矩阵的相似标准形

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5.4 对称矩阵的相似矩阵

由于对称矩阵 A的特征值线性方程组 (A −
λ
i
为实数,所以齐次
λ
i
E )x = 0
是实系数方程组 ,由 A −
λ
i
E = 0知必有实的基础解
系,从而对应的特征向量可以取实向量 .
定理 2 设λ1 , λ 2 是对称矩阵 A的两个特征值 , p1 , p2是对应的特征向量 , 若λ1 ≠ λ 2 , 则p1与p2正交 .
当abc ≠ 0 时，ax + by + cz = 0 的两个正交解为 ( −b, a , 0)T ,(ac, bc, − a 2 − b2 )T 当abcd ≠ 0 时, ax + by + cz + dw = 0 的三个两两正交解为 ( − b, a , 0,0)T ,(0, 0 − d , c )T , (a(c 2 + d 2 ), b(c 2 + d 2 ), − c(a 2 + b2 ), −d (a 2 + b2 ))T
则
说明：说明：（1）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下，对）在不计对角矩阵中对角元的排列次序条件下，称矩阵的正交相似标准形唯一的，但是所用的正交矩阵称矩阵的正交相似标准形唯一的，却不是唯一的。却不是唯一的。（2）对于一般的齐次线性方程，有如下公式：）对于一般的齐次线性方程，有如下公式：
第四节对称矩阵的相似标准形
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵实对称矩阵．均指实对称矩阵．定理1 对称矩阵的特征值为实数，定理1 对称矩阵的特征值为实数，其特征向量一定是实向量。实向量。证明略定理1 定理1的意义

矩阵的相似标准形

THANK YOU
感谢聆听
将矩阵A的全部特征向量构成一个矩阵P，则P^(-1)AP即为所求的相似标准形。
初等变换法
第一步
写出矩阵A的特征多项式f(λ)，并求出其全部根，即矩阵A的全部特征值。
第二步
对每一个特征值λi，构造一个以λi为主对角线元素的对角矩阵Di，并将矩阵A与Di进行初等行变换，得到一个与A相似的矩阵Bi。
第三步
将所有与A相似的矩阵Bi进行初等列变换，得到一个最简形式的矩阵C，则C即为所求的相似标准形。
正交变换法
01
02
03
04
第一步
求出矩阵A的全部特征值和特征向量。
第二步
将矩阵A的全部特征向量进行施密特正交化，得到一个正交矩阵Q。
第三步
对正交矩阵Q进行归一化处理，得到一个新的正交矩阵P。
通常，这个矩阵可以通过求解原矩阵的特征向量得到。
02
计算特征值和特征向量
利用数值计算方法，如幂法、反幂法等，求解原矩阵的特征值和特征向
量。
03
构造相似变换矩阵并应用
使用求得的特征向量构造相似变换矩阵，并将其应用于原矩阵，得到相
似标准形。
实例演示：Python实现过程
01 02 03 04 05
导入所需的库定义原矩阵
矩阵的条件数
条件数用于衡量矩阵求解问题对输入误差的敏感性。条件数越大，求解过程中数值不稳定性越严重。
迭代算法的收敛性
对于迭代算法，需要关注其收敛速度以及是否收敛于精确解。不合适的迭代参数或初始值可能导致算法不收敛或收敛速度极慢。
算法设计思路及步骤
01
选择合适的相似变换矩阵
为了将原矩阵转换为相似标准形，需要构造一个合适的相似变换矩阵。

应用数学基础第二章-矩阵的相似标准形

记 f(x)= x n+ a1 x n-1 + + an-1 x + an，则 f(A)= A n+ a1 A n-1 + + an-1 A + an E
若 f()为的特征多项式，则 f(A)=0 .
( p60 Th2.11, Hamilton-Cayley定理 )
函数矩阵：元素是函数的矩阵多项式矩阵或-矩阵：元素是的多项式的矩阵如：方阵的A特征矩阵 E – A Note：多项式矩阵可以写成以矩阵为系数的多项式
Hint: 初等因子为 – 2，( + 1)2
cf. Mathematica示例 cf. Mathematica
例2.9 求矩阵A的Jö rdan标准形，其中
Hint: A1, A2初等因子分别为 i和 – 2，( – 1)2
示例
19
§2.3 三、有理标准形
对任意的ni 次多项式 ()= 它的相伴矩阵Ci 定义为
特征值： f()= 0的根，即使 E – A为退化矩阵的数特征向量：( E – A)X = 0的非零解 (为特征值) 谱：全部特征值的集合，记作(A)
有关特征值与特征向量的几个结论
2
§2.1－1
方阵的特征矩阵
矩阵多项式：以方阵 A代入一个多项式 f(x)的值，或者说是 f(x)在 x = A处的值
15
§2.3 矩阵的相似标准形
一、矩阵相似的充分必要条件定义2.8 设A, BCnn ，若存在可逆矩阵P Cnn ，使 P -1 A P = B , 则称A与B相似, 记作AB. 称 AB= P -1AP为相似变换，称P为相似变换矩阵. 定理2.7 A, BCnn, A ~ B E – A E – B. Key

5.11矩阵的相似标准形3

二、性质
A、B为f 在V 的不同基下的矩阵。
f 在不同基下的矩阵相似，而相似的矩阵具有相
同的特征多项式，故可称
为f 的特征多项式。
n=2时：
n=3时：
n=3时：
一般情况时：
=
补充
证： tr(AB) tr( BA )
证明:(1)
A ,B 为列向量时, (2)特别地，
取 1 = 1 1,1,1 ，由施密特正交化方法：
再令
1 1 1 1 = ， 1 , , 1 3 3 3 2 1 1 2 = ， 2 , , 2 6 6 6
3 1 1 = 3 , ,0 ， 3 2 2
三、化零多项式与最小多项式
一、Schur引理
作业：
2 1 1 1、设 A 4 3 1 , 0 0 2
求A的特征值与特征向量．
2、设A是3阶矩阵, 它的3个特征值为 1 1, 2 1,
3 2, 设B A3 5 A2, 求 B ; A 5 I .
的多项式函数）;
1 1 当可逆时，是的特征值；并且X 仍是矩阵 A A 4. 的 kA, Am , f A, A1 分别对应于特征值 k , m , f , 1
的特征向量；
§3.2 Schur引理、Hamilton-Cayley定理
一、 Schur引理
二、Hamilton-Cayley定理
1 解得 x1 x 2 , 所以对应的特征向量可取为 p1 . 1 故相应于1 2的全体特征向量为kp1 (k 0)
当 2 4时,由 3 4 1 x1 0 1 1 x1 0 ,即 , 1 3 4 x 2 0 1 1 x 2 0 1 解得x1 x2 , 所以对应的特征向量可取为p2 . 1 故相应于1 4的全体特征向量为kp2 (k 0)

矩阵标准形

• 2.1 特征阵及其Smith标准形
• 2.1.1 特征矩阵
④多项式矩阵：对于多项式矩阵A(λ)=R(或C)[λ]m×n，行列式、子式、伴随矩阵及分块等概念以及运算法则与常数矩阵相同，而以下概念有所不同。 1）多项式矩阵A(λ)的秩：A(λ)中有一个r阶子式（r≤min{m,n}）为非零多项式（不恒为0），而一切r+1阶子式为0，则A(λ)的秩为r=rankA(λ)。 2）非奇异方阵（满秩的）：A为n阶方阵，detA(λ)不恒为0，即 rankA(λ)=n，显然，对于n阶方阵特征矩阵λE－A的秩为n，显然特征矩阵时满秩的。 3）可逆矩阵：A(λ)为n阶方阵，若存在n阶方阵B满秩A(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=E， A(λ)为可逆的（单模态的）。 ⑤多项式矩阵可逆的条件 1）必要条件：A(λ)∈K[λ]n×n可逆，则A(λ)必非奇异(满秩)； 2）充要条件：A(λ)∈K[λ]n×n可逆等价于detA(λ)为非零常数c。 1 即 det A( ) c 0, A1 ( ) adjA( )
设n阶方阵a是hermite矩阵则有iiiiii都是实数即的主对角元素axax相应有正交即不同特征值的特征向量对应于axax对任意矩阵hermite矩阵与正规矩阵的关系的特征值为实数为正规矩阵且矩阵的充分必要条件为征值为实数前面已证矩阵为正规矩阵且特
• 2.1 特征矩阵及其Smith标准形
• 2.1.1 特征矩阵 • ①定义：对于常数矩阵A=[aij]∈Cn×n，λ∈C，则A的特征矩阵为λE－A，即 a11 a11 a1n
• ④矩阵可对角化的另一充要条件：λE－A的初等因子均为一次方幂。
• 2.3 矩阵的相似标准形
• 2.3.2 Jordan标准形 • ⑤应用：可见确定一个矩阵的相似形需先确定其特征矩阵λE－A的初等因子组。

