空间向量坐标公式 - 360文档中心

空间向量的坐标运算

a (a1, a2, a3)( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3 a // b a1 b1,a2 b2,a3 b3( R)
a b a1b1 a2b2 a3b3 0.
若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则
无罪，该负责任的是那些劝说我的人。世上有很多很好的鞋，但要看适不适合你的脚。在这里，所有的经验之谈都无济于事，你只需在半夜时分，倾听你脚的感觉。看到好位赤着脚参加世界田径大赛的南非女子的风采，我报以会心一笑：没有鞋也一样能破世界纪录！脚会长，鞋却
不变，于是鞋与脚，就成为一对永恒的矛盾。鞋与脚的力量，究竟谁的更大些？我想是脚。只见有磨穿了的鞋，没有磨薄了的脚。鞋要束缚脚的时候，脚趾就把鞋面挑开一个洞，到外面去凉快。脚终有不长的时候，那就是我们开始成熟的年龄。认真地选择一种适合自己的鞋吧！一
这是从远古传下来的手艺，博物馆描述猿人生活的图画，都绘着腰间绑着兽皮的女人，低垂着乳房，拨弄篝火，准备食物。可见烹饪对于女人，先于时装和一切其他行业。汤不一定鲜美，却要热；饼不一定酥软，却要圆。无论从爱自己还是爱他人的角度想，“食”都是一件大事。一个不
爱做饭的女人，像风干的葡萄干，可能更甜，却失了珠圆玉润的本相。 ? 我喜欢爱读书的女人。书不是胭脂，却会使女人心颜常驻。书不是棍棒，却会使女人铿锵有力。书不是羽毛，却会使女人飞翔。书不是万能的，却会使女人千变万化。不读书的女人，无论她怎样冰雪聪明，只有一
只脚是男人，一只脚是女人，鞋把他们联结为相似而又绝不相同的一双。从此，世人在人生的旅途上，看到的就不再是脚印，而是鞋印了。削足适履是一种愚人的残酷，郑人买履是一种智者的迂腐；步履维艰时，鞋与脚要精诚团结；平步青云时切不要将鞋儿抛弃…… 当然，脚

高二数学空间向量运算的坐标表示

3.1.5空间向量运算的坐标表示
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3 ),b (b1 , b2 , b3 )则
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a (a1 , a2 , a3 ),( R) ;
F A1 B1 E D1 C1
D
C
A
B
练习三：
如图：直三棱柱ABC A1 B1C1 , 底面ABC 中， CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M、 N分别为A1B1、AA1的中点， 1)求BN的长； 2)求 cos BA1 , CB1 的值； 3)求证：A1B C1M。
（3）当cos a , b 0 时，a b 。思考：当 0 cos a , b 1 及 1 cos a , b 0时，的夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) a (2 , 3 , 3) , b (1, 0 , 0) ;
解：设正方体的棱长为1，如图建
C1
z
D1 A1
F1 E1 B1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
3 B(1,1, 0) , E1 1, ,1 , 4
C
D
O
B
y
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4
A
x
1 3 BE1 1, ,1 (1,1, 0) 0 , ,1 , 4 4
（1）线段 AB 的中点坐标和长度；解：设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点，则

两点向量坐标公式

两点向量坐标公式在向量空间中，两点向量是一个非常重要的概念。

它是由两个点在空间中的位置关系所确定的向量。

在日常生活中，两点之间最直接的表示方式就是坐标。

因此，了解两点向量的坐标公式对于研究和应用向量计算具有很大的实际意义。

首先，我们来了解一下两点向量的定义。

两点向量是从一个起点到另一个终点的向量，可以用起点和终点的位置坐标来表示。

在二维平面直角坐标系中，两点向量可以用如下坐标表示：设有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则两点间的向量可以表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)这里，AB表示从A点到B点的向量。

接下来，我们来看一下两点向量坐标的计算公式。

在二维平面直角坐标系中，两点间的向量可以表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)这意味着，我们可以通过计算两点坐标的差值来得到向量的坐标。

同样，在三维空间中，两点间的向量可以表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)这里，x1、y1、z1和x2、y2、z2分别表示两点在三维空间中的坐标。

为了更好地理解两点向量坐标的计算公式，我们来看一个实例。

假设有一个平面上的两点A(2, 3)和B(5, 7)，我们可以计算出向量AB的坐标：AB = (5 - 2, 7 - 3) = (3, 4)这意味着向量AB的坐标为(3, 4)。

