级数收敛的巧妙判定ppt课件
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高中数学(人教版)级数的收敛性第一课时课件
| f n ( x ) f ( x ) | .
使函数 { fn } 列 的收敛域.
{ f n }收敛的全体收敛点集合,
称为
§1 级数的收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
函数列, 证明它的收 (1, 1] , 且有极限函数 敛域是 0, | x | 1,
y f ( x) y fn ( x)
N 的所有曲线 号大于
y f n ( x ) ( n N ),
都落在曲线 y f ( x )
a
y f ( x)
与y f ( x ) 所夹的带
O
b
图 13-1
x
状区域之内.
§1 级数的收敛性
从几何意义 函数列 { x } 在区间(0, 1) 上不一致收敛 y 上看 ( 1), 1 就是存在某个预预先给定的 总存在某条 无论 N 多么大 , 曲线 x y x n (n N ), x y y 不能全部落在由 与 x 夹成的带状区域内. O 1 x n { x } 只限于在区间 [0, b] 若函数列 (b 1) 上,则容易看到,n ln (其中 0 1), 只要 ln b n y 和 y 曲 y x 就全部落在 所夹成的带状 n 所以 x 区域内， 在 0, b 上是一致收 线 敛的.
xD
当n N 时,有 sup | f n ( x ) f ( x ) | .
>0, 存在正整数N, 对任给
使得
(7)
因为对一切 x D, 总有
| f n ( x ) f ( x ) | sup | f n ( x ) f ( x ) | .
使函数 { fn } 列 的收敛域.
{ f n }收敛的全体收敛点集合,
称为
§1 级数的收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
函数列, 证明它的收 (1, 1] , 且有极限函数 敛域是 0, | x | 1,
y f ( x) y fn ( x)
N 的所有曲线 号大于
y f n ( x ) ( n N ),
都落在曲线 y f ( x )
a
y f ( x)
与y f ( x ) 所夹的带
O
b
图 13-1
x
状区域之内.
§1 级数的收敛性
从几何意义 函数列 { x } 在区间(0, 1) 上不一致收敛 y 上看 ( 1), 1 就是存在某个预预先给定的 总存在某条 无论 N 多么大 , 曲线 x y x n (n N ), x y y 不能全部落在由 与 x 夹成的带状区域内. O 1 x n { x } 只限于在区间 [0, b] 若函数列 (b 1) 上,则容易看到,n ln (其中 0 1), 只要 ln b n y 和 y 曲 y x 就全部落在 所夹成的带状 n 所以 x 区域内， 在 0, b 上是一致收 线 敛的.
xD
当n N 时,有 sup | f n ( x ) f ( x ) | .
>0, 存在正整数N, 对任给
使得
(7)
因为对一切 x D, 总有
| f n ( x ) f ( x ) | sup | f n ( x ) f ( x ) | .
函数项级数的一致收敛性及基本性质ppt课件
闭 区 间 [a,b]上 一 致 连 续 ，
.
故 幂 级 数 anxn在 [a,b]上 适 合 定 理3条 件 ， 从 n1
而 可 以 逐 项 求 导 ． 由 [a ,b ]在 ( R ,R )内 的 任 意 性 ，
即 得 幂 级 数 a n x n 在 ( R ,R )内 可 逐 项 求 导 . n 1
区间上的一致收敛性．
cos nx
1.
n1
2n
,
x ;
2. x2enx , 0 x .
n1
.
练习题答案 一1、 .取自然 N数 x．
二、一致收敛．
.
由 比 值 审 敛 法 可 知 级 数 nn 1 q 收 敛 ， n 1
于是 nn 1 q 0 (n ),
.
故 数 列nn q1有 界 ， 必 有 M0， 使 得
nn q 11M (n1,2,) x1
又 0x 1R ， 级 数a nx 1 n收 敛 ， n 1
由 比 较 审 敛 法 即 得 级 数 nn x a n 1收 敛 ． n 1 由 定 理4， 级 数 nnaxn1在 (R,R)内 的 任 意 n1
致收敛.
