复平面 上的曲线积分，解决物理和工程领域 中的许多问题。
留数的计算方法包括直接法、参数法 和级数展开法等。其中，直接法是最 常用的方法，通过将函数在奇点附近 进行泰勒展开，然后利用展开式计算 留数。参数法和级数展开法则适用于 某些特殊情况，如函数具有特定的对 称性或周期性等。
2πi f(z0)，其中z0是该开域内的点。
应用范围
02 柯西积分公式适用于解析函数，即在其定义域内可微
的函数。
特殊情况
03
当z0是奇点时，柯西积分公式不适用。
积分定理和路径的选取
积分定理
如果f(z)在包含z0的开
域内解析，则对于该开
域内的任何两个点z1和
z2，有∫f(z)dz
=
∫f(z)dz + f(z2)(z1-
留数定理是复分析中的核心定理之一 ，它建立了奇点、积分和留数之间的 联系。通过留数定理，我们可以将复 杂的积分问题转化为相对简单的留数 计算问题，从而简化计算过程。此外 ，留数定理还可以用来研究函数的奇 点性质和函数在无穷远点的行为等。
对未来研究和应用的展望
深入研究留数定理
应用领域的拓展
尽管我们已经对留数定理有了较为深 入的了解，但仍有许多未解决的问题 和需要进一步研究的方向。例如，对 于具有更复杂奇点的函数，如何更准 确地计算留数？如何利用留数定理解 决更广泛的积分问题？这些都是值得 探讨的问题。
02
复变函数基础知识
复数及其运算
复数
复变函数第五章留数学习方法指导
第五章 留数留数（Residue ）理论是复积分理论和复级数理论相结合的产物，它既是复积分问题的延续，又是复级数应用的一种体现，它对复变函数论本身以及实际应用都有着重要的作用．例如，它能给复积分的计算提供一种有效的方法，能为解析函数的零点和极点的分布状况的研究提供一种有效的工具．另外，它还能为数学分析中一些复杂实积分的计算提供有效地帮助．本章，我们首先引进孤立奇点处留数的定义，利用洛朗展式建立留数计算的一般方法——洛朗展式法，以及各类孤立奇点处留数计算的更细致的方法．在此基础上，再建立反映复变函数沿封闭曲线积分与留数之间密切关系的留数定理，从而有效地解决“大范围”积分计算的问题．其次，介绍留数定理的两个方面的应用．一方面建立利用留数定理计算数学分析中某些定积分和反常积分的计算方法，另一方面建立讨论区域内解析函数的零点和极点分布状况的有效方法，即幅角原理与儒歇定理．一．学习的基本要求1．掌握函数在其孤立奇点处的留数的概念以及函数在孤立奇点处的留数计算的一般方法，即洛朗展式法．注意函数在有限孤立奇点处的留数和孤立奇点∞处的留数在定义方面的差异以及罗郎展式法方面的差异．并能熟练地运用洛朗展式法求函数在其孤立奇点处的留数． 2．熟练掌握函数在各类有限孤立奇点处的留数的具体计算方法以及孤立奇点∞处留数的的两种具体计算方法：洛朗展式法：1Res ()z f z β-=∞=-，其中1β-为()f z 在∞处的洛朗展式中1z 的系数．化为有限点处的留数：2011Res ()Res()z z f z f z z=∞==-． 3．了解有限可去奇点处的留数与可去奇点∞处的留数的差异，理解为什么函数在可去奇点∞处的留数一般不一定为零？4．掌握留数定理以及含∞的留数定理（即留数定理的推广），并能熟练地运用它们计算函数沿封闭曲线的积分．能用留数定理导出第3章中的柯西定理和柯西积分公式，从而正确地认识为什么留数定理可以看成柯西定理和柯西公式的统一．5．了解利用留数计算实积分的基本思想或基本原理：通过适当方法将实积分转化为适当复变函数沿封闭曲线的积分．熟悉将实积分转化为适当复变函数沿适当封闭曲线的积分的两种途径：途径一：通过适当变量替换． 途径二：作适当补充路径．6．熟悉补充积分路径计算积分时，常用的如下三个引理：引理0 设函数()f z 在角形闭区域上连续，且lim ()z z Dz f z A →∞∈⋅=，记 0{,}R z z z R z D Γ=-=∈，R Γ的方向是逆时针，则21lim()d ()RR f z z i A θθΓ→+∞=-⎰．