罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第3章 新增长理论)

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3.1 考虑教材中第3.2节中1θ<时的模型。

（a ）在均衡增长路径上，()A A g t *=，其中A g *是A g 的均衡增长路径值。

利用这个事实以及方程（3.6）()()() L t B a L A t A t θγ=［］推导均衡增长路径上()A t 的一个表达式，把它用B 、L a 、γ、θ和()L t 来表示。

（b ）应用对（a ）问的答案以及生产函数()()()()1L Y t A t a L t =-，求均衡增长路径上()Y t 的表达式。

求最大化均衡路径产出的L a 的值。

答：（a ）关于产出和知识的生产函数为：()()()()1L Y t A t a L t =- （1）()()()() 1L t B a L t t A A θγθ=<［］ （2）在均衡增长路径上，()()()//1A A t A t g n γθ*==- （3） 对（2）两边除以() A t ，即：()()()()1/L t A t Ba L t A A t γθγ-= （4）将（3）（4）联立得：()()()()()11/1/(1)L L Ba L t t n A n Ba L t A t γθθγγγγθγθ--⎡⎤=-⇒=-⎣⎦上式简化为：()()()()1/11/L A t Ba L t n θγγθγ-⎡⎤=-⎣⎦（5）（b ）将（5）代入（1）得：()()()()()()()()(1/11/1/11)()())1(/1/11/1L L LL Y t Ba L t n a L t B n a a L t θγγθγθγθθγθγ---+-⎡⎤=--⎣⎦- -⎡=⎤ ⎣⎦［］两边取对数，可得：()()()()()()()()ln 1/1ln 1//1ln ln 1/11ln L L Y t B n a a L t θθγγθγθ⎡⎤=--+-+-+-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦一阶条件为：经过简单的数学运算求L a *：（6）θ值越大，新知识在生产函数中的作用越大。

γ值越大，劳动在生产函数中的作用越大，需要雇佣越多的劳动。

3.2 考虑两个经济（用12i = ，表示），这两个经济由()()i i Y t K t θ=和()()i i K t s t Y =描述，其中1θ>。

假设两个经济中K 的初始值相同，但是12s s >。

证明12/Y Y 是连续增加的。

证明：将产出函数()()i i Y t K t θ=代入资本累积方程()()i i K t s t Y =得：()()i i i K t s t K θ=，1θ> （1）在方程（1）两边同时除以()i K t 以求出资本增长率的表达式，即：()()()()1,/K i i i i i g t K t K t s K t θ-≡= （2）对方程（2）求导数，求出资本增长率的增长率，即：()()()(),,,/1K i K i i K t g t g t g θ=- （3）方程（3）简化为：()()()2,,1K i K i t t g g θ=- （4）如图3-1所示。

图3-1 资本增长率由于1θ>，所以K i g ，总是保持增长。

K i g ，的初始值是由储蓄率和资本存量决定的，如方程（2）所示。

因此，即使两个经济中K 的初始值相同，只要12s s >，则两个经济的初始资本存量的增长率()0K i g ，便不同。

由方程（3）可知，K i g ，的增长率是由K i g ，决定的。

因此，高储蓄国家的资本存量的增长率总是高于低储蓄国家的资本存量的增长率。

因此，对于所有的0t ≥，有 ()()12K K g t g t ，，＞，并且两个国家的差距会越来越大。

将高储蓄国家的产出与低储蓄国家的产出相比，即：()()()()1212//Y t Y t K t K t θ=⎡⎤⎣⎦ （5）对方程（5）两边取对数，然后求导，得：（6）由方程（6）可以发现，高储蓄国家的资本存量的增长率总是高于低储蓄国家的资本存量的增长率，且由于对于所有的0t ≥，都有()()12K K g t g t ，，＞成立，并且两个国家的差距会越来越大，高储蓄国家的产出与低储蓄国家的产出的比率将持续上升，并且以递增的速率上升。

3.3 考虑第3.3节中分析的经济。

假设1θβ+<，0n >，且经济处于均衡增长路径上。

说明以下各种变化如何影响0A g =线和0K g =线，以及变化发生时经济在()A k g g ，空间上的位置：（a ）n 增加； （b ）K a 增加；（c ）θ增加。

答：（a ）n 增加0A g =线和0K g =线由下式给出：0A K k g n g g •=⇒=+ （1）()10k A A g g n g θγβ•=-⇒-=（2）资本和知识的增长率公式为：（3）（4）从方程（1）可以看出，对于给定的A g •，由于n 增加，满足0K g •=的k g 变大了，0K g •=线向上移动；从方程（2）可以看出，由于n 增加，对于给定的A g ，满足0A g •=的k g 变小了，因此0A g •=向下移动，如图3-2所示。

