统计量的分布
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63常用统计量的分布
§6.3常用统计量的分布一、样本均值的分布1、单个正态总体下的样本均值的分布2、两个正态总体下的样本均值的分布3、非正态总体下的样本均值的近似分布二、-分布1、分布定义2、分布的性质3、分布的典型模式4、分布的上α分位点2χ2χ2χ2χ2χ三、t-分布1、t 分布的定义2、t(n)的性质3、t(n)的典型模式4、t(n)分布的上α分位点四、F-分布1、F分布的定义2、F分布的性质3、F分布的典型模式4、F分布的上α分位点五、正态总体样本均值与样本方差的分布1、单个正态总体下样本均值与样本方差的分布2、两个正态总体下样本均值差与样本方差比的分布)2.3(1)(1)1()(1)(1)1()(,,,2,1,)(,)(,,,1)1.3(),(~11,,,,),,(1.31222121112212121212n n nX D n X n D X D n nX E n X n E X E n i X D X E X X X X nN X n X nX n X X X X X N X n i i n i i n i i n i i i i n ni i ni i n σσµµσµσµσµσµ=⋅====⋅========∑∑∑∑∑∑======于是有相互独立同分布，故与：由于注的正态分布，即，方差为服从均值为值的一个样本，则样本均为来自服从正态总体设总体定理本均值的分布、单个正态总体下的样一、样本均值的分布"""这点处。
望取值几乎集中在数学期时且当高的集中程度远比总体要的取值于即倍的方差的的方差却只是但有相同的数学期望与由上述可知注µµX n X nX X X X ,,,1,,:2∞→212(1,0.2),,,,,{0.9 1.1}0.95?n X N n X X X X P X n ≤<≥"例 设总体服从正态分布从中抽取容量为的样本欲使样本均值满足不等式试求样本容量最小应为取多大2110.2:~(1,)1.110.910.95{0.9 1.1}0.20.2()()2()1222ni i X X N nnP X n n n n n==⎛⎞⎛⎞−−≤≤<=Φ−Φ⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠=Φ−Φ−=Φ−∑解由题设知故0.951()0.975; 1.96,15.3664222,16n n n n +Φ≥=≥≥即查表得故因此样本容量最少应取。
统计量及其分布
2 最小，其中c为任意给定常数。 ( x x ) i
样本均值的抽样分布 (例题分析)
【例】设一个总体含有4 个个体，分别为X1=1、X2=2、 X3=3 、X4=4 。总体的均值、方差及分布如下。
总体均值和方差
总体的频数分布
X
i 1
N
i
N
N
2.5
2
2 ( X ) i i 1
0.02 0 2 1 0.1
21 Φ0.2
0.8414
(4) 样本 k 阶(原点)矩
1 n k Ak X i , k 1, 2, ; n i 1
1 n k 其观察值 k x i , k 1, 2, . n i 1
n n 1 2 1 2 2 E( S ) E X i nX (Xi X ) E n 1 i 1 n 1 i 1
2
1 n 2 2 E ( X i ) nE ( X ) n 1 i 1 2 1 n 2 2 2 ( ) n 2 n 1 i 1 n
n
k 1
n
2
2
n
,
定理 设总体X的期望E(X) = ,方差D(X) = 2，X1， X2，…，Xn为总体X的样本， X，S2分别为样本均值 和样本方差，则
E( X ) E( X )
D( X ) 2 D( X ) n n
E( S 2 ) D( X ) 2
思考：在分组样本场合，样本均值如何计算？ 二者结果相同吗？
x1 f1 x n f n 其中 x n
样本均值的抽样分布 (例题分析)
【例】设一个总体含有4 个个体，分别为X1=1、X2=2、 X3=3 、X4=4 。总体的均值、方差及分布如下。
总体均值和方差
总体的频数分布
X
i 1
N
i
N
N
2.5
2
2 ( X ) i i 1
0.02 0 2 1 0.1
21 Φ0.2
0.8414
(4) 样本 k 阶(原点)矩
1 n k Ak X i , k 1, 2, ; n i 1
1 n k 其观察值 k x i , k 1, 2, . n i 1
n n 1 2 1 2 2 E( S ) E X i nX (Xi X ) E n 1 i 1 n 1 i 1
2
1 n 2 2 E ( X i ) nE ( X ) n 1 i 1 2 1 n 2 2 2 ( ) n 2 n 1 i 1 n
n
k 1
n
2
2
n
,
定理 设总体X的期望E(X) = ,方差D(X) = 2，X1， X2，…，Xn为总体X的样本， X，S2分别为样本均值 和样本方差，则
E( X ) E( X )
D( X ) 2 D( X ) n n
E( S 2 ) D( X ) 2
思考：在分组样本场合，样本均值如何计算？ 二者结果相同吗？
x1 f1 x n f n 其中 x n
统计量的分布
S12
2 1
S22
2 2
~
F(n1 1, n2 1)
U—分布 正态总体样本均值的分布
设总体 X ~ N , 2 ， X1, X2,..., Xn 是 X 的一
个样本, 则样本均值服从正态分布
U
X
1 n
n i1
Xi
~
N
0,1
n n
X
1 n
n i 1
Xi
~
N
,
2
n
2 ——分布
量和样本方差；且两个样本相互独立，则统计量
证明
S12 S22
由已知条12件知22
~
F(n1 1, n2 1)
且(n相1 互112独)S立12 ，~由F2(n分1 布 1的),定义(n有2
1)S22
2
2
~
2(n2
1)
(n1 1)S12
2 1
(n2 1)S22
2 2
(n1 1) (n2 1)
在附表5、6、7中所列的值都比较小，当 较大
时，可用下面公式
F1(n1, n2)
1 F(n2, n1)
例如，F0.99(18, 2)
1 F0.01(2,18)
1 6.01
≈0.166
F 分布的双侧分位数
称满足条件
P F
F12(n1, n2)
P F
F 2
(n1,
n2)
2
的F 1
2
(n1,
n2),
P{ X x 2} ,
则称 x
为X分布的双侧分位数或双侧临界值.
