专题二项式定理的应用20101102
二项式定理的推导与应用
二项式定理的推导与应用一、二项式定理的推导二项式定理是代数学中重要的公式之一，利用它可以展开二项式的幂。
下面我将为你推导二项式定理。
假设有一个二项式(a + b)^n，我们可以展开这个二项式，得到以下形式的表达式：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) *a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, k)表示从n个不同元素中选取k个元素的组合数，也称为二项系数。
接下来，我们来证明上述表达式。
首先，考虑 (a + b)^n 中的第一项 C(n, 0) * a^n * b^0。
根据组合数的定义，C(n, 0) 表示从n个不同元素中选取0个元素，即只有一种可能，即空集。
而根据乘法法则，a^n * b^0 等于 a^n。
因此，第一项可以简化为 a^n。
然后，我们考虑 (a + b)^n 中的第二项 C(n, 1) * a^(n-1) * b^1。
根据组合数的定义，C(n, 1) 表示从n个不同元素中选取1个元素，即有n种可能性。
根据乘法法则，a^(n-1) * b^1 等于 a^(n-1) * b。
因此，第二项可以简化为 n * a^(n-1) * b。
依次类推，我们可以得到每一项的简化形式。
综上所述，(a + b)^n 可以展开为：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) *a^(n-2) * b^2 + ... + C(n, n) * a^0 * b^n这就是二项式定理的推导过程。
二、二项式定理的应用二项式定理在数学中有广泛的应用，以下是其中几个常见的应用领域。
1. 组合数学二项式定理中的二项系数 C(n, k) 在组合数学中有很重要的地位。
它表示从n个不同元素中选取k个元素的组合数。
二项式定理应用.ppt
C
r n
C
0 n
C
1 n
C
2 n
…
C
r n
…
C
n n
可看成是集合｛0，1，…，n｝到二项式系数的集合的映射。
二项式系数与函数
从映射、函数的观点看，二项式系数可 以看作是一个定义域为 {0，1，2，…，n} 的函数当自变量从小到大依次取值时对 应的一列函数值。
y = f (x)
函数值
C
r n
自变量
r
即：r是自变量，二项式系数是函数值，
组合数公式就是相应函数的解析式。
①当n=6时，二项式系数
C
r
6（0≤r≤6）用图象表示：
1：对称性
f(r)
①与首末两端“等距离” 20
的两个二项式系数相等
7 个
孤
②关于r= 3对称
14
立
2：增减性与最大值
的 点
①先增后减
6
②r=3时取得最大值
O
36
r
f（r）
20
C C C 所以
=
k-1 n
•
n–k+1 k
k n
相对于
k-1 n
的增减情况由
n
–
k k
+
1
决定
由于
n
–
k k
+
1
>
1
k<
n+1 2
因而
当 k n + 1 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的 后半部是2逐渐减小的，且在中间取得最大值。
n
C 当n是偶数时，中间的一项 2 取得最大时 ；
二项式定理的应用与实例解析
二项式定理的应用与实例解析二项式定理是代数学中的重要概念之一，它在数学推理和实际问题求解中具有广泛的应用。
本文将介绍二项式定理的概念及其应用，并通过具体的实例进行解析，以帮助读者更好地理解和应用该定理。
一、二项式定理的概念二项式定理是指对于任意非负整数n和实数a、b，有以下的公式：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n, k)表示组合数，表示从n个元素中选取k个元素的组合数，计算公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)二、二项式定理的应用1. 概率计算二项式定理在概率计算中起到了重要作用。
例如，设有一枚正反面均匀的硬币，进行n次独立的抛掷，求正面出现k次的概率。
根据二项式定理，可以得到概率公式：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，p表示正面出现的概率。
2. 组合数学二项式定理在组合数学中应用广泛，可以用于求解组合数、排列数等问题。
例如，求集合中元素的子集个数，可以通过二项式定理计算：对于一个集合，它的子集个数为2^n个，其中n表示集合中元素的个数。
3. 计算多项式展开式系数二项式定理可以用于计算多项式展开式中各项的系数。
例如，对于多项式(a + b)^n，可以通过二项式定理的应用，直接得到展开式中各项的系数。
这对于计算多项式的展开式提供了效率和便利。
三、应用实例解析1. 概率计算实例假设有一枚硬币，进行10次独立抛掷，求正面出现2次的概率。
根据二项式定理的应用，可以得到：P(X = 2) = C(10, 2) * 0.5^2 * 0.5^8 = 45 * 0.25 * 0.00390625 = 0.04395因此，正面出现2次的概率约为0.044。
二项式定理和其应用
• (3)各二项式系数旳和
• (a＋b)n旳展开式旳各个二项式系数旳和等于2n， 即Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnr＋…＋Cnn＝2n.
