9 最大公因数

9 最大公因数

学习目标：

1.掌握用列举法、分解质因数法、短除法求最大公因数，尤其是熟练运用短除法；

2.利用公因数的知识解决应用题时，要认真分析题意，确定是不是用公因数的知识来解答；

3.培养学生深入理解题意的能力。

教学重点:

1.熟练运用短除法求最大公因数；

2.理解整除的概念，利用公因数知识解决应用题。

教学难点：

培养学生对应用题的深入理解和分析能力

教学过程：

一、情景体验

师：（展示图片）最近王叔叔家买了新房子，正忙着该如何装修，朋朋也帮着王叔叔一起设计。在给客厅铺地砖时，他们先量了客厅的大小。王叔叔量得客厅地面长是4.8米，朋朋量得地面宽是3.6米。现在知道市场上地砖的规格有20×20、30×30、40×40、50×50、60×60、80×80、100×100（单位：厘米×厘米）这7种。同学们，你们知道这些地砖的规格是指什么意思吗？

生：这些规格指每块地砖是边长为多少的正方形，比如说20×20表示边长为20 厘米的正方形。

师：看来同学们的生活经历很丰富啊！王叔叔也想考考朋朋，他说：“铺什么样的地砖，可以使整个客厅内全部是整块砖，并且地砖要尽可能大，这样看起来更美观一些呢？”

师：同学们，你们能帮朋朋解决这个问题吗？应该选用哪一种规格的地砖呢？学习完今天这节课的内容，老师相信你们一定做出正确的选择。接下来，我们就开始今天的学习之旅吧！（板书课题：最大公因数）

二、思维探索（建立知识模型）

展示例1

例1：求下列两组数的最大公因数。

(1)84和24 (2)12、15和18

师：哪位同学能告诉我，求最大公因数有哪些方法呢？

生：列举法（或者分解质因数法、短除法。）

师：首先我们来看列举法。什么是列举法呢？

列举法就是分别列出各数的因数，然后找出它们公有的因数，即公因数，公因数最大的就是它们的最大公因数。

师：同学们自己在草稿纸上列出84和24各自的因数分别是哪些数。

生：84的因数有：1，2，3，4，6，7，12，14，21，28，42，84；

24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24。

师：好，那么84和24的公因数是哪些数？

生：1，2，3，4，6，12。

师：所以84和24的最大公因数就是多少？

生：12。

师：用同样的方法，你能求出12、15和18的最大公因数吗？动手试一试吧！（让学生自己动手找出12、15和18的最大公因数是3）

师：刚才我们是用的列举法求最大公因数，大家觉得这个方法好不好？

生：不好，比较麻烦，容易写掉因数等等。

师：现在我们来看看分解质因数法。什么是分解质因数呢？

生：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。分解质因数的时候常常用到短除法。

师：回答得很对。请同学们将84和24分别分解质因数。

生：84 = 2×2×3×7，24 = 2×2×2×3

师：我们要找84和24的最大公因数，实际上就是找出它们公有的质因数做乘法。公有的质因数是哪些呢？

生：2、2、3。

师：因此，84和24的最大公因数就是2×2×3=12，对吗？

师：用同样的方法，你能求出12、15和18的最大公因数吗？动手试一试吧！

（让学生自己动手算出12、15和18的最大公因数是3）

师：刚才我们用到的两种方法都是将84和24单独分开考虑的，同学们有没有其他方法可以不把它们分开考虑呢？

生：有，可以用短除法。

师：（讲解具体的解题步骤，然后总结）用短除法求最大公因数，首先用两个数公有的质因数去除，直到除到商为互质数为止，然后再将每一步的除数相乘。

师：用同样的方法，你能求出12、15和18的最大公因数吗？动手试一试吧！（让学生自己动手算出12、15和18的最大公因数是3）

师小结：

求最大公因数的方法：（1）列举法；（2）分解质因数法；（3）短除法。

展示例2

例2：万圣节当天，金博士班来了若干个学生。于是金博士拿来36块水果糖和45块巧克力平均分发给学生，恰好发完，你知道这个班今天最多来了多少名学生吗？

师：读完题后，你能从题目中获得哪些信息？

师：根据条件“36块水果糖和45块巧克力平均分发给学生，恰好发完”，说明了什么？

生：说明36和45都能被学生人数整除。

师：因此可以确定学生人数应该是36和45的公因数，对不对？

生：对。

师：根据问题“最多来了多少名学生”，我们可以确定什么？

生：可以确定这个公因数应该是最大的。

师：因此这道题实际上是求36和45的最大公因数，对吗？怎么求？

生：用短除法。（学生计算）

师：你们求出的最大公因数是多少？

生：(36，45)=9 ，这个班今天最多来了9名学生。

师小结：在利用公因数的知识解决应用题时，要认真分析题意，首先确定是不是用公因数的知识来解答。

三、思维拓展（知识模型的运用）

展示例3

例3：有三根铁丝，长度分别是12厘米、18厘米和24厘米。现在要把它们截成相等长度的小段，每根都不许有剩余，每小段最长是多少厘米？一共可以截成多少段？

师：读完题后，你能从题目中获得哪些信息？

师：根据条件“要把它们截成相等长度的小段，每根都不许有剩余”，说明了什么？

生：说明12、18和24都能被每段长度数整除。

师：因此可以确定每段长度数应该是12、18和24的公因数，对不对？

生：对。

师：根据问题“每小段最长是多少厘米”，我们可以确定什么？

生：可以确定这个公因数应该是最大的。

师：因此这道题实际上是求12、18和24的最大公因数，对吗？怎么求？

生：用短除法。（学生计算）

师：你们求出的最大公因数是多少？

生：(12，18，24)=6 ，每小段最长是6厘米。

师：一共可以截成多少段呢？

生：根据短除法，得到2+3+4=9（段）

或者是12÷6+18÷6+24÷6=9（段）或（12+18+24）÷6=9（段）

展示例4

例4：一张长方形纸长112厘米，宽80厘米，把它剪成若干个同样大的正方形，使边长是整厘米数且不许有剩余，至少能剪多少个？