2
y
如图.
2
2
x 2 O x 2 x
三大抽样分布(1)概率论与数理统计习题 概率论与数理统计)
x2 x2
~ F (1,1)
4. 正态总体的样本均值与样本方差的分布
正态总体 N ( , 2 ) 的样本均值和样本方差
有以下两个重要定理.
定理一
设 X1, X 2, , X n 是来自正态总体N (, 2 )
的样本, X 是样本均值, 则有
(1) X ~ N (, 2 / n).即 X ~ N (0,1)
样本, X , S 2 分别是样本均值和样本方差, 则有
X ~ t(n 1).
S/ n
证明
因为 X ~ N (0,1), / n
(n 1)S 2
2
~ 2(n 1),
且两者独立, 由 t 分布的定义知
X (n 1)S 2 ~ t(n 1). / n 2(n 1)
n
2
πn
1
n 2
1
t2 n
n1 2
,
t
t 分布的概率密度曲线如图
显然图形是关于
t 0对称的.
当 n 充分大时, 其
图形类似于标准正
态变量概率密度的
图形. 因为lim h(t)
1
t2
e 2,
n
2π
所以当 n 足够大时 t 分布近似于 N (0,1) 分布,
1,
因为 1 F
~ F (n2 , n1 ),
所以
P
1 F
F1
(n2
,
n1
)
1
,
比较后得
F1
(n2 ,
统计量及其分布
思考题
设 X1, X2 , … , Xn 是取自正态总体 N (, 2 ),
的一个样本，求 E( XS 2 ) ?
定理 2 设 X1, X2 , … , Xn 是取自正态总体 N (, 2 )
的样本，X 和S 分别为样本均值和样本均方差，则有
1) X ~ N(0, 1); / n
2) X ~ t(n 1).
nx 2 ];
③ s
1 n 1
n i 1
( xi
x )2
;
④
ak
1 n
n i 1
xik ,
k 1, 2
;
⑤ bk
1 n
n
(xi x )k ,
i 1
k
1, 2
.
例1 设总体X 的期望为 E(X ) , 方差为 D(X ) 2 其样本为 X1, X2, , Xn , 求E(X ), D(X ), E(S 2) .
为t分布的上 分位点。
t1 (n) t (n)
若 0.5,直接查表;若 0.5, t (n) t1 (n).
当 n 45 , t (n) z .
(3) F-分布
设随机变量X与Y相互独立，且 X ~ 2 (n1), Y ~ 2 (n2 ),
则随机变量
F
X Y
/ n1 / n2
所服从的分布是自由度为 (n1, n2 )
~
F (2,
2)
作 业 17
P137: 4 P147: 4
1.6664.
解：因为
(n 1)
2
S
2
~ 2(n 1)
15S 2
2
~ 2(15)
P
S
2 2
1.6664
正态总体统计量的分布
§5.5 正态总体统计量的分布1. 单个正态总体的统计量的分布从总体X 中抽取容量为n 的样本n X X X ,,,21 ，样本均值与样本方差分别是()212111,1∑∑==--==n i i n i i X X n S X n X . 定理1 设总体X 服从正态分布()2,σμN ，则样本均值X 服从正态分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nN 2,σμ,即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n N X 2,~σμ证 因为随机变量n X X X ,,,21 相互独立，并且与总体X 服从相同的正态分布()2,σμN ，所以由§4。
3中的定理知，它们的线性组合X 服从正态分布⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nN 2,σμ。
定理2 设总体X 服从正态分布()2,σμN ，则统计量nX u σμ-=服从标准正态分布()1,0N ，即()1,0~N nX u σμ-=由定理1结论的标准化即得到定理2. 定理3 设总体X 服从正态分布()2,σμN ,则统计量()∑=-=ni iX X12221σχ服从自由度为n 的2χ分布，即()()n X Xni i21222~1χσχ∑=-=证 注意到()2,~σμN X i ，则()n i N X i ,,2,1 ,1,0~ =-σμ又上述统计量相互独立，并按照2χ分布的定义可得结果。
定理4 设总体X 服从正态分布()2,σμN ，则 （1）样本均值X 与样本方差2S 相互独立； (2）统计量()2221σχS n -=服从自由度为1-n 的2χ分布，即()()1~12222--=n S n χσχ证明略。
定理5 设总体X 服从正态分布()2,σμN ，则统计量nSX t μ-=服从自由度为1-n 的t 分布，即()1~--=n t nSX t μ证 由定理2知，统计量()1,0~N nX u σμ-=又由定理4知，统计量()()1~12222--=n S n χσχ因为X 与2S 相互独立，所以u 与2χ也相互独立,于是根据t 分布的定义得结论。
§1.4 顺序统计量的分布
