1.1.2回归分析的基本思想及其初步应用 教案
新课标人教a版选修1-2教案
1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析.教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想.教学过程：一、复习准备：1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报.二、讲授新课：1. 教学例题：体重.（分析思路→教师演示→学生整理）第一步：作散点图第二步：求回归方程 第三步：代值计算 ② 提问：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60.316kg 吗？不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg 左右.③ 解释线性回归模型与一次函数的不同事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y 和身高x 之间的关系并不能用一次函数y bx a =+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm 的3名女大学生的体重分别为48kg 、57kg 和61kg ，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm 的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e （即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e =++，其中残差变量e 中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义.3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.1.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学过程：一、复习准备：1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.二、讲授新课：1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即21()ni i SST y y ==-∑.残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即21()ni i i SSE y y ==-∑. 回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即21()ni i SSR y y ==-∑. （2）学习要领：①注意i y 、 i y 、y 的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即 222111()()()n n ni i i i i i i y y y y y y ===-=-+-∑∑∑；③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数 22121()1()n i i i ni i y y R yy ==-=--∑∑来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. 2R 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好.2. 教学例题：为了对x 、Y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： 6.517.5y x =+，717y x =+，试比较哪一个模型拟合的效果更好.分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论.（答案： 52211521()155110.8451000()i i i ii y y R y y ==-=-=-=-∑∑，221R =- 521521()18010.821000()i i i i i y y y y ==-=-=-∑∑，84.5%＞82%，所以甲选用的模型拟合效果较好.）3. 小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏.1.1回归分析的基本思想及其初步应用（三）教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法.教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较.教学过程：一、复习准备：1. 给出例3：一只红铃虫的产卵数y 和温度x 有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立y 与x 之间的回归方程.2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. 二、讲授新课： 1. 探究非线性回归方程的确定： ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模.② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =2C 1e x C 的周围（其中12,c c 是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量.③ 在上式两边取对数，得21ln ln y c x c =+，再令ln z y =，则21ln z c x c =+，而z 与x 间的关系线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合. ④ 利用计算器算得 3.843,0.272a b =-=，z 与x 间的线性回归方程为0.272 3.843z x =- ，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为 0.272 3.843x y e -=.⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图→建模→确定方程”这三个步骤进行.其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题.2. 小结：用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤.三、巩固练习：（1（2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.（答案：所求非线性回归方程为0.69 1.112ˆy=e x +.）1.1回归分析的基本思想及其初步应用（四）教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法，了解可用残差分析的方法，比较两种模型的拟合效果.教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较.教学过程：一、复习准备：1. 提问：在例3中，观察散点图，我们选择用指数函数模型来拟合红铃虫的产卵数y 和温度x 间的关系，还可用其它函数模型来拟合吗？2. 讨论：能用二次函数模型234y c x c =+来拟合上述两个变量间的关系吗？（令2t x =，则34y c t c =+，此时y 与t 间的关系如下：直线的周围，因此不宜用线性回归方程来拟合它，即不宜用二次曲线234y c x c =+来拟合y 与x 之间的关系. ）小结：也就是说，我们可以通过观察变换后的散点图来判断能否用此种模型来拟合. 事实上，除了观察散点图以外，我们也可先求出函数模型，然后利用残差分析的方法来比较模型的好坏.二、讲授新课：1. 教学残差分析：① 残差：样本值与回归值的差叫残差，即 i ii e y y=-. ② 残差分析：通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析.③ 残差图：以残差为横坐标，以样本编号，或身高数据，或体重估计值等为横坐标，作出的图形称为残差图. 观察残差图，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高.2. 例3中的残差分析：计算两种模型下的残差一般情况下，比较两个模型的残差比较困难（某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相反），故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好.由于两种模型下的残差平方和分别为1450.673和15448.432，故选用指数函数模型的拟合效果远远优于选用二次函数模型. （当然，还可用相关指数刻画回归效果）3. 小结：残差分析的步骤、作用三、巩固练习：练习：教材P13第1题1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（一）教学要求：通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高，让学生亲身体验独立性检验的实施步骤与必要性.教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤.K的含义.教学难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量2教学过程：一、复习准备：回归分析的方法、步骤，刻画模型拟合效果的方法（相关指数、残差分析）、步骤.二、讲授新课：1. 教学与列联表相关的概念：①分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量. 