初二上学期几何三线合一
八年级数学上册(人教课标)同步讲解：第十三章 轴对称高效三合一
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”.这个结论作用很大，下面一起来看看吧.作用一求线段长例1 如图1，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，且AB+AC+BC=50 cm，AB+BD+AD=40 cm，则AD=____cm．解：因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=CD.所以AB+BD=AC+CD.又AB+BC+AC=50 cm，所以AB+BD=25 cm.因为AB+BD+AD=40 cm，所以AD=40-25=15（cm）．作用二求角度例2 如图2，在△ABC，AB=AC，AD是BC边上的高，∠CAD=26°，AE=AD，求∠BDE的度数.解：因为AB=AC，AD是BC边上的高，所以∠ADB=90°，∠BAD=∠CAD=26°.因为AE=AD，所以∠ADE=∠AED=（180°-26°）÷2=77°.所以∠BDE=∠ADB-∠ADE=13°.作用三证明线段相等例3 如图3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D，E是BC边上两点，且AD=AE．求证：BD=CE．证明：作AH⊥BC于点H.因为AB=AC，AD=AE，所以BH=CH，DH=EH.所以BH-DH=CH-EH，则BD=CE.作用四判断说理例4如图4，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC内一点，且DB=DC，请同学们探索一下AD与BC的位置关系.解：延长AD交BC于点E.在△ABD和△ACD中，AB=AC，AD=AD，DB=DC，所以△ABD≌△ACD.所以∠BAD=∠CAD.因为AB=AC，所以AE⊥BC，即AD⊥BC.。
八年级数学三线合一知识点
八年级数学三线合一知识点八年级数学是学生们数学学习中的一个重要阶段，数学三线合一也是其学习的一个重要内容。
在本文中，我们将详细讨论八年级数学的三线合一知识点，帮助学生们更好地掌握数学知识，提高数学成绩。
一、数轴数轴是研究数与数之间的关系的一种有效方法，主要用于表示数的大小、比较数的大小以及数的加减。
数轴上的数点表示数的大小，数点左边的数比数点右边的数小。
例如，在数轴上，点A 表示数-3，点B表示数2，点C表示数4，那么A、B、C三点之间的大小关系是A<B<C。
二、平面直角坐标系平面直角坐标系又称笛卡尔坐标系，是二维空间内表示点的最常用方式，由横坐标和纵坐标两个有序实数构成。
平面直角坐标系的两条互相垂直的坐标轴，称为x轴和y轴。
横坐标表示一个点在x轴上的位置，纵坐标表示一个点在y轴上的位置。
例如，在坐标系中，点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（4，-1），那么A、B两点之间的距离是√(（4-2）^2+（-1-3）^2)=√20。
三、线性方程组及解法线性方程组是指一组关于多项式未知数的方程，其中每个方程的次数都为1。
一般来说，我们通过消元或代入的方法求解线性方程组。
例如，求解以下线性方程组：2x-y=5x+y=7我们可以通过代入的方法，将第二个式子中的y用第一个式子中的x代入，得到2x-(7-x)=5，解得x=4，再将x的值代入第一个式子，解得y=3。
因此，该线性方程组的解为（4，3）。
四、平面几何平面几何是关于平面内的图形形状、大小、相对位置等性质的研究。
常见的平面几何知识点包括三角形、四边形、圆等。
例如，如果已知三角形的三条边长分别为a、b、c，那么我们可以通过海龙公式求得其面积S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中p=(a+b+c)/2。
五、立体几何立体几何是关于三维空间内的图形形状、大小、相对位置等性质的研究。
常见的立体几何知识点包括立方体、长方体、圆柱体等。
例如，如果已知一个正方形的边长为a，则其所在的正方体表面积为6a^2，体积为a^3。
人教版初二数学上册三线合一的逆用
两线合一”构建且证明等腰三角形“的逆命题的教学，因为这种逆命题学习了等腰三角形的三线合一后，补充“三线合一”可以为我们解题增加一种重要但它在解题中非常常见的。
掌握了它，虽然不能作为定理用，思路。
它有以下几种形式：（线段垂直平分线的性①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．质）②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．.③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形因此，三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合一”就能证明它是等腰三角形．简言之：两线合一，必等腰。