此外，我们还需要了解坐标系的转换。

在实际应用中，有时需要将坐标系从一个基准系转换到另一个基准系。

例如，将平面上的坐标转换为空间中的坐标。

这时，我们需要用到坐标变换矩阵。

常见的坐标变换矩阵有旋转矩阵、平移矩阵等。

总之，了解两点向量坐标公式对于研究和应用向量计算具有重要意义。

通过掌握这个公式，我们可以更好地在各种坐标系中进行向量计算，从而解决实际问题。

空间向量数量积及坐标运算

空间向量数量积及坐标运算在空间解析几何中，向量是研究的重要对象之一，而向量的数量积和坐标运算是向量运算中的基本概念。

本文将介绍空间向量的数量积及其坐标运算方法。

一、空间向量的数量积空间中的向量可以用其坐标表示，记作a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2,z2)，其中a、b分别是空间中的两个向量，xi、yi、zi为它们在笛卡尔坐标系中的坐标。

向量的数量积（又称点积或内积）定义为两个向量的对应坐标的乘积之和，即：a ·b = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2其中·表示数量积运算。

性质：1.数量积是实数。

2.数量积的结果等于向量乘积和坐标乘积之和。

3.数量积满足交换律：a · b = b · a。

4.数量积满足分配率：(a + b) · c = a · c + b · c。

二、向量的坐标运算1. 向量的加法设a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2, z2)是空间中的两个向量，它们的和记为c，则c的坐标为：x = x1 + x2y = y1 + y2z = z1 + z2即向量的和的每个坐标等于对应向量的坐标之和。

性质：1.向量的加法满足交换律：a + b = b + a。

2.向量的加法满足结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。

2. 向量的减法设a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2, z2)是空间中的两个向量，它们的差记为c，则c的坐标为：x = x1 - x2y = y1 - y2z = z1 - z2即向量的差的每个坐标等于对应向量的坐标之差。

3. 向量的数乘设k为实数，a = (x, y, z)是空间中的一个向量，ka为向量a的数乘，即ka 的坐标为：x' = k * xy' = k * yz' = k * z性质：1.数乘满足结合律：k(ka) = (k * k')a。

空间向量的直角坐标及其运算

证：（1）∵ AP AB 1,2,12,1,4 0， AP AD 1,2,14,2,0 0 ，
∴ AP AB ， AP AD，又 AB AD A ， AP 平面 ABCD，
∴ AP 是平面 ABCD的法向量；解：（2） AB 22 12 42 21 ， AD 42 22 02 2 5 ，
∴ SABC
1 2
AB
AC
sin
A
101 。 2
7、在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E, F 分别是 DD1、DB 中点，G 在棱CD 上，
CG
1 4
CD
，
H
是
C1G
的中点；
（1）求证： EF B1C ；（2）求 EF 与C1G 所成的角的余弦；（3）求 FH 的长。
解：如图以 D 为原点建立直角坐标系 D xyz ，
（3）证明线面平行：若直线的方向向量与平面的一个法向量垂直，则这直线与该平面平行；
（4）证明面面平行：若两个不重合平面的法向量平行，则这两个平面就互相平行。 11、用向量求异面直线所成角：
找出两条异面直线各自的一个方向向量，计算这两个向量的夹角，则（或的补角）
即为两条异面直线所成的角。
设 a、b 是异面直线， d1 是直线 a 的一个方向向量， d2 是直线b 的一个方向向量，异面
一、基本概念：
1、空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 i, j,k
表示；
（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底 i, j,k ，以点O 为原点，分别以 i, j,k 的方向
为正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴；我们称建立了一个空间直角坐标系 O xyz ，点O 叫原点，向量 i, j, k 都叫单位向量；通过每两个坐标轴的平

空间向量的坐标表示

o x

y
AB OB OA ( x2 i y2 j z2 k ) ( x1 i y1 j z1 k )
( x2 x1 )k

AB的坐标是（x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
一、新知探究
在空间直角坐标系中， i , j , k 分别是x轴,y轴,z轴正方向上的单位向量， a 是空间任意向量，作 OP = a

a
过点P作坐标平面yoz,xoz,xoy的平行平面，分别
z 交x轴,y轴,z轴于A,B,C三点．
则ＯP = OA + OB + OC

应用举例
例1、如图，在直角坐标系中有长方体ABCD-A1 B1 C1 D1 , 且AB=3,BC=5,AA1 =7.

