两招解决极值点偏移问题

两招解决极值点偏移问题

一、极值点偏移的含义

众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则m x =必为)(x f 的极值点.如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为

221x x +，则刚好有0212

x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.

若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同.故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则

221x x +与极值点m 必有确定的大小关系：若221x x m +<，则称为极值点左偏；若2

21x x m +>，则称为极值点右偏.如函数x e x x g =

)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点221x x +的左边，我们称之为极值点左偏.

二、极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；

2.若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；

3.若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2

210x x x +=，求证：0)('0>x f ；4.若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2210x x x +=

，求证：0)('0>x f .

二、运用判定定理判定极值点偏移的方法

1、方法概述：

（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；

（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=；

（3）确定函数)(x F 的单调性；

（4）结合0)0(=F ，判断)(x F 的符号，从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.

2、抽化模型

答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =，0x 为函数)(x f 的极值点，求证：0212x x x <+.

（1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；

假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减，在),(0+∞x 上单调递增.

（2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=；注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式.

（3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性，判断出)(x F 在某段区间上的正负，并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系；

假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增，那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ，从而得到：0x x >时，)()(00x x f x x f ->+.（4）不妨设201x x x <<，通过)(x f 的单调性，)()(21x f x f =，)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出结论；

接上述情况，由于0x x >时，)()(00x x f x x f ->+且201x x x <<，)()(21x f x f =，故)2()]([)]([)()(2002002021x x f x x x f x x x f x f x f -=-->-+==，又因为01x x <，0202x x x <-且)(x f 在),(0x -∞上单调递减，从而得到2012x x x -<，从而0212x x x <+得证.

（5）若要证明02('21<+x x f ，还需进一步讨论221x x +与0x 的大小，得出221x x +所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.

此处只需继续证明：因为0212x x x <+，故0212

x x x <+，由于)(x f 在),(0x -∞上单

调递减，故0)2

(

'21<+x x f .【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；

（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求)(x f 的单调性、极值点，证明)(0x x f +与)(0x x f -（或)(x f 与)2(0x x f -）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如0212x x x <+或0)2

(

'21<+x x f 的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.题型二利用对数平均不等式

两个正数a 和b 的对数平均定义：(),(,)ln ln ().

a b a b L a b a b a a b -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩

对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：

(,)2

a b L a b +≤≤（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当a b =时，等号成立.

只证：当a b ≠

(,)2

a b L a b +<<

.不失一般性，可设a b >.证明如下：

（I

(,)L a b <……①不等式

①1ln ln ln 2ln (1)a a b x x x b

x ⇔-<<<-=其中构造函数1

()2ln (),(1)f x x x x x =-->，则22211()1(1)f x x x x '=

--=--.