第四章矩阵的标准型

2t t 2t t
李继根（数学系李继根（jgli@））
最后，由可逆线性变换 x = P y 得原方程组的解最后，
x1 = c2e + c3 t e t t x2 = 2c2e + c3 (2t + 1)e x = c e 2 t − c e t − c ( t + 1) e t 1 2 3 3
P AP = J
Jordan分解或者 A 有Jordan分解
−1
A = P JP
−1
李继根（数学系李继根（jgli@））
二、 Jordan标准型的一种简易求法标准型的一种简易求法
的同一个特征值的若干个Jordan块排列在一起，把 A 的同一个特征值的若干个块排列在一起，就得到Jordan标准型就得到标准型
为 mi 阶Jordan 块。
李继根（数学系李继根（jgli@））
定理 2
A ∈ C 。如果 A 的特征多项式可分解因式为 ϕ ( λ ) = (λ − λ ) m 1 L (λ − λ ) m s 1 s
设
n× n
( m1 + m2 + L + ms = n)
则 A 可经过相似变换化成唯一的 Jordan标准型 J 可经过相似变换相似变换化成唯一的标准型 (不计不计Jordan块的排列次序，即存在可逆矩阵称为块的排列次序)，不计块的排列次序即存在可逆矩阵(称为 Jordan变换矩阵 Jordan变换矩阵 P ∈ C n×n 变换i@））
所以原方程组变为
dy −1 d x −1 −1 =P = P A x = P AP y = J A y dt dt
即解得

矩阵理论第四章矩阵的标准形

β = (0,1, −1)
T
综合上述，综合上述，可得
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
例 4
标准型理论求解线性微分方程组用 Jordan标准型理论求解线性微分方程组标准型理论求解
T
−1 1 0 A = −4 3 0 1 0 2
由上例，存在可逆线性变换 x = P y 使得由上例，存在可逆线性变换
P −1 AP = J A
其中
0 1 0 2 0 0 0 2 1 , J = 0 1 1 P = A 1 −1 −1 0 0 1
(1) ij
A−λi I
A−λi I
A−λi I
其中， p 其中，
( j = 1, 2, ⋯ , k i ) 是矩阵 A 关于特征 ( ni j ) (2) 的一个特征向量，值 λ i 的一个特征向量， p i j , ⋯ , p i j 则称为 λ i ( ni j ) 广义特征向量,称根向量。为 λ i 的 ni j 级根向量。的广义特征向量称 p i j
所以原方程组变为
dy −1 d x −1 −1 =P = P A x = P AP y = J A y dt dt
即
d y3 d y1 d y2 = 2 y1 , = y2 + y3 , = y3 dt dt dt
解得
y1 = c1e , y2 = c2e + c3 t e , y3 = c3e ,
−1 1 0 −4 3 0 A= 1 0 2
解： A 特征值为 λ`1 = 2, λ`2 = λ`3 = 1 ，所以设

高等代数-相似标准型

多项式矩阵与矩阵多项式_2
矩阵的运算: 相等: 加法: 数乘: 乘法运算: 行列式: 伴随矩阵:
例子
注1:
为s次矩阵多项式, 其行列式也可能为0
或常数.
例3:
注2: 例4:
分别为s, t次矩阵多项式, 但也可能为0.
矩阵的初等变换与初等矩阵_1
定义: 对矩阵行初等变换
(1) 互换变换: 将
矩阵的法式_1
引理设这里
则且
注
即的最大公因式.
矩阵的法式_2
定理设是m×n 阶矩阵, 则这里
是
首项系数为1的多项式, 且
矩阵的法式_3
注1 上面矩阵称为
的法式.
注2 r 称为
的秩.
注3
推不出可逆.
注4
可逆
的法式为I
相抵于I.
矩阵的法式_4
推论1:任一n 阶可逆矩阵可表为有限个初
问A是几阶矩阵? 求A的不变因子组.
初等因子_4
定理:设A , B∈Kn×n , 则A相似于B 有相同的初等因子组 .
复习
初等因子_5
引理: 若
则
引理: 若
,则
引理:若
,且
则与相抵.
初等因子_6
定理:设C上方阵A经过列对角矩阵
初等变换化为下
其中是首项系数为1的非零多项式. 将在C[x]上分解为互不相同的一次因式方幂的乘积 , 则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现次数计算)就是A的全部初等因子 .
最小多项式mA(λ)=最后一个不变因子
Jordan标准型_1
引理: r 阶矩阵
的初等因子组为(λ- λ0)r .
Jordan标准型_2

矩阵的相似标准形

主子式与子式
a11 a12 a13 a14 a15
a21
a22
a23
a24
a25
a31
a32
a33
a34
a35
a41 a42 a43 a44 a45
a51 a52 a53 a54 a55
a21 a22 a24 a31 a32 a34 a51 a52 a54
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主子式与子式
a11 a12 a13 a14 a15
a21
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a32 a42
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a35 a45
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a22 a23 a25 a32 a33 a35 a52 a53 a55
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例4
设A
3 3
4 5
.求A1000.
C() 2 2 3
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例5
1 2 2 已知A 1 0 3，求A100。
1 1 2
C() ( 1)( 1)2
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最小多项式
定义：矩阵A的次数最低的、最高次项系数为一的化零多项式称为A的最小多项式.
性质1：若m(x),(x)分别是矩阵A的最小多项式、化零多项式，则m(x) | (x).

矩阵的相似变换2

由行列式因子求矩阵 A 的Jordan标准形方法：
1求In A的n个行列式因子D1 ,D2 , ,Dn . 2由dk Dk Dk1 求A的不变因子dk ，
k 1, 2, , n.
3求A的初等因子和Jordan标准形.
3 1 1
例2
求矩阵A
2
0
2 的Jordan标准形
1 1 3
0
x2
0,
4 0 -2 x3
1
得p2
1 ;
2
2 0 -1 x1 1
解线性方程组 I A x p2，即 -1 -1
0
x2
1
,
4 0 -2 x3 2
0
得p3
1
;
1
0 1 0
2
所以，P
1
-1
-1
,
P
1
AP
0 2 1
1
1 1
.
Remark
Reamrk
di di1 f s.t. di1 di f
定义3
定理2中每个多项式di 称为A的不变因子.
由初等变换求矩阵 A 的Jordan标准形方法：
1用初等变换化特征矩阵In A为Smith标准形，求出 A的不变因子d1 ,d2 , ,dn .
2 将A的每个次数大于零的不变因子di 分解为互不
设ACnn ,则由Jordan分解定理知存在可逆矩阵 P Cnn使得
P1AP J , 即A PJP1, 则Ak PJ k P1.
1 0 1
例5
设A
1
2
0
,
求Ak
.
4 0 3
解
1 0 0
1 1
可求得，P

相似矩阵的判定及其应用

相似矩阵的判定及其应用摘要：相似矩阵是高等代数中重要的知识点，在本文中，我们先给出了判定两个矩阵相似的三种方法，然后我们知道矩阵相似于对角矩阵是高等代数中一个重要而基本的问题,我们给出怎样判断矩阵A是否可对角化，然而我们知道一个矩阵未必相似于对角矩阵，但是在复数域上任何一个矩阵都与一个若而当形矩阵相似，因此我们给出了矩阵的相似标准形及其应用；最后，我们给出了矩阵相似在实际生活中（尤其是考研中）的应用.关键字：相似矩阵，对角矩阵，若尔当标准形1.相似矩阵及其判定这一节我们在系统归纳相似矩阵的一些相关概念和性质的基础上，着重介绍相似矩阵的几种判定方法。

并通过一些具体的例子加以说明。

下面我们首先介绍相关的概念和性质。

定义1设A，B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B=1X A X，就说A相似于B，记BA~过渡矩阵矩阵等价特征矩阵行列式因子不变因子初等因子相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有三个性质： ⑴反身性: A A ~⑵对称性：如果B A ~，那么A B ~⑶传递性：如果B A ~，C B ~，那么C A ~在此基础上，定理1.1 线性变换在不同基下所对应的矩阵相似。

我们从下面的例1来看这个定理的应用。

例112312312311112A B A a εεεεεεεεεεεεε⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ΛΛΛΛΛ=++1112133332312122232322213132331312112131a a a a a a 设=a a a ，a a a 是数域P 上的矩阵，证明A ，B 相似.a a a a a a 证明：设数域P 上的三维线性空间V 的一个线性变换在V 中的一组基，，下的矩阵为A ，（，，）=（，，）a a 即：32123312333212321132********,,a B A B a εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε⎧⎪Λ=++⎨⎪Λ=++⎩Λ=++⎧⎪Λ=++⎨⎪Λ=++⎩Λ⎡⎤⎢⎥=Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦12223213233333231332221231213332312322211312a a a a a a a a a 于是a a a a a 在基，下的矩阵a a a a a a ,为同一线性变换在两组不同的基下的矩阵，a a 由定理1A B 可得：同一线性变换在两组不同的基下的矩阵相似，可得,相似.例2 设3P 的线性变换σ将基1α=（-1，0，-2），2α=（0，1，2）3α=（1，2，5）变成σ（1α）=（2，0，-1），σ（2α）=（0，0，1），σ（3α）=（0，1，2）求σ在基1β，2β，3β下的矩阵，其中1β=（-1，1，0），2β=（1，0，1），3β=（0，1，2）. 解题步骤：（1）先求出σ在基1α，2α，3α下的矩阵A ；（2）求出由基1α，2α，3α到1β，2β，3β的过渡矩阵P ；（3）求出σ在基1β，2β，3β下的矩阵B =1P AP -.解：我们从平常的解题中知道，我们通常取标准基1ε=（1，0，0），2ε=（0，1，0），3ε=（0，0，1）为中介，若令M =200001112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ， N = 101012225-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， T =110101012-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则σ（1α，2α，3α）=（1ε，2ε，3ε）M （1α，2α，3α）=（1α，2α，3α）N （1β，2β，3β）=（1ε，2ε，3ε）T ，故σ在基1α，2α，3α下的矩阵1A N M -=，并且由基1α，2α，3α到基1β，2β，3β的过渡矩阵1P N T -=，从而σ在基1β，2β，3β下的矩阵1111221421211B P AP T NN MN T -----⎡⎤⎢⎥===-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦定理1.2 设A ，Ｂ为数域P 上两个n ⨯n 矩阵，它们的特征矩阵E A λ-和E B λ-等价则可得A 与Ｂ相似.想保留证明过程，可以把它作为用定义1来判定矩阵相似的例子。