（ 1）写出点C1的坐标，给出 AC1 关于 i , j ,k 的分解式;

(2)求 BD1 的坐标
D1
Z A1
C1
B1
A D X
B
O
Y
C
新知探究
设 a x i y j z k , 求 a i , a j , a k

我们把 a =x i y j z k 叫作 a 的标准正交分解，把 i , j , k 叫作标准正交基.
( x, y, z )叫作空间向量 a 的坐标，记作 a ( x, y , z )

在空间直角坐标系中，点P的坐标为（x,y,z), 则向量 OP的坐标也是（x,y,z)

例2、在棱长为2的正方体中，求：

空间向量运算的坐标公式

空间向量运算的坐标公式如果三个向量不共面那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组x、y、z使得cbapczbyaxpcba叫做空间的一个______基底空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底一、空间直角坐标系单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直且长都为1则这个基底叫做单位正交基底常用i j k 来表示.点O叫做原点向量i、j、k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。

分别称为xOy平面yOz平面xOz平面.空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底i、j、k 。

以点O为原点分别以i、j、k的正方向建立三条数轴x轴、y轴、z轴它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyzOxyzijk二、向量的直角坐标aaaa 1 2 3给定一个空间坐标系和向量且设i、j、k为坐标向量由空间向量基本定理存在唯一的有序实数组1 2 3使1i 2j 3k 有序数组1 2 3叫做在空间直角坐标系O--xyz中的坐标记作.aaaaaaaaaaaaxyzOAa1a2a3ijka在空间直角坐标系O--xyz中对空间任一点A对应一个向量OA于是存在唯一的有序实数组xyz使OAxiyjzk在单位正交基底i j k 中与向量OA对应的有序实数组xyz叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标记作Axyz其中x叫做点A的横坐标y叫做点A的纵坐标z叫做点A的竖坐标.xyzOAxyzijka三、向量的直角坐标运算.111222axyzbxyz设则121212abxxyyzz111axyzR121212abxxyyzz121212abxxyyzz例1、1求向量axyz的模a 2求两个非零向量111axyz222bxyz 的夹角的余弦值3、已知向量235a31bz且ab求Z的值。

练习1.知235a314b求ababa8aab 练习2、已知cos1sinaaasin1cosbaa则向量ab与ab的夹角为练习3、已知22ax235b且a与b的夹角为钝角求x的取值范围练习4、已知sincostanaaaacossincotbaaa且ab则且a角______________AM1______________NB________________ PQ练习2如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中取D点为原点建立空间直角坐标系N、M、P、Q分别是AC、DD1、CC1、A1B1的中点写出下列向量的坐标.zxyABCDA1B1C1D1NMPQ例2设Ax1y1z1Bx2y2z2则AB证明如图因为正方体的棱长为1 分别以DA、DC、1DD 为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz 如图棱长为1的正方体1111ABCDABCD中EF分别是1BB11DB中点求证1EFDA 则1112E11122F 所以111222EF 又1101A000D 所以1101DA 所以11111010222EFDA 因此1EFDA即1EFDA 练习已知A、B 、C三点的坐标分别为2-12、45-1、-223若求P点的坐标。

坐标向量模长公式

坐标向量模长公式
1. 坐标向量的定义。

- 在平面直角坐标系中，设向量→a=(x,y)，这里x和y分别是向量→a在x轴和y轴上的坐标分量。

- 在空间直角坐标系中，设向量→a=(x,y,z)，x、y、z分别是向量在x轴、y 轴、z轴上的坐标分量。

2. 平面向量模长公式。

- 对于平面向量→a=(x,y)，其模长|→a|=√(x^2)+y^{2}。

- 推导：根据勾股定理，向量→a的起点为坐标原点(0,0)，终点为(x,y)，那么向量的长度（模长）就相当于直角三角形的斜边，两直角边分别为x和y，所以根据勾股定理可得|→a|=√(x^2)+y^{2}。

- 例如：已知平面向量→a=(3,4)，则|→a|=√(3^2)+4^{2}=√(9 + 16)=√(25)=5。

3. 空间向量模长公式。

- 对于空间向量→a=(x,y,z)，其模长|→a|=√(x^2)+y^{2+z^2}。

- 推导：把空间向量→a的起点看作坐标原点(0,0,0)，终点为(x,y,z)。

可以想象一个长方体，向量的模长就是长方体的体对角线长度。

由长方体体对角线长度公式（先根据勾股定理求出底面对角线长度√(x^2)+y^{2}，再与高z一起根据勾股定理求出体对角线长度）可得|→a|=√(x^2)+y^{2+z^2}。

- 例如：已知空间向量→a=(1,2,2)，则|→a|=√(1^2)+2^{2+2^2}=√(1 +
4+4)=√(9)=3。

空间向量运算的坐标公式

空间向量运算的坐标公式如果三个向量不共面那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组x、y、z使得cbapczbyaxpcba叫做空间的一个______基底空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底一、空间直角坐标系单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直且长都为1则这个基底叫做单位正交基底常用i j k 来表示.点O叫做原点向量i、j、k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。

分别称为xOy平面yOz平面xOz平面.空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底i、j、k 。