进一步还可以证明，如果幂级数anxn在收敛 n1
区间的端点收敛，则一致收敛的区间可扩大到包 含端点．
.
定理5 如 果 幂 级 数 a n x n 的 收 敛 半 径 为 n1
R 0 ，则其和函数s(x) 在( R, R) 内可导，且
有逐项求导公式
s( x )
an xn
n1
na n x n1 ,
n1
逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收
敛半径．
.
证 先证级数 nanxn1在(R,R)内收敛． n1
.
故 幂 级 数 anxn在 [a,b]上 适 合 定 理3条 件 ， 从 n1
而 可 以 逐 项 求 导 ． 由 [a ,b ]在 ( R ,R )内 的 任 意 性 ，
即 得 幂 级 数 a n x n 在 ( R ,R )内 可 逐 项 求 导 . n 1
区间上的一致收敛性．
cos nx
1.
n1
2n
,
x ;
2. x2enx , 0 x .
n1
.
练习题答案 一1、 .取自然 N数 x．
二、一致收敛．
.
由 比 值 审 敛 法 可 知 级 数 nn 1 q 收 敛 ， n 1
于是 nn 1 q 0 (n ),
.
故 数 列nn q1有 界 ， 必 有 M0， 使 得
nn q 11M (n1,2,) x1
又 0x 1R ， 级 数a nx 1 n收 敛 ， n 1
由 比 较 审 敛 法 即 得 级 数 nn x a n 1收 敛 ． n 1 由 定 理4， 级 数 nnaxn1在 (R,R)内 的 任 意 n1
致收敛.
进一步还可以证明，如果幂级数anxn在收敛 n1
区间的端点收敛，则一致收敛的区间可扩大到包 含端点．
.
定理5 如 果 幂 级 数 a n x n 的 收 敛 半 径 为 n1
R 0 ，则其和函数s(x) 在( R, R) 内可导，且
有逐项求导公式
s( x )
an xn
n1
na n x n1 ,
n1
逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收
敛半径．
.
证 先证级数 nanxn1在(R,R)内收敛． n1
第十一章111函数项级数的一致收敛ppt
1 1 x
二、一致收敛的定义 引例
例1
u
n 1
n
( x) x ( x 2 x) ( x 3 x 2 )
它的每一项都在 0 x 1 上连续，其n 次部分和为
0,0 x 1时 lim sn ( x) s ( x) n ，x 1时 1 S ( x) 在x 1不连续，因此，它不是0,1 上的 级数的和 连续函数。这个例子还告诉我们，上述级数的 每一项 都在 0,1 上可导，但它的和函数S ( x) 在 x 1 不可导。
说明: 对任意正数 r < 1,
级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 .
o
S ( x)
1 x
事实上, 因为在 [ 0, r ] 上 rn ( x) r n , 任给 > 0, 欲使
ln ln r , 只要 n , 因此取 N , 只要 n N , ln r ln r n 必有 rn ( x) r , 即级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 .
X
,因此 x
在
sup Sn ( x) S ( x) sup x n c n 当n 时 0 x c 0 x c x S n ( x) 同理可知 1 n 2 x 2 在任一区间 c,1 ( c 为小于1 的任一正数)一致收敛,但在 0,1 非一致收敛.这说明了
u ( x ) u ( x ) u ( x ) u ( x )
n 1 n 0 1 0 2 0 n 0
收敛，我们就说函数项级数在 x0点收敛，否则就说它 在 x0 点发散。如果对 X 中任何一点 x ，级数 u ( x) 收 敛，就说函数项级数 u ( x) 在 X 上收敛（即在每一点 都收敛）。这时，对每一点 x X 级数 u ( x) 有和， 记此和为 S ( x) ，即
级数的收敛性PPT课件
3
.
11
例3. 判别下列级数的敛散性:
(1 )n 1 ln n n 1;
解: (1)
(2 )n 1 n (n 1 1 ).
