圆的对称性、垂径定理 知识点+例题+练习(非常好 分类全面)

知识点2：圆的对称性
圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆也是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线。

注意：（1）圆的对称轴有无数条。

（2）圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任何角度后，仍与自身重合。

知识点 3：圆心角、弧、弦之间的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等
例1如图，⊙O 的半径O A、OB 分别交弦C D 于点E、F，且C E＝DF．试问：
(1) OE 等于O F 吗？
(2) AC 与 B D 有怎样的数量关系？
例2如图，AB 是⊙O 的直径．
(1)若 OD//AC， C D 与 B D 的大小有什么关系？为什么？
(2) 把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由．
知识点4：圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系
1.10的弧：将顶点在圆心的周角等分成360 份时，每一份的圆心角是10的角。

因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360 份，我们把10的圆心角所对的弧叫做10的弧。

2.圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

注意：（1）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，不是指角与弧相等（角与弧是两个不同的图形）
（2）度数相等的角为等角，但度数相等的弧不一定是等弧。

例1如图，在☉O 中，弦A D∥BC，DA=DC，∠AOC=1600，则∠BCO 的度数(
) A．200B．600 C. 400D．500
例 2 如图，在△ABC 中，∠A=700，☉O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数为
例3如图，AB，CD 是⊙O 的两条直径，过点A作A E//CD 交⊙O 于点E，连接B D，DE．求证：BD＝DE.
例4如图，点O在∠MPN 的平分线上，☉O 分别交P N、PM 于点A、B 和点C、D．求证：∠PCO=∠NAO．
知识点5：垂径定理及垂径定理的推论
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

2.定理的条件：（1）直径、弦
（2）直径垂直弦
3.定理的结论：（1）弦被直径平分
（2）弦所对的两条弧被平分
4.垂径定理的推论
如果一条直线具有：
（1）经过圆心；
（2）垂直于弦；
（3）平分弦（非直径的弦）；
（4）平分弦所对的劣弧；
（5）平分弦所对的优弧这五个性质中的任意两个，那么这条直线就具有余下的三个性质，简称“知二推三”。

注意：在垂径定理推论中，一定不能忽视“弦不是直径”这一条件。

因为一个圆的任意两条直径都能互相平分，但未必垂直。

例1、如图，∠C＝90°，⊙C 与A B 相交于点D，AC＝5，CB＝12，则A D＝．
例2、如图，⊙O 过点B、C，圆心O在等腰直角三角形A BC 的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O 的半径为( )
例3、如图所示，在圆⊙O 内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则B C 的长为
．
例4、如图，将半径为2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB 的长为
．
例5 、如图，点 A 是半圆上一个三等分点，点 B 是AN 的中点，点 P 是直径 MN 上一动点，⊙O 的半径为 1，则 AP+BP 的最小值为．
例6、如图，AB、CD是半径为 5 的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点 E，CD⊥MN于点 F，P为 EF上的任意一点，则 PA+PC的最小值为．
例7、如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是（2，a）（a>2），半
2，则a的值为径为 2，函数 y＝x 的图象被⊙P 截得的弦 AB 的长为3
课后练习：
1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在O上，∠BOC=110°，AD∥OC，则
∠AOD=( )
A．70° B．60°
C．50° D．40°
2．如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA→AB→BO的路径运
动一周．设OP为s，运动时间为t，则下列图象能大致地刻画s与t之间关系的
是( )
3．已知：如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，过CO的中点D作DE∥AB 交⊙O于点E，连接EO，则∠EOC的度数为__________．
4．如图，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长分别交弦AB，AC于点E，F，∠B=∠C求证：CE=BF
5．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交O于点B，且EB=OC，求∠A的度数
6．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，若点P的坐标为(4,2)，点A的坐标为(2,0)，则点B的坐标为__________．
7．在半径为5cm的圆内有两条平行弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则两弦之间的距离为__________．
8、如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点M，AM＝18，BM＝8，则CD的长为__________．
9．如图，在⊙O中，AB，AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，求证：四边形ADOE是正方形．
10．有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱形桥吗？。