§1.4 顺序统计量≤≤≤=1212(1)(2)()1212()()(1)(2)()12(,,,) (,,,),(,,,)(,,,),(1,2,,), (,,,)(,,1.4.1 ,n n n n n k k n X X X X x x x x x x X X X x x x X x k n X X X X X 设是从总体中抽取的一个样本,是其一个观测值将观测值按由小到大的次序重新排列为一、顺序统计量的定义当取值为时定义取值为由此得到的称为样本 定义(1)(2)()) (,,,)..n n X x x x 的对应的成为其顺序统计量观察值≤≤≤≤===-称为样本的特别地，称为 称为 称为由于每个都是样本的函数，所以都是随机变量第个顺序统计量最小顺序统计量最大顺序统计量. 一般它们不相互独立.设总体的分布为样本极差.例1注：： ()12(1)1()1()()(1)()12(1)(2)():(,,,)min .max .(,,,),,,.k n i i nn i i nn n k n n X X X X X X X X R X X X X X X X k X X X 仅取的离散均匀分布，其分布列为0, 1, 2----=--<<<=-><=-≤-=-+-=---⎰设总体分布为为样本，则的联合密度函数为 令 由可以推出 则该分布参例数为 12(1)()21,()(1)(1)()122(0,1),,,,(,)(,)(1)(),0 1.,001()(1)[3()](1)(1).(1n n n n n n r n R n X U X X X X X f y z n n z y y z R x x R X X R R f r n n y r y dyn n r r n 的贝塔分布.,2)。
统计量的分布
=0 n
n
(Xi X)Xi nX
i1
i1
这表明，当这个n个正态随机变量中有n-1个取值给定时，剩下
2
(
n
) 的值只与有关.
例如，当n=21，=0.05时，由附表可查得
02.05(21) 32.67 即 P2 (2 1 ) 3 2 .6 7 0 .0 5 .
2分布的双侧分位数
的把数满足12P 2( n),2 22(1 2 n )2称(n 为) 2f分(P x布) 的2 双 侧 2 2 分(n 位) 数2
查表 x 0 时 ， (x ) 的 值 可 以 查 表
x 0 时 , ( x ) 1 (x )
例 X ~N(0,1)
P （ 1X2） ( 2 ) ( 1 ) 0 . 9 7 7 2 0 . 8 4 1 3 0 . 1 3 5 9 P （X1） ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 0 . 8 4 1 3 0 . 1 5 8 7
P{Xx2},
则称 x
为X分布的双侧分位数或双侧临界值.
2
y
如图.
2
2
x 2 O x 2 x
标准正态分布的分位数
在实际问题中， 常取0.1、0.05、0.01.
常用到下面几个临界值：
u0.05 =1.645， u0.05/2=1.96，
u0.01 =2.326 u0.01/2=2.575
2分布的数学期望与方差
设 2～ 2(n)，则E( 2)=n，D( 2)=2n.
2分布的可加性
设 1 2~2 (n 1 ),
2 2~2 (n 2),
且
2 1
统计量及其分布ppt课件
图5.1.1 SONY彩电彩色浓度分布图q
表5.1.1 各等级彩电的比例(%)
等级
I
|X-m|<5/3
II
III
5/3<|X-m|<10/3 10/3 <|X-m|<5
IV
|X-m|>5
美产 33.3 33.3 33.3
0
日产 68.3 27.1 4.3
0.3
抽样 ：
5.1.2 样本
要了解总体的分布规律，在统计分析工作中，往往 是从总体中抽取一部分个体进行观测，这个过程称为抽 样。样本
x 344 344 x 347 347 x 351 351 x 355
x 355
由伯努里大数定律：
第25页
两点分布，只要 n 相当大，Fn(x)依概率收敛于F(x) 。
更深刻的结论：格里纹科定理
定理5.2.1 设 x1,x2,L,xn 是取自总体分布函数为F(x) 的样本F，n ( x ) 为其经验分布函数，当n 时，有
若以 p 表示这堆数中1的比例（不合格品率）， 则该总体可由一个二点分布表示：
X01 P 1p p
比如：两个生产同类产品的工厂的产品 的总体分布：
例5.1.2 在二十世纪七十年代后期，美国消费者购买
日产SONY彩电的热情高于购买美产 SONY彩电，原因何在？
原因在于总体的差异上！
➢ 1979年4月17日日本《朝日新闻》刊登调查报 告指出N(m, (5/3)2)，日产SONY彩电的彩色浓 度服从正态分布，而美产SONY彩电的彩色浓 度服从(m5 , m+5)上的均匀分布。
元件数 4 8 6 5 3 4 5 4
寿命范围 (192 216] (216 240] (240 264] (264 288] (288 312] (312 336] (336 360] (360 184]
统计量及其分布..