• (4)二项展开式中，偶数项中旳二项式系数旳和 等于奇数项旳二项式系数旳和，即Cn1＋Cn3＋ Cn5＋…＝Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝2n－1.
考点陪练
1.1＋x25 的展开式中 x2 的系数为(
• 答案：B
• 3．若对于任意旳实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋ a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2旳值为( )
• A．3
B．6
• C．9
D．12
• 解析：因为x3＝[2＋(x－2)]3，由题意得a2就是 二项式[2＋(x－2)]3(把x－2看成一种整体应用二 项式定理展开)旳展开式中第3项旳系数，所以
• ∴被100除旳余数为81，即9192除以100旳余数 为81.
• 解法二：∵9192＝(90＋1)92
• ＝C 92 0·909 2＋C 92 1·9091 ＋…＋C92 90 ·902＋ C9291·90＋1
• 因为前面各项均能被100整除，只有末尾两项不 能被100整除，因为C9291·90＋1＝8281＝8200 ＋81
【典例 2】 已知( 3 x＋x2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x
－1)n 的展开式的二项式系数和大 992，求2x－1x2n 的展开式中． (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．
• [解析] 根据二项式系数旳性质，列方程求解n. 系数绝对值最大问题需要列不等式组求解．
• 由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31) ＝0，
)
A．10
B．5
5 C.2
二项式定理的应用
二项式定理的应用1.利用赋值法进行求有关系数和。
二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a，b，该等式都成立。
利用赋值法（即通过对a、b取不同的特殊值）可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况。
设(1)令x=0，则(2)令x=1，则(3)令x=－1，则(4)(5)2.证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去(缩小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。
①；②；（）如：求证：1. 若，则_________．（用数字作答）【解析】令，则，，即．2.求证：对任何非负整数n，33n－26n－1可被676整除。
【思路点拨】注意到262=676，33n=27n=(26+1)n，用二项展开式去证明．当n=0时，原式=0，可被676整除．当n=1时，原式=0，也可被676整除．当n≥2时，原式．每一项都含262这个因数，故可被262=676整除综上所述，对一切非负整数n，33n－26n－1可被676整除．【总结升华】证明的关键在于将被除式进行恰当的变形，使其能写成二项式的形式，展开后的每一项中都会有除式这个因式，就可证得整除或求出余数．3.求证：3n＞(n+2)·2n－1（n∈N+，且n＞2）．【思路点拨】利用二项式定理3n=(2+1)n展开证明．【解析】因为n∈N+，且n＞2，所以3n=(2+1)n展开至少有四项．，所以3n＞(n+2)·2n－1．概率要点一、随机变量和离散型随机变量1. “随机试验”的概念一般地，一个试验如果满足下列条件：a．试验可以在相同的情形下重复进行．b．试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个．c．每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．2．随机变量的定义一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．要点诠释：（1）所谓随机变量，即是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应关系是人为建立起来的，但又是客观存在的。
二项式定理及应用PPT教学课件
3、（x2 - 1 ）9展开式中x9的系数是 _________（03年 2x
全国高考）
例1(x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)
(A)x5 (C)x5+1
(B)x5-1 (D)(x-1)5-1
（1） a1+a2+a3+ a4 + a5的值 （2） a1+a3+ a5的值 （3） |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值
评注：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法解决
练习：
