高三入学联考数学试卷(理)及答案
陕西省部分学校2024-2025学年高三上学期开学校际联考试题 数学含答案
2025届高三第一次校际联考数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟．2．答卷前，务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题共58分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{22}M x x =-<<，集合{1,0,1,2}N =-，则M N = （）A ．{1,0,1}-B ．{0,1,2}C ．{12}x x -<D ．{12}x x - 2．若复数1i z =-，则||z z -=（）A B ．2iC ．2D ．43．设x ∈R ，则“cos 0x =”是“π2x =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．为全面普及无人机知识，激发青少年探索航空未来创造力与想象力，提升青少年科学素养和创新能力，培养航空后备人才．某省于2024年4月中旬举办了第8届全国青少年无人机大赛某校为下一届大赛做准备，在校内进行选拔赛，10名学生成绩依次为：85,105,75,100,90,95,85,90,80,95．则这组数据的60%分位数为（）A ．90B ．92.5C ．85D ．955．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．()(||1)f x x =+B ．sin ()||1xf x x =+C ．()(||1)cos f x x x =+D ．cos ()||1x f x x =+6．亚运会火炬传递，假设某段线路由甲、乙等6人传递，每人传递一棒，且甲不从乙手中接棒，乙不从甲手中接棒，则不同的传递方案共有（）A ．360种B ．288种C ．504种D ．480种7．由直线1y x =+上的一点向圆22680x y x +-+=引切线，则切线段的最小值为（）A ．3B ．C ．D 8．已知函数()f x ，若数列()*()n a f n n =∈N 为递增数列，则称函数()f x 为“数列保增函数”．若函数()ln(2)f x x x λ=-+为“数列保增函数”，则实数λ的取值范围为（）A ．3ln,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．(ln 2,)+∞C ．[1,)+∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．对于函数()sin f x x =和()sin(2)g x x =，下列说法正确的有（）A ．()f x 与()g x 有相同的零点B ．()f x 与()g x 有相同的最值C ．()f x 与()g x 有相同的周期D ．()f x 的图象与()g x 的图象有相同的对称轴10．已知数列{}n a 满足122n n n a a a ++=+，其中1221,19a a ==，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列选项正确的有（）A ．{}n a 为等差数列B ．219n a n =+C ．20nS n n=+D ．当11n =时，n S 有最大值11．已知圆22:(2)4E x y ++=的圆心为E ，抛物线2:8C x y =的焦点为F ，准线为l ，动点P 满足||||6PE PF +=，则（）A ．曲线E 与C 仅有一个公共点B ．点P 的轨迹为椭圆C ．||PE 的最小值为1D ．当点P 在l 上时，||2PE =第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知向量(2,5),(,2)a b m ==，若a b ⊥ ，则实数m =_______．13．tan 72tan121tan 72tan12︒-︒=+︒︒_______．14．中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质．如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台1111ABCD A B C D -，上下底面的中心分别为1O 和O ，若11124,60AB A B A AB ==∠=︒，则正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为_______．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）在ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知1,a b c ===（I ）求角C 的大小；（Ⅱ）求sin()A C +的值．16．（本小题满分15分）已知函数2()ex x f x =．（I ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）求函数()f x 在[1,2]-上的值域．17．（本小题满分15分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，,M N 分别是,PC PD 的中点．（I ）求证：MN ∥平面PAB ；（Ⅱ）若2PA AB ==，求直线PB 与平面ABN 所成角的大小．18．（本小题满分17分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，左顶点为E ，虚轴的上端点为P ，且||3PF =，||PE =（I ）求双曲线C 的标准方程；（Ⅱ）设M N 、是双曲线C 上不同的两点，Q 是线段MN 的中点，O 是原点，直线MN OQ 、的斜率分别为12k k 、，证明：12k k ⋅为定值．19．（本小题满分17分）如图，一质点在大小随机的外力作用下，在x 轴上从原点0出发向右运动，每次移动1个单位或2个单位，其中每次移动1个单位的概率均为p ，移动2个单位的概率均为1p -．（I ）记质点移动5次后位于8的位置的概率为()f p ，求()f p 的最大值及最大值点0p ；（Ⅱ）若12p =，记质点从原点0运动到n 的位置的概率为n P ．（i ）求23,P P ；（ii ）证明：{}1n n P P +-是等比数列，并求n P ．2025届高三第一次校际联考数学试题参考答案及评分标准一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．A2．C3．B4．B5．D6．D7．C8．B二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．若有两个正确选项，则选对一个得3分，全部选对得6分；若有3个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6分；有选错的得0分）9．ABC10．AD11．ABC三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．5-1314．2823四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．解：（I ）1,a b c === ，222cos 22a b c C ab +-∴==-，5π(0,),6C C π∈∴=．……（6分）（Ⅱ）5π1,,6sin sin b c b c C B C==== ，sinsin 14b C Bc ∴==，πA B C ++= ，sin()sin 14A CB ∴+==．……（13分）16．解：（I ）函数2()e x x f x =的定义域为R ，222e e (2)()e e x x x xx x x x f x '--==，由()0f x '>，得02x <<；由()0f x '<，得0x <或2x >，故函数()f x 的递增区间为(0,2)，递减区间为(,0)-∞和(2,)+∞．…（7分）（Ⅱ）由（I ）可得()f x 在(1,0)-上单调递减，在(0,2)上单调递增，()f x ∴在0x =处取得极小值即最小值，min ()(0)0f x f ∴==，又max 24(1)e,(2)e,()(1)e ef f f x f -==<∴=-=，∴函数()f x 在[1,2]-上的值域为[0,e]．……（15分）17．解：（I ）证明：,M N 分别为,PC PD 的中点，MN CD ∴∥，四边形ABCD 为正方形，AB CD ∴∥，MN AB ∴∥，AB ⊂ 平面,PAB MN ⊂/平面PAB ，MN ∴∥平面PAB ．…（7分）（Ⅱ） 四边形ABCD 为正方形，AB AD ∴⊥，PA ⊥ 平面,,ABCD AB AD ⊂平面ABCD ，,,,,PA AB PA AD AB AD PA ∴⊥⊥∴两两垂直，故以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，AP 所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,2),(2,0,0),(0,0,0),(0,1,1)P B A N ，(2,0,2),(2,0,0),(0,1,1)PB AB AN ∴=-==，设平面ABN 的法向量为()000,,n x y z =，则0,0,n AB n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即00020,0,x y z =⎧⎨+=⎩得0000,,x y z =⎧⎨=-⎩令01y =，则01,(0,1,1)z n =-∴=-，设直线PB 与平面ABN 所成角为θ，||21sin |cos ,|42||||PB n PB n PB n θ⋅∴=<>===，ππ0,,26θθ⎡⎤∈∴=⎢⎥⎣⎦，∴直线PB与平面ABN所成角的大小为π6．…（15分）18．解：（I）不妨设双曲线C的半焦距为(0)c c>，||3,||PF PE==，c===，解得2,b c==，则222541a c b=-=-=，故双曲线C的方程为2214yx-=．……（8分）（Ⅱ）证明：设()()11221212,,,,,0M x y N x y x x x x≠+≠．则1212,22x x y yQ++⎛⎫⎪⎝⎭，,M N为双曲线C上的两点，221122221,41,4yxyx⎧-=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩两式相减得()()()()121212124y y y yx x x x-+-+=，整理得()121212124x x y yy y x x+-=+-，则121212121212121212242y yy y y y y yk k x xx x x x x x+--+⋅=⋅=⋅=+--+，故12k k⋅为定值，定值为4．…（17分）19．解：（I）由已知可得，5次移动中，有3次移动2个单位，2次移动1个单位，2235()C(1)f p p p∴=-，2()10(1)(25)f p p p p'∴=--，()f p ∴在20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,15⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，max 2216()5625f p f ⎛⎫∴==⎪⎝⎭，此时025p =．……（6分）（Ⅱ）（i ）112P =，则21312113115,224228P P P P P =+==+=．…（10分）（ii ）证明：由题意，211122n n n P P P ++=+，2()21112n n n n P P P P +++∴-=--，{}1n n P P +∴-是首项为14，公比为12-的等比数列，…（14分）故1112n n n P P ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()()()112211n n n n n P P P P P P P P ---∴=-+-++-+ 1211111111112242442422nn n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+++=+⨯-++⨯-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112421212312n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+=⎛⎫-- ⎪⎝⎭．…（17分）。
高三入学联考数学试卷(理)及答案
高三入学第一次联合考试数学试卷（理）数 学 科 试 题 部 分（满分150分，考试时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合2{|20}A x x x =--<，{||1}B x x =<，则()A B =R ð（ ）A.(1,2)B.(1,2]C.[1,2)D.[1,2]2.设x R ∈,则“1x <”是“2x ≠”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 3.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3， 则正视图中的x 的值是（ ） A.2 B.92 C.32 D.34.设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中错误的是（ ） A.若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ B.若αβ⊥,m α⊄,m β⊥,则//m α C.若m β⊥,m α⊂,则αβ⊥ D.若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥5.将函数π()2tan 36x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式为（ ）A.π()2tan()134x g x =+-B.π()2tan()134x g x =-+C.π()2tan()1312x g x =-+D.π()2tan()1312x g x =--6.设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半 径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是 ( ) A.(0,2) B.[0,2] C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若675S S S >>,则满足01<+n n S S 的正整数n 的值为（ ）A.13B.12C.11D. 108.设函数()g x 是二次函数,2,||1(),||1x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩,若函数[()]f g x 的值域是[0,)+∞,则函数（第3题图）正视图 侧视图x()g x 的值域是( )A.(,1][1,)-∞-+∞B.[0,)+∞C.(,1][0,)-∞-+∞D.[1,)+∞9.若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，φ属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{}X a b c =，，，对于下面给出的四个集合τ： ①{{}{}{}}a c a b c τ=∅，，，，，； ②{{}{}{}{}}b c b c a b c τ=∅，，，，，，，； ③{{}{}{}}a a b a c τ=∅，，，，，； ④{{}{}{}{}}a c b c c a b c τ=∅，，，，，，，，． 其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是( )A.①B.②C.②③D.②④10.设函数2()2,()ln 3x f x e x g x x x =+-=+-,若实数,a b 满足()()0f a g b ==,则( ) A.()0()g a f b << B.()0()f b g a << C.0()()g a f b << D.()()0f b g a <<第Ⅱ卷 （非选择题共100分）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）11.已知函数,0,()ln ,0,x e x f x x x ⎧<=⎨>⎩则1[()]f f e =_______________．12.若点M （y x ,）为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≥+-001012x y x y x 上的一个动点，则y x 2+的最大值是_______13.若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+,则4a =___________ 14.已知cos sin 6⎛⎫-+= ⎪⎝⎭παα7sin 6⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα .15.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________．16.已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的最大值是______ 17.函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”______________三、解答题(本大题共5小题，满分72分。
高三入学联考理科数学
或演算步骤 .）
17．（ 12 分）在 △ABC 中 ,
角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c ,
已知 bcosC c cosB asin A ,
边 BC 上的高为 h .
（ 1）求角 A 的大小；
（ 2）求 a tan B 的最小值 . h
===================== 第 3页=====================
2mln( x+1)+1( m 为常数 ) .
x+1
（ 1）若 y f ( x) 在 x 1 处的切线与直线 4 x 5y 2017 0垂直 ,
数 y f ( x) 的极值；
（ 2）若对任意实数 t ( 1, ) ,
不等式 f ( t)≤t +1恒成立 ,
m 的取值范围 .
求函 求实数
===================== 第 7页=====================
4
31 C． [ , ]
44
9．运行如下框图对应的程序 ,
输出的结果为 ( )
3 D ． [ ,0]
4
1 A．
27 10．已知 f ( x)
则
1 B．
9 3sin x cosx ,
1 C．
3 且对任意实数
D ．1
x 都有 f (x)≤ | f ( ) | ,
tan(
) ()
12
3 A．
3
B． 3
C． 2 3
lg x 1 x≥1
,
2x
x1
则 f ( f ( log 210))
. x y 2≤ 0
14．已知不等式组 x y 2≥ 0 表示的平面区域为 , y≥ 2
2023届江西省重点中学盟校高三第一次联考数学(理)试题及参考答案
2023届江西省重点中学盟校高三第一次联考数学（理）试题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.若集合{}1|4,|1A x x B x x⎧⎫=<=≥⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A ．(],1-∞B ．(]0,1 C.(),0(1,4)-∞ D ．()(],00,1-∞ 2.若复数z 是方程0222=+-x x 的一个根，则i z ⋅的虚部为（）A ．2B ．i2C ．iD ．13.袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“中､华､道､都”四个字，每次有放回地从中任取一个小球，直到写有“道”､“都”两个字的小球都被取到，则停止取球．现用随机模拟的方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，用0,1,2,3分别代表“中､华､道､都”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果．现经随机模拟产生了以下18组随机数：232321230023231021122203012231130133231031123122103233由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为（）A ．518B ．29C ．16D ．194.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若23141540a a a a +++=，则16S =（）A ．150B ．160C ．170D ．与1a 和公差有关5.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>的蒙日圆为C ：2223b y x =+，则椭圆Γ的离心率为（）A ．31B ．21C ．23D 6.执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为（）A ．4i ≤B ．5i ≤C ．6i ≤D ．7i ≤7.如图，△ABC 内接于圆O ，AB 为圆O 的直径，AB ＝5，BC ＝3，CD ⊥平面ABC ，E 为AD 的中点，且异面直线BE 与AC 所成角为60°，则点A 到平面BCE 的距离为（）A.3218 B.778C.7214 D.3748.若正项递增等比数列{}n a 满足：()R a a a a ∈=-+-+λλ,0214332,则54a a λ+的最小值为（）A.2B.2C.22 D.49.已知点P 在棱长为2的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PB P A ⋅的最小值为（）A ．-2B ．-3C ．-1D ．010.长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是21，夏季来的概率是21，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择3处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为（）A ．209B ．21C ．2011D ．5311.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，A 为双曲线右支上一点，设12AF F α∠=，21AF F β∠=，若2tan 22tanαβ=，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y =B ．y =±C ．3y x=±D ．4y x=±12.定义在R 上的函数)(x f 与)(x g 的导函数分别为)(x f '和)(x g '，满足0)2()(=-'-'x g x f ，()()2f x g x --=-，且)2(-x g 为奇函数，则=∑=20231)(k k f （）A ．4046-B ．4045-C ．4044- D.4043-二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13.设向量b a,满足,1,1,3,===b a b a π则=+b a 3_______．14.设6cos()(π+=x x f ，若)()(21x f x f =且021<x x ，则12x x -取值范围为________.15.已知函数,)(x x e e x f --=所有满足()01)(=-+n f m f 的点()n m ,中，有且只有一个在圆C 上，则圆C 的方程可以是__________.（写出一个满足条件的圆的方程即可）16.若)(1,12*N n n n n n a ∈⎪⎭⎫⎝⎛+++∈时，关于x 的不等式0log >-xaa x 恒成立，则正整数n 的取值集合为__________.（参考数据： 2.718,ln 20.693,ln3 1.099e ≈≈≈）三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)17.在ABC ∆中，已知)C B A C B A sin sin sin 2sin sin sin 3222=-+．(1)求C ∠；(2)若D 是AB 边上的一点，且2,2==DA BD ，求ABC ∆面积的最大值．18.如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，AB DC AD 21==，现将ADC ∆沿AC 翻折成直二面角P AC B --.（Ⅰ）证明：CB PA ⊥；（Ⅱ）若,4=AB 二面角B PA C --余弦值为721，求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值.19.中医药在抗击新冠肺炎疫情中，发挥了重要作用。
最新高三(上)联考数学试卷(理科)附带参考答案
最新高三（上）联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ={x|0<x +2<5}，B ={x|x 2≤4}，则A ∩B =( ) A.(2, 3) B.[2, 3) C.(−2, 2) D.(−2, 2]2. 已知向量m →=(λ+1, 1)，n →=(λ+2, 2)，若(2m →+n →)⊥(m →−n →)，则λ=( ) A.−1 B.−113C.−83D.23. “1<a <3”是“lg a <lg 3”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4. 如图，某粮仓（粮仓的底部位于地面上）是由圆柱和圆锥构成的，若圆柱的高是圆锥高的2倍，且圆锥的母线长是4，侧面积是4π，则制作这样一个粮仓的用料面积为（ ）A.( √15+4)πB.( 2√15+4)πC.( 3√15+4)πD.(4√15+4)π5. 已知数列{a n }，{b n }，{c n }均为等差数列，且a 1+b 1+c 1=1，a 2+b 2+c 2=3，则a 2020+b 2020+c 2020=( ) A.4037 B.4039 C.4041 D.40436. 已知正数m ，n 满足√4m×√8n＝2，则3m +2n 的最小值为（ ） A.24 B.18C.16D.127. 函数f(x)=(3x −x 3)sin x 的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.8. 已知一块木板上有三个孔洞，则能够塞住这三个孔洞的塞子可能是（）A. B. C. D.9. 如图，在四面体ABCD中，已知AE=35AB，AF=2FC，GD=3AG，则四面体ABCD被截面EFG分得的上下两部分的体积之比为（）A.1 8B.110C.19D.41510. 图1是第七届国际数学教育大会(ICME−7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图2），其中OA1=A1A2=A2A3=...=A7A8=1，则sin∠A6OA8=()A.7√2+2√2128B.7√2−2√2128C.14√3+128D.14√3−12811. 设f(x)是定义在(−∞, 0)∪(0, +∞)上的函数，f′(x)为其导函数，f(1−2x)=f(2x−1)，f(−2)=0，当x>0时，−xf′(x)<f(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是（）A.(−2, 0)∪(0, 2)B.(−∞, −2)∪(2, +∞)C.(−∞, −2)∪(0, 2)D.(0, 2)∪(2, +∞)12. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2sin C=a2+b2+1+2aba+b，则△ABC外接圆面积的最小值为（）A.π8B.π4C.π2D.π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上．函数f(x)在(−∞, +∞)上单调递增，且当x∈[0, 4]时，f(x)=x2−2，则关于x的不等式f(x)<0的解集为________．设S n是数列{a n}的前n项和，若点(S n, a n)在直线y=2x+1上，则a5=________．设x，y满足约束条件{xy≥0,|x+y|≤2,则z=4x−y的最小值为________．已知数列{a n}的前n项和为S n，前n项积为T n，且1e a3+1+1e a2019+1≤1，有下述四个结论：①当数列{a n}为等差数列时，S2021≥0；②当数列{a n}为等差数列时，S2021≤0；③当数列{a n}为等比数列时，T2021>0；④当数列{a n}为等比数列时，T2021<0．其中所有正确结论的编号是________．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．长方体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，其外接球的表面积为5π．（1）求该长方体的表面积；（2）求异面直线BD 与B 1C 所成角的余弦值．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，6a 2为a 3，a 4的等差中项． （1）求{a n }的公比；（2）若a 1=1，设b n =log 3a 1+log 3a 2+...+log 3a n ，求数列{1b n+1}的前n 项和．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知tan A +tan (A +π4)=l ． （1）求cos A ；（2）若AB →⋅AC →＝√10，求△ABC 的面积，并求a 2的最小值在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，平面ECB ⊥平面ABC ，△ACD ，△ECB ，△ACB 都是等边三角形．（1）证明：DE // 平面ABC ．（2）求二面角E −AB −C 的余弦值．已知数列{a n }的首项为0，2a n a n+1+a n +3a n+1+2=0． （1）证明数列{1a n +1}是等差数列，并求出数列{a n }的通项公式；（2）已知数列{b n }的前n 项和为S n ，且数列{b n }满足b n =2na n+1，若不等式(−1)nλ<S n +3×2n+1对一切n ∈N ∗恒成立，求λ的取值范围．已知函数f(x)=(e ax −1)ln x(a >0)．（1）当a =1时，求曲线y =f(x)在（1, f(1)）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若关于x的方程f(x)=ax2−ax在[1, +∞)上恰有三个不同的实数解，求a的取值范围．参考答案与试题解析最新高三（上）联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 【答案】 D【考点】 交集及其运算 【解析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【解答】∵ A ={x|−2<x <3}，B ={x|−2≤x ≤2}， ∵ A ∩B =(−2, 2]． 2. 【答案】 C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】利用平面向量坐标运算法则求出2m →+n →=(3λ+4, 4)，m →−n →=(−1, −1)，再由(2m →+n →)⊥(m →−n →)，能求出λ的值． 【解答】∵ 向量m →=(λ+1, 1)，n →=(λ+2, 2)， ∵ 2m →+n →=(3λ+4, 4)，m →−n →=(−1, −1)， ∵ (2m →+n →)⊥(m →−n →)，∵ (2m →+n →)⋅(m →−n →)=(−1)×(3λ+4)+4×(−1)=0， 解得λ=−83．3.【答案】 A【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据对数函数的单调性以及充分条件和必要条件的定义即可求解． 【解答】因为lg a <lg 3等价于0<a <3，1<a <3能推出0<a <3，但是0<a <3不能推出1<a <3，所以1<a <3”是“lg a <lg 3”的充分不必要条件． 4.【答案】 D【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，高为ℎ；根据题意列方程求出r 的值， 再计算圆柱和圆锥的侧面积之和． 【解答】设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，高为ℎ； 所以πrl =4π，解得r =1，ℎ=√42−12=√15； 又圆柱的侧面积为2πr ⋅2ℎ=4√15π， 所以制作这样一个粮仓的用料面积为 (4√15+4)π． 5. 【答案】 B【考点】等差数列的通项公式 等差数列的性质【解析】根据等差数列的性质得出数列{a n +b n +c n }也是等差数列， 由此求出对应的项a 2020+b 2020+c 2020． 【解答】由数列{a n }，{b n }，{c n }均为等差数列， 所以数列{a n +b n +c n }也是等差数列，且首项为a 1+b 1+c 1=1，公差为(a 2+b 2+c 2)−(a 1+b 1+c 1)=3−1=2， 所以a 2020+b 2020+c 2020=1+(2020−1)×2=4039． 6.【答案】 A【考点】基本不等式及其应用 【解析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】由正数m ，n 满足√4m×√8n＝2，可得22m +3n =2，∵ 2m +3n =1，则3m +2n =(3m +2n)(2m +3n )=12+4n m+9m n≥12+2√36=24，当且仅当m =4，n =6时取等号． 7.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据函数奇偶性的概念可判断f(x)为偶函数，排除选项B，再对比剩下选项，需考虑0<x<√3和√3<x<π时，f(x)与0的大小关系即可作出选择．【解答】∵ f(−x)=(−3x+x3)sin(−x)=(3x−x3)sin x=f(x)，∵ f(x)为偶函数，排除选项B；当0<x<√3时，3x−x3>0，sin x>0，∵ f(x)>0，当√3<x<π时，3x−x3<0，sin x>0，∵ f(x)<0，8.【答案】C【考点】进行简单的合情推理【解析】利用选项C的三视图即可判定．【解答】选项C的左视图、主视图、俯视图恰好对应木板上的三个孔洞，9.【答案】C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】设△ABC的面积为S，点D到平面ABC的距离为ℎ，推导出V ABCD=13Sℎ，且S△AEF=S×35×23=25S，点G到平面ABC的距离为14ℎ，推导出V AEFG=13×25S×14ℎ=130Sℎ，由此能求出四面体ABCD被截面EFG分得的上下两部分的体积之比．【解答】如图，设△ABC的面积为S，点D到平面ABC的距离为ℎ，则V ABCD=13Sℎ，且S△AEF=S×35×23=25S，点G到平面ABC的距离为14ℎ，∵ V AEFG=13×25S×14ℎ=130Sℎ，四面体ABCD被截面EFG分得的上下两部分的体积之比为：1 30Sℎ：(13Sℎ−130Sℎ)=1:9．10.【答案】A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】由题意OA1=A1A2=1，且△OA1A2是直角三角形，可得OA2=√2，同理可得OA6=√6，OA7=√7，进而根据两角和的正弦函数公式即可计算求解sin∠A6OA8的值．【解答】因为OA1=A1A2=1，且△OA1A2是直角三角形，所以OA2=√2，同理可得OA6=√6，OA7=√7，所以sin∠A6OA8=sin(∠A6OA7+∠A7OA8)=7√78√67×8=7√2+2√2128．