利用该逆命题作为一种思路正确地添加辅助线，构建等腰三角形且证明之来解决问题。
等腰三角形“三线合一”性质的逆命题的应用不断为学生开辟了新思维，强化了学生通过添加辅助线解题的能力，而且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想。
一、我们先来证明“三线合一”性质的逆命题三种情形的正确性：证明①：已知:如图1，△ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高。
求证：△ABC是等腰三角形。
证明②：已知:如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高。
求证：△ABC是等腰三角形。
证明③：已知:如图2，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的中线。
求证：△ABC是等腰三角形。
方法一：分析：“倍长中线法”，即延长AD到E点，使DE=AD，由此问题就解决了。
方法二：遇到角的平分线，我们可以利用角的平分线的性质：过角的平分线上一点向角的两边作垂线。
．注：这种逆命题不能作为定理来用，掌握了它和它的证明过程，其目的是为我们解题增加一种重要思路和方法。
二、利用“三线合一”性质的逆命题添加辅助线，构建且证明等腰三角形来解决问题1、逆命题①的应用（即线段垂直平分线的性质的应用）例1 如图4，D、E分别是AB、AC的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求证：AC=AB。
湘教版八年级数学上册第2章 微专题7 “三线合一”解题的六种技巧
翻折可以和△AFE 重合．∴∠ABE＝∠AFE＝90°，即
EB⊥AB．
类型五 利用“三线合一”的基本图形证线段关系 (构造三线法)
5. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，且∠ABC
＝2∠C.试说明：CD＝AB＋BD．
解：如图，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 CD 于 点 E ， 连 接 AE ， 则 AE ＝ AB ， ∴ ∠ AEB ＝ ∠ABC.∵AD⊥BC，∴AD 是 BE 边上的中线，即 DE＝
解：(1)△DEF 为等腰直角三角形． 理由： 连接 AD，易知△BDE 绕点 D 顺时针旋转 90°可与 △ADF 重合，∴DE＝DFC，D 为 BC 的中点，∴AD⊥BC.∴∠ADB ＝90°.∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝ ∠ADB＝90°.∴△DEF 为等腰直角三角形． (2)是，理由略．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝ 100°，AD⊥BC，∴∠B＝∠C ＝40°，∠BAD＝∠CAD＝50°.
类型二 利用“三线合一”求线段 2. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥ AB 于点 E，若 BC＝10，且△BDC 的周长为 24，求 AE 的长． 解：∵△BDC 的周长＝BD＋BC ＋CD＝24，BC＝10，∴BD＋CD＝ 14.∵AC＝AD＋CD＝BD＋CD＝14. 又∵AB＝AC＝14，AD＝DB，DE⊥ AB，∴AE＝EB＝12AB＝7.
类型三 利用“三线合一”说明线段(角)相等 3. 已知△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D 为 BC 的中点． (1)如图①，E，F 分别是 AB，AC 上的点，且 BE＝ AF，试判断△DEF 的形状，并说明理由． (2)如图②，若 E，F 分别为 AB，CA 的延长线上的 点，且仍有 BE＝AF.请判断△DEF 是否仍有(1)中的形状， 并说明理由．
八级数学上册2.3等腰三角形的“三线合一”性质课件(新版)浙教版
知2－练
2 如图所示，已知：∠α、线段a，求作等腰三角形 ABC，使底边BC＝a，其底角∠B＝∠α.(不写作 法，保留作图痕迹)
（来自《点拨》）
1.等腰三角形“三线合一”的性质包含三层含义： (1)已知等腰三角形底边上的中线，则它平分顶角，垂直于底 边； (2)已知等腰三角形顶角的平分线，则它垂直平分底边； (3)已知等腰三角形底边上的高，则它平分底边，平分顶角． 2．等腰三角形“三线合一”的性质常常可以用来证明角相等 、线段相等和线段垂直．在遇到等腰三角形的问题时，尝试 作这条辅助线，常常会有意想不到的效果．
（来自《点拨》）
解： 如图所示，△ABC就是所求作的三角形．
知2－讲
总结
知2－讲
利用尺规作等腰三角形时，要考虑等腰三角形的隐含 条件：有两条边相等；两个角相等.
