矩阵与行列式习题课

Ir Ps Ps 1 P2 P1 AQ1Q2 Qt 0
0 0
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若令P Pt Pt 1 P2 P1 Q Q1Q2 Qs， 则有
任一矩阵Amn ,总存在可逆矩阵Pmm , Qnn , Ir 0 使得 PAQ 0 0 (4) 设A是m n矩阵, P , Q是m阶和n阶可逆
3、逆矩阵 (1)逆矩阵的定义、性质 (2)方阵A可逆的充要条件 (1)B, 使AB BA I n (2)齐次方程组AX 0只有零解 (3) A ~ I n (4) A Ps Ps 1 P2 P1 其中P1, P2,, Ps都是初等矩阵. (5) det A 0 (6) A是非奇异阵 (7) A是满秩矩阵
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解线性方程组是线性代数中的最基本的题型， 各类考试中均会考核，需注意以下几个问题： 1、从由方程组写出所对应的系数矩阵、增广 矩阵，到初等变换的正确性；由行阶梯形矩阵 写出相应的方程组到确定自由变量的个数、自 由变量的选取、赋值，再求出解，每一步都要 正确无误。 2、解线性方程组所作的初等变换，只能作行 变换，不能作列变换。因为“列变换”会改变 未知系数之间的相对关系，所得方程组与原方 程组不同解。
1 0 0 0 反例 : A 0 1 , B 1 1 (矩阵乘法一般不满足交 换律)
4.若方阵A可逆, 且AB 0, 则B 0
(3) 当r( A) r(B) r n时,方程组有无穷多组 解,此时解中含有n r个自由变量。
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2、齐次线性方程组 推论1： 设齐次线性方程组AX=0的系数矩 阵Am n的秩为r。 (1)
AX=0有唯一零解当且仅当r=n;
(2)
AX=0有非零解当且仅当r<n。
推论2： 设齐次线性方程组AX=0的系数矩阵A是n阶矩阵， 则 (1)AX=0有唯一零解当且仅当系数行列式detA≠0; (2) AX=0有非零解当且仅当detA=0.
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(3)逆矩阵的计算 ①根据定义导出 ②伴随矩阵法 ③初等变换法 三、矩阵的初等变换与线性方程组 1、 初等变换 （定义、定理） 2、矩阵的等价 3、初等矩阵 4、矩阵的秩 5、线性方程组的解的定理
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同型矩阵A与B等价的充要条件
①A可由有限次初等变换变为B
②A与B的标准形相同 ③ 分别存在m阶可逆矩阵Pຫໍສະໝຸດ n阶可逆 矩阵Q, 使得PAQ B
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3、若在方程组的增广矩阵中出现参数，讨论 时要考虑参数等于零的情况，否则会导致错误。
4、为避免错误，可作验算。
5、若系数矩阵是方阵，可先用克莱姆法则 （行列式）讨论。
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例 1 填空题
1、已知D det A
3 1 2 2 3 1 0 1 4
用Aij 表示D的元素aij的代数余子式 ,则
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2.设A是n阶方阵, I是n阶单位方阵, 且A2 A, 则 A 0或A I 1 0 2 1 0 反例 : A 0 0 , A 0 0 2 (满足A A的矩阵叫做幂等矩阵 ) (错误)
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3.设A , B是方阵, 则( A B)2 A2 2 AB B 2 (错误)
④ R( A) R(B)
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关于矩阵的秩、初等变换的重要定理：
(1)任一矩阵都可经初等变换化为标准形 Ir 0 0 0 ( 2)对任一矩阵Amn 施行一次初等行 (列)变换相当
于A左(右)乘一个相应的 m( n)阶初等矩阵 ( 3)任一矩阵Amn 存在一系列m阶矩阵P1 , P2 , , Ps 和n阶矩阵Q1 , Q2 , , Qt , 使得
只有零解，则应满足_________条件。
解
det A 0 1 1 2 ( 2)( 1) 0 1 1 0 1 1 2且 1
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3、设
1 1 1 1 1 x 1 2 4 x2 1 3 15 x3 1 1 2 1 1 1 1 x 1 2 4 x2 1 5 15 x3 1 1 1 2 0 2 1 x 1 4 5 x2 1 8 12 x3 0 1 1
上述方程的解 x ______ 解 利用行列式的性质,得
1 1 原式左边 1 2 1 1 1 4 4 1 8 15 1 1 1 2 0 2 1 x 1 4 5 x2 1 8 12 x3
1 x x2 x3 1 1 1 1 1 2 1 3 1 x 4 9 x2 8 27 x3
2( x 1)( x 2)( x 3)
2 A31 3 A32 A33 __________
2 A21 3 A22 A23 _________
解
2A31 3A32 A33 0 2A21 3A22 A23 det A 37
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2、若次线性方程组 x1 x2 x3 0 x1 x2 x3 0 x x x 0 1 2 3
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原方程化为 :
2( x 1)( x 2)( x 3) 0 原方程的解:
x1 1 x2 2 x3 3
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例 2 判断题
1.若A 0, 则A 0 ( 错误 ) 0 1 2 0 0 反例 : A 0 0 , A 0 0 k (满足A 0的矩阵叫做幂零矩阵 )
矩阵, 则R( PAQ) P( A)
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线性方程组的解的定理 1、非齐次线性方程组 定理1 设非齐次线性方程组为AX=b 其中A为m n矩阵, B ( A b )为m (n 1) 矩阵, 称为增广矩阵,则
(1) 当r( A) r(B)时,方程组无解 (2) 当r( A) r(B) n时,方程组有唯一解