但实际中，情况往往并非如此，一个随机现象所
服从的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概
型，但是其中的某些参数是未知的。
例 5.0.1
某公司要采购一批产品，每件产品不
是合格品就是不合格品，但该批产品总有一 个不合格品率 p 。由此，若从该批产品中随 机抽取一件，用 X 表示这一件产品的不合格 数，不难看出 X 服从一个二点分布 b ( 1 , p ) ， 但分布中的参数 p 是不知道的。一些问题：
表5.2.1 例5.2.2 的频数频率分布表 组序 分组区间 组中值 频数 频率 (%) 1 (147，157] 152 4 0.20 2 (157，167] 162 8 0.40 3 (167，177] 172 5 0.25 4 (177，187] 182 2 0.10 5 (187，197] 192 1 0.05 合计 20 1 累计频率 20 60 85 95 100
样；其中样本中所包含的个体数量称为样本容量。样本
中的个体称为样品。
5.1.2 样本
样本具有两重性：
• 一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽 取前无法预知它们的数值，因此，样本是随机 变量，用大写字母 X1, X2, …, Xn 表示；
• 另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的 观测值，因此，样本又是一组数值。此时用小 写字母 x1, x2, …, xn 表示是恰当的。 在本书中，无论是样本还是其观测值，样本一般均用 x1, x2,… xn 表示，大家要注意从上下文中加以识别。
§5.1
总体与个体
在数理统计中，把研究对象的全体称为总体 （population)或母体，而把组成总体的每个单元
称为个体。
总体的三层含义：
• 研究对象的全体； • 数据； • 分布
服从的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概
型，但是其中的某些参数是未知的。
例 5.0.1
某公司要采购一批产品，每件产品不
是合格品就是不合格品，但该批产品总有一 个不合格品率 p 。由此，若从该批产品中随 机抽取一件，用 X 表示这一件产品的不合格 数，不难看出 X 服从一个二点分布 b ( 1 , p ) ， 但分布中的参数 p 是不知道的。一些问题：
表5.2.1 例5.2.2 的频数频率分布表 组序 分组区间 组中值 频数 频率 (%) 1 (147，157] 152 4 0.20 2 (157，167] 162 8 0.40 3 (167，177] 172 5 0.25 4 (177，187] 182 2 0.10 5 (187，197] 192 1 0.05 合计 20 1 累计频率 20 60 85 95 100
样；其中样本中所包含的个体数量称为样本容量。样本
中的个体称为样品。
5.1.2 样本
样本具有两重性：
• 一方面，由于样本是从总体中随机抽取的，抽 取前无法预知它们的数值，因此，样本是随机 变量，用大写字母 X1, X2, …, Xn 表示；
• 另一方面，样本在抽取以后经观测就有确定的 观测值，因此，样本又是一组数值。此时用小 写字母 x1, x2, …, xn 表示是恰当的。 在本书中，无论是样本还是其观测值，样本一般均用 x1, x2,… xn 表示，大家要注意从上下文中加以识别。
§5.1
总体与个体
在数理统计中，把研究对象的全体称为总体 （population)或母体，而把组成总体的每个单元
称为个体。
总体的三层含义：
• 研究对象的全体； • 数据； • 分布
5.3统计量及其分布
例题1
现从离散均匀分布的总体中抽取容量为3的样本。 求有序统计量 x ( 1 ) , x ( 2 ) , x ( 3 ) 的分布列。 有序统计量既不相互 独立，又不同分布 X p 2 1/27 0 1/3 1 1/3 2 1/3
x(1)
p
0 19/27
1 7/27
2.单个次序统计量的分布
• • • • 定理： 设总体X的密度函数为p(x)，分布函数为F(x) x1 , x 2 , L x n 为样本，则第k个次序统计量 x (k ) 的密度函数为
1.样本偏度
b3 γ1 = 2 3 b2
• 样本偏度反映了总体分布密度函数的对称性， • 当r1=0时，样本对称 • 当r1<0时，样本左尾长；当r1>0时，样本右尾长
2.样本峰度
b4 γ2 = 2 −3 b2
•样本峰度反映了总体分布密度曲线在其峰值 附近的陡峭程度。 •当r2<0时，曲线为平顶型； •当r2>0时，曲线为尖顶型 作业：268页16
2 i 2 i 2 i 2 i 2 2 i
2
2.性质
• 定理 设总体X具有二阶矩， x1 , x 2 , L x n 为总体 • 得到的样本，其中 E ( x) = µ Var ( x) = σ 2 < +∞
则E ( x) = µ
分析
2
Var ( x) =
σ
2
n
2
E (s ) = σ
2
2
1 E ( s ) = E[ ( xi − x) 2 ] ∑ n -1
四、次序统计量及其分布
• 1、定义 x • 设 x1 , x 2 ,L xn 是取自总体X的样本，(i ) 称为该样 本的第i个次序统计量。 • 最小次序统计量 最大次序统计量 从小到大排列后的有序样本
顺序统计量的分布
它通常用于描述一组数据的分布特征， 如最大值、最小值、中位数等。
顺序统计量的特点
顺序性
顺序统计量按照数据的大小顺序排列，具有明确的顺 序关系。