知2－练
1 已知∠ α和线段a (如图），用直尺和圆规作等腰三 角形ABC,使顶 角∠ BAC= ∠ α ，角平分线AD=a.
（来自《教材》）
结论
知1－讲
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和高线 互相重合，简称等腰三角形三线合一 .
知1－讲
【例1】已知:如图 ，AD平分∠ BAC, ∠ ADB= ∠ ADC. 求证：AD丄BC.
（来自《教材》）
证明： 如图，延长AD，交于点E.
知1－讲
∵ AD 平分∠ BAC ，
∴ ∠ BAD = ∠ CAD (角平分线的定义）.
第2章 特殊三角形
2.3 等腰三角形的性质定理
第2课时 等腰三角形的 “三线合一”性质
等腰三角形的“三线合一”
1 课堂讲解 用尺规作等腰三角形
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
三线合一定理是什么
三线合一定理是什么
三线合一，即在等腰三角形中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。
三线合一定理简单来说就是：顶角的角平分线=底边中线=底边的高线。
通过三线合一得出的逆定理：如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
三线合一定理
三线合一，即在等腰三角形中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。
三线合一定理简单来说就是：顶角的角平分线=底边中线=底边的高线。
通过三线合一得出的逆定理：
1、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
2、如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
3、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
三线合一需要几个条件才可以用
三线合一需要的条件是在等腰三角形中，这是三线合一条件的前提。
三线合一，即在等腰三角形中(前提)顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合(前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用)。
等腰三角形指至少有两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。
等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
三线合一是哪三线
三线合一是哪三线
三线合一是高、中线、角平分线。
平面几何中把三角形的高、中线、角平分线叫做三线，三线合一就是说这三条线重合。
三角形高的位置
总的来说，三角形的三条高所在的直线相交于一点。
锐角三角形：三条高都在三角形的内部。
交点也在三角形的内部。
直角三角形：两条高分别在两条直角边上，另一条高在三角形的内部。
交点是直角的顶点。
钝角三角形：钝角的两边上的高在三角形外部。
交点在三角形的外部。
三角形的中线
三角形的中线是接三角形顶点和它的对边中点的线段。
每个三角形都有三条中线，它们都在三角形的内部。
在三角形中，三条中线的交点是三角形的重心。
三角形的三条中线交于一点，这点位于各中线的三分之二处。
三角形角平分线
三角形的一个角的平分线与这个内角的对边相交，连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线。
（也叫三角形的内角平分线。
）由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
且任意三角形的角平分线都在三角形内部。
三角形三条角平分线永久交三角形内部于一点，这个点我们称之为内心。
八年级几何三线合一知识点
八年级几何三线合一知识点几何三线合一，指的是平面几何中的三条直线：角平分线、中线、高线，若它们的三个交点重合，则称之为几何三线合一。
这一概念在中学数学教学中是一个非常重要的知识点，它不仅是求解相关问题的基础，同时也具有一定的美学价值。
下面将从几何三线的定义、性质、应用及相关习题等方面进行阐述。
一、几何三线的定义在任意三角形ABC中，连接角A的平分线AD，角A的高线AE，以及AB中点M的中线MC，并使它们相交于一点O。
若AD、AE和MC三条直线交于同一点O，则称几何三线合一。
