13.导数的概念及意义

导数的概念及意义1.实际问题引入引例。

物体自由落体的运动方程s =s (t )=21gt 2，其中位移单位m ，时间单位s ，g =9.8 m/s 2. 求t =3这一时段的速度.变。

已知某车启动过程中的运动方程为315S t =(05)t ≤≤，求5t s =时的瞬时速度。

1.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度. 2. 确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法：要确定物体在某一点A 处的瞬时速度，从A 点起取一小段位移AA 1，求出物体在这段位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过A 点的瞬时速度.当位移足够小时，物体在这段时间内运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过A 点的瞬时速度了.我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为s =s (t )，也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻t 0，t 0+Δt ，现在问从t 0到t 0+Δt 这段时间内，物体的位移、平均速度各是：位移为Δs =s (t 0+Δt )－s (t 0)(Δt 称时间增量)平均速度tt s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=)()(00 根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间t 来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度.现在是从t 0到t 0+Δt ，这段时间是Δt . 时间Δt 足够短，就是Δt 无限趋近于0. 当Δt →0时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度瞬时速度tt s t t s v v t t ∆-∆+==→∆→∆)()(limlim 0000所以当Δt →0时，平均速度的极限就是瞬时速度练。

已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，(1)当t =2，Δt =0.01时，求ts∆∆. (2)当t =2，Δt =0.001时，求ts∆∆. (3)求质点M 在t =2时的瞬时速度. 分析：Δs 即位移的改变量，Δt 即时间的改变量，t s ∆∆即平均速度，当Δt 越小，求出的ts∆∆越接近某时刻的速度.解：∵tt t t t t s t t s t s ∆+-+∆+=∆-∆+=∆∆)32(3)(2)()(22=4t +2Δt ∴(1)当t =2，Δt =0.01时，t s∆∆=4×2+2×0.01=8.02 cm/s(2)当t =2，Δt =0.001时，ts∆∆=4×2+2×0.001=8.002 cm/s(3)v =00lim lim →∆→∆=∆∆t t t s(4t +2Δt )=4t =4×2=8 cm/s瞬时速度反应的是质点运动方程中位移关于时间的变化率（位移是时间的函数），将次问题数学化即已知()y f x =表示y 是x 的函数，探求函数值y 关于自变量x 的变化率问题既是我们要研究的导数。

2.导数的概念导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比xy∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即 xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0(3)导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度(4)导数是一个局部概念，它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关，与x ∆无关(5)在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成000/)()(lim )()(lim)(0x x x f x f x x f x x f x f x x o x --=∆-∆+=→→∆(6)若极限x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导3.导数的几何意义xy∆∆的几何意义是是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率，取极限之后表示割线即为切线，故导数0'()f x 的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点PQ 当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-注意：若)(x f 在0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线存在反之不然，若曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）有切线，函数)(x f y =在0x 不一定可导，并且，若函数)(x f y =在0x 不可导，曲线在点（)(,00x f x ）也可能有切线例1.求曲线f (x )=x 3+2x +1在点(1，4)处的切线方程. 解:k =xf x f x x f x x f x x ∆-∆+=∆-∆+→∆→∆)1()1(lim )()(lim0000330(1)2(1)1(1211)lim x x x x∆→+∆++∆+-+⋅+=∆ 23053()()lim x x x x x∆→∆+∆+∆=∆20lim[53()]5x x x ∆→=+∆+∆=∴切线的方程为y －4=5(x －1)， 即y =5x －1例2 y =x 3在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标.