教材第三章矩阵的相似标准形

第三章矩阵的相似标准形矩阵的相似标准形有着广泛的应用．在线性代数中，已讨论了可对角化方阵的相似标准形——对角形矩阵．但并不是所有方阵都可对角化，本章将从任意方阵的特征矩阵入手，介绍矩阵相似的判别法和两种常用的相似标准形，并进一步讨论方阵可对角化的条件，最后给出一类特殊矩阵的对角化方法．§3.1 λ矩阵及其Smith 标准形一、λ矩阵的基本概念定义1 设()(1,2,,,1,2,,)ij a i m j n λ== 是数域F 上的多项式，以()ij a λ为元素的m n ⨯矩阵111212122212()()()()()()()()()()n n m m mn a a a a a a A a a a λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为多项式矩阵或λ矩阵，多项式()(1,2,,,1,2,,)ij a i m j n λ== 中的最高次数称为()A λ的次数，数域F 上m n ⨯λ矩阵的全体记为[]m n F λ⨯．为了与λ矩阵相区别，我们把以数域F 中的数为元素的矩阵称为数字矩阵．显然，数字矩阵是λ矩阵的特例．数字矩阵A 的特征矩阵E A λ-就是1次λ矩阵．如果m n ⨯的λ矩阵()A λ的次数为k ，则()A λ可表示为1110()k k k k A A A A A λλλλ--=++++ ，其中(0,1,,)i A i k = 是m n ⨯数字矩阵，并且0k A ≠．例如22221()1A λλλλλλλλλλ⎛⎫-+ ⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭2010101100000111000111000100λλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭．如果另一个m n ⨯的λ矩阵()B λ可表示为1110()λλλλ--=++++ l l l l B B B B B ，则当且仅当k l =，(0,1,,)j j A B j k == 时()A λ与()B λ相等，记为()()A B λλ=．由于λ的多项式可作加法、减法、乘法三种运算，并且它们与数的运算有相同的运算规律；而矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法的定义仅用到其元素的加法、减法、乘法．因此，我们可以同样定义λ矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法，并且λ矩阵的这些运算同数字矩阵的加法、减法、乘法和数量乘法具有相同的运算规律．矩阵行列式的定义也仅用到其元素的加法与乘法，因此，同样可以定义一个n 阶λ矩阵的行列式，一般说来λ矩阵的行列式是λ的多项式，λ矩阵的行列式与数字矩阵的行列式有相同的性质，例如，对两个n 阶λ矩阵()A λ与()B λ，有()()()()A B A B λλλλ=．有了λ矩阵行列式的概念，可以同样定义λ矩阵的子式、代数余子式．定义2 设()[]m n A P λλ⨯∈，如果()A λ中有一个(1min{,})≤≤r r m n 阶子式不为零，而所有1r +阶子式(如果有的话)全为零，则称()A λ的秩为r ，记为(())rank A r λ=．规定零矩阵的秩为0．例1 设A 是n 阶数字矩阵，则λ-E A 是λ的n 次多项式，因此A 的特征矩阵λ-E A 的秩为n ，即λ-E A 总是满秩的．定义3 设()[]λλ⨯∈n n A P ，如果存在一个n 阶λ矩阵()B λ，使得()()()()λλλλ==A B B A E ， (1)则称λ矩阵()A λ是可逆的，并称()B λ为()A λ的逆矩阵，记作1()λ-A ．容易证明如果n 阶λ矩阵()A λ可逆，则它的逆矩阵是唯一的．定理1 设()[]n n A P λλ⨯∈，则()A λ可逆的充分必要条件是()A λ是一个非零常数．证必要性设()A λ可逆，则存在n 阶λ矩阵()B λ满足(1)，从而()()1A B λλ=．因为()A λ与()B λ都是λ的多项式，则由上式可知()A λ与()B λ都是零次多项式，故()A λ是非零常数．充分性设()A d λ=是非零常数，*()A λ是()A λ的伴随矩阵，则*1()A dλ是一个n 阶λ矩阵，并且**11()()()()A A A A E d dλλλλ==，因此()A λ可逆，并且1*1()()λλ-=A A d ．二、λ矩阵的初等变换与等价与数字矩阵类似，对于λ矩阵，也可进行初等变换．定义4 下列三种变换称为λ矩阵的初等变换(1) 互换λ矩阵的两行(列)；(2) 用非零常数k 乘以λ矩阵的某一行(列)；(3) 将λ矩阵的某一行(列)的()ϕλ倍加到另一行(列)，(其中()ϕλ是λ的多项式)．对单位矩阵施行上述三种初等变换便得相应的三种λ矩阵的初等矩阵(,),(()),(,())P i j P i k P i j ϕ，即11011(,)11011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭iP i j j ，11(())11⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P i k k i ，11()(,())11i P i j j ϕλϕ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．与数字矩阵的情形完全一样，对一个m n ⨯的λ矩阵()A λ作一次初等行变换相当于在()A λ左边乘上相应的m 阶初等矩阵；对()A λ作一次初等列变换相当于在()A λ的右边乘上相应的n 阶初等矩阵．容易证明初等矩阵都是可逆的，并且1111(,)(,),(())(()),(,())(,())P i j P i j P i k P i k P i j P i j ϕϕ----===-．为方便起见，我们用下列记号表示初等变换：[,]i j 表示第,i j 行(列)互换位置；[()]i k 表示用非零常数k 乘第i 行(列)；[()]i j ϕ+表示将第j 行(列)的()ϕλ倍加到第i 行(列)．定义5 设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈，如果()A λ可以经过有限次初等变换化为()B λ，则称λ矩阵()A λ与()B λ等价，记为()()A B λλ≅由初等变换的可逆性可知，等价是λ矩阵之间的一种等价关系．利用初等变换与初等矩阵的对应关系可得定理2 设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈，则()A λ与()B λ等价的充分必要条件为存在一系列m 阶初等矩阵1(),,()l P P λλ 与n 阶初等矩阵1(),,()t Q Q λλ ，使得11()()()()()()l t A P P B Q Q λλλλλλ= ．与数字矩阵不同，具有相同秩的两个λ矩阵未必等价，例如22(),()02A B λλλλλλ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2(),()4A B λλλλ==，所以()A λ与()B λ的秩均为2．因为初等变换是可逆的，则由定理 2知，两个等价的λ方阵的行列式只能相差一个非零常数，故()A λ与()B λ不等价，因此，秩相等不是λ矩阵等价的充分条件．§3.2 λ矩阵在等价下的标准形现在我们讨论λ矩阵在初等变换下的标准形．为此，先证明一个引理．引理1 设λ矩阵()[()]ij A a λλ=的左上角元素11()0a λ≠，并且()A λ中至少有一个元素不能被11()a λ整除，则存在一个与()A λ等价的λ矩阵()[()]ij B b λλ=，使得11()0b λ≠，且1111(())(())b a λλ∂<∂．证根据()A λ中不能被11()a λ整除的元素所在的位置，分三种情形来讨论．1)若在()A λ的第一列中有一个元素1()i a λ不能被11()a λ整除，则由多项式的带余除法，存在多项式()q λ和()r λ，使得111()()()()i a q a r λλλλ=+，其中()0r λ≠，且11(())(())r a λλ∂<∂．对()A λ作两次初等行变换，首先将()A λ第1行的()q λ-倍加到第i 行，这时第i 行第1列位置的元素是()r λ；然后将第1行与第i 行互换，即得所要求的λ矩阵()B λ．2)在()A λ的第一行中有一个元素1()i a λ不能被11()a λ整除，这种情形的证明与1)类似，但是对()A λ进行的是初等列变换．3)()A λ的第一行与第一列中的元素都能被11()a λ整除，但()A λ中有另一个元素()ij a λ(1,1)i j >>不能被11()a λ整除，因为111()|()j a a λλ，所以存在一个多项式()ϕλ，使得111()()()j a a λϕλλ=．对()A λ作两次初等列变换．首先将()A λ第1列的()ϕλ-倍加到第j 列，这时第1行第j 列位置的元素是0，第i 行第j 列位置的元素变为1()()()ij i a a λϕλλ-；然后把第j 列的1倍加到第1列，此时第1行第1列位置的元素仍是11()a λ，而第i 行第1列位置的元素变为1()[1()]()ij i a a λϕλλ+-，它不能被11()a λ整除，这就化为已经证明的情形1)．定理3 设()[()][]m n ij A a P λλλ⨯=∈，且(())rank A r λ=，则()A λ必等价于如下对角形矩阵12()()()00r d d d λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， (1) 其中()(1,,)i d i r λ= 是首项系数为1的多项式，且1()|()i i d d λλ+(1,2,i =, 1)r -．证若0r =，则()A λ为零矩阵，结论显然成立，现设0r >，且()A λ=[()]ij a λ的左上角元素11()0a λ≠．否则可通过行、列交换做到这一点，由引理1知，()A λ进行一系列初等变换可得一个与()A λ等价的λ矩阵()[()]ij B b λλ=，并且11()b λ是首项系数为1的多项式，11()b λ整除()B λ的全部元素，即有11()()(),ij ij b q b λλλ= 1,,;1,,i m j n == ．则可对()B λ作一系列初等变换，使得第1行、第1列除对角元11()b λ外全为零，即11()000()()0d B A λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，其中1111()(),()d b A λλλ=是(1)(1)m n -⨯-矩阵．因为1()A λ的元素是()B λ中元素的组合，而11()b λ(即1()d λ)整除()B λ的所有元素，所以1()d λ整除1()A λ的所有元素．如果1()0A λ≠，则对1()A λ重复上述过程，进而把矩阵化成122()000()000()00d d A λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，其中12(),()d d λλ都是首项系数为1的多项式，并且122()|(),()d d d λλλ整除2()A λ的全部元素．继续上述过程，最后把()A λ化成所要求的形式．定理3中的对角形矩形(1)称为λ矩阵()A λ在等价下的标准形即Smith 标准形．定义 6 λ矩阵()[]m n A P λλ⨯∈的Smith 标准形的主对角线上的非零元12(),(),,()r d d d λλλ 称为()A λ的不变因子．例1 用初等变换把λ矩阵22221()1A λλλλλλλλλλ⎛⎫-+ ⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭化为标准形．解222[31(1)][13(1)]222[3(1)][32(1)][21()][31()]2211()00100100100000.0000A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+-+-++-+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→-−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→-−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭①变换记号写在“→”的上边表示行变换，写在下边表示列变换．例2 用初等变换将λ矩阵100010()001000a a A a a λλλλλ--⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪-⎝⎭化为Smith 标准形．解2[21()][1,2]1001000100()10()001001000000a a a a a A a a a a λλλλλλλλλλ+-----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪−−−→−−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭22[1(1)][2,3][21()]100010000()1001()0001001000000a a a a a a a λλλλλλλ-+-+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪−−−−−→−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 22[32()]33[32(())][2(1)]1000100001()0010000()100()1000000a a a a a a a λλλλλλλ+-+--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪−−−−→−−−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ [43()]33[3,4]41000100001000100001()001()000000()a a a a a λλλλλ+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→−−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭3[43(())][3(1)]4111()a a λλ+--⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭．一般地1111()m m m a a a a λλλλ⨯--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ．§3.3 λ矩阵的行列式因子本节讨论λ矩阵Smith 标准形的惟一性，并给出两个λ矩阵等价的条件．因此，需要引进λ矩阵的行列式因子．定义7 设()[]m n A P λλ⨯∈，且(())r a n k A r λ=．对于正整数(1)k k r ≤≤，()A λ的全部首项系数为1的k 阶子式的最大公因式称为()A λ的k 阶行列式因子，记为()k D λ．例1 求22221()1A λλλλλλλλλλ⎛⎫-+ ⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭的各阶行列式因子．解由于1λ-与λ的首项系数为1的最大公因式为1，故(1,)1λλ-=，所以1()1D λ=．又 2211(1)()λλλλλϕλλλ-+=--+=，232221(1)()1λλλλϕλλλ-+=--=+，而12((),())ϕλϕλλ=，其余的二阶子式(还有7个)都包含因子λ，所以2()D λλ=．最后，由于32det(())A λλλ=--，所以323()D λλλ=+．行列式因子的重要性在于它在初等变换下是不变的．定理4 等价的λ矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子．证只需要证明，λ矩阵经过一次初等变换后，其秩与行列式因子是不变的．设λ矩阵()A λ经过一次初等变换后变成()B λ，()f λ和()g λ分别是()A λ和()B λ的k 阶行列式因子，针对3种初等变换来证明()()f g λλ=．1)交换()A λ的某两行得到()B λ．这时()B λ的每个k 阶子式或者等于()A λ的某个k 阶子式，或者是()A λ的某个k 阶子式的1-倍．因此()f λ是()B λ的k 阶子式的公因子，从而()|()f g λλ．2)用非零数α乘()A λ的某一行得到()B λ．这时()B λ的每个k 阶子式或者等于()A λ的某个k 阶子式，或者等于()A λ的某个k 阶子式的α倍，因此()f λ是()B λ的k 阶子式的公因子，从而()|()f g λλ．3)将()A λ第j 行的()ϕλ倍加到第i 行得到()B λ．这时，()B λ中那些包含第i 行与第j 行的k 阶子式和那些不包含第i 行的k 阶子式都等于()A λ中对应的k 阶子式；()B λ中那些包含第i 行但不包含第j 行的k 阶子式等于()A λ中对应的一个k 阶子式与另一个k 阶子式的()ϕλ±倍之和，也就是()A λ的两个k 阶子式组合，因此()f λ是()B λ的k 阶子式的公因式，从而()|()f g λλ．由初等变换的可逆性，()B λ也可以经过一次初等行变换变成()A λ，由上面的讨论，同样有()|()g f λλ，所以()()f g λλ=．对于初等列变换，可以完全一样地讨论，总之，如果()A λ经过一次初等变换变成()B λ，则()()f g λλ=．当()A λ的全部k 阶子式为零时，()0f λ=，则()0g λ=，()B λ的全部k 阶子式也为零；反之亦然，因此()A λ与()B λ既有相同的行列式因子，又有相同的秩．由定理4知，任意λ矩阵的秩和行列式因子与其Smith 标准形的秩和行列式因子是相同的．设λ矩阵()A λ的Smith 标准形为12()()()00r d d d λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， (1) 其中()(1,2,,)i d i r λ= 是首项系数为1的多项式，并且1()|()(1,2,,1)i i d d i r λλ+=- ．容易求得()A λ的各阶行列式因子1121212()(),()()(),()()()().r r D d D d d D d d d λλλλλλλλλ=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩ (2) 于是有12231()|(),()|(),,()|()r r D D D D D D λλλλλλ- ，211211()()()(),(),,()()()r r r D D d D d d D D λλλλλλλλ-=== ． (3) 从而得如下结论．定理5 λ矩阵()A λ的Smith 标准形是惟一的．证因为()A λ的各阶行列式因子是惟一的，则由(3)知()A λ的不变因子也是惟一的，因此()A λ的Smith 标准形是惟一的．应用λ矩阵的Smith 标准形，可以证明如下定理．定理6 设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈，如果()A λ与()B λ和同一个Smith 标准形等价，那么()A λ与()B λ等价．一般说来，通过行列式因子来求不变因子比较复杂，但对一些特殊的λ矩阵，先求行列式因子再求不变因子反而简单．例2 求100()100m ma a A a λλλλ⨯--⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭ 的行列式因子和不变因子．解由于()A λ的一个1m -阶子式111(1)1m a a λλ----=---，故1()1m D λ-=，由(3)式的第一式，即行列式因子的“依次”整除性，有122()()()1m D D D λλλ-==== ．而()()m m D a λλ=-，因此()A λ的不变因子为121()()()1,()()m m m d d d d a λλλλλ-=====- ．由此可知()A λ的标准形为1()1()m m m A a λλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪-⎝⎭ ．定理7 设()[]n n A P λλ⨯∈，则()A λ可逆的充分必要条件是()A λ可表示为一系列初等矩阵的乘积．证必要性设()A λ为一个n 阶可逆矩阵，则由定理1知()0A d λ=≠，从而()A λ的行列式因子为12()()()1n D D D λλλ==== ．于是()A λ的不变因子为12()()()1n d d d λλλ==== ．因此()A λ与单位矩阵等价，即存在一系列初等矩阵1(),,(),l P P λλ 1(),,()t Q Q λλ 使得1111()()()()()()()()()l t l t A P P EQ Q P P Q Q λλλλλλλλλ== ．充分性设()A λ可表示为一系列初等矩阵的乘积，即存在一系列初等矩阵1(),,(),l P P λλ 1(),,()t Q Q λλ 使得11()()()()()l t A P P Q Q λλλλλ= ，则 111111()()()()()l t P P A Q Q E λλλλλ----= ，则()A λ的行列式是一个非零常数，因此由定理1知()A λ可逆．利用定理2和定理7容易证明下面定理．定理8 设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈，则()A λ与()B λ等价的充分必要条件是存在两个可逆λ矩阵()[]m m P P λλ⨯∈与()[]n n Q P λλ⨯∈，使得()()()()B P A Q λλλλ=．§3.4 矩阵的初等因子下面再引进λ矩阵的初等因子，设λ矩阵()A λ的不变因子为1(),d λ 2(),,()r d d λλ ，在复数域内将它们分解成一次因式方幂的乘积：11112221221211221212()()()(),()()()(),()()()(),s s rs r r k k k s k k k s k k k rs d d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎧=---⎪=---⎪⎨⎪⎪=---⎩ (1) 其中1,,s λλ 是互异的复数，ij k 是非负整数，因为1()|()(1,2,,1)i i d d i r λλ+=- ，所以ij k 满足如下关系1121112222120,0,0.r r s s rs k k k k k k k k k ≤≤≤≤⎧⎪≤≤≤≤⎪⎨⎪⎪≤≤≤≤⎩ 定义8 在(1)式中，所有指数大于零的因子()ij kj λλ-，(0,1,2,,,1,2,,)ij k i r j s >==称为λ矩阵()A λ的初等因子．例如，若λ矩阵()A λ的不变因子为 122232334()1,()(1),()(1)(1),()(1)(1)(2),d d d d λλλλλλλλλλλλλ=⎧⎪=-⎪⎨=-+⎪⎪=-+-⎩则()A λ的初等因子为22323,,,1,(1),(1),(1),(1),2λλλλλλλλλ---++-．由定义8知，若给定λ矩阵()A λ的不变因子，则可惟一确定其初等因子；反过来，如果知道一个λ矩阵的秩和初等因子，则也可惟一确定它的不变因子．事实上，λ矩阵()A λ的秩r 确定了不变因子的个数，同一个一次因式的方幂作成的初等因子中，方幂最高的必在()r d λ的分解中，方幂次高的必在1()r d λ-的分解中，如此顺推下去，可知属于同一个一次因式方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是惟一确定的．例如，若已知56⨯λ矩阵()A λ的秩为4，其初等因子为22333,,,1,(1),(1),(),()i i λλλλλλλλ---+-，则可求得()A λ的不变因子23334()(1)()()d i i λλλλλ=-+-，23()(1)d λλλ=-，2()(1)d λλλ=-，1()1d λ=．从而()A λ的Smith 标准形为223231000000(1)000000(1)000000(1)(1)00000000λλλλλλλ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭．由定理6以及不变因子与初等因子之间的关系容易导出如下定理．定理9 设(),()[]m n A B P λλλ⨯∈，则()A λ与()B λ等价的充分必要条件是它们有相同的秩和相同的初等因子．分块对角矩阵()0()0()B A C λλλ⎛⎫= ⎪⎝⎭，不能从()B λ与()C λ的不变因子求得()A λ的不变因子，但是能从()B λ与()C λ的初等因子求得()A λ的初等因子．定理10 设λ矩阵()0()0()B A C λλλ⎛⎫= ⎪⎝⎭ (2) 为分块对角矩阵，则()B λ与()C λ的初等因子的全体是()A λ的全部初等因子．证将()B λ与()C λ分别化为Smith 标准形1()()()00B r b b B λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 1()()()00C r c c C λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，其中1(()),(()),(),,()B BC r r r a n k B r r a n k C b b λλλλ== 与1(),,()C r c c λλ 分别为()B λ与()C λ的不变因子，则(())B C rank A r r r λ==+．把()i b λ和()j c λ分解为不同的一次因式的方幂的乘积，不妨设1212()()()(),1,2,,i i is b b b i s B b i r λλλλλλλ=---= ，1212()()()(),1,2,,j j js c c cj s C c j r λλλλλλλ=---= ．则()B λ与()C λ的初等因子分别为1212(),(),,(),1,2,,i i is b b b s B i r λλλλλλ---=和1212(),(),,(),1,2,,j j js c c cs C i r λλλλλλ---=中非常数的多项式．我们先证明()B λ与()C λ的初等因子是()A λ的全部初等因子．不失一般性，仅考虑()B λ与()C λ中只含1λλ-的方幂的那些初等因子，将1λλ-的指数 1121111211,,,,,,,B C r r b b b c c c按由小到大的顺序排列，记为120r j j j ≤≤≤≤ ，由(2)可知，对()B λ与()C λ进行初等变换实际上是对()A λ进行初等变换，于是11()()()()()00B C r r b b c A c λλλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1211121()()()()()()00r j j j r λλϕλλλϕλλλϕλ⎛⎫- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪≅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，其中多项式1(),,()r ϕλϕλ 都不含因式1λλ-．设()A λ的行列式因子和不变因子分别为12(),(),,()r D D D λλλ 和12(),(),,()r d d d λλλ ，则在这些行列式因子中因子1λλ-的幂指数分别为111211,,,,r ri i i i j j j j j -==+∑∑ ，而由§3.3行列式因子与不变因子的关系式(3)知，12(),(),,()r d d d λλλ 中因子1λλ-的幂指数分别为121,,,,r r j j j j - ．