若(2 x 3 )4 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 a4 x4 ,则 (a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 ______ (99年全国)
作业: 指导与学习P74-75
T1-10
重庆遇罕见蝗灾
2001年夏，重庆壁山县古老城遭受了 罕见的蝗虫灾害，铺天盖地的蝗虫像 收割机一样把当地近千亩的农作物和 果树林吞食得面目全非，眼看数年心 血就要化为泡影。
重 庆 遇 罕 见 蝗 灾
请你帮助
古老城人可以怎样消灭 蝗虫，控制蝗灾？
古老城紧急呼救
1、已知
x
2 x
n
展开式中第五项的系数与
第三项的系数比是10 : 1，求展开式中含x的项
2、如果： 1＋2C
1 n
22 Cn2 L
2n
C
n n
2187
求：Cn1 L Cnr L Cnn 的值
小结 二项式定理体现了二项式展开式的指 数、项数、二项式系数等方面的内在联系。 涉及到二项展开式中的项和系数的综合问 题，只需运用通项公式和二项式系数的性 质对条件进行逐个击破，对于与组合数有 关的和的问题，赋值法是常用且重要的方 法，同时注意二项式定理的逆用
二项式定理的应用及其解决策略
二项式定理的应用及其解决策略
二项式问题是历年高考必定考查的内容之一，这部分题目的难度不大，但需要一定的技巧和和求解策略，才能快速求解。
本类题目首先需要明确研究的对象，即明确所要研究的是二项式系数还是二项式展开式中某项的系数，从方法上来讲，主要为公式法、性质法和分析法等。
下面就通过二项式定理中经常出现的问题谈一谈这类题目的解法。
一求特殊项或其系数
此类问题的求解关键在于求出的值，也可以说是求出指定项是第几项。
二近似计算问题
解决此类问题要注意题目要结果精确到什么或保留几位有效数字，以便考虑最后一项的取舍，一般要四舍五入。
求数的n次幂的近似值时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数(或减一个小数)的形式。
三整除与求余问题
此类题目往往考虑用数学归纳法证明，但是步骤较为繁琐，而用二项式定理证明则显得更为简捷。
四证明有关的不等式问题
有些不等式可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去（缩小），或把某些负项删去（放大），使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。
五
利用赋值法求各项系数的和的问题
策划：吉林刘彦永编辑：安徽刘志勇。
二项式定理的应用二项式定理在数学证明中的应用
二项式定理的应用二项式定理在数学证明中的应用二项式定理是数学中非常重要的一个定理，它在数学证明中有着广泛的应用。
本文将介绍二项式定理的概念以及它在数学证明中的应用。
二项式定理是指形如(x + y)^n的二项式展开式。
这个展开式可以写为：(x + y)^n = C(n,0) * x^n * y^0 + C(n,1) * x^(n-1) * y^1 + ... + C(n,n-1)* x^1 * y^(n-1) + C(n,n) * x^0 * y^n其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选择k个元素的组合数。
对于组合数的计算，我们可以利用二项式系数的递推关系来进行求解。
在数学证明中，二项式定理有着广泛的应用。
首先，它可以用来证明数学中的恒等式。
例如，我们可以利用二项式定理证明等式(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2在证明过程中，我们可以直接利用二项式定理将(x + y)^2展开，并与等式右侧进行比较，从而得到等式的证明。
其次，二项式定理还可以用来证明数列的通项公式。
例如，我们可以利用二项式定理证明斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列是一个非常经典的数列，它的通项公式为F(n) = (1/sqrt(5)) * [((1 + sqrt(5))/2)^n - ((1 - sqrt(5))/2)^n]其中，n表示斐波那契数列的序号。
通过利用二项式定理将((1 +sqrt(5))/2)^n和((1 - sqrt(5))/2)^n展开，我们可以推导出上述的通项公式。
此外，二项式定理还可以应用于排列组合问题的求解。
例如，在某个集合中，有n个元素，我们要从中选出k个元素进行排列，可以利用二项式定理求解共有多少种不同的排列方式。
综上所述，二项式定理在数学证明中的应用非常丰富。
它不仅可以用来证明恒等式和数列的通项公式，还可以用于排列组合问题的求解。
通过灵活运用二项式定理，我们可以更好地理解数学中的各种问题并进行证明。
专题10.3 二项式定理及其应用(原卷版)