二、几何三线的性质1. 几何三线合一的位置是固定的，不受三角形形状的影响。
2. 几何三线合一的交点O是三角形ABC内心的位置。
3. 连接三角形的顶点和内心的直线分别垂直于角平分线、中线、高线。
4. 在等边三角形中，几何三线合一的交点O就是三角形的重心和垂心。
5. 几何三线性质中最为著名和重要的是欧拉线，将中心线、中线和垂心连成一条直线，就是欧拉线。
欧拉线是几何三线的扩展，它将三角形的重心、外心、内心和垂心一起联系在了一起。
三、几何三线的应用1. 求解三角形内心：通过几何三线合一可以得出三角形内心在角平分线、中线、高线的交点O处。
2. 求解三角形面积：利用几何三线求解三角形的高，然后可以求出三角形的面积。
3. 求解三角形高线长度：利用几何三线合一可以得出三角形的高线长度h。
4. 求解三角形垂心或重心的位置：通过连立几何三线的垂足可以得出垂心的位置，而通过几何三线合一可以得出重心的位置。
四、相关习题1. 在三角形ABC中，已知AB=5，AC=12，BC=13，求三角形内心I的坐标。
2. 在三角形ABC中，已知边长为3、4、5，求此三角形的内切圆的半径。
3. 在三角形ABC中，垂线AD、BE、CF交于点H，求证：HO = R + r。
通过以上的介绍，我们可以看到几何三线合一是数学教育中非常重要的一个知识点，它涉及到诸多性质和应用，是我们学习数学的基础。
三线合一的定理
三线合一的定理
三线合一的定理是指在等腰三角形中，顶角的角平分线、底边的中线、底边的高线三条线互相重合。
这是数学中的一个重要定理，主要应用于三角形的研究和证明。
该定理只适用于等腰三角形，不适用于其他类型的三角形。
证明这个定理并不难，可以通过做辅助线来证明这三条线是重合的。
具体证明过程可以参考数学教材或者参考书籍，这里不再赘述。
这个定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在等腰三角形的相关证明中。
它可以帮助我们简化证明过程，提高解题效率。
同时，这个定理也是数学逻辑推理的重要基础，对于培养学生的逻辑思维能力有很大的帮助。
因此，在学习数学的过程中，我们应该注重对基础定理的掌握和应用，不断加深对数学知识的理解，提高自己的数学素养。
只有这样，我们才能在数学的学习中取得更好的成绩，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
1。
初二几何点等腰三角形的三线合一;直角三角形斜边上的中点到三个顶点
初二几何点等腰三角形的三线合一;直角三角形斜边上的中点到三个顶点在初二的几何学中，我们经常学习到等腰三角形和直角三角形的特性。
在这篇文章中，我们将探讨到等腰三角形的三线合一现象，以及直角三角形斜边上的点到三个顶点的关系。
等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
当我们在等腰三角形中连接顶点和底边的中点，再连接底边两个顶点和相对边的中点，我们会发现这三条线段会相交于同一个点，称为等腰三角形的三线合一点。
首先，我们来详细了解等腰三角形的性质。
等腰三角形具有以下几个特点：底边两侧的角相等，顶角也相等。
我们可以通过数学证明得出这些结论，但在这篇文章中我们将直接使用这些性质。
现在，让我们来研究等腰三角形的三线合一现象。
假设我们有一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。
先连接顶点A和底边BC的中点D，再连接底边两个顶点B和C与相对边的中点E和F。
我们发现线段AD、BE和CF会相交于同一个点G，这个点G就是等腰三角形ABC的三线合一点。
为了更好地理解这个现象，我们可以通过一些几何推理来证明。
首先，我们注意到线段AE和AF的长度相等，因为它们是底边的中点到顶点B和C的线段。
同样地，线段BD和CD的长度也相等，因为它们是底边两个顶点到相对边中点E和F的线段。
接下来，我们可以观察到三角形BDE和CDF。
这两个三角形是等边的，因为边长相等，而且对应的角度也相等。
因此，根据等边三角形的性质，这两个三角形的所有边都相等。
基于以上观察，我们可以得出结论：线段BG和CG分别等于线段AE和AF的一半，因为它们是线段BE和CF的中点到顶点A的线段。
通过几何推理，我们可以证明等腰三角形的三线合一现象。
这个现象的证明过程中利用了等腰三角形和等边三角形的性质，通过这些性质的运用，我们能够发现几何中的一些有趣的规律。
除了等腰三角形的三线合一现象，我们还可以研究直角三角形斜边上的中点到三个顶点的关系。