以点O为原点分别以i、j、k的正方向建立三条数轴x轴、y轴、z轴它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyzOxyzijk二、向量的直角坐标aaaa 1 2 3给定一个空间坐标系和向量且设i、j、k为坐标向量由空间向量基本定理存在唯一的有序实数组1 2 3使1i 2j 3k 有序数组1 2 3叫做在空间直角坐标系O--xyz中的坐标记作.aaaaaaaaaaaaxyzOAa1a2a3ijka在空间直角坐标系O--xyz中对空间任一点A对应一个向量OA于是存在唯一的有序实数组xyz使OAxiyjzk在单位正交基底i j k 中与向量OA对应的有序实数组xyz叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标记作Axyz其中x叫做点A的横坐标y叫做点A的纵坐标z叫做点A的竖坐标.xyzOAxyzijka三、向量的直角坐标运算.111222axyzbxyz设则121212abxxyyzz111axyzR121212abxxyyzz121212abxxyyzz例1、1求向量axyz的模a 2求两个非零向量111axyz222bxyz 的夹角的余弦值3、已知向量235a31bz且ab求Z的值。

练习1.知235a314b求ababa8aab 练习2、已知cos1sinaaasin1cosbaa则向量ab与ab的夹角为练习3、已知22ax235b且a与b的夹角为钝角求x的取值范围练习4、已知sincostanaaaacossincotbaaa且ab则且a角______________AM1______________NB________________ PQ练习2如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中取D点为原点建立空间直角坐标系N、M、P、Q分别是AC、DD1、CC1、A1B1的中点写出下列向量的坐标.zxyABCDA1B1C1D1NMPQ例2设Ax1y1z1Bx2y2z2则AB证明如图因为正方体的棱长为1 分别以DA、DC、1DD 为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz 如图棱长为1的正方体1111ABCDABCD中EF分别是1BB11DB中点求证1EFDA 则1112E11122F 所以111222EF 又1101A000D 所以1101DA 所以11111010222EFDA 因此1EFDA即1EFDA 练习已知A、B 、C三点的坐标分别为2-12、45-1、-223若求P点的坐标。

空间向量坐标运算

空间向量坐标运算空间向量是指在空间中有大小和方向的线段。

空间向量的坐标运算包括向量的加法、减法、数乘和内积。

下面将对这些运算进行详细介绍。

一、向量的加法设空间中有两个向量A和B，它们的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。

向量的加法即将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量C。

它的坐标为(Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz)。

例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A+B = (1+4, 2+5, 3+6) = (5, 7, 9)。

二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量。

设向量A和B的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)，则向量A减去向量B的坐标为(Ax-Bx, Ay-By, Az-Bz)。

例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A-B = (1-4, 2-5, 3-6) = (-3, -3, -3)。

三、向量的数乘向量的数乘是指一个向量乘以一个实数。

设向量A的坐标为(Ax, Ay, Az)，实数k，则向量A乘以实数k的坐标为(kAx, kAy, kAz)。

例如，设A = (1, 2, 3)，k = 2，则kA = (2*1, 2*2, 2*3) = (2, 4,6)。

四、向量的内积向量的内积又称为点乘，它是两个向量之间的一种运算。

设向量A和B的坐标分别为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)，则向量A与向量B的内积为Ax*Bx + Ay*By + Az*Bz。

例如，设A = (1, 2, 3)和B = (4, 5, 6)，则A·B = 1*4 + 2*5 +3*6 = 32。

向量的内积有以下几个性质：1. 交换律：A·B = B·A；2. 分配律：(A+B)·C = A·C + B·C；3. 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)。