10.3 二项式定理及其应用思维导图知识点总结1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝________________________________________ (n∈N*)；(2)通项：T k＋1＝__________，它表示第________________项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2．二项式系数的性质(1)对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数_____.这一性质可直接由C m n＝C n－mn得到．直线r＝n2将函数ƒ(r)＝C r n的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴．(2)增减性与最大值因为C k n＝n(n－1)…(n－k＋2)(n－k＋1)(k－1)！k＝C k －1n n －k ＋1k ，即C k n C k －1n＝n －k ＋1k ，所以，当n －k ＋1k >1，即k <n ＋12时，C k n 随k 的增加而增大；由对称性知，当k >n ＋12时，C k n 随k 的增加而减小．当n 是偶数时，中间的一项_____取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项__________与_____相等，且同时取得最大值．3．各二项式系数和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝ _____；(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝_____；(3)C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝_____.1．注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题．2．解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同．3．(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋…＋C k n x k ＋…＋C n n x n .典型例题分析考向一 求展开式中的特定项或特定项系数【例1】 (1)(2022·上海奉贤区二模)已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10(2)(2022·新高考Ⅰ卷)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y x (x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________(用数字作答)．【变式】(2019·浙江高考)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________.1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路(1)利用通项公式将T k ＋1项写出并化简．(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k .(3)代回通项公式得所求．2.对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．考向二 二项展开式中系数的和【例2】 若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x n 的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为( )A ．－1B ．1C ．27D ．－27赋值法的应用(1)对形如(ax ＋b )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1.(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1.(3)一般地，对于多项式(a ＋bx )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，令g (x )＝(a ＋bx )n ，则(a ＋bx )n的展开式中各项的系数和为g (1)，(a ＋bx )n 的展开式中奇数项的系数和为12[g (1)＋g (－1)]，(a ＋bx )n的展开式中偶数项的系数和为12[g (1)－g (－1)]．【变式】(多选)若(1－2x )2022＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 2022x 2022(x ∈R )，则( )A ．a 0＝1B ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2021＝32021＋12C ．a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2022＝32022＋12D.a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202222022＝－1考向三 二项式系数的最值问题【例3】二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为( )A ．