直角三角形是指一个角度为90度的三角形。
我们知道直角三角形的斜边是较长的一条边，而另外两条边则为直角和相对直角的边。
初中数学三线合一解题技巧
初中数学三线合一解题技巧
三线合一，即在等腰三角形中，底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线，这三线合一。
解题技巧如下：
1. 证明三线合一，首先应明确三角形是否为等腰三角形。
可以通过给定的条件或结论，证明三角形为等腰三角形。
2. 在等腰三角形中，由于两腰相等，对应的两个底角也相等。
因此，可以通过证明两个底角相等，来证明三线合一。
3. 若要证明高也是中线或角平分线，可以通过证明高所在的三角形与原三角形相似或全等，来证明高也是中线或角平分线。
4. 在证明过程中，要注意使用给定的条件和结论，以及相关的定理和性质。
下面是一个具体的例子：
题目：在$\bigtriangleup ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC =
120^{\circ}$，$D$是$BC$上一点，$BD = AD$，求证：$CD = 2BD$。
证明：
1. 由于$AB = AC$，根据等腰三角形的性质，$\angle B = \angle C$。
2. 又因为$\angle BAC = 120^{\circ}$，所以$\angle B = \angle C = 30^{\circ}$。
3. 在$\bigtriangleup ABD$中，由于$\angle ABD = 30^{\circ}$，根据三角形的性质，有$BD = \frac{1}{2}AD$。
4. 又因为$BD = AD$，所以$AD = BD = CD$。
5. 因此，$CD = 2BD$。
初中数学三线合一定理
初中数学三线合一定理好嘞，今天咱们聊聊一个数学界的“秘密武器”，就是咱们的三线合一定理。
听起来好像很复杂，其实呢，咱们就把它当成一种游戏，没啥好紧张的。
大家都知道，数学有时候就像一团乱麻，但只要找对方法，一切就能变得简单明了。
想象一下，咱们手里有个三角形，嘿，就是那个最常见的三角形，底边长，直角边高。
然后呢，在这个三角形的每一个边上，咱们分别画出一条线，这三条线就像三位朋友一样，兴高采烈地聚在一起。
这三条线如果能在某个地方相遇，形成一个点，那就是咱们的“合点”。
这个合点可不一般哦，它和三角形的每一个角、每一条边都有千丝万缕的关系，简直就像是三角形的心脏。
这时，可能有小伙伴会问，三线合点到底是什么鬼？其实很简单，假设你有三条线，分别是三角形的角平分线、高度线和中线，这些线就像是三位性格各异的好朋友。
角平分线呢，像个热情的聚会组织者，把每个角分成两半；高度线嘛，走路时总是挺胸抬头，直直地朝着对面边的垂直方向走；中线则是个和事佬，把两边的距离弄得相等，真是个和谐的小天使。
三线合一定理就告诉我们，这三条线如果能相交在一个点上，这个点就可以用来解决很多问题。
比如说，你想知道这个三角形的面积，或者想算出某个角的度数，嘿，只要找到那个合点，很多事情就迎刃而解了。
简直就像在寻找宝藏一样，找到这个点，你的数学之路就会顺风顺水。
好啦，再来个比喻，想象一下三角形就像一场精彩的音乐会，每一条线都是不同的乐器，合在一起就能奏出和谐的乐章。
你要是能掌握这些乐器的演奏方法，嘿，整个音乐会就能嗨翻天。
别小看这些线，它们之间的关系复杂得像一盘麻辣火锅，色香味俱全，得好好品味。
我们再说说三线合点的应用。
这个点不仅仅是个数学游戏，它在工程、建筑，甚至日常生活中都有用。
比如说，建筑师在设计房子时，常常会用到这些原理，确保房子的结构稳固。
这就像是给你心爱的房子加上了一个“安全锁”，让它更结实。
理解这些原理并不容易，毕竟很多时候，我们的脑袋像被蜜糖粘住了一样，动不了。
人教版八年级数学上册专题(八) 构造“三线合一”巧解题(选用)
方法技巧二：遇到等腰作底边上的高，构造“三线合一”图形． 4．如图，点D，E分别在BA，AC的延长线上，且AB＝AC，AD＝AE. 求证：DE⊥BC. 解 ： 作 AG⊥DE ， ∵ AD ＝ AE ， ∴ ∠ DAG ＝ ∠ EAG ， 又 AB ＝ AC ， ∴∠B＝∠ACB，∵∠DAE＝∠B＋∠ACB＝2∠B＝2∠DAG，∴∠DAG ＝∠B，∴AG∥BC，∴DE⊥BC
2 ． 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， D 是 BC 的 中 点 ， 过 A 点 的 直 线 EF∥BC，且AE＝AF.求证：DE＝DF.