解：设点P 的坐标(x 0，x 03)∴斜率3=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 00033000()lim x x x x x ∆→+∆-=∆ 22300033()()limx x x x x x x∆→∆+∆+∆=∆2220000lim[33()]3x x x x x x ∆→=+∆+∆= ∴3x 02=3，x 0=±1∴P 点的坐标是(1，1)或(－1，－1)2.求曲线y =x 2+1在点P (－2，5)处的切线方程.解：k =x x x f x f x x ∆---+∆+-=∆--∆+-→∆→∆1)2(1)2(lim)2()2(lim 2200 4)4(lim )(4lim 020-=∆+-=∆∆+∆-=→∆→∆x xx x x x ∴切线方程是y －5=－4(x +2)，即y =－4x －3. 4.导函数概念1. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim00函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y=＝(0/x f 所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作(0/x f注意：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值2. 求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim 例1求y =x 2在点x =1处的导数.分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求Δy ，再求xy ∆∆，最后求0lim →∆x x y ∆∆.解：Δy =(1+Δx )2－12=2Δx +(Δx )2，xx x x y ∆∆+∆=∆∆2)(2=2+Δx ∴0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x (2+Δx )=2. ∴y ′|x =1=2. 例2已知y =x ，求y ′.分析：求函数在一点的导数，与求函数在一个区间上的导数，方法是一样的，也是三个步骤，只是把x 0换成x .解：Δy =x x x -∆+，xxx x x y ∆-∆+=∆∆ ∴)(lim lim lim 000x x x x x x x x x x x x y x x x +∆+∆-∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆ =xx x x x 211lim 0=+∆+→∆.点评：求函数的导数也主要是求极限的值，所以极限是求函数的导数的基础，求极限的一些基本方法不能忘掉.例3 已知y =x 3－2x +1，求y ′，y ′|x =2.解：Δy =(x +Δx )3－2(x +Δx )+1－(x 3－2x +1) =x 3+3x 2Δx +3x (Δx )2+(Δx )3－2x －2Δx +1－x 3+2x －1=(Δx )3+3x (Δx )2+(3x 2－2)Δxxy ∆∆=(Δx )2+3x Δx +3x 2－2 ∴y ′=0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x ［(Δx )2+3x Δx +3x 2－2］=3x 2－2.方法一：∵y ′=3x 2－2，∴y ′|x =2=3×22－2=10.方法二：Δy =(2+Δx )3－2(2+Δx )+1－(23－2·2+1)=(Δx )3+6(Δx )2+10Δxxy ∆∆=(Δx )2+6Δx +10 ∴y ′|x =2=0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x ［(Δx )2+6Δx +10］=10.点评：如果题目中要求y ′，那么求y ′|x =2时用方法一简便 如果只要求y ′|x =2，用方法二比较简便 5.基本初等函数的导函数公式（1）. 常函数导数 0'=C (C 为常数)（2）. 幂函数导数 1()'a a x ax -=（3）. 对数函数导数 1(log )'ln a x x a =，特别地：1(ln )'x x= （4）. 指数函数导数 ()'ln x x a a a =，特别地：()'x x e e = （5）. 三角函数 (sin )'cos x x =， (cos )'sin x x =-例1 ．求 (1)(x 3)′ (2)(21x)′ (3)(x )′ 解：(1) (x 3)′=3x3－1=3x 2；(2) (21x)′=(x －2)′=－2x －2－1=－2x －3(3) xx x x x 212121)()(2112121==='='--例2． (口答)求下列函数的导数：(1)y =x 5(2)y =x 6(3)x =sin t (4)u =cos ϕ答案： (1)y ′=(x 5)′=5x 4； (2)y ′=(x 6)′=6x 5；(3)x ′=(sin t )′=cos t ； (4)u ′=(cos ϕ)′=－sin ϕ例3.求下列函数的导数：(1)y =31x(2)y =3x 答案：(1) y ′=(31x)′=(x －3)′=－3x －3－1=－3x －4(2321313133131)()(--=='='='x x x x y例4.质点运动方程是51t s =, 求质点在2=t 时的速度． 解：∵ 51t s =， ∴ 6555)()1(---='='='t t ts ,∴ 6452562-=⨯-='-=t s ．答：质点在2=t 时的速度是645-．例5.求曲线x y sin =在点A )21,6(π的切线方程． 解：∵ x y sin = ∴ xx y cos )(sin ='='∴ 236cos6=='=ππx y∴ 所求切线的斜率23=k ∴ 所求切线的方程为 )6(2321π-=-x y ，即 0361236=-+-πy x答：曲线x y sin =在点A )21,6(π的切线方程为0361236=-+-πy x ．课堂练习：1.质点的运动方程是s =t 3，(s 单位m ，t 单位s)，求质点在t =3时的速度.