图3-2 n 增加对0A g •=与0K g •=的影响由于n 并没有出现在方程（3）中，因此k g 没有随着n 的增加而向上移动。

同理，由于n 并没有出现在方程（4）中，A g 没有随着n 的增加而向上移动。

（b ）K a 增加由于K a 并没有出现在方程（1）和（2）中，因此0A g •=线和0K g •=线随着K a 的增加都没有变化。

在方程（3）中，K a 增加引起资本的增长率k g 向下移动。

在方程（4）中，K a 增加引起知识的增长率A g 向上移动。

因此经济向F 点移动，如图3-3所示。

图3-3 K a 增加对0A g •=与0K g •=的影响（c ）θ增加因为θ没有出现在方程（1）中，因此0K g •=没有随着θ增加而变化；因为θ出现在方程（2）中，因此0A g •=变的更加平坦；因为θ没有出现在方程（3）中，因此资本的增长率k g 没有变化；因为θ出现在方程（4）中，需要判断θ增加的效果，可以发现θ增加可能会导致A g 向上、向下或保持不变，如图3-4所示。

图3-4 θ增加对0A g •=与0K g •=的影响对方程（4）两边取对数，即：()()()()()ln ln ln ln 1ln A A g t c K t L t A t βγθ=+++-上式两边对θ求导，可得：()()ln /ln A g t A t θ∂∂= （5）因此，如果()A t 小于1，则()ln 0A t <，随着θ增加，知识增长率向下跳动；如果()A t 大于1，则()ln 0A t >，随着θ增加，知识增长率向上移动；如果()A t 等于1，则()ln 0A t =，A g 不发生变化。

这意味着向NEW E 的动态调整可能会依赖于随着θ增加的A g 的值。

3.4 考虑教材第3.3节中描述的经济，并假定1βθ+<且0n >。

假设经济最初处于均衡增长路径上，且s 发生持久性的增加。

（a ）如果这种变化影响0A g •=和0K g •=曲线，那么它将怎样产生其影响?这种变化如何影响变化发生时经济在()A K g g ，空间上的位置？（b ）s 增加后，A g 和K g 的动态学是什么？画出每工人的对数平均产出的路径。

（c ）直观上，s 增加的影响与其在索洛模型中的影响有何不同？ 答：（a ）0A g •=和0K g •=的方程分别为：0A K k g n g g •=⇒=+ （1）()10k A A g g n g θγβ•=-⇒-=（2）资本和知识的增长率公式分别为：（3）（4）因为s 没有出现在方程（1）和（2）中，因此随着s 的增加，0A g •=和0K g •=没有发生变化。

同样，在（4）中s 也没有出现，因此，随着s 的增加，知识的增长率不发生变化。

不过，随着s 的增加，资本的增长率会向上移动。

如图3-5所示，经济从均衡增长路径上的E 点向F 点移动。

图3-5 s 的持久性增加对0A g •=和0K g •=的影响（b ）在点F ，经济位于0A g •=曲线之上，因此A g 会上升，因为s 的增加，资本的增长率提高了，资本进入知识生产函数的数量提高了，因此知识的增长率提高了。

在点F ，经济位于0K g •=曲线之上，因此K g 下降了，经济会到达东南，并最终会绕过0A g •=的曲线，从而A g 也开始下降。

因为资本和知识的规模报酬递减，即1βθ+<，所以s 的增加对于K 和A 的增长率没有持久效应。

经济最终会返回到E 点。

生产函数为：()()()()()()111K L Y t a K t A t a L t αα-⎡⎤=-⎦⎣⎤⎦-⎡⎣ （5）对方程（5）两边先取对数再求导数，从而求得增长率，即：（6）在初始的均衡增长路径上，由（1）可得：K A g g n **=+，将其代入方程（6）可知，总产出也是以K A g g n **=+的速度增长。

因此，人均产出()()/Y t L t 在初始的均衡增长路径上以Ag *的速度增长。

在过渡时期，A g 和K g 的增长率都变大，因此人均产出()()/Y t L t 的增长率也变大。

图3-6中显示了人均产出()()/Y t L t 的增长率开始先增加而后又减少。

不过，重要的一点是在过渡时期，增长率本身高于均衡增长路径上的A g *。

最终，一旦经济返回到稳定点E ，人均产出()()/Y t L t 的增长率再次为A g *。

图3-6 人均产出()()/Y t L t 的变化（c ）在本模型中，储蓄率s 增加的效应与索洛模型中的影响比较相似。

因为规模报酬递减，因此储蓄率s 的增加只有水平效应。

人均产出的路径位于原先的路径之上，人均产出的增长率，不过对于人均产出的增长率没有持久效应，在均衡增长路径上，人均产出的增长率等于知识的增长率。

这一点与索洛模型中资本的规模报酬递减有相似之处。

从数量上讲，增长效应大于索洛模型，这是因为A 的增长率提高后便为既定，这与索洛模型不同。

3.5 考虑第3.3节中1βθ+=且0n =时的模型。