数学建模结课作业

数学建模结课作业-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

一、问题重述

某保险公司只提供一年期的综合车险保单业务，这一年内，若客户没有要求赔偿，则给予额外补助，所有参保人被迫分为0，1，2，3四类，类别越高，从保险费中得到的折扣越多。在计算保险费时，新客户属于0类。在客户延续其保险单时，若在上一年没有要求赔偿，则可提高一个类别；若客户在上一年要求过赔偿，如果可能则降低两个类别，否则为0类。客户退出保险，则不论是自然的还是事故死亡引起的，将退还其保险金的适当部分。

现在政府准备在下一年开始实施安全带法规，如果实施了该法规，虽然每年的事故数量不会减少，但事故中受伤司机和乘员数肯定会减少，从而医药费将有所下降，这是政府预计会出现的结果，从而期望减少保险费的数额。这样的结果真会出现吗？这是该保险公司目前最关心的问题。根据采用这种法规的国家的统计资料可以知道，死亡的司机会减少40%，遗憾的是医疗费的下降不容易确定下来，有人认为，医疗费会减少20%到40%，假设当前年度该保险公司的统计报表如下表1和表2。

保险公司希望你能给出一个模型，来解决上述问题，并以表1和2的数据为例，验证你的方法，并给出在医疗费下降20%和40%的情况下，公司今后5年每年每份保险费应收多少才比较合理？给出你的建议。

二、问题假设

1.新投保人数与每年民用车增长量成正比。

2.每年的事故数量不变。

3.每个人的索赔次数服从泊松分布。

4.预计总收入与实际总收入之差不变。

5.支出不变。

6.注销人数为自然退保人数和死亡人数之和。

7.每一类别保险的人没有索赔时补贴比例不变。

8.注销时每人平均的偿还退回金额不变。

9.下一年平均修理费不变。

10.死亡司机人数以及注销人数和总投保人数无关，只因为政府实施安全带法规

而发生改变

三、符号说明

A本年度的人数

B实施新法规之后第i年的人数

i

w各部分费用金额

k医疗费下降系数

X基本保险费用

i

r死亡人数下降比例

j第j类保险

S总保费

说明：其中，下标“总”表示总投保人数或总收入，“续”表示续保人数，“新”表示新投保人数，“注”表示注销人数，“索”表示索赔人数或索赔费用，“死”表示死亡人数或死亡赔偿费用，“修”表示修理费，“医”表示医疗费。

四、问题分析

通过分析统计报表，我们可了解到此公司的客户结构，赔偿方式，以及各个保险类别的具体情况。从本年度客户结构，再结合表1，表2由此我们可推演出下一年度的客户类型及相应的数量：

（1）下一年0类续保人数=0类索赔人数-0类死亡人数+1类降为0类的人数（1类索赔人数-1类死亡人数）+2类降为0类的人数（2类索赔人数-2类死亡人数）。

（2）下一年1类续保人数=0类升为1类的人数(0类总投保人数-0类索赔人数-0类注销人数+0类死亡人数)+3类降为1类的人数（3类索赔人数-3类死亡人数）。

（3）下一年2类续保人数=1类升为2类的人数(1类续保人数-1类索赔人数-1类注销人数+1类死亡人数)。

（4）下一年3类续保人数=2类升为3类人数（2类续保人数-2类索赔人数-2类注销人数+2类死亡人数）+3类续保人数-3类索赔人数-3类注销人数+3类死亡人数）。

从而我们得到了下一年各类人数与前一年的关系，只需知道当前的人数关系即可推出下一年的具体数量。因此，不妨把它看做是一个简单的动力系统模型，我们只需逐步推演求解即可得到所需解。

进而，问题的关键就转化为了确定每年各个保险的投保人数、注销人数、新投保人数、死亡人数等，其中许多数据我们可从今年的具体保单信息得出，而新投保的人数其实即为新增车主，一定与每年民用车的增加量成正比。

五、模型建立与求解

首先，我们先来确定每年新增投保人数。有假设可知，新增投保人数与每年民用车增加量成正比，因此查阅相关资料，我们得到2004—2012我国民用车辆增加量，见表1：

表1 我国民用汽车拥有量统计表（2000～2009年）年份2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 汽车总计

2693 3159 3697 4358 5099 6280 7801 9356 10578 （万辆）

利用Matlab，我们可以得到2004～2012年民用汽车拥有量的二次拟合图像，见图1：

图1 我国民用汽车拥有量拟合曲线图（2004-2011）

由本年新投保人数对二次拟合曲线方程系数按比例缩放，即求得每年总新投保人数的方程

（1）

因此可得到接下来5年每年新增投保人数，详见表2：

表2 五年的新投保人数

第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 446631 514866

589325

670008

756915

再由模型分析可得下一年各类客户量为：

2211000死索死索死索续A A A A A A B -+-+-= （2） 3300001死索死注索总续A A A A A A B -++--= （3）

11112死注索续续A A A A B +--= （4）

333322223死注索续死注索续续A A A A A A A A B +--++--= （5）

然后分析索赔人数，分析可得，每一次事故都是随机独立出现的，因此我们可以认定在总投保人数中每一个人的索赔次数服从泊松分布。

由泊松定理可知，某一个人发生事故并索赔k 次的概率p 为：

)0(!

)(>⨯==-i k

i i k e k K p λλλ （6）

所以，他至少索赔一次的概率μ为：