11.【答案】B【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】根据题意构造函数g(x)=xf(x)，由求导公式和法则求出g′(x)，结合条件判断出g′(x)的符号，即可得到函数g(x)的单调区间，根据f(x)是偶函数判断出g(x)是奇函数，由f(−2)=0求出g(−2)=g(2)=0，结合函数g(x)的单调性、奇偶性将问题转化为g(x)>g(2)，求出不等式成立时x的取值范围即可．【解答】由题意设g(x)=xf(x)，则g′(x)=xf′(x)+f(x)，∵ 当x>0时，有xf′(x)+f(x)>0，∵ 则当x>0时，g′(x)>0，∵ 函数g(x)=xf(x)在(0, +∞)上为增函数，∵ f(1−2x)=f(2x−1)，故函数f(x)是偶函数，∵ g(−x)=(−x)f(−x)=(−x)[f(x)]=−xf(x)=−g(x)，∵ 函数g(x)为定义域上的奇函数，由f(−2)=0得，g(−2)=−g(2)=0，f(x)>0即x>0时，g(x)>0=g(2)，解得：x>2，x<0时，g(x)<0，解得：x<−2∵ 使得f(x)>0成立的x的取值范围是：(−∞, −2)∪(2, +∞)，12.【答案】A【考点】余弦定理正弦定理【解析】由已知结合基本不等式可求sin C ≥1，然后结合正弦函数的性质可得sin C ≤1，然后结合基本不等式及勾股定理即可求解． 【解答】 因为2sin C =a 2+b 2+1+2aba+b=(a+b)2+1a+b=a +b +1a+b ≥2，当且仅当a +b =1时取等号， 所以sin C ≥1，又sin C ≤1，故sin C =1， 又a 2+b 22≥(a+b 2)2=14，所以c 2=a 2+b 2≥12，所以△ABC 外接圆面积π⋅(c 2)2≥π8即最小值π8．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上． 【答案】(−∞, √2)【考点】函数单调性的性质与判断 【解析】根据题意，由函数的解析式可得f(√2)=0，则有f(x)<0即f(x)<f(√2)，结合函数的单调性可得x 的取值范围，即可得答案． 【解答】根据题意，当x ∈[0, 4]时，f(x)=x 2−2，则f(√2)=(√2)2−2=0， 则f(x)<0即f(x)<f(√2)，又由函数f(x)在(−∞, +∞)上单调递增，必有x <√2，即不等式的解集为(−∞, √2)， 【答案】 −1【考点】 数列递推式 【解析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步求出数列的第5项的值． 【解答】设S n 是数列{a n }的前n 项和，若点(S n , a n )在直线y =2x +1上， 所以a n =2S n +1，① 当n =1时，a 1=−1．当n ≥2时，a n−1=2S n−1+1②， ①-②得：a n =−a n−1，即a nan−1＝−1（常数），所以数列{a n }是以−1为首项，−1为公比的等比数列．所以a 5＝(−1)×(−1)4＝−1．【答案】 −8【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 【解答】由z=4x−y得y=4x−z作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=4x−z，由图象可知当直线y=4x−z过点A(−2, 0)时，直线y=4x−z的截距最大，此时z最小，得z=4×(−2)−0=−8，∵ 目标函数z=2x−y的最小值是−8．【答案】①③【考点】命题的真假判断与应用【解析】直接利用关系式的变换，整理得f(x)＝1e x+1−12，进一步利用等比数列的性质和求和整理得结果．【解答】由于1e a3+1+1e a2019+1≤1，整理得1e a3+1−12+1e a2019+1−12≤0，由于f(−x)+f(x)=0，所以f(x)＝1e x+1−12为奇函数，且在R上单调递减，所以a3+a2019≥0，所以当数列{a n}为等差数列时，S2021＝2021(a3+a2019)2≥0，当数列{a n}为等比数列时，且a3，a1011，a2019为同号，a3，a1011，a2019都大于0，故T2021＝(a1011)2021>0，故正确的结论为：①③．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】设外接球的半径为R，则4πR2=5π，解得R=√52，设AA1=x，则x2+12+12=(2R)2=5，解得x=√3，∵ 该长方体的表面积为：S=2(1×√3+1×√3+1×1)=4√3+2．连结A1D，A1B，∵ A1D // B1C，∵ ∠A1DB是异面直线BD与B1C所成角（或所成角的补角），∵ BD=√2，A1B=2，A1D=2，∵ 在△A1BD中，cos∠A1DB=2√2)222×2×√2=√24．∵ 异面直线BD与B1C所成角的余弦值为√24．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积异面直线及其所成的角【解析】（1）设外接球的半径为R，则4πR2=5π，求出R=√52，由此求出AA1=√3，从而能求出该长方体的表面积．（2）连结A1D，A1B，由A1D // B1C，得∠A1DB是异面直线BD与B1C所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线BD与B1C所成角的余弦值．【解答】设外接球的半径为R，则4πR2=5π，解得R=√52，设AA1=x，则x2+12+12=(2R)2=5，解得x=√3，∵ 该长方体的表面积为：S=2(1×√3+1×√3+1×1)=4√3+2．连结A1D，A1B，∵ A1D // B1C，∵ ∠A1DB是异面直线BD与B1C所成角（或所成角的补角），∵ BD=√2，A1B=2，A1D=2，∵ 在△A1BD中，cos∠A1DB=2√2)222×2×√2=√24．∵ 异面直线BD与B1C所成角的余弦值为√24．【答案】设公比为q，q>0，∵ 6a2为a3，a4的等差中项，∵ 12a2=a3+a4，即q2+q−12=0，∵ q=3（−4舍），由（1）可得：a n=3n−1，∵ b n=log3a1+log3a2+...+log3a n=0+1+2+……+(n−1)=n(n−1)2，∵ 1b n+1=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，令数列{1b n+1}的前n项和为A，则A=2(1−12+12−13+……+1n−1n+1)=2nn+1．【考点】 数列的求和等差数列与等比数列的综合【解析】（1）直接根据等差中项的性质以及等比数列的性质求解即可， （2）求出b n 的表达式，利用裂项求和求解即可． 【解答】设公比为q ，q >0，∵ 6a 2为a 3，a 4的等差中项， ∵ 12a 2=a 3+a 4， 即q 2+q −12=0， ∵ q =3 （−4舍），由（1）可得：a n =3n−1，∵ b n =log 3a 1+log 3a 2+...+log 3a n =0+1+2+……+(n −1)=n(n−1)2，∵1b n+1=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，令数列{1bn+1}的前n 项和为A ，则A =2(1−12+12−13+……+1n −1n+1)=2nn+1． 【答案】∵ tan A +tan (A +π4)=1， 故tan A +tan A+11−tan A =1，则tan 2A −3tan A =0，解得：tan A =3，或tan A =0（舍）， ∵ tan A =sin Acos A ，sin 2A +cos 2A =1，故cos 2A =110， ∵ tan A =3>0，故cos A >0，cos A =√1010； ∵ AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|⋅cos A =√10， 故bc =|AB →|⋅|AC →|=10， 故△ABC 的面积S =12bc sin A =5×3√1010=3√102， 由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bc cos A ≥2bc −√105bc =10−√105bc =20−2√10，当且仅当b =c 时“=”成立， 故a 2的最小值是20−2√10． 【考点】两角和与差的三角函数平面向量数量积的性质及其运算【解析】（1）根据两角和的正切公式求出tan A ，从而求出cos A 即可；（2）求出bc 的值，从而求出△ABC 的面积，结合余弦定理求出a 2的最小值即可． 【解答】∵ tan A +tan (A +π4)=1， 故tan A +tan A+11−tan A=1，则tan 2A −3tan A =0，解得：tan A =3，或tan A =0（舍）， ∵ tan A =sin Acos A ，sin 2A +cos 2A =1，故cos 2A =110， ∵ tan A =3>0，故cos A >0，cos A =√1010； ∵ AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|⋅cos A =√10， 故bc =|AB →|⋅|AC →|=10， 故△ABC 的面积S =12bc sin A =5×3√1010=3√102， 由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−2bc cos A ≥2bc −√105bc =10−√105bc =20−2√10，当且仅当b =c 时“=”成立， 故a 2的最小值是20−2√10．【答案】记AC ，BC 中点分别为F ，G ，连接DF ，FG ，EG ， 因为△ACD ，△ECB ，△ACB 都是等边三角形． 所以△ACD ≅△ECB ≅△ACB ，DF ＝√32AC ＝√32BC ＝EG ， 因为△ACD ，△ECB 是等边三角形，F ，G 是AC ，BC 中点，所以DF ⊥AC ，EG ⊥BC ，因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ECB ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC =AC ，平面ECB ∩平面ABC =BC ，所以DF ⊥平面ABC ，EG ⊥平面ABC ， 所以DF // EG ， 又因为DF =EG ，所以四边形DEGF 为平行四边形， 所以DE // FG ，因为FG ∵平面ABC ，DE ⊈平面ABC ， 所以DE // 平面ABC ；过点E 作EH ⊥AB ，垂足为H ，连接GH ，记AB =a ，则AB =AC =BC =AD =DC =EC =BE =a ， 由（1）易知：EG ＝√32a ， 连接AG ，则AG ＝EG ＝√32a ， 因为EG ⊥平面ABC ，所以EG ⊥AG ，EG ⊥AB ，EG ⊥GH ， 所以AE =√2EG =√62a ，所以EH=4a，因为EH⊥AB，EG⊥AB，所以AB⊥平面EGH，所以AB⊥GH，所以∠EHG即为二面角E−AB−C的平面角，在Rt△EGH中，EH=√154a，EG＝√32a，所以GH=√34a，所以cos∠EHG=GHEH√34a√154a√55．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面平行【解析】（1）欲证DE // 平面ABC，则需先证DE平行于平面ABC内的某一条直线，则作辅助线证明DF // EG，根据线段长度相等即得四边形DEGF是平行四边形，由此可证；（2）构造出二面角E−AB−C的平面角，放入直角三角形求解即可．【解答】记AC，BC中点分别为F，G，连接DF，FG，EG，因为△ACD，△ECB，△ACB都是等边三角形．所以△ACD≅△ECB≅△ACB，DF＝√32AC＝√32BC＝EG，因为△ACD，△ECB是等边三角形，F，G是AC，BC中点，所以DF⊥AC，EG⊥BC，因为平面ACD⊥平面ABC，平面ECB⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，平面ECB∩平面ABC=BC，所以DF⊥平面ABC，EG⊥平面ABC，所以DF // EG，又因为DF=EG，所以四边形DEGF为平行四边形，所以DE // FG，因为FG∵平面ABC，DE⊈平面ABC，所以DE // 平面ABC；过点E作EH⊥AB，垂足为H，连接GH，记AB=a，则AB=AC=BC=AD=DC=EC=BE=a，由（1）易知：EG＝√32a，连接AG，则AG＝EG＝√32a，因为EG⊥平面ABC，所以EG⊥AG，EG⊥AB，EG⊥GH，所以AE=√2EG=√62a，所以EH=4a，因为EH⊥AB，EG⊥AB，所以AB⊥平面EGH，所以AB⊥GH，所以∠EHG即为二面角E−AB−C的平面角，在Rt△EGH中，EH=√154a，EG＝√32a，所以GH=√34a，所以cos∠EHG=GHEH√34a√154a√55．【答案】数列{a n}的首项为0，2a n a n+1+a n+3a n+1+2=0，所以2(a n+1)(a n+1+1)+a n+1+1=a n+1，除以(a n+1)(a n+1+1)，整理得：1a n+1+1−1a n+1＝a n−a n+112(a n−a n+1)＝2（常数），所以数列{1a n+1}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n＝12n−1−1＝2−2n2n−1．数列{b n}的前n项和为S n，且数列{b n}满足b n=2na n+1=(2n−1)⋅2n，所以S n＝1×21+2×22+⋯+(2n−1)⋅2n①，2S n＝1×22+2×23+⋯+(2n−1)⋅2n+1②，①-②得：S n＝(2n−3)⋅2n+1+6，由于不等式(−1)nλ<S n+3×2n+1对一切n∈N∗恒成立，所以(−1)n⋅λ<n⋅2n+2+6，当n为偶数时，λ<n⋅2n+2+6，解得λ<38．当n为奇数时，−λ<n⋅2n+2+6，解得λ>−14．综上所述：−14<λ<38．【考点】数列的求和等差数列的性质数列递推式【解析】（1）直接利用关系式的变换，求出数列{1a n+1}是等差数列，进一步求出数列的通项公式．（2）利用乘公比错位相减法和分类的讨论，求出参数的取值范围．【解答】数列{a n}的首项为0，2a n a n+1+a n+3a n+1+2=0，所以2(a n+1)(a n+1+1)+a n+1+1=a n+1，除以(a n+1)(a n+1+1)，整理得：1a n+1+1−1a n+1＝a n−a n+112(a n−a n+1)＝2（常数），所以数列{1a n+1}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a n＝12n−1−1＝2−2n2n−1．数列{b n}的前n项和为S n，且数列{b n}满足b n=2na n+1=(2n−1)⋅2n，所以S n＝1×21+2×22+⋯+(2n−1)⋅2n①，2S n＝1×22+2×23+⋯+(2n−1)⋅2n+1②，①-②得：S n＝(2n−3)⋅2n+1+6，由于不等式(−1)nλ<S n+3×2n+1对一切n∈N∗恒成立，所以(−1)n⋅λ<n⋅2n+2+6，当n为偶数时，λ<n⋅2n+2+6，解得λ<38．当n为奇数时，−λ<n⋅2n+2+6，解得λ>−14．综上所述：−14<λ<38．【答案】当a=1时，f(x)=(e x−1)ln x，可得f(1)=0，f(x)的导数f′(x)=e x ln x+e x−1ln x，所以切线的斜率为k=f′(1)=e−1，则切线的方程为y=(e−1)(x−1)，该切线与x轴的交点为(1, 0)，与y轴的交点为(0, 1−e)，所以所求三角形的面积为12×1×(e−1)=e−12；显然x=1为方程f(x)=ax2−ax的根，当x>0且x≠1时，原方程等价于e ax−1ax=x−1ln x=e ln x−1ln x，设g(x)=e x−1x(x>0)，g′(x)=(x−1)e x+1x，设ℎ(x)=1+(x−1)e x(x>0)，ℎ′(x)=xe x>0，可得ℎ(x)在(0, +∞)递增，则ℎ(x)>ℎ((0)=0，即g′(x)>0，g(x)在(0, +∞)递增，原方程等价于g(ax)=g(ln x)，只需ax=ln x在(1, +∞)上有两个不等实根．故只需ax=ln x在(1, +∞)上有两个不等的实根．则a=ln xx(x>1)，设k(x)=ln xx (x>1)，k′(x)=1−ln xx2，可得k(x)在(1, e)递增，在(e, +∞)递减，则k(x)的最大值为k(e)=1e，又k(1)=0，所以a的范围是(0, 1e)．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程函数的零点与方程根的关系【解析】（1）求得a=1时，f(x)的导数，可得切线的斜率和方程，可得切线与x，y轴的交点，由三角形的面积公式，可得所求值；（2）显然x=1为方程f(x)=ax2−ax的根，当x>0且x≠1时，原方程等价于e ax−1 ax =x−1ln x=e ln x−1ln x，构造函数g(x)=ex−1x(x>0)，求得导数，判断单调性，可得原方程即为ax=ln x，由参数分离和构造新函数，求得导数和最值，即可得到所求范围．【解答】当a=1时，f(x)=(e x−1)ln x，可得f(1)=0，f(x)的导数f′(x)=e x ln x+e x−1ln x，所以切线的斜率为k=f′(1)=e−1，则切线的方程为y=(e−1)(x−1)，该切线与x轴的交点为(1, 0)，与y轴的交点为(0, 1−e)，所以所求三角形的面积为12×1×(e−1)=e−12；显然x=1为方程f(x)=ax2−ax的根，当x>0且x≠1时，原方程等价于e ax−1ax=x−1ln x=e ln x−1ln x，设g(x)=e x−1x(x>0)，g′(x)=(x−1)e x+1x2，设ℎ(x)=1+(x−1)e x(x>0)，ℎ′(x)=xe x>0，可得ℎ(x)在(0, +∞)递增，则ℎ(x)>ℎ((0)=0，即g′(x)>0，g(x)在(0, +∞)递增，原方程等价于g(ax)=g(ln x)，只需ax=ln x在(1, +∞)上有两个不等实根．故只需ax=ln x在(1, +∞)上有两个不等的实根．则a=ln xx(x>1)，设k(x)=ln xx (x>1)，k′(x)=1−ln xx2，可得k(x)在(1, e)递增，在(e, +∞)递减，则k(x)的最大值为k(e)=1e，又k(1)=0，所以a的范围是(0, 1e)．。
2023届山东省高三下学期开学考试联考数学试题(解析版)
2023届山东省高三下学期开学考试联考数学试题一、单选题1．已知复数z 在复平面内的对应点为()2,1，则10z z+=（ ） A ．63i + B ．6i +C ．63i -D ．6i -【答案】D【分析】由题知2i z =+，再根据复数四则运算求解即可. 【详解】解：因为复数z 在复平面内的对应点为()2,1， 所以2i z =+， 所以()()()102i 10102i 2i 2i 42i 6i 2i 2i 2i z z -+=++=++=++-=-++- 故选：D2．设集合{}2Z1002x M x x =∈<<∣，则M 的所有子集的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C【分析】解不等式得{}7,8,9M =，再根据公式求解即可. 【详解】解：解不等式2100x <得1010x -<<， 解不等式1002x <得2log 100x >，由于67222log 2log 100log 2<<,所以，{}{}{}22Z1002Z log 100107,8,9x M x x x x =∈<<=∈<<=∣∣， 所以，M 的所有子集的个数为328=个. 故选：C 3．设随机变量()2,X N μσ，且()()0.5,()3P X a P X b P X b ≥=<=≥，则()2P X a b ≤-=（ ）A ．0.25B ．0.3C ．0.5D ．0.75【答案】A【分析】由题知a μ=，()14P X b ≥=，进而根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】解：因为随机变量()2,XN μσ，所以，()()1P X b P X b <+≥=因为()()0.5,()3P X a P X b P X b ≥=<=≥， 所以a μ=，()14P X b ≥=所以，根据正态分布的对称性，()()20.25P X a b P X b ≤-=≥=. 故选：A4．抛掷一枚质地均匀的骰子3次，则向上的点数为3个互不相同的偶数的概率为（ ） A ．13B ．19C ．118D ．136【答案】D【分析】根据计数原理，排列的应用，古典概型求解即可.【详解】解：抛掷一枚质地均匀的骰子3次，共有36666⨯⨯=种不同结果，其中向上的点数为3个互不相同的偶数的情况为点数为2,4,6的排列，故有33A 6=种，所以，向上的点数为3个互不相同的偶数的概率为333A 1636P ==. 故选：D5．已知等边三角形ABC 的边长为1，动点P 满足1AP =．若AP AB AC λμ=+，则λμ+的最小值为（ ）A ．B ．C ．0D ．3【答案】B【分析】利用平方的方法化简已知条件，结合基本不等式求得λμ+的最小值. 【详解】π1,3AB AC AP CAB ===∠=， 由AP AB AC λμ=+两边平方得()22AP AB AC λμ=+， 即()()()2222223124λμλλμμλμλμλμλμ+⎛⎫=++=+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，当且仅当λμ==所以()24,3λμλμ+≤≤+≤所以λμ+的最小值为. 故选：B6．克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，且AC =，2ADC BAD ∠=∠．若AB CD BC AD ⋅+⋅=O 的半径为（ ）A ．4B ．2 CD ．【答案】B【分析】由托勒密定理求出BD ，设圆O 的半径为R ，由正弦定理可得2sin sin AC BDR ADC BAD==∠∠，即可得到sin ADC BAD ∠=∠，再根据2ADC BAD ∠=∠及二倍角公式求出cos BAD ∠，即可求出sin BAD ∠，从而得解.【详解】解：由托勒密定理，得AC BD AB CD BC AD ⋅=⋅+⋅=因为AC =，所以2BD =． 设圆O 的半径为R ，由正弦定理，得2sin sin AC BDR ADC BAD==∠∠．又AC =，所以sin ADC BAD ∠=∠．因为2ADC BAD ∠=∠，所以2sin cos BAD BAD BAD ∠∠=∠，因为0πBAD <∠<，所以sin 0BAD ∠>，所以cos BAD ∠=所以1sin 2BAD ∠=，则24sin BD R BAD==∠，故2R =． 故选：B7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点M 满足13CC CM =．若在正方形1111D C B A 内有一动点P 满足//BP 平面1AMD ，则动点P 的轨迹长为（ ）A ．3BCD ．【答案】C【分析】在棱111,A D AA 上分别取点,E F ，使得11113A E A D =，1113A F A A =，连接111,,,,,EF BC BF C E D F BM ，证明平面1//BFD M 平面1AMD 即可得点P 的轨迹为线段1C E ，再计算长度即可.【详解】解：如图，在棱111,A D AA 上分别取点,E F ，使得11113A E A D =，1113A F A A =，连接111,,,,,EF BC BF C E D F BM ，因为11113A E A D =，1113A F A A =，所以，1//EF AD ，因为EF ⊄平面1AMD ，1AD ⊂平面1AMD ， 所以//EF 平面1AMD ， 因为1113A F A A =，13CC CM =， 所以，12AF C M ==，11CM A F ==，因为1111,AB C D BAF MC D =∠=∠，1111,A D BC BCM FA D =∠=∠， 所以，ABF △≌11C D M ，BCM ≌11D A F ， 所以11,BF D M D F BM ==所以，四边形1BFD M 是平行四边形， 所以1//BF D M ，因为BF ⊄平面1AMD ，1D M ⊂平面1AMD ， 所以，//BF 平面1AMD ，因为⋂=BF EF F ，,BF EF ⊂平面1BFD M ， 所以平面1//BFD M 平面1AMD ， 因为平面1BFD M平面11111A B C D C E =,所以，在正方形1111D C B A 内有一动点P 满足//BP 平面1AMD 时，点P 的轨迹为线段1C E ，因为1C E =所以，动点P 故选：C8．设sin0.2,0.2cos0.1,2sin0.1a b c ===，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．c b a <<【答案】A【分析】利用导数证明不等式当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan <<x x x ，进而得sin0.10.1tan0.1<<，再讨论,a b cb与1的关系即可判断. 【详解】解：令()sin f x x x =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()cos 10f x x '=-<在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，所以，函数()sin f x x x =-在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()sin 00f x x x f =-<=，即sin x x <，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；令()tan g x x x =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()22222222cos sin 1cos 1sin 110cos cos cos cos g x x x x xx x x x'+--=-=-==<， 所以，函数()tan g x x x =-在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 00g x x x g =-<=，即tan x x <，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan <<x x x所以，sin0.10.1tan0.1<<，因为sin0.2,0.2cos0.1,2sin0.1a b c ===， 所以0,0,0a b c >>> 所以，sin0.22sin 0.1cos0.110sin 0.1100.110.2cos0.10.2cos0.1a b ===<⨯=，即a b < 2sin 0.110tan 0.1100.110.2cos0.1c b ==>⨯=，即c b > 所以，a b c << 故选：A【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan <<x x x ，结合二倍角公式，比较,a b cb与1的关系判断.二、多选题9．已知双曲线22:12x C y -=和圆222:(3)(0)P x y r r +-=>，则（ ）A ．双曲线CB ．双曲线C 的渐近线方程为20x y ±=C ．当r =C 与圆P 没有公共点D ．当r =C 与圆P 恰有两个公共点 【答案】ACD【分析】根据双曲线方程求出离心率与渐近线方程，即可判断A 、B ，求出圆心到渐近线的距离，即可判断C ，设双曲线C 上的点Q 的坐标为(),x y ，表示出PQ 的距离，即可得到圆心P 到双曲线C 上的点的距离的最小值，从而判断D.【详解】解：由已知得a =1b =，则c =C 的离心率62c e a ，故选项A 正确；双曲线C 的渐近线方程为y =，即0x ±=，故选项B 错误；因为圆心()0,3P 到双曲线C 的渐近线的距离d =，所以当r =圆P 与双曲线C 的渐近线相切，此时双曲线C 与圆P 没有公共点，故选项C 正确； 设双曲线C 上的点Q 的坐标为(),x y ，()1y ≥，则圆心P 到点Q 的距离为==1y =时取等号，所以圆心P 到双曲线C 上的点的距离的最小值为C 上只有两个点到圆心P 的距离为所以当r =C 与圆P 恰有两个公共点，故选项D 正确． 故选：ACD10．已知函数()sin cos ,0f x a x b x ab =+≠．若曲线()y f x =经过点π,26⎛⎫- ⎪⎝⎭，且关于直线π6x =对称，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为2π B．b =C ．()f x 的最大值为2 D ．()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】ABD【分析】由题知()π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，进而得b =，()π2sin 3f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再结合题意得2a =，进而再讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为曲线()y f x =关于直线π6x =对称， 所以()π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即12b b +，解得b ，所以，()πsin cos sin cos 2sin 3f x a x b x a x x a x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，所以，()f x 的最小正周期为2π，故A 选项正确； 因为曲线()y f x =经过点π,26⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以ππ2sin 263a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得2a =，所以b ==()π4sin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故B 选项正确；所以，()f x 的最大值为4，故C 选项错误； 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故D 选项正确.故选：ABD11．在数列{}n a 中，若对于任意*N n ∈，都有1641n n a a ++=+，则（ ） A ．当11a =或12a =时，数列{}n a 为常数列 B ．当12a >时，数列{}n a 为递减数列，且12n a a <≤ C ．当112a <<时，数列{}n a 为递增数列 D ．当101a <<时，数列{}n a 为单调数列 【答案】ABC【分析】直接代入计算判断A ；由题知()()1211n n n n n a a a a a +---=-+，11242n n n a a a +--=+，再依次讨论BC 选项即可判断；根据1211511a a a -++=无法确定符号判断D. 【详解】解：对于A 选项，由1641n n a a ++=+得1641n n a a +=-+，所以，当11a =时，321n a a a ====，是常数列；当12a =时，322n a a a ====是常数列，故A 选项正确；对于B 选项，()()21213264111n n n n n nn n n n a a a a a a a a a a +---+-=--==-+-++， 因为16242112n n n n a a a a +=+-=-+-， 所以，当12a >时，12101224a a a =+->-，即22a >， 同理可得，()*2N n a n >∈，所以()()12101n n n n n a a a a a +---=-<+，即1n n a a +<，所以数列{}n a 为递减数列，且12n a a <≤，故B 选项正确； 对于C 选项，当112a <<时，由()()1211n n n n n a a a a a +---=-+得()()121112101a a a a a --=->+-，即21a a >由11242n n n a a a +--=+得12101242a a a =+-<-，22a < 所以，1212a a <<<，同理可得*12,N n a n <<∈，所以()()12101n n n n n a a a a a +---=->+，即1n n a a +>，所以，数列{}n a 为递增数列，故C 选项正确； 对于D 选项，当101a <<时，由()()112112101a a a a a --=-<+-，即211a a <<，由11242n n n a a a +--=+得1211131124511a a a a a --=++=++，符号不确定， 所以()()23222211a a a a a -=---+符号不确定，所以，当101a <<时，数列{}n a 的单调性无法确定，故错误.故选：ABC12．已知函数()f x 的定义域为R ，12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数，且对于任意x ∈R ，都有()()233f x f x -=，则（ ）A ．()()1f x f x +=B ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．()2f x +为偶函数D ．12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数【答案】BCD【分析】依题意可得()()2=f x f x -，再由奇偶性得到1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而得到()()2f x f x +=，即可判断A ，由()()1f x f x =--，可得102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再由()()1f x f x +=-，即可求出12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而判断B ，再结合奇偶性的定义判断C 、D.【详解】解：由()()233f x f x -=，得()()2=f x f x -． 由12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数，得1122f x fx ⎛⎫⎛⎫+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()1f x f x =--，所以()()21f x f x -=--，即()()1f x f x +=-，所以()()2f x f x +=，故选项A 错误； 由()()1f x f x =--，得102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由()()1f x f x +=-，得1122f f ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故选项B 正确；由()()2f x f x +=，()()2=f x f x -，得()()22f x f x -=+，即()2f x +为偶函数，故选项C 正确； 由()()1f x f x =--，()()2f x f x +=，得()()1f x f x =---，则1122f x fx ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，故选项D 正确．故选：BCD三、填空题13．写出曲线33y x x =-过点()2,2的一条切线方程__________． 