分类变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级，等等. 分类变量的取值有时可用数字来表示，但这时的数字除了分类以外没有其他的含义. 如用“0”表示“男”，用“1”表示“女”.②列联表：分类变量的汇总统计表（频数表）. 一般. 如吸烟与患肺癌的列联表：称为222. 教学三维柱形图和二维条形图的概念：由列联表可以粗略估计出吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异.（教师在课堂上用EXCEL软件演示三维柱形图和二维条形图，引导学生观察这两类图形的特征，并分析由图形得出的结论）3. 独立性检验的基本思想：①独立性检验的必要性（为什么中能只凭列联表的数据和图形下结论？）：列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，故需要用列联表检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体.第一步：提出假设检验问题H0：吸烟与患肺癌没有关系↔H1：吸烟与患肺癌有关系第二步：选择检验的指标22()K()()()()n ad bca b c d a c b d-=++++（它越小，原假设“H：吸烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越大；它越大，备择假设“H1：吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大.1.2独立性检验的基本思想及其初步应用（二）教学要求：通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高，让学生亲身体验独立性检验的实施步骤与必要性.教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤.教学难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量2K的含义.教学过程：教学过程：一、复习准备：独立性检验的基本步骤、思想二、讲授新课：1. 教学例1：例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？①第一步：教师引导学生作出列联表，并分析列联表，引导学生得出“秃顶与患心脏病有关”的结论；第二步：教师演示三维柱形图和二维条形图，进一步向学生解释所得到的统计结果；第三步：由学生计算出2K的值；第四步：解释结果的含义.②通过第2个问题，向学生强调“样本只能代表相应总体”，这里的数据来自于医院的住院病人，因此题目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体，而把这个结论推广到其他群体则可能会出现错误，除非有其它的证据表明可以进行这种推广.2. 教学例2：例2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：由表中数据计算得到的观察值. 在多大程度上可以认为高中生的性别与是否数学课程之间有关系？为什么？（学生自练，教师总结）强调：①使得2( 3.841)0.05P K ≥≈成立的前提是假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”.如果这个前提不成立，上面的概率估计式就不一定正确；②结论有95%的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”的含义；③在熟练掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后，可直接计算2K 的值解决实际问题，而没有必要画相应的图形，但是图形的直观性也不可忽视.3. 小结：独立性检验的方法、原理、步骤 三、巩固练习： 某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机进行调查并得到如下的列联表：请问有多大把握认为“高中生学习状况与生理健康有关”？2.1.1 合情推理（一）教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.教学重点：能利用归纳进行简单的推理.教学难点：用归纳进行推理，作出猜想.教学过程：一、新课引入：1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”.2. 费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4242165537F =+=的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数n ，任何形如221n n F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数，推翻费马猜想.3. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.二、讲授新课：1. 教学概念：① 概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.② 归纳练习：(i )由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？(ii )由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？(iii )观察等式：2221342,13593,13579164+==++==++++==，能得出怎样的结论？ ③ 讨论：(i )统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ (ii )归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段）(iii )归纳推理的结果是否正确？（不一定）2. 教学例题：① 出示例题：已知数列{}n a 的第1项12a =，且1(1,2,)1n n na a n a +==+ ，试归纳出通项公式. （分析思路：试值n =1，2，3，4 → 猜想n a →如何证明：将递推公式变形，再构造新数列）② 思考：证得某命题在n ＝n 0时成立；又假设在n ＝k 时命题成立，再证明n ＝k ＋1时命题也成立. 由这两步，可以归纳出什么结论？ （目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关系） ③ 练习：已知(1)0,()(1)1,f af n bf n ==-= 2,0,0n a b ≥>>，推测()f n 的表达式.3. 小结：①归纳推理的药店：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子：哥德巴赫猜想的提出；数列通项公式的归纳.三、巩固练习：1. 练习：教材P 38 1、2题.2. 作业：教材P 44 习题A 组 1、2、3题.2.1.1合情推理（二）教学要求：结合已学过的数学实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.教学难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想.教学过程：一、复习准备：1. 练习：已知 0(1,2,,)i a i n >= ，考察下列式子：111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥；123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 . 2. 猜想数列1111,,,,13355779--⨯⨯⨯⨯ 的通项公式是 . 3. 导入：鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.二、讲授新课：1. 教学概念：① 概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.② 类比练习：(i )圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体？ (ii )平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？(iii )由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征. （教材P81 探究 填表）小结：平面→空间，圆→球，线→面.③ 讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维.2. 教学例题：思维：直角三角形中，090C ∠=，3条边的长度,,a b c ，2条直角边,a b 和1条斜边c ； →3个面两两垂直的四面体中，090PDF PDE EDF ∠=∠=∠=，4个面的面积123,,S S S 和S 3个“直角面”123,,S S S 和1个“斜面”S . → 拓展：三角形到四面体的类比. 3. 小结：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理.三、巩固练习：1. 练习：教材P 38 3题. 2. 探究：教材P 35 例5 3.作业：P 44 5、6题.2.1.2 演绎推理教学要求：结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。
人教A版 选修1-2 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用 教案
