矩阵的相似标准形

秩 ， 称为A 的
记作 rankA r.
规定：零矩阵的秩为零.
第一专题：矩阵的相似标准形
1.2 λ-矩阵及其标准形 1.2.1 λ-矩阵
定义 设A是n阶 - 矩阵，若存在 - 矩阵
B , 使
AB BA In,
则称A 为 可逆的λ- 矩阵 逆矩阵 B 为A 的
第一专题：矩阵的相似标准形
1.2 λ-矩阵及其标准形 1.2.1 λ-矩阵
d1 D1 ,
d2
D2 D1
,
d3
D3 D2
,
,
dr
Dr Dr1
不变因子 为A的
第一专题：矩阵的相似标准形
1.3不变因子与初等因子 1.3.1 不变因子
例3.1 求
A
0
a
0
的不变因子.
b
a
0
0 b
b 0
a
第一专题：矩阵的相似标准形
1.3不变因子与初等因子 1.3.1 不变因子
J 0 1
0 1
m
1
0
mm
第一专题：矩阵的相似标准形
1.4 Jordan标准形 1.4.1 矩阵的Jordan标准形
0 1
0 1
只有一个初等因子 0 m.
1
0
mm
第一专题：矩阵的相似标准形
1.4 Jordan标准形 1.4.1 矩阵的Jordan标准形
J m1 1
di di1,i 1,2, , r 1.
第一专题：矩阵的相似标准形
1.2 λ-矩阵及其标准形 1.2.2 λ-矩阵的标准形
例2.1
化
1 2
A
1 2 2 2
为标准形.
第一专题：矩阵的相似标准形
思考题
1. 判断下面说法是否正确？
① n阶方阵A相似于对角阵的充要条件是对于A的
例1 最佳拟合曲线
设有两个量x 和 y,已知
x ai时y bi (i 1,2, ,s),
( )
又1(x),2 (x), ,n (x)为已知函数.试求系数x1, x2 , , xn ,
使函数式
y x11(x) x22 (x) xnn (x)
能最佳地符合条件( ).
例2 人口问题的数学模型
对A的每一个特征值,几何重数 代数重数
第一专题：矩阵的相似标准形
1.1.2 矩阵可对角化条件
例1.2 设
求A100.
4 6 0 A 3 5 0
3 6 1
1.1.2 矩阵可对角化条件
1
A
0
2
0 1
~
n 0
2
0
B
n
?1 k1 , 1 k2 , , 1 kn .
设f , g 是多项式, A是n阶矩阵， 为什么有f AgA gA f A？
试证:若A ~ B,则f A ~ f B.
2.1 矩阵多项式与最小多项式
2.1.2 Cayley-Hamilton定理
定义 设是多项式，A是n阶方阵，
若A O，则称是A的
Cayley hamilton 定理
设 I A,则 A O.
第一专题：矩阵的相似标准形
1.3不变因子与初等因子 1.3.1 不变因子
定义 设 - 矩阵的秩为r, 1 k r,
称
A 中所 有k阶子 式的
首项系数为1的 最Байду номын сангаас公因式
为 A 的k阶行列式因子.
记作 Dk .
第一专题：矩阵的相似标准形
1.3不变因子与初等因子 1.3.3 不变因子
定义 设 - 矩阵的秩为r, 称
定义 设A是n阶数字矩阵，则称
I A的行列式因子为A的行列式因子.
例3.4 求
的初等因子组.
1 2 0
A 0 2 0
2
2
1
思考题
1.
已知A
1 0
a 1
b c ,
0
0
2
给出A可对角化的条件.
2. 设A是二阶方阵，且A 0,问 A可对角化吗？
第一专题：矩阵的相似标准形
思考题
2 a 0 2 0 0 3. 0 3 0与 0 3 0有相同的初等因子吗？
自反性：A ~ A;
对称性：若A ~ B,则B ~ A; 传递性：若A ~ B, B ~ C,则A ~ C.
矩阵的相似是一种等价关系
第一专题：矩阵的相似标准形
1.1 相似矩阵 1.1.2 矩阵可对角化条件
n阶矩阵A没有重特征值 n阶矩阵A是对称矩阵
n阶方阵A相似于对角阵 A有n个线性无关的特征向量
求Jordan标准形的初等因子法
例4.4 设A为元素均为1的4阶方阵，
求A的Jordan 标准形.