【答案】2y =或9160x y --=（写出其中的一个答案即可）【分析】首先判断点()2,2在曲线上，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，再说明函数的单调性，即可得到函数的极大值，从而得到曲线的另一条切线方程.【详解】解：因为点()2,2在曲线33y x x =-上，所以曲线33y x x =-在点()2,2处的切线方程符合题意．因为233y x '=-，所以22|3239x y ==⨯-='，所以曲线33y x x =-在点()2,2处的切线方程为()292y x -=-，即9160x y --=． 因为当1x <-或1x >时，0'>y ；当11x -<<时，0'<y ，所以函数33y x x =-在=1x -处取得极大值2，又极大值恰好等于点()2,2的纵坐标，所以直线2y =也符合题意．故答案为：2y =或9160x y --=（写出其中的一个答案即可）14．已知椭圆22:163x y C +=，直线:1l y x =+交C 于,M N 两点，点()0,3P ，则PMN 的周长为__________．【答案】【分析】由题知12PF F △为等边三角形，直线l 过点1F ，且倾斜角为30，进而得直线:1l y x =+为边2PF 的中垂线，再根据椭圆的定义求解即可. 【详解】解：由题知2226,3,3a b c ===，所以椭圆22:163x y C +=的焦点坐标为())12,F F所以，由()0,3P 得1212PF PF F F ===所以，12PF F △为等边三角形，且1260PF F ∠=因为，当0y =时，解方程01=+得x =所以，直线:1l y =+过点1F ，且倾斜角为30，即1230MF F ∠=，所以，直线:1l y =+为12PF F △为等边三角形中角12PF F ∠的角平分线，所以，直线:1l y =+为边2PF 的中垂线， 所以22,MP MF NP NF ==，因为1212112,MF MF NF NF a NF MF MN +=+=+= 所以，PMN 的周长为2212124PM PN MN MF NF MN MF MF NF NF a ++=++=+++==故答案为：15．设奇函数()f x 的定义域为R ，且对任意()12,0,x x ∈+∞，都有()()()1212f x x f x f x =+．若当1x >时，()0f x <，且124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()()lg 20f x +<的解集为__________．【答案】()11,2,424⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭【分析】由题知函数()f x 在()0,∞+上单调递减，在(),0∞-上单调递减，且()42f =-，()21f =-，124f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ，再根据对数函数单调性将()()lg 20f x +<转化为解()21f x -<<-即可得答案.【详解】解：设()12,0,x x ∈+∞，且12x x >，则121x x > 因为，当1x >时，()0f x <，所以120x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为对任意()12,0,x x ∈+∞，都有()()()1212f x x f x f x =+．所以，()()11220x f x f x f x ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，即()()12f x f x <， 所以，函数()f x 在()0,∞+上单调递减， 因为()f x 是定义域为R 的奇函数， 所以，函数()f x 在(),0∞-上单调递减，因为不等式()()lg 20f x +<等价于不等式()021f x <+<，即()21f x -<<-， 因为对任意()12,0,x x ∈+∞，都有()()()1212f x x f x f x =+，124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，当121x x ==时，得()10f =；当1212x x ==时，得112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以()()110f x f f x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以，()42f =-，()21f =-，124f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，112⎛⎫-=- ⎪⎝⎭f ， 所以，当()0,x ∈+∞时，()21f x -<<-的解集为()2,4， 当(),0x ∈-∞时，()21f x -<<-的解集为11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以，()21f x -<<-的解集为()11,2,424⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭，所以，不等式()()lg 20f x +<的解集为()11,2,424⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭故答案为：()11,2,424⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭16．已知三棱锥-P ABC 的体积为6，且236PA PB PC ===．若该三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，则三棱锥O ABC -的体积为__________． 【答案】3【分析】根据锥体体积公式结合条件可得PA ，PB ，PC 两两互相垂直，取BC 的中点M ，连接PM 并延长至点D ，使MD PM =，连接AD 、CD 、BD ，则AD 的中点即为球心O ，即可得到12O ABC P ABC V V --=三棱锥三棱锥.【详解】解：由已知得6PA =，3PB =，2PC =．设点A 到平面PBC 的距离为h ，则111sin 332PB P ABC A PBC C S h PB PC BPC h V V ∠--⋅=⨯⨯⨯⨯⨯==△三三棱锥棱锥11666PB PC h PB PC PA ≤⋅⋅≤⋅⋅=． 又6P ABC V -=三棱锥，所以PA ，PB ，PC 两两互相垂直．取BC 的中点M ，连接PM 并延长至点D ，使MD PM =，连接AD 、CD 、BD ，则AD 的中点即为球心O ，（四棱锥P ABCD -中PA ⊥底面ABCD ，且ABCD 为矩形，则四棱锥P ABCD -可以补形为以ABCD 为底面的长方体，AD 即为该长方体的一条体对角线，三棱锥-P ABC 的外接球即为四棱锥P ABCD -也即为该长方体的外接球）．因为点O 到平面ABC 的距离等于点D 到平面ABC 的距离的12，而点D 到平面ABC 的距离等于点P 到平面ABC 的距离，所以132O ABC P ABC V V --==三棱锥三棱锥．故答案为：3四、解答题17．已知数列{}n a 满足112321,n n a a a a a +=-+=． (1)求{}n a 的通项公式；(2)若21n b n =-，数列{}n c 满足4321422141242,,,n n n n n n n n c b c a c a c b -----====，求{}n c 的前41n +项和41n S +．【答案】(1)121n n a -=+(2)241464n nn S n ++=+【分析】（1）根据递推关系解方程得12a =，进而证明数列{}1n a -是等比数列，公比为2，首项为1，再根据等比数列通项公式求解即可；（2）由题知143424148234n n n n n c c c c n ----+++-⋅=+，进而令4342414n n n n n d c c c c ---+++=，记数列{}n d 的前n 项和为n T ，则41n S +为n T 与41n c +的和，再根据等差数列与等比数列求和公式求解即可. 【详解】（1）解：数列{}n a 满足112321,n n a a a a a +=-+=所以，21321232121a a a a a a a=-⎧⎪=-⎨⎪+=⎩，解得1232,3,5a a a ===，由121n n a a +=-得()1121n n a a +-=-，即1121n n a a +-=-， 所以，数列{}1n a -是等比数列，公比为2，首项为1， 所以112n n a --=，即121n n a -=+所以，{}n a 的通项公式为121n n a -=+（2）解：因为21n b n =-，121n n a -=+，所以()4321221143n n c n b n --==--=-，24122221n n n c a ---==+，2421121n n n c a --==+，4241n n b n c ==-， 所以，221434241483228234n n n n n n n n c c c c -----+++-=-+=+⋅⋅， 令143424148234n n n n n n d c c c n c ----+++=-=+⋅，设数列{}n d 的前n 项和为n T ，因为数列{}82n -为等差数列，{}134n -⋅为等比数列，所以，()26821434241214nn n n n T n n +--=+⨯=++-- 因为数列{}n c 的前41n +项和为n T 与41n c +的和，()()4141341341n n c c n n ++-==+-=+，所以，442112414241464n nn n n T c n n n n n S +++=+==+++-++.18．在ABC 中，2AB AC =，D 是边BC 上一点，2CAD BAD ∠=∠． (1)若3π4BAC ∠=，求BD CD 的值；(2)若1AC =，求AD 的取值范围． 【答案】(1)BDCD=(2)30,2⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）首先求出BAD ∠、CAD ∠，再在ABD △、ACD 、ABC 中分别利用正弦定理计算可得；（2）设BAD ∠=α，则2CAD α∠=，3BAC α∠=，由面积公式表示出ABCS、ABDS、ACDS，即可得到()sin3sin sin cos AD αααα=+，从而得到24cos 11cos AD αα-=+，令1cos t α+=，则348AD t t =+-，设()348f t t t=+-利用导数说明函数的单调性，即可求出()f t 的值域，即可得解.【详解】（1）解：由3π4BAC ∠=，2CAD BAD ∠=∠， 可得π4BAD ∠=，π2CAD ∠=． 在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD BADBD B ⋅∠=；在ACD 中，由正弦定理得sin sin AD CADCD C⋅∠=；在ABC 中，由正弦定理得sin sin C ABB AC=，所以πsinsin sin 42πsin sin sin 2BD BAD C AB CD CAD B AC ∠=⋅=⋅==∠ （2）解：由1AC =，得2AB =．设BAD ∠=α，则2CAD α∠=，3BAC α∠=， 所以1sin sin32ABC S AB AC BAC α=⋅∠=△，1sin sin 2ABD S AB AD BAD AD α=⋅∠=△， 1sin sin cos 2ACD S AC AD CAD AD αα=⋅∠=△，则()sin3sin sin cos AD αααα=+， 故2sin3sin cos2cos sin24cos 1sin sin cos sin sin cos 1cos AD ααααααααααααα+-===+++．设1cos t α+=，则348AD t t=+-．因为0πBAC <∠<，所以π03α<<，则322t <<．设()348f t t t=+-，322t <<，则()234f t t =-'．因为当322t <<时，()0f t '>，所以函数()f t 在区间3,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增． 因为302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()322f =，所以()302f t <<，故AD 的取值范围为30,2⎛⎫⎪⎝⎭．19．为了促进地方经济的快速发展，国家鼓励地方政府实行积极灵活的人才引进政策，被引进的人才，可享受地方的福利待遇，发放高标准的安家补贴费和生活津贴．某市政府从本年度的1月份开始进行人才招聘工作，参加报名的人员通过笔试和面试两个环节的审查后，符合一定标准的人员才能被录用．现对该市1~4月份的报名人员数和录用人才数（单位：千人）进行统计，得到如下表格．月份1月份 2月份 3月份 4月份报名人员数x /千人 3.556.5 7录用人才数y /千人 0.20.33 0.40.47(1)求出y 关于x 的经验回归方程；(2)假设该市对被录用的人才每人发放2万元的生活津贴（i ）若该市5月份报名人员数为8000人，试估计该市对5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额；（ii ）假设在参加报名的人员中，小王和小李两人被录用的概率分别为p ，31p -．若两人的生活津贴之和的均值不超过3万元，求p 的取值范围．附：经验回归方程ˆˆˆya bx =+中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为442122111ˆˆˆ,;128.5,8.24.ni ii i i ini i ii x y nxyba y bx x x y xnx ====-==-==-∑∑∑∑ 【答案】(1)0.0720.046ˆyx =- (2)（i ）1060万元；（ii ）15,38⎛⎤⎥⎝⎦【分析】（1）根据所给数据求出x ，y ，即可求出，ˆa，从而求出回归直线方程； （2）（i ）将8x =代入（1）中回归直线方程，求出ˆy ，即可估计需要发放的生活津贴的总金额； （ii ）设小王和小李两人中被录用的人数为X ，则X 的可能取值为0，1，2，求出所对应的概率，即可求出数学期望，即可得到()2413p ⨯-≤且010311p p <<⎧⎨<-<⎩，即可求出p 的取值范围.【详解】（1）由题意得 3.55 6.57 5.54x +++==，0.20.330.40.470.354y +++==，所以414222148.244 5.50.350.072128.5454ˆ.5i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆ0.350.072 5.50.046ˆay bx =-=-⨯=- 故y 关于x 的经验回归方程为0.0720.046ˆyx =-． （2）（ⅰ）将8x =代入0.0720.046ˆyx =-，得3ˆ0.07280.0460.5y =⨯-=，所以20.5310001060⨯⨯=（万元），故估计该市对5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额为1060万元． （ⅱ）设小王和小李两人中被录用的人数为X ，则X 的可能取值为0，1，2，则()()()201131352P X p p p p ==---=-+⎡⎤⎣⎦，()()()()21131131661P X p p p p p p ==--+--=-+-⎡⎤⎣⎦，()()22313P X p p p p ==-=-，所以()()()()2220352********E X p p p p p p p =⨯-++⨯-+-+⨯-=-，则()2413p ⨯-≤，解得58p ≤． 又010311p p <<⎧⎨<-<⎩，所以1233p <<，则1538p <≤．故p 的取值范围是15,38⎛⎤ ⎥⎝⎦．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 为等边三角形，M 为PA 的中点，PD AB ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ．(1)证明：平面MCD ⊥平面PAB ；(2)若//AD BC ，2AD BC =，2CD AB =，求平面MCD 与平面PBC 夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； 2210.【分析】（1）设AD 的中点为E ，利用线面垂直的判定定理可得PE ⊥平面ABCD ，进而得到MD ⊥平面PAB ，然后根据面面垂直的判定定理即得；（2）根据题意以E 为原点，分别以EC 、ED 、EP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面MCD 与平面PBC 的法向量，从而求解. 【详解】（1）设AD 的中点为E ，连接PE ， 因为PAD 为等边三角形，所以PE AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，且PE ⊂平面PAD ， 所以PE ⊥平面ABCD ，因为AB ⊂平面ABCD ，所以PE AB ⊥，又PD AB ⊥，,PD PE P PD PE =⊂，平面PAD ， 所以AB ⊥平面PAD ，又因为MD ⊂平面PAD ， 所以AB MD ⊥，因为在等边三角形PAD 中，M 为PA 的中点， 所以MD AP ⊥， 因为ABAP A =，,AB AP ⊂平面PAB ，所以MD ⊥平面PAB ， 因为MD ⊂平面MCD ， 所以平面MCD ⊥平面PAB ；（2）连接CE ，由（1）知，AB ⊥平面PAD ， 因为AD ⊂平面PAD ，所以AB AD ⊥， 因为//AD BC ，2AD BC =，2CD AB =， 所以四边形ABCE 为矩形，即CE AD ⊥，BC AE DE ==，22CD AB CE ==，所以30∠=︒CDE ， 设BC a =，2AD a =，tan 603PE AE a =⋅︒= ，3tan 303a AB CE DE ==⋅︒=， 以E 为原点，分别以EC 、ED 、EP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，所以()0,,0A a -，()3P a ，3a C ⎫⎪⎪⎝⎭，3,0a B a ⎫-⎪⎪⎝⎭，()0,,0D a ，30,2a a M ⎛- ⎝⎭， 所以33,32a a a MC ⎛= ⎝⎭，330,,2a a MD ⎛= ⎝⎭，3,33a PB a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，333a PC a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面MCD 和平面PBC 的法向量分别为()1111,,n x y z =，()2222,,n x y z =，则11111113032302a an MC x y a n MD y⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩，2222222303303anPB ay an PC ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩，即1111x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 22203y x z =⎧⎨=⎩，取11y =，21z =，则(13,1,n =，()23,0,1n =， 所以12121233cos ,7n n n n n n ⋅===⋅所以平面MCD 与平面PBC . 21．已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，O 为坐标原点，M 为C 的准线l 上的一点，直线MF 的斜率为1,OFM -的面积为1． (1)求C 的方程；(2)过点F 作一条直线l '，交C 于,A B 两点，试问在l 上是否存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)24y x = (2)存在，()1,0-或()1,4--【分析】（1）设点M 的坐标为,2p a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据直线MF 的斜率为1-，得到a p =，再根据OFM △的面积为1求出p ，即可得解；（2）假设存在点N ，使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方．设直线l '的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()1,N t -，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，又2NF tk =-，121211NA NB y t y tk k x x --+=+++，化简NA NB k k +，即可得到方程，求出t 的值，即可得解. 【详解】（1）解：由题意知,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设点M 的坐标为,2p a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线MF 的斜率为022a ap p p -=---． 因为直线MF 的斜率为1-，所以1ap-=-，即a p =，所以OFM △的面积21124p S OF a ===，解得2p =或2p =-（舍去）， 故抛物线C 的方程为24y x =．（2）解：假设存在点N ，使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方． 由（1）得()1,0F ，抛物线C 的准线l 的方程为=1x -． 设直线l '的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()1,N t -，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=，所以216160m ∆=+>，124y y m +=，124y y =-． 因为0112NF t tk -==-+， ()()()12121221212122241124NA NB my y tm y y ty t y t k k x x m y y m y y +-+---+=+=+++++ ()()()()2224124424424441t m m m tm t t m m m m -+⋅-+--===--+⋅++， 所以22t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得0=t 或4t =-．故存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方，其坐标为()1,0-或()1,4--．22．已知0a >，函数()()23ln 2ln ，f x x a x g x ax a x =-=-．(1)若()f x 和()g x 的最小值相等，求a 的值； (2)若方程()()f x g x =恰有一个实根，求a 的值．【答案】(1)2133223e a -=⋅⋅； (2)12a =.【分析】（1）利用导数求出()f x ，()g x 的最小值，令其相等，可得答案；（2）方程()()f x g x =恰有一个实根，相当于()()()220ln ，,h x x a x x x =-+∈+∞恰有一个零点.利用导数及零点存在性定理，分()()()000min min min ，，h x h x h x <=>三种情况下，()h x 的零点情况即可.【详解】（1）因()23ln f x x a x =-，则()23232a x a f x x x x-=-='.()()000f x x f x x ''>⇒><⇒<<则()f x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，故()333222min ln a a a f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 因()2ln g x ax a x =-，则()22a ax a g x a x x -=-='. ()()1100022，g x x g x x ''>⇒><⇒<<. 则()g x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 故()122min ln g x g a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 令331222333133222222222ln ln ln e a a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=+⇒=⋅⇒=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2133223e a -⇒=⋅⋅.则若()f x 和()g x 的最小值相等，2133223e a -=⋅⋅. （2）由()()f xg x =，可得23ln 2ln x a x ax a x -=-，即()22ln x a x x =+，令()()22ln h x x a x x =-+，()0,x ∈+∞.则方程()()f x g x =恰有一个实根，相当于()h x 恰有一个零点.则()()22222a h x x a x ax a x x '=--=--.()0h x x '=⇒=或x =（舍去）.0x =，则()2001x a x =+. 得()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增.则()()()()2000000212min ln ln h x h x x a x x a x x ==-+=--.令()()120ln ，,m x x x x =--∈+∞，则()210m x x'=--<， 得()m x 在()0,∞+上单调递减，又()10m =，则当()00,1x ∈时，()00m x >，()01,x ∈+∞时，()00m x <.则当()00,1x ∈时，10102a <<⇒<<， ()()0min 0h x h x =>，此时()h x 无零点，不合题意；当01x =时，()()1101202min h x h a a ==⇒-=⇒=， 此时()h x 有唯一零点1，则12a =满足条件；当()01,x ∈+∞112a >⇒>， ()()0min 0h x h x =<，又01e a x ->>，221e a a ->>.则()()()2424222220e ee e e a a a a a h a a a a -----=--=+->， 得()210e ,a x x -∃∈，()10h x =. 又令()212e ，,x n x x x ⎛⎫=-∈+∞ ⎪⎝⎭，()2210e x n x '=->， 得()n x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又12a >，.则21202e e a a ->->>.()()()2422222422224422e e e ln e e ln a a a a a h a a a a a =-++=---⋅ ()228222e ln a a a >--⋅.令()()21e ，,x m x x x =-∈+∞. 则()2e x m x x '=-，令()()21e ，,x p x x x =-∈+∞，()20e x p x '=->.得()p x 在()1,+∞上单调递增，则()()()120e m x p x p '=>=->，得()m x 在()1,+∞上单调递增，则()()110e-m x m >=>.又21a >，则()()222224104e e a a m a a m a =->>⇒>.则()()()222228222282221420e e ln ln ln a a h a a a a a a >--⋅>-⋅=->.得()2202,e a x x ∃∈，()20h x =.则当12a >时，()h x 有2个零点，不合题意. 综上，方程()()f x g x =恰有一个实根时，12a =. 【点睛】关键点点睛：本题涉及利用导数求最值及用导数及零点存在性定理研究函数的零点，难度较大.（1）适当的变形后，可将多余的a 消去，后可解出相关方程；（2）零点问题，常涉及单调性与零点存在性定理，先利用单调性判断零点的大致个数，再利用零点存在性定理确定零点所在范围.。
高三入学联考数学试卷（理）及答案
⾼三⼊学联考数学试卷（理）及答案⾼三⼊学第⼀次联合考试数学试卷（理）数学科试题部分（满分150分，考试时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题共50分）⼀、选择题（本⼤题共10⼩题，每⼩题5分，满分50分。
在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的）1.已知集合2{|20}A x x x =--<，{||1}B x x =<，则()A B =R e（）A.(1,2)B.(1,2]C.[1,2)D.[1,2]2.设x R ∈,则“1x <”是“2x ≠”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分⼜不必要条件 3.某⼏何体的三视图如图所⽰，且该⼏何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（） A.2 B.92 C.32 D.34.设m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平⾯,下列命题中错误的是（） A.若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ B.若αβ⊥,m α?,m β⊥,则//m α C.若m β⊥,m α?,则αβ⊥ D.若αβ⊥,m α?,n β?,则m n ⊥5.将函数π()2tan 36x f x ??=+的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式为（）A.π()2tan()134x g x =+-B.π()2tan()134x g x =-+C.π()2tan()1312x g x =-+D.π()2tan()1312x g x =--6.设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上⼀点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆⼼，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是 ( ) A.(0,2) B. [0,2] C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若675S S S >>,则满⾜01<+n n S S 的正整数n 的值为（）A.13B.12C.11D. 108.设函数()g x 是⼆次函数,2,||1(),||1x x f x x x ?≥=?（第3题图）正视图侧视图x()g x 的值域是( )A.(,1][1,)-∞-+∞B.[0,)+∞C.(,1][0,)-∞-+∞D.[1,)+∞9.若X 是⼀个集合，τ是⼀个以X 的某些⼦集为元素的集合，且满⾜：①X 属于τ，φ属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的⼀个拓扑．已知集合{}X a b c =，，，对于下⾯给出的四个集合τ：①{{}{}{}}a c a b c τ=?，，，，，；②{{}{}{}{}}b c b c a b c τ=?，，，，，，，；③{{}{}{}}a a b a c τ=?，，，，，；④{{}{}{}{}}a c b c c a b c τ=?，，，，，，，，．其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是( )A.①B.②C.②③D.②④10.设函数2()2,()ln 3x f x e x g x x x =+-=+-,若实数,a b 满⾜()()0f a g b ==,则( ) A.()0()g a f b << B.()0()f b g a << C.0()()g a f b <<D.()()0f b g a <<第Ⅱ卷（⾮选择题共100分）⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，每⼩题4分，满分28分）11.已知函数,0,()ln ,0,x e x f x x x ?<=?>?则1[()]f f e =_______________．12.若点M （y x ,）为平⾯区域≤≥++≥+-001012x y x y x 上的⼀个动点，则y x 2+的最⼤值是_______13.若数列{}n a 的前n 项和2133n n S a =+,则4a =___________ 14.已知cos sin 6?-+=παα7sin 6??+= πα .15.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右⽀于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离⼼率为________．16.已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满⾜1,c a b c --=则的最⼤值是______ 17.函数{}()min 2f x x =-，其中{},min ,,a a ba b b a b≤?=?>?，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，则123x x x ??是否存在最⼤值？若存在，在横线处填写其最⼤值；若不存在，直接填写“不存在”______________三、解答题(本⼤题共5⼩题，满分72分。
湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第一次联考(暨入学检测)数学试题含答案