1.1 回归分析的基本思想及其初步应用学习目标：1.了解随机误差、残差、残差图的概念．(重点)2.会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果．(重点)3.了解常见的非线性回归模型转化为线性回归模型的方法．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．回归分析的相关概念 (1)回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． (2)回归直线方程方程^y＝^bx ＋^a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中^a，^b是待定参数，其最小二乘估计分别为：，b其中＝n 1x n i ，＝n 1y ni ，(，)称为样本点的中心． (3)线性回归模型样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y ＝bx ＋a 来描述它们之间的关系，而是用线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e 来表示，其中a 和b 为模型的未知参数，e 称为随机误差，自变量x 称为解释变量，因变量y 称为预报变量．思考：在线性回归模型y ＝bx ＋a ＋e 中，e 产生的原因主要有哪几种？ [提示]随机误差产生的原因主要有以下几种： (1)所用的确定性函数不恰当引起的误差； (2)忽略了某些因素的影响； (3)存在观测误差．2．残差的概念对于样本点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )而言，它们的随机误差为e i ＝y i －bx i －a ，i ＝1,2，…，n ，其估计值为^e i ＝y i －^y i ＝y i －^b x i －^a，i ＝1,2，…，n ，^ei 称为相应于点(x i ，y i )的残差．3．刻画回归效果的方式1．思考辨析(1)相关指数R 2越小，线性回归方程的拟合效果越好． ( )(2)在线性回归模型中，e 是bx ＋a 预报真实值y 的随机误差，它是一个可观测的量．( )(3)线性回归方程^y＝^bx ＋^a必过样本点的中心(，)． ( ) [答案] (1)× (2)× (3)√2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x ，y 的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数R 2分别如下表：A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁A [相关指数R 2越大，表示回归模型的拟合效果越好．]3．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A 、B 两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和 n(y i －^yi )2如表所示：关系的模型拟合精度高．丁 [根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据，R 2表达式中 n(y i －)2为确定的数，则残差平方和越小，R 2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果就越好，由试验结果知丁要好些．]4．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为^y＝0.85x －85.71，则下列结论中正确的是________(填序号).(1)y 与x 具有正的线性相关关系； (2)回归直线过样本点的中心(，)；(3)若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ；(4)若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg. (1)(2)(3) [回归方程中x 的系数为0.85>0，因此y 与x 具有正的线性相关关系，(1)正确；由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(，)，(2)正确； 依据回归方程中^b的含义可知，x 每变化1个单位，^y相应变化约0.85个单位，(3)正确；用回归方程对总体进行估计不能得到肯定结论，故(4)不正确．][合 作 探 究·攻 重 难]求线性回归方程数据：x 6 8 10 12 (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程^y ＝^b x ＋^a ；(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力.[解] (1)如图：(2)x ni y i ＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，＝46＋8＋10＋12＝9，＝42＋3＋5＋6＝4，x n i 2＝62＋82＋102＋122＝344， ^b ＝344－4×92158－4×9×4＝2014＝0.7， ^a ＝－^b＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为^y＝0.7x －2.3.(3)由(2)中线性回归方程当x ＝9时，^y＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.[规律方法] 求线性回归方程的基本步骤： 1列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系. 2计算：3代入公式求出^y＝^bx ＋^a中参数^b，^a的值. 4写出线性回归方程并对实际问题作出估计.提醒：只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义.1．某种产品的广告费用支出x 与销售额y (单元：百万元)之间有如下的对应数据：x /百万元 2 4 5 6 8 y /百万元 3040605070(2)求线性回归方程；(3)试预测广告费用支出为10百万元时的销售额． [解] (1)散点图如图所示：(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：所以，＝5＝5，＝5＝50，x i ＝145，x 5i y i ＝1 380.于是可得^b ＝22＝145－5×521 380－5×5×50＝6.5， ^a ＝－^b＝50－6.5×5＝17.5.所以所求的线性回归方程为^y＝6.5x ＋17.5.(3)根据(2)中求得的线性回归方程，当广告费用支出为10百万元时，^y＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元．线性回归分析量的6个物体进行测量，数据如下表所示：x 5 10 15 20 25 30(2)求出R 2； (3)进行残差分析. [解] (1)散点图如图．＝61(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，＝61(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，x 6i 2＝2 275，x 6i y i ＝1 076.2， 计算得，^b≈0.183，^a≈6.285， 所求回归直线方程为^y＝0.183x ＋6.285. (2)列表如下：所以 (y i －^i )2≈0.013 18， (y i －)2＝14.678 4.所以，R 2＝1－14.678 40.013 18≈0.999 1，回归模型的拟合效果较好．(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系．2．关于x 与y 有如下数据：有如下的两个线性模型：(1)^＝6.5x ＋17.5；(2)^＝7x ＋17.试比较哪一个拟合效果更好．[解] 由(1)可得y i －^yi 与y i －的关系如下表：∴ (y i －^i )2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52＝155，(y i －)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.∴R 12＝1－5＝1－1 000155＝0.845.由(2)可得y i －^yi 与y i －的关系如下表：∴ (y i －^i )2＝(－1)2＋(－5)2＋82＋(－9)2＋(－3)2＝180， (y i －)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000. ∴R 22＝1－5＝1－1 000180＝0.82，由于R 12＝0.845，R 22＝0.82,0.845>0.82，∴R 12>R 22. ∴(1)的拟合效果好于(2)的拟合效果．非线性回归分析1．已知x 和y 之间的一组数据，则下列四个函数中，模拟效果最好的为哪一个？2③y ＝4x;④y ＝x 2.提示：观察散点图中样本点的分布规律可判断样本点分布在曲线y ＝3×2x－1附近．所以模拟效果最好的为①. 2．如何将上题函数变换为线性函数？提示：将y ＝3×2x －1两边取自然对数得ln y ＝ln 3＋(x －1)ln 2.令x ′＝x ，y ′＝ln y ，则原方程变为y ′＝ln 3＋x ′ln 2－ln 2＝ln 23＋x ′ln 2.这样y ′与x ′成线性函数关系．为了研究某种细菌随时间x 变化，繁殖的个数，收集数据如下： 天数x /天 1 2 3 4 5 6(1)用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图，根据散点图判断：y ＝a ＋bx 与y ＝c 1e c 2x 哪一个作为繁殖的个数y 关于时间x 变化的回归方程类型为最佳？(给出判断即可，不必说明理由)其中z i ＝ln y i ；＝6z i .(2)根据(1)的判断最佳结果及表中的数据，建立y 关于x 的回归方程.参考公式：^b ＝n ，^a ＝－^b.思路探究：(1)根据收集数据，可得数据的散点图；(2)由散点图看出样本点分布在一条指数型曲线y ＝c e bx (c >0)的周围，则ln y ＝bx ＋ln c ．