空间向量坐标公式

7、空间向量与立体几何

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1的向量。

（2）向量具有平移不变性

2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下

运算律： ⑴加法交换律：a b b a

⑵加法结合律：)()(c b a c b a

⑶数乘分配律：b a b a

)(

3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量

也叫做共线向量或平行向量，a

平行于b ，记作b a //。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b

存在实数

λ，使a

＝λb 。

6. 空间向量的直角坐标系：

（1）空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系O xyz 中，对空间任一点A ，存在唯一的有序

实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA

，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在

空间直角坐标系O xyz 中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，

z 叫竖坐标。

（2）空间向量的直角坐标运算律：

①若123(,,)a a a a r

，123(,,)b b b b r 则 112233(,,)a b a b a b a b r r

，

112233(,,)a b a b a b a b r r

123(,,)()a a a a R r

，

112233a b a b a b a b r r

， 112233//,,()a b a b a b a b R r r

， 1122330a b a b a b a b r r

。

②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z

则212121(,,)AB x x y y z z u u u r

。

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

③定比分点公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， ，则点P 坐标为)1,1,1(

2

12121

z z y y x x

④),,(),,,(,,,333222111

z y x C z y x B ）z y ，A（x

ABC 中 ，三角形重心

P 坐标为)2

,2,3(

3

21321321z z z y y y x x x P

（3）模长公式：若123(,,)a a a a r ，123(,,)b b b b r

，

则||a r

，

||b r

（4

）夹角公式：cos ||||a b

a b a b r r

r r r r 。

（5）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，

则||AB u u u r ，

或,A B d

7、点面距离h

求点 00,P x y 到平面 的距离： 在平面 上去一点 ,Q x y ，得向量PQ uuu r

;； 计算平面 的法向量n

;.h

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