［提示］利用积分的估值性，并注意到0lim()()z z Dz z f z A →∞∈-=，2101d ()Rz i z z θθΓ=--⎰以及00210()()()()()d ()d d RRR z z f z A z z f z Af z z i A z z z z RθθΓΓΓ------=≤-⎰⎰⎰．引理1 设函数()f z 在闭区域:D 1020arg()z z θθπ≤≤-≤≤，00r z z ≤-<+∞上连续，记0{,}R z z z R z D Γ=-=∈，0m >，R Γ的方向是逆时针，若lim ()0z z Df z →∞∈=，则lim()d 0Rimz R f z e z Γ→+∞=⎰．［提示］利用积分的估值性，并注意到其中用到了约当不等式：当02πθ≤≤时，2sin θθθπ≤≤．引理2 设函数()f z 在圆环形闭区域:D 1020arg()2z z θθπ≤≤-≤≤，000z z r ≤-≤上连续，记0{,}r z z z r z D Γ=-=∈，r Γ的方向是逆时针，且00lim()()z z z Dz z f z A →∈-=，则210lim ()d ()rr f z z i A θθ+Γ→=-⎰．［提示］利用积分的估值性，并注意到2101d ()rz i z z θθΓ=--⎰，以及 00210()()()()()d ()d d rrrz z f z A z z f z Af z z i A z z z z rθθΓΓΓ------=≤-⎰⎰⎰．7．熟练掌握以下几种类型的实积分利用留数来计算的方法① 形如20(cos ,sin )d R πθθθ⎰或(cos ,sin )d R ππθθθ-⎰的积分，其中(cos ,sin )R θθ是三角有理函数，且分母函数在[0,2]π或[,]ππ-上恒不为零． 特别，当(cos ,sin )R θθ是偶函数时，还可考虑积分(cos ,sin )d R πθθθ⎰．注意：● 当被积函数是2cos θ或2sin θ的有理函数时，可先用公式21cos (1cos 2)2θθ=+或21sin (1cos 2)2θθ=-降次，再计算．● 当被积函数是(cos ,sin )cos R m θθθ⋅或(cos ,sin )sin R m θθθ⋅时，可利用欧拉公式将积分先化为 再计算．② 形如()d R x x +∞-∞⎰的反常积分，其中()R x 为实有理函数．特别，当()R x 是偶函数时，还可考虑积分()d R x x +∞⎰．注意：此类型的积分的柯西主值（P .V.值）用留数来计算时，可分两种情况补充积分路径● 当()R x 的分母在上恒不为零时，可用以原点为心半径充分大的上半圆周作为补充路径．● 当()R x 的分母在上仅有一阶零点时，可用以原点为心充分大的正数R 为半径的上半圆周和以()R x 在上的一阶零点为心充分小的正数ε为半径的上半圆周作为补充路径．③ 形如()d imxR x e x +∞-∞⋅⎰或()cos d R x mx x +∞-∞⋅⎰或()sin d R x mx x +∞-∞⋅⎰的反常积分，其中()R x 为实有理函数，0m >．特别，当()R x 是偶函数时，还可考虑积分0()cos d R x mx x +∞⋅⎰；当()R x 是奇函数时，也可考虑积分()sin d R x mx x +∞⋅⎰．注意：此类型的积分的柯西主值（P .V.值）用留数来计算时，可分两种情况补充积分路径● 当()R x 的分母在上恒不为零时，可用以原点为心半径充分大的上半圆周作为补充路径．● 当()R x 的分母在上仅有一阶零点时，可用以原点为心充分大的正数R 为半径的上半圆周和以()R x 在上的一阶零点为心充分小的正数ε为半径的上半圆周作为补充路径．④ 被积函数含有因子ln x ，x α注意：此类型的积分的柯西主值（P .V.值）用留数来计算时，常选择相应多值函数的支割线的两沿以及单独围绕各支点的适当圆周作为补充积分路径． 8．理解对数留数1()d 2()C f z z i f z π'⎰的几何意义，掌握对数留数的计算公式．