多元函数极值

多元函数极值

课时教学计划表 (基础部:邓敏英) 授课日期: 教案编号:第七章 06

课程名称班级专业、层次高等数学 2010级机电2班大专

理论课型:

讲授教学方式:

多媒体教学资源

7.7多元函数的极值(第七章第七节) 授课题目(章、节)

教材:《高等数学》参考书:《高等数学》(高教出版社，同济大学教材和主要参考书

数学系及盛祥耀等编著)

教学目的与要求:了解多元函数极值的概念，理解函数极值的必要条件，会用充分条件判定

二元函数的极值，掌握求极值的一般方法;

教学重点和难点:

重点:多元函数极值的概念，求极值的一般方法。

难点:二元函数的极值的判定。

教学内容与时间安排:(1课时)

一、引入课题 (3分钟)

关于一元函数的极值,最大值和最小值等知识。

二、多元函数极值的概念 (35分钟)

定义，定理1，定理2(求极值的一般方法)，例题1，

三、练习 (4分钟)

四、小结、布置作业 (3分钟)

思考题与作业:(选做题)习题7,7 第 1(1，2)题。

(选做题)习题7,7 第 1(3) 题。

课后体会:

7.7 多元函数的极值一，引入课题

我们在前面学过一元函数的极值,最大值和最小值等知识。这对学习多元函数的极值有

很大的帮助。

二，新课:多元函数极值的概念

1. 极值的概念

Pxy,定义设函数z=f(x,y)在点的某一邻域内有定义.如果对该邻域内任一异，，000

fxyfxy,,,,Pxy,于的点P(x,y),都有则称函数z=f(x,y)在点处有极大P，，，，，，000000

fxyfxy,,,,Pxy,值;如果都有则称函数z=f(x,y)在点处有极小

fxy(,)，，，，，，0000000

Pxy,值.函数的极大值和极小值统称为极值,使得函数取极值的点称为极值fxy(,)，，00000

点(

强调:定义中的极大值、极小值、极值、极值点等概念(

221,,xy例z=f(x,y)=在点(0,0)处取得极大值l(见书上图7-37)(

22z=f(x,y)=在点(0,0)处取得极小值0(见书上图7-38)( 24xy，

Z=f(x,y)=xy 在(0,0)处不取极值。

指出:在一般情况下,函数的极值并不容易看出,因此,与一元函数一样,我们需要研究二

元函数极值存在的必要条件和充分条件(

Pxy,定理l(极值存在的必要条件) 设函数z=f(x,y)在点处有极值,且在点，，000Pxy,fxy,fxy,处的两个偏导数,都存在,则必有，，，，，，000x00y00 fxy,fxy,=0, =0. ，，，，x00y00( 证明见书)

Pxy,强调指出:(1)函数z=f(x,y)在点处有极值, ，，000

Pxy,fxy,fxy,(2)点处的两个偏导数,都存在,则必有，，，，，，

000x00y00fxy,fxy,=0, =0. 类似于一元函数,满足方程组，，，，x00y00 ,fxy,0,,，，x,xy, 的点,称为函数z=f(x,y)的驻点. ，，,00fxy,0,，，,y,

(3)极值点一定是驻点.但驻点不一定是极值点.

22例如，函数z=在点(0,0)处的两个偏导数 xy,

fxfy0,020,0,020,,,,,，，，，xxyx,,00yy,,00

22所以点(0,0)是函数的驻点.但由(书上图7-39)看出(0,0)点不是函数的zxy,, 极值点(

注意:如何判断驻点是不是极值点呢?在一元函数极值中,有一种方法是用函数

在驻点处

的二阶导数的符号去判断的,对于二元函数也有类似的方法可以证明，有下面

的定理。

Pxy,定理2(极值存在的充分条件) 设函数z=f(x,y)在点的某一邻域内有二阶连，，000

Pxy,fxyfxy,0,,0,,续偏导数,且是函数的驻点，即.记，，，，，，

000xy0000

2,,,,BAC0fxyAfxyBfxyC,,,,,,,,, 则，，，，，，xxxyyy000000

Pxy,(1)时,z=f(x,y)在点处有极值,且当A<0时,有极大值;当A>0时,有

极,,0，，000

小值;

Pxy,时,函数z=f(x,y)在点处没有极值; (2) ,,0，，000

Pxy, (3) ,,0时,函数z=f(x,y)在点处可能有极值,也可能没有极值( ，，000 2，归纳出求极值的一般方法如下:

fxyfxyfxyfxyfxy,,,,,,,,, (1)求偏导:; ，，，，，，，，，，xyxxxyyy ,fxy,0,,，，x,(2)找驻点:联立方程组解之,得到所有的驻

点; ,fxy,0.,，，,y,

2,,,BAC (3)判极值:将驻点代入二阶导数中,依次求出A,B,C,并计算出,判定驻点

是否为极值点,如果是极值点,则代入原函数中,求出极值(

3322例1 求函数f(x,y)=的极值( xyxyx,，，,339

解 (1)求偏导:对f(x,y)求偏导得

22fxyxxfxyyy,369,,36;,，,,,，，，，，xy

fxyxfxyfxyy,66,,0,,66.,，,,,，，，，，，，xxxyyy

(2)找驻点:联立方程组

2,fxyxx,3690,,，,,，，x, ,2fxyxy,360.,,，,，，,y,

解之,得

xxxx,,,,,,1,1,3,3,,,,, ,,,,yyyy,,,,0,2.0.2.,,,,

因此,函数有驻点(1,0)，(1,2)，(-3,0)及(-3,2)(

AfBfCf,,,,,,1,012,1,00,1,06 (3)判极值:在点(1,0)处,,于是，，，，，，xxxyyy

2 ,,,,,，,,,BAC0126720,

所以,函数在点(1,0)处有极值.又A0,所以函数在点(1,0)处有极小值,代入原函数,算得>