因此()A λ中与1λλ-相应的初等因子是1()i j λλ-，0i j >，1,2,,i r = ，也就是()B λ、()C λ中与1λλ-相应的全部初等因子．对23,,,r λλλλλλ--- 进行类似的讨论，可得相同结论．于是()B λ和()C λ的全部初等因子都是()A λ的初等因子．下面证明，除()B λ、()C λ的初等因子外，()A λ再没有其他的初等因子．因为()r D λ为()A λ的所有初等因子的乘积，而11()()()()()B C r r r D b b c c λλλλλ= ．如果()k a λ-是()A λ的初等因子，则它必包含在某个()(1,,)i B b i r λ= 或()j c λ(1,,C j r = )中，即()A λ的初等因子包含在()B λ与()C λ的初等因子中，因此，除()B λ、()C λ的全部初等因子外，()A λ再没有别的初等因子．定理10可推广为定理11 若λ矩阵()A λ等价于块对角阵12()()()()t A A A A λλλλ⎛⎫⎪ ⎪≅ ⎪ ⎪⎝⎭，则12(),(),,()t A A A λλλ 的各个初等因子的全体就是()A λ的全部初等因子．对t 应用数学归纳法，请读者自行证明．例1 求λ矩阵22000000()00(1)10022A λλλλλλλ⎛⎫+ ⎪ ⎪= ⎪++ ⎪ ⎪--⎝⎭ 的初等因子，不变因子和标准形．解记22123(1)1(),(),()22A A A λλλλλλλλλ⎛⎫++=+== ⎪--⎝⎭，则 123()00()0()000()A A A A λλλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．对于3()A λ，其初等因子为,1,1λλλ-+，利用定理11可得()A λ的初等因子为,,,1,1,1λλλλλλ-++．因为()A λ的秩为4，故()A λ的不变因子为4321()(1)(1),()(1),(),()1d d d d λλλλλλλλλλ=-+=+==．因此()A λ的Smith 标准形为100000000(1)0000(1)(1)λλλλλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪+ ⎪+-⎝⎭．§3.5 矩阵相似的条件设A 是n 阶数字矩阵，其特征矩阵E A λ-是λ矩阵，它是研究数字矩阵的重要工具．应用特征矩阵也可以给出两个n 阶数字矩阵A 与B 之间相似性的判断准则．为此，我们先证明两个引理．引理2 设,A B 是两个n 阶数字矩阵．如果存在n 阶数字矩阵,P Q 使得()E A P E B Q λλ-=-． (1)则矩阵A 与B 相似．证比较(1)两边λ的同次幂的系数矩阵，得,PQ E A PBQ ==．由此11,Q P A PBP --==，故A 与B 相似．引理3 设A 是n 阶非零数字矩阵，()U λ与()V λ是n 阶λ矩阵，则必存在n 阶λ矩阵()Q λ、()R λ以及n 阶数字矩阵0U 、0V ，使得0()()()U E A Q U λλλ=-+， (2) 0()()()V R E A V λλλ=-+． (3)(2)式与(3)式的证明类似，这里仅证(2)式．把()U λ改写成1011()m m m m U D D D D λλλλ--=++++ ，其中01,,,m D D D 都是n 阶数字矩阵．并且00D ≠(1) 若0m =，则取()0Q λ=及00U D =，它们显然满足要求． (2) 若0m >，令120121()m m m m Q Q Q Q Q λλλλ----=++++ ，其中011,,,m Q Q Q - 是待定的n 阶数字矩阵．由1010()()()m m E A Q Q Q AQ λλλλ--=+-+1121()()m k k k m m m Q AQ Q AQ AQ λλ-----+-++-- ．只需取0011022111201,,,,,m m m m m Q D Q D AQ Q D AQ Q D AQ U D AQ ----==+=+=+=+ ，则(2)式成立．定理12 n 阶矩阵A 和B 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵E A λ-和E B λ-等价．证充分性设E A λ-和E B λ-等价，由定理8知存在可逆的λ矩阵(),()U V λλ使()()()E A UE B V λλλλ-=-． (4) 由引理3，存在λ矩阵()Q λ与()R λ以及数字矩阵0U 与0V 使得0()()()U E A Q U λλλ=-+， (5) 0()()()V R E A V λλλ=-+， (6) 把(4)式改写为1()()()()U E A E B V λλλλ--=-， (7) 1()()()()E A V U E B λλλλ--=-． (8) 将()V λ的表达式(6)代入(7)式，得10[()()()]()()U E B R E A E B V λλλλλ----=-．因为上式右边的λ的次数1≤，所以1()()()U E B R λλλ---是数字矩阵，记为T ，即1()()()T U E B R λλλ-=-- ， (9) 0()()T E A EB Vλλ-=- ． (10) 由(9)式，并利用(5)式和(8)式，得()()()()E U T U E B R λλλλ=+-1()()()()U T E A V R λλλλ-=+- 1[()()]()()()E A Q U T E A V R λλλλλ-=-++- 10()[()()()]U T E A Q T V R λλλλ-=+-+．上式右边第二项必为零；否则右边λ的次数至少是1，等式不可能成立．因此0E U T =，从而0,U T 可逆，并且10T U -=．由(10)式得00()E A U E B V λλ-=-．由引理2知，A 和B 相似．定义9 设A 是n 阶数字矩阵，其特征矩阵E A λ-的行列式因子、不变因子和初等因子分别称为矩阵A 的行列式因子、不变因子和初等因子．由定理6和定理12立即得定理13 n 阶矩阵A 和B 相似的充分必要条件是它们有相同的行列式因子，或者说它们有相同的不变因子．由定理9和定理12得定理14 n 阶矩阵A 和B 相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子．§3.6 矩阵的Jordan 标准形定义10 形式为1010t tJ λλλ⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (1)的矩阵称为Jordan(若尔当)块，其中λ为复数．由若干个Jordan 块组成的块对角矩阵称为Jordan 形矩阵，其一般形式如12s J J J J ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．其中 101,1,2,,1i ii ii i k k J i s λλλ⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪⎝⎭并且12,,,s λλλ 中有一些可以相等．例如，矩阵11000010000004000000100000100000i i i ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭是一个Jordan 形矩阵．容易验证，i n 阶Jordan 块i J 具有如下性质：1)i J 具有一个i n 重特征值i λ，对应于特征值i λ仅有一个线性无关的特征向量． 2)i J 的方幂有明显的表示式(1)11()()()()2!(1)!()(),1,2,1()2!()()i n p i p i p i p i i p i p i pi p i p i p i f f f f n f f J p f f f λλλλλλλλλ-⎛⎫''' ⎪- ⎪ ⎪ ⎪' ⎪⎪=='' ⎪⎪⎪⎪' ⎪⎪⎝⎭其中()p p f λλ=． 3)i J 的不变因子为11()()1,()()i i i n n n i d d d λλλλλ-====- ．从而i J 的初等因子为()i n i λλ-．设12(,,,)s J diag J J J =是Jordan 形矩阵，其中i J 为形如(1)的Jordan 块．J 的特征矩阵为11(,,)sn n s E J diag E J E J λλλ-=--由定理11知Jordan 形矩阵J 的初等因子为1212(),(),,()s n n n s λλλλλλ--- ．可见，Jordan 形矩阵的全部初等因子由它的全部Jordan 块的初等因子组成，而Jordan 块被它的初等因子惟一决定，因此，Jordan 形矩阵除去其中Jordan 块排列的次序外被它的初等因子惟一决定．定理15 每个n 阶复矩阵A 都与一个Jordan 形矩阵相似，这个Jordan 形矩阵除去其中Jordan 块的排列次序是被矩阵A 惟一决定的．证设A 的初等因子为1212(),(),,()s n n n s λλλλλλ--- (2)其中12,,,s λλλ 可能有相同的，1,,s n n 也可能有相同的．每一个初等因子()i n i λλ-对应于一个Jordan 块 11,1i ii ii i n n J λλλ⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭1,2,i s = (3) 这些Jordan 块构成一个Jordan 形矩阵12(,,,)s J diag J J J = (4)其初等因子也是(2)．因为J 与A 有相同的初等因子，由定理14知J 与A 相似．Jordan 形矩阵(3)称为矩阵A 的Jordan 标准形．若有另一个Jordan 形矩阵'J 与A 相似，则'J 与A 有相同的初等因子．因此，J '与J 除去其中Jordan 块排列的次序外是相同的，这就证明了惟一性．利用矩阵在相似变换下的Jordan 标准形，可得线性变换的结构．定理16 设A 是复数域上n 维线性空间V 的线性变换，则在V 中存在一组基，使得A 在这组基下的矩阵是Jordan 形矩阵．证在V 中任取一组基12,,,n εεε ，设线性变换A 在这组基下的矩阵是A ．由定理15知，存在可逆矩阵P ，使得1P AP J -=为Jordan 形矩阵．令1212(,,,)(,,,)n n P ηηηεεε= ．则线性变换A 在基12,,,n ηηη 下的矩阵是1P AP J -=为Jordan 形矩阵．如果1i n =，则i i J λ=是一阶Jordan 块，当矩阵A 的Jordan 标准形中的Jordan 块都是一阶块时，A 的Jordan 标准形就是对角矩阵．因为一阶Jordan 块的初等因子是一次的，所以对角矩阵的初等因子都是一次的．由此得定理17 设n n A C ⨯∈，则A 与一个对角矩阵相似的充分必要条件是A 的初等因子都是一次的．例1 求矩阵126103114A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的Jordan 标准形．解因为21261001301011400(1)E A λλλλλλ+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-≅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 的初等因子为1λ-，2(1)λ-．故A 的Jordan 标准形为100011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．由定理15知，对任意的n 阶矩阵A ，存在n 阶可逆矩阵P ，使得1P AP J -=为Jordan 标准形．下面介绍求变换矩阵P 的方法．先看一个例子．例2 求化矩阵126103114A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭为Jordan 标准形的变换矩阵．解由例1知，存在3阶可逆矩阵P 使得1100011001P AP J -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭．记123(,,)P p p p =，则得123123100(,,)(,,)011001Ap Ap Ap p p p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．比较上式两边得1122323,,.Ap p Ap p Ap p p =⎧⎪=⎨⎪=+⎩ 由此可见，12,p p 是A 的对应于特征值1的两个线性无关的特征向量．从方程组()0E A x -=，可求得两个线性无关的特征向量131,001ξη-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．可取1p ξ=．但不能简单地取2p η=，因为2p 的选取应保证非齐次线性方程组32()E A p p -=-有解．由于,ξη的线性组合仍是()0E A x -=的解，因此我们选取212p k k ξη=+，其中待定常数12,k k 只要保证1p 和2p 线性无关，且使得32()E A p p -=-有解即可．因为2121212(3,,)T p k k k k k k ξη=+=-+，所以选取12,k k 使得方程组11221322263113113x k k x k x k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭有解，容易看出，当12k k =时方程组有解，且其解为12313x x x k =-+-，其中1k 是任意非零常数．取11k =，可得23221,011p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．于是122110011P -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭使得1100011001P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即P 为所求的变换矩阵．