Sn
ln 2 1
ln
3 2
ln 4 3
lnn1 n
( 2 l l 1 ) ( n n 3 l l 2 ) n n l n 1 n ) l n n (
n(an an1)S,
n1
k(ak ak1)
k1
n1
( a 1 a 0 ) 2 ( a 2 a 1 ) n ( a n a n 1 ) ak nan
n1
n
k0
aknna k(akak1)
k0
k1
n 1
n
即 ln i k m 0a kln i n m n aln i k m 1k(a k a k 1 )AS
S n u 1 u 2 u 3 u n
级数 u n 是否收敛即 nlimSn 是否存在.ຫໍສະໝຸດ n 1当级数收敛时, 称差值
r n S S n u n 1 u n 2
为级数的余项. 显然 limrn 0
n .
8
例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)
a q n a a q a q 2 a q n (a 0 )
1 2112(n1)1(n2)
进行拆项相消
limSn
n
1, 4
这说明原级数收(敛2),n 其1和n3为314 n1. 22n
.
26
(3)
Sn
12SnSn1 22322532
n 2
n
1
1 22 3 22 5 32n 2n 1 2 1 22 3 32 5 42 2 n n 1 1
微积分第二版课件第二节数项级数敛散性判别法
定理 正项级数 un 收敛的充分必要条件为：它的 n1
前n 项部分和所构成的数列 {Sn}有上界.
定理(比较判别法1) 设两个正项级数 un与 vn ,
n1
n1
如果满足 un vn ,(n 1,2,)，那么
(1) 若 vn收敛, 则 un 收敛.（大的收敛小的必收敛）
n1
n1
(2) 若 un 发散, 则 vn 发散. (小的发散大的必发散）
kvn (k
0) ，则正项级数
un
也发散.
n1
例
判定级数
(1)
n1
1 2n
; 1
(2)
n1
n 2n
1
n
的敛散性.
解
(1)因为
un
1 1 0(n 1,2,) 2n 1 2n
而级数
1
发散，由比较法知
1
发散.
n12n
n12n 1
(2)对于正项级数
n1
n n 2n 1
因为
un
n
n
比值的极限 lim un1 ，则
n1
n un
（1）当 1时，级数收敛；
（2）当 1 时，级数发散；
（3）当 1时，级数可能收敛也可能发散.
说明：比值判别法比比较判别法使用方便，它主 要判别一般项由指数幂或阶乘等形式构成的正项级数
的敛散性.但当 1 时，判别法失效.
例
判定 (1)
综合上述有 n1n1p当p 1时收敛，0 p 1时发散.
例 判定 (1)
1
, (2)
1
的敛散性.
n1(n 1)(n 4) n1n n 2
解
(1)因为 0 un
数学分析课件9.2级数的收敛性及基本性质级数的收敛性及基本性质392.00KB
A u1 u 2 ui Si , 1 1 1
设 u n 的部分和数列为 sn ，加括号后的级数
n 1
A2 u1 u 2 ui ui 1 ui 2 ui Si , 1 1 1 2 2
An u1 u 2 ui ui 1 ui 2 ui 1 1 1 2
【数学分析课件】
性质１ 若级数 u n 收敛，a 为任一常数，则 aun n 1 n 1 亦收敛，并且有 au a u
n 1
n
n 1
n
证明
设级数 u 的部分和为 s n ，由假设 lim sn s
n 1 n
n
为一有极限数．又设级数 au的部分和为 s n ，显然 有 sn ' asn ，再按数列极限性质知道
n 1
则称级数 u n收敛，记为
n
n
k 1
u
n 1
n
n
s,
并称此值 s 为级数的和数．若部分和数列 sn 发散，则称 级数 u 发散．当级数收敛时，又称
n 1
rn s sn
为级数的余和．
k n 1
u
k
un 1 un 2 un 3
uin 1 1 uin 1 2 uin Sin ,
【数学分析课件】
可见，An 实际上是sn 的一个子数列，故由sn 的收敛性 立即推得 An 也是收敛，且其极限值相同．
要注意的是：加括号后的级数为收敛时，不能断言原 来未加括号的级数也收敛，例如级数 1 1 1 1 加括号后成为
设 u n 的部分和数列为 sn ，加括号后的级数
n 1