解：v =s ′=(t 3)′=3t 3－1=3t 2当t =3时，v =3×32=27 m/s ，∴质点在t =3时的速度为27 m/s 2.物体自由落体的运动方程是s =s (t )=21gt 2，(s 单位m ，t 单位s ，g =9.8 m/s 2)，求t =3时的速度. 解：v =s ′(t )=(21gt 2)′=21g ·2t 2－1=gt . t =3时，v =g ·3=9.8·3=29.4 m/s ，∴t =3时的速度为29.4 m/s. 3.求曲线y =x 4在点P (2，16)处的切线方程.解：y ′=(x 4)′=4x 4－1=4x 3.∴y ′|x =2=4·23=32∴点P (2，16)处的切线方程为y －16=32(x －2)，即32x －y －48=05.导数的四则运算（函数的和、差、积、商的导数）（1） 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 '')'(v u v u ±=±证明：令)()()(x v x u x f y ±==，)]()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆ v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+=)]()([)]()([，∴ x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆， x v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim 即 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±．（2） 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 '')'(uv v u uv += 证明：令)()()(x v x u x f y ==，则=∆y )(x x u ∆+)(x x v ∆+-)()(x v x u)(x x u ∆+=)(x x v ∆+-)(x u )(x x v ∆++)(x u )(x x v ∆+-)()(x v x u ，=∆∆x y x x u x x u ∆-∆+)()()(x x v ∆++)(x u xx v x x v ∆-∆+)()( 因为)(x v 在点x 处可导，所以它在点x 处连续，于是当0→∆x 时，)()(x v x x v →∆+，从而 0lim→∆x =∆∆x y 0lim →∆x x x u x x u ∆-∆+)()()(x x v ∆++)(x u 0lim →∆x xx v x x v ∆-∆+)()()(')()()('x v x u x v x u +=， 即 ='y '')'(uv v u uv +=． 说明：⑴'')'(v u uv ≠，'')'(v u uv +≠；⑵∵ ''0'')'(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=∴ 常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数．⑶两个可导函数的和、差、积一定可导；两个不可导函数和、差、积不一定不可导．法则3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭证明：令)()()(x v x u x f y ==，-∆+∆+=∆])()([x x v x x u y )()(x v x u )()()()()()(x v x x v x x v x u x v x x u ∆+∆+-∆+=)()()]()()[()()]()([x v x x v x v x x v x u x v x u x x u ∆+-∆+--∆+=，∴ )()()()()()()()(x v x x v x x v x x v x u x v x x u x x u x y ∆+∆-∆+-∆-∆+=∆∆ 因为v (x )在点x 处可导，所以v (x )在点x 处连续．于是当0→∆x 时，v (x +x ∆)→v (x )．∴ )()](lim [)lim ()lim(lim 0000x v x x v x vu v x u x y x x x x ∆+∆∆-∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆2''v uv v u -= 即 )0('''2'≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=v v uv v u v u y ． 说明：⑴'''v u v u ≠⎪⎭⎫ ⎝⎛，2'''v uv v u v u +≠⎪⎭⎫ ⎝⎛； ⑵若两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的情况下分母不为0）必可导．若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．例如，设f (x )=sin x +x 1、g (x )=cos x －x1，则f (x )、g (x )在x =0处均不可导，但它们的和f (x )+g (x )=sin x +cos x 在x =0处可导例1 求y =x 3+sin x 的导数.解：y ′=(x 3+sin x )′=(x 3)′+(sin x )′=3x 2+cos x例2 求y =x 4－x 2－x +3的导数.解：y ′=(x 4－x 2－x +3)′=(x 4)′－(x 2)′－x ′+3′=4x 3－2x －1， 例3求453223-+-=x x x y 的导数． 解： 63'2+-=x x y例4求2(23)(32)y x x =+-的导数．解： )'23)(32()23()'32('22-++-+=x x x x y 3)32()23(42⋅+++=x x x 98182+-=x x例5 y =3x 2+x cos x ，求导数y ′.解：y ′=(3x 2+x cos x )′=(3x 2)′+(x cos x )′=3·2x +x ′cos x +x (cos x )′=6x +cos x +x sin x例6 y =5x 10sin x －2x cos x －9，求y ′.