解：连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵EF∥BC， ∴AD⊥EF，又∵AE＝AF，∴DE＝DF
3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分 别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：(1)DE＝DF；(2)DE⊥DF.
八年级上册人教版数学 第十二章 全等三角形
专题(八) 构造“三线合一”巧解题(选用)
等腰三角形“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一 线”，就可以说明是其他“两线”．运用等腰三角形“三线合一”的性质证明 角相等、线段相等或垂直关系，可减少证全等的次数，简化解题过程．
方法技巧一：有等腰三角形底边中点时，常作这底边上的中线，构造“三线 合一”图形．
方法技巧三：遇有垂直时，将图形以垂线为轴翻折，构造“三线合一”． 6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC＝2∠C.求证：CD＝ AB＋BD. 解：在DC上截取DE＝BD，连接AE，∵BD＝DE，AD⊥BC，∴AB＝ AE，∠B＝∠AEB＝∠EAC＋∠C，又∵∠ABC＝2∠C，∴∠EAC＝∠C， ∴AE＝EC，∴CD＝CE＋DE＝AE＋ED＝AB＋BD
人教版数学八年级上册第十三章利用等腰三角形的“三线合一”性质解题
利用等腰三角形的“三线合一”性质解题我们知道，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，被称做为“三线合一”.等腰三角形的“三线合一”性质在几何解题中有着广泛地运用，现举例说明. 一、证明线段相等例1 如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F .求证：DE ＝DF .分析 由于DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，所以要证明DE ＝DF ，只要证明点D 是∠BAC 的平分线上的点，于是连结AD ，而由AB ＝AC ，BD ＝CD 即可证明AD 是∠BAC 的平分线.证明 连结AD .因为AB ＝AC ，BD ＝CD ，所以AD 是等腰三角形底边BC 上的中线，即AD 又是顶角的平分线.又因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，所以DE ＝DF . 二、证明两条线垂直例2 如图2，AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，CF ＝DF .求证：AF ⊥CD . 分析 由已知条件AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，显然只要连结AC 、AD ，则△ABC ≌△AED ，于是AC ＝AD ，而CF ＝DF ，则由等腰三角形的“三线合一”性质即可证明AF ⊥CD .证明 连结AC 、AD .因为AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，所以△ABC ≌△AED （SAS ），所以AC ＝AD ，又因为CF ＝DF ，所以AF 是等腰三角形底边CD 的中线， 所以AF 也是CD 边上的高，即AF ⊥CD .F E 图3D C BACD EF 图1BAF D 图2BECA三、证明角的倍半关系例3 如图3，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 交AC 于D .求证：∠DBC ＝12∠BAC . 分析 要证明∠DBC ＝12∠BAC ，只要作出∠BAC 的平分线，然后利用等腰三角形的“三线合一”性质即可证明证明 作∠BAC 的平分线AE .因为AB ＝AC ，所以由等腰三角形的“三线合一”可知AE ⊥BC .又因为BD ⊥AC ，所以∠ADB ＝90°，而∠BFE ＝∠AFD ，所以∠DBC ＝∠CAE ， 故∠DBC ＝12∠BAC . 四、证明线段的倍半关系例4 如图4，已知等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于D .求证：BF ＝2CD .