名校联考联合体2025届高三第一次联考（暨入学检测）数学（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}6,4,3,6,{3}A B x x x =--=-<∣，则A B = （）A.{}3,6 B.{}4,3- C.{}6- D.{}6【答案】A 【解析】【分析】利用不等式的解法化简集合B ，再根据交集的定义求解即可.【详解】因为{}36,4,3,6,{3}2A B xx x x x ⎧⎫=--=-<=>⎨⎩⎭∣，所以{}3,6A B ⋂=.故选：A.2.已知复数z 在复平面内对应的点为()2,1-，则2z =（）A.2B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】利用复数的几何意义，复数的乘法运算及模的求法即得.【详解】复数z 在复平面内对应的点为()2,1-，则222i,(2i)34i 5z z =-=-=-=.故选：D.3.已知等差数列中，23a =，前5项和510S =，则数列的公差为（）A.−2B.52-C.1-D.4-【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质可求得32a =，进而根据等差数列定义求公差d .【详解】设等差数列的公差为53,510d S a == ，322a a d ∴=+=，又23,1a d =∴=- .故选C.4.马德堡半球实验是17世纪50年代由马德堡市长进行的一项实验，其主要目的是证明大气压的存在.实验使用两个直径为14英寸的半球壳，将两个半球内的空气抽掉，球不容易被分开，以证明大气压的存在.若把直径为14英寸的一个实心球分割为两个半球，则这两个半球的表面积之和为（）A.1176π平方英寸B.294π平方英寸C.245π平方英寸D.196π平方英寸【答案】B 【解析】【分析】两个半球的表面积之和为球的表面积和两个以球半径为半径的圆面积.【详解】由题意可知球的半径7r =，则两个半球的表面积之和为224π2π294πr r +=平方英寸.故选：B.5.已知向量()()1,2,1,1a b ==-，若(),c x y = 满足()c a + ∥b ，则x y +=（）A.-3B.2C.-5D.4【答案】A 【解析】【分析】根据向量运算，即可求得正确答案.【详解】设向量(),c x y = ，则()1,2c a x y +=++，因为()c a +∥b ，所以12x y +=--，故3x y +=-.故选：A .6.已知函数2()32ln (1)3f x x x a x =-+-+在区间(1,2)上有最小值，则实数a 的取值范围是（）A.3a >-B.49103a -<<-C.4933a -<<- D.103a -<<-【答案】D 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数()f x '，再求出()f x '在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正的a 值范围.【详解】函数2()32ln (1)3f x x x a x =-+-+，求导得226(1)2()61x a x f x x a x x+--'=-+-=，由2()32ln (1)3f x x x a x =-+-+在区间(1,2)上有最小值，得()f x '在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，令()()()2612,020h x x a x h =+--=-<，则()h x 在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，因此2Δ(1)4620(1)6120(2)642(1)20a h a h a ⎧=-+⨯⨯>⎪=+--<⎨⎪=⨯+-->⎩，解得103a -<<-，所以实数a 的取值范围是103a -<<-.故选：D7.已知1F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点，Q 为双曲线C左支上一点，11π,23OF Q QF ∠==，则双曲线C 的离心率为（）A.3B.2C.D.13+【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线的性质及余弦定理计算可得.【详解】设2F 为双曲线的右焦点，由余弦定理可得2222222121121π111132cos42234224QF F F QF F F QF c c c c c =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，所以22QF c =，由双曲线的定义可得212QF QF a -=，即1222c c a -=，故双曲线C 的离心率132c e a +===.故选：D.8.若5π,,2π,2αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 2cos sin cos 2cos cos 02222βγβγβγβγαα+-+--=-=，则()sin αβ-=（）A.12±B.12C.32±D.2-【答案】D 【解析】【分析】观察可知22βγβγβ+-=+，22γβγβγ+-=+，因此运用角的变换及两角和的正弦、余弦公式即可化简题目所给条件，变形后再平方，两式相加即可得到()1cos 2αβ-=，再根据同角三角函数的基本关系求解即可，要注意角的范围.【详解】因为22βγβγβ+-=+，22γβγβγ+-=+所以sin sin sin cos cos sin 222222βγβγβγβγβγβγβ+-+-+-⎛⎫=+=+⎪⎝⎭①，sin sin sin cos cos sin 222222γβγβγβγβγβγβγ+-+-+-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，即sin sincos cos sin 2222γββγγββγγ+-+-=-②，①-②得2cos sin sin sin 22βγβγβγ+-=-，所以sin 2cos sin sin sin sin 022βγβγααβγ+--=-+=，同理cos cos cos cos sin sin 222222βγβγβγβγβγβγβ+-+-+-⎛⎫=+=-⎪⎝⎭③，cos cos cos cos sin sin 222222γβγβγβγβγβγβγ+-+-+-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，即cos cos cos cos sin sin 222222γββγγββγγββγγ+-+-+-⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭④，③+④得2coscos cos cos 22γββγβγ+-=+所以cos 2cos cos cos cos cos 022βγβγααβγ+--=--=，所以sin sin sin ,cos cos cos αβγαβγ-=--=，两式平方相加得()22cos 1αβ--=，所以()1cos 2αβ-=，因为sin sin sin 0αβγ-=-<，且sin y x =在5π2π,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以5ππ2π,022αβαβ<<<-<-<，所以()sin 2αβ-=-.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.中国作为全球最大的产茶国和茶叶消势市场，茶叶行业长期保持平稳问好发展的趋势，下表为2014年—2023年中国茶叶产量（单位：万吨），根据该表，则（）年份2014201520162017201820192020202120222023产量204.9227.7231.3246.0261.0277.7293.2318.0335.0355.0A.2015年中国茶叶产量年增长率大于10%B.2014年—2023年中国茶叶产量的极差是150.1C.2014年—2023年中国茶叶产量的60%分位数是277.7D.2019年—2023年中国茶叶产量的平均数大于310【答案】ABD 【解析】【分析】对于AB ，计算出增长率或极差后可求判断AB 的正误，对于C ，计算出60%分位数后可判断其正误，对于D ，计算出平均数后可判断其正误.【详解】对于A ，2015年中国茶叶产量年增长率为227.7204.922.811.1%10%204.9204.9-=≈>，故A 正确；对于B ，2014年—2023年中国茶叶产量的极差是355.0204.9150.1-=，B 正确；对于C ,1060%6⨯=，所以60%分位数是2019年与2020年茶叶产量的平均数，即277.7293.2285.452+=，C 错误；对于D ，2019年-2023年中国茶叶产量的平均数为：277.7293.2318.0335.0355.0315.783105++++=>，D 正确.故选：ABD.10.已知2m n >，且222log ,log 1,2log 2m x m y n z n ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，则（）A.若x y =，则12n >B.若x y =，则m n +C.若x y z ==，则422410m m m +-+=D.若x y z ==，则23204n n -+>【答案】ACD 【解析】【分析】选项A ，根据条件得到()22log log 2m n =，利用2log y x =的性质，即可求解；选项B ，根据条件，利用基本不等式，即可求解；选项C ，根据条件，得到2log 02m n ⎛⎫+>⎪⎝⎭，从而有22221log 2log log 222m m m n m ⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得到21122m m m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可求解；选项D ，利用y z =，得22221322424m m n n n n ⎛⎫=+=++<+ ⎪⎝⎭，即可求解.【详解】对于选项A ，由x y =得，()222log log 1log 2m n n =+=，又2m n <，可得21m n ⋅=，所以12n m =，又01m <<，所以12n >，故选项A 正确；对于选项B ，易知，0,0m n >>，所以m n +≥=2m n ==时取等号，所以选项B 错误；对于选项C ，由选项A 知1122n m =>，所以11222m m n m +=+>，得到2log 02m n ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以22221log 2log log 222m m m n m ⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以21122m m m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，整理得422410m m m +-+=，所以选项C 正确；对于选项D ，由y z =得到，22221322424m m n n n n⎛⎫=+=++<+ ⎪⎝⎭，得23204n n -+>，所以选项D 正确.故选：ACD.11.已知首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130n n S S +-=，设数列{}n n S a -的前n 项和为n T ，则（）A.{}n S 为等比数列B.19n n a -=C.1819n n T -+= D.()182n n a S n -= 【答案】ACD 【解析】【分析】利用等差等比数列的性质，即可求得答案.【详解】由题意可得130n n S S +-=，即0===，0==，则1n n S S +=，则10n a +=，这与0n a >矛盾，所以不成立；=，则1119,1n n S S S a +===，所以数列{}n S 是首项为1，公比为9的等比数列，即19n n S -=，故A 正确；由19n n S S +=，可得()192n n S S n -=≥，两式相减得，19n n a a +=，且1n =时，219S S =，即1219a a a +=，得28a =，那么2189a a =≠，故21,1,89,2,n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩故B 错误；当1n =时，110S a -=，当2n ≥时，()()()()()11221212n n n n n T S a S a S a S S S a a a =-+-++-=+++-+++ ()118191991119198n n n --⎡⎤⨯---⎢⎥=-+=--⎢⎥⎣⎦，当1n =时，10T =符合上式，故1918n n T --=，即1819n n T -+=，故C 正确；易得2n ≥时，18n n a S -=，故D 正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.7()x y -的展开式中52x y 的系数为__________.【答案】21【解析】【分析】根据二项式7()x y -的展开式的通项717C (1)r r rr r T x y -+=-，求解问题.【详解】二项式7()x y -的展开式的通项77177C ()C (1),0,1,2,,7rrr rr r r r T xy x y r --+=⋅⋅-=-= ，所以7()x y -的展开式中52x y 项的系数为227C (1)21⨯-=.故答案为：21.13.设抛物线212y x =的焦点为F ，经过点()4,1P 的直线l 与抛物线相交于,A B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则AF BF +=__________.【答案】14【解析】【分析】设1,1,2,2，根据抛物线的定义，得123,3AF x BF x =+=+，又根据中点坐标公式，可得128x x +=，代入即可得到()126AF BF x x +=++的值．【详解】由题意可得()3,0F ，设1,1,2,2，抛物线的准线：3x =-，过,A B 分别作准线的垂线，垂足分别为,C D ，根据抛物线的定义，得123,3AF AC x BF BD x ==+==+，故()126AF BF x x +=++，因为AB 的中点为()4,1P ，所以()12142x x +=，可得128x x +=，所以()12614AF BF x x +=++=.故答案为：14.14.在三棱锥P ABC -中，2,AB BC CA PA PB ====，二面角P AB C --的大小为π3，则222PA PB PC ++最小时，三棱锥P ABC -的体积为__________.【答案】12【解析】【分析】本题主要利用余弦定理、二面角以及直角三角形的性质，即可求得一元二次函数的最小值，进而求得三棱锥P ABC -的体积.【详解】如图，取AB 的中点D ，连接,PD CD ，设PD a =，则2221PA PB a ==+，CD =PDC ∠是二面角P AB C --的平面角，所以π3PDC ∠=，在PDC △中，由余弦定理可得223PC a =+-，所以2222231919353644PA PB PC a a ⎛++=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当36a =时取等号，此时三棱锥P ABC -的体积1π1sin 3336212ABC V PD S =⋅⋅=⨯⨯=.故答案为：12.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()()()::5:7:6a b b c c a +++=.（1）求cos A ；（2）若点D 为AB 的中点，且CD =ABC V 的面积.【答案】（1）78（2）【解析】【分析】（1）根据比例，设出5(0)a b t t +=>，联立解得,,a b c 关于t 的表达式，再利用余弦定理求值即可；（2）结合已知条件与（1）中结论，在ACD 中利用余弦定理可得t 的值以及sin A 的值，进而可知ABC V 中边,b c 的值，再由三角形面积公式求值即可.【小问1详解】因为()()()::5:7:6a b b c c a +++=，设5(0)a b t t +=>，则7b c t +=，6c a t +=，联立解得2a t =，3b t =，4c t =，所以由余弦定理得222222291647cos 2248b c a t t t A bc t +-+-===.【小问2详解】在ACD 中，7cos 8A =，CD =，3AC b t ==，122AD c t ==，由余弦定理得22710942328t t t t =+-⨯⋅⋅，解得2t =（负值舍去），所以36b t ==，48c t ==，因为0πA <<，所以sin 8A ==，所以11sin 68228ABC S bc A ==⨯⨯⨯= 16.某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生25女生35合计已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为35.（1）请将上述列联表补充完整；（2）依据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；（3）将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为X ，求随机变量X 的分布列和期望．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.()2P k χ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.841 6.63510.828【答案】（1）列联表见解析（2）认为是否喜欢游泳与性别无关（3）分布列见解析，95【解析】【分析】（1）根据题中信息即可统计数据求解.（2）根据独立性检验计算卡方值即可求解.（3）根据二项分布求概率即可求解分布列和期望.【小问1详解】喜欢游泳不喜欢游泳合计男生252550女生351550合计6040100【小问2详解】零假设0H :假设是否喜欢游泳与性别无关，()2100251525356040505025<10.8286χ⨯-⨯=⨯=⨯⨯，依据小概率值0.001α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为是否喜欢游泳与性别无关.【小问3详解】X 的可能取值为0，1，2，3，3(3,).5X B 3213283236(0),(1)C 512555125P X P X ⎛⎫⎛⎫=====⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23233254327(2)C ,(3)551255125P X P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.X ∴的分布列为X 0123P 812536125541252712539()355E X =⨯=.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为，且C 的离心率为2.（1）求C 的标准方程；（2）若()30A -,，直线:1(0)l x ty t =+>交椭圆C 于,E F 两点，且AEF △，求t 的值.【答案】（1）22142x y +=（2）t=【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质直接求解；（2）结合韦达定理与题目条件，结合三角形面积公式即可得解.【小问1详解】由题意得：22cc ea===，即2c a==，则2222b a c=-=，所以C的标准方程为：22142x y+=.【小问2详解】由题意设()()1122,,,E x yF x y，联立221142x tyx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x得：()222230t y ty++-=，则()222Δ412216240t t t=++=+>，则12122223,22ty y y yt t+=-=-++，可得1222y yt-=+，设直线l与x轴的交点为()1,0D，且()3,0A-，则()134AD=--=，故1221246222AEFS AD y yt=⋅-=⨯=+t=.18.已知正四棱柱1111ABCD A B C D-底面ABCD为边长为3的正方形，16AA=，点,,E F G分别在线段11111,,A D AAB C上，且1122A F A E==，132C G=，点H在线段1BB上且EF GH∥.（1）求锐二面角1A FH E --的余弦值；（2）求平面EFHG 将四棱柱分割成两个多面体的体积比.【答案】（1）34623（2）111119719D EFAD C GHBCA EFB GHV V --=【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，利用EF GH ∥可求得点()3,3,3H ，再求出平面11A B HF 与平面EFHG 的法向量，利用向量夹角的坐标表示求出二面角1A FH E --的余弦值；（2）利用1A EF 与1B GH △位似，延长11,,GE B A HF 交于点K ，可求得11A EF B GH V -的体积，再利用正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积可求得剩余部分的体积，作比即可.【小问1详解】如图，以点D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建立空间直角坐标系，依题意可得，()13,0,6A ，()13,3,6B ，()3,0,4F ，()2,0,6E ，3,3,62G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()3,3,H a ，则()1,0,2EF =- ，3,0,62GH a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，EF GH ∥，∴EF GH ∥，∴36212a -=-，解得3a =，即()3,3,3H ，易知平面11A B HF 的一个法向量()11,0,0n = ，且()0,3,1FH =- ，设平面EFHG 的一个法向量2 =s s ，由2200n FH n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，可得3020b c a c -=⎧⎨-=⎩，令1b =，可得6a =，3c =，则()26,1,3n = ，∴121212cos ,23n n n n n n ⋅== ，故锐二面角1A FH E --的余弦值为34623.【小问2详解】易知1A EF 与1B GH △位似，延长11,,GE B A HF 交于点K ，则()1111111113A EF B GH K B GH K A EF B GH A EF V V V S B K S A K ---=-=⋅-⋅ ，111123A A K K EB B G == ，16A K ∴=，19B K =，∴111131193912632224A EFB GH V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，111111111919733644ABCD A BCD A EF B G D EFA H D C GHBC V V V ---=-=⨯⨯-=，体积比111119719D EFAD C GHB A EF B CGH V V --==.19.若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，使得对任意x ∈R ，都有()()()f x T f x T Tf x -++=，则称()f x 是类周期为T 的“类周期函数”.（1）若函数()f x 是类周期为1的“类周期函数”，证明：()f x 是周期函数；（2）已知()2sin (0)f x x x ωω=->是“类周期函数”，求ω的值及()f x 的类周期；（3）若奇函数()f x 是类周期为(0)T T >的“类周期函数”，且()()31f T f T =，求T 的值，并给出符合条件的一个()f x .【答案】（1）证明见解析（2）()()*π,k k f x ω=∈N的类周期为2（3）T =()2πsin 8=f x x 【解析】【分析】（1）利用“类周期函数”的定义，即可证明；（2）利用已知条件()()2sin 0f x x x ωω=->是“类周期函数”以及奇函数的性质，即可证明；（3）利用已知条件，求出()()3,f T f T 的关系，进而求出T 的值，进行作答.【小问1详解】证明：因为()f x 是类周期为1的“类周期函数”，所以()()()11f x f x f x -++=，①用1x +代换x 得()()()21f x f x f x ++=+，②①+②得()()21f x f x +=--，所以()()3f x f x +=-，所以()()()63f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为6的周期函数.【小问2详解】因为()f x 是“类周期函数”，所以存在非零常数T ，使得对任意x R ∈，都有()()()f x T f x T Tf x -++=，即()()()()2sin 2sin 2sin x T x T x T x T Tx T x ωωωωω---++-+=-，整理得42sin cos 2sin x x T Tx T x ωωω-=-，所以42,2cos T T Tω=⎧⎨=⎩所以2,cos21T ω==，所以()()*π,k k f x ω=∈N的类周期为2.【小问3详解】因为奇函数()f x 是类周期为T 的“类周期函数”，所以()00f =，且()()()f x T f x T Tf x -++=，取x T =，得()()()02f f T Tf T +=，所以()()2f T Tf T =，取2x T =，得()()()()232f T f T Tf T T f T +==，所以()()()231f T T f T =-，因为()()()31,0f T f T f T =≠，所以211,T T -==，所以((()f x f x x -++=，设()sin f x ax =，则()()sin sin ax ax ax ++=，整理得2sin ax ax =，所以2=，取(),sin 88a f x x ==.【点睛】关键点点睛:此题重点在于把握理解新定义“类周期函数”，并结合周期函数、三角函数的性质解题.。
高三试卷数学(理)-河南省顶级名校2022届高三上学期9月开学联考数学(理)试卷及参考答案
河南省顶级名校2022届高三上学期9月开学联考数学（理科）试卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ｜（x －1）（x －3）≥0}，集合B ＝{0，1，2，3}，则（CR A ）∩B 等于A ．{2}B ．{3}C ．{1，2}D ．{1，2，3}2．已知复数z 在复平面内对应的点在直线y ＝－x 上，且｜z ｜＝2，则z （1＋i ）＝A ．2B ．－2C ．±2D ．2i3．已知命题p ：x ∀∈（0，2π），sinx ＜tanx ；命题q ：x ∃∈（－∞，0），xπ－＜e －x ，则下列命题为真命题的是A ．p ∧q B ．p ∧（q ⌝）C ．（p ⌝）∧qD ．（p ⌝）∨q4．设函数()32sin 34f x x πω⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－＋（N ω*∈）在[512π，56π]上单调递减，则下列叙述正确的是A ．f （x ）的最小正周期为2πB ．f （x ）关于直线x ＝12π轴对称C ．f （x ）在[2π，π]上的最小值为－54D ．f （x ）关于点（23π，0）对称5．2021年中国人民银行计划发行60个贵金属纪念币品种，以满足广大收藏爱好者的需要，其中牛年生肖币是收藏者的首选．为了测算如图所示的直径为4的圆形生肖币中牛形图案的面积，进行如下实验，即向该圆形生肖币内随机投掷100个点，若恰有75个点落在牛形图案上，据此可估算牛形图案的面积是A ．32πB ．3πC ．6πD ．12π6．对实数p 、q 和向量a ，b ，c ，正确的是A ．p （a －b ）＝p a －p bB ．a ·b ·c ＝a ·（b ·c ）C ．若｜a ｜2b ＝｜b ｜2a ，则a ＝bD ．若p a ＝q a （p 、q ∈R ），则p ＝q 7．若数列{n b }满足：()12337212nn b b b b n ＋＋＋…＋－＝，则数列{n b }的通项公式为A ．21n b n ＝－B ．21nn b ＝－C ．121n n b ＝－D ．221n n b ＝－8．已知定义在R 上的函数f （x ），其导函数为()f x '，当x ＞0时()f x '－()f x x＞0，若a ＝2f （1），b ＝f （2），c ＝142f ⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．a ＜b ＜c9．已知圆C 与倾斜角为56π的直线相切于点N （3），且与曲线（x －1）2＋y 2＝1相外切，则圆C 的方程为A ．（x －4）2＋y 2＝4，x 2＋（y ＋）2＝12B ．（x ＋4）2＋y 2＝4，x 2＋（y ＋）2＝12C ．（x ＋4）2＋y 2＝4，x 2＋（y －）2＝36D ．（x －4）2＋y 2＝4，x 2＋（y ＋）2＝3610．菜农采摘蔬菜，采摘下来的蔬菜会慢慢失去新鲜度．已知某种蔬菜失去的新鲜度h 与其采摘后时间t （小时）满足的函数关系式为h ＝m ·a t ．若采摘后20小时，这种蔬菜失去的新鲜度为20％，采摘后30小时，这种蔬菜失去的新鲜度为40％．那么采摘下来的这种蔬菜在多长时间后失去50％新鲜度（参考数据lg 2≈0．3，结果取整数）A ．23小时B ．33小时C ．50小时D ．56小时11．直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f （x ）的图象恰好通过k 个整点，则称函数f （x ）为k 阶整点函数．下列函数不是一阶整点函数的是A ．y ＝2sinx ＋3B ．2cos 13y x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋－C ．y ＝lg （x ＋2）＋1，x ∈（3，9）D ．32y －12．已知过P （34，0）的直线与抛物线y 2＝3x （x ＞0）交于A ，B 两点，M 为弦AB 的中点，O 为坐标原点，直线OM 与抛物线的另一个交点为N ，则两点N 、M 纵坐标的比值范围是A ．（2，＋∞）B ．（3，＋∞）C ．[2，＋∞）D ．[3，＋∞）第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．71x x x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为__________．14．据《九章算术》记载：将底面钝角为23π的菱形的直棱柱对角面斜割一分为二得到的两个一模一样的三棱柱体，古人称之为堑堵．若堑堵的所有棱长都为3，则其外接球的表面积为__________．15．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知23sin cos a b a Cc A⋅＋＝，则角C 的值为__________．16．已知两点F 、Q 分别是焦距为的双曲线C ：22221x y a b＝（a ＞0，b ＞0）的右焦点及左支上一动点，单位圆与y 轴的交点为P ，且｜PQ ｜＋｜QF ｜＋｜PF ｜≥13，则双曲线C 的离心率的最大值为__________．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）为全面贯彻落实《中华人民共和国国家通用语言文字法》，实现“普通话初步普及，社会用字基本规范”的城市语言文字工作目标，国家启动了三类城市语言文字规范化达标创建评估工作．评估验收专家组在对某县语言文字工作进行考查评估期间，到县属新华学校对学生进行问卷调查，被调查者之间回答问题相互独立、互不影响．工作人员在新华学校随机抽取了甲、乙、丙三名学生，每位学生从事先准备的5个问题中随机抽取2个问题进行问卷调查．计分规则为：答对一个问题计20分，答错一个扣10分，最终三名学生得分相加为该校最终评估得分，总分位于[60，120）评定为合格．其中甲、乙、丙分别能答对5个问题中的3个、4个、5个．（1）求甲、乙两名学生共计得分20分的概率；（2）设随机变量X 表示新华学校最终评估得分，求X 的分布列及数学期望，并求出该校为合格的概率．18．（本小题满分12分）已知数列{n a }、{n b }满足：1n a ＋＝2n a ＋1且1a ＝1，n b ＝()2log 1n a ＋．（1）求数列{n a }和{n b }的通项公式；（2）数列{n c }满足：1n c －1n b ＝n na b ，其中n N *∈，若数列{n c }的前n 项和为n H ，求n H ．19．（本小题满分12分）在四面体PABC 中，BA 、BC 、BP 两两垂直，等腰三角形BAP的底边长为，点G 为PA 中点，BC＝EF 是△PAC的中位线．（1）求证：平面PAB ⊥平面GBC ；（2）线段AC 上一点N 满足NP ·BE＝0，求直线BE 与平面NPB 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知F 1，F 2分别为椭圆C ：22221x y a b（a ＞b ＞0）的左、右焦点，椭圆上任意一点P到焦点距离的最小值与最大值之比为13，过F 1且垂直于长轴的椭圆C 的弦长为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过F 1的直线与椭圆C 相交的交点A 、B 与右焦点F 2所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值?若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）若函数f （x ）＝ae x －3x 2，（a ∈R ）．（1）讨论f （x ）的极值点的个数；（2）若x ∈[0，2]时，f （x ）≥0恒成立，则a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1极坐标方程为sin 4ρθ＝．（1）M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足｜OM ｜·｜OP ｜＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；（2）已知F （－1，0），过点F 且倾斜角为6π的直线与C 2交于A 、B 两点，求｜FA ｜＋｜FB ｜．23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知a ＞0，b ＞0，a 2＋b 2＝2．证明：（1）（a ＋b ）（a 3＋b 3）≥4；（2）a 2b ＋b 2a ≤2．河南省顶级名校2022届高三上学期9月开学联考数学（理科）试卷注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
高三联考数学(理)试卷 word版含答案