3B ．5C ．6D ．7求二项式系数最大的项(1)如果n 是偶数，那么中间一项⎝ ⎛⎭⎪⎫第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2＋1项的二项式系数最大． (2)如果n 是奇数，那么中间两项⎝⎛⎭⎪⎫第n ＋12项与第⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．【变式】设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8考向四 项的系数的最值问题【例4】 (1)若(1＋2x )6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫112，15 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫16，15 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫112，23 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫16，25【变式1】(2021·上海高考)已知(1＋x )n 的展开式中，唯有x 3的系数最大，则(1＋x )n 的系数和为________.求展开式中系数最大的项如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎨⎧A k ≥A k －1，A k≥A k ＋1，从而解出k 来． 【变式2】已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992，则在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n 的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项为________.考向五二项式定理的应用【例5】设a∈Z，且0≤a<13，若512022＋a能被13整除，则a＝()A．0 B．1C．11 D．12【变式】0.9910的第一位小数为n1，第二位小数为n2，第三位小数为n3，则n1，n2，n3分别为()A．9,0,4 B．9,4,0C．9,2,0 D．9,0,2二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.【变式】9.1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010除以88的余数是()A．－1 B．1C．－87 D．87基础题型训练一、单选题1．设()()()()29229012291111x a a x a x a x -=+++++++，()0,1,2,,29i a i =是常数，则1229a a a +++的值是（ ）A ．2912-B ．2921-C ．1D ．0 2．()()12n x n *+∈N 的展开式中第6项与第7项的二项式系数相等，则n 为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 3．(21)(2)(3)(4)(5)x x x x x -⋅-⋅-⋅-⋅-的展开式中，含4x 项的系数是（ ） A ．28-B ．28C ．29D ．29- 4．()()()234111x x x +++++的展开式中，含2x 项的系数是（ ）A ．1B ．3C ．6D ．10 5．如果7270127(12)x a a x a x a x -=++++，那么017a a a +++的值等于 A ．－1B ．－2C ．0D ．2A ．5B ．6C ．7D ．8二、多选题7．()1n x +展开式中二项式系数最大的是5C n ，则n 可以是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11三、填空题四、解答题提升题型训练一、单选题1．已知()5x a +展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则2x 项系数为（ ）4．23(+1)(2)x x x --的展开式中，含5x 项的系数为A ．-6B ．-12C ．-18D ．18A ．448B ．448-C ．672D ．672- 6．已知()122120121212x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则2412a a a ⋅⋅+⋅++= （ ）二、多选题A ．二项式系数之和为64B ．各项系数之和为1C ．展开式中二项式系数最大的项是第4项D ．展开式中第5项为常数项8．已知8280128(2)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则（ ） 81a ++= 83a ++=三、填空题 展开式中2x 的系数为9⎫⎪的展开式中的常数项为四、解答题、、2,,1)n +，求和n n a a +++。
二项式定理及二项式系数的性质应用
累加性质
01