解：y ′=(5x 10sin x －2x cos x －9)′=(5x 10sin x )′－(2x cos x )′－9′=5(x 10)′sin x +5x 10(sin x )′－［2(x )′·cos x +2x (cos x )′］－0=5·10x 9sin x +5x 10cos x －(121212-x ·cos x －2x sin x )=50x 9sin x +5x 10cos x －x1cos x +2x sin x=(50x 9+2x )sin x +(5x 10－x1)cos x例1求y =xx sin 2的导数.分析: 这题可以直接利用商的导数法则.解：y ′=(x x sin 2)′=x xx x x x x x x x 22222sin cos sin 2)(sin )(sin sin )(-='-' 例2求y =332++x x 在点x =3处的导数.分析: 这题既要用到商的导数法则，还要用到和的导数法则.解：y ′=(332++x x )′2222)3()3)(3()3()3(+'++-+'+=x x x x x 222222)3(36)3()3(23++--=++-+=x x x x x x x ∴y ′|x =3=614424)33(3363222=-=++⨯-- 例3 求y =x1·cos x 的导数.分析: 这道题可以看作两个函数的乘积，也可以看作两个函数的商，所以不同的看法有不同的做法.这道题可以用两种方法来求.解法一：y ′=(x 1·cos x )′=(x 1)′cos x +x 1 (cos x )′ x x x x x x x x x xxx x x x x x 2sin 2cos sin 12cos sin 1cos 21sin 1cos )(32321+-=--=--=-'=--解法二：y ′=(x 1·cos x )′=(xxcos )′x xx x x x x x x x 21221cos sin )()(cos )(cos -⋅⋅-⋅-='-'= xx x x x xx x x x x xx x x 2sin 2cos 2cos sin 2cos 21sin +-=+-=+-= 例4求y =cot x 的导数.解：y ′=(cot x )′=(x x sin cos )′2)(sin )(sin cos sin )(cos x x x x x '-'= x xx x x x x 222csc sin 1sin cos cos sin sin -=-=⋅-⋅-= 例5 求y =x x-+31的导数.解：y ′=(x x -+31)′=2222)3()3)(1()3()1(x x x x x -'-+--'+222222)3(32)3()2)(1(3x x x x x x x -++=--+--= 例6求y =x x sin 12-的导数.解：y ′=(x x sin 12-)′222)(sin ))(sin 1(sin )1(x x x x x '--'-=x xx x x 22sin cos )1(sin 2---= 例7求y =x x x cos 423-的导数.解：y ′=(x x x cos 423-)′222323)cos ()cos )(4(cos )4(x x x x x x x x '--'-= xx x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x 233424524242322cos cos )8(sin )4(cos sin sin 4cos 8cos cos )sin cos 2)(4(cos 3+--=-+--=---⋅-=课堂练习：1.求函数的导数.(1)y=2x 3+3x 2－5x +4解：(2x 3+3x 2-5x +4)′=(2x 3)′+(3x 2)′-(5x )′+4′=2·3x 2+3·2x -5=6x 2+6x -5 (2)y =sin x －x +1解：y ′=(sin x －x +1)′=(sin x )′－x ′+1′=cos x －1(3)y =(3x 2+1)(2－x )解：y ′=［(3x 2+1)(2－x )］′=(3x 2+1)′(2－x )+(3x 2+1)(2－x )′=3·2x (2－x )+(3x 2+1)(－1)=－9x 2+12x －1(4)y =(1+x 2)cos x解：y ′=［(1+x 2)cos x ］′=(1+x 2)′cos x +(1+x 2)(cos x )′=2x cos x +(1+x 2)(－sin x )=2x cos x －(1+x 2)sin x 2.填空：(1)［(3x 2+1)(4x 2－3)］′=( )(4x 2－3)+(3x 2+1)( )解：［(3x 2+1)(4x 2－3)］′=(3x 2+1)′(4x 2－3)+(3x 2+1)(4x 2－3)′=3·2x (4x 2－3)+(3x 2+1)(4·2x )=(6x )(4x 2－3)+(3x 2+1)(8x ) (2)(x 3sin x )′=( )x 2sin x +x 3( )解：(x 3sin x )′=(x 3)′sin x +x 3(sin x )′=(3)x 2sin x +x 2(cos x ) 3.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.［(3+x 2)(2－x 3)］′=2x (2－x 3)+3x 2·(3+x 2)解：不正确.［(3+x )2(2－x 3)］′=(3+x 2)′(2－x 3)＋(3＋x 2)(2－x 3)′=2x (2－x 3)+(3+x 2)(－3x 2)=2x (2－x 3)－3x 2(3+x 2)5.复合函数的导数1.复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量．2.求函数2(32)y x =-的导数的两种方法与思路：方法一：22[(32)](9124)1812x y x x x x '''=-=-+=-；方法二：将函数2(32)y x =-看作是函数2y u =和函数32u x =-复合函数，并分别求对应变量的导数如下：2()2u y u u ''==，(32)3x u x ''=-=两个导数相乘，得232(32)31812u x y u u x x ''==-=- ， 从而有 x u x u y y '''⋅=对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y ′x 时，就可以转化为求y u ′和u ′x 的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.3.