A2 u1 u 2 ui ui 1 ui 2 ui Si , 1 1 1 2 2
An u1 u 2 ui ui 1 ui 2 ui 1 1 1 2
【数学分析课件】
性质１ 若级数 u n 收敛，a 为任一常数，则 aun n 1 n 1 亦收敛，并且有 au a u
n 1
n
n 1
n
证明
设级数 u 的部分和为 s n ，由假设 lim sn s
n 1 n
n
为一有极限数．又设级数 au的部分和为 s n ，显然 有 sn ' asn ，再按数列极限性质知道
n 1
则称级数 u n收敛，记为
n
n
k 1
u
n 1
n
n
s,
并称此值 s 为级数的和数．若部分和数列 sn 发散，则称 级数 u 发散．当级数收敛时，又称
n 1
rn s sn
为级数的余和．
k n 1
u
k
un 1 un 2 un 3
uin 1 1 uin 1 2 uin Sin ,
【数学分析课件】
可见，An 实际上是sn 的一个子数列，故由sn 的收敛性 立即推得 An 也是收敛，且其极限值相同．
要注意的是：加括号后的级数为收敛时，不能断言原 来未加括号的级数也收敛，例如级数 1 1 1 1 加括号后成为
11-2 数项级数收敛性的判定
n =1
∑v
n=1
∞
n
也发散 .
推论 设两正项级数
∞ ∞ un 1 （ 若 lim ） = 0 , 则由 vn 收敛可推知 un 收敛. ∑ ∑ n→∞ v n=1 n=1 n
∞ ∞ un 2 若 （） lim = ∞ , 则由 vn 发散可推知 un 发散. ∑ ∑ n→∞ v n=1 n=1 n
∞ n
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
1 1 1 1 (3) 调和级数 ∑ = 1 + + + L + + L 发散 2 3 n n =1 n
©
∞
1 1 1 1 例1. 证明 p－级数 ∑ p = 1 + p + p +L+ p +L 2 3 n n=1 n
∞
0 时发散， 当 < p ≤ 1时发散， p > 1 时收敛. 当
un+1 知存在N ∈Z ,当n ≥ N 时 < r < 1, 即un+1 < run , un
∞ ∞
+
将 ∑ uN + n 与收敛的等比级数
n =1
r n uN 比较， ∑ 比较，
n =1
可知原级数收敛。 可知原级数收敛。
(2) 当 ρ > 1或 ρ = ∞时必存在N ∈ Z+ , uN ≠ 0, 当n ≥ N , 时 从而
§11.2 数项级数的概念和性质
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛和条件收敛
一、正项级数及其审敛法 若 un ≥ 0, 则称 ∑un 为正项级数 .
n=1 ∞
定理 1. 正项级数 有上界 . 证: “ “ ”若 ”
∑v
n=1
∞
n
也发散 .
推论 设两正项级数
∞ ∞ un 1 （ 若 lim ） = 0 , 则由 vn 收敛可推知 un 收敛. ∑ ∑ n→∞ v n=1 n=1 n
∞ ∞ un 2 若 （） lim = ∞ , 则由 vn 发散可推知 un 发散. ∑ ∑ n→∞ v n=1 n=1 n
∞ n
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
1 1 1 1 (3) 调和级数 ∑ = 1 + + + L + + L 发散 2 3 n n =1 n
©
∞
1 1 1 1 例1. 证明 p－级数 ∑ p = 1 + p + p +L+ p +L 2 3 n n=1 n
∞
0 时发散， 当 < p ≤ 1时发散， p > 1 时收敛. 当
un+1 知存在N ∈Z ,当n ≥ N 时 < r < 1, 即un+1 < run , un
∞ ∞
+
将 ∑ uN + n 与收敛的等比级数
n =1
r n uN 比较， ∑ 比较，
n =1
可知原级数收敛。 可知原级数收敛。
(2) 当 ρ > 1或 ρ = ∞时必存在N ∈ Z+ , uN ≠ 0, 当n ≥ N , 时 从而
§11.2 数项级数的概念和性质
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛和条件收敛
一、正项级数及其审敛法 若 un ≥ 0, 则称 ∑un 为正项级数 .