唯一性
对于一组数据，其顺序统计量是唯一的，不会因数据 排列顺序的改变而改变。
简单易得
顺序统计量计算简单，容易获取，不需要复杂的数学 模型和计算过程。
顺序统计量的应用场景
独立样本假设检验
顺序统计量可以用于独立样本假设检验中， 通过比较两组独立样本的差异，判断两组样 本是否来自同一总体。
在决策分析中的应用
风险决策分析
顺序统计量可以用于风险决策分析中，通过比较不同方案的风险 和收益，选择最优方案。
贝叶斯决策分析
顺序统计量可以用于贝叶斯决策分析中，通过比较不同方案的期 望收益和风险，选择最优方案。
3
应用场景
顺序统计量分布广泛应用于统计学、数据分析、 风险管理和可靠性工程等领域，用于描述和分析 数据的概率分布特征。
03
CHAPTER
常见顺序统计量的分布
正态分布下的顺序统计量
总结词
正态分布下的顺序统计量呈现钟形曲 线，其概率密度函数为正态分布。
详细描述
在正态分布中，所有数据都围绕均值 对称分布，顺序统计量也不例外。随 着数据点在均值附近的增加，其出现 的概率也相应增加。
顺序统计量与参数和统计量的比较
顺序统计量是根据数据大小排列的数值，而参数和统计量则是基于数据计算得出的数值。
与其他统计量的联系与区别
联系
顺序统计量和总体及样本统计量都是描 述数据特征的数值，它们都可以用来描 述数据的分布情况、中心趋势和离散程 度等。
VS
区别
顺序统计量只关注数据的大小排列，不涉 及数据的具体数值；而总体和样本统计量 则更注重数据的具体数值和分布情况。
顺序统计量的特点
顺序性
顺序统计量按照数据的大小顺序排列，具有明确的顺 序关系。
唯一性
对于一组数据，其顺序统计量是唯一的，不会因数据 排列顺序的改变而改变。
简单易得
顺序统计量计算简单，容易获取，不需要复杂的数学 模型和计算过程。
顺序统计量的应用场景
独立样本假设检验
顺序统计量可以用于独立样本假设检验中， 通过比较两组独立样本的差异，判断两组样 本是否来自同一总体。
在决策分析中的应用
风险决策分析
顺序统计量可以用于风险决策分析中，通过比较不同方案的风险 和收益，选择最优方案。
贝叶斯决策分析
顺序统计量可以用于贝叶斯决策分析中，通过比较不同方案的期 望收益和风险，选择最优方案。
3
应用场景
顺序统计量分布广泛应用于统计学、数据分析、 风险管理和可靠性工程等领域，用于描述和分析 数据的概率分布特征。
03
CHAPTER
常见顺序统计量的分布
正态分布下的顺序统计量
总结词
正态分布下的顺序统计量呈现钟形曲 线，其概率密度函数为正态分布。
详细描述
在正态分布中，所有数据都围绕均值 对称分布，顺序统计量也不例外。随 着数据点在均值附近的增加，其出现 的概率也相应增加。
顺序统计量与参数和统计量的比较
顺序统计量是根据数据大小排列的数值，而参数和统计量则是基于数据计算得出的数值。
与其他统计量的联系与区别
联系
顺序统计量和总体及样本统计量都是描 述数据特征的数值，它们都可以用来描 述数据的分布情况、中心趋势和离散程 度等。
VS
区别
顺序统计量只关注数据的大小排列，不涉 及数据的具体数值；而总体和样本统计量 则更注重数据的具体数值和分布情况。
数理统计-第一章 统计量及其分布
太原理工大学 景英川
第一章 统计量及其分布
太原理工大学 景英川
第一章 统计量及其分布
但在实际中,在样本量特别大时 (如 n≥100 ),又常用分组样本来代替完 全样本,这时需要对样本进行分组整理， 它能简明扼要地表示样本,使人们能更 好地认识总体,这是分组样本的优点。
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第一章 统计量及其分布
则 Fn (x)是一非减右连续函数，且满足 Fn (-∞) =0, Fn (+ ∞)=1 由此可见， Fn (x)是一个分布函数，称 Fn (x)为经验分 布函数。 太原理工大学 景英川
第一章 统计量及其分布
1.6 某食品厂生产听装饮料，现从生产线上随机 抽取 5 听饮料，称得其净重为（单 位：克） 351 347 355 344 351 这是一个容量为 5 的样本，经排序可得有序样本：
而若第一次抽到的是合格品,则第二次抽到不合格品 的概率为
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第一章 统计量及其分布
显然，如此得到的样本不是简单随 机样本。但是，当 N 很大时，我们可 以看到上述二种情 形的概率都近似等 于 p。所以当 N 很大，而 n不大（一个 经验法则是 ）时可以把 该样本近似地 看成简单随机样本。
从总体中抽取样本可以有不同的抽法,为了能 由样本对总体作出较可靠的推断,就希望 样本能很 好的代表总体。这就需要对抽样方法提出一些要 求,最常用的"简单随机抽样”有 如下二个要求： （1）样本具有随机性，即要求总体中每一个个体 都有同等机会被选入样本，这便意味着每一样品xi 与总体X有相同的分布。 （2）样本要有独立性，即要求样本中每一样品的 取值不影响其它样品的取值，这意 味着x1， x2, …,xn 相互独立。
第一章 统计量及其分布
统计量的分布——抽样分布及其性质
$
$0
首先根据数学期望和方差的性质有4
(
+
=A
7
AB$
中国人民大学出版社!)%$6!1& '(( 蔡则元&三大抽样分布的理解与具体性质' :( &数
0
(
0
接下来对 学学习与研究 + + + 4
=A 7%E
=A 7E
=A 7()
AB3
AB$
AB3
曲天尧关于对统计推断中抽样分布的总结及判 (
,l%很显然该概率密度服从指数分布 因此) 分布为参 数7$ 的指数分布从而指数分布是作为一种特殊的)