并掌握下面的一个结论：若0z 是函数()f z 的m 阶零点或m 阶极点，则0z 必为()()f z f z '的一阶极点，且当0z 是函数()f z 的m 阶零点时，0()Res()z z f z m f z ='=； 当0z 是函数()f z 的m 阶极点时，0()Res()z z f z m f z ='=-． 9．正确理解幅角原理与儒歇定理的条件和结论，并能熟练地运用幅角原理和儒歇定理来讨论区域内函数的零点和极点的分布情况或者方程根的分布情况．10．附：孤立奇点处留数的常用计算方法；合理使用留数定理计算复积分的技巧；补充积分路径利用留数计算实积分的基本思路；用儒歇定理讨论解析函数在有界区域内零点的个数的思路．●孤立奇点处留数的常用计算方法我们仅对函数的孤立奇点才定义留数，对有限孤立奇点处的留数的计算归纳起来，主要有下面的三种常用方法，① 洛朗展式法，即若()f z 在其孤立奇点a 的去心邻域0z a R <-<内的罗郎展式为 则1Res ()z af z c -==，其中1c -是罗郎展式中1z a-这一项的系数。
复变函数 第五章 留数
f ( z) 1 ( z z0 )
m
g ( z ) ， ） （
其中 g (z) = cm+ cm+1(zz0) + cm+2(zz0)2 +... , 在 |zz0|<d 内是解析的函数, 且 g (z0) 0 . 反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为(*)的形式, 且 g (z0) 0 时, 则z0是 f (z)的m级极点.
c0=c1=...=cm1=0, cm0, 这等价于
f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m1), f (m)(z0)0 。
例如 z=1是f (z)=z31的零点, 由于 f '(1) = 3z2|z=1=3 0,
从而知 z=1是f (z)的一级零点.
由于f (z) = (zz0) m j (z)中的j (z)在z0解析, 且j (z0)0, 因
4.函数的零点与极点的关系
不恒等于零的解析函数 f (z)如果能表示成
f (z) = (zz0) m j (z), 其中j (z)在z0解析且j (z0) 0,
m为某一正整数, 则z0称为f (z)的m级零点.
例如当 f (z)=z(z1)3时, z=0与z=1是它的一级与三级零点.
根据这个定义, 我们可以得到以下结论:
例 3 对 m Z 讨论函数
m 0 : z 0 为解析点；
f (z)
e 1
z
z
m
在 z 0 处的性态。
m 1 : z 0 为可去奇点；
2 m m 1 1 z z z m 1 : f (z) m z 2! m! ( m 1 )! z
C C1 C2 Cn
m
g ( z ) ， ） （
其中 g (z) = cm+ cm+1(zz0) + cm+2(zz0)2 +... , 在 |zz0|<d 内是解析的函数, 且 g (z0) 0 . 反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为(*)的形式, 且 g (z0) 0 时, 则z0是 f (z)的m级极点.
c0=c1=...=cm1=0, cm0, 这等价于
f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m1), f (m)(z0)0 。
例如 z=1是f (z)=z31的零点, 由于 f '(1) = 3z2|z=1=3 0,
从而知 z=1是f (z)的一级零点.
由于f (z) = (zz0) m j (z)中的j (z)在z0解析, 且j (z0)0, 因
4.函数的零点与极点的关系
不恒等于零的解析函数 f (z)如果能表示成
f (z) = (zz0) m j (z), 其中j (z)在z0解析且j (z0) 0,
m为某一正整数, 则z0称为f (z)的m级零点.