一般地，设n n A C ⨯∈，则存在n 阶可逆矩阵P ，使得121s J J PA P J J -⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭， (5) 其中i J 为形如(3)式的Jordan 块，记12(,,,)s P P P P = (6)其中in n i P C⨯∈．由(5)式和(6)式得 121122(,,,)(,,,)s s s AP AP AP PJ P J P J = ．比较上式两边得,1,2,,i i i AP PJ i s == (7) 记()()()12(,,,)i i i i i n P p p p = ，由(7)式可得()()11()()()221()()()1,,ii i i i i i i i i i i i n i n n Ap p Ap p p Ap p p λλλ-⎧=⎪=+⎪⎨⎪⎪=+⎩ 由上式可见，()1i p 是矩阵A 对应于特征值i λ的特征向量，且由()1i p 可依次求得()()2,,i i i n p p ．由例2可知，特征向量()1i p 的选取应保证()2i p 可以求出，类似地()2i p 的选取(因为()2i p 的选取一般不惟一，只要适当选取一个即可)也应保证()3i p 可以求出，依次类推，并且使()()()12,,ii i i np p p 线性无关．§3.7 Hamilton-Cayley 定理与最小多项式设A 为任意n 阶矩阵，其特征多项式为12121()det()n n n n n f E A a a a a λλλλλλ---=-=+++++ ．矩阵A 与其特征多项式之间的关系有代数学上著名的哈密顿－凯莱定理．定理18(Hamilton －Cayley 定理) 设A 是n 阶矩阵，()f λ是A 的特征多项式，则()0f A =．证考虑特征矩阵E A λ-的伴随矩阵*()E A λ-，其元素至多是λ的1n -次多项式，则*()E A λ-可表示为*12121()n n n n E A C C C C λλλλ----=++++ ，其中，12,,,n C C C 都是n 阶数字矩阵．因为*()()()E A E A f E λλλ--=，即12121()()n n n n E A C C C C λλλλ----++++ 111n n n n E a E a E a E λλλ--=++++ ，比较两边λ的同次幂的系列矩阵，得1C E =， 211C AC a E -=， 322C AC a E -=，…11n n n C AC a E ---=， n n AC a E -=．用1,,,,n n A A A E - 分别左乘上面各式的两端，再累加，得12121321()()()n n n n n n A C A C AC A C AC A C AC AC ---+-+-++--111()n n n n A a A a A a E f A --=++++= ．因为上式左边为零矩阵，所以()0f A =．定义11 设A 为n 阶矩阵，如果非零多项式()ϕλ使()0A ϕ=，则称()ϕλ为A 的一个化零多项式．对任意n 阶矩阵A ，()f λ是A 的特征多项式，由定理18知()f λ为A 的化零多项式．设()f λ为A 的化零多项式，()g λ是任意多项式，则()()g f λλ也是A 的化零多项式．因此，任意n 阶矩阵A 的化零多项式总存在，并且A 的化零多项式有无穷多个．定义12 n 阶矩阵A 的所有化零多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A 的最小多项式．由定理18知，任意n 阶矩阵A 的最小多项式存在且次数不超过n ．定理19 设A 是n 阶矩阵，则1)A 的最小多项式()m λ能整除A 的任一化零多项式()ϕλ，特别地，()m λ能整除A 的特征多项式()f λ；2)A 的最小多项式()m λ的零点是A 的特征值；反之，A 的特征值是()m λ的零点；3)A 的最小多项式是惟一的．证 1)设()m λ是A 的最小多项式，()ϕλ是A 的任一化零多项式，由多项式的带余除法，有()()()()q m r ϕλλλλ=+其中(),()q r λλ是多项式，()0r λ=或者()0r λ≠但(())(())r m λλ∂<∂．因此()0r λ=，否则与()m λ是A 的最小多项式矛盾，于是()|()m λϕλ．2)设()f λ是A 的特征多项式，由1)知()()()f q m λλλ=，其中()q λ是一个多项式，因此()0m λ=的根必为()0f λ=的根，即A 的特征值．反过来，设0λ是A 的任一特征值，相应的特征向量为0ξ≠，即0A ξλξ=则0()()m A m ξλξ=．因为()0,0m A ξ=≠，所以0()0m λ=，即0λ是()0m λ=的根．3)设A 有两个最小多项式12(),()m m λλ，则它们的次数相同，如果12()()m m λλ≠，则12()()()0m m m λλλ=-≠，且1(())(())m m λλ∂<∂．设()m λ的首项系数为a ，则3()()m m aλλ=是首项系数1的多项式且31(())(())m m λλ∂<∂．由于31211()()(()())0m A m A m A m A a a==-=，于是，3()m λ是A 的化零多项式，这与1()m λ是A 的最小多项式的假设矛盾．因此A 的最小多项式是惟一的．定理20 相似的矩阵具有相同的最小多项式．证设n 阶矩阵A 与B 相似，则存在可逆矩阵P ，使得1B P AP -=．对任意多项式()g λ恒有1()()g B P g A P -=．可见，A 与B 有相同的化零多项式，从而它们具有相同的最小多项式．例1 求Jordan 块1010i ii ii i n n J λλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式．解因为i J 的特征多项式()()i n i f λλλ=-，则由定理19知i J 的最小多项式()m λ具有如下形式()()k i m λλλ=-，其中正整数i k n ≤．但当i k n <时0100()()0100kki i i m J J E λ⎛⎫ ⎪⎪⎪=-=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，而i k n =时()0i m J =，因此()()i n i m λλλ=-．定理21 分块对角矩阵12(,,,)s A diag A A A = 的最小多项式等于其诸对角块的最小多项式的最小公倍式．证设i A 的最小多项式为()(1,2,,)i m i s λ= ．由于对任意多项式()ϕλ1()((),,())s A diag A A ϕϕϕ= ．如果()ϕλ为A 的化零多项式，则()ϕλ必为(1,,)i A i s = 的化零多项式，从而()|()(1,2,,)i m i s λϕλ= ，因此()ϕλ为1(),,()s m m λλ 的公倍式．反过来，如果()ϕλ为1(),,()s m m λλ 的任一公倍式，则()0(1,,)i A i s ϕ== ，从而()0A ϕ=．因此，A 的最小多项式为1(),,()s m m λλ 的公倍式中次数最低者，即它们的最小公倍式．定理22 设n n A C ⨯∈，则A 的最小多项式为A 的第n 个不变因子()n d λ．证由定理15知A 相似于Jordan 标准形1(,,)s J diag J J = ，其中i J 为形如§3.6中(3)式的Jordan 块．由定理13和定理20知A 与J 有相同的不变因子和最小多项式．又由定理21知J 的最小多项式为1,,s J J 的最小多项式的最小公倍式，而i J 的最小多项式为()(1,2,,)i n i i s λλ-= ，且1212(),(),,()s n n n s λλλλλλ---的最小公倍式是J 的第n 个不变因子()n d λ，因此，A 的最小多项式就是A 的第n 个不变因子()n d λ．由定理17和定理22可得如下定理．定理23 n 阶矩阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 的最小多项式()m λ没有重零点．例2如果n 阶矩阵A 满足2A A =，则称A 为幂等矩阵．证明幂等矩阵A 一定相似于对角矩阵．证令2()ϕλλλ=-，则()ϕλ是A 的化零多项式，由定理19知A 的最小多项式()m λ整除，()ϕλ所以()()m λϕλ=．因为()0ϕλ=没有重根，据定理23知A 相似于对角矩阵．例3 设A 是n 阶幂等矩阵，证明 1)A H 与A E -也是幂等矩阵； 2)A 的特征根只能是0和1；3)有可逆矩阵P ，使1(1,...,1,0,...,0)P AP diag -=； 4)秩A =迹A ．证 1)依定义直接验证即知．2)设λ为A 的任一特征根，α是A 相应于λ的特征向量．则有 λαα=A ．又有()αλαλλαααλα22=====A A A A ．于是 ()02=-αλλ．因0≠α，故0=λ或1=λ．3)设A 的若当标准形为J ，则必有可逆矩阵P ，使121111000s J J P AP J J -*⎛⎫ ⎪* ⎪⎪⎛⎫⎪⎪*⎪⎪=== ⎪ ⎪*⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪* ⎪ ⎪⎝⎭． (1) 上式中每个i J 都是特征根1或0相应的若当小块，且与特征根1相应的小块垒排在前头．由2A =A ，可推出J J =2，进而知i i J J =2，1,2,...,i s = ．由于⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----k k k k k k k kk k k k kkC C C C C λλλλλλλλλλλ1122112211111．对于2k =，λ为0或1时，欲使上式成立只有若当块的阶数为1．于是(1)式中所有*全为零．便有1(1,...,1,0,...,0)P AP J diag -==．4)若设秩A r =，则J 的主对角元中应有r 个1，其余为0．由相似矩阵迹数相等，可知迹A =迹J =r =秩A ．习题三1、用初等变换把下列λ-矩阵化为Smith 标准形．1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-λλλλλλ352223 2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2)1()1(λλλλ 2、求出下列矩阵的不变因子和行列式因子．1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2)1()1(λλλλ 2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----a b b a b a n λλλ121 ，其中11,-n b b 都是不为0的常数．3、求下列矩阵的若当标准形．1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---502613803； 2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212044010； 3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---544446235； 4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----8411362331； 5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---568236013 ； 6)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011231221 ； 7)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---496375254 ； 8)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---01121413；9)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000210032104321． 4、求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=130901025017A 的Jordan 标准形，并求变换矩阵P ．5、已知3阶矩阵A 具有3重特征根1，是否可以说A 的若当标准形一定为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111J ，如果不一定，请说出此时A 的若当形有几种可能？都是什么样子？6、求下列矩阵1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=221041040A ；2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-311111002；3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----211212112；4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011212213；5)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----444174147的最小多项式． 7、方阵A 满足0=kA (k 为正整数)，试说明A 的最小多项式取何种形式？ 8、设方阵A 满足E A =2，能否说)1)(1()(-+=λλλϕ一定是A 的最小多项式？如果已知1和-1都是A 的特征根，情况又怎样呢？9、已知方阵A 的特征多项式为)1()1()(2-+=λλλϕ，A 的最小多项式为1)(23+--=λλλλϕ．请给出A 的一个若当形，并简要说明原因．。