)
根据函数的性质可得 槡 即自由
G/HF
-'
-
' 7
$
>8') )
)
度- 充分大时'-分布近似于正态分布
分布
对于'分布 给定常数 % jj$ 满足条件
科教论坛
!"#!$%&$'(') *+&,-./&$01$21(3$&)%)(%)%$3
科技风 年 月
统计量的分布
抽样分布及其性质
赵红妮
西安思源学院基础部!陕西西安!+#""""
摘4要数理统计是以概率论为基础的一个数学分支它从实际观测的数据出发研究随机现象的规律性 本文基于 正态分布的基础上研究三大抽样分布) 分布'分布和<分布的概念及性质图像结合例题对抽样分布做出更深一层的 理解与应用
关键词随机变量抽样分布正态分布
44概率论中假定随机变量的分布是在已知的基础上研 究随机变量的性质以及数字特征&而在现实生活中要研究
应用数理统计—顺序统计量的分布
x0 x
f (x)
证明：考虑“第k个次序统计量 X(k) 落入很小的区间 (x, x+x]内”这一事件的概率。记X(k) 的分布函数为 Fk(x)。则该概率为Fk(x +x)- Fk(x)。
另外，该事件等价于“容量为n的样本X1,X2,…,Xn中
有k-1个分量小于或等于x，1个分量落入(x, x+x]内，余 下的n-k个分量大于x+x。
为f(x). X1, X 2,..., X n 是取自X的样本。则最小次
序统计量 X(1) 的概率密度函数为
f1(x) n[1 F(x)]n1 f (x)
分布函数为
F1(x) 1[1 F(x)]n
例4 设某型号电子元件的寿命 X 服从参数为的指
数分布，X1,…,Xn是对X 进行n次独立观测的寿命。 求n次观测中（1）最大寿命小于b的概率；（2）最
例5 设X1, X2,…, Xn是取自[0, 1]上均匀分布的样本 ，求第 k 个次序统计量 X(k) 的数学期望。
解：由于
由定理知，X(k) 的概率密度为 于是有
, X2,…, Xn是取自该总体的样本。则(X(1), X(n))的联 合密度函数为
小寿命大于a的概率。(a>0, b>0)
解：由于
F(x) 1 ex , x 0
所以，最大次序统计量 X(n) 的分布函数为
于是
Fn (x) [F (x)]n [1 ex ]n , x 0
P( X(n) b) Fn (b) [1 eb ]n
例4 设某型号电子元件的寿命 X 服从参数为的指
数分布，X1,…,Xn是对X 进行n次独立观测的寿命。 求n次观测中（1）最大寿命小于b的概率；（2）最
课件-数理统计与多元统计 第一章 数理统计的基本概念 1.4统计量的分布
一 样本均值的分布 二 χ2-分布 三 t-分布 四 F-分布 五 正态总体样本均值与样本 方差的分布
1 1
一、样本均值的分布
1、单个正态总体下的样本均值的分布
定理1.4.1 设总体X 服从正态总体N (, 2 ), X1, X2 ,
L
, Xn ,为来自X的一个样本，则样本均值X
1 n
n i 1
t0.99 (48),
t0.05 (15),
2
t0.05 (15) 1.753, t0.95 (15) t0.05 (15) 1.753,
t0.01(48) 2.33, t0.99 (48) t0.01(48) 2.33,
t 0.05 (15) 2.131
2
27
四、F-分布
1、F分布的定义 定义1.4.5 若随机变量X的密度函数为
F
X Y
n1 n2
~
F (n1 , n2 )
即F服从自由度为n1, n2的F分布F (n1, n2 )。
31
4、 F分布的上分位点 定义1.4.6 对于给定的正数，0 1, 称满足条件
P{F (n1, n2 ) F (n1, n2 )}
的F (n1, n2 )为F分布的上 分位点。
注：由F分布性质可知
表以供查阅。
例如
2 0.05
(26)
38.885
2 0.95
(26)
15.379
19
注2： 2分 布 表 一 般 只 列 到n 45， 对 于n 45时 ， 由 中 心 极 限 定 理 ， 可 得 2分 布 的 上分 位 点2 (n)
的近似值为
2 (n) 12（z 2n 1)2
其中z为N (0,1)的上分位点。
1 1
一、样本均值的分布
1、单个正态总体下的样本均值的分布
定理1.4.1 设总体X 服从正态总体N (, 2 ), X1, X2 ,
L
, Xn ,为来自X的一个样本，则样本均值X
1 n
n i 1
t0.99 (48),
t0.05 (15),
2
t0.05 (15) 1.753, t0.95 (15) t0.05 (15) 1.753,
t0.01(48) 2.33, t0.99 (48) t0.01(48) 2.33,
t 0.05 (15) 2.131
2
27
四、F-分布
1、F分布的定义 定义1.4.5 若随机变量X的密度函数为
F
X Y
n1 n2
~
F (n1 , n2 )
即F服从自由度为n1, n2的F分布F (n1, n2 )。
31
4、 F分布的上分位点 定义1.4.6 对于给定的正数，0 1, 称满足条件
P{F (n1, n2 ) F (n1, n2 )}
的F (n1, n2 )为F分布的上 分位点。
注：由F分布性质可知
表以供查阅。
例如
2 0.05
(26)
38.885
2 0.95
(26)
15.379
19
注2： 2分 布 表 一 般 只 列 到n 45， 对 于n 45时 ， 由 中 心 极 限 定 理 ， 可 得 2分 布 的 上分 位 点2 (n)
的近似值为
2 (n) 12（z 2n 1)2
其中z为N (0,1)的上分位点。
6.2.常用统计量及抽样分布
1.