2021年宁波市高三“十校〞联考数学〔理科〕说明：本试题卷分选择题和非选择题两局部．全卷共4页，总分值150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式：柱体的体积公式：V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高.锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.台体的体积公式：121()3V h S S =+，其中1S 、2S 分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高.球的外表积公式：24S R π=,球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径. 第一卷〔选择题 共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．设a R ∈,那么“1a <〞是“11a>〞 〔 ▲ 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2. 集合2{|120}M x x x =+-≤，{|3,1}x N y y x ==≤，那么集合{|x x M ∈且}x N ∉为 〔 ▲ 〕A . (0,3]B ．[4,3]-C ．[4,0)-D ．[4,0]- 3．如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，那么该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为〔 ▲ 〕 A．BC. D4.抛物线24x y =，过焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点〔点A 在第一象限〕，假设直线l俯视图正视图侧视图的倾斜角为30，那么||||AF BF 等于 〔 ▲ 〕 A ．3 B ．52 C ．2 D ．325．命题p ：函数2()|2cos 1|f x x =-的最小正周期为π；命题q ：假设函数(2)f x -为奇函数，那么()f x 关于(2,0)-对称.那么以下命题是真命题的是 〔 ▲ 〕 A ． p q ∧ B ． p q ∨ C ．()()p q ⌝⌝∧ D ．()p q ⌝∨ 6. 设n S 是公差为(0)d d ≠的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，那么以下命题错误的选项是．．．．．．〔 ▲ 〕A ．假设0d <，那么数列{}n S 有最大项B ．假设数列{}n S 有最大项，那么0d <C ．假设数列{}n S 是递增数列，那么对任意*N n ∈，均有0n S > D ．假设对任意*N n ∈，均有0n S >，那么数列{}n S 是递增数列7．O 为三角形ABC 内一点，且满足(1)0OA OB OC λλ++-=，假设OAB △的面积与OAC △的面积比值为13，那么λ的值为 〔 ▲ 〕A .32B . 2C . 13D .128.函数24()(0)1xf x x x x x =--<-,2()2(0),R g x x bx x b =+->∈.假设()f x 图象上存在,A B 两个不同的点与()g x 图象上,A B ''两点关于y 轴对称，那么b 的取值范围为〔 ▲ 〕A ．(5)-+∞，B ．5)+∞，C ．(51)-，D ．51)，第二卷〔非选择题 共110分〕二、 填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．9.圆22:250M x y x +++-=，那么圆心坐标为 ▲ ；此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为 ▲ .10. 单调递减的等比数列{}n a 满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项，那么公比q = ▲ ，通项公式为n a = ▲ .11.函数21()cos cos ,R 2f x x x x x =--∈，那么函数()f x 的最小值为 ▲ ， 函数()f x 的递增区间为 ▲ .12. 实数,m n ，且点(1,1)在不等式组2,22,1.mx ny ny mx ny +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域内，那么2m n +的取值范围为 ▲ ，22m n +的取值范围为 ▲ . 13. ,(0,)2x y π∈，且有2sin x y =，tan x y =，那么cos x = ▲ . 14. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过2F 的直线交双曲线的右支于,P Q 两点，假设112||||PF F F =，且223||2||PF QF =，那么该双曲线的离心率为▲ .15.如图，正四面体ABCD 的棱CD 在平面α上，E 为棱BC 的中点.当正四面体ABCD 绕CD 旋转时，直线AE 与平面α所成最大角的正弦值为 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．〔此题总分值14分〕在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且向量(54,4)m a c b =-与向量(cos ,cos )n C B =共线.〔Ⅰ〕求cos B ；〔Ⅱ〕假设5b c a c ==<，，且2AD DC =，求BD 的长度.αA B C D E17．〔此题总分值15分〕如图，三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为1CC 和1A B 的中点，11AD CC ⊥， 侧面11ABB A 为菱形且160oBAA ∠=，112AA A D ==，1BC =． 〔Ⅰ〕证明：直线MD ∥平面ABC ； 〔Ⅱ〕求二面角1B AC A --的余弦值．18．〔此题总分值15分〕对于函数()f x ，假设存在区间[,]()A m n m n =<，使得{|(),}y y f x x A A =∈=，那么称函数()f x 为“可等域函数〞，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间〞．函数2()2(,R)f x x ax b a b =-+∈.〔Ⅰ〕假设01b a ==，，()|()|g x f x =是“可等域函数〞，求函数()g x 的“可等域区间〞；〔Ⅱ〕假设区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间〞，求a 、b 的值.19．〔此题总分值15分〕椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右顶点12,A A ，椭圆上不同于12,A A 的点P ,1A P ,2A P 两直线的斜率之积为49-，12PA A △面积最大值为6.1B1C1ACBADM〔Ⅰ〕求椭圆E 的方程；〔Ⅱ〕假设椭圆E 的所有弦都不能被直线:(l y k x = 20．〔此题总分值15分〕设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足13n n S n r a =+. 〔Ⅰ〕假设1=2a ，求数列{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下，设*211(N )n n b n a -=∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证：231n nT n ≥+.2021年宁波高三“十校〞联考数学〔理科〕参考答案一、选择题：此题考查根本知识和根本运算．每题5分，总分值40分． 1．B 2. D 3．C 4. A 5．B 6. C 7．A 8．D二、填空题: 此题考查根本知识和根本运算． 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9. (1,-， 0x = 10.12，611232()2n n n a --==⋅ 11. 2-，[,](Z)63k k k ππππ-++∈ 12.3[,4]2，[1,4]13.12 14. 75 15 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．〔此题总分值14分〕在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且向量(54,4)m a c b =-与向量(cos ,cos )n C B =共线. 〔Ⅰ〕求cos B ；〔Ⅱ〕假设10,5b c a c ==<，，且2AD DC =，求BD 的长度.解：〔Ⅰ〕(45,5)m a c b =-与(cos ,cos )n C B =共线，54cos 5sin 4sin 4cos 4sin a c C A Cb B B--∴== 4sin cos 4cos sin 5sin cos B C B C A B ∴+=4sin()4sin 5sin cos B C A A B ∴+==在三角形ABC △中，sin 0A ≠4cos 5B ∴=……………………………………………………7分〔Ⅱ〕5b c a c =<，且4cos 5B =2222cos a c ac B b ∴+-=即242525105a a ∴+-⋅⋅=解得35a a ==或〔舍〕……………………………………………9分2AD DC =1233BD BA BC ∴=+22222141214122c 2cos 99339933BD BA BC BA BC a a c B ∴=++⋅⋅•=++⋅⋅⋅⋅ 将3a =和5c =代入得：21099BD ==3BD ∴……………………………………………14分 17．〔此题总分值15分〕如图，三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为1CC 和1A B 的中点，11AD CC ⊥， 侧面11ABB A 为菱形且160oBAA ∠=，112AA A D ==，1BC =． 〔Ⅰ〕证明：直线MD ∥平面ABC ； 〔Ⅱ〕求二面角1B AC A --的余弦值．解：∵11A D CC ⊥，且D 为中点，11AA A D =∴ 111AC AC AC ===， 又 11,2BC AB BA ===， ∴ 1,CB BA CB BA ⊥⊥， 又 1BABA B =，∴CB ⊥平面11ABB A ， 取1AA 中点F ，那么1BF AA ⊥，即1,,BC BF BB 两两互相垂直， 以B 为原点，1,,BB BF BC 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图，1B1C1ACADM1A∴11113(2,0,0),(0,0,1),(1,3,0),(1,3,0),(2,0,1),(1,0,1),(,,0)22B C A A C D M -5分 〔Ⅰ〕设平面ABC 的法向量为(,,)x y z =m ，那么30BA x y ⋅=-+=m ，0BC z ⋅==m ，取(3,1,0)=m ， ∵ 13(,,1)22MD =-，330022MD ⋅=-+=m ， ∴ MD ⊥m ，又MD ⊄平面ABC ， ∴直线MD ∥平面ABC ． …… 9分 〔Ⅱ〕设平面1ACA 的法向量为111(,,)x y z =n ，1(1,3,1),(2,0,0)AC AA =-=， 11130AC x y z ⋅=-+=m ，110AA x ⋅==m ， 取(0,1,3)=n ， 又由〔Ⅰ〕知平面ABC 的法向量为(3,1,0)=m ，设二面角1B AC A --为θ， ∵ 二面角1B AC A --为锐角，∴11cos ||||||224θ⋅===⋅⋅m n m n ，∴ 二面角1B AC A --的余弦值为14． ………… 15分 18．〔此题总分值15分〕对于函数()f x ，假设存在区间[,]()A m n m n =<，使得{|(),}y y f x x A A =∈=，那么称函数()f x 为“可等域函数〞，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间〞．函数2()2(,R)f x x ax b a b =-+∈.〔Ⅰ〕假设01b a ==，，()|()|g x f x =是“可等域函数〞，求函数()g x 的“可等域区间〞；〔Ⅱ〕假设区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间〞，求a 、b 的值.解：〔Ⅰ〕01b a ==，，2()|2|g x x x =-是“可等域函数〞22()|2|=|(1)1|0g x x x x =---≥，0n m ∴>≥结合图象，由()g x x =得0,1,3x = 函数()g x 的“可等域区间〞为[0,1],[0,3] 当12m n ≤≤≤时，()1g x ≤，不符合要求y〔此区间没说明，扣1分〕……………………7分 〔Ⅱ〕222()2()f x x ax b x a b a =-+=-+-因为区间[1,1]a +为()f x 的“可等域区间，所以11a +>即0a >当01a <≤时，那么(1)1(1)1f f a a =⎧⎨+=+⎩得12a b =⎧⎨=⎩；…………………………10分当12a <≤时，那么()1(1)1f a f a a =⎧⎨+=+⎩无解；………………………………12分当2a >时，那么()1(1)1f a f a =⎧⎨=+⎩得a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩…………………………15分 19．〔此题总分值15分〕椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右顶点12,A A ，椭圆上不同于12,A A 的点P ,1A P ,2A P 两直线的斜率之积为49-，12PA A △面积最大值为6.〔Ⅰ〕求椭圆E 的方程；〔Ⅱ〕假设椭圆E 的所有弦都不能被直线:(l y k x =解：〔Ⅰ〕由得12(,0),(,0)A a A a -,(,)P x y ，1A P ,2A P 两直线的斜率之积为49-122249A P A P y y b k k x a x a a ∴==-=--+12PA A △的面积最大值为1262a b ⋅⋅=所以32a b =⎧⎨=⎩所以椭圆E 的方程为：22194x y +=…………………………6分 〔Ⅱ〕假设存在曲线E 的弦CD 能被直线:(1)l y k x =-垂直平分当0k =显然符合题 …………8分xO当0k ≠时，设(,),(,)C C D D C x y D x y ，CD 中点为00(,)T x y 可设CD ：1y x m k=-+ 与曲线22194x y E +=：联立得：2229(4)189360m x x m k k +-+-=， 所以0∆>得222490k m k -+>……〔1〕式…………………………10分 由韦达定理得：0218249C D kmx x x k +==+，所以02949km x k =+，代入1y x m k =-+得202449k my k =+ 00(,)T x y 在直线:(1)l y k x =-上，得2549km k =+……〔2〕式…………………12分将〔2〕式代入〔1〕式得：24925k +<，得24k <，即22k -<<且0k ≠……14分 综上所述，k 的取值范围为(,2][2,)k ∈-∞-+∞.20．〔此题总分值15分〕设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足13n n S n r a =+. 〔Ⅰ〕假设1=2a ，求数列{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下，设*211(N )n n b n a -=∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证：231n nT n ≥+..实用文档.. 解：〔Ⅰ〕令1n =，得113r +=，所以23r =， ……………1分 那么12()33n n S n a =+，所以1111()(2)33n n S n a n --=+≥， 两式相减，得11(2)1n n a n n a n -+=≥-， ……………3分 所以324123134511231n n a a a a n a a a a n -+⋅⋅=⋅⋅-，化简得1(1)(2)12n a n n n a +=≥⋅， 所以2(2)n a n n n =+≥， ……………6分 又12a =适合2(2)n a n n n =+≥，所以2n a n n =+. ……………7分 〔构造常数列等方法酌情给分〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知21(21)2n a n n -=-⋅，所以211111(21)2212n n b a n n n n -===---， 11223+1T ∴=≥不等式成立 11111111(2)123456212n T n n n∴=-+-+-++-≥- 111111*********=1232242123212n T n n n n ∴=++++-+++++++-+++（）（）111122n T n n n∴=+++++……………………………………10分 111111112()()()()122212121n T n n n n n k n k n n ∴=+++++++++++-+-++ 1131421()(21)31n n k n k n k n k n ++=≥+-++-++〔仅在12n k +=时取等号〕 4231n n T n ∴≥+即结论231n n T n ≥+成立………………………………15分 〔数学归纳法按步骤酌情给分〕。
山东省德州市2024-2025学年高三上学期开学考试 数学含答案
高三数学试题（答案在最后）2024.9本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1—2页，第Ⅱ卷3—4页，共150分，测试时间120分钟注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.第I 卷选择题（共58分）一､选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.已知集合{}230A xx x =-<∣，集合{}21xB x =∣ ，则A B ⋂=（）A.()0,3 B.[)0,3 C.()0,∞+ D.[)0,∞+2.已知一组数据(),(110i i x y i 且)i ∈Z 的回归直线方程为ˆ7yx a =+，若10101170,500ii i i xy ====∑∑，则a 的值为（）A.-1B.0C.1D.23.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，2516a a =，则2324log log a a +=（）A.2B.3C.4D.54.为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了舞蹈､摄影等5门课程，分别安排在周一到周五，每天一节，舞蹈和摄影课安排在相邻两天的方案种数为（）A.48B.36C.24D.125.已知椭圆222:1(0)x C y a a +=>，则“3a =”是“椭圆C 的离心率为3”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知正三棱台111ABC A B C -的体积为1128,4,23AB A B ==，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为（）A.12B.1C.2D.37.已知()()13ππcos ,cos ,0,,0,4422αβαβαβ⎛⎫⎛⎫+=-=∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan tan αβ+的值为（）A.113B.152 C.1548.已知点A 为直线3470x y +-=上一动点，点()4,0B ，且(),P x y 满足2220x y x ++-=，则3AP BP +的最小值为（）A.65 B.75 C.135 D.215二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.复数z 在复平面内对应的点为()()1,m m ∈R ，且i z ⋅（i 为虚数单位）的实部为2，则（）A.复数z 的虚部为2i -B.复数z 对应的点在第一象限C.复数z 的模长为5D.若复数0z 满足01z =，则0z z -1+10.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0,0,πA ωϕ>><）的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象.则（）A.2ω=B.函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C.若()()124g x g x -=，则12x x -的最小值为πD.直线1y=与()π23π1212y f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象所有交点的横坐标之和为8π311.设函数()y f x =的定义域为R ，且满足()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当[]1,1x ∈-时，()1f x x =-，则（）A.()20250f =B.()f x 在[]2,4上单调递增C.()5y f x =-为奇函数D.方程()lg f x x =仅有5个不同实数解第II 卷非选择题（共92分）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知向量()()2,6,1,a b x =-= ，若a∥b ，则x 的值为__________.13.已知三棱锥P ABC -，若,,PA PB PC 两两垂直，且24,PA PB PC ===P ABC -外接球的表面积为__________.14.编号为1,2,3,4的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记m 表示前两个球号码的平均数，记n 表示三个球号码的平均数，则m 与n 之差的绝对值不超过0.2的概率是__________.四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）在一次体育赛事的志愿者选拔面试工作中，随机抽取了200名候选者的面试成绩并分成五组：第一组[)45,55，第二组[)55,65，第三组[)65,75，第四组[)75,85，第五组[]85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）利用该频率分布直方图，估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）从成绩在第四､五组的志愿者中，按分层抽样方法抽取10人，再从这10人中任选3人，在选出的3人来自不同组的情况下，求恰有2人来自第四组的概率.16.（本小题满分15分）已知函数()()2ln 2f x x ax a x =+-+.（1）当02a < 时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若对()0,x ∞∀∈+，都有()()0f x xf x -' 成立，求实数a 的取值范围.17.（本小题满分15分）如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形CDEF 均为等腰梯形，AB ∥,CD EF∥,224CD CD AB EF ===，AD DE AE ===.（1）证明：平面ABCD ⊥平面CDEF ；（2）若M 为线段CD 上一点，且1CM =，求二面角A EM B --的余弦值.18.（本小题满分17分）已知双曲线E 焦点在x ，且过点)4，直线1l 与双曲线E 交于,M N 两点，1l 的斜率存在且不为0，直线2l 与双曲线E 交于,P Q 两点.（1）若MN 的中点为H ，直线,OH MN 的斜率分别为12,,k k O 为坐标原点，求12k k ⋅；（2）若直线1l 与直线2l 的交点T 在直线12x =上，且直线1l 与直线2l 的斜率和为0，证明：TP TN TM TQ =.19.（本小题满分17分）若有穷数列{}n a 满足：()120,3k a a a k k <<<∈Z ，若对任意的(),1i j i j k ，j i a a +与j i a a -至少有一个是数列{}n a 中的项，则称数列{}n a 为Γ数列.（1）判断数列0,2,4,8是否为Γ数列，并说明理由；（2）设数列{}n a 为Γ数列.①求证：k i a a -一定为{}n a 中的项；②求证：()1212k k k a a a a ka -++++= ；（3）若数列{}n a 为Γ数列，且{}n a 不是等差数列，求项数k 的所有可能取值.高三数学试题参考答案一､选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.A2.C3.C4.A5.A6.C7.B8.D二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.）9.BD10.ABD11.ACD三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.3-13.25π14.38四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.）15.解：（1）因为第三､四､五组的频率之和为0.7，所以()0.0450.020100.7a ++⨯=，解得0.005a =，所以前两组的频率之和为10.70.3-=，即()100.3a b +⨯=，解得0.025b =估计平均数为500.05600.25700.45800.2900.0569.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）成绩在第四､五两组志愿者分别有40人､10人，按分层抽样抽得第四组志愿者人数为8，第五组志愿者人数为2，记事件A 为“选出三人来自不同组”，记事件B 为“恰有2人来自第四组”，则()21128282310C C C C C P A +=，()2182310C CC P B =，()()()218221128282C C 7C C C C 8P AB P B A P A ===+∣.所以已知选出的3人来自不同组的情况下，恰有2人来自第四组的概率为78.16.解：（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()()()()2221211122.ax a x x ax f x ax a x x x-++--=+-+'==①当02a <<时，112a >，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '>在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当11,2x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '<在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当1,x a ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '>在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增；②当2a =时，()11,02f x a =' 恒成立，故()f x 在()0,∞+上单调递增；综上所述，当02a <<时，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减当2a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增；（2）对()0,x ∞∀∈+，都有()()0f x xf x -' 成立，即对()2ln 10,,x x a x ∞-∀∈+恒成立，等价于对()2maxln 10,,x x a x ∞-⎛⎫∀∈+ ⎪⎝⎭ .令()()23ln 132ln (0),x x g x x g x x x --=='>，当320e x <<时，()()0,g x g x '>在320,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当32e x >时，()()0,g x g x '<在32e ,∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减.则()32322332ln e 11e 2e e g x g ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎛⎫⎝⎭⎪⎝⎭ ，可得312e a .综上，实数a 的取值范围是31,2e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.17.解：（1）证明：在平面CDEF 内，过E 做EO 垂直于CD 交CD 于点O ，由CDEF 为等腰梯形，且24CD EF ==，则1,DO =又OE =，所以2OE ==，连接AO ，由ADO EDO ≅ ，可知AO CD ⊥且2AO =，所以在三角形OAE 中，222AE OE OA =+，从而OE OA ⊥，又,OE CD OA CD O ⊥⋂=，所以OE ⊥平面ABCD ，OE ⊂平面CDEF ，所以平面ABCD ⊥平面CDEF（2）解：由（1）知，平面ABCD ⊥平面CDEF ，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,2,2,0,0,0,2,0,0,2,2A E M B ，()()()2,0,2,2,2,0,0,0,2AE EM MB =-=-=，设平面AEM 的法向量为(),,n x y z =，则00n AE n EM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1z =，则()1,1,1n =，同理，平面 BEM 的一个法向量为()2,2,0m =，所以6cos ,36m n m n m n ⋅===⋅，由图可以看出二面角A EM B --为锐角，故二面角A EM B --的余弦值为63.18.解：（1）设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则2222222(2)41ca abc a b ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪=+⎪⎪⎩.解得14a b =⎧⎨=⎩，所以22116y x -=，设()()()112200,,,,,M x y N x y H x y 因为,M N 两点都在双曲线22116y x -=上，所以22112222116116y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差得2222121216y y x x --=，整理得()()012012,16y y y x x x --=则()()0121201216y y y k k x x x -⋅==-；（2）设1,2T n ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线MN 的方程为()()11221,,,,2y n k x M x y N x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭联立2212116y n k x y x ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩，化简得()()2222211621604kx kkn x k n kn -+---+-=，()22Δ1644364n kn k =--+，则22212122211624,1616k n kn k kn x x x x k k --+--+=-⋅=--，故1211,22TM TN =-=-，()()()2221221121112216k n TM TN kx x k ++⋅=+--=-，由0PQ MN k k +=，所以PQ k k =-，从而()()()()2222221()12112,()1616k n k n TP TQ k k +-+++⋅==---TM TN TP TQ ∴⋅=⋅，即TP TN TMTQ=.19.解：（1）数列0,2,4,8不为Γ数列，因为8210,826,10+=-=和6均不是数列0,2,4,8中的项，所以数列0,2,4,8不为Γ数列.（2）①记数列{}n a 的各项组成的集合为A ，又1210k k k k a a a a a a -<<<<<+ ，由数列{}n a 为Γ数列，k k a a A +∉，所以k k a a A -∈，即0A ∈，所以10a =，设2i k ，因为k i a a A +∉，所以k i a a A -∈，得证②因为1210k k k k k k a a a a a a a a -=-<-<<-<- ，则112211,,,,k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a ---=-=-=-= ，将上面的式子相加得：()121121k k k k k ka a a a a a a a a ---++++=++++ .所以()1212k k k a a a a ka -++++= .（3）（i ）当3k =时，由（2）知，1322210,a a a a a a =-==-，这与数列{}n a 不是等差数列矛盾，不合题意.（ii ）当4k =时，存在数列0,2,6,8，符合题意，故k 可取4，（答案不唯一，满足12340,a a a a =+=即可）（iii ）当5k 时，由（2）知，()101k k i i a a a i k -+-=- ，①当31i k - 时，112k i k k a a a a a --+>+=，所以11,k i k i a a A a a A --+∉-∈.又111213320k k k k k k k a a a a a a a a a ------=-<-<<-<-= ，12320k k a a a a --=<<<< ，所以111122133,,,k k k k k k a a a a a a a a a -------=-=-= ，即()113k k i i a a a i k ---=- .由111122,k k k k a a a a a a -----=-=，得：111122,k k k k a a a a a a -----=-=，所以()111k k i i a a a i k ---=- ，②由①②两式相减得：()1111k k i i a a a a i k -+-=-- ，这与数列{}n a 不是等差数列矛盾，不合题意.综上，满足题设k 的可能取值只有4.。
2024-2025学年河北省高三上学期省级联测数学试题及答案