变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程来拟合，即可求出y 对x 的回归方程．[解] (1)作出散点图，如图1所示．图1 图2由散点图看出样本点分布在一条指数函数y ＝c 1e c 2x 的周围，于是选择y ＝c 1e c 2x .(2)令z ＝ln y ，则z ＝bx ＋a .z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25相应的散点图如图2.从图2可以看出，变换后的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程来拟合．由^b＝6≈0.69，^a ＝－^b＝1.115，得z ＝0.69x ＋1.115； 则有^y＝e 0.69x ＋1.115.母题探究：1.(变结论)在本例条件不变的情况下，试估计第7天细菌繁殖个数．[解] ∵^y＝e 0.69x ＋1.115， ∴当x ＝7时，^y≈382(个)即第7天细菌繁殖个数约为382个． 2．(变结论)计算相关指数． [解] 残差计算如下表： 天数 1 2 3 4 5 6 残差0.080.12－0.83－0.821.061.52即解释变量“天数”对预报变量“繁殖细菌个数”解释了99.98%. [规律方法] 解决非线性回归问题的方法及步骤 1确定变量：确定解释变量为x ，预报变量为y ； 2画散点图：通过观察散点图并与学过的函数幂、指数、对数函数、二次函数作比较，选取拟合效果好的函数模型；5写出非线性回归方程.1．下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的线性回归方程必过点( )x 123 4y 1357C．(2.5,4) D．(2.5,5)C [线性回归方程必过样本点的中心(，)，即(2.5,4)，故选C.]2．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是( )A BC DA[用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．] 3．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)之间满足y i＝bx i＋a＋e i(i ＝1,2，…，n)，且e i恒为0，则R2为________．1 [∵e i恒为0，∴样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)均落在直线y＝bx ＋a 上，∴变量x ，y 成函数关系，即R 2＝1.]4．已知回归方程^y＝2x ＋1，而试验得到一组数据是(2,4.9)，(3,7.1)，(4,9.1)，则残差平方和等于________．0.03 [(4.9－5)2＋(7.1－7)2＋(9.1－9)2＝0.03.] 5．已知x ，y 之间的一组数据如下表：(1)分别计算：、、x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4、x 1＋x 2＋x 3＋x 4；(2)已知变量x 与y 线性相关，求出回归方程．[解] (1)＝40＋1＋2＋3＝1.5，＝41＋3＋5＋7＝4，x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4＝0×1＋1×3＋2×5＋3×7＝34，x 12＋x 22＋x 32＋x 42＝02＋12＋22＋32＝14. (2)^b ＝14－4×1.5234－4×1.5×4＝2， ^a ＝－^b＝4－2×1.5＝1， 故^y＝2x ＋1.。
1.1.2回归分析的基本思想及其初步应用 教案
第 1 页 1.1.2 回归分析的根本思想及其初步应用教学要求：通过典型案例的探究 ,进一步了解回归分析的根本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学过程：一、复习准备：1．由例1知 ,预报变量〔体重〕的值受解释变量〔身高〕或随机误差的影响.2．为了刻画预报变量〔体重〕的变化在多大程度上与解释变量〔身高〕有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 二、讲授新课：1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：〔1〕总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和 ,即21()n i i SST y y ==-∑.残差平方和：回归值与样本值差的平方和 ,即21()ni i i SSE y y ==-∑.回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和 ,即21()ni i SSR y y ==-∑.〔2〕学习要领：①注意i y 、i y 、y 的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和 ,即222111()()()n n ni i i i i i i y y y y y y ===-=-+-∑∑∑；③当总偏差平方和相对固定时 ,残差平方和越小 ,那么回归平方和越大 ,此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型 ,我们还可以引入相关指数22121()1()n i i i ni i y y R y y ==-=--∑∑来刻画回归的效果 ,它表示解释变量对预报变量变化的奉献率. 2R 的值越大 ,说明残差平方和越小 ,也就是说模型拟合的效果越好.2. 教学例题：例2 关于x 与Y 有如下数据：x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 5070为了对x 、Y 两个变量进行统计分析 ,现有以下两种线性模型：6.517.5y x =+ ,717y x =+ ,试比拟哪一个模型拟合的效果更好.分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和 ,也可分别求出两种模型下的相关指数 ,然后再进行比拟 ,从而得出结论.。
教学设计2：1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(二)
回归分析的基本思想及其初步【教学目标】：（1）知识与技能：了解回归模型的选择；进一步理解非线性模型通过变换转化为线性回归模型；体会不同模型拟合数据的效果。
（2）过程与方法：从实例出发，求出相应的回归直线方程，从中也找出存在的不足，从而有进行回归分析的必要性，通过学习相关指数，用相关指数来刻画回归的效果，进而归纳出回归分析的一般步骤，并对具体问题进行回归分析，用于解决实际问题。
（3）情感态度与价值观：任何事物都是相对的，但又有一定的规律性，我们只要从实际出发，不断探求事物的内在联系，就会找出其中的规律性，形成解决实际问题的方法和能力。
【教学重点】：1、加深体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型；2、了解在解决问题的过程中寻找更好的模型的方法。
【教学难点】：1、了解常用函数的图像特点，选择不同的模型建模；2、通过比较相关指数对不同的模型进行比较。
【课前准备】：课件【教学过程设计】：练习与测试1． 在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数2R 如下，其中拟合效果最好的模型是（ A ）A ．模型1的相关指数2R 为98.0B ．模型2的相关指数2R 为80.0C ．模型3的相关指数2R 为50.0D ．模型4的相关指数2R 为25.02． 已知两个变量的回归模型为x y 22⋅=，则样本点的（1，4.4）的残差是_____________________【答案】0.43． 残差平方和用数学符号表示为___________________，它代表了随机误差的效应；解释变量的效应值称为回归平方和，可以用相关指数2R 来刻画回归的效果，其计算公式是___________________。
显然，2R 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好。
【答案】4． 在研究硝酸纳的可溶性程度时，对不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下表所示： 则由此得到的回归直线的斜率是____________。
1.1.2回归分析的基本思想及其初步应用
主备人： 审核人： 本学期第 课时 本单元第 课时 授课日期 课 回归分析的基本思想及其初步应用 2 课型 新授课 题 教 通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用； 学 通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决 实际问题的过程中寻找更好的模型的方法； 目 典型例题解答与分析 . 标 重 重点：典型例题解答与分析； 点 难点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解 难 在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法. 点 学 情 上一节研究了线性模型类型，本节在此基础上进一步研究. 分 析 教 学 自主学习、合作探究 方 法 教学过程
Ⅰ.学前准备 1. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法， 其步骤：收集数据 作散点图 求回归直线方程 利用方程进行预 报.
备注
创 设 情 境 引 入 新 课
2.回顾评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平 2 方和及 R .