n=1 ∞
定理 1. 正项级数 有上界 . 证: “ “ ”若 ”
数项级数的收敛判别法
1 (n n
1, 2,),
则级数发散.
例4 判断下列级数的敛散性
1
(1)
n1 (2n 1) 2n
n 1
(2)
n 1
n2
1
(3)
1
n2 (ln n)
第12页/共62页
1
(4)
n2
(ln
n)n
(1)
因为2n
1
n，所以un
(2n
1 1) 2n
1 n 2n
1 2n2
由于
1 ，根据比较判别法可知
n1
1 n2
收敛,
n2
由定理(2)知级数
n1
ln(1
1 n2
)收敛.
第21页/共62页
练习1 判别级数
1 的敛散性 (a>0为常数)
n1 n2 a 2
1
解：因为 lim n
n2 a2 1
1
(即=1为常数)
n
1
又
是调和级数，它是发散的
n1 n
1
故原级数 n1 n2 a 2
发散.
第22页/共62页
解 : 级数的通项为
由于
nn un n! (n 1)n1
lim un1 lim
u n0 n
n0
(n 1)! nn
lim(1 1 )n e 1,
n0
n
n!
由比值判别法可知所给级数发散.
第27页/共62页
例9 判别级数 1 xn 的敛散性,其中x>0为常数 n1 n!
解：记
un
xn ，则 n!
1 收敛；
n1 2n2
n1 2n2
(2)
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ln1
1 n
lim n
n k 1
1 k
ln(1 n)
•
lim
n
an
0
不是级数
n1 an 收敛的充分条件.
例子：调和级数
1
n1 n
2021/2/21
20
参照几何级数的判敛法
• d’Alambert(达兰贝尔)判敛法 • Cauchy(柯西)判敛法
2021/2/21
21
d’Alambert(达兰贝尔)判敛法
• 设级数 an 的各项为正, 如果极限
n1 lim an1 q
则
a n n
– q<1时, 级数收敛; – q>1时, 级数发散;
– q=1 时需用其他方法#
2021/2/21
22
Cauchy(柯西)判敛法
• 对于任意级数 an , 如果上极限 n1
lim sup n an q
则
n
– q<1时, 级数收敛;
正项级数的收敛原理
• 正项级数收敛的充要条件是其部分 和数列有上界. • 证明: 此时部分和数列单调递增的. 由单调数列收敛定理就得到结论. #
2021/2/21
13
正项级数的比较原理
• 设 an 和 bn 是两个正项级数, 且存在N,
n1
n1
当nN时, an bn. 则下列两个结论成立:
• 若 bn 收敛, 则 an 收敛;
相同.
nN
证明: 习题#
2021/2/21
7
常数项级数的分类
• 按级数各项的符号分为正项级数(如 果级数的每一项都非负)和变号级数
(如果有的项为正,也有的项为负.
• 对收敛级数按其绝对值级数 an 是
否收敛分为绝对收敛 级数和条n件1 收敛
级数
2021/2/21
8
常数项级数的收敛准则
• Cauchy准则: 级数 an 收敛的充分必要条
(3)
rn
n1
2021/2/21
18
两类标准级数
• 几何级数 r : n1 当|r|<1时, 收敛; |r|1时,
发散； n1
• 证明：直接计算#
• p级数
1 : 当p>1时, 收敛; p1时,发散.
np
n1
• 证明：积分判敛法
2021/2/21
19
级数的例子
• Euler常数：
n1
1 n
n1
n
为级数(无穷和). 称 sn ak 为级数 an为前n项和
k 1
n1
或的第 部分n个和部序分列和. ,数简列称中部的分项和也; 称称为sn 级n1为数级的数项n.1 an
2021/2/21
3
常数项级数收敛复习
•
级数收敛: 如果部分和序列
sn
收敛就说
n1
级数 an收敛, n1
– q>1时, 级数发散;
– q=1 时需用其他方法#
2021/2/21
23
例题五
• 判断下列级数的敛散性：
(1) n! , n1 nn
(2)
(2n 1)!!, n1 n!