2024—2025高三省级联测考试数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的学校､班级､姓名及考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}(){}21,2,3,4,ln 9A B x y x =-=∈=-Z ∣，则A B = （）A {}1,2,3 B. {}1,2-C. {}2,3 D. {}0,1,2,3,42. 已知复数()221233i,24i,z a a z a a a =-+=+-∈R ，若12z z +为纯虚数，则a =（ ）A. 1或2B. 1C. 2D. 33. 已知向量,a b满足()2,2,0a b == ，且2a b += ，则a 在b 上的投影向量的坐标为（ ）A. ()1,0- B. ()1,0 C. ()2,0- D. ()2,04 已知()πcos 2cos 3π2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则221sin sin22cos ααα+=（ ）A. 14-B.34C. 2D. 65. 某中学开展劳动实习，学习制作模具，有一个模具的毛坏直观图如图所示，它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体，已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）ABCD 是面积为16的正方形，则该几何体的体积为（ ）..A.16π3B. 16πC.64π3D. 72π6. 设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，213332,8S a a a =+=，则数列{}21n a n +-的前5项和为（ ）A. 55B. 57C. 87D. 897. 已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象先向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()0g x m -=在,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 上有两个不等实根，则实数m 的取值范围为（ ）A. (]2,2-B. (2,-C2⎤⎦D. (8. 已知定义域为R 的函数()f x 不是常函数，且满足()()()()f x y f x y f x f y ++-=，()10f =，则20261()i f i ==∑（）A. 2- B. 2C. 2026- D. 2026二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目.要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知随机变量()()1,4,2,1X N Y N ~~，则下列说法正确的是（ ）A. 若(0)0.2P X <=，则()20.4P X ≤=B. 若()()0.20.1P X a P X ≥=≤=，则10.49a P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭C. ()()12P X P Y >>>D. ()()44P X P Y ≤<≤10. 已知函数()322f x x x x =-+-，若()()22g x f x x x a =-++，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的单调递增区间为()1,3B. 函数()f x 的极大值点为1C. 若[]1,2x ∈，则()f x 值域为[]2,0-D. 若0x ∀≥，都有()0g x ≤成立，则a 的取值范围为(],1-∞-11. 已知曲线:4G x x y y +=，则下列说法正确的是（ ）A. 点()1,1在曲线G 上B. 直线:l y x =-与曲线G 无交点C. 设直线:2l y kx =+，当()1,0k ∈-时，直线l 与曲线G 恰有三个公共点D. 直线:2l x y +=与曲线G 所围成的图形的面积为π2-三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数()()2ln 31,,f x a x x b a b =+-+∈R ，若曲线()y f x =在0x =处的切线方程为32y x =+，则a b +=__________.13. 已知双曲线C:x 2a2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为12,F F ，过坐标原点O 的直线与双曲线C 交于,M N 两点，且点M 在第一象限，满足120MF MF ⋅=.若点P 在双曲线C 上，且112F P NF = ，则双曲线C的离心率为______.14. 某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道的题的概率均为23，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对m 道试题的概率为()f m ，则当m =__________时，()f m 取得最大值.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2cos cos cos A A Cac ab bc-=.（1）求角A ；（2）若a ABC =，求ABC V 的周长.16. 已知椭圆()2222Γ:10x y a b a b+=>>的左焦点为1F ，上､下顶点分别为,A B ，且1π2AF B ∠=，点⎛ ⎝在Γ上.（1）求椭圆Γ的方程；（2）过左焦点1F 的直线交椭圆Γ于,M N 两点，交直线2x =-于点P ，设1PM MF λ= ，1PN NF μ=，证明：λμ+为定值.17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面,ABCD PDC 为钝角三角形且DP DC =，290,DAB ABC ADB DCB E ∠∠∠∠==== 是PA 中点.（1）证明：BD PD ⊥；（2）若直线PD 与底面ABCD 所成的角为60o ，求平面BDE 与平面CDE 夹角的正弦值.18. 已知函数()()21(0)f x x a x a =++<.（1）证明：函数()f x 的极大值大于1；（2）若函数()f x 有3个零点，求实数a 的取值范围；（3）已知(),,0,1,2,3i i i A x y i =是()f x 图象上四个不重合的点，直线03A A 为曲线y =f (x )在点0A 处的的切线，若123,,A A A 三点共线，证明：1202x x x +=.19. 已知有限集{}()123,,,,2n A a a a a n =≥ ，若A 中的元素()1,2,,i a i n =L 满足1212n n a a a a a a =+++ ，则称A 为“n 元重生集”.（1）集合是否为“2元重生集”，请说明理由；（2）是否存在集合中元素均为正整数的“3元重生集”？如果有，请求出有几个，如果没有，请说明理由；（3）若*i a ∈N ，证明：“n 元重生集”A 有且只有一个，且3n =.2024—2025高三省级联测考试数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的学校､班级､姓名及考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}(){}21,2,3,4,ln 9A B x y x =-=∈=-Z ∣，则A B = （）A. {}1,2,3B. {}1,2-C. {}2,3D. {}0,1,2,3,4【答案】B 【解析】B ，再由交集的定义求A B ⋂.【详解】集合(){}{}{}{}22ln 990332,1,0,1,2B x y xx xx x =∈=-=∈->=∈-<<=--Z Z Z ，而{}1,2,3,4A =-，所以{}1,2A B ⋂=-.故选：B.2. 已知复数()221233i,24i,z a a z a a a =-+=+-∈R ，若12z z +为纯虚数，则a =（ ）A. 1或2 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】【分析】计算出()22123243i z z a a a a +=-++-+，根据纯虚数的概念得到方程和不等式，求出答案.【详解】由()221233i,24i,z a a z a a a =-+=+-∈R 可知，()()22221233i 24i 3243i z z a a a a a a a a +=-+++-=-++-+，因为12z z +为纯虚数，所以22430320a a a a ⎧-+≠⎨-+=⎩，解得2a =.故选：C.3. 已知向量,a b满足()2,2,0a b == ，且2a b += ，则a 在b 上的投影向量的坐标为（ ）A. ()1,0-B. ()1,0 C. ()2,0- D. ()2,0【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件求得2a b ⋅=-，结合投影向量的坐标公式即可求解.【详解】已知2,2a b == ，所以222()24244a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅+= ，可得2a b ⋅=- ，所以()()212,01,02||a b b b ⋅=-⨯=-，故选：A.4. 已知()πcos 2cos 3π2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则221sin sin22cos ααα+=（ ）A. 14-B.34C. 2D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件得tan 2α=，然后将目标式子用tan α表示，由此即可得解.【详解】由()πcos 2cos 3π2αα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，得sin 2cos αα=，则tan 2α=，所以221sin sin22cos ααα+=222sin sin cos tan tan 426cos αααααα+=+=+=，故选：D.5. 某中学开展劳动实习，学习制作模具，有一个模具的毛坏直观图如图所示，它是由一个圆柱体与一个半球对接而成的组合体，已知该几何体的下半部分圆柱的轴截面（过圆柱上､下底面圆的圆心连线的平面）ABCD 是面积为16的正方形，则该几何体的体积为（ ）A.16π3B. 16πC.64π3D. 72π【答案】C 【解析】【分析】得到4AB BC ==，确定球的半径和圆柱的底面圆半径和高，利用球和圆柱体积公式进行求解.【详解】因为四边形ABCD 是面积为16的正方形，则4AB BC ==，由题意可知半球的半径2R =，圆柱的底面圆半径2r =，高4h =，由球的体积公式可得半球的体积311416ππ233V R =⨯=，由圆柱的体积公式可得圆柱的体积22π16πV Sh r h ===，故该几何体的体积1216π64π16π33V V V =+=+=.故选：C.6. 设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，213332,8S a a a =+=，则数列{}21n a n +-的前5项和为（ ）A. 55 B. 57 C. 87 D. 89【答案】C 【解析】【分析】先由已知条件算出公比，然后得n a 表达式，结合分组求和、等差数列以及等比数列求和公式即可求解.【详解】因为{a n }是正项等比数列，所以10a >，公比0q >.因为21332S a a =+，所以()121332a a a a +=+，则3212023a a a --=，即21112320a q a q a --=，则22320q q --=，解得2q =或12q =-（舍），又因为231148a a q a ===，所以12a =，所以数列{a n }通项公式为2n n a =，所以21221nn a n n +-=+-，设数列{}21n a n +-的前n 项和为n T ，则()()()()123212325221nn T n =++++++++- ()()123222213521n n =+++++++++- ()()1221212122122n n n n n +-+-=+=+--，所以62525287T =+-=，故选：C.7. 已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象先向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，若关于x 的方程()0g x m -=在,126⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππx 上有两个不等实根，则实数m 的取值范围为（ ）A. (]2,2-B. (2,-C. 2⎤⎦D. (【答案】B 【解析】【分析】首先根据三角函数图象与性质计算即可得()f x 表达式，先根据三角函数的图像变换得()π2sin 43g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合正弦函数的单调性、对称性可判定m 的取值范围.【详解】由函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象可知，2A=，的的因为11ππ31264T -=，所以2ππ,2T Tω===，又π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ22π,62k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π2π,6k k ϕ=+∈Z ，由π2ϕ<可得π6ϕ=，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移π4个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到()π2sin 43g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，令3π4t x =-，由ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得2ππ,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数2sin y t =在2ππ,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在ππ,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且ππ2π2sin 2,2sin 2sin 233⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为关于x 的方程()0g x m -=在ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，即y m =与()y g x =的图像在ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个交点，即y m =与2sin y t =在2π3t ⎡∈-⎢⎣上有两个交点，所以实数m 的取值范围为(2,-，故选：B.8. 已知定义域为R 的函数()f x 不是常函数，且满足()()()()f x y f x y f x f y ++-=，()10f =，则20261()i f i ==∑（）A. 2-B. 2C. 2026- D. 2026【答案】A 【解析】【分析】依次算得()02f =，()f x 的周期为4，进一步结合已知得()()()()()()310,202,402f f f f f f =-==-=-==，由此得f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0，然后利用周期性即可求解.【详解】由题意，令0y =，得()()()20f x f x f =，又y =f (x )不是常函数，所以()02f =，再令1y =，得()()()()111f x f x f x f ++-=，即()()110f x f x ++-=，则f (x +2)=−f (x )，即()()2f x f x -=-，故()()4f x f x =+，所以函数y =f (x )的周期为4，由f (x +2)=−f (x )，令1x =，得()()()()()()310,202,402f f f f f f =-==-=-==，所以f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0，所以20261()506[(1)(2)(3)(4)](2025)(2026)(2025)(2026)i f i f f f f f f f f ==+++++=+=∑()()122f f +=-.故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知随机变量()()1,4,2,1X N Y N ~~，则下列说法正确的是（ ）A. 若(0)0.2P X <=，则()20.4P X ≤=B. 若()()0.20.1P X a P X ≥=≤=，则10.49a P X ⎛⎫<<= ⎪⎝⎭C. ()()12P X P Y >>>D. ()()44P X P Y ≤<≤【答案】BD 【解析】【分析】根据正态分布函数的性质逐一判断各个选项即可求解.【详解】对于选项A ，因为()(0)20.2P X P X <=>=，所以()()21210.2P X P X ≤=->=-=0.8，故A 错误；对于选项B ，因为()1,4X N ~，且()()0.20.1P X a P X ≥=≤=，则0.212a +=，即a =1.8，则()1(0.21)(1)0.20.50.10.49a P X P X P X P X ⎛⎫<<=<<=<-≤=-=⎪⎝⎭，故B 正确；对于选项C ，()()120.5P X P Y >=>=，故C 错误；对于选项D ，因为随机变量()()1,4,2,1X N Y N ~~，所以11221,2,2,1μσμσ====，因为()()()()()1122452,42P X P X P X P Y P Y μσμσ≤<≤=≤+≤=≤+，又()()112222P X P Y μσμσ≤+=≤+，所以()()44P X P Y ≤<≤，故D 正确，故选：BD.10. 已知函数()322f x x x x =-+-，若()()22g x f x x x a =-++，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的单调递增区间为()1,3B. 函数()f x 的极大值点为1C. 若[]1,2x ∈，则()f x 的值域为[]2,0-D. 若0x ∀≥，都有()0g x ≤成立，则a 的取值范围为(],1-∞-【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，求导，解不等式求出函数单调性；B 选项，在A 选项基础上得到函数的极大值点；C 选项，()f x 在[]1,2上单调递减，从而求出值域；D 选项，参变分离，得到32a x x x ≤--，构造函数()32h x x x x =--，求导得到其单调性，求出()h x 的最小值为()11h =-，故1a ≤-.【详解】对于选项A ，因为()322f x x x x =-+-，所以()()()2341311f x x x x x =-+-=---'，所以当()1,1,3x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 单调递增区间为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭，故A 错误；对于选项B ，如下表：的x1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭1()1,+∞()f x '-+-()f x 单调递减极小值单调递增极大值单调递减所以1为函数()f x 的极大值点.故B 正确；对于选项C ，()f x 在[]1,2上单调递减，所以()f x 的最小值为()22f =-，最大值为()10f =，所以当[]1,2x ∈时，()f x 的值域为[]2,0-，故C 正确；对于选项D ，()()2322g x f x x x a x x x a =-++=-+++.因为()0g x ≤.即32a x x x ≤--，令()32h x x x x =--，则()()()2321311h x x x x x =--=+-'，因为[)0,x ∈+∞，所以当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增，当[)0,1x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减，所以当1x =时取到极小值，所以)h x 的最小值为()11h =-，所以1a ≤-，故D 正确.故选：BCD.11. 已知曲线:4G x x y y +=，则下列说法正确的是（ ）A. 点()1,1在曲线G 上B. 直线:l y x =-与曲线G 无交点C 设直线:2l y kx =+，当()1,0k ∈-时，直线l 与曲线G 恰有三个公共点D. 直线:2l x y +=与曲线G 所围成的图形的面积为π2-【答案】BCD 【解析】【分析】直接将点()1,1代入曲线方程即可判断A ；分,x y 的正负四种情况去掉绝对值符号得到曲线方程后，当斜率为1-时结合渐近线可得B 正确；由四分之一圆面积减去三角形面积可得D 正确；由图形可得.C 正确.【详解】222222224,0,04,0,044,0,04,0,0x y x y x y x y x x y y y x x y x y x y ⎧+=≥≥⎪-=><⎪+=⇒⎨-=⎪⎪--=<<⎩，因当0,0x y <<时，224x y --=无意义，无此曲线，故舍去，所以曲线G 表示为2222224,0,04,0,04,0,0x y x y x y x y y x x y ⎧+=≥≥⎪-=><⎨⎪-=⎩，作出曲线图象如图所示，对于选项A ，将点(1,1)代入4x x y y +=，得到24=，显然不成立，故A 错误；对于选项B ，将y x =-代入曲线G 得，04x x x x -=≠，无解，故B 正确；对于选项C ，由于直线2y kx =+恒过点(0,2)，当0k =时，直线与x 轴平行，与曲线G 有一个交点；当1k =-时，直线与曲线G 的渐近线平行，此时与曲线G 有两个交点.当10k -<<时.结合斜率的范围可得直线与曲线G 有三个交点（如图），故C 正确；对于选项D ，设直线l 与,x y 轴的交点分别为,A B .因为圆的半径为2.且点()()2,0,0,2A B ，所以直线与曲线G 围成的图形的面积为211π222π242⨯⨯-⨯⨯=-，故D 正确.故选：BCD.为【点睛】关键点点睛：本题关键是能根据,x y 的正负去掉绝对值符号得到曲线方程，作出图象，数形结合分析.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数()()2ln 31,,f x a x x b a b =+-+∈R ，若曲线()y f x =在0x =处的切线方程为32y x =+，则a b +=__________.【答案】3【解析】【分析】由切线方程可知切点坐标和切线斜率，利用导数几何意义，建立方程，可求,a b 的值，进而得到所求和.【详解】由函数()()2ln 31f x a x x b =+-+，有()0f b =，由()3231af x x x =-+'，可得()03f a '=， 因为曲线y =f (x )在0x =处的切线方程为32y x =+，所以33,302,a b =⎧⎨=⨯+⎩解得1,2a b ==，则3a b +=.故答案为：3.13. 已知双曲线C:x 2a2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为12,F F ，过坐标原点O 的直线与双曲线C 交于,M N 两点，且点M 在第一象限，满足120MF MF ⋅=.若点P 在双曲线C 上，且112F P NF = ，则双曲线C的离心率为______.【解析】【分析】作出辅助线，根据数量积为0得到垂直关系，设1NF m =，则12PF m =，由双曲线定义可得2222,2PF a m NF a m =+=+，由勾股定理得到方程，求出23m a =，进而求出c a ==【详解】如图，连接1222,,,MF MF NF PF ，因为120MF MF ⋅= ，所以12π2F MF ∠=，由对称性可得12π2F NF ∠=，由112F P NF =，可设1NF m =，则12PF m =，由双曲线的定义可知，212PF PF a -=，212NF NF a -=，则2222,2PF a m NF a m =+=+，由12π2F NF ∠=得，22222||PF PN NF =+，即222(22)9(2)a m m a m +=++，解得23m a =，又由12π2F NF ∠=得，2221212F F F N NF =+，即222221228684339a a F F a c ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得c a ==，所以双曲线C 的离心率e =.14. 某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为23，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对m 道试题的概率为()f m ，则当m =__________时，()f m 取得最大值.【答案】13或14【解析】【分析】先得到()202022C 133m mm f m -⎛⎫⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用()()()()11f m f m f m f m ⎧≥-⎪⎨≥+⎪⎩解不等式即可.【详解】由题意得()202022C 133mmm f m -⎛⎫⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，020≤≤m 且m ∈N ，则()()()()11f m f m fm f m ⎧≥-⎪⎨≥+⎪⎩，即201211202020119120202222C 1C 1,33332222C 1C 1,3333m m m mm m m m m mm m -----+-+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯-≥⨯⨯-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⨯⨯-≥⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩故()()()()()()20!220!1,!20!31!21!320!120!2,!20!31!19!3m m m m m m m m ⎧⨯≥⨯⎪---⎪⎨⎪⨯≥⨯⎪-+-⎩又m ∈N ，所以13m =或14m =，故当13m =或14m =时，()f m 取得最大值.故答案为：13或14.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2cos cos cos A A Cac ab bc-=.（1）求角A ；（2）若a ABC =，求ABC V 的周长.【答案】（1（2）+【解析】【分析】（1）根据正弦定理、三角恒等变换得2cos 1A =，进一步即可求解；（2）根据三角形面积公式得4bc =，进一步结合余弦定理可得b c +=，由此即可得解.【小问1详解】由题意，因为2cos cos cos A A Cac ab bc-=，所以2cos cos cos b A c A a C -=，由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=，即()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A A C C A A C B =+=+=，因为sin 0B ≠，所以2cos 1A =，所以1cos 2A =，又0πA <<，所以π3A =.【小问2详解】由（1）可知，π3A =，则1sin 2A A ==，因为ABC V 的面积11sin 22ABC S bc A bc === 4bc =，由余弦定理可得22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，即212()34b c =+-⨯，可得b c +=，所以ABC V 的周长为a b c ++=+.16. 已知椭圆()2222Γ:10x y a b a b+=>>的左焦点为1F ，上､下顶点分别为,A B ，且1π2AF B ∠=，点⎛ ⎝在Γ上.（1）求椭圆Γ的方程；（2）过左焦点1F 的直线交椭圆Γ于,M N 两点，交直线2x =-于点P ，设1PM MF λ= ，1PN NF μ=，证明：λμ+为定值.【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由1π2AF B ∠=，得a =，再把点⎛ ⎝代入椭圆方程求出,a b 即可；（2）设出直线MN 的方程，代入椭圆方程，设()()1122,,,M x y N x y ，由1PM MF λ= ，1PN NF μ=，表示出λμ+，利用韦达定理化简得定值.【小问1详解】由题意可知，1π2AF B ∠=，所以a =，因为点⎛ ⎝在Γ上，所以2211122b b +=，解得1b =，故a =，所以椭圆Γ的方程为2212x y +=.【小问2详解】由已知得直线MN 的斜率必存在，可设直线MN 的方程为()1y k x =+，代入椭圆方程，整理得()2222124220kxk x k +++-=，2880k ∆=+>，设()()1122,,,M x y N x y ，则()22121222214,1212k k x x x x k k-+=-=++，又()()12,,1,0P k F ---，由11,PM MF PN NF λμ== 得121222,11x x x x λμ++=-=-++.所以()()()121212*********1111x x x x x x x x x x λμ++++++=--=-++++，因为()()2212122221423423401212k k x x x x k k -⎛⎫+++=⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭，所以0λμ+=为定值.17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面,ABCD PDC 为钝角三角形且DP DC =，2290,DAB ABC ADB DCB E ∠∠∠∠==== 是PA 的中点.（1）证明：BD PD ⊥；（2）若直线PD 与底面ABCD 所成的角为60o ，求平面BDE 与平面CDE 夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质得到BD ⊥平面PCD ，再根据线面垂直的性质即可得证.（2）根据已知条件建立适当的空间直角坐标系，表示出,,,B C D E 的坐标，求出两个平面的法向量，再结合向量夹角的坐标公式以及同角三角函数关系即可求解.【小问1详解】由2290DAB ABC ADB DCB ∠∠∠∠==== ，得,AD AB AD =//BC ，则45DBC DCB ∠∠== ，所以,90BD CD BDC ∠==，即BD CD ⊥，因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面,ABCD CD BD =⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PCD ，又PD ⊂平面PCD ，所以BD PD ⊥.【小问2详解】如图，过点P 作CD 的垂线，交CD 的延长线于点H ，连接AH ，因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD 平面,ABCD CD PH =⊂平面,PCD PH CD ⊥，所以PH ⊥平面ABCD ，则DH 为PD 在底面ABCD 内的射影，所以PDH ∠为直线PD 与底面ABCD 所成的角，即60PDH ∠= .设1AD =，得2BD DC DP BC ====，在PHD △中，DH PH ==，在ADH 中，45ADH ∠= ，由余弦定理得AH ==，所以222AH DH AD +=，所以AH CD ⊥，如图，过点D 作DF //PH ，则DF ⊥底面ABCD ，以,,DB DC DF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则)(),,0,,,B C P A E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以)(),,DB DE DC === ，设平面BDE 和平面CDE 的法向量分别为()()111222,,,,,n x y z m x y z ==，则111100n DB n DE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，222200m DC m DE x y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，令121,1z z ==，则11220,0x y x y ====，所以(),n m ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ，则cos ,n m n m n m ⋅=== ，设平面BDE 与平面CDE 的夹角为θ，则cos θθ===故平面BDE 与平面CDE.18. 已知函数()()21(0)f x x a x a =++<.（1）证明：函数()f x 的极大值大于1；（2）若函数()f x 有3个零点，求实数a 的取值范围；（3）已知(),,0,1,2,3i i i A x y i =是()f x 图象上四个不重合的点，直线03A A 为曲线y =f (x )在点0A 处的切线，若123,,A A A 三点共线，证明：1202x x x +=.【答案】（1）证明见解析（2）,⎛-∞ ⎝ （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，得到函数单调性，确定当x =，()f x 取得极大值，由单调性得到()01f f ⎛>= ⎝；（2）在（1）的基础上，得到函数()f x 有3个零点，应满足0f <，即103a a ⎛-++< ⎝，解得a <；（3）表达出直线03A A 的斜率03223300i A A k x x x x a =+++，同理可得1321222211331122,A A A A k x x x x a k x x x x a =+++=+++，根据三点共线得到方程，得到123x x x +=-，又()030A A k f x ='，所以()()303020x x x x +-=，求出302x x -=，故1202x x x +=.【小问1详解】证明：由题，()23f x x a ='+，令()0f x '=，解得x =，当x <-或x ()()0,f x f x '>单调递增，当x -<()()0,f x f x '<单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，由单调性可知()01f f ⎛>= ⎝，所以函数()f x 的极大值大于1.【小问2详解】由（1）可知，当x =()f x有极大值，且极大值为10f ⎛>> ⎝，因为()(),;,x f x x f x ∞∞∞∞→-→-→+→+，且当x =()f x 有极小值，所以要使得函数()f x 有3个零点，应满足0f <，即103a a ⎛-++< ⎝，解得a <，所以实数a的取值范围为,∞⎛- ⎝.【小问3详解】直线03A A 的斜率()()()0333223300303300303011A A x ax x ax x x x x x x a k x x x x ++-++-+++==--，因为30x x ≠，所以03223300i A A k x x x x a =+++，同理可得1321222211331122,A A A A k x x x x a k x x x x a =+++=+++，因为123,,A A A 三点共线，则有222211331122x x x x a x x x x a +++=+++，整理得()()()3232123x x x x x x x -+=-，因为32x x ≠，所以321x x x +=-，即123x x x +=-，又()030A A k f x ='，所以222330003x x x x a x a +++=+，整理得()()303020x x x x +-=，因为30x x ≠，所以3020x x +=，即302x x -=，所以1202x x x +=.【点睛】方法点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数19. 已知有限集{}()123,,,,2n A a a a a n =≥ ，若A 中的元素()1,2,,i a i n =L 满足1212n n a a a a a a =+++ ，则称A 为“n 元重生集”.（1）集合是否为“2元重生集”，请说明理由；（2）是否存在集合中元素均为正整数的“3元重生集”？如果有，请求出有几个，如果没有，请说明理由；（3）若*i a ∈N ，证明：“n 元重生集”A 有且只有一个，且3n =.【答案】（1）不是，理由见解析（2）存在，1个（3）证明见解析【解析】【分析】（1≠不为“2元重生集”；（2）设正整数集{}123,,A a a a =为“3元重生集”，设123a a a <<，利用不等式关系推出123a a <，故121,2a a ==，求出{}1,2,3A =；（3）设123n a a a a <<<< ，得到121n a a a n -< ，当2n =时，推出矛盾，当3n =时，由（2）可知，有且只有1个“3元重生集”，即{}1,2,3，当4n ≥时，推出()1!n n >-，但()1!n n ->在4n ≥上恒成立，故当4n ≥时，不存在“n 元重生集”，从而证明出结论.【小问1详解】121144-==-=-，≠所以集合不是“2元重生集”.【小问2详解】设正整数集{}123,,A a a a =为“3元重生集”，则123123a a a a a a =++，不妨设123a a a <<，则12312333a a a a a a a =++<，解得123a a <，因为*12,a a ∈N ，故只有121,2a a ==满足要求，综上，{}1,2,3A =满足要求，其他均不符合要求，故存在1个集合中元素均为正整数的“3元重生集”，即{}1,2,3A =.【小问3详解】不妨设123n a a a a <<<< ，由1212n n n a a a a a a na =+++< ，得121n a a a n -< ，当2n =时，12a <，故11a =，则221a a +=，无解，若*12,a a ∈N ，则{}12,a a 不可能是“2元重生集”，所以当2n =时，不存在“2元重生集”；当3n =时，由（2）可知，有且只有1个“3元重生集”，即{}1,2,3，当4n ≥时，()1211231n a a a n -≥⨯⨯⨯⨯- ，又121n a a a n -< ，故()1!n n >-，事实上，()()()221!1232(2)2n n n n n n n n -≥--=-+=--+>在4n ≥上恒成立，故当4n ≥时，不存在“n 元重生集”，所以若*,i a ∈N “n 元重生集”A 有且只有一个，且3n =.【点睛】思路点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。
2022-2023学年高三上学期开学考试数学(理)试题含答案
（2）求学生甲答对的题数 的分布列和数学期望.