Ⅱ.探究活动 1． 自学下面内容了解即可（可结合教材完成） 例 2：一只红铃虫的产卵数 y 和温度 x 有关，现收集了 7 组观测数据列于下 表中，试建立 y 与 x 之间的回归方程. 温 度 x/ C 产 卵 数 y/ 个 解：
8 6 4 2 0 0 10 20 x 30 40
产卵数
X 21 23 25 27 29 32 35 z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 观察 z 与 x 的散点图，可以发现变换后样本点分布在一条直线的附近，因此 可以用线性回归方程来拟合. ④ 利用计算器算得 a 3.843, b 0.272 ， z 与 x 间的线性回归方程 为 0.272 x 3.843 ， 因 此 红 铃 虫 的 产 卵 数 对 温 度 的 非 线 性 回 归 方 程 为 z
高中数学回归分析的基本思想及其初步应用教案1 新人教A版选修1-2
1、1回归分析的基本思想及其初步应用。
教学目标：通过典型案例，掌握回归分析的基本步骤。
教学重点：熟练掌握回归分析的步骤。
教学难点：求回归系数 a , b教学方法：讲练。
教学过程：一、复习引入：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
二、新课:1、回归分析的基本步骤：(1) 画出两个变量的散点图。
(2) 求回归直线方程。
(3) 用回归直线方程进行预报。
2、举例：例1、题（略） 用小黑板给出。
解：(1) 作散点图，由于问题是根据身高预报体重，因此要求身高与体重的回归直线方程，取身高为自变量x 。
体重为因变量 y ，作散点图（如图）（2）列表求 ,ˆ0.849ˆ85.712x yba ≈≈-回归直线方程 y=0.849x-85.712对于身高172cm 女大学生，由回归方程可以预报体重为y=0.849*172-85.712=60.316(kg) 预测身高为172cm 的女大学生的体重为约60。
316kg问题：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60。
316kg 吗?（留下一节课学习） 例2：（提示后做练习、作业）研究某灌溉渠道水的流速y 与水深x 之间的关系，测得一组数据如下：水深xm 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 流速ym/s1.70 1.79 1.88 1.952.03 2.10 2.16 2.21（1）求y 对x 的回归直线方程；（2）预测水深为1。
95m 时水的流速是多少？解：（略）三、小结四、作业： 例2、 预习。
高中数学人教A版选修1-2教案1.1回归分析的基本思想及其初步应用(共4课时)
第一章 统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）教学目标：(1).知识与技能：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用 (2).过程与方法：了解回归分析的基本思想、方法及初步应用 (3).情感,态度与价值观：充分利用图形的直观性，简捷巧妙的解题 教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关指数和残差分析. 教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想. 教学方法:讲解法,引导法 教学过程： 一、复习准备：1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报. 二、讲授新课： 1. 教学例题：① 例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm165165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm 的女大学生的体重. （分析思路→教师演示→学生整理）第一步：作散点图第二步：求回归方程第三步：代值计算② 提问：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60.316kg 吗？ 不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg 左右.③ 解释线性回归模型与一次函数的不同事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y 和身高x 之间的关系并不能用一次函数y bx a =+来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm 的3名女大学生的体重分别为48kg 、57kg 和61kg ，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm 的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e （即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型y bx a e =++，其中残差变量e 中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型.因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义. 三,课堂练习1. 下列两个变量具有相关关系的是（ ） A. 正方体的体积与边长 B. 人的身高与视力 C.人的身高与体重D.匀速直线运动中的位移与时间2. 在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（ ） A. 预报变量在x 轴上，解释变量在 y 轴上 B. 解释变量在x 轴上，预报变量在 y 轴上 C. 可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 D. 可选择两个变量中任意一个变量在 y 轴上3. 回归直线y bx a =+必过（ ）A. (0,0)B. (,0)xC. (0,)yD. (,)x y 4.r 越接近于1，两个变量的线性相关关系 .5. 已知回归直线方程0.50.81y x =-,则25x =时,y 的估计值为 四,总结求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.五:作业:一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：（1）画散点图；（2）求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为 10 个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？板书设计1.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）例1第一步：作散点图 , 第二步：求回归方程 , 第三步：代值计算解释线性回归模型与一次函数的不同课堂练习:总结:作业:课后反思:1.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）教学目标：(1).知识与技能：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型(2).过程与方法：了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法，了解可用残差分析的方法，比较两种模型的拟合效果.(3).情感,态度与价值观：充分利用图形的直观性，简捷巧妙的解题教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学方法:讲解法,引导法 教学过程： 一、复习准备：1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 二、讲授新课：1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即21()ni i SST y y ==-∑.残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即21()ni i i SSE y y ==-∑.回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即21()ni i SSR y y ==-∑.（2）学习要领：①注意i y 、i y 、y 的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即222111()()()nnni i i i i i i y y y y y y ===-=-+-∑∑∑；③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. 2R 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好.2. 