相似标准形定义

相似标准形定义
相似标准形是指两个矩阵或向量之间的一种关系，若存在两个可逆矩阵$P$和$Q$，使得$PAQ=B$，则称矩阵$A$与$B$相似，记为$A\backsim B$。

如果矩阵$A$可以相似对角化，那么与$A$相似的对角阵就被称为$A$的相似标准型。

此时，对角元对应着$A$的特征值。

相似标准形具有以下性质：
- 定理6：任一矩阵，必与形如或的矩阵相似，其中。

- 定理7：若，则$A$内所有$i$行$i$列子行列式的最大公因数，与$B$内所有$i$行$i$列子行列式的最大公因数相等。

- 定理8：任一矩阵的相似标准形，一定是唯一的。

- 定理9：$A\backsim B$的充分必要条件是$A$和$B$有相同的秩和相同的初等因子。

相似标准形在数学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

第四章矩阵的相似标准形

第四章矩阵的相似标准形复方阵在相似意义下的标准形——Jordan 标准形（B A B AP P ~1⇔=-）。

第一节特征值特征向量如果存在任意的一组基n ααα,,,21 ，使=),,,(21n f ααα ),,,(21n ααα ),,,(21n d d d d ，则n i d f i i i ,,2,1,)( ==αα。

定义1.1 设),hom(V V f ∈，V 为数域F 上的线性空间，若存在F ∈λ以及非零向量V ∈ξ，使得 λξξ=)(f则称λ是线性变换f 的特征值，ξ为f 对应于特征值λ的特征向量。