19.在四棱锥 中，点 是棱 上一点， ， ， ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，求二面角 的正弦值.
20.已知椭圆C： 的右顶点是M（2，0），离心率为 ．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
17. 的内角 的对边分别是 ， ， ，且 .
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ，且 ，求 的周长.
18.第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城.某学校为了庆祝北京冬奥会的召开，特举行奥运知识竞赛.参加的学生从夏奥知识题中抽取2题，冬奥知识题中抽取1题回答，已知学生（含甲）答对每道夏奥知识题的概率为 ，答对每道冬奥知识题的概率为 ，每题答对与否不影响后续答题.
【答案】
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）分布列答案见解析，数学期望：
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
C.D层次的女生和E层次的男生在整个样本中频率相等
江西省宜春市八校2023届高三第一次联考数学(理)试题(含解析)
江西省宜春市八校2023届高三第一次联考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．25B．24C．55．若π13πtan sin123α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πtan4α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A．39-B．35-C．396．2022年男足世界杯于2022年11月21日至2022年12月17排甲､乙等5名志愿者去A，B，C三个足球场服务，要求每个足球场都有人去，每人A ．62B ．20239．已知函数()f x 满足()()1ln f x x f x x'+1⎛⎫1⎛⎫二、填空题14．已知函数()3sin 4cos f x x x =+，且对任意实数x 都有()(2)(R)f x f x αα=-∈sin 2α的值为__________．15．已知一组数据x ，x ，x ，…，x 的平均数为x ，方差为2s .若31x +，3x +(1)若BE ＝B 1E ，证明：CC 1⊥(2)若112BE B E =，求二面角19．已知椭圆C :(22221x y a b+=(1)求椭圆C 的方程；参考答案：326x y --的几何意义是曲线上的点到直线3260x y --=的距离的两倍，双曲线的渐近线3y x =与3所以曲线在第一、三象限上的点到在12F PF △中，由余弦定理得4c 可得()22422cos3c m n mn mn =-+-即得2222544487916c a a a =+⨯=279c =，所以，(PC PB PA PB OA ⋅=-⋅=- ()1OP OA OB OA OB =⋅+-⋅-，因为()22OA OB OPOA OB +-=+因为四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，11BC B C ==因为1AA BD ⊥，1AA ，AC ⊂则131,,33E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以51,3AE ⎛= ⎝ 易知平面11ACC A 的一个法向量为则100AC m AE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3305333y z x y ⎧+=⎪⎨++⎪⎩21．(1)(23)3n n a =-+，1,2,3,n =(2)证明见解析【分析】（1）由题意可得13n a +-=比为23-的等比数列，由等比数列的通项公式即可求出。
最新高三(上)联考数学试卷(理 科)附带参考答案
最新高三（上）联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12道题，每小题5分，共60分．每小题只有一个正确选项）1. 已知集合A={x|x(x−4)≤0}，B={x∈N|x<3}，则A∩B=()A.{0, 1, 2}B.{1, 2}C.{1, 2, 3}D.{0, 1, 2, 3}2. 在复平面内，复数i⋅(1−i)对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 设a=log23，b=log132，c=0.42，则a，b，c的大小关系是（）A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b4. 执行如图所示的程序框图，则输出的k=()A.5B.3C.6D.45. 设α为平面，m，n为两条直线，若m⊥α，则“m⊥n”是“n⊂α”的（）A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6. 若x，y满足约束条件{y≥1y≤2x−1x+y≤5，则z＝3x−y的最大值为（）A.2 B.3 C.11 D.137. 函数y ＝sin x +√3cos x 的图象向右平移2π3个单位长度得到函数f(x)的图象，则下列说法不正确的是（ ） A.函数f(x)的最小正周期2π B.函数f(x)的图象关于直线x ＝5π6对称C.函数f(x)的图象关于(π3，0)对称中心 D.函数f(x)在[5π6，11π6]上递增8. 在区间[−2, 2]上随机取一个数x ，则事件“y ={2x (x ≤0)x +1(x >0) ，且y ∈[12,2]”发生的概率为（ ） A.12 B.38C.58D.789. △ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若√3sin C =sin A +sin B ，cos C =35，且S △ABC =4，则c =( ) A.4√63B.4C.2√63D.510. 已知定义域为R 的函数f(x)满足f(−x)=−f(x)，f(x +2)=−f(x)，且当0<x ≤1时，f(x)=2x 3−log 5x ，则f(47)=( ) A.−1 B.−2 C.0 D.111. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，∠BAC ＝2π3，AA 1＝4，AB ＝AC ＝2√3，则三棱柱ABC −A 1B 1C 1的外接球的表面积为（ ） A.32π B.48π C.64π D.72π12. 已知双曲线E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ．点P 在E 的渐近线上，PF 1→⋅PF 2→=0，∠MPN =π3，则E 的离心率为（ ） A.√153B.√213C.53D.√13二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知AB →=(2,3)，AC →=(−1,m)，若AB →⊥BC →，则实数m 的值为________．如图，网格纸上小正方形的边长为a ，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的表面积为3+√2，则a 的值为________．《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为________．设f(x)，g(x)(g(x)≠0)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x)g(x)−f(x)g ′(x)<0，且f(−2)=0，则不等式f(x)g(x)>0的解集为________．一、必考题：共60分已知向量a →=(√3sin x, cos x)，b →=(cos x, cos x)，函数f(x)=2a →⋅b →−1． (1)求f(x)的最小正周期；(2)当x ∈[π6，π2]时，若f(x)=1，求x 的值．某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试，并从中随机抽取了12份问卷，得到其测试成绩（百分制）的茎叶图如下：（1）写出该样本的中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所抽取的70分以上的学生中再随机选取4人，记ξ表示测试成绩在80分以上的人数，求ξ的分布列和数学期望如图甲，将直角边长为√2的等腰直角三角形ABC ，沿斜边上的高AD 翻折．如图乙，使二面角B −AD −C 的大小为π3，翻折后BC 的中点为M ．（1）求证：BC ⊥平面ADM ；（2）求二面角D −AB −C 的余弦值．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为√63，且经过点A(√32, √32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）若不过坐标原点的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点，且满足OM →+ON →＝λOA →，求△MON 面积最大时直线l 的方程．已知函数f(x)＝e x −ax −3(a ∈R)．(Ⅰ)若函数f(x)在（1, f(1)）处的切线与直线x −y ＝0平行，求实数a 的值；(Ⅰ)当a ＝2，k 为整数，且当x >1时，(x −k)f′(x)+2x +1>0，求k 的最大值． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23、24题中任选一题作答．并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为{x =3−√22t y =√5+√22t（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的单位长度，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ＝2√5sin θ．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于A，B两点，若点P坐标为(3, √5)，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x−m|+|2x−1|，x∈R．（1）当m＝1时，解不等式f(x)<2；（2）若不等式f(x)<3−x对任意的x∈[0, 1]恒成立，求实数m的取值范围．选做题已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，首项a1=1，且a1，a2，a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=a n+2a n，求数列{b n}的前n项和T n．参考答案与试题解析最新高三（上）联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12道题，每小题5分，共60分．每小题只有一个正确选项）1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】Ⅰ A={x|0≤x≤4}，B={0, 1, 2}，Ⅰ A∩B={0, 1, 2}．2.【答案】A【考点】虚数单位i及其性质复数的运算复数的基本概念【解析】由于i⋅(1−i)＝1+i，故复数i⋅(1−i)对应的点的坐标为(1, 1)，从而得到答案．【解答】Ⅰ i⋅(1−i)＝1+i，Ⅰ 复数i⋅(1−i)对应的点的坐标为(1, 1)，显然位于第一象限，3.【答案】C【考点】对数值大小的比较【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】因为a=log23>1，b=log132<0，c=0.42=0.16，则b<c<a．4.【答案】A【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得k=1，S=6；S=5，k=2；不满足条件S<0，执行循环体，S=3，k=3；不满足条件S<0，执行循环体，S=0，k=4；不满足条件S<0，执行循环体，S=−4，k=5；此时，满足条件S<0，退出循环，输出k的值为5．5.【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定结合充分必要条件的判定得答案．【解答】在m⊥α的前提下，由m⊥n，不一定得到n⊂α，有可能n // α；反之，在m⊥α的前提下，由n⊂α，一定有m⊥n．Ⅰ 若m⊥α，则“m⊥n”是“n⊂α”的必要不充分条件．6.【答案】C【考点】简单线性规划【解析】作出满足不等式组的可行域，由z＝3x−y可得y＝3x−z可得−z为该直线在y轴上的截距，截距越小，z越大，结合图形可求z的最大值．【解答】作出x，y满足约束条件{y≥1y≤2x−1x+y≤5的可行域，如图所示的阴影部分，如图：由z＝3x−y可得y＝3x−z可得−z为该直线在y轴上的截距，截距越小，z越大，{y=1x+y=5解得A(4, 1)，作直线L:3x−y＝0，可知把直线平移到A(4, 1)时，z最大，故z max＝11．7.【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，函数y=A sin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】把函数y＝sin x+√3cos x=2sin(x+π3)的图象向右平移2π3个单位长度，得到函数f(x)=2sin(x−π3)的图象，显然，f(x)的周期为2π，故A正确；当x=5π6时，f(x)=2，为最大值，故f(x)的图象关于直线x＝5π6对称，故B正确；当x=π3时，f(x)=0，故f(x)的图象关于点(π3, 0)对称，故C正确；在[5π6，11π6]上，x−π3∈[π2, 3π2]上，f(x)单调递减，故D错误，8.【答案】A【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】根据已知条件，求事件“y={2x(x≤0)x+1(x>0)，且y∈[12,2]”发生时x的取值范围，代入几何概型计算公式，即可求出答案．【解答】事件“y={2x(x≤0)x+1(x>0)，且y∈[12,2]”由题可知，该分段函数是一个增函数，y∈[12,2]，此时x∈[−1, 1]，所以该事件发生的概率P=1−(−1)2−(−2)=12．9.【答案】B【考点】正弦定理【解析】由已知及正弦定理可得：√3c=a+b，利用同角三角函数基本关系式可得sin C，利用三角形面积公式可求ab=10，由余弦定理即可解得c的值．【解答】Ⅰ √3sin C=sin A+sin B，cos C=35，Ⅰ 由正弦定理可得：√3c=a+b，可得sin C=√1−cos2C=45，Ⅰ S△ABC=12ab sin C=12×45×ab=4，解得：ab=10，Ⅰ 由余弦定理可得：c=√a2+b2−2ab cos C=√(a+b)2−2ab−2ab⋅35=√3c2−32，解得：c=4．10.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质与判断抽象函数及其应用函数的求值求函数的值【解析】根据题意，分析可得f(x+4)=f[−(x+2)]=f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，由此可得f(47)=f(−1)=−f(1)，结合函数的解析式计算可得答案．【解答】根据题意，已知定义域为R的函数f(x)满足f(−x)=−f(x)，f(x+2)=−f(x)，则有f(x+2)=f(−x)，则有f(x+4)=f[−(x+2)]=f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，f(47)=f(−1+4×12)=f(−1)=−f(1)，当0<x≤1时，f(x)=2x3−log5x，则f(1)=2，则f(47)=−f(1)=−2，故选：B．11.【答案】C【考点】球的表面积和体积球内接多面体柱体、锥体、台体的侧面积和表面积【解析】由已知求出底面ABC的外接圆的半径，连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，即可求出三棱柱的外接球的表面积．【解答】，AA1=4，由题意可知直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=2√3，∠BAC=2π3＝2√3，底面三角形ABC的外接圆半径为2√32sinπ6连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为：√(2√3)2+22＝4．Ⅰ 三棱柱的外接球的表面积为S =4π×42=64π． 12.【答案】 B【考点】双曲线的离心率 【解析】先由点P 在E 的渐近线上，PF 1→⋅PF 2→=0⇒P(a, b)，再由∠MPN =π3得到a 与b 的关系式，进而求得离心率． 【解答】不妨设P 是渐近线在第一象限上的点，因为PF 1→⋅PF 2→=0，所以∠F 1PF 2＝90∘，|PO|＝|OF 2|＝c ，又P 在渐近线y =ba x 上，所以可得P 点的坐标是(a, b)，所以PN ⊥F 1F 2．在直角三角形PNM 中，∠MPN =π3，所以|MN|=√3|PN|，即2a =√3b ，ba=√3，所以e =√1+b 2a 2=√1+43=√213．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】 5【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得m 的值． 【解答】Ⅰ 已知AB →=(2,3)，AC →=(−1,m)，Ⅰ BC →=AC →−AB →=(−3, m −3)． 若AB →⊥BC →，Ⅰ AB →⋅BC →=(2, 3)⋅(−3, m −3)＝−6+3(m −3)＝0， 则实数m ＝5， 【答案】13【考点】由三视图求体积 【解析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用表面积公式的应用求出a 的值． 【解答】根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱柱体． 如图所示：所以S ＝2×12⋅(3a)2+2×(3a)2+3a ⋅3√2a =3+√2，解得a =13．故a ＝13． 故答案为：13【答案】 15.5尺 【考点】等差数列的通项公式 【解析】利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出冬至的日影子长． 【解答】Ⅰ 从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列{a n }，冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺， Ⅰ {a 1+a 4+a 7=3a 1+9d =37.5a 12=a 1+11d =4.5 ，解得d ＝−1，a 1＝15.5．Ⅰ 冬至的日影子长为15.5尺． 【答案】(−∞, −2)∪(0, 2) 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】构造函数 ℎ(x)=f(x)g(x)，由已知可得 x <0时，ℎ′(x)<0，从而可得函数ℎ(x)在(−∞, 0)单调递减，又由已知可得函数 ℎ(x)为奇函数，故可得 ℎ(0)=ℎ(−2)=ℎ(2)=0，且在(0, +∞)单调递减，结合图象可求． 【解答】 如图示：，Ⅰ f(x)和g(x)(g(x)≠0)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， Ⅰ f(−x)=−f(x) g(−x)=g(x)，Ⅰ 当x <0时，f′(x)g(x)−f(x)g′(x)<0， 当x <0时，[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)g 2(x)<0，令ℎ(x)=f(x)g(x)，则ℎ(x)在(−∞, 0)上单调递减，Ⅰ ℎ(−x)=f(−x)g(−x)=−ℎ(x)，Ⅰ ℎ(x)为奇函数，根据奇函数的性质可得函数ℎ(x)在(0, +∞)单调递减，且ℎ(0)=0， Ⅰ f(−2)=−f(2)=0，Ⅰ ℎ(−2)=−ℎ(2)=0， ℎ(x)>0的范围为(−∞, −2)∪(0, 2)， 一、必考题：共60分 【答案】解：(1)f(x)=2√3sin x cos x +2cos 2x −1 =√3sin 2x +cos 2x =2sin (2x +π6)．Ⅰ f(x)的最小正周期是π． (2)由f(x)=1，得sin (2x +π6)=12．Ⅰ x ∈[π6，π2]， Ⅰ 2x +π6∈[π2,7π6],Ⅰ 2x +π6=5π6，Ⅰ x =π3．【考点】平面向量数量积的运算三角函数的周期性及其求法 函数的求值【解析】（1）利用向量的数量积定义表示出函数再利用三角函数的周期公式求得．（2）据已知列出三角方程，注意解三角方程必须先求出角的范围再求出特殊角．【解答】解：(1)f(x)=2√3sin x cos x+2cos2x−1=√3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)．Ⅰ f(x)的最小正周期是π．(2)由f(x)=1，得sin(2x+π6)=12．Ⅰ x∈[π6，π2]，Ⅰ 2x+π6∈[π2,7π6],Ⅰ 2x+π6=5π6，Ⅰ x=π3．【答案】由茎叶图得：中位数为76，测试成绩在70分以上的频率为：812=23，Ⅰ 测试成绩在70分以上的约为：3000×23=2000人．由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P(ξ＝0)＝C40C44C84＝170，P(ξ＝1)＝C41C43C84＝1670＝835，P(ξ＝2)＝C42C42C84＝3670＝1835，P(ξ＝3)＝C43C41C84＝1670＝835．P(ξ＝4)＝C44C40C84＝170．所以ξ的分布列为：Ⅰ E(ξ)＝0×170+1×835+2×1835+3×835+4×170＝2．【考点】离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】（1）由茎叶图能求出中位数，求出测试成绩在70分以上的频率，由此能测试成绩在70分以上的人数．(2)ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】由茎叶图得：中位数为76，测试成绩在70分以上的频率为：812=23，Ⅰ 测试成绩在70分以上的约为：3000×23=2000人．由题意可得，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P(ξ＝0)＝C40C44C84＝170，P(ξ＝1)＝C41C43C84＝1670＝835，P(ξ＝2)＝C42C42C84＝3670＝1835，P(ξ＝3)＝C43C41C84＝1670＝835．P(ξ＝4)＝C44C40C84＝170．所以ξ的分布列为：Ⅰ E(ξ)＝0×170+1×835+2×1835+3×835+4×170＝2．【答案】Ⅰ 折叠前AB=AC，AD是斜边上的高，Ⅰ D是BC的中点，得BD=CD，又Ⅰ 折叠后M是BC的中点，Ⅰ DM⊥BC，折叠后AB=AC，Ⅰ AM⊥BC，而AM∩DM=M，Ⅰ BC⊥平面ADM；建立空间直角坐标系如图所示，Ⅰ 等腰直角三角形ABC的直角边长为√2，Ⅰ AD=1，易知二面角B−AD−C的平面角是∠BDC ，则BD =BC =CD =AD =1，Ⅰ A(0, 0, 1)，B(√32, 12, 0)，C(0, 1, 0)，D(0, 0, 0)． AD →＝(0,0,−1)，BD →＝(−√32,−12,0)，AC →＝(0,1,−1)，BC →＝(−√32,12,0)， 设平面ABD 的法向量为n →＝(x,y,z)， 由{n →⋅BD →＝−√32x −12y ＝0˙，取x =1，求得n →=(1, −√3, 0)，设平面ABC 的法向量为m →＝(x 1,y 1,z 1)， 由{m →⋅BC →＝−√32x 1+12y 1＝0˙，取z 1=1，得m →＝(√33,1,1)．Ⅰ cos <n →，m →>=|n →|⋅|m →|˙=√33−√32×√13+1+1=−√77， 由图可知二面角D −AB −C 为锐角，则二面角D −AB −C 的余弦值为√77． 【考点】二面角的平面角及求法 直线与平面垂直【解析】（1）证明DM ⊥BC ，AM ⊥BC ，然后证明BC ⊥平面ADM ；（2）建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面ABD 、平面ABC 的法向量，计算二面角D −AB −C 的余弦值． 【解答】Ⅰ 折叠前AB =AC ，AD 是斜边上的高，Ⅰ D 是BC 的中点，得BD =CD ， 又Ⅰ 折叠后M 是BC 的中点， Ⅰ DM ⊥BC ，折叠后AB =AC ， Ⅰ AM ⊥BC ，而AM ∩DM =M ， Ⅰ BC ⊥平面ADM ；建立空间直角坐标系如图所示，Ⅰ 等腰直角三角形ABC 的直角边长为√2，Ⅰ AD =1，易知二面角B −AD −C 的平面角是∠BDC ，则BD =BC =CD =AD =1，Ⅰ A(0, 0, 1)，B(√32, 12, 0)，C(0, 1, 0)，D(0, 0, 0)．AD →＝(0,0,−1)，BD →＝(−√32,−12,0)，AC →＝(0,1,−1)，BC →＝(−√32,12,0)，设平面ABD 的法向量为n →＝(x,y,z)， 由{n →⋅BD →＝−√32x −12y ＝0˙，取x =1，求得n →=(1, −√3, 0)，设平面ABC 的法向量为m →＝(x 1,y 1,z 1)， 由{m →⋅BC →＝−√32x 1+12y 1＝0˙，取z 1=1，得m →＝(√33,1,1)．Ⅰ cos <n →，m →>=|n →|⋅|m →|˙=√33−√32×√3+1+1=−√77， 由图可知二面角D −AB −C 为锐角，则二面角D −AB −C 的余弦值为√77． 【答案】由题意得，{ ca ＝√6334a 2+34b 2＝1a 2＝b 2+c 2，解得{a 2＝3b 2＝1． Ⅰ 椭圆C 的方程为x 23+y 2＝1；由题意可知，直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y =kx +m(m ≠0)， M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，联立{x 23+y 2＝1y ＝kx +m，得(3k 2+1)x 2+6kmx +3m 2−3=0．△=36k 2m 2−4(3k 2+1)(3m 2−3)=12(3k 2+1−m 2)>0，① x 1+x 2＝−6km 3k 2+1，x 1x 2＝3m 2−33k 2+1．Ⅰ y 1+y 2＝k(x 1+x 2)+2m ＝2m3k 2+1． Ⅰ OM →+ON →＝λOA →，Ⅰ {x 1+x 2＝−6km3k 2+1＝√32λy 1+y 2＝2m 3k 2+1λ，得k =−13． 代入①得，−2√33<m <2√33，且m ≠0．Ⅰ S △OMN ＝12|m|⋅|x 1−x 2|＝12|m|⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =12|m|⋅√12(3k 2+1−m 2)3k 2+1＝3|m|√4−3m 24 =4˙≤√34⋅3m 2+4−3m 22＝√32．当且仅当3m 2=4−3m 2，即m =±√63时，上式等号成立，符合题意．Ⅰ 直线MN 的方程为y =−13x ±√63． 【考点】直线与椭圆的位置关系 椭圆的标准方程 椭圆的应用【解析】（1）由题意列关于a ，b ，c 的方程组，求解a ，b 的值，则椭圆方程可求；（2）由题意可知，直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y =kx +m(m ≠0)，M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及向量等式可得k 值，写出三角形面积公式，得到关于m 的函数式，整理后利用基本不等式求最值，然后求得MN 的方程． 【解答】由题意得，{ ca ＝√6334a 2+34b 2＝1a 2＝b 2+c 2，解得{a 2＝3b 2＝1． Ⅰ 椭圆C 的方程为x 23+y 2＝1；由题意可知，直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y =kx +m(m ≠0)， M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，联立{x 23+y 2＝1y ＝kx +m，得(3k 2+1)x 2+6kmx +3m 2−3=0．△=36k 2m 2−4(3k 2+1)(3m 2−3)=12(3k 2+1−m 2)>0，① x 1+x 2＝−6km 3k 2+1，x 1x 2＝3m 2−33k 2+1．Ⅰ y 1+y 2＝k(x 1+x 2)+2m ＝2m3k 2+1． Ⅰ OM →+ON →＝λOA →，Ⅰ {x 1+x 2＝−6km3k 2+1＝√32λy 1+y 2＝2m 3k 2+1λ，得k =−13． 代入①得，−2√33<m <2√33，且m ≠0．Ⅰ S △OMN ＝12|m|⋅|x 1−x 2|＝12|m|⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =12|m|⋅√12(3k 2+1−m 2)3k 2+1＝3|m|√4−3m 24 =4˙≤√34⋅3m 2+4−3m 22＝√32．当且仅当3m 2=4−3m 2，即m =±√63时，上式等号成立，符合题意． Ⅰ 直线MN 的方程为y =−13x ±√63．【答案】（I ）因为函数f(x)＝e x −ax −3，所以f′(x)＝e x −a ，f′(1)＝e −a ＝1，所以a ＝e −1，(II)当a ＝2，且当x >1时，(x −k)(e x −2)+2x +1>0等价于 当x >1时，k <(x +2x+!e x −2)min 令g(x)＝x +2x+1e x −2(x >1)，则g′(x)=e x (e x −2x−3)(e x −2)2，x >1，再令ℎ(x)＝e x −2x −3(x >1)，则ℎ′(x)＝e x −2>0， 所以，ℎ(x)在(1, +∞)上单调递增，且ℎ(1)<0，ℎ(2)>0，所以，ℎ(x)在(1, 2)上有唯一的零点，设该零点为x 0，则x 0∈(1, 2)，且e x 0=2x 0+3， 当x ∈(1, x 0)时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0；当x ∈(x 0, +∞)时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0， 所以，g(x)在(1, x 0)单调递减，在(x 0, +∞)单调递增， 所以，g(x)min ＝g(x 0)＝x 0+2x 0+1e x 0−2=x 0+1，而x 0∈(1, 2)，故x 0+1∈(2, 3)，且k <g(x 0)，k 为整数 所以，k 的最大值为（2） 【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，利用切线的斜率，求解a 即可．(Ⅰ)题目等价于当x >1时，k <(x +2x+!e −2)min 令g(x)＝x +2x+1e −2(x >1)，则g′(x)=e x (e x −2x−3)(e x −2)2，x >1，再令ℎ(x)＝e x −2x −3(x >1)，则ℎ′(x)＝e x −2>0，利用函数的导数，结合函数的零点，判断函数的单调性，转化求解即可． 【解答】（I ）因为函数f(x)＝e x −ax −3，所以f′(x)＝e x −a ，f′(1)＝e −a ＝1，所以a ＝e −1，(II)当a ＝2，且当x >1时，(x −k)(e x −2)+2x +1>0等价于 当x >1时，k <(x +2x+!e x −2)min 令g(x)＝x +2x+1e x −2(x >1)，则g′(x)=e x (e x −2x−3)(e x −2)2，x >1，再令ℎ(x)＝e x −2x −3(x >1)，则ℎ′(x)＝e x −2>0， 所以，ℎ(x)在(1, +∞)上单调递增，且ℎ(1)<0，ℎ(2)>0，所以，ℎ(x)在(1, 2)上有唯一的零点，设该零点为x 0，则x 0∈(1, 2)，且e x 0=2x 0+3， 当x ∈(1, x 0)时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0；当x ∈(x 0, +∞)时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0， 所以，g(x)在(1, x 0)单调递减，在(x 0, +∞)单调递增，所以，g(x)min ＝g(x 0)＝x 0+2x 0+1e x 0−2=x 0+1，而x 0∈(1, 2)，故x 0+1∈(2, 3)，且k <g(x 0)，k 为整数 所以，k 的最大值为（2）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23、24题中任选一题作答．