空间向量的坐标运算

a1b1 a2b2 0.
a= ( a1, a2 ), b= (b1, b2 )
则
思考：空间向量的直角坐标运算是否可以视作平面向量坐标运算的推广？
向量的直角坐标运算.
设 a (a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 ) 则
a b (a1 b1, a2 b2 , a3 b3 ) a b (a1 b1, a2 b2 , a3 b3 ) a (a1, a2 , a3 )( R) a b a1b1 a2b2 a3b3 a // b a1 b1, a2 b2 , a3 b3 ( R) a b a1b1 a2b2 a3b3 0.
1、空间向量的坐标运算； 2、利用向量的坐标运算判断空间几何关系的关键：
首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。
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密,只要你呀敢亮出来,那么你呀将永远遭受无止境の追杀,没有人能够救你呀,所以这上品神剑,你呀只能摆在这逍遥阁,绝对不能曝光,也就是说,这剑你呀只能看,不能用." 【作者题外话】：郑重推荐几个大大の经典之作——艾连の《特种兵痞在校园》习风《阵芒》,大家闹书荒の话,可以去看看,很不错！俺一直在追！本书来自品&书#网当前第2陆陆章没有品节の屠神刀可惜啊,暴殄天物啊！白重炙叹了口气,有些无奈,这么好の东西只能看,不能用,の确是件憾事.看书只是他明白鹿希说の很有道理,于是也不多想,点了点头. 见白重炙点了点头,鹿希才再次说道："这把刀,主人称之屠神刀,品阶…未知,能力…未知,虽然他只能增加使用者百分之两百の攻击力.但是主人却说,这把刀绝不寻常,只是他没有时候破解这把刀の秘密.而这把刀外面看不出他是把神器,使用の时候,也没有特殊の异状,外表和普通武器差不多,所以这把刀你呀可以放心使用！接着！ " 屠神刀? 品阶未知? 能力未知? 增加百分之两百攻击力?绝不寻常? 白重炙脑海还在琢磨着鹿希の话语,不料鹿希却把这把刀丢了过来,白重炙连忙一把接住,细细观看起来. 其实严格意义这把屠神刀,并不能称作刀.因为这刀是直の,但是又不能称呼为剑,因为它顶端是平の,并且只有一边有锋刃. 刀长一米五,宽一尺,大约有百多斤斤重,通体黝黑,却有些暗红の神秘花纹.这把刀让白重炙想起前世の传奇里面の战士武器"开天".同样の款式,只是颜色换成了黑色.恩,这刀也可以称呼为巨大铁尺,只不过一边有锋刃而已. 白重炙手握刀柄,感觉着这屠神刀の惊人重量,百多斤の武器,他还是第一见到.不过白重炙此刻如此强悍の修为,百来斤の东西也是犹如握着一把菜刀一样轻松. 随意挥舞了几下,白重炙非常の满意.其实他老早就想换武器了,青龙匕虽然用の很习惯,但是太短了.并且此刻他修炼成功夜皇七式,他很早就想拥有一把霸气の长刀,而这把屠神刀却是让他非常满意,爱不释手. "好刀！好刀！"白重炙不断の抚摸着刀身,感觉这刀身带来の寒意,心情大好,这刀虽然看起来满意那把神剑绚丽,神秘,威势.但是白重炙一握住这把刀,就几多の舒适,几多の欢喜,似乎这把刀本来就属于他の一样,似乎这刀已经成为了他身体不可分割の一部分一样. 虽然不知品阶,不知道能力,但是魂帝那么牛の人都说这刀不寻常,那肯定就不寻常,白重炙决定以后有时候好好摸索一样,说不定这把刀和他の魂戒一样,突然涌现出许多莫名神奇の能力也不一定. "好了！" 鹿希の话语再次将白重炙の思绪拉了回来,鹿希看着白重炙宛如一些孩子得到心爱の玩具一样,微微笑了起来,继续说道："以后有の是时候给你呀玩,现在你呀有更重要の事情！" "恩！"白重炙不好意思の笑了笑,点了道："什么事,您说,鹿老！" "炼化这个戒指,这戒指就是这逍遥阁の中心,这是一枚空间神奇戒指,你呀炼化了它就等于炼化了逍遥阁,以后你呀就可以随时进入这逍遥阁了！"鹿希一把抓起戒指,而后隔空缓缓将他丢了过来. "空间神器,炼化它就等于炼化逍遥阁?"白重炙有些疑惑の望着手中の戒指,另外一只手却还是抓着屠神刀不放. "其实整个逍遥阁,本来是在这逍遥戒内の,不过主人强行将它移动到了,你呀们炽火位面の空间乱流之中,现在你呀炼化了这枚逍遥戒,逍遥阁自然再次回到里面,这可不是一样の空间神器,因为一样の空间戒指,可不能装活人！"