教学例题：例2 关于x 与Y 有如下数据： x 2 4 5 6 8 y3040605070为了对x 、Y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： 6.517.5y x =+，717y x =+，试比较哪一个模型拟合的效果更好.分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论.（答案：52211521()155110.8451000()i iiiiy yRy y==-=-=-=-∑∑，221R=-521521()18010.821000()i iiiiy yy y==-=-=-∑∑，84.5%＞82%，所以甲选用的模型拟合效果较好.）三,课堂练习2．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有()A．b与r的符号相同B．a与r的符号相同C．b与r的符号相反 D. a与r的符号相反3. 在一次抽样调查中测得样本的5个样本点数值如下表：四,总结分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏.五:作业:1.下列有关线性回归的说法，不正确的是()A．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个量的一组数据的图形叫做散点图C．线性回归方程最能代表具有线性相关关系的x，y之间的关系D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程2. 在建立两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数如下，其中拟合最好的模型是（）A.模型1的相关指数为0.98B.模型2的相关指数为0.80C.模型3的相关指数为0.50D.模型4的相关指数为0.25板书设计1.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）(1）总偏差平方和：回归平方和：残差平方和：例2关于x与Y有如下数据课堂练习:总结:作业:课后反思:1.1回归分析的基本思想及其初步应用（三）教学目标：(1).知识与技能：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型。
高中数学选修1-2教案5：1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(一)教学设计
1．1回归分析的基本思想及其初步应用（第1课时）教案【教学目标】在《数学③（必修）》之后，学生已经学习了两个变量之间的相关关系，包括画散点图，最小二乘法求回归直线方程等内容.在人教A版选修1-2第一章第一节“回归分析的基本思想及其初步应用”这一节中进一步介绍回归分析的基本思想及其初步应用.这部分内容《教师用书》共计4课时，第一课时：介绍线性回归模型的数学表达式，解释随机误差项产生的原因，使学生能正确理解回归方程的预报结果；第二课时：从相关系数、相关指数和残差分析角度探讨回归模型的拟合效果，以及建立回归模型的基本步骤；第三课时：介绍两个变量非线性相关关系；第四课时：回归分析的应用. 本节课是第一课时的内容.1、知识目标认识随机误差；2、能力目标（1）会使用函数计算器求回归方程；（2）能正确理解回归方程的预报结果.3、情感目标通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，理解处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神.培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力.教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性.【教学重点】随机误差ｅ的认识【教学难点】随机误差的来源和对预报变量的影响【教学方法】启发式教学法【教学手段】多媒体辅助教学【教学流程】【教学过程设计】【教学反思】通过本节课的教学实践，我再次体会到什么是由“关注知识”转向“关注学生”，在教学过程中，注意到了由“给出知识”转向“引起活动”，由“完成教学任务”转向“促进学生发展”，课堂上的真正主人应该是学生．一堂好课，师生一定会有共同的、积极的情感体验．本节课的教学中，知识点均是学生通过探索“发现”的，学生充分经历了探索与发现的过程．教学中没有以练习为主，而是定位在知识形成过程的探索，注重数学的思想性，如统计思想、随机观念、函数思想、数形结合的思想方法等，引导学生体验数学中的理性精神，加强数学形式下的思考和推理．几点注明：1、复习引入时教师做示范——提供5组身高与体重的数据，用Excel展示如何画散点图、用最小二乘法求线性回归方程.随机抽样并列表如下：2、计算机做散点图的步骤如下：（1）进入Excel软件操作界面，在A1,B1分别输入“身高”和“体重”，在A,B列输入相应的数据.（2）点击“图表向导”图标，进入“图表类型”对话框，选择“标准类型”中的“XY散点图”，单击“下一步”.（3）在“图表向导”中的“图表数据源”对话框中，选择“系列”选项，单击“添加”按钮添加系列1，在“X值”栏中输入身高所在数据区域，在“Y值”栏中输入体重所在数据区域，单击“下一步”.（4）进入“图表向导”中的图表选项对话框，对图表的一些属性进行设置.（5）单击“完成”按钮.注：也可以直接使用我们提供的文件来给学生演示，相对节约课堂时间.3、学生使用函数计算器求回归方程的过程如下：（学生还会使用更先进的计算器）4、课堂使用的数据如下高二女生前15组数据列表：高二女生中间15组数据列表：高二女生后15组数据列表：课本P2例题1 女大学生8组数据列表：例1.。
1.1回归分析的基本思想及其初步应用第2课时优秀教学设计
1.1 回归分析的基本思想及其初步【课题】：1.1.2 回归分析的基本思想及其初步【教学目标】：（1）知识与技能：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和；了解偏差平方和分解的思想；了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分析；了解非线性模型通过变换转化为线性回归模型。
（2）过程与方法：本节内容先从大学中女大学生的甚高和体重之间的关系入手，求出相应的回归直线方程，从中也找出存在的不足，从而有进行回归分析的必要性，进而学习相关指数，用相关指数来刻画回归的效果。
（3）情感态度与价值观：从实际问题中发现自己已有知识的不足之处，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生不满足于已有知识，勇于求知的良好个性品质，引导学生积极进取。
【教学重点】：1.了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关指数和残差分析；2.通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型。
【教学难点】：1.解释残差变量的含义；2.了解偏差平方和分解的思想。
【课前准备】：课件列表计算出各个量编号1234567温度x/°C21232527293235产卵数y/个711212466115325 z=ln y 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 x i244152962572984110241225 x i z i40.9 55.2 76.1 85.8 121.5 151.8 202.4练习与测试1．下面4 个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是（ A ）A ．B ．C ．D ．2．将非线性模型进行适当变形使之线性化。
xe y 32=答案：2ln 32ln ln 3ln +=⇒+=x z e x y 3．已知回归方程，则样本点P （4，2．71）的残差为________________。
35.0log 21.1ˆ2-=x y答案：()56.015.271.235.04log 2.171.2ˆˆ2=-=--=-=y y e4．已知线性相关的两变量，的三个样本点A （0，0），B （1，3），C （4，11），若用直线AB 作为其x y 预测模型，则点C 的残差是________。
回归分析的基本思想及其初步应用精品教案
回归剖析的基本思想及其初步应用【教课目的】1．知识目标认识随机偏差；认识残差。
2．能力目标（1）会使用电脑画散点图、求回归直线方程；（2）能正确理解回归方程的预告结果。
3．感情目标经过本节课的学习，增强数学与现实生活的联系，以科学的态度评论两个变量的有关性，理解办理问题的方法，形成谨慎的治学态度和持之以恒的修业精神。
培育学生运用所学知识，解决实质问题的能力。
教课中适合地利用学生合作与沟通，使学生在学习的同时，领会与别人合作的重要性。
【教课重点】回归剖析的基本方法、随机偏差ｅ的认识、残差【教课难点】回归剖析的基本方法【教课方法】启迪式教课法【教课过程设计】教课过程双边活动设计说明教师活动学生活动创建情境：发问：身高和体重之间是察看思虑并从学生感兴趣的供给六名篮球明星什么关系？我们怎样来研回答篮球明星下手，的图片，让学生猜最高究这类关系。
层层深入，引入最重的人，进而引出本提出将要研究的问题课题。
课主题。
“今年级男生身高与体重之间的关系”。