并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】圆C 的方程为ρ＝2√5sin θ，即ρ2=2√5ρsin θ， Ⅰ x 2+y 2＝2√5y ，Ⅰ 圆C 的直角坐标方程x 2+(y −√5)2=5． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 直线l 的参数方程为{x =3−√22t y =√5+√22t（t 为参数），化为普通方程为：x +y ＝3+√5，代入上述圆方程消去y 得：x 2−3x +2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2． Ⅰ |PA|+|PB|=√(x 1−3)2+(y 1−√5)2+√(x 2−3)2+(y 2−√5)2=√x 12+y 12−2√5y 1−6x 1+14+√x 22+y 22−2√5y 2−6x 2+14=√14−6x 1+√14−6x 2=3√2． 【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）利用{ρ2=x 2+y 2y =ρsin θ即可化为直角坐标系；（2）直线l 的参数方程化为普通方程代入圆的方程解出交点坐标，再利用两点之间的距离公式即可得出． 【解答】圆C 的方程为ρ＝2√5sin θ，即ρ2=2√5ρsin θ， Ⅰ x 2+y 2＝2√5y ，Ⅰ 圆C 的直角坐标方程x 2+(y −√5)2=5． 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 直线l 的参数方程为{x =3−√22t y =√5+√22t（t 为参数），化为普通方程为：x +y ＝3+√5，代入上述圆方程消去y 得：x 2−3x +2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2． Ⅰ |PA|+|PB|=√(x 1−3)2+(y 1−√5)2+√(x 2−3)2+(y 2−√5)2=√x 12+y 12−2√5y 1−6x 1+14+√x 22+y 22−2√5y 2−6x 2+14=√14−6x 1+√14−6x 2=3√2． [选修4-5：不等式选讲]【答案】当m ＝1时，f(x)＝|x −1|+|2x −1|，所以f(x)={2−3x,x <12x,12≤x ≤13x −2,x >1， Ⅰ {2−3x <2x <12 或{x <212≤x ≤1 或{3x −2<2x >1 ，解得0<x <43所以不等式f(x)<2的解集为{x|0<x <43}由题意f(x)<3−x 对任意的x ∈[0, 1]恒成立，即|x −m|<3−x −|2x −1|对任意的x ∈[0, 1]恒成立， 令g(x)＝3−x −|2x −1|={x +2,0≤x <124−3x,12≤x ≤1， 所以函数y ＝|x −m|的图象应该恒在g(x)的下方，数形结合可得0<m <2【考点】函数恒成立问题 【解析】（1）去绝对值后分区间解不等式再相并；（2）转化为|x −m|<3−x −|2x −1|对任意的x ∈[0, 1]恒成立后再构造函数，利用函数的图象可得． 【解答】当m ＝1时，f(x)＝|x −1|+|2x −1|，所以f(x)={2−3x,x <12x,12≤x ≤13x −2,x >1，Ⅰ {2−3x <2x <12 或{x <212≤x ≤1 或{3x −2<2x >1 ，解得0<x <43所以不等式f(x)<2的解集为{x|0<x <43}由题意f(x)<3−x 对任意的x ∈[0, 1]恒成立，即|x −m|<3−x −|2x −1|对任意的x ∈[0, 1]恒成立， 令g(x)＝3−x −|2x −1|={x +2,0≤x <124−3x,12≤x ≤1， 所以函数y ＝|x −m|的图象应该恒在g(x)的下方，数形结合可得0<m <2 选做题【答案】解：（1）设数列{a n }的公差为d ，由题设，a 22=a 1a 4，… 即(1+d)2=1+3d ，解得d =0或d =1… 又Ⅰ d ≠0，Ⅰ d =1，可以求得a n =n … （2）由（1）得b n =n +2n ，T n =(1+21)+(2+22)+(3+23)+⋯+(n +2n )=(1+2+3+...+n)+(2+22+...+2n )=n(n+1)2+2n+1−2…【考点】 数列的求和 数列递推式【解析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）利用等差数列与等比数的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d，由题设，a22=a1a4，…即(1+d)2=1+3d，解得d=0或d=1…又Ⅰ d≠0，Ⅰ d=1，可以求得a n=n…（2）由（1）得b n=n+2n，T n=(1+21)+(2+22)+(3+23)+⋯+(n+2n)=(1+2+3+...+n)+(2++2n+1−2…22+...+2n)=n(n+1)2试卷第21页，总21页。
高三数学联考试题 理含解析 试题
中学、一中、中学三校2021届高三数学联考试题 理〔含解析〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
考前须知：1.在答题之前，所有考生必须将本人的姓名.准考证号填在答题卡上.2.选择题每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔将答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.3.填空题和解答题答在答题卡上每一小题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。
在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
请将正确之答案填涂在答题卡上。
〕U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，那么以下结论正确的选项是A. M N N =B. ()UMN =∅C. MN U =D. ()UM N ⊆【答案】A 【解析】 【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =．应选A ．【点睛】此题考察集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定． z 满足：(2)i z z -⋅=〔i 为虚数单位〕，z 为复数z 的一共轭复数，那么以下说法正确的选项是〔 〕A. 22i z =B. 2z z ⋅=C. ||2z =D. 0z z +=【答案】B 【解析】 【分析】由求得z ，然后逐一核对四个选项得答案． 【详解】由〔z ﹣2〕•i ＝z ，得zi ﹣2i ＝z ，∴z ()()()2121111i i i i i i i -+-===---+，∴z 2＝〔1﹣i 〕2＝﹣2i ，2||2z z z ⋅==，z =，2z z +=．应选：B ．【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察复数的根本概念，是根底题． 3.以下函数中，其定义域和值域与函数ln xy e =的定义域和值域一样的是〔 〕A. y x =B. ln y x =C. y=D. 10xy =【答案】C 【解析】 函数ln xy e =的定义域和值域均为0,，y x =定义域值域都是R ，不合题意；函数ln y x =的定义域为0,，值域为R ，不满足要求；函数10xy =的定义域为R ，值域为0,，不满足要求；函数y=的定义域和值域均为0,，满足要求，应选C.0.20.40.44,3,log 0.5的大小顺序是 〔 〕A. 0.40.20.43<4log 0.5<B. 0.40.20.43<log 0.5<4C. 0.40.20.4log 0.534<<D. 0.20.40.4log 0.543<<【答案】D 【解析】由题意得，120.20.4550.40log0.514433<<<==<== D.{}n a 的前n 项和为n S ，那么“10a >〞是“20190S >〞的〔 〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的前n 项和公式进展判断即可． 【详解】假设公比q ＝1，那么当a 1＞0时，那么S 2021＞0成立，假设q ≠1，那么S 2021()2019111a q q-=-，∵1﹣q 与1﹣q 2021符号一样， ∴a 1与S 2021的符号一样， 那么“a 1＞0〞⇔“S 2021＞0〞， 即“a 1＞0〞是“S 2021＞0〞充要条件， 应选：C ．【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的判断，根据等比数列前n 项和公式是解决此题的关键．ABC 中，假设1,3AE AC BF FC ==，那么BE AF ⋅=〔 〕A. 23-B. 43-C. 83-D. 2-【答案】D 【解析】 【分析】运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值．【详解】在边长为2的等边三角形ABC中，假设13AE AC=，那么BE AF⋅=〔AE AB-〕•12〔AC AB+〕＝〔13AC AB-〕•12〔AC AB+〕11 23AC=（2AB-223AB-•AC=）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=-⎪⎝⎭应选：D【点睛】此题考察向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考察运算才能，属于根底题．7.?九章算术·均输?中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．〞其意思为“甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得一样，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？〞〔“钱〞是古代的一种重量单位〕．这个问题中，甲所得为〔〕A. 43钱 B.73钱 C.83钱 D.103钱【答案】C【解析】【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a＝﹣6d，结合a ﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10求得a＝2，那么答案可求．【详解】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，那么由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10，∴a＝2，那么a﹣2d＝a48 333aa+==．应选：C．【点睛】此题考察等差数列的通项公式，考察实际应用，正确设出等差数列是计算关键，是根底的计算题．8.2021年1月1日起我国施行了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：(1)个税起征点为5000元；(2)每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用等，其中前两项的扣除HY为：①赡养老人费用：每月一共扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元．新个税政策的税率表局部内容如下：级数全月应纳税所得额税率1 不超过3000元的局部3%2 超过3000元至12000元的局部10%3 超过12000元至25000元的局部20%现有李某月收入18000元，膝下有两名子女，需要赡养老人，(除此之外，无其它专项附加扣除，专项附加扣除均按HY的100%扣除)，那么李某月应缴纳的个税金额为〔〕A. 590元B. 690元C. 790元D. 890元【答案】B【解析】【分析】由题意分段计算李某的个人所得税额；【详解】李某月应纳税所得额〔含税〕为：18000﹣5000﹣2000﹣2000＝9000元，不超过3000的局部税额为3000×3%＝90元，超过3000元至12000元的局部税额为6000×10%＝600元， 所以李某月应缴纳的个税金额为90+600＝690元． 应选：B ．【点睛】此题考察了分段函数的应用与函数值计算，准确理解题意是关键，属于中档题．2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，那么实数a 的取值范围是〔 〕A. ()2,8B. []2,8C. (][),28,-∞+∞ D. [)2,8【答案】A 【解析】 【分析】求导f ′〔x 〕＝2x a x -，转化为f ′〔x 〕＝2x 0ax-=在()1,2有变号零点，再别离参数求值域即可求解【详解】∵f ′〔x 〕＝2x a x-，()2ln 1f x x a x =-+在()1,2内不是单调函数， 故2x 0ax-=在()1,2存在变号零点，即22a x =在()1,2存在有变号零点， ∴2<a 8＜， 应选：A【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性，依题转化为导函数存在变号零点是关键，也是难点所在，属于中档题．()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，假设方程()23f x =的解为12,x x (120x x π<<<)，那么()21sin x x -=〔 〕A.23B.49【答案】C 【解析】由可得2123x x π=-，结合x 1＜x 2求出x 1的范围，再由()121122236sin x x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解即可．【详解】因为0＜x π＜，∴112666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，， 又因为方程()23f x =的解为x 1，x 2〔0＜x 1＜x 2＜π〕， ∴1223x x π+=，∴2123x x π=-， ∴()121122236sin x x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为122123x x x x π=-＜，，∴0＜x 13π＜，∴12662x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，， ∴由()112263f x sin x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得15263cos x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴()1253sin x x -=-，故()21sin x x -=53应选：C ．【点睛】此题考察了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档题．32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，那么实数的取值范围为〔 〕 A. (],1-∞ B. (],e -∞C. (]0,1D. (]0,e【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数的表达式，分别求出x >1和x ≤1时，对应的函数的值域，结合最小值之间的关系进展求解【详解】当x >1时，函数f 〔x 〕为增函数，那么f 〔x 〕＝e x ﹣a ∈〔e ﹣a,+∞〕 当x ≤1时，f 〔x 〕＝323,x x -+那么f ′〔x 〕＝-3x 2+6x ＝-3x 〔x ﹣2〕，那么由f ′〔x 〕<0得或者x ＜0或者x ＞2〔舍去〕，此时函数为减函数，由f ′〔x 〕>0 得0＜x ＜2，此时0<x ＜1，函数为增函数，即当x ＝0时，函数获得极小值同时也是在x ≤1时的最小值，最小值为f 〔0〕＝0 要使函数f 〔x 〕有最小值，那么e ﹣a ≥0， 即a ≤e ，即实数a 的取值范围是〔﹣∞，e]， 应选：B【点睛】此题主要考察函数最值的应用，利用分段函数的解析式分别求出对应的取值范围是解决此题的关键．12.{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，那么w 的取值范围是〔 〕 A. 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 24,33⎛⎤⎥⎝⎦D. 33,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论．【详解】∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52k π≠〔k ∈Z 〕， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1， ∴d 8π=．∴f 〔x 〕8π=cos ωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调 ∴23ππω≥， ∴ω32≤； 又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，所以f 〔x 〕在〔0，23π〕上存在零点， 即223ππω＜，得到ω34＞． 故答案为 33,42⎛⎤⎥⎝⎦应选：D【点睛】此题考察等差数列的公差的求法，考察三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是此题关键，考察推理才能，是中档题．二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕 13.1(0,π),sin cos ,5ααα∈+=那么tan α=_______. 【答案】43- 【解析】因为1sin cos 5αα+=，所以12434sin cos (0,)sin ,cos tan 25553αααπααα=-∈∴==-∴=- 0:p x ∃∈R ，2010mx +≤，命题:q x ∀∈R ，210x mx ++>，假设p q ∨为假命题，那么实数m 的取值范围为_______________． 【答案】2m ≥ 【解析】【详解】假设p q ∨为假命题，那么p 、q 均为假命题，那么:p x ⌝∀∈R ，210mx +>与:q x ⌝∃∈R ，210x mx ++≤均为真命题．根据:p x ⌝∀∈R ，210mx +>为真命题可得0m ≥，根据:q x ⌝∃∈R ，210x mx ++≤为真命题可得240m ∆=-≥， 解得2m ≥或者2m ≤-． 综上，2m ≥．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别,,a b c ，满足2(sin cos )40,2a B B b -++==，那么ABC ∆的面积为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求B ，进而可求a ，然后结合余弦定理可求c ，代入S △ABC 12=ac sin B ，计算可得所求．【详解】把a 2﹣〔sin B +cos B 〕+4＝0看成关于a 的二次方程， 那么△≥0，即8〔sin B +cos B 〕2﹣16≥0，即为8sin 〔B 4π+〕〕2﹣16≥0， 化为sin 2〔B 4π+〕≥1，而sin 2〔B 4π+〕≤1，那么sin 2〔B 4π+〕＝1，由于0＜B ＜π，可得4π＜B 544ππ+＜，可得B 42ππ+=，即B 4π=，代入方程可得，a 2﹣4a +4＝0， ∴a ＝2，由余弦定理可得，cos 244422c c π+-==⨯ 解可得，c ＝∴S △ABC 12=ac sin B 12=⨯2×2=． 故答案为： 2．【点睛】此题主要考察一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题．21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，那么正实数a 的取值范围是__________．【答案】(0,2]e 【解析】 设两个切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ,两个切线方程分别为2111(1)2()y x x x x --=-,222(ln 1)()ay a x x x x --=-,化简得2112221,ln 1ay x x x y x a x a x =--=+--122212{ln a x x a x a x =-=-, ,2224(ln 1)a x x =--,令22()44ln (0)g x x x x x =->，()4(12ln )g x x x =-'，所以g(x)在递增，)+∞递减，max ()2g x g e ==。
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江西省重点中学赣中南五校高三入学第一次联合考试数学试卷（理）数 学 科 试 题 部 分（满分150分，考试时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，{||1}B x x =<，则（ ）A.B. C.D.[1,2]2.设x R ∈,则“1x <”是“2x ≠”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 3.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3， 则正视图中的x 的值是（ ） A.2 B.92C.32D.34.设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中错误的是（ ） A.若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ B.若αβ⊥,m α⊄,m β⊥,则//m α C.若m β⊥,m α⊂,则αβ⊥ D.若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥5.将函数π()2tan 36x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式为（ ）A.π()2tan()134x g x =+-B.π()2tan()134x g x =-+C.π()2tan()1312x g x =-+D.π()2tan()1312x g x =--6.设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半 径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是 ( ) A.(0,2) B.[0,2] C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)7.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若675S S S >>,则满足01<+n n S S 的正整数n 的值为（ ）A.13B.12C.11D. 108.设函数()g x 是二次函数,2,||1(),||1x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩,若函数[()]f g x 的值域是[0,)+∞,则函数2{|20}A x x x =--<()A B =R (1,2)(1,2][1,2)（第3题图） 正视图 侧视图x()g x 的值域是( )A.(,1][1,)-∞-+∞B.[0,)+∞C.(,1][0,)-∞-+∞D.[1,)+∞9.若是一个集合，τ是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①属于τ，φ属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合上的一个拓扑．已知集合，对于下面给出的四个集合τ： ①； ②； ③； ④． 其中是集合上的拓扑的集合τ的序号是( )A.①B.②C.②③D.②④10.设函数2()2,()ln 3xf x e xg x x x =+-=+-,若实数,a b 满足()()0f a g b ==,则( ) A.()0()g a f b << B.()0()f b g a << C.0()()g a f b << D.()()0f b g a <<第Ⅱ卷 （非选择题共100分）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）11.已知函数则=_______________．12.若点M （y x ,）为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≥+-001012x y x y x 上的一个动点，则y x 2+的最大值是_______13.若数列{}n a 的前n 项和213n n S a =+,则4a =___________ 14.已知cos sin 6⎛⎫-+= ⎪⎝⎭παα，则7sin 6⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα .15.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________．16.已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的最大值是______ 17.函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为，则是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”______________三、解答题(本大题共5小题，满分72分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.已知函数2()sincos 333x x x f x =. X X X τX {}X a b c =，，{{}{}{}}a c a b c τ=∅，，，，，{{}{}{}{}}b c b c a b c τ=∅，，，，，，，{{}{}{}}a a b a c τ=∅，，，，，{{}{}{}{}}a c b c c a b c τ=∅，，，，，，，，X ,0,()ln ,0,x e xf x x x ⎧<=⎨>⎩1[()]f f e {}()min 2f x x =-{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩y m =()y f x =123,,x x x 123x x x ⋅⋅(Ⅰ)求该函数图象的对称轴；(Ⅱ)在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且满足2b ac =,求()f B 的取值范围.19.已知等差数列的各项均为正数，133,7a a ==，其前项和为，为等比数列,，且．(Ⅰ)求与； （Ⅱ）若对任意正整数和任意恒成立，求实数的取值范围．20.如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，E F ，分别是BC PC ，的中点． （Ⅰ）证明：AE PD ⊥；（Ⅱ）若2,2AB PA ==,求二面角E AF C --的余弦值．21.已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率23=e ，并且经过定点)213(，P .（Ⅰ）求椭圆E 的方程；{}n a n n S {}n b 12b =2232,b S =n a n b 2121111nx ax S S S +++≤++n x ∈R a PBECFA（Ⅱ）设,A B 为椭圆E 的左右顶点，P 为直线4=x l ：上的一动点(点P 不在x 轴上），连AP 交椭圆于C 点，连PB 并延长交椭圆于D 点，试问是否存在λ，使得BCD ACD S S ∆∆=λ成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.22.已知函数2()2||f x x x a =--.（Ⅰ）若函数()y f x =为偶函数，求a 的值； ，求函数()y f x =的单调递增区间； （Ⅲ）当0>a 时，若对任意的[0,)x ∈+∞，不等式(1)2()f x f x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.联考数 学(理）参考答案一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分．二、填空题：本大题共有7小题，每小题4分，共28分． 11．__1e __ 12．___1____ 13． _-8 14． ____35-____ 15．26 17． 1三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 解：(Ⅰ)23)332sin(2332cos 2332sin 21)32cos 1(2332sin 21)(++=++=++=πx xx x x x f由2sin()133x π+=±即231()(),33224x k k k z x k z ππππ+=+∈=+∈得 即对称轴为31(),24k x k z π=+∈……………………6分（Ⅱ）由已知b 2=a c2222221cos 2222125cos 1023333922sin()1sin()13333a c b a c ac ac ac B ac ac ac B B B B B ππππππ+-+--==≥=∴≤<∴<≤∴<+≤<+≤++≤+，，，，即()f B 的值域为]231,3(+.……………………14分19．解：（1）设{}n a 的公差为d ，且0;d >{}n b 的公比为q13223(1),2327(6)23222n n n a n d b q a d S b d q d q -∴=+-=∴=+==+⋅==⎧∴⎨=⎩ 21,2nn n a n b ∴=+=…………………7分（2） ，35(21)(2)n S n n n =++++=+∴，（10分）问题等价于的最小值大于或等于，即，即，解得。
…………………14分20. 解：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，60ABC∠=，可得ABC△为正三角形．因为E 为BC的中点，所以AE BC⊥．又BC AD∥，因此AE AD⊥．因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA AE⊥．而PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD且PA AD A=，所以AE⊥平面PAD．又PD⊂平面PAD，所以AE PD⊥．（7分）（Ⅱ）解法一：因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD．过E作EO AC⊥于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS AF⊥于S，连接ES，则ESO∠为二面角E AF C--的平面角，在Rt AOE△中，3sin30EO AE==，3cos302AO AE==，又F是PC的中点，在Rt ASO△中，32sin454SO AO==，又SE===，在Rt ESO△中，cos5SOESOSE∠===，121111111132435(2)nS S S n n+++=++++⨯⨯⨯+11111111(1)2324352n n=-+-+-++-+1111(1)2212n n=+--++323342(1)(2)4nn n+=-<++2()1f x x ax=++3423144a-≥21a≤11a-≤≤PBE CFAOS即所求二面角的余弦值为5． （14分） 解法二：由（Ⅰ）知AE AD AP ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E F ，分别为BC PC ，的中点，所以(000)10)0)(020)A B C D -，，，，，，，，，，1(002)0)12P E F ⎫⎪⎪⎝⎭，，，，，，，， 所以31(300)122AE AF ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，． 设平面AEF 的一法向量为111()x y z =，，m ，则00AE AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，m m 因此111101022x y z =++=⎩，． 取11z =-，则(021)=-，，m ， 因为BD AC ⊥，BD PA ⊥，PA AC A=，所以BD ⊥平面AFC ， 故BD 为平面AFC 的一法向量．又(0)BD =-，，所以cos 5BD BD BD<>===，m m m因为二面角E AF C --为锐角，所以所求二面角的余弦值为5．21．解：（Ⅰ）由题意：2c e a ==且22311a b+=，又222c a b =- 解得：224,1a b ==，即：椭圆E 的方程为2214x y += （1）……………5分 （Ⅱ）存在，3λ=。