例如：1 是恒等变换I 的特征值；0是零变换O 的特征值，一切非零向量都是他们的特征向量。

设V 为n 维线性空间，n ααα,,,21 为V 的一组基，f 在该组基下的矩阵为A ，ξ的坐标向量为X ，则)(ξf 的坐标向量为AX ，于是存在0≠ξ，使得⇔=λξξ)(f 存在0≠X ，使得⇔=X AX λ存在0≠X ，使得⇔=-0)(X I A λ0=-A I λ。

因此，f 的特征值即是特征方程0=-A I λ在数域F 上的根；特征值λ对应的特征向量ξ的坐标向量X 就是齐次线性方程组0)(=-X A I λ的非零解。

定义1.2 设n n C A ⨯∈，n 次多项式0)(=-=A I C λλ称为矩阵A 的特征多项式；称0)(=-=A I C λλ的根为矩阵A 的特征值，记矩阵A 的特征值集为)(A λ；称满足X AX λ=的非零向量X 为矩阵A 的特征向量（属于特征值λ）。

定理1.1 若B A ~，则A 与B 有相同的特征多项式。

证由B A ~知，B AP P =-1，于是A I AP P I B I -=-=--λλλ1。

定理1.2 设n n ij a A ⨯=)(，则∑=--+=-nk k n k k nb A I 1)1(λλλ。

其中A b k =的所有k 阶主子式之和，特别)(1A tr b =，A b n =。

矩阵的相抵与相似_09_07_09

I3 0 B → 0 0 Q
其中
P 0
0 0 0 1 − 4 5 9 2 − 9 1 − 3 0
17 9 − 14 9 P= 2 3 1 − 4
14 − 9 11 9 1 3 1 4
定义对数阶矩阵，若 n λ0 ∈ K ，存在非零列向量 α ∈ K ，使得存在非零非零列向量设
A 为数域 K 上的一个 n
Aα = λ0α
则称 λ0 为矩阵 A 的一个特征值， α 为矩阵的一个特征值特征值，的一个特征向量。属于特征值 λ0 的一个特征向量。特征向量
A的
例
(1)
2 m
f ( x) = a0 + a1 x + a2 x + L + am x
上的一元多项式，阶矩阵，是数域 K 上的一元多项式，A 为一个 n 阶矩阵，定义
f ( A) = a0 I + a1 A + a2 A + L + am A
2
m
多项式。进一步，为矩阵 A 的多项式。进一步，我们有
A ~ B ⇒ f ( A)
例 2 ：设
1 1 A= 2 2
求A 。解：由满秩分解公式可得
+
1 A = BC = [1 1] 2
于是其伪逆矩阵为
A = C (CC ) ( B B ) B
H H
+
H −1
−1
H
1 1 −1 1 −1 = ([1 1] ) ([1 2] ) [1 2] 1 1 2 1 1 1 1 1 = [1 2] = 10 1 10 2 2 1 10 = 1 10 1 5 1 5

矩阵对的相似标准形

（北大学数学与计算机科学学院，汉４０６）湖武３０２
Байду номын сангаас
［摘
要］设Ａ，Ｃ，都是 ”阶方阵，阵对（Ｂ）似于矩阵对（Ｄ）如果存在 ”阶可逆矩阵Ｐ，Ｂ，Ｄ矩Ａ，相ｃ，，使
得Ｐ— ＝Ｃ， — ＢＡＰＰｔＰ＝Ｄ．文借助Ｂｌｓｉ化算法，供一种在相似变化下化任一 ”阶矩阵对为标准形的本ｅｔｋｉｉ约提有效方法，方法可以看作Ｊｒａ该ｏｄｎ标准形的推广．
．
，。，， …
）
称为Ｗｅｒ阵．们在Ｋ上规定一个序，得＞＞ … ＞．如，Ｋ是复数域，字典序，ｙ矩我使例若用即
［键词］矩阵对；ｅｒ阵；一似；准形关Ｗｙ矩以相标［图分类号］Ｏｌ１２中５．ｌ［献标识码］Ａ文［章编号］ｌ７ —４４２０）１００ —４文６２１５（０８０ —１４０
１引
言
矩阵的Ｊｒａｏｄｎ标准形理论是矩阵的核心内容，是线性代数的重要内容之一．线性代数的教学也在中，我们经常会遇到在一定的条件下两个阶方阵同时相似于对角阵的问题Ⅲ ．自然地，们可以考１很］我虑下面的问题：Ａ，ｃ，都是阶方阵，设Ｂ，Ｄ我们称矩阵对（Ｂ）似于矩阵对（Ｄ）如果存在阶可Ａ，相ｃ，，逆矩阵Ｐ，ＰＡＰ＝Ｃ，Ｂ＝那么能否类似于单个矩阵的Ｊｒａ使＝Ｐ＝Ｐ＝Ｄ．＝ｏｄｎ标准形理论，出矩阵对给（Ｂ）Ａ，的相似分类呢？该问题称为古典矩阵对的相似分类问题，历史上一直被认为是没有希望解决在的［．个问题等价于代数闭域Ｋ上的二元自由结合代数Ｋ（ｙ）表示的分类问题，代数是一个２这］Ｘ，的该典型的ｗｉｌｄ表示型代数．管古典矩阵对的相似分类问题是不能解决的，我们可以考虑一较弱的问尽但题：（Ｂ）设Ａ，是一个阶矩阵对，么是否存在可逆矩阵Ｐ，得Ｐ＿ＡＰ，Ｂ那使。ＰＰ是某种意义下的标准

矩阵的相似标准形

A(0 x) 0 ( Ax) 20 x.
即
(0 20 ) x 0.
而x0, 0(1 0 ) 0. 得 0 0或0 1.
注意：0和1不一定同时是幂等矩阵的特征值, 比如E是幂等矩阵, 但其特征值只有1.
二有关特征值的几个定理
定理2.1 相似的矩阵具有相同的特征多项式, 也有相同的特征值. 证明: 设A∽B, 则存在可逆矩阵P, 使得
令=0, 得 A (1)n 12 n ,
而
A (1)n A
A 12 n .
从定理可以看出, 若A的特征值有一个为零, 则|A|=0. 反之亦成立.
推论矩阵A可逆A的特征值全不为零.
定理2.4 若n阶可逆方阵A的特征值为1, 2, …, n，则A1的特征值为
1 1 ,1 2 ,1 n . 证明: 由定理2.3, 1 1 ,1 2 ,1 n 有意义.
定义 tr(A)=a11+a22+…+ann称为A的迹.
计算n阶矩阵A的特征值与特征向量的步骤:
1. 解特征方程| EA|=0, 求出n个特征值(r重
根算r个);
2. 对每一i, 求(iEA)x=0的非零解xi是属于i
的特征向量.
例1 求三阶方阵 1 1 0
A 4 3 0 1 0 2
解：特征方程
得一般解为
x1 x3
x
2
2 x3
x3 x3
取基础解系
1 2
1
因此A的属于2= 3=1的全部特征向量是
k(1, 2, 1), (k 0).
例2 求矩阵
1 B 2
2 1
2 2
的特征值和特征向量.
2 2 1
解：特征方程
1 2 2

7相似标准型

J1 J 2 J J k
i 1 i Ji 1 i
其中Ji为ri阶Jordan块 , 1≤ i ≤ k .
Jordan标准型_3

注1:定理中的J 称为A的Jordan标准型 . Ji称为A的属于特征值λi的Jordan块 .

Jordan标准型_7
定义:设λ0是n 维线性空间V上线性变换的特征子空间, 则 R(λ0)={α∈V | (ψ- λ0 I )n(α)=0} 构成V 的子空间, 称为属于特征值λ0的根子空间 .

Hale Waihona Puke 注1 :记λ0 的特征子空间为 Vλ0 , 则 V R ( 0 )
0

注2 : R(λ0) 是ψ的不变子空间 .
Jordan标准型_8

定理:设ψ是复n 维线性空间V上线性变换 , ψ的初等因子组为则 (1). V V 1 V 2 Vk 其中Vi是(ψ-λiI ) 的循环子空间 , 且 dimVi = ri , 1≤i≤ t . (2). 若λ1 , … , λs是ψ的互不相同的全部特征值 , 则其中 R(λi)是 V R(1) R( 2) R(, s) λi的根子空间 , dim R(λi) 是λi 的代数重数 , 且每个R(λi)又可分解为若干循环子空间的直和
可逆λ - 矩阵_1

定义:若A(λ) , B(λ)都是 n 阶λ - 矩阵且 A(λ) B(λ) = In , B(λ) A(λ) = In . 则称A(λ) 为可逆λ- 矩阵, B(λ)是A(λ)的逆λ- 矩阵. 初等λ - 矩阵是可逆λ - 矩阵. λ - 矩阵的逆矩阵若存在 , 必唯一. 可逆λ - 矩阵的乘积也是可逆λ - 矩阵. λ - 矩阵为可逆的λ - 矩阵的充分必要条件是其行列式为非零数.

矩阵的相似标准形

5.4 对称矩阵的相似矩阵

矩阵的相似标准形

应用数学基础 第二章-矩阵的相似标准形

5.11矩阵的相似标准形3

矩阵标准形

第四章 矩阵的标准型

矩阵理论第四章 矩阵的标准形

高等代数-相似标准型

矩阵的相似标准形

矩阵的相似变换2

相似矩阵的判定及其应用

教材第三章 矩阵的相似标准形

相似标准形定义

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