第一专题：矩阵的相似标准形 1.4.2 Jordan标准形的求法
波尔曼法 求Jordan标准形的
设A是n阶方阵，
求特征值i i 1,2, , n.
求rj i ri I Aj , j 1,2, , n. 若rj0 i rj0 1i ,则rj i rj0 i , j j0 .
设A
1 3
1 3
2 6 ,
2 2 4
求A的Jordan 标准形.
第一专题：矩阵的相似标准形 1.4.2 Jordan标准形的求法
求Jordan标准形的初等因子法
例4.3
设A
1 4
1 3
0 0,
1
0
2
求A的Jordan 标准形.
第一专题：矩阵的相似标准形 1.4.2 Jordan标准形的求法
k1k2 kn是1,2, , n的一个全排列
1.1 相似矩阵 1.1.3 相似不变量
定义 设函数f定义在矩阵集合M上,
若A, B M, A ~ B,有f A f B, 则称
f为
例1.4 设A ~ B,则 1 A B ; 2 I A I B ; 3 trA trB.
第一专题：矩阵的相似标准形
1.2 λ-矩阵及其标准形 1.2.1 λ-矩阵
设fij 是未定元的多项式，则
矩阵
f11 f21
fm1
f12 f22
fm2
f1n f2n
f
mn
第一专题：矩阵的相似标准形
1.2 λ-矩阵及其标准形 1.2.1 λ-矩阵
定义 - 矩阵A中不为零的子式的最高阶数r
例3.2 设A 的标准形是
1
1
2 2 -1
3 23 - 1
0
求A 的初等因子组.
1.3不变因子与初等因子 1.3.2 初等因子
例3.2 设A是6阶 - 矩阵, 秩为5,
初等因子组为
, 2, 3, 2, 23, 1, 1,
求其不变因子.
行列式因子
不变因子
初等因子（组）
J m2 2
的初等因子组为
J ms s
1 m1 , 2 m2 , , s ms .
第一专题：矩阵的相似标准形
1.4 Jordan标准形 1.4.2 Jordan标准形的求法
Jordan 标准形的求法
Ⅰ 初等因子法 Ⅱ 波尔曼法
第一专题：矩阵的相似标准形
求Jordan标准形的初等因子法
定理
设A, B是n阶方阵，则
A与B相似
A与B有相同的初等因子.
推论 n阶矩阵A与n阶Jordan标准形J相似
A与J有相同的初等因子.
第一专题：矩阵的相似标准形 1.4.2 Jordan标准形的求法
定理
设A, B是n阶方阵，则
A与B相似
A与B有相同的初等因子.
设 0, 试讨论A, B,C彼此之间的相似关系,其中
(1) 将女性人口按年龄等间隔地分为n个年龄组. (2) 设第i个年龄组的生育率为bi , 存活率为ai , 且 ai和bi均为常数, an 0. (3) 设第k个时间间隔第i年龄组人数为xi(k).
例3. 遗传学中马尔可夫链模型
优优 劣劣 优混
劣优劣
混混
混劣
优
混 混 优 混 劣混
劣
优劣
1
1 11 1 11
思考题
1.
设A
1 1
1 1
1 1,
1 1 1
求A的Jordan标准形.
第一专题：矩阵的相似标准形
思考题
2. 设A是非零n阶方阵,
对任意常数k,有rkI A rkI A2 ,
试证A相似于对角形.
第一专题：矩阵的相似标准形
第三次课
教学对象
第二专题 通信与信息系统、模式识别与智能系统专业研究生 矩阵函教数学与目的范、要数求理论
0
0
2
0
0
2
第一专题：矩阵的相似标准形
第二次课
教学对象
第一专题 通信与信息系统、模式识别与智能系统专业研究生 矩阵的教学相目似的、标要求准形
理解 矩阵及其标准形
理解行列式因子、不变因子、初等因子
熟练掌握求初等因子的方法.
熟练掌握求Jordan标准形的方法
1.4 Jordan标准形 1.4.1 矩阵的Jordan标准形
第一专题：矩阵的相似标准形 1.4.2 Jordan标准形的求法
求Jordan标准形的初等因子法
例4.1 已知方阵A的初等因子组是
2, 12, 33, 求A的Jordan 标准形.