例如当 f (z)=z(z1)3时, z=0与z=1是它的一级与三级零点.
根据这个定义, 我们可以得到以下结论:
例 3 对 m Z 讨论函数
m 0 : z 0 为解析点；
f (z)
e 1
z
z
m
在 z 0 处的性态。
m 1 : z 0 为可去奇点；
2 m m 1 1 z z z m 1 : f (z) m z 2! m! ( m 1 )! z
C C1 C2 Cn
复变函数留数.ppt
ze z
例1
计算积分
C
z
2
1
d
z
,
C
为正向圆周|z|=2.
[解]
由于
f (z)
z ez z2 1 有两个一级极点+1,1,
而这两个极点都在圆周|z|=2 内, 所以
C
ze z z2 1d
z
2π
i{Res[
f
(z),1]
Res[
f
(z),1]}.
由规则1, 得
Res[
f
( z ),1]
lim (z
则
1 cosmx
I
dx
2 5 4 cosx
命
I1
cosmx dx
5 4 cosx
I2
sin mx dx
5 4 cos x
I1 iI2
e imx
dx
5 4 cos x
设 z eix ，则
I1
iI2
1 i
z
1
5
z
zm 2(1
z
2
)
dz
i
zm dz
2 z 1 (z 1 )(z 2)
2、留数的求法
求函数在奇点a处的留数即求它在以z0为中 心的圆环域内洛朗级数中c-1(z-a)-1项的系数 即可. 如果a是f(z)的可去奇点, 则Res[f(z),a]=0, 如 果a是本性奇点, 则没有太好的办法, 只好将 其按洛朗级数展开。 如果a是极点, 则有一些对求c-1有用的规则.
留数的计算规则 规则1 如果a为f(z)的一级极点, 则
Res[
f
( z ),1]
Res[ f (z),i] Res[ f (z),i]}
复变函数-5.2 留数
R [f( e z ) ,0 s ] 0 .
10
§5.2 留数
第 五 章 解 z0是 f (z) 的本性奇点，
留 数
将 f (z) 在 z0的去心邻域内洛朗展开，有
及 其 应
f(z)(1z)e1z (1z)(11 z2 !1 z23 !1 z3)
用
(11)1,
2! z
R[ef(sz),0]3. 2
11
§5.2 留数
第
五
章 解 z1是 f (z) 的本性奇点，
留
数
将 f (z) 在 z0的去心邻域内洛朗展开，有
及 其
f(z)z2cos 1 (z11)2cos1
应
z1
z1
用
[(z 1 )2 2 (z 1 ) 1 ](1 2 !(z 1 1 )2 4 !(z 1 1 )4 )
(21) 1 ,
用
1 z(1 z z2 )(1 1 z 2 !1 z2 )
1(1111),
z
2! 3!
R [fe (z ),s 0 ] (1111)e.
2! 3! 13
§5.2 留数
第
五
章 解 方法一 利用洛朗展式求留数
留 数
将 f (z) 在 z0的去心邻域展开，得
及
其 应
f(z)z 1 6[z (z 3 1 !z3 5 1 !z5 7 1 !z7 )]
方法二 利用高阶导数公式求解
I2πi 1lim (ez1) πi .
2!z 0 24
§5.2 留数
z 1
z1
sin2 z2
z
sin21.
I 2 π i ( R [ f ( z ) e ,0 ] s R [ f ( z ) e , 1 ] ) s 2πisin21.
复变函数第五章 留数理论及其应用
由规则3
P( z) z 1 = 3= 2, Q ( z ) 4 z 4z
此法在很多情况下此法更为简单.
z dz , C为正向圆周: z = 2 . 例5 计算积分 4 z 1 C z 在 z = 2 的外部, 除 点外没有 解 函数 4 z 1
其他奇点. 根据定理 5.2与规则4: z z 4 1 dz = 2iRes f ( z ), C 1 1 = 2iRes f 2 ,0 z z z = 0. = 2iRes , 0 4 1 z
k =1
n
C
Res[ f ( z ), zk ] f ( z )dz = 2i k =1
= 2iRes[ f ( z ), ].
n
(留数定理)
计算积分
C
f ( z )dz
计算无穷远点的留数.