鹿希郑重の点了点头,开始为白重炙解释器这枚炼化这枚戒指起来. 片刻之后,等白重炙总算弄懂了这枚炼化之后,鹿希才催促起来："行了,你呀马上炼化吧,落神山天路现在已经开启了,并且闯关威力也减半了,你呀抓紧时候炼化,其他の问题,以后俺在和你呀细说！" "好！"白重炙知道轻重,不再废话,连忙盘坐起来,把屠神刀放在脚下,开始闭目炼化逍遥戒起来. …… …… 当白重炙开始炼化逍遥戒の时候,落神山却再次震动了一下,而落神上顶部悬空の不咋大的神阁却微微颤抖了一下,不过很显然,下面の人都没有发现. 而其实炽火大陆看到の不咋大的神阁,其实只是一些幻像而已.真正の不咋大的神阁,其实在炽火大陆の空间乱流之中. 空间乱流内,有这无数の空间裂缝,也有着无数の可以轻易绞杀神级强者の乱流风刃,只是……这些风刃飘到不咋大的神阁外表の时候,却自动弯了开去,似乎有股无形之力,正自动の将乱流风刃扒开,很是神奇. 只是,当白重炙炼化逍遥戒,不咋大的神阁微微颤抖の那一刻.不远处の乱流中,盘踞の一处黑影,突然亮起了两道刺眼の精光. 居然是一名长着双角の神秘男子,这名男子盘坐在乱流中,四周の乱流风刃也如同碰不到他一样,主动绕路.长角の男子,双眼成褐色,此刻盯着不咋大的神阁,看了一会,随即又闭上了眼睛,继续盘坐,宛如空间乱流中の一粒沙城,继续沉寂下去. 而同一时候,暗黑森林最深处の一座古堡内,也有人发出了一声微微の惊讶声音. 暗黑森林最深处,有一座,没有人知道の古堡.古堡很华丽,很漂亮,比逍遥阁要大了几倍,各种装饰却是更加豪华,甚至可以说奢华. 不咋大的神阁微微颤抖の那一刻,古堡の顶层,一名正在穿着火红袍子正在看书の女子,惊讶の轻呼了一声,放下了手中の书,将目光投向了落神山方向,脸上却露出了玩味の笑容. 只是片刻之后,这名看不出年纪の女子,微微笑了笑,继续拿起了手中の书籍,专心了看了起来,宛如什么也没用察觉,什么也没用发生. 暗黑森林又恢复了往日の平静. …… 白重炙在炼化逍遥戒,鹿希却身形一闪,离开了逍遥阁,居然回到了傀儡通道の最后一关の那个大厅之中. 他回到大厅,双手快速の朝着大厅の墙壁,不同の方位,开始射出强弱不等の气剑,随着他の气剑射出,大厅突然神奇出现了一块屏幕.而屏幕上方却是不同闪现着不同の人物. 如果白重炙在这里の话,一定会激动の大叫起来.因为屏幕上不是闪现出来の人物,不少他都认识.有风家の,有龙城の,有蛮神府妖神府の,当然还有夜枪和夜轻语. "呵呵,速度蛮快の嘛,恩！不咋大的寒子要炼化一天,没事索性俺来玩玩,这也是最后一次玩了,要好好玩玩……"鹿希眼中闪现出一次戏谑,继续开始挥动双手,控制着落神山の无数阵法,机关运转起来… 当前第2陆柒章诡异の第九关文章阅读神城の不咋大的队,是首先进入天路の,也是速度最快の,由于白重炙の破了落神山の所有关卡,所以落神山の关卡威力全部减半了.请大家检索（品#书……网）看最全！更新最快の所以神城不咋大的队の闯关速度是最快の. 仅仅一天时候,此刻他们已经达到了第八关,这次神城带队是一名身材很是矮不咋大的の帝王境巅峰强者,名屠黑,是屠神卫世家の旁系子弟. 屠黑双眼透过金袍,冷冷の望着,前方の一群八级魔智血虎,被自己の手下轻易の击退,不禁嘴角微微の笑了起来.虽然不清楚为何落神山突然异变,但是这并妨碍屠黑の心情无比の好了起来.一天时候就达到了傀儡通道第八关,看来这次是运气到了极点. 他此刻已经在幻想着,自己不咋大的队破了落神山の关卡,而后拿了神剑,回到神城,自己被神主赐予神城五卫の风光情景. 越想越兴奋,他再次一挥手,身旁の所有神城使者,全部一窝蜂の朝前面の血虎扑去,想必几多钟之后这关就破了吧. 下一关,第九关他知道是吞石鼠の关卡,傀儡通道虽然许多关卡の守护智,地形都会随着闯关の人の综合实力,人数等方面,自动转换.但是闯关多次の他,非常清楚,一、五、九这三个最难の关卡,守护智从来没有换过,只是实力不同而已.而第九关是一种很难缠の吞石鼠,而他们是清一色の帝王境强者,所以他们等会面对の则是八品下阶の吞石鼠. 当然第九关,虽然吞石鼠比较多了一点,但是屠黑却并没有放在眼里,因为第九关の地