复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u ) ϕ′(x ). 证明：（教师参考不需要给学生讲）设x 有增量Δx ，则对应的u ，y 分别有增量Δu ，Δy ，因为u =φ(x )在点x 可导，所以u =ϕ (x )在点x 处连续.因此当Δx →0时，Δu →0.当Δu ≠0时，由xu u y x y ∆∆⋅∆∆=∆∆. 且x yu y u x ∆∆=∆∆→∆→∆00lim lim .∴xu u y x u u y x u u y x y x u x x x x ∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆⋅∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆000000lim lim lim lim lim lim 即x u x u y y '''⋅= (当Δu ＝0时，也成立)4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 例1试说明下列函数是怎样复合而成的？⑴32)2(x y -=； ⑵2sin x y =；⑶)4cos(x y -=π； ⑷)13sin(ln -=x y ．解：⑴函数32)2(x y -=由函数3u y =和22x u -=复合而成；⑵函数2sin x y =由函数u y sin =和2x u =复合而成； ⑶函数)4cos(x y -=π由函数u y cos =和x u -=4π复合而成；⑷函数)13sin(ln -=x y 由函数u y ln =、v u sin =和13-=x v 复合而成．说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．例2写出由下列函数复合而成的函数：⑴u y cos =，21x u +=； ⑵u y ln =，x u ln =．解：⑴)1cos(2x y +=； ⑵)ln(ln x y =． 例3求5)12(+=x y 的导数．解：设5u y =，12+=x u ，则x u x u y y '''⋅=)'12()'(5+⋅=x u x 2)12(52534⋅+=⋅=x u 4)12(10+=x ．注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.例4求f (x )=sin x 2的导数.解：令y =f (x )=sin u ; u =x 2∴x u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(x 2)x ′=cos u ·2x =cos x 2·2x =2x cos x 2 ∴f ′(x )=2x cos x 2例5求y =sin 2(2x +3π)的导数. 分析: 设u =sin(2x +3π)时，求u ′x ，但此时u 仍是复合函数，所以可再设v =2x +3π.解：令y =u 2，u =sin(2x +3π)，再令u =sin v ，v =2x +3π∴x u x u y y '''⋅==y ′u (u ′v ·v ′x )∴y ′x =y ′u ·u ′v ·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(2x +3π)′x=2u ·cos v ·2=2sin(2x +3π)cos(2x +3π)·2 =4sin(2x +3π)cos(2x +3π)=2sin(4x +32π) 即y ′x =2sin(4x +32π)例6求32c bx ax y ++=的导数.解：令y =3u ，u =ax 2+bx +c ∴x u x u y y '''⋅==(3u )′u ·(ax 2+bx +c )′x =3231-u ·(2ax +b )=31(ax 2+bx +c )32-(2ax +b )=322)(32c bx ax b ax +++ 即y ′x =322)(32c bx ax b ax +++例7求y =51xx-的导数. 解：令x x u u y -==1,5∴x u x u y y '''⋅==(5u )′u ·(xx-1)′x4455221(1)(1)11(1)()55x x x x x x x u x x x --''-------=⋅=⋅21x -===即y ′x =－542)(51x x x - 例8 求y =sin 2x 1的导数.解：令y =u 2，u =sin x 1，再令u =sin v ，v =x 1∴x u x u y y '''⋅=·v ′x =(u 2)′u ·(sin v )′v ·(x 1)′x=2u ·cos v ·210x -=2sin x 1·cos x 1·21x-=－21x ·sin x 2∴y ′x =－21x sin x 2例9 求函数y =(2x 2－3)21x +的导数.分析: y 可看成两个函数的乘积，2x 2－3可求导，21x +是复合函数，可以先算出21x +对x 的导数.解：令y =uv ，u =2x 2－3，v =21x +, 令v =ω，ω=1+x 2x x v v ωω'''=⋅=ω' (1+x 2)′=22211122)2(21x x x x x +=+=-ω∴y ′x =(uv )′x =u ′x v +uv ′x =(2x 2－3)′x ·21x ++(2x 2－3)·21xx +=4x23232161321xx x xx x x ++=+-++ 即y ′x =2316xx x ++课堂练习：1．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).