优点: 使计算积分进一步得到简化. (避免了计算诸有限点处的留数)
3.在无穷远点处留数的计算 •规则4
z = 0是p( z )的 三 级 零 点 , 是f (z)的三级极点。
1 z sin z z sin z 由规则2 Re s ,0 = lim " 6 3 z (3 1)! z0 z
若将f ( z )作Laurent级数展开 :
z sinz 1 1 3 1 5 = 6 [ z ( z z z )] 6 z z 3! 5! 1 1 11 = 3 3! z 5! z
1 故 Re s[ f ( z ), z0 ] = c1 = f ( z )dz 2i c
( 2)
二、利用留数求积分
1. 留数定理 设函数 f(z)在区域D内除有限个孤立奇点
复变函数第五章2留数的一般理论
注：C的反方向正好是包含的闭曲线的正方向。
(对于C上任意一点P沿此方向在C上前进
时, 始终在点P的左方.)
f (z)在R z 内的罗朗展开式
f (z) c1z 1 c0 c1z
1
2i C f (z)dz c1 (利用柯西定理及例3.6)
1
Res[f (z),] 课件2i C f (z)dz
(
ez z2
1)
z
1
f (z)在R z 内的罗朗展开式
zn 1
f (z)
n0
n! z2
1 1 1 z z 2! 3!
ez 1
Re s[ z2 , ] 1
课件
20
定理5.6 如果函数f (z)在扩充复平面内除有限个孤立奇点
z1, z2, , zn , 外处处解析，那么 f (z)在所有各奇点（包括点)的留数的总和必等于零.
2
解 z 0为被积函数的一阶极点，z 1为二阶极点
且 z 0, z 1都在C内。 根据留数定理
C
ez z(z 1)2 dz
2i{Res ez
Res[ f (z),0] lim
z0 z(z
[f (z),0] Re
1)2 z 1
s[
f
(
z),1]}
Res[
f
(z),1]
(2
1 1)!
lim
1
2i
f (z) dz
c
为f (z)在孤立奇点z0 的留数，记作 Res[ f (z), z0 ]
其中，C : z z0 r R
c1 Res[ f (z), z0 ]
f (z)在z0去心邻域上罗朗级数中负幂项 c1 (z z0 )1的系数。
复变函数第五章2留数的一般理论
2020/6/3
1 !z idz
1 4 e12
定理5.5(留数定理） 设D是复平面上一个有界闭区域，
若函 f(z)数 在区 D内 域除有限个 z1,z2,孤 ,zn立 外 处 奇处 点解
且它D 在的边C界上也解析n ，则
f(z)d z2iRefs(z)[,zk].
C
k1
证明：分别z围 1,z2, 绕 ,zn构造小c1的 ,c2,圆 ,cn 周
z0是 f(z)的一阶 zi极 是 f(z)的 点二 ，阶
Re f(zs )0 [,]lifm (z)z z 0
lim
z0
eiz (z2 1)2
1
Rfe(z)si],[1lid m {f(z)(z i)2}
1 !z idz
d
eiz
lim { zi dz z(z
i)2}
3 4e
类似地，Rfe (z)s ,i] [1lim d{f(z)(z i)2 }
z0
f(z)在z0的去心 0邻 z域 上的罗朗级数
1
(fn( z0)zn11z)e(zzn 0n1z!1(11z)zn)e 1z(z zz 2 (n 0zz3 n ) (n) 01 ( n 1!1 z( 1z)2 1 n!)z 1 2 3 1 !z 1 3 )
z1的系数 c1
1 2!