第一专题：矩阵的相似标准形 1.4.2 Jordan标准形的求法
求Jordan标准形的初等因子法
例4.2
若已知A 的秩为r, 且
f1
A
f2
fr
,
0
0
fi 首系为1，则由fi 的因式的方幂构成A 的初等因子组.
例3.3 求
3 1
A
2 1
的不变因子及标准形.
若
A1
A
O
A2
O ,
Ak
则Ai 的初等因子组全体即A 的初等因子组.
1.3不变因子与初等因子 1.3.2 初等因子
关于i的j阶若当块的个数是
b j i rj1 i 2rj i rj1 i .
写出J .
第一专题：矩阵的相似标准形
1.4.2 Jordan标准形的求法
波尔曼法 求Jordan标准形的
例4.4
设A
1 1
2 0
6 3,
1
1
4
求A的Jordan 标准形.
第一专题：矩阵的相似标准形
1.4.2 Jordan标准形的求法
若 A的标准形是
d1
d2
dr
0
0
则d1, d2, ,dr 恰为A的r个不变因子.
A B A 与B 有相同的行列式因子和不变因子.
1.3不变因子与初等因子 1.3.1 不变因子
例3.1 求
3 1
A
2 1
的不变因子及标准形.
第一专题：矩阵的相似标准形
1.3不变因子与初等因子 1.3.2 初等因子
a 0 a 1 0 a 1 0
A 0 a , B 0 a 1,C 0 a 1.
0
0
a
0
a
0
0
a
第一专题：矩阵的相似标准形 1.4.2 Jordan标准形的求法
求Jordan标准形的初等因子法
定理
任一个n阶方阵必与一个Jordan 标准形相似.
推论
方阵A可对角化
A的初等因子全为一次因式.
理解 矩阵及其标准形
理解行列式因子、不变因子、初等因子
熟练掌握求初等因子的方法.
熟练掌握求Jordan标准形的方法
第一专题 矩阵的相似标准形
▲ 相似矩阵
▲ -矩阵及其标准形
▲ 不变因子与初等因子 ▲ Jordan 标准形
1.1 相似矩阵 1.1.1 相似矩阵及其性质
A ~ B 存在可逆矩阵P, 使B P 1 AP
定理 若A B ,则A 与B
有相同的行列式因子和不变因子.
第一专题：矩阵的相似标准形
1.3不变因子与初等因子 1.3.1 不变因子
定理 若 A的标准形是
d1
d2
dr
0
0
则d1, d2, ,dr 恰为A的r个不变因子.
第一专题：矩阵的相似标准形
若A B,则A与B有相同的行列式因子和不变因子.
任意特征值k重,有n rI A k.
② n阶 矩阵A 可逆的充要条件是A 0.
2.
设
矩阵A
的标准
形是
① rankA ?
② A 是多少次的多项式？
1
，问
2
13
1.2 λ-矩阵及其标准形 1.2.2 λ-矩阵的标准形
例2.2 设n阶 - 矩阵A 可逆， 问A 的标准形是什么？
1
1
1
2
2
4 2 42
2
教学对象
第一专题 通信与信息系统、模式识别与智能系统专业研究生
矩阵的教学相目似的、标要求准形
理解 矩阵及其标准形
理解行列式因子、不变因子、初等因子
熟练掌握求初等因子的方法. 熟练掌握求Jordan标准形的方法 基本概念 状态方程 齐次Markov链
例题
教学对象
第一专题 通信与信息系统、模式识别与智能系统专业研究生 矩阵的教学相目似的、标要求准形
理解 矩阵及其标准形
理解行列式因子、不变因子、初等因子
熟练掌握求初等因子的方法.
熟练掌握求Jordan标准形的方法
第二专题 矩阵函数与范数理论
▲ 矩阵多项式与最小多项式 ▲ 矩阵函数 ▲ 向量的范数 ▲ 矩阵的范数
2.1 矩阵多项式与最小多项式
2.1.1 矩阵多项式的概念与运算
什么是矩阵多项式?
定理 n阶 - 矩阵Aλ可逆的充要条件是
A d.
其中，d是非零常数.
注
对 矩阵, 可逆 满秩
第一专题：矩阵的相似标准形
1.2 λ-矩阵及其标准形 1.2.2 λ-矩阵的标准形
λ-矩阵的标准形或法λ-矩阵
d1
d2
D
dr
0
0
di i 1,2, , r首项系数为1；