二项式系数满足累加性质，即对 于任意非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n-1$），有$C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$。
02
这一性质表明，在二项式展开 式中，相邻两项的二项式系数 之和等于下一项的二项式系数 。
03
通过累加性质，可以推导出二 项式系数的其他性质，如求和 公式等。
二项式系数与通项公式
二项式系数是指$(a+b)^n$展开后各项的系数，记作$C_n^k$，表示从$n$个不同元素中取出$k$个元素 的组合数。
二项式系数的通项公式为$C_n^k=frac{n!}{k!(n-k)!}$，其中$n!$表示$n$的阶乘。
二项式定理展开方法
二项式定理的展开方法是通过组合数公式和乘法分配律逐步推导出来的。
02
在组合数学中，多项式定理可用 于推导组合恒等式和求解组合问
题。
在物理学和工程学中，多项式定 理可用于描述多维空间中的物理 量和场分布。
03
在计算机科学中，多项式定理可 用于设计和分析算法的时间复杂
度和空间复杂度。
04
05 思考题与练习题选讲
思考题选讲
题目1
证明二项式定理对任意正整数$n$都成立。
对于$(a+b)^n$，可以先将其表示成$(a+b)(a+b)cdots(a+b)$的形式， 然后按照乘法分配律进行展开。
在展开过程中，每一项都是$a$和$b$的乘积，且$a$和$b$的指数之和为 $n$。根据组合数公式，可以计算出每一项的系数。
02 二项式系数性质
对称性
二项式系数具有对称性，即对于任意 非负整数$n$和$k$（$0 leq k leq n$），有$C_n^k = C_n^{n-k}$。
二项式定理的应用
和的性质
对于任意非负整数$n$，有 $sum_{k=0}^n C_n^k = 2^n$。
组合数与二项式系数关系
01
组合数$C_n^k$与二项式系数的关系为：在$(a+b)^n$的展 开式中，第$k+1$项的系数即为$C_n^k$。
计算事件的组合数
通过二项式定理的展开式，可以求出 不同事件发生次数的组合数，进而计 算相应事件的概率。
期望和方差计算中运用二项式定理
计算期望值
在概率统计中，期望值是一个重要的概念。利用二项式定理，可以方便地计算二项分布的期望值。
计算方差
方差用于描述数据的离散程度。通过二项式定理，可以推导出二项分布的方差计算公式。
迭代法求解中运用二项式定理
利用二项式定理加速迭代过程
在迭代法中，通过不断逼近解的方式来求解问题。利用二项 式定理，可以构造出具有更快收敛速度的迭代格式，从而提 高迭代法的求解效率。
迭代法的稳定性与二项式定理
迭代法的稳定性是指迭代过程中误差的传播情况。二项式定 理可以帮助分析迭代法的稳定性，并提供改进稳定性的方法 。
鸽巢原理与二项式定理关系探讨
鸽巢原理的表述
如果n个鸽子要放进m个鸽巢，且n > m，则至少有一个鸽 巢里至少有2只鸽子。这个原理可以通过二项式定理进行证 明。
利用二项式定理证明鸽巢原理
通过构造一个二项式(1+1)^n，并将其展开，可以得到一 个包含n+1项的表达式。由于每一项都对应一个鸽巢的状 态（有鸽子或无鸽子），因此当n > m时，至少有一个鸽 巢对应的状态被多次计算，即至少有一个鸽巢里至少有2只 鸽子。
§11.2 二项式定理
续表
性质
内容
各二项 式系数
的和
（ ａ＋ｂ） ｎ
的展开式的各个二项式系数的和等于
２ｎ ，即
Ｃ
０ ｎ
＋
Ｃ１ｎ
＋
Ｃ
２ ｎ
＋…＋Ｃ
ｋ ｎ
＋
…
＋Ｃ
ｎ ｎ
＝
２ｎ
．
二项展开式
中，偶数
项
的
二项式
系
数
的和等于奇数项的二项式系数的和，即
Ｃ
１ ｎ
＋ Ｃ３ｎ
＋ Ｃ５ｎ
＋…
＝
Ｃ０ｎ
＋
Ｃ
２ ｎ
＋Ｃ４ｎ
＋
…
＝
２
ｎ－１
１．二项式的项数与项
为 ． （３） （２０１８ 四川成都石室中学 ４ 月月考，１４） 设（ １－ａｘ） ２ ０１８ ＝
ａ０ ＋ａ１ ｘ ＋ ａ２ ｘ２ ＋ … ＋ ａ２ ０１８ ｘ２ ０１８ ， 若 ａ１ ＋ ２ａ２ ＋ ３ａ３ ＋ … ＋ ２ ０１８ａ２ ０１８ ＝ ２ ０１８ａ（ ａ≠０） ，则实数 ａ ＝ ．
解题导引
（ １ ） （ ａ＋２ｂ－３ｃ） ４ ＝ （ ａ＋２ｂ－３ｃ） ·…·（ ａ＋２ｂ－３ｃ）
→
４项连乘
结合分步乘法计数原理：Ｃ１４
·ａ·Ｃ
１ ３
·（
２ｂ）
·Ｃ２２
·（
－
３ｃ）
２
→ 化简得结果
（２）
( ) １－ １ ｘ
６
的通项 Ｔｒ＋１ ＝ （ －１） ｒ ·Ｃ６ｒ ·ｘ－ｒ
→
分类：２ｘ·（ －１） １ ·Ｃ１６ ·（ ｘ） －１ ＝ －１２， １·（ －１） ０ ·Ｃ０６ ·ｘ－０ ＝ １
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1. 已知二项式，探求二项展开式中的特殊项 已知二项式，探求二项展开式中的特殊项.
练习
1 x+ 若 24 x
展开式中前三项系数成 等差数列, 求 :
n
(1) 展开式中含 的一次幂的项 展开式中含x的一次幂的项 的一次幂的项; (2) 展开式中所有含 的有理项 展开式中所有含x的有理项 的有理项; (3) 展开式中系数最大的项 展开式中系数最大的项.
1. 已知二项式，探求二项展开式中的特殊项 已知二项式，探求二项展开式中的特殊项.