解：ez在z 0的去心邻域内的罗 数朗 为级 ：
1
ez
1 (1)n
n0 n! z
ce1 zd zc {n 0n 1 !(1 z)n}d zc { 11 z2 !1 z2 }d z
2i
2020/6/3
2
二.留数定义
（一般情 计形 算） 积 cf(z分 )d， z 其 c为 中 z0去心邻
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P( z0 ) Q( z0 )
是P(z)的0阶零点 z0是f (z)的一阶极点。
Res[ f (z), z0] 规则III
lim
zz0
f
(z)(z z0 ) P(z0)
Q( z0 )
lim
z z0
P(z) Q(z) (z z0)
lim
z z0
P(z) Q(z) Q(z0)
z z0
设z0为f
Re s[ f (z), z1] Re s[ f (z), zn ] Re s[ f (z), ] 0
证明: 在扩充复平面内，构造圆周C : z R， 使 z1, z2 , , zn 包含在C内, 根据留数定理得
C f (z)dz 2i{Re s[ f (z), z1] Re s[ f (z), zn ]}
1
2i
f (z) dz
c
为f (z)在孤立奇点z0 的留数，记作 Res[ f (z), z0 ]
其中，C : z z0 r R
c1 Res[ f (z), z0 ]
f (z)在z0去心邻域上罗朗级数中负幂项 c1 (z z0 )1的系数。
例1 ：
计算 Res [
z(z
1
1)2
,1]
解：在z 1的去心邻域0 z 1 内罗朗级数为：
解： e z 在z 0的去心邻域内的罗朗级数为：
1
ez
1 (1)n
n0 n! z
1
ez
c
dz
{
1 (1)n} dz
c n0 n! z
11
{1
c
z
2! z 2
} dz
2课件 i
2
二.留数定义
（一般情形） 计算积分 c f (z) dz，其中c为z0去心邻域
内围绕z0的任意一条正向简单闭曲线
z1
(z
1 1)5
(z
1 1)4
(z
1 1)3
z 1 1
Res[
z(z
1 1)2
,1]
0
课件
6
3
例2：计算f (z) ze z 在z 0处留数；
3
解： ze z 在z 0的去心邻域内罗朗级数为：
3
ze z z
1 ( 3)n z 3 32
33
n0 n! z
2!z 3!z 2
Res[ze
z1
z1
1
C
ze z 1 z
dz
2i{Re
s[
f
(
z),0]
Re
s[
f
(z),1]}
4i
课件
18
四、无穷远点
设f (z)在R z 内解析，称 1 f (z)dz为f (z)
在点的留数，记为
2i C
1
Res[f (z),]
f (z)dz
2i C
其中，C为圆环域R z 内的圆周 z r R
若函数f
( z )在区域D内除有限个孤立奇点z1 ,
z2 ,
,
z
外
n
处
处解析，
且它在D的边界C上也解析，则
n
f (z)dz 2i Res[f (z), zk ].
C
k 1
证明：分别围绕z1, z2 , , zn 构造小的圆周c1, c2 , , cn
f
(z)在由C,c1, c2 ,
,
cn所围成
的区域上解析，根据定理3.2
c1
19
例子:
求函数f (z)
ez 1 在扩充复平面上各个奇点处的留数。 z2
解: f (z)在扩充复平面上的孤立奇点z 0,z ,
( f (z)在的去心邻域R z 解析）
z 0是f (z)的一阶极点
（z 0是(ez 1)的一阶零点，是z2的二阶零点）
Re
s[
e
z z2
1
,0]＝lim z0
k为偶数
11
eiz 2) f (z) z(z2 1)2
解 z 0, z i为孤立奇点
z 0为z(z2 1)的一阶零点 z i为z(z2 1)2的二阶零点 eiz在z 0,i处不为零。
z 0是f (z)的一阶极点，z i是f (z)的二阶极点
eiz
Res[ f
(z),0]
lim
预备知识
例题3.6
dz
2πi
c(z z0 )n1 0
n n
0 ,
0
C
:围绕z0的任意闭曲线。
柯西定理:
f (z)在以简单闭曲线C为边界的有界闭区域D上解析，
则 C f (z)dz 0
课件
1
5.2 留数的一般理论
5.2.1 留数的定义及计算
一。引例
1
计算积分 e z dz,其中c为z 0的去心邻域内围绕z 0 c 的任意一条正向简单闭曲线。 1
z0
f
(z)
z
lim
z0
(z2
1)2
1
Res[ f (z),i] 1 lim d { f (z) (z i)2}
1! zi dz
lim
zi
d
eiz
{
dz z(z
i)2 }
3 4e
类似地，Res[
f
(z),i]
1 1!