(n 1) S 2
2
~ 2 (n 1)
2. X 与 S 2 独立。 定理三 设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体N ( , 2 ) 的样本，X 是样
X ， S 2 分别是样本均值和样本方差， 则有
X S/ n ~ t (n 1)
定理四 设 X 11,,X 22,,,X nn 与Y11,,Y22,,,,Ynn 是来自正态总体 N ((11,, 1212))和 N Y 是来自正态总体 N 和 设 X X , X 与Y Y 2 ) 和 N ( 2 , 2 ) 的样本，且这两个样本相互独立。设 n 1 1 n1 X i 1 X i , Y i 1 Yi 分别是这两个样本的均值； n2 n1 n 1 1 n1 2 2 2 S2 (Yi Y ) 2 S1 i1 ( X i X ) , n21 1 i 1 n1 1 分别是这两个样本的样本方差， 则有
则称随机变量
[(n1 n 2 ) / 2](n1 / n 2 ) n1 / 2 y ( n1 / 2 ) 1 , y0 ( y ) (n1 / 2)(n 2 / 2)[1 (n1 y / n 2 )]( n1 n2 ) / 2 0, 其它
其图形如右图所示
U / n1 F V / n2 服从自由度为 ((n1 ,,n 22)的2)) 服从自由度为 n1 n )的F 分布，记为 F ~ F n1 n
F (n1 , n 2 ) 分布的概率密度为
2 2 设 U ~ ( n1 ), V ~ (n 2 ), 且U , V 独立，
1 0.357 2.80
二、抽样分布定理
定理一 设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体N ( , 2 ) 的样本，X 是样 本，X 是样本均值，则有 X ~ N ( , 2 / n) 定理二 设 X 1 , X 2 , , X n 是来自正态总体N ( , 2 ) 的样本，X 是样 X ， S 2 分别是样本均值和样本方差， 则有
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3准则
X~N(,2)
X的取值几乎都落入以为中心，以3为半径 的区间内。这是因为：
P 3 X 3 ( 3 ) ( 3 )
( 3 ) [ 1 ( 3 ) ] 2 ( 3 ) 1 0 . 9 9 7 4
F(x) 0.9974
X3
是小概率事件
3
3
概率分布的分位数(分位点)
2
(n1)
X Sn T~t(n1)
定理3 设(X1，X2，…，Xn1)和(Y1，Y2，…，Yn2) 分别
t 分布的数学期望与方差
设T～t (n)，则E(T)=0，D(T)= nn2. (n2)
定理2
设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体
X～N( ， 2)的样本，则统计量
TX~t(n1)
Sn
证 由于 X 与S 2相互独立，且
UXn ~ N(0,1),
(n1)S2
2
~2(n1)
由定义得
X
n
(n1)S2
的一个样本, 则称统计量 2X1 2X2 2LXn 2服从自
由度为n的 2 分布，记作 2 ~ 2(n)
自由度是指独立随机变量的个数， df n
2 ( n ) 分布的密度函数为
f
(y)
2n
1
2n
2
yn
e 21 y
2,
y0
0,
y0
(n1)n!
2 ( n ) 分布密度函数的图形
f(y)
0.5 0.4
解 成绩X服从 N ,2
PX90120.0228 PX60830.1588
526
526
录取率为 155 0.2947
526
可得 P X 9 0 1 9 0 1 0 .0 2 2 8 0 .9 7 7 2
PX60 600.1588
得
6010.15880.8412
查表得 90 2.0
定义 对总体X和给定的 (0<<1)，若存在x，
使P{X≥x} =， 则称x为X分布的上侧分位数或
上侧临界值. 如图.
y
P{X≥x} =
x f(x)dx
o
x x
y
若存在数1、2，使
P{X≥1}=P{X≤2}
2
则称1、2为X分布的双
2
2 o
侧分位数或双侧临界值.
x
1
2
2
1 x
x 2
双侧 分位数或双侧临界值的特例
则
Xi
~
N(0,1)且各
X
i
相互独立，
由定义得
n
2i n1Xi2i1(X i2)2~2(n).
定理 设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体
X～N( ， 2)的样本，则
(1) 样本均值 X 与样本方差S 2相互独立；
n
(2)
(n1)S2
2
(Xi X)2
i1
2
~2(n1)
(1)
(1)式的自由度为什么是n-1？
Distribution Function 分布函数的定义
设X为一随机变量,则对任意实数x， (X<x)是一个随机事件，称
F(x)P(Xx)
为随机变量X的分布函数
F(x)是一个普
通的函数！
定义域为 （－∞，＋∞）； 值域为 ［０，１］。
分布函数表示事件的概率
引进分布函数F(x)后，事件的概率都 可以用F(x)的函数值来表示。
n=1
0.3
0.2 n=4
0.1
n=10
0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 x
图
其图形随自由度的 不同而有所改变.