(3)
n1
n
xn (1 xk )
(x 0)
k 1
(4)
1 n2 ln n lnn
(5)
1 4lnn
n1
n1
n1
•
若
an 发散, 则
bn
发散.
n1
n1
• 证明：练习. #
2021/2/21
14
比较原理的极限形式
• 设 an 和 bn 是两个正项级数, 存在N,
n1
n1
当nN时, an 0. 如果 成立.
lim bn a n
n
l
, 则下列结论
(1) 若l [0,), an 收敛, 则 bn 收敛;
an
收敛则
lim
n
an
0.
n1
•
证明：记
s
lim
n
sn.
注意n>1,
an
sn
sn1
因此
lim
n
an
lim
n
sn
sn1
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0
2021/2/21
11
例题二
• 下列级数发散
(1)
n
1
n
,
(2)
cos n , (3)
1
n1 n
n1
n1 n n
2021/2/21
12
16
正项级数积分判敛法
• 设级数 an 满足n 1, an f (n) , 其中是 n1
上单调下降的正函数. 则级数 an 的 n1
敛散性(即收敛与否)与积分
1
f
的敛散性相
同.
证明：习题#
2021/2/21
17
例题四
• 讨论下列级数的敛散性
1
(1) n1 n p ,
(2)
1 n2 n ln n p ,
2021/2/21
24
正项级数第二比较原理
• 设 an 和 bn 是两个正项级数, 且存在N,
n1
n1
an1
当nN时,
an
bn1
bn .
则下列两个结论成立:
•
若 bn 收敛, 则
n1
an 收敛;
n1Βιβλιοθήκη • 若 an 发散, 则 bn 发散.
n1
n1
• 证明：练习. #
级数
收敛判别法
2021/2/21
1
内容提要
• 常数项级数复习和判敛法 • 函数项级数和一致收敛 • 求和号下取极限 • 幂级数与Taylor展开 • 三角级数与Fourier展开 • Weierstrass定理
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常数项级数定义复习
•
级数定义：对于数列
an
,称
n1
an a1 a2 an
并且定义部分和序列
sn
的
n1
极限为级数 an 的和, 记为
n1
n
an
n1
lim
n
k 1
ak
lim
n
sn
S
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常数项级数发散复习
•
级数发散: 如果部分和序列
sn
发散就说
n1
级数 an发散. 特别当部分和序列发散向+
或-n，1 记为
an
或
n1
an
n1
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件是:
,
N,
n1
m>n>N
m
ak ε
kn
• 推论: 如果绝对值级数 an 收敛, 则级数
an 收敛.
n1
n1
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例题一
• 判断下列级数的敛散性
1
1
1
(1) n1 n2 , (2) n1 2n n , (3) n1 n
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常数项级数收敛的必要条件
• 如果级数
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收敛级数的线性性质
• 若级数 an 和 bn 收敛, α ,β R, 则级数
n1
n1
an bn 收敛, 且
n1
an bn an bn
n1
n1
n1
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级数的敛散性与级数的
前有限项无关
• 设N是一个给定的正整数, 则级数 an的 n1
敛散性(即收敛与否)与级数 an 的敛散性
n1
n1
(2) 若l (0,] , an 发散, 则 bn 发散. #
n1
n1
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例题三
• 讨论下列级数的敛散性
sin n
1
1
(1) n1 n2 , (2) n1 n2 3n 4 , (3) n1 3n 1
(4) 1 cos 1
(5)
n1 n
n1
n
n1
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