l课im件
zi
d dz
{
f
(z)
(z
i)2}
1 412e
定理5.5(留数定理） 设D是复平面上一个有界闭区域，
f
是 cosz的一阶零点
2
0,1, 为f (z)的一阶极点,
(z)(z zk )
lim
z zk
z zk cos z
lim
z zk
1 (cos
z)'
1
1
sin z |zzk 1
k为奇数 （洛比塔法则）
k为偶数
或
1
1
Res[ f (z), zk ] (cosz)'|课z件zk 1
k为奇数
2
解 z 0为被积函数的一阶极点，z 1为二阶极点
且 z 0, z 1都在C内。 根据留数定理
C
ez z(z 1)2 dz
2i{Res ez
Res[ f (z),0] lim
z0 z(z
[f (z),0] Re
1)2 z 1
s[
f
(
z),1]}
Res[
f
(z),1]
(2
1 1)!
lim
1 2!
1 3!
1
4!
课件 n 0
1 n!
2
(
n0
zn )
n!
z1
2 e 17
2
Re s[ f (z),0] c1 e 2
1
z 1是 f (z) ze z 的一阶极点
1 z
1
(z 1，是(1 z)的一阶零点，是ze z的0阶零点）
1
Re s[ f (z),1] lim f (z)(z 1) lim (ze z ) e
于是
c1 (z z0 )m1 c0 (z z0 )m c1 (z z0 )m1
d m1 dz m1
[
f
(z)( z
z0 )m ]
c1 (m 1)!c0 (z
z0 )m
2
c1
1 lim
(m 1)! zz0
d m1 dz课m件1
[
f
(z)( z
z0 )m ]
9
特别：1)若z0 是f (z)的一阶极点时，则
C1
e
z
(z z
1)2
dz
C2
(
ez z
z 1)2
dz
2i(
(z
ez 1)2
)
|z0
2i
1!
ez (
z
)' |z 1
2i
注：留数定理的计算结果与第三章的结果相同.
思考题
g(z)
z0为f
(
z
)的m阶极
点,
f (z)dz
C
且在C的内部
高阶导数公式 留数定理
课件
f (z)
(z z0 )m
16
z0
f (z)在 z 0的去心邻域0 z 上的罗朗级数
1
ze z f (z)
1 z
( zn1) (
n0
n0
z 1 1
1 (1 n! z
z )n
1
ez
)
(
z zz
(
2
z
n0
z3
n)
(
1 n0 n! )(1
( 1 z
1 )n ) z 1
2!
1 z2
1 3!
1 z3
)
z 1的系数c1
z 0为孤立奇点
z 0的去心邻域上的罗朗级数为
f
(z)
z3 (sin 1)5 z
z3
(1 z
1 3!
1 z3
)5
z 1项不存在
Res[ f (z),0] 0
特别：z0 是f (z)的可去奇点时(罗朗展开式中不含负幂项）
Res[ f (z), z0 ] 0 课件
8
2. 极点处留数的计算
如果z0是f (z)的m阶极点，则
(
ez z2
1)
z
1
f (z)在R z 内的罗朗展开式
zn 1
f (z)
n0
n! z2
1 1 1 z z 2! 3!
ez 1
Re s[ z2 , ] 1