分析 由BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，可想到等腰三角形的“三线合一”性质，于是延长线BA 、CD 交于点E ，于是△BCE 是等腰三角形，并有ED ＝CD ，余下来的问题只需证明BF ＝CE ，而事实上，由∠BAC ＝90°，CD ⊥BD ，∠AFB ＝∠DFC ，得∠ABF ＝∠DCF ，而AB ＝AC ，所以△ABF ≌△ACE ，则BF ＝CE ，从而问题获解.证明 延长线BA 、CD 交于点E .因为BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，所以可得BC ＝BE ，DE ＝DC ，又因为∠BAC ＝90°，∠AFB ＝∠DFC ，所以可得∠ABF ＝∠DCF ， 又AB ＝AC ，∠BAF ＝∠CAE ，所以△ABF ≌△ACE （SAS ），即BF ＝CE ， 故BF ＝2CD .图5ABCDE图4BF DECAD 图6CE BA。
八年级数学三线合一教案
（2）b=8，c=17，则S△ABC=_______。
3、求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
x
y
z
576
625
144
169
144
81
3、
三、互学互助：
1、学生互相批改自测题；
2、各小组汇报典型错误；
3、师生共同探讨解决疑难问题
四、导学导练
1、如图，在△ABC中，∠ACB=900，AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB与D,
五、课堂小结：
六、教、学反思：
④课题：1.6等腰梯形的轴对称性（1）
课型：新授时间：11、9、9
执笔：杨丙才审核：八年级数学备课组
[学习目标] 1.知道等腰梯形的基本概念、等腰梯形的轴对称性
2.掌握等腰梯形的性质，并能运用性质解决问题
3.进一步培养学生有条理的思考和表达能力，渗透转化、类比的数学思想
（2）经过折叠后所得的△ABC，在所得的三角形中∠1=∠2。那么请同学们度量边AC，BC的长度，你们有什么发现？
（3）在一张薄纸上画线段AB，并在AB同侧利用量角器画两个相等的锐角∠BAM和∠ABM.设AM与BN相交于点C.量一量AC与BC的长度，AC和BC相等吗？你和同学所得的结论相同吗？
二、自学自测：
四：导学导练
1.如图，在等边三角形ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE,△ADE是等边三角形吗？试说明理由.
2.如图，P、Q是△ABC的BC边上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的度数.
3、如图，点A是BC上一点，⊿ABD、⊿ACE都是等边三角形。
试说明：
（1）BE＝CD；（2）求∠DOM的度数；（3）AM＝AN；（4）MN∥BC。
三线合一定理
三线合一定理三线合一定理是几何学中一个重要的定理，它与三角形的内心、外心、垂心和重心有关，是初中数学、高中数学和奥数中必须掌握的基本知识之一。
一、三线合一定理的定义三线合一定理是指，在一个三角形ABC中，三条特殊的线段（也被称为三线），即垂线、中线和角平分线，它们的交点O被称为三角形ABC的内心。
其中，垂线是从三角形顶点到对边的垂直线，中线是从三角形一边的中点到另一边的中点的线段，角平分线是从三角形一个角的顶点出发，把这个角平分成两个等角的线段。
二、三线合一定理的证明要证明三线合一定理，需要从三个方面进行论证，分别是垂线、中线和角平分线。
1. 垂线的论证对于一个三角形ABC，假设它的三条垂线分别为AD、BE和CF。
根据垂线的特性可以得到：∠BAC+∠ABC=90°+90°=180°，即△ABC是直角三角形。
因此，AD垂直于BC，同理，BE和CF也分别垂直于AC和AB。
假设垂线的交点为O，则由于△ABC是直角三角形，可以得到三角形ABC的内心O位于△ABC的垂心H的中心，即O为△ABC的内切圆心。
因此，在一个三角形中，三条垂线的交点O，被称为三角形的内心。
2. 中线的论证对于一个三角形ABC，假设它的三条中线分别为DE、FG和HK。
中线的定义是指连接三角形两边中点的线段，设BC的中点为M，AC的中点为N，则对于△ABC可得：·由于DM=MC，因此DE∥BC。
·由于FN=NA，因此FG∥AC。
·由于HK是从B的中点出发，且B是AC的中点，因此HK∥AB。
同时，根据平行线的特性可以得到：· DE中点为P，AB中点为Q，则PQ∥AC。
· HK中点为L，AC中点为N，则LN∥AB。
· FG中点为R，BC中点为M，则RM∥AB。
记交点为O，则OO1=OO2=OO3，其中OO1、OO2、OO3分别是以BC、AC、AB为直径的三个圆的圆心。