复习回首：1、在学生小组议论的学生小组讨经过有效的复习一、将前面 1、2 问题改时候，教师合时参加论 1、2 两个让学生为后边新为：议论。
问题。
经过小知识的解说打下1、两个变量之间有哪2、教师演示用计算机组议论，使得优秀的基础。
几种关系？进行回归剖析的方学困生也能2、进行线性回归剖析法。
对从前的知的一般步骤是什么。
识有必需的二、学生回答完问题后，认识。
教师用计算机演示一遍操作。
问题体现：1、要修业生小组议论统1、小组议论回归剖析的先决例 1．统计 10 名高三女计方案。
并对学生提出并设计一条件是统计数据生的身高体重数据，汇的方案做出评论个统计 10 不可以有错误而且总后求出依据身高预告2、找学生代表登台操作。
名女生身切合统计规律，体重的回归方程，并随高体重数因此让学生设计机检查一名高三女生的据的方方案能让学生参身高，而后预告体重。
案。
与知识产生的全2、认真察看过程，切合课改登台操作理念。
高中数学选修1-2教案：1.1回归分析的基本思想及其初步应用(二)
教学方案精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
1.1.2回归分析的基本思想及初步应用学案
泰安五中数学学科高一学案1.1.2 回归分析的基本思想及其初步应用编制者：刘金芳编制时间：2014年2月25日审定学习目标：1、会建立回归模型，进而学习相关指数（相关指数R2、残差分析）2、会求上述的相关指数：3、从实际问题发现已有知识不足，激发好奇心、求知欲，培养勇于求知的良好个性品质。
学习重难点：残差分析,相关指数R2的计算、建立回归模型的步骤。
㈠预习导学【自主梳理】复习准备：1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的两个统计量：残差、相关指数R2.1. 残差：（1）残差的定义（2）残差的作用2.绘残差图从残差图看：⑴哪些点为可疑点？ 发现可疑点该如何办？ ⑵如何判断模型拟合程度？3. 相关指数R 2R 2=R 2越大，意味着残差平方和21ˆ()ni i y y=-∑ ，即模型的拟合效果 ； R 2越小，意味着残差平方和21ˆ()n i i y y=-∑ ，即模型的拟合效果 .。
例如例1，R 2≈ 表明“ ”或者 “ ”预报时需要注意下列问题：1. 2. 3. 4.㈡ 课堂导学 【合作探究】例1 关于x 与Y 有如下数据：为了对x 、Y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： 6.517.5y x =+，717y x =+，试比较哪一个模型拟合的效果更好.【拓展延伸】.假设美国10家最大的工业公司提供了以下数据：（1）作销售总额和利润的散点图，根据该图猜想它们之间的关系应是什么形式；(2) 建立销售总额为解释变量，利润为预报变量的回归模型，并计算残差；(3) 你认为这个模型能较好地刻画销售总额和利润之间的关系吗？请说明理由。
【反馈训练】1.两个变量有线性相关关系且残差的平方和等于0，则（）A.样本点都在回归直线上B.样本点都集中在回归直线附近C.样本点比较分散D.不存在规律2.在建立两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数如下，其中拟合最好的模型是（）A.模型1的相关指数为0.98B.模型2的相关指数为0.80C.模型3的相关指数为0.50D.模型4的相关指数为0.253.相关指数＝。
回归分析的基本思想及其初步应用 精品教案
回归分析的基本思想及其初步应用一、教学目标：1．明确两个变量具有相关关系的意义；2．知道回归分析的意义；3．知道回归直线、回归直线方程、线性回归分析的意义；4．掌握对两个变量进行线性回归的方法和步骤，并能借助科学计算器确定实际问题中两个变量间的回归直线方程；5．培养学生形成运用数据进行推断的能力；6．让学生体会从特殊到一般的辩证思想方法．二、教学重点：了解线性回归的基本思想和方法；教学难点：线性回归的基本思想方法和计算．三、教学用具：幻灯机或多媒体四、教学过程：1．引入新课S 先引入函数关系再引入相关关系间由正方形面积S与其边长x之间的函数关系2x （确定关系）引入一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系（非确定关系），从而引入新授内容．2．（板书）相关关系与回归分析（1）相关关系进一步分析水稻产量与施肥量的关系，得出相关关系的概念．（板书）自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系．相关关系与函数关系的异同点：相同点：均是指两个变量的关系．不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．引导学生列举现实生活中相关关系的例子．（2）回归分析（板书）对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析．通俗地讲，回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性．（3）散点图（板书）表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形，叫做散点图． 散点图形象地反映了各对数据的密切程度． 3．回归直线方程（1）求回归直线方程的思想方法先引导学生观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近．并问学生，类似图中的直线可画几条？显见，可画出不止一条类似的直线．那么，其中的哪一条直线最能代表变量x 与y 之间的关系呢？引导学生分析，最能代表变量x 与y 之间关系的直线的特征：即n 个偏差的平方和最小，其过程简要分析如下：设所求的直线方程为a bx y +=∧，其中a 、b 是待定系数． 则 ),,2,1.(n i a bx y i i =+=∧．于是得到各个偏差 ),,2,1).((n i a bx y y y i i i i =+-=-∧．显见，偏差∧-i i y y 的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n 个偏差的平方和2222211)()()(a bx y a bx y a bx y Q n n --++--+--=表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度．记 ∑=--=ni iia bx y Q 12)(（向学生说明∑=ni 1的意义）．上述式子展开后，是一个关于a 、b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的a 、b 的值（课前布置学生看阅读材料）．即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====..)())((2121121x b y a x n x xy n y x x x y y x x b ni i ni i i n i i n i i i其中∑∑====ni i n i i y n y x n x 111,1．在此基础上，给出回归直线方程、回归直线、线性回归分析的概念．最后，向学生指出，对回归直线方程只要求会运用它进行具体计算a 、b ，求出回归直线方程即可．不要求掌握回归直线方程的推导过程．（2）回归直线方程的求法提问：列表计算的优点是什么？故可得到,2573075.43.399,75.430770003.399307871752≈⨯-=≈⨯-⨯⨯-=a b 从而得回归直线方程是.25775.4+=∧x y最后请一位学生画出回归直线，并求出35=x 时，y 的估计值．例 一个工厂在某年里每月产品的总成线y （万元）与该月产量x （万件）之间有如下（1）画出散点图；（2）求月总成本y 与月总产量x 之间的回归直线方程． 讲解上述例题时，（1）可由学生完成；对于（2），可引导学生列表，按∑∑∑===→→→→→→→12112121212i ii i i i ii i i i y x y xy x y x y x 的顺序计算，最后得到.974.0,215.1≈≈a b 即所求的回归直线方程为.974.0215.1+=∧x y若条件允许，可借助几何画板向学生演示本题，即画出散点图，并求出回归直线方程．讲解上述例题后，要求学生完成下面问题：（1）画出散点图；（2）试求腐蚀深度y 对时间t 的回归直线方程． 略解：（1）散点图．呈直线形．（2）经计算可得∑∑∑========11111121112.13910,5442,36750,45.19,36.46i i i i ii iy t y t y t.3.036.46113675045.1936.4611139101111221112111≈⨯-⨯⨯-=⨯-⨯-=∑∑==tt tyyt b i i i ii.542.536.463.045.19≈⨯-=-=t b y a故所求的回归直线方程为.542.53.0+=∧t y让学生做课后练习题． 4．课堂小结本节课要求准确理解相关关系的概念，并在此基础上，了解回归分析与散点图的含义，了解回归直线方程推导的思路，会利用a 、b 的公式求出回归直线方程，利用回归直线方程去估值．六、布置作业： 教科书第1题．。
1、2回归分析的基本思想及其初步应用
1、2回归分析的基本思想及其初步应用。
（第1课时）教学目标：通过典型案例，掌握回归分析的基本步骤。
