复数的四则运算

（i
2005
i
1
2006
i
2007
i
2008
） i
2009
0i i
常用结论：
(1 i) 2i;
2
1 1 i i; i; i 1 i
1 i i. 1 i
1 3 例4.设 i, 2 2
求证：⑴ 1 0;
2
3 1. ⑵
分母实数化
四、例题应用：
例 1.计算 (1 2i ) (3 4i )
解: (1 2i ) (3 4i ) 1 2i 3 4i (1 2i )(3 4i ) (3 4i )(3 4i ) 2 3 6i 4i 8i 32 42 5 10i 1 2 i 25 5 5
1 i 1 i
例6.
⑴、已知复数z的平方根为 3 + 4i ,求复数 z ;
⑵、求复数 z =3 + 4i 的平方根.
(1)由题意，知：z (3 4i) ， 7 24i. (2)设所求复数为a bi(a R，b R)， 2 则(a bi) 3 4i， 2 2 a b 3 a 2 a -2 ， 解得： ，或 . b 1 b -1 2ab 4
由刚才的求商过程可以形式上写成(体会其中的过程):
a bi (a bi )(c di ) (a bi ) (c di ) c di (c di )(c di ) ac bd (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d
练 习：
已知: 求: z
z1 1 i , z2 2 i
2 4 1
z , ( z z ) , z 1 2 1 2
实数集R中正整数指数的运算律, 在复数集C中仍然成立.即对 z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
m n m+n z z =z ,
m n mn (z ) =z ,
四、例题应用：
例1.计算 (5 6i) (2 i) (3 4i)
解: (5 6 i ) ( 2 i ) (3 4 i )
(5 2 3) (6 1 4) i 11i
（ 1 ） (a bi)(a bi) 例2：计算
a abi abi b i
∴z=2+i.
练习 1、计算: ⑴ (7 i ) (3 4i )
1 i 2 ) ⑵( 1 i 1 1 ⑶ 3 2i 3 2 i
1- i
-1
4 i 13
1 1 3 - 1 (整体代入法妙) _____. 2.若 x i ,则 2 x x 2 2
注 :复数的四则混合运算类似于分式的运算进行通分、 化简等 .
2x 2x x 1 3 又如计算 = i x 1 2 2
3 2
(1 i )2 3(1 i ) 3.已知复数 z ,且 z 2 az b 1 i 2 i 1 b R ),则 a+b=_____. (a、
拓展研究:
例3、下列命题中正确的是 (2) (1)如果Z1 Z 2是实数，则Z1、Z 2互为共轭复数 ( 2)纯虚数Z的共轭复数是 Z。 ( 3)两个纯虚数的差还是纯 虚数 (4)两个虚数的差还是虚数 。
先写成分式形式 然后分母实数化 即可运算.(一般分子 分母同时乘以分母的 共轭复数) 化简成代数形式 就得结果.
例2. 复数 z 满足 (1 2i) z 4 3i, 求 z.
4 3i 解： z , 1 2i (4 3i )(1 2i ) 10 5i 2 i, (1 2i )(1 2i ) 5
2
t 1， tan 1， 45 .
o
x1 1，x2 2 i.
五、课堂小结： 1、定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的 复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y都是实数,
(z1z2)n=z1nz2n.
【探究】 i 的指数变化规律
i i , i 1 , i i , i 1
1 2 3 4
i , i __ i __ __ __ i , i 1 , i 1
5 6 7 8
你能发现规律吗？有怎样的规律？ 4 n 1 4n i i , i 1,
2
例7．设关于 x 的方程 x (tan i ) x (2 i ) 0 ( R )
2
若方程有实数根，求锐 角 的值, 并求出 方程的所有根． 解：设方程的实数根为x t， 2 则： (t t tan 2) (t 1)i 0，
t t tan 2 0，且 t 1 0，
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即: 两个复数相加(减)就是实部与实部，
虚部与虚部分别相加(减).
(2)复数的加法满足交换律、结合律,
即对任何z1,z2,z3∈C,有:
z1+z2=z2+z1,
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
2.复数的乘法：
(1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似 的,但必须在所得的结果中把i2换成-1, 并且把实部合并.即:
2.复数的乘法： (1)复数乘法的法则 (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(bc+ad)i. (2)复数乘法的运算律： 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法 对加法的分配律. 即对任何z1,z2,z3有： z1z2=z2z1; (z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
2
2 2
a b
2
2
复数的乘法与多项 式的乘法是类似的. 我们知道多项式的乘法用 乘法公式可迅速展开, 运算, 类似地,复数的乘法也可大胆 运用乘法公式来展开运算.
2 2
（2） (a bi) a 2abi b i
2 2
a b 2abi
2 2
（3） (1 2i)(3 4i)(2 i)
i
4n
4. i的指数变化规律：
1,
i
4 n 1
i ,
i
4n
4n2