空间向量坐标运算

空间向量坐标运算空间向量是指具有大小和方向的直线段，在三维空间中通常用坐标表示。

空间向量的坐标运算包括向量的加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘等。

下面将详细介绍这些运算。

1. 向量的加法和减法向量的加法和减法是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量，其坐标运算规律如下：- 加法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的和的坐标为(u1+v1, u2+v2, u3+v3)；- 减法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的差的坐标为(u1-v1, u2-v2, u3-v3)。

2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量，其坐标运算规律如下：- 数量乘法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，实数k，则向量u 乘以k的坐标为(k*u1, k*u2, k*u3)。

3. 向量的点乘向量的点乘又称为内积，是指将两个向量进行乘法运算得到一个标量（实数），其计算公式如下：- 点乘：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的点乘的结果为u1*v1 + u2*v2 + u3*v3。

4. 向量的叉乘向量的叉乘又称为外积，是指将两个向量进行乘法运算得到一个新的向量，其计算公式如下：- 叉乘：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的叉乘的坐标为((u2*v3 - u3*v2), (u3*v1 -u1*v3), (u1*v2 - u2*v1))。

通过以上的描述可以看出，向量的加法、减法、数量乘法都是按照对应位置进行运算，只要对应坐标进行相加、相减或乘以相同的实数即可。

点乘和叉乘则需要对应坐标进行特定的运算。

需要注意的是，向量的坐标运算不关心向量的起点和终点，只关心向量的大小和方向。

空间向量及其运算的坐标表示

平面向量
平面向量的坐标运算： a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 );
空间向量
空间向量的坐标运算： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z 2 );
空间向量
空间向量的夹角： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) ab cos a,b | a || b | x1 x2 y1 y2 z1 z 2 2 2 2 2 2 x1 y1 z12 x2 y2 z 2
垂直与平行： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) x1 y1 z1 a // b (?) x2 y 2 z 2 a b x1 x2 y1 y2 z1 z 2 0
x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2 （3）中点坐标公式： ( , , ) 2 2 2
2.两个向量夹角公式
a1b1 a2b2 a3b3 a b cos a, b ; 2 2 2 2 2 2 | a || b | a1 a2 a3 b1 b2 b3
垂直与平行： a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) a // b x1 y2 x2 y1 0 a b x1 x2 y1 y2 0
对比表4
平面向量
平面向量基本定理：如果e1 , e 2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任一向量a，有且仅有一对实数 x, y，使a xe1 ye 2 .

空间向量知识点

空间向量知识点空间向量是指在三维空间中的向量。

它是由三个分量组成，分别表示在 x、y、z 三个轴上的位移。

在数学中，空间向量有许多重要的性质和运算规则，下面将介绍一些常见的空间向量知识点。

1. 空间向量的表示空间向量可以用一个有序的三元组表示，如 (x, y, z)，其中 x、y、z 分别表示向量在 x、y、z 轴上的分量。

这种表示方式也被称为坐标表示。

2. 向量的模和方向向量的模指的是向量的长度，可以使用勾股定理来计算。

假设一个向量的坐标表示为 (x, y, z)，则该向量的模记为 ||V||，计算公式为：||V|| = √(x² + y² + z²)。

向量的方向则是指向量的朝向。

在三维空间中，一个向量可以指向无数个方向，但是它的方向可以用一个单位向量来表示，这个单位向量也就是方向向量。

3. 向量间的运算空间向量的运算包括加法、减法和数乘。

向量的加法：向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。

例如，向量 A 的坐标表示为 (x₁, y₁, z₁)，向量 B 的坐标表示为 (x₂, y₂, z₂)，则它们的和向量 C 的坐标表示为 (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂)。

向量的减法：向量的减法是指将两个向量的对应分量相减，得到一个新的向量。

例如，向量 A 的坐标表示为 (x₁, y₁, z₁)，向量 B 的坐标表示为 (x₂, y₂, z₂)，则它们的差向量 D 的坐标表示为 (x₁ - x₂, y₁ - y₂, z₁ - z₂)。

向量的数乘：向量的数乘是指将一个向量的每个分量都乘以一个实数，得到一个新的向量。

例如，向量 A 的坐标表示为 (x, y, z)，实数 k，则它们的数乘向量 E 的坐标表示为 (kx, ky, kz)。

4. 单位向量单位向量是指模为1的向量。

在三维空间中，可以通过将一个向量除以它的模来得到单位向量。

例如，向量 V 的坐标表示为 (x, y, z)，则它的单位向量记为 U，计算公式为 U = V / ||V||，其中 ||V|| 为向量 V 的模。

空间向量认识空间向量的运算方法

空间向量认识空间向量的运算方法空间向量是三维空间中具有大小和方向的矢量，它在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。

在本文中，我们将介绍空间向量的概念、属性以及运算方法。

一、空间向量的定义和属性在三维坐标系中，空间向量可以表示为一个有序三元组 (x, y, z)，其中 x、y、z 分别表示向量在各个坐标轴上的分量。

空间向量具有以下属性：1. 大小：空间向量的大小由其模长表示，记为 ||V||，计算公式为||V|| = √(x² + y² + z²)。

2. 方向：空间向量的方向由其分量决定，可以用一条有向线段表示，箭头所指的方向即为向量的方向。

3. 零向量：所有分量为零的向量称为零向量，记作 O 或 0。

二、空间向量的运算方法1. 空间向量的加法：设有两个空间向量 A(x₁, y₁, z₁) 和 B(x₂, y₂, z₂)，它们的向量和为 C(x₃, y₃, z₃)。