(1)y =(5x －3)4 (2)y =(2+3x )5 (3)y =(2－x 2)3 (4)y =(2x 3+x )2解：(1)令y =u 4，u =5x －3∴x u x u y y '''⋅==(u 4)′u ·(5x －3)′x =4u 3·5=4(5x －3)3·5=20(5x －3)3(2)令y =u 5，u =2+3x∴x u x u y y '''⋅==(u 5)′u ·(2+3x )′x =5u 4·3=5(2+3x )4·3=15(2+3x )4(3)令y =u 3，u =2－x 2∴x u x u y y '''⋅==(u 3)′u ·(2－x 2)′x =3u 2·(－2x )=3(2－x 2)2(－2x )=－6x (2－x 2)2(4)令y =u 2，u =2x 3+x∴x u x u y y '''⋅==(u 2)′u ·(2x 3+x )′x =2u ·(2·3x 2+1)=2(2x 3+x )(6x 2+1)=24x 5+16x 3+2x 2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(n ∈N *) (1)y =sin nx (2)y =cos nx (3)y =tan nx (4)y =cot nx 解：(1)令y =sin u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(sin u )′u ·(nx )′x =cos u ·n =n cos nx (2)令y =cos u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cos u )′u ·(nx )′x =－sin u ·n =－n sin nx (3)令y =tan u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(tan u )′u ·(nx )′x =(u ucos sin )′u ·n =2)(cos )sin (sin cos cos u u u u u --⋅·n =nx n n u 22cos cos 1==n ·sec 2nx (4)令y =cot u ，u =nxx u x u y y '''⋅==(cot u )′u ·(nx )′x =(uusin cos )′u ·n =2)(sin cos cos sin sin u u u u u ⋅-⋅-·n =－u 2sin 1·n =－nx n 2sin =－n csc 2nx例1函数4)31(1x y -=的导数. 解：4)31(1x y -=4)31(--=x ．设4-=u y ，x u 31-=， 则x u x u y y '''⋅=x u x u )'31()'(4-⋅=- )3(45-⋅-=-u55)31(1212---==x u 5)31(12x -=．说明：①求复合函数的导数的关键，在于分清函数的复合关系，适当选取中间变量；本题如果选成1-=u y ，v u -=1，x v 3=就复杂了．②要弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆；③在熟练掌握公式后，不必再写中间步骤．如此例的解题过程可以直接写成45'[(13)]'4(13)(3)x y x x --=-=--⋅-5)31(12--=x 5)31(12x -=．例2求51xxy -=的导数． 解：511⎪⎭⎫⎝⎛-=x x y ， '541151'⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x x x x y 254)1()1(1151x x x x x ----⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-254)1(1151x x x -⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-5654)1(51---=x x ． 例3求证：1321232-⋅=++++n nn n n n n nC C C C ，其中N n ∈*．说明：这个等式我们在学习有关二项式定理等知识时，用倒序求和等方法给出过证明，这里我们利用求导数、赋值的方法证明这个等式．证明：由二项式定理知=+n x )1(n n n n n n n x C x C x C x C C +++++ 332210，两边同时对x 求导，得13211320)1(--+++++=+n n n n n n n x nC C x C C x n ．令1=x 得12-⋅n n n nn n n nC C C C ++++= 32132． 说明：n x )1(+是作为复合函数对求导的例4求y =(ax －b sin 2ωx )3对x 的导数.解：y ′=3(ax －b sin 2ωx )2·(ax －b sin 2ωx )′=3(ax －b sin 2ωx )［a －(b sin 2ωx )′］=3(ax －b sin 2ωx )［a －b 2sin ωx ·(sin ωx )′］=3(ax －b sin 2ωx )［a －b 2sin ωx ·cos ωx ·ω］=3(ax －b sin 2ωx )(a －b ω·sin2ωx )例5求y =sin nx cos nx 的导数.解： y ′=(sin n x )′cos nx +sin nx (cos nx )′=n sin n －1x ·(sin x )′cos nx +sin nx ·(－sin nx )(nx )′=n sin n －1x cos x cos nx －n sin nx sin nx=n sin n －1x (cos x cos nx －sin x sin nx )=n sin n －1x cos(n +1)x .例6求函数y =－x 2(3x －2)(3－2x )的导数.分析: 这是三个函数乘积的导数，只要根据公式 (uv ω)′=u ′v ω+uv ′ω+uv ω′就可以求了.解：y ′=(－x 2)′(3x －2)(3－2x )+(－x 2)(3x －2)′(3－2x )+(－x 2)·(3x －2)(3－2x )′=－2x (3x －2)(3－2x )－x 2·3(3－2x )－x 2(3x －2)(－2)=24x 3－39x 2+12x .例7求函数y =)4)(3()2)(1(++++x x x x 的导数.分析: 先把y 看成幂函数y =21])4)(3()2)(1([++++x x x x ，里面的函数的求导要用到商的导数法则，和积的导数法则.