1 ,
4n2
i
4 n 3
i
i i
4 n 1
i
i
4 n 3
0, (n N )
二、问题引入：
(1 i) 2i;
2
2 1 i 1 i (1 i) 2i i; 2 i ; 1 i (1 i)(1 i) 2 i i 1 i (1 i) 2 2i i. 1 i (1 i)(1 i) 2
注意到 i 2 1 ，虚数单位 i 可以和实数进行运 算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我 们已经是自然而然地在进行着， 只要把这些零散的 操作整理成法则即可了！
三、知识新授：
1.复数加减法的运算法则：
(1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
(1)定义: 实部相等,虚部互为相反数的两个复数 互为共轭复数.
复数 z=a+bi 的共轭复数记作 z ,
即 z a bi
(2)共轭复数的性质:
思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么 z z
?z z ?
z z 2a；z - z 2bi.
另外不难证明: z
1
z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
2 (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi
=(ac-bd)+(bc+ad)i.
(2)复数乘法的运算定理
复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法
对加法的分配律. 即对任何z1,z2,z3有：
z1z2=z2z1; (z1z2)z3=z1(z2z3); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
a bi . 记为 (a bi ) ( c di )或 c di
1 i 100 50 例5:已知 z , 求 z z 1的值。 2
(1 i) 4 2 解：z i, z (i ) 1 2 4 25 4 12 2 原式 ( z ) ( z ) z 1
2 2
(1) (1) (i ) 1
25 12
a bi . 记为 (a bi ) ( c di )或 c di
a bi 即 x yi ,那么 x ? c di
, y?
a bi (a bi ) (c di ) x yi ,那么 x ? c di
, y?
除法法则:
a bi ac bd bc ad (a bi ) (c di ) 2 2 i 2 2 c di c d c d
3. 共轭复数的概念、性质：
定义: 实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.
复数 z=a+bi 的共轭复数记作 z ,
即 z a bi 设z=a+bi (a,b∈R ),那么 z z 2a；z - z 2bi. z1 z2 z1 z2 , z1 z2 z1 z2
(1 2i )(3 4i )( 2 i ) (11 2i )( 2 i ) 20 15i
(1)计算(a+bi)(a-bi)
解:原式= a 2 (bi )2 = a 2 b 2
一步到位!
注意 a+bi 与 a-bi 两复数的特点.
3. 共轭复数的概念、性质：
思考：
在复数集C 内，你能将 x
2
y
2
分解因式吗？
(x+yi)(x-yi)
五、课堂小结： 1.复数加减法的运算法则： (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i. (2)复数的加法满足交换律、结合律,即对 任何z1,z2,z3∈C,有: z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
例4、下列命题中的真命题 为： D ( A )若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 (B )若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 (C)若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。 ( D)若Z1 Z 2 0, 则Z1与Z 2互为共轭复数。
复数的四则运算
知识回顾
(1) 虚数单位i (2) 复数的分类？
(3) 复数相等的等价条件？
(4) 复数的几何意义是什么？
类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？
二、问题引入：
我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律： ab ba ab ba (a b) c a (b c) (ab)c a(bc) a(b c) ab ac 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应 怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？
i
4n
4n2

1 ,
4nห้องสมุดไป่ตู้2
i
4 n 3
i
i i
4 n 1
i
i
4 n 3
0, (n N )
【例3】求值： i i
2
i i
3
2 3 4
2009
解：原式 （i i i i ） （i i i i ） ...
5 6 7 8
目标: 分母实数化;
手段:
z z R.
三、知识新授：
复数的除法应怎样进行呢? 注意到,实数的除法运算是乘法的逆运算,类 比思考,我们可定义复数的除法:
定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的 复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, 其中a,b,c,d,x,y都是实数,