在(1 + x ) + (1 + x) + (1 + x ) + ⋯ + (1 + x)
3 4 5
[练习] 练习]
n+ 2
展
开式中, 含x 的项的系数是多少？
2
解1∵ (1 + x)3 + (1 + x) 4 + ⋯ (1 + x) n + 2 (1 + x)3 − (1 + x) n +3 = −x
(1 + x)3 [1 − (1 + x) n ] = 1 − (1 + x)
3 3 C3 − Cn +3 2 3 3 ∴ x 项的系数为 : = Cn +3 − C3 −1 (n + 3)(n + 2)(n+1)-6 n3 + 6n 2 + 11n n(n 2 + 6n + 11) = = = 6 6 6
5 5 4 3 2 5
5
1 1 由x + 的对称性知 , 只有在 x + 的偶次幂中, 某展开式才会出现 x x 常数项且是各自的中间 项,
2 1 ∴ 常数项为 − 5C 4 − 10 C 2 − 1 = −51 .
2. 已知三项式，求展开式中某一项或某一项的系数 已知三项式，求展开式中某一项或某一项的系数. 5 1 . [例3] 求 x + − 1 展开式的常数项 x 5 1 (解法三)(组合方法) x + − 1 是5个相同因式之积, 要展开式中 x
2. 已知三项式，求展开式中某一项或某一项的系数 已知三项式，求展开式中某一项或某一项的系数.
1 [例3] 求 x + − 1 展开式的常数项 . x
1 (解法二)由于本题只有 5次, 也可以直接展开 x + − 1 , 即 x 1 1 1 1 1 1 x + − 1 = x + − 5 x + + 10 x + − 10 x + + 5 x + − 1. x x x x x x
T5 = (−1)
4
4 C10 x10−6
= 210x
4
6 T7 = (−1) 6 C10 x10−9 = 210x
点评：利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数， 点评：利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数，实际上就 是对二项展开式的通项公式的考查，此类问题是高考考查的重点． 是对二项展开式的通项公式的考查，此类问题是高考考查的重点．
1 变式:求 x + − 2 展开式的常数项. x
2. 已知三项式，求展开式中某一项或某一项的系数 已知三项式，求展开式中某一项或某一项的系数.
求(1 + x + x )(1 − x) 展开式中的x 的系数
2 10 4
解1∵ (1 + x + x 2 )(1 − x )10 = (1 − x 3 )(1 − x )9
3 r r
9
ห้องสมุดไป่ตู้
(4) 由(*)式, 令18 − 3r = 0, r = 6, 即第7项为常数项 , 21 1 6 21 T7 = − C9 = , 常数项为 . 16 16 2
6
1. 已知二项式，探求二项展开式中的特殊项 已知二项式，探求二项展开式中的特殊项.
[例2]
1 二项式 x − 的展开式, 系数最大的项为 _____ . x r 3
=⋯
3 = Cn + 3 − 1
n( n 2 + 6n + 11) = 6
1. 已知二项式，探求二项展开式中的特殊项 已知二项式，探求二项展开式中的特殊项.
1 若 x + 4 展开式中前三 2 x 项系数成等差数列, 求 :
练习
n
(1) 展开式中含 的一次幂的项 展开式中含x的一次幂的项 的一次幂的项; (2) 展开式中所有含 的有理项 展开式中所有含x的有理项 的有理项; (3) 展开式中系数最大的项 展开式中系数最大的项.
( 2) 令 4 − 3 r ∈ Z(且0 ≤ r ≤ 8), 4 35 1 ∴ r = 0,4,8, 即有理项为 T1 = x , T5 = x, T9 = . 2 8 256 x
4
(3)记第Tr +1项系数为 t r +1 , 设第t k +1最大, 则有t k +1 ≥ t ( k +1) +1 , 且t k +1 ≥ t ( k −1) +1
5 2 4 C9 ( x ) −
1 63 3 63 3 = − x , 即第6项为 − x . 16 16 2x
2
5
1 14 1 (2) T3 = = 36 ⋅ x 2 2x 4x 故第3项的系数为9.
2 2 7 C9 ( x ) −
= 9 x12 ,
1. 已知二项式，探求二项展开式中的特殊项 已知二项式，探求二项展开式中的特殊项.