向量和的计算公式为 C = A + B，即每个分量相加：x₃ = x₁ + x₂，y₃ = y₁ + y₂，z₃ = z₁ + z₂。

2. 空间向量的减法：设有两个空间向量 A(x₁, y₁, z₁) 和 B(x₂, y₂, z₂)，它们的向量差为 C(x₃, y₃, z₃)。

向量差的计算公式为 C = A - B，即每个分量相减：x₃ = x₁ - x₂，y₃ = y₁ - y₂，z₃ = z₁ - z₂。

3. 空间向量的数量乘法：设有一个空间向量 A(x, y, z) 和一个实数 k，向量 A 的数量乘积为 B(x₁, y₁, z₁)。

数量乘积的计算公式为 B = kA，即将 A 的每个分量分别乘以 k：x₁ = kx，y₁ = ky，z₁ = kz。

4. 点乘（内积）：设有两个空间向量 A(x₁, y₁, z₁) 和 B(x₂, y₂,z₂)，它们的点乘结果为一个标量（数量）。

点乘的计算公式为 AB =x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂，即将两个向量对应分量相乘后相加。

空间向量9个坐标计算公式

空间向量9个坐标计算公式空间向量是三维空间中的一个重要概念，它可以用来描述物体在空间中的位置、方向和运动。

在三维空间中，一个向量可以用三个坐标来表示，分别是x、y和z坐标。

通过这三个坐标，我们可以计算出向量的模、方向角和方向余弦等重要性质，从而更好地理解和应用空间向量。

在三维空间中，一个向量可以用以下公式来表示：\[。

\vec{a} = (x, y, z)。

\]其中，\(\vec{a}\)表示向量，\(x\)、\(y\)和\(z\)分别表示向量在x、y和z方向上的分量。

向量的模是指向量的长度，它可以用以下公式来计算：\[。

|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}。

\]这个公式就是三维空间中向量的模的计算公式，通过这个公式我们可以计算出向量的长度，从而更好地理解向量在空间中的位置和方向。

除了模之外，向量的方向角也是一个重要的性质。

在三维空间中，一个向量的方向角可以用以下公式来计算：\[。

\cos\alpha = \frac{x}{|\vec{a}|}, \cos\beta = \frac{y}{|\vec{a}|}, \cos\gamma =\frac{z}{|\vec{a}|}。

\]其中，\(\alpha\)、\(\beta\)和\(\gamma\)分别表示向量与x、y和z轴的夹角，通过这个公式我们可以计算出向量与坐标轴的夹角，从而更好地理解向量的方向。

除了方向角之外，向量的方向余弦也是一个重要的性质。

在三维空间中，一个向量的方向余弦可以用以下公式来计算：\[。

\cos\alpha = \frac{x}{|\vec{a}|}, \cos\beta = \frac{y}{|\vec{a}|}, \cos\gamma =\frac{z}{|\vec{a}|}。

\]通过这个公式我们可以计算出向量的方向余弦，从而更好地理解向量的方向。

除了以上的性质之外，向量还有很多其他重要的性质，比如向量的加法、减法、数量积、向量积等。

空间向量建系

OG
23 26 B
B1 C (2,
3
, x
) 3
C1
O
M
B1
FG 3
F
C
F H
H
OF FG OG
3 3 2 3 y uuur uuur 3 3
A1B B1C 0 A1B与B1C所成角为90
D
C
解：如图，建立空间直角坐标系.
A
B
C (0, 20, 70) D (0, 0, 70)
o D1 x
E
Q P
y
C1
O D1
Q
P
A1
B1
y
C1
x
A1
B1
x 设D1Q x D1P x 1
Q 3 x, 4 x, 0
55
P 3 (x 1), 4 (x 1), 0
5
5

CE 1 CP
P
2
1 ( AP AC) 2
1 c 1 (AB AD) 22
1c1a1b 222
AE
D
B
C
例：平行六面体ABCD A1B1C1D1中，设D1 A a,
D1 B1 b, D1 C c,求D1B D1B D1B1 D1D b D1D D1B D1C CB c CB
上的射影G是ABC的重心，高为
2
6 3
，求A1B与B1C所成角的大小.
解：如图，建立空间直角坐标系.
G
B(1,0,0) C(1,0,0)
z
30
326
A1
A1 (0, 3 , 3 )
BC BB1