教学重点：熟练掌握回归分析的步骤。
教学难点：求回归系数 a , b教学方法：讲练。
教学过程：一、复习引入：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
二、新课:1、回归分析的基本步骤：(1) 画出两个变量的散点图。
(2) 求回归直线方程。
(3) 用回归直线方程进行预报。
2、举例：例1、题（略） 。
解：(1) 作散点图，由于问题是根据身高预报体重，因此要求身高与体重的回归直线方程，取身高为自变量x 。
体重为因变量 y ，作散点图（如图）（2）列表求 ,ˆ0.849ˆ85.712x yba≈≈-回归直线方程 y=0.849x-85.712对于身高172cm 女大学生，由回归方程可以预报体重为y=0.849*172-85.712=60.316(kg) 预测身高为172cm 的女大学生的体重为约60。
316kg问题：身高为172cm 的女大学生的体重一定是60。
316kg 吗?（留下一节课学习） 例2：（提示后做练习、作业）研究某灌溉渠道水的流速y 与水深x 之间的关系，测得一组数据如下：水深xm1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.902.00 2.10 流速1.70 1.79 1.88 1.952.03 2.10 2.16 2.21ym/s（1）求y对x的回归直线方程；（2）预测水深为1。
95m 时水的流速是多少？解：（略）三、小结四、作业：例2、预习。
第一章统计案例1-2回归分析的基本思想及其初步应用（第二课时）教学目标：1、会建立回归模型，进而学习相关指数（相关系数r 、总偏差平方和、随机误差的效应即残差、残差平方和、回归平方和、相关指数R2、残差分析）2、会求上述的相关指数：3、从实际问题发现已有知识不足，激发好奇心、求知欲。
培养勇于求知的良好个性品质。
教学重点；各相关指数、建立回归模型的步骤。
高中数学选修1-2《回归分析基本思想及其初步应用》教案
高中数学选修1-2《回归分析基本思想及其初步应用》教案Teaching plan of 1-2 "basic idea of regression analysis and its p reliminary application" as an elective course in high school mat hematics高中数学选修1-2《回归分析基本思想及其初步应用》教案前言：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
本教案根据数学课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。
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教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.教学过程：一、复习准备：1.由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.2.为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关?在多大程度上与随机误差有关?我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.二、讲授新课：1.教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即 .残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即 .回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即 .（2）学习要领：①注意、、的区别;②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即 ;③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好;④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好.2.教学例题：例2 关于与有如下数据：2 4 5 6 830 40 60 50 70为了对、两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：，，试比较哪一个模型拟合的效果更好.分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论.-------- Designed By JinTai College ---------。
高中数学选修1-2《回归分析的基本思想及其初步应用》教案
高中数学选修1-2《回归分析的基本思想及其初步应用》教案教学目标：1.了解回归分析的基本概念和方法，学会使用回归分析方法对一些实际问题作出预测和分析。
2.能够正确理解和使用回归分析的基本统计量，包括相关系数、判定系数和残差等。
3.能够理解和描述回归分析的假设条件和前提条件，掌握回归分析的模型建立过程，并能正确应用到实际问题中。
教学重点：1.回归分析的基本概念和方法。
2.回归分析的统计量及其含义。
3.回归分析的模型建立过程。
教学难点：1.应用回归分析方法对实际问题进行预测和分析。
2.掌握回归分析模型的建立方法。
教学方法：1.讲授法2.实例分析法3.互动式教学法教学内容：第一节回归分析的基本概念和方法1.回归分析的概念和意义。
2.回归分析的基本模型和方程式。
3.单变量和多变量回归分析的区别和应用。
4.回归分析的基本假设条件和前提条件。
第二节回归分析的统计量及其含义1.相关系数的概念和计算方法。
2.判定系数的定义和计算方法。
3.残差的概念和含义。
4.其他相关统计量的应用。
第三节回归分析的模型建立过程1.数据的收集和清理。
2.变量的筛选和筛选标准。
3.模型的构建和检验。
4.模型的应用和预测。
教学方式：1.讲授。
通过讲解回归分析的概念、方法、统计量和模型建立过程等内容，让学生了解回归分析的基本概念和方法，为后续的案例分析打下基础。
2.案例分析。
通过实例分析法，将回归分析的理论知识与实际问题相结合，并引导学生从实际问题中理解和掌握回归分析的方法和应用。
3.互动式教学。
引导学生在互动交流中，理解和掌握回归分析的基本概念和方法，加深对回归分析的理解和认识。
教学评估：教师根据学生在课堂上的表现和课下的练习情况，对学生进行综合评价。
主要考核内容包括：学生对回归分析的概念和方法的理解程度、学生对回归分析应用的掌握情况、学生对回归分析的模型建立和检验能力、学生的综合分析和判断能力等。
据此评价学生的成绩，并作出相应的教学反思和改进。
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2 回归分析的基本思想及其初步应用
教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学过程：
一、复习准备：
1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.
2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 二、讲授新课：
1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：
（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即21()n i i SST y y ==-∑.
残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即21()n
i i i SSE y y ==-∑. 回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即21()n
i i SSR y y ==-∑.
（2）学习要领：①注意i y 、i y 、y 的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即22
2111()()()n n n
i i i i i i i y y y y y y ===-=-+-∑∑∑；③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数221
2
1()1()n i i i n
i i y y R y y ==-=--∑∑来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. 2R 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好.
2. 教学例题：
x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50
70 为了对x 、Y 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： 6.517.5y x =+，717y x =+，试比较哪一个模型拟合的效果更好.
分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论.。