2 1 [例1] 在 x − 的展开式中, 求 : 2x (1) 第6项; (2) 第3项的系数 (3) 含x9的项 (4) 常数项 项的系数; 的项; 常数项. 项 项的系数
1 1 r r (3) 设第r + 1项含x 9项, 则Tr +1 = C9 ( x 2 ) 9 − r − = − C9 x18−3r (*) 2x 2 21 9 1 3 9 9 令18 − 3r = 9, 则r = 3,即第4项含x . T 4 = − C9 x = − x . 2 2
出现常数项有三类情况 : 1 1 2 2 2 (1)两个因式取x另两个取 , 一个取常数 − 1,即C5 ⋅ x ⋅ C3 ⋅ 2 (−1); x x 1 1 1 1 3 (2)一个取x, 另一个取 , 其余取 − 1, 即C5 ⋅ C4 (−1) ⋅ x ⋅ ; x x 1 1 (3)都取 − 1, 故常数项为 − C52 ⋅ C32 − C5C4 − 1 = −51. 评注] 要求三项式n次幂的展开式中的特定项 一般通过结合律, 次幂的展开式中的特定项, [评注] 要求三项式 次幂的展开式中的特定项 一般通过结合律 借助于二项式定理的通项求解. 如解法一, 当幂指数较小时, 可以直 借助于二项式定理的通项求解 如解法一 当幂指数较小时 接写出展开的全部或局部, 如解法二. 接写出展开的全部或局部 如解法二 二项式定理是用组合方法推出 因而解法三也不失为一种好方法. 的, 因而解法三也不失为一种好方法 5
k k C8 ⋅ 2 − k ≥ C8 +1 ⋅ 2 − k −1 于是 ⇒2≤k ≤3 k −k k −1 − k +1 C8 ⋅ 2 ≥ C8 ⋅ 2
∴ 系数最大项为第 3项和第4项, 分别是 T3 =
2 7 x 5 , T4
=
7 7x 4 .
已知三项式，求展开式中某一项或某一项的系数. 2. 已知三项式，求展开式中某一项或某一项的系数. [例3]
[解析] 解析]
1 1 1 (1) 由条件C + C ⋅ 2 = 2Cn ⋅ , 得n = 8. 2 2 3 4− r 1 r Tr +1 = C8r ( x )8− r ⋅ ( 4 ) = C8r ⋅ 2 − r ⋅ x 4 , 2⋅ x
0 n 2 n
3 令4 − r = 1, 得r = 4. 4 ∴ x的一次项为Tr +1 = C84 2 − 4 x = 35 x. 8
r C10 x10− r 10− r 1 r r = (−1) C10 x 2 ⋅− x
10
[解析] Tr +1 = 解析]
r 此项系数为 (−1) r C10 , 故每项系数的绝对值与 对应的二项式
系数相等 ,由二项式系数性质 , 展开式中中间一项即第 六项的二
5 5 项式系数最大为 C10 , 但第6项系数为 − C10 , 显然不是最大的 .又因 4 6 第5项和第7项的系数相等且为 C10 = C10 , 再由二项式系数的增减 4 性规律可知 C10即为最大项 .因此, 系数最大的项为第 5项和第7项.
专题:二项式定理的应用 专题 二项式定理的应用
[考点搜索] 考点搜索]
1. 已知二项式，探求二项展开式中 已知二项式， 的特殊项. 的特殊项 2. 已知三项式，求展开式中某一项 已知三项式， 或某一项的系数. 或某一项的系数 3. 求展开式中某些项的系数和与差 求展开式中某些项的系数和与差. 4. 二项展开式定理和二项展开式的 性质的综合应用. 性质的综合应用
1 . 求 x + − 1 展开式的常数项 x
5
2. 已知三项式，求展开式中某一项或某一项的系数 已知三项式，求展开式中某一项或某一项的系数.
[例3]
1 1 解析] [解析] 法一 : ∵ x + − 1 = x + − 1 , x x ∴ 它的展开式通项为 Tr +1 =