P2(n ) 2(n )
2分布表
2分布的上分位数
满足
的数
P 2 ( n )为2 (n 2)分 布的 2 (n )f (y) 2 (n )f(y )d y
上分位数或上侧临界值，
n
从表面上看， (X i X )2是n个正态随机变量 X i X 的平方和， i1
但实际上它们不是独立的， 它们之间有一种线性约束关系：
=0 n
n
(Xi X)Xi nX
i1
i1
这表明，当这个n个正态随机变量中有n-1个取值给定时，剩下
的一个的取值就跟着唯一确定了，故在这n项平方和中只有n-1
项是独立的.所以(1)式的自由度是n-1.
b
P{axb}a f(x)dx
则称X为连续型随机变量， f (x) 称为X 的概 率密度函数,简称概率密度或密度函数.
x
分布函数 F(x) f (t)dt
密度函数在区间上的积分 = 随机变量在区间上取值的概率
P {x1Xx2}xx 12 f(x)dx
x1
x2
概率密度函数的性质 非负性
统计量的分布称为抽样分布。
由于正态总体是最常见的总体，因此主要讨论正态 总体下的抽样分布。
由于这些抽样分布的论证要用到较多的数学知识， 故在本节中，主要给出有关结论。
概率密度函数
Probability density function p.d.f.
定义 设X为一随机变量，若存在非负实函数 f (x) , 使对任意实数 a < b ，有
或双侧临界值. 见图.
2
(
n
)
为 2分布的上2
显然， 分位数.
2
2
2
2 1
2
(
n
)
为
2分布的上1
2
O
分位数.
2 1
2
(
n
)
2
2(n )
x
如当n=8, =0.05时，
122(n)02.975(8)2.18
2(n)02.025(8) 17.53 2
2分布的数学期望与方差
设 2～ 2(n)，则E( 2)=n，D( 2)=2n.
P（X<b）=F(b) P（X≥b）=1﹣ P（X<b）=1 - F(b) P（a≤X<b）=F(b) ﹣ F(a) P（a≤X<b）=P(X < b)-P(X<a)= F(b)- F(a)
密度函数和分布函数的关系 积分关系
x
F(x) f(x)dx
x
F(x)P{Xx} f (x)dx
查表 x 0 时 ， (x ) 的 值 可 以 查 表
x 0 时 , ( x ) 1 (x )
例 X ~N(0,1)
P （ 1X2） ( 2 ) ( 1 ) 0 . 9 7 7 2 0 . 8 4 1 3 0 . 1 3 5 9 P （X1） ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 0 . 8 4 1 3 0 . 1 5 8 7
2分布的可加性
设 1 2~2 (n 1 ),
2 2~2 (n 2),
且
12 ,
2 2
相互独立，
则 122 2~2(n1n2)
性质 设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体X～N( ， 2)
n
(Xi )2
的样本，则 i1 2
~ 2(n)
证明 由已知，有
Xi～N( ， 2)且X1，X2，…，Xn相互独立，
1y
2
中间高 两边低
-
+ x
对称性 单调性 拐点
关于 x = 对称
（- ，）升，（，+ ）降
(,
1
1
e 2);
2
f最大 （）
1
2
μ，σ对密度曲线的影响
１
1 21 1 22
相同，不同
图形相似，位置平移
2
1 0.75 2 1.25
不同，相同 越小，图形越陡； 越大，图形越平缓
随机变量的分布函数
f(x) 0 , x ( , )
规范性
f (x)
f (x)dx 1
P { x }1
正态分布 Normal Distribution
若连续型随机变量X的概率密度为
f(x) 1
(x)2
e22
2
,(0)为 常 数
则称X服从参数为 ,2 正 态 分 布 ， 记 为
X ~N(,2)
正态分布的密度函数的性质与图形
定理 设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体
X～N( ， 2)的样本，则
(1) 样本均值 X 与样本方差S 2相互独立；
n
(2)
(n1)S2
2
(Xi X)2
i1
2
~2(n1)
(1)
与以下补充性质的结论比较：
性质 设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体
n
(Xi )2
X～N( ， 2)的样本，则 i1 2
当X的分布关于y轴对称时， 若存在 x 2 , 使
P{Xx2},
则称 x
为X分布的双侧分位数或双侧临界值.
2
y
如图.
2
2
x 2 O x 2 x
标准正态分布的分位数
在实际问题中， 常取0.1、0.05、0.01.
常用到下面几个临界值：
u0.05 =1.645， u0.05/2=1.96，
u0.01 =2.326 u0.01/2=2.575
其几何意义见图所示.
其中f(y)是 2-分布的概率密度. O
2
(
n
)
x
显然，在自由度n取定以后，
2
(
n
) 的值只与有关.
例如，当n=21，=0.05时，由附表可查得
02.05(21) 32.67 即 P2 (2 1 ) 3 2 .6 7 0 .0 5 .
2分布的双侧分位数
的把数满足12P 2( n),2 22(1 2 n )2称(n 为) 2f分(P x布) 的2 双 侧 2 2 分(n 位) 数2