解：y ′={21])4)(3()2)(1([++++x x x x }′121(1)(2)(1)(2)[][]2(3)(4)(3)(4)x x x x x x x x -++++'=++++ 12221(1)(2)(21)(3)(4)(1)(2)(43)[]2(3)(4)(3)(4)x x x x x x x x x x x x x x -+++++++-+++++=⋅++++112221122221(1)(2)420222(3)(4)(3)(4)x x x x x x x x ----++++=⋅++++112223322(1)(2)(21011)(3)(4)x x x x x x --++++=++2=分析: y 可以看成两个函数u 、v 的乘积，而u 、v 都是复合函数.解：y ′=［(3x +1)2］′52151-+x x +(3x +1)2［(1512-+x x )51］′=2(3x +1)·(3x +1)′52151-+x x +(3x +1)2)151()151(512542'-+-+-x x x x=2(3x +1)·3·52151-+x x +(3x +1)2·22542)15(5)1()15(2)151(51-⋅+---+-x x x x x x =6(3x +1)52151-+x x +51 (3x +1)2·2254542)15(525)15()1(---⋅-+--x x x x x =6(3x +1)5422252)15()1()15(5)525()13(151-+---++-+x x x x x x x x例9求y =(x 2－3x +2)2sin3x 的导数.解：y ′=［(x 2－3x +2)2］′sin3x +(x 2－3x +2)2(sin3x )′=2(x 2－3x +2)(x 2－3x +2)′sin3x +(x 2－3x +2)2cos3x (3x )′=2(x 2－3x +2)(2x －3)sin3x +3(x 2－3x +2)2cos3x .课堂练习：1．求下函数的导数.(1)y =32)12(1-x (2)y =4131+x (3)y =sin(3x －6π) (4)y =cos(1+x 2)(1)解：y =32)12(1-x =(2x 2－1)－3y ′=［(2x 2－1)－3］′=－3(2x 2－1)－4(2x 2－1)′=－3(2x 2－1)－4(4x )=－12x (2x 2－1)－4(2)解：y =41414)13()131(131-+=+=+x x xy ′=［(3x +1)41-］′=－41 (3x +1)45-(3x +1)′=－41 (3x +1)45-·3=－43(3x +1)45-.有的函数要先进行变形，化成幂函数的形式，这样求导起来会比较方便. (3)解：y ′=［sin(3x －6π)］′=cos(3x －6π)(3x －6π)′=cos(3x －6π)·3=3cos(3x －6π)(4)解：y ′=［cos(1+x 2)］′=－sin(1+x 2)(1+x 2)′=－sin(1+x 2)·2x =－2x sin(1+x 2).2.下列函数中，导数不等于21sin2x 的是(D) A.2－41cos2x B.2+21sin 2x C. 21sin 2x D.x －21cos 2x解：A ：(2－41cos2x )′=0－41 (－sin2x )(2x )′=41sin2x ·2=21sin2x .B:(2+21sin 2x )′=0+212sin x ·(sin x )′=21·2·sin x ·cos x =21sin2x . C:( 21sin 2x )′=212sin x (sin x )′=21·2sin x cos x =21sin2xD:(x －21cos 2x )′=1－212cos x (cos x )′=1－212cos x (－sin x )=1+21sin2x .3.函数y =x cos x －sin x 的导数为(B )A.x sin xB.－x sin xC.x cos xD.－x cos x解：y ′=(x cos x －sin x )′=(x cos x )′－(sin x )′=x ′cos x +x (cos x )′－cos x =cos x －x sin x －cos x =－x sin x 4.求y =21xx -的导数.解：y ′=(21xx-)′2222)1()1(1x x x x x -'---'=122221(1)(1)21x x x x -'⋅--=-==223221(1)x ==-322(1)x -=- 例1求)132ln(2++=x x y 的导数． 解： y ′=［ln(2x 2+3x +1)］′=13212++x x (2x 2+3x +1)′=132342+++x x x例2求21lg x y -=的导数． 解法一：y ′=(lg21x -)′=211x-lg e ·(21x -)′=21lg x e-·21·(1－x 2)21-(1－x 2)′=21lg x e -·2121x -·(－2x )=1lg 1lg 22-=--x ex x e x 分析：对数函数，可以先把它化简，然后根据求导法则进行求导解法二：∵ y =lg2112=-x lg(1－x 2)∴y ′=［21lg(1－x 2)］′=21121x-lg e (1－x 2)′=)1(2lg 2x e -·(－2x )=1lg 2-x e x 说明：真数中若含乘方或开方、乘法或除法的，均可先变形再求导． 实际上，解法1中u y lg =，v u =，21x v -=，取了两个中间变量，属于多重复合．而解法2中u y lg 21=，21x u -=，仅有一次复合，所以其解法显得简单，不易出错．例3求函数y =ln(12+x －x )的导数.分析：由复合函数求导法则：y ′x =y ′u ·u ′x 对原函数由外向内逐个拆成几个简单的基本初等函数. 解：)1(1122'-+⋅-+='x x xxy 1221[(1)21)2x x -=+⋅-1)=-==例4若f(x)=ln(ln x)，那么′()|x=e= .(B)A.eB.e1C.1D.以上都不对解：f′(x)=［ln(ln x)］′=xln1·(ln x)′xx lnf′(x)|x=e=ee ln1⋅e 例5 y=ln［ln(ln x)］的导数是 (C)A.)ln(ln1xxB.)ln(lnln1xxC.)ln(lnln1xxxD.)ln(ln1x解：y′=)ln(ln1x［ln(ln x)］′=)ln(ln1x·xln1(ln x)′=)ln(ln1x·xln1·x1=)ln(lnln1xxx⋅所以用复合函数的求导法则时，要由外向内逐层求导，直到不能求导为止.例6求y=ln|x|的导数.解：当x＞0时，y=ln x. y′=(ln x)′=x1；当x＜0时，y=ln(－x)，y′=［ln(－x)］′=x-1(－1)=x1，∴y′=x1例7求y=log a21x+的导数.解：y′=(log a21x+)′=211x+log a e·(21x+)′221221log2)1(211logxexxxxeaa+=⋅+⋅+=-课堂练习：求下列函数的导数.1.y=x ln x解：y′=(x ln x)′=x′ln x+x(ln x)′=ln x+x·x1=ln x+12.yx解：y′=(lnx1)′=x1(x1)′=x·(－1)·x－2=－x－1=－x1.3.y=log a(x2－2). 解：y′=［log a(x2－2)］′=2log2-xea (x2－2)′=2log22-xexa.4.y=lg(sin x)解：y′=［lg(sin x)］′=xesinlg(sin x)′=xesinlgcos x=cot x lg e.5.y=ln x-1.解：y′=(ln x-1)′)1(11'--=xx)1()1(211121---=-xx)1(21)1(21-=--=xx6.y=ln12+x解：y ′=(ln12+x )′)1(1122'++=x x⋅+⋅+=-2122)1(2111x x 122+=x x x . 7.y =1ln +x xx －ln(x +1). 解：y ′=(1ln +x xx )′－［ln(x +1)］′21(ln )(1)ln (1)1(1)1x x x x x x x x x '+⋅+-+=-++ 2(ln 1)(1)ln 1(1)1x x x x x x ++-=-++2ln ln 1ln 1(1)x x x x x x x x +++---=+2ln (1)x x =+课后作业：求下列函数的导数：⑴)1(log 22x x y ++=； ⑵2211ln xx y -+=； ⑶xxy 2sin ln =； ⑷)(sin ln 2x e y -=．解：⑴)'1(1log '222x x x x e y ++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=)'1(12111log 2222x x x x e ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=222111log x x x x e 221log x e +=； ⑵)]1ln()1[ln(2122x x y --+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---++=22221)'1(1)'1(21'x x x x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=22121221x x x x412x x -=； ⑶)'2sin (2sin 'x x x x y =22sin 2cos 22sin x x x x x x -⋅=x x 12cot 2-=； ⑷cot(2)(sin )1)(cos()sin(2)(sin )]'([sin '222x e x e x e x e x e x e y --=----=--= 例1求x e y x 3cos 2=的导数． 解：)3sin 3(3cos 2'22x e x ey x x-+=x e x e x x 3sin 33cos 222-=．例2求xa y 5=的导数． 解：a a a ay x xln 55ln '55=⋅=．例3求下列函数的导数 ⑴xey sin =； ⑵)21ln(xy +=； ⑶xe y 2)2(=；⑷1ln 22+=xx e e y ； ⑸x y 2sin 10=； ⑹3ln 2+=x e y x ． 解：⑴x ey xcos 'sin =； ⑵x x y 21)'21('++=xx 212ln 2+=；⑶)12(ln )2(22)2ln()2('22+=⋅=x x e e e y ；⑷)]1ln(2[211ln 21222+-=+=x xx e x e e y ， ='y ]122[2122+-x xe e 12212+⋅=x e 112+=x e ；⑸x x y xcos sin 210ln 10'2sin⋅⋅=x x 2sin 10ln 102sin ⋅=；⑹422'x x e x e y x x ⋅-⋅=3)2(xx e x -=． 例4求函数y =e -2xsin3x 的导数.分析：先用积的求导法则，(uv )′=u ′v +uv ′，再用复合函数的求导法则求导，x u x u y y '''⋅=解：y ′=(e -2x )′sin3x +e -2x ·(sin3x )′=e -2x (－2x )′sin3x +e -2xcos3x (3x )′=－2e -2x sin3x +3e -2x cos3x =e -2x(3cos3x －2sin3x )例5求y =xe x3sin 2-的导数分析：先用商的求导法则2)(v v u v u v u '-'='，再用复合函数求导法则求导 解：y ′=(x e x 3sin 2-)′=222)3(sin )3(sin 3sin )(x x e x e x x '-'-- xx x e x x e x e x x x 3sin )3cos 33sin 2(3sin 33cos 3sin )2(22222+-=⋅--=--- 例6求y =32xlg(1－cos2x )的导数.解：y =32x lg(1－cos2x )=9xlg(1－cos2x )y ′=9xln9·lg(1－cos2x )+9xx e2cos 1lg -·(1－cos2x )′=9x ln9·lg(1－cos2x )+9xx e2cos 1lg -sin2x ·2.=9x·ln9·lg(1－cos2x )+29x·lg e ·xxx 2sin 2cos sin 2 =9x·2ln3·lg(1－cos2x )+29x·lg e ·cot